韦达定理例题

例1已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根． (94祖冲之杯数学邀请赛试题)
解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得
x1+x2=－p，x1x2=q．
于是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198，
即x1·x2－x1－x2+1=199．
∴运用提取公因式法(x1－1)·(x2－1)=199．
注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数，
解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0．
例2已知关于x的方程x^2－(12－m)x+m－1=0的两个根都是正整数，求m的值．
解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得
x1+x2=12－m，x1x2=m－1．
于是x1x2+x1+x2=11，
即(x1+1)( x2+1)=12．
∵x1、x2为正整数，
解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3．
故有m=6或7．
例3求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整数．
解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求．
若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且X1≤X2，由韦达定理得
∴x1x2－X1－x2=2，
(x1－1)( x2－1)=3．
因为x1－1、x2－1均为整数，
所以X1=2，X2=4；X1=—2，X2=0.
所以k=1,或k=-1/7
例4已知二次函数y=－x²+px+q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α>1>β，求证：p+q>1． (97四川省初中数学竞赛试题)
证明：由题意，可知方程－x²+px+q=0的两根为α、β．
由韦达定理得 α+β=p，αβ=－q．
于是p+q=α+β－αβ，
=－(αβ－α－β+1)+1
=－(α－1)(β－1)+1>1(因α>1>β)．