韦达定理推广的证明

证明：

当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程

ax^2+bx+c=0(a≠0)

有两个实根,设为x1,x2.

由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取

x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a,

则：x1+x2

=(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a

=-2b/2a

=-b/a,

x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a]

=[(-b)^2-Δ]/4a^2

=4ac/4a^2

=c/a.

综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.

烽火TA000DA 2014-11-04

若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b^2-4ac<0 则方程没有实数解

韦达定理的推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^ i=0

它的根记作X1,X2…,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

另外这与射影定理是初中必须

射影定理图

掌握的.

韦达定理推广的证明

设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。

则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）

通过系数对比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixj)

A0==(-1)^n*An*ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

有关韦达定理的经典例题

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．

(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，

即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－1、x2－1均为整数，

解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．

解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，

即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2为正整数，

解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，

(x1－1)(x2－1)＝3．

因为x1－1、x2－1均为整数，所以

例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．

(’97四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，

＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．映射定理

正玄定理与余弦定理

韦达定理公式介绍及典型例题

?韦达定理公式介绍及典型例题 ?韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。 ?这里讲一元二次方程两根之间的关系。 ?一元二次方程ａＸ+bX+C=0﹙a０﹚中，两根Ｘ1，X2有如下关系：X1+X２=-b/a，X1Ｘ2=ｃ／a ?【定理内容】 一元二次方程ａｘ＾2+bx＋c=0(ａ0 且△=ｂ^2－４ａc0)中,设两个根为x1，x2 则 ?X1+X２＝ -b/ａ ?X1Ｘ2＝c/a 1/Ｘ1+1/X２=X1+X2／X1X２ ?用韦达定理判断方程的根一元二次方程ａx+bｘ＋c＝０ (a0)中, 若b-4aｃ0则方程没有实数根 若ｂ－4aｃ=0 则方程有两个相等的实数根 ?若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根 【定理拓展】 ?(1)若两根互为相反数，则b=0 （2)若两根互为倒数，则a=c ?(３)若一根为0,则c=0 (4）若一根为１,则ａ+b+c=0 ?(5)若一根为-1,则a-b+c＝0 ?(6)若a、c异号,方程一定有两个实数根

【例题】 已知p＋q=１98，求方程x^２+pｘ+q=0的整数根.(94祖冲之杯数学邀请赛试题） 解:设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1ｘ2.由韦达定理，得?x1+ｘ2=－p,ｘ１x２=q. 于是ｘ1ｘ2-(x1+x2）=ｐ＋q=1９8, ?即ｘ1x2-x1－x２＋1=199. ?运用提取公因式法(x１-１)（ｘ2-1)=199. 注意到（x１-１)、（x２－1)均为整数， ?解得ｘ１＝2,x2=20０;x１=-198，x２=0．

韦达定理经典例题复习课程

一元二次方程根与系数的关系培优训练 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121- =--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使 21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求证：（1）方程 有两个不相等的实数根； （2）设方程 的两个实数根为 ，若 ，则 .

例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长． 例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。

练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值； 解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x 1、x 2 是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β， 若ｓ＝1 α ＋ 1 β ，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

初三上学期一元二次方程-韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

韦达定理（根与系数的关系) 韦达定理:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明:定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ,2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = ． 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x ＋2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x ＝ ,1x 2x ＝ ． 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m ＝ ;如果两根互为倒数，那么n ＝ . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-４,那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程(二次项系数为1）是 . 7、以13+,13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . ９、以23+和23-为根的一元二次方程是 . １0、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为 . １1、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2212x x += ． 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ,m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k ＝ ,若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)专题训练(有答案)--

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 已知x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根 考点：根与系数的关系．专题：应用题． 分析：利用根与系数的关系，分别求得x1+x2，x1/x2的值，整体代入所求的代数式即可． 解：∵x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根 ∴x1+x2=-b/a=12，x1×x2=c/a=-5/2 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2=-b/a ，x1×x2=c/a ． （1）计算对称式的值 例一 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -． （2）定性判断字母系数的取值范围

例二 一个三角形的两边长是方程 的两 根，第三边长为2，求k 的取值范围。 例三 已知关于x 的方程221(1)104 x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 例四 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2 x x x x --=-成立若存在，求出k 的值；若

