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韦达定理练习题

1、如果关于的方程的两根之差为2，那么

。

2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。

3、已知关于的方程的两根为，且

，则。

4、已知是方程的两个根，那么：

；

；。

5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且

，则；。

6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。

7、已知是的一根，则另一根为，的值为。

8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。

二、求值题：

1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求

的值。

2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求

的值。

3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求

的值。

4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。

6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。

7、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？

8、已知关于的一元二次方程

（1）求证：无论

取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。

9、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求

的值。

10、是否存在实数，使关于的方程的两个实根

，满足2

321 x x ，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。

11、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。

12、实数、分别满足方程和，求代数式

的值。

初三上学期一元二次方程-韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

韦达定理（根与系数的关系) 韦达定理:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明:定理成立的条件0?≥ 练习题一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ,2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = ． 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x ＋2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x ＝ ,1x 2x ＝． 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m ＝ ;如果两根互为倒数，那么n ＝ . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-４,那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程(二次项系数为1）是 . 7、以13+,13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . ９、以23+和23-为根的一元二次方程是 . １0、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为 . １1、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2212x x += ． 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ,m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k ＝ ,若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .

韦达定理在初中数学竞赛应用

韦达定理的应用例1、已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b 则 b a a a b b +的值为（）（2004年全国初中数学竞赛试题第1题）（A ）23 （B ）-23 （C ）-2 （D ）-13 例2、实数t s .分别满足1,01999,01991922≠=++=++st t t s s ，求 t s st 14++的值。（1999年全国初中数学竞赛试题）例3、若1≠ab ，且有0520019,092001522=++=++b b a a ，则b a 的值是（）（2001年全国初中数学联合竞赛试题）（A ） 59 （B ）95 （C ）52001- （D ）92001 例4、已知0325,052322=-+=--n n m m ，其中n m .为实数，求n m 1- 的值。（2000年江苏省初中数学竞赛试题）

例5、设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012 ≠-ab 。求200322)12(a a b ab +-+的值。（2003年全国初中数学联合竞赛初赛题）练习： 1、已知实数b a ,满足027,02722=+-=+-b b a a ，求 b a a b +的值。 2、已知实数b a ,满足015,01522=--=--b b a a ，求 b a a b +的值。 3、已知实数b a ,满足025,02522=++=++b b a a ，求 a b b a +。 4、已知βα,是方程022)2(322=--++m x m x 的两根且 2=βα，求m 的值。 5、已知21,x x 是方程06)53(422=---m x m x 的两根，且 2321=x x ，求m 的值。 6、关于x 的方程)(09)(2b a x b a x <=+--的两实根为βα,，求αββα+的值。

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)专题训练(有答案)--

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别已知x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根考点：根与系数的关系．专题：应用题．分析：利用根与系数的关系，分别求得x1+x2，x1/x2的值，整体代入所求的代数式即可．解：∵x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根 ∴x1+x2=-b/a=12，x1×x2=c/a=-5/2 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2=-b/a ，x1×x2=c/a ．（1）计算对称式的值例一若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．（2）定性判断字母系数的取值范围

例二一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。例三已知关于x 的方程221(1)104 x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．例四已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2 x x x x --=-成立若存在，求出k 的值；若

一元二次方程之韦达定理

一对一个性化辅导教师授课学案学生姓名年级初三科目数学授课老师相老师总课时数第几次课 3 授课时间审核人本次课课题一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练教学目标韦达定理授课内容教学内容对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？

分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .

初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)

初中数学竞赛：韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。【例题求解】【例1】已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为。思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。【例3】已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。【例4】设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。

初中数学竞赛辅导-韦达定理及其应用

学科：奥数年级：初三不分版本期数：346 本周教学内容：韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，则，。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【要点讲解】 1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b 为实数，且，，求的值。思路注意a，b 为方程的二实根；（隐含）。解（1）当a=b时，；（2 ）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得，ab=1. 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。

★★★例2 若，且，试求代数式的值。思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为，由根的定义知m ，n 为方程的二不等实根，再由韦达定理，得， ∴ 2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3 设一元二次方程的二实根为和。（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。解（1）由韦达定理知，。，。所以，所求方程为。（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论（p,q ）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。于是，得以下七个方程，，，，， 01x 2x 2=++，01x 2=-，其中01x 2=+无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。

