韦达定理(常见经典题型).docx
一元二次方程知识网络结构图
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是 2（二次）的方程为一元二次方程
一元二次
解法（降次）直接开平方法因式分解法
方程
配方法
2＞方程有两个不相等的实数根
b4ac 0
公式法2
b＝方程有两个相等的实数根
4ac 0
2
＜方程无实数根
b4ac
步骤
应用一元二次方程解决实际问题
实际问题的答案
1．方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是
方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式( a、b、c、为常数，a ，这样的
)。
2.一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程ax 2bx c o a0的一般步骤是：
①化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为项和项，右边为
③配方，即方程两边都加上的平方；
项；
④化原方程为 ( x m) 2n 的形式，
如果 n 是非负数，即 n 0 ，就可以用法求出方程的解。
如果 n＜ 0，则原方程。
22
（ 3）公式法 : 方程ax bx c 0( a 0) ，当 b4ac _______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
①将方程的右边化为；
②将方程的左边化成两个的乘积；
③令每个因式都等于，得到两个方程；④解这两个方程，它
们的解就是原方程的解。
3、韦达定理
一、一元二次方程的基本概念及解法
1、已知关于 x2bx a 0有一个根是－a(a ≠0) a b的值
的方程 x ＋＋＝，则－为
A．－１B．0C．1D．2
2、
当方程 ( m 3)x m 1(m 3)x 5 0满足下列条件时，m的取值范围。
1、当方程为一元一次方程时；
2、当方程为一元二次方程时。
3、一元二次方程
A．－ 1x（x－2）=2－x 的根是（
B．2C．1 和 2
）
D．－ 1和2
二一元二次方程根的判别式
、关于
x 的方程 x22kx k 1 0 的根的情况描述正确的是()．
4
A．k 为任何实数．方程都没有实数根
B，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根
C．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根
D．根据 k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
5、已知关于 x 的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l＝0 有两个不相等的实数
根，则A、a＜2a 的取值范围是（）
B、a＞2
C、a＜2 且a≠l
D、a＜﹣ 2
6、已知关于的方程（1）且关于的方程（2）
有两个不相等的实数根，没有实数根，问取什么整数时，
方程（ 1）有整数解
三一元二次方程根与系数的关系
一）韦达定理
7、不解方程，判别方程两根的符号。
8、关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是 x1和 x2。（1）求 k 的取值范围；
（2）如果 x1+x2－x1x2＜－ 1 且 k 为整数，求 k 的值。
二）、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
9、已知方程的一个根为2，求另一个根及m 的值。
10 已知方程x22(m 2) x m240 有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求 m 的值。
三）、运用判别式及根与系数的关系解题。
11 已知x1、x2是关于x 的一元二次方程 4 x24(m1) x m20 的两个非零实数根，问x1和 x2能否同号若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，
四）、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
12 已知、是方程的两个实数根，求2 2 的值。
13、已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
作业
一、填空题：
1、如果关于
的方程
的两根之差为
2，那么
。
2、已知关于 x 的一元二次方程 (a 2
1) x 2 (a 1)x
1 0 两根互为倒数，则 a_________ 。
3 、 已 知 关 于 x 的 方 程 x
2
3mx 2( m 1)
0 的 两 根 为 x 1 ， x 2 且 1
1 3
， 则
x 1 x 2
4
m=__________ 。
4、已知
是方程 2x 2
7 x 4
0 的两个根，那么： x 21 x 22
______________；
5 、已 知关 于 x 的 一元二 次 方 程
的两 根为 x 1 ， x 2 ， 且 x 1 + x 2 =-2 ，则
( x 1 x 2 ) x 1 x 2 ____________；
6、如果关于 的一元二次方程
的一个根是
，那么另一个根是 _____，
的值为 __________。
7、已知 是
的一根，则另一根为，
的值为 ___________。
8、一个一元二次方程的两个根是 和
，那么这个一元二次方程为 _________。
二、计算题： 1、已知
是方程
的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。
2、已知
是方程 3x 2
3x 4 0 的两个根，利用根与系数的关系，求
的值。
3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求 x15 ? x22x12 ? x25的值。
4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
5、已知关于x 的方程mx24x60的两根满足关系式，求m 的值及方程的两个根。
6、已知方程x2mx 40 和 x2(m 2)x 160 有一个相同的根，求的值及这个相同的根。
三、能力提升题：
1、实数在什么范围取值时，方程kx 22kx k 10 有正的实数根
2、已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）若这个方程的两个实数根、满足2x1x2m 1，求的值。
3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。
4 、是否存在实数，使关于的方程，如果存在，试求出所有满足条件的5、已知关于的一元二次方程9x2( 4k 7) x 6k 20 的两个实根
的值，如果不存在，请说明理由。
（ m0 ）的两实数根为
，满足
，若
，求的值。
6、实数、分别满足方程和1999n n20 ，求代数式
的值。