韦达定理公式

韦达定理公式： 一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中 设两个根为x和y 则x+y=-b/a xy=c/a 韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程AiX^i=0 它的根记作X1,X2,Xn 我们有 Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) Xi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中是求和，是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 定理的证明 设mathx_1/math，mathx_2/math是一元二次方程mathax^2+bx+c=0/math的两个解，且不妨令mathx_1 ge x_2/math。根据求根公式，有

mathx_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}/math，mathx_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}/math 所以 mathx_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac/math， mathx_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac/math

蝴蝶定理

一、蝴蝶定理的发展历程简介：。 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P、Q，则PM＝QM 由于此图形似只蝴蝶飞舞，故此定理因此而得名：蝴蝶定理。此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，有意思的是，迟到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。笔者结合自己的证明和收集别人的研究，整理证法十种，以飨读者。 证法1 （证∠POM＝∠QOM） 作CF、DE的弦心距OG、OH，连OM，则OM⊥AB且OGPM四点共圆。 ∴∠POM＝∠PGM…①。同理，∠QOM＝∠QHM…② ∵△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE ∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，∴MF﹕FG＝MD﹕DH ∠F＝∠D ∴△MFG∽△MDH，∴∠MGF＝∠MHD…③

由①②③得：∠POM＝∠QOM ∴PM＝QM 证法2 （作△PMD′≌△QM D） 作C关于直线OM的对称点C＇连C＇M交⊙O于D＇，则AC弧＝BC＇弧，MD＇＝MD，∠PMD＇＝∠QMD ∠CPM＝0.5AF弧＋0.5BC＇C弧＝0.5AF弧＋0.5AC弧＋0.5CC＇弧＝0.5FCC＇弧＝∠FD＇M 从而PFD’M四点共圆。 ∴∠PD’M＝∠PFM＝∠D ∴在△PD’M与△QDM中 ∠PD’M＝∠D MD’＝MD ∠PMD’＝∠QMD ∴△PMD’≌△QMD ∴PM＝QM 证法3 （利用梅氏定理） 延长CF、ED相交于G点。

韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .

充分条件与必要条件·典型例题

充分条件与必要条件·典型例题 能力素养 例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x 1＋x2＝－5，则p是q的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析利用韦达定理转换． 解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分不为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5． 因此选A． 讲明：判定命题为假命题能够通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析逐个验证命题是否等价．

解对A．p：x＞1，q：x＜1，因此，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件； 对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； D p q q p p q p q D ??? 对．且，即，是的充要条件．选． 讲明：当a＝0时，ax＝0有许多个解． 例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析通过B、C作为桥梁联系A、D． 解∵A是B的充分条件，∴A B① ∵D是C成立的必要条件，∴C D② ? ∵是成立的充要条件，∴③ C B C B 由①③得A C④ 由②④得A D． ∴D是A成立的必要条件．选B． 讲明：要注意利用推出符号的传递性． 例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件

初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)

初中数学竞赛：韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。 思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。 【例3】 已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。 思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。 【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。

韦达定理推广的证明.doc

韦达定理推广的证明

证明： 当＝b^2- 4ac≥0时 ,方程 ax^2+bx+c=0(a≠ 0) 有两个实根 ,设为 x1,x2. 由求根公式 x ＝(- b±√Δ )/2a,不妨取 x1 ＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(- b+ √Δ)/2a, 则： x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+ √Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(- b+ √Δ)/2a] =[(-b)^2-]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a. 综上 ,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a. 烽火 TA000DA 2014-11-04 若 b^2-4ac=0则方程有两个相等的实数根 若 b^2-4ac<0则方程没有实数解韦达定理的推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用 的。一般的，对一个一元n 次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1,X2?,Xn 我们有 ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=( -1)^2*A(n-2)/A(n) ? ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，Π是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端 可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得 韦达定理。 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与 系数之间有这种关系，因此，人们把这个关 系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代

数基本定理，而代数基本定理却是在 1799 年才由高斯作出第一个实质性的论性。 (3)以 x1 ，x2 为根的一元二次方程 (二次项系数为 1) 是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法 ) 在分解二次三项式 ax^2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程 ax2+bx+c=0 的两个 根是 X1,x2 ，那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．另外这与射影定理是初中必须 射影定理图 掌握的 . 韦达定理推广的证明 设 x1 ，x2 ，??， xn 是一元 n 次方程∑AiX^i=0 的 n 个解。

2021年韦达定理经典例题

一元二次方程根与系数的关系 培优训练 欧阳光明（2021.03.07） 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的 m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求证：（1）方程 有两个不相等的实数根； （2）设方程 的两个实数根为 ，若 ，则 . 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程 的两个实数根，求△ABC 的周长．

例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。 练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值； 解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)- 3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求 的值． 2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两 实数根为α,β，若ｓ＝1 α ＋ 1 β ，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面 积。

高中数学椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每 椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论 圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题. 定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不 平行y 轴）的中点，则有：2 2AB OM b k k a ?=- 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有 1212 AB y y k x x -=-，22 1122 22 2222 11x y a b x y a b ?+=????+=?? 两式相减得：2222 1212 22 0x x y y a b --+=整理得：22 2 1222 212y y b x x a -=--，即2 121221212()()()()y y y y b x x x x a +-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以 0012 001222OM y x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ?=- 定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22 221x y a b -=弦AB

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每 （AB 不平行y 轴）的中点，则有2 2AB OM b k k a ?= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212 AB y y k x x -=-，22 1122 22 2222 11x y a b x y a b ?-=????-=?? 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：22 2 1222 212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a +-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012 001222OM y x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ?= 例1、已知椭圆22 221x y a b -=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中 点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、 1 2 B 、2 C 、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且1 2 OM k =-，根据定理有2212b a =，即 222 2112 a c e a -=-= ，解得e =，所以B 答案正确. 例2、过椭圆22 1164 x y + =内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程. 解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知1 4 AB OM k k ?=-，显 然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为1 1(2)2y x -=--，即 240x y +-=.

韦达定理 经典习题

韦达定理经典习题 一．选择题（共16小题） 1．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（） A．﹣2B．2C．±2D．4 2．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（） A．﹣4B．2C．4D．﹣3 3．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（） A．2014B．2015C．2016D．2017 4．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根 B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大 5．已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（） A．1B．3C．﹣5D．﹣9 6．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，2 7．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+=（） A．B．1C．D． 8．关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（） A．k＞﹣1B．k＜0C．﹣1＜k＜0D．﹣1≤k＜ 9.已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，那么+的值为（） A．B．C．﹣D．﹣ 10.已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（） A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0 11.设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（） A．2014B．2015C．2012D．2013 二．填空题（共30小题） 12．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为． 13．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是． 14．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=． 15．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=． 16.已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为． 17.已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为． 18.已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是．19．方程x2﹣3x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a2﹣4a﹣b的值为．

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第三讲韦达定理及其应用(含答案)

第三讲韦达定理及其应用 趣题引路】 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣：常利用业余时间钻研数学.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代生之父”历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提岀了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得岀一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）?消息传开，数学界为之震惊.同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达左理，你能利用韦达泄理解决下而的问题吗？已知：①0+2“一1=0,②夕一2沪一1=0日1 一c/HO.求（严a 的值。 解析由①知1 + 2丄一丄=0? a cr 即（丄尸+2丄一1 = 0,③a a 由②知（护）2一2沪一1=0,④ 由韦达泄理，得丄+ Z/=2丄，=一1 , a a ...严=［（* +町+ 乡「（2-1 严 62为一元二次方程2 -21-1 =0的两根。 点评本题的关键是构造一元二次方程X2-2A-1=0,利用韦达立理求解，难点是将①变形成③，易错点是忽视条件1 一ab2 #0,而把“，一夕看作方程/+加一1 =0的两根来求解. 知识延伸】 例1已知关于x的二次方程2x2+av-2z/+l= 0的两个实根的平方和为7丄，求“的值. 4 解析设方程的两实根为小，也，根据韦达泄理，有 一2“ +1 于是，Xj24-A22=（X14-X2）2-2.￥I%2

韦达定理(常见经典题型)

韦达定理(常见经典题型)

一元二次方程知识网络结构图 1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。 通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平 方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2 ()x m n +=的形式， 如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。 （3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： 一元二次 定义：等号两边都是整式，只 含有一个未知数（一 解法直接开平方法 因式分解法 配方法 公式 法 22 240404b ac b ac b ac ?-??-???-?? ＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际 问题?? ? 步骤 实际问题的答案

①将方程的右边化为 ； ②将方程的左边化成两个 的乘积； ③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3、韦达定理 一、 一元二次方程的基本概念及解法 1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的 值为 A ．－１ B ．0 C ．1 D ．2 2、 程时。 、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。 满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1 =+-++-x m x m m 3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ） A ．－1 B ．2 C ．1和2 D ．－1和2 二 一元二次方程根的判别式 4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根 B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根 C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根 D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实

一元二次方程韦达定理根与系数的关系测试答案

精心整理 韦达定理与根与系数的关系练习题 一、填空题 1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当时，方程有两个正数根； 当m 时，方程有一个正根，一个负根； 当m 时，方程有一个根为0。 2345、设6721x ?＝． 8910111213、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。 14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。若方程的两根互为倒数，则=m ；若方程两 根之和与两根积互为相反数，则=m 。 15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为0和－1，则=q p :。 16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为9 13，那么常数项应改为。

17、已知方程0242=-+m x x 的一个根α比另一个根β小4，则=α；=β；=m 。 18、已知关于x 的方程032=+-k x x 的两根立方和为0，则=k 19、已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为1x 、2x ，且4 31121-=+x x ，则=m 。 20、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则=m 。 21、一元二次方程01322=+-x x 的两根与0232=+-x x 的两根之间的关系是。 22 2324(2512、设34、5222 =x ，56、设：011632=--a a ，011632=--b b 且b a ≠，求b a -的值。 7、已知：βα、是关于x 的二次方程：04)4(2)2(2=-+-+-m x m x m 的两个不等实根。 (1)若m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若622=+βα时，求m 的值。 8、已知关于x 的二次方程012=-+mx x 的一个根是12-，求另一个根及m 的值． 9、已知方程01052=-+mx x 的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。

韦达定理经典例题

韦达定理经典例题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

一元二次方程根与系数的关系培优训练 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使2 3)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求 证：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，若，则. 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程的两个实数根，求△ABC 的周长． 例5．在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了 q ，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么 例6．已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程 x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。 练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；

解：∵α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2 -3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x 1、x 2是方程x 2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝＋，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根α、β，那 么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少 4．已知关于x 的方程x 2－(2a －1)x+4(a －1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形 的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。 5．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程 y 2+5my+7=0的两个实数根，且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2，求m 、n 的值。 6．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程 x 2+(α+1)x+β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。

一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广

一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广 1991年四川省高中数学联合竞赛决赛第四题是一道平面几何题.原题：如图1，设O e 是ABC ?的BC 边外的旁切圆，D 、E 、F 分别是O e 与BC 、CA 和AB 的切点，若OD 与EF 交于K ，求证：AK 平分BC. 贵州教育学院李小雪先生应用射影几何的观点研究了此题，给出了纯几何证法的证明1????文.湖南师范大学数学系沈文选教授在他的近作《平面几何证明方法全书》三次证明此题，方法是三角法、射影变换法、应用张角定理.由此我们可以看出此题是一道有背景的重要的几何题.我们拟给出解析证法，并把它推广到圆锥曲线中去. 在证明过程中，要用到以下引理????文2： （1）.若点00(,)P x y 为圆222 x y R +=外一点，过点P 引圆的两条切线方程为： 222222220000()()()x x y y R x y R x y R +-=+-+-； 切点弦的方程为：2 00x x y y R +=. （2）. 若点00(,)P x y 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>外一点，过点P 引椭圆的两条切线方程为： 22222 0000222222(1)(1)(1)x x y y x y x y a b a b a b +-=+-?+-； 切点弦的方程为： 00221x x y y a b +=. （3）. 若点00(,)P x y 为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>外一点，过点P 引双曲线的两条切线方程为： 22222 0000222222(1)(1)(1)x x y y x y x y a b a b a b --=--?--； 切点弦的方程为：00221x x y y a b -=. （4）. 若点00(,)P x y 为抛物线2 2(0)y px p =>外一点，过点P 引抛物线的两条切线方程为： [] 2 220000()(2)(2)y y p x x y px y px -+=-?-； 切点弦的方程为：00()y y p x x =+. 1.竞赛题的解析证法 证明：如图2，以旁切圆的圆心O 为原点，直线OD 为y 轴，过O 点垂直于OD 的直线为x 轴.建立直角坐标系，设旁切圆方程为2 2 2 x y R +=，则点D 的坐标为（0，R ），直线BC 的方程为y R =. 图1 O K F E D C B A

韦达定理含答案-

第三讲 充满活力的韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的． 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法． 【例题求解】 【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ． 思路点拨 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 思路点拨 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件． 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合； (2)根据根的定义降次； (3)构造对称式． 【例3】 已知关于x 的方程：04 )2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ． 思路点拨 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．

[极力推荐]运用韦达定理证明卡尔丹公式

运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨 范盛金 在数学史上，解三次代数方程是较有名的问题。十六世纪意大利学者卡尔丹（Cardano）提出了三次方程X3＋pX＋q=0的求根公式，在这个公式中，卡尔丹是第一个把负数写在二次根号内的数学家，并由此引进了虚数的概念，后来经过许多数学家的努力发展成了复数的理论。 下面运用复数域中的高次方程韦达定理证明卡尔丹公式，高中学生很容易掌握这种方法。 卡尔丹公式的证明：

这就是伟大的卡尔丹公式...没明白 还有啊ax3+bx2+cx+d=0 怎么能转化成x3+px+q=0 呢？？好像要除以一个y=什么什么+什么什么/3 ...天啊. 类别：杂| 添加到搜藏| 浏览(3273) | 评论 (8)

上一篇：我的《国家地理》下一篇：三次方程新解法——盛金公式解题...最近读者： 登录 后， 您就 出现 在这 里。 a_a111111下一个 24号 清灵 2010 魅丶依 然 371173145wbwyq菸庭新空x 网友评论： 1网友:芝 生 2007年10月07日星期日07:39 | 回复 注意：ω不要放在根号里面。 2网友:芝 生 2007年10月07日星期日07:53 | 回复 运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨范盛金卡尔丹公式的证明：一元三 次方程(1) X3＋pX＋q=0 (p、q∈R) 当P=0时，易推导出(1)的求根公式如 下：(2) X3＋q=0 → X3＋(3√q)3=0 → (X＋3√q)(X2－3√q＋3√q2)=0，解之， 得(3) X1=3√(－q)；X2=3√(－q)(－1＋√3i)/2；X3=3√(－q)(－1－√3i)/2，令 ω=(－1＋3√3i)/2；则ω2=(－1－3√3i)/2，故(2)可写成(4) X1=3√Y； X2=3√Yω；X3=3√Yω2，其中Y=－q。(3)就是p=0时(1)的求根公式。为 了研究方便起见，当p≠0时，根据(3)的情形，则可假设(1)的根具有形式 X1=3√Y1＋3√Y2；X2=3√Y1ω＋3√Y2ω2；X3=3√Y1ω2＋3√Y2ω。显然，(4) 的表达式把较复杂的的问题变成了较简单的问题来解决。现只要求出(4)中 Y1与Y2的p、q表达式，则(1)的公式即得到证明。根椐韦达定理，有(5) 0=－(X1＋X2＋X3)；p=X1X2＋X1X3＋X2X3；q=－X1(X2X3)，为了简化 运算过程，注意ω＋ω2=－1，ω3=1。由(4)、(5)有(6)p=－3(3√(Y1Y2))； q=－(Y1＋Y2) → Y1＋Y2=－q；Y1Y2=－(p/3)3，由(6)得方程Y2＋qY－ (p/3)3=0，解之，得Y1，2=－(q/2)±((q/2)2＋√(p/3)3)。综上情况，就是一 元三次方程X3＋pX＋q=0 3网友:芝 生 2007年10月07日星期日07:58 | 回复 注意：3√Y1中的3是根指数。 4网友:芝 生 2007年10月07日星期日08:03 | 回复 运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨范盛金卡尔丹公式的证明：一元三 次方程(1) X＾3＋pX＋q=0 (p、q∈R) 当P=0时，易推导出（1）的求根公 式如下：X＾3＋q=0，→ X＾3＋(q＾(1/3))＾3=0，→ (X＋q＾(1/3))(X＾2 －q＾(1/3)＋q＾(2/3))=0，解之，得(2) X1= (－q)＾(1/3)；X2= (－q)＾ (1/3)(－1＋3＾(1/2)*i)/2；X3=(－q)＾(1/3)(－1－3＾(1/2)*i)/2，令ω==(－1 ＋3＾(1/2)*i)/2；则ω＾2=(－1－3＾(1/2)*i)/2，故(2)可写成(3) X1=Y＾