初中数学代数复习之韦达定理

代数复习三-----------一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一）、一元二次方程的根的判断式? 一元二次方程2 0 (0)a x b x c a ++=≠，用配方法将其变形为： (1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当240b ac -=时，右端是零．(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ?=- 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 22310x x -+= (2) 24912y y += (3) 25(3)60x x +-= 解：(1) 2(3)42110?=--??=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为：241290y y -+= 2(12)4490?=- -??=，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为：256150x x -+= 2(6)45152640?=--??=-<，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．

【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ?=--??=- (1) 1 41203k k ->?<； (2) 141203k k -=?= ； (3)31 0124≤?≥-k k ； (4) 31 0124>?<-k k ．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得： 22(2)10x y x y y --+-+= 由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此： 222[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=，代入原方程得：22101x x x ++=?=-．综上知：1,0x y =-= 二）、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： x x == 所以：12b x x a += +=-， 22122 2()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?=== 韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：以通常把此定理称为”韦达定理”．【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第三讲韦达定理及其应用(含答案)

第三讲韦达定理及其应用趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣：常利用业余时间钻研数学.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代生之父”历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提岀了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得岀一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）?消息传开，数学界为之震惊.同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达左理，你能利用韦达泄理解决下而的问题吗？已知：①0+2“一1=0,②夕一2沪一1=0日1 一c/HO.求（严a 的值。解析由①知1 + 2丄一丄=0? a cr 即（丄尸+2丄一1 = 0,③a a 由②知（护）2一2沪一1=0,④ 由韦达泄理，得丄+ Z/=2丄，=一1 , a a ...严=［（* +町+ 乡「（2-1 严 62为一元二次方程2 -21-1 =0的两根。点评本题的关键是构造一元二次方程X2-2A-1=0,利用韦达立理求解，难点是将①变形成③，易错点是忽视条件1 一ab2 #0,而把“，一夕看作方程/+加一1 =0的两根来求解. 知识延伸】例1已知关于x的二次方程2x2+av-2z/+l= 0的两个实根的平方和为7丄，求“的值. 4 解析设方程的两实根为小，也，根据韦达泄理，有一2“ +1 于是，Xj24-A22=（X14-X2）2-2.￥I%2

一元二次方程韦达定理根与系数的关系测试答案

精心整理韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题 1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。 2345、设6721x ?＝． 8910111213、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。 14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。若方程的两根互为倒数，则=m ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则=m 。 15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为0和－1，则=q p :。 16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为9 13，那么常数项应改为。

17、已知方程0242=-+m x x 的一个根α比另一个根β小4，则=α；=β；=m 。 18、已知关于x 的方程032=+-k x x 的两根立方和为0，则=k 19、已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为1x 、2x ，且4 31121-=+x x ，则=m 。 20、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则=m 。 21、一元二次方程01322=+-x x 的两根与0232=+-x x 的两根之间的关系是。 22 2324(2512、设34、5222 =x ，56、设：011632=--a a ，011632=--b b 且b a ≠，求b a -的值。 7、已知：βα、是关于x 的二次方程：04)4(2)2(2=-+-+-m x m x m 的两个不等实根。 (1)若m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若622=+βα时，求m 的值。 8、已知关于x 的二次方程012=-+mx x 的一个根是12-，求另一个根及m 的值． 9、已知方程01052=-+mx x 的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。

(人教版初中数学)韦达定理

判别式与韦达定理〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗 1.掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. 内容分析 1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△＝0时,方程有两个相等的实数根, 当△＜0时,方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,那么a b x x -=+21,a c x x =21 (2)如果方程x 2 +px+q=0的两个根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-P, x 1x 2=q (3)以x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时,如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2,那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗 1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么梗的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中考试题中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如：设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的能力. 考查题型 1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定 2．设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（）

韦达定理含答案-

第三讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例1】已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为．思路点拨所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 思路点拨可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合； (2)根据根的定义降次； (3)构造对称式．【例3】已知关于x 的方程：04 )2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．思路点拨对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．

韦达定理(常见经典题型)

一元二次方程知识网络结构图 1．方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为项和项，右边为项； ③配方，即方程两边都加上的平方； ④化原方程为2 ()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用法求出方程的解。如果n ＜0，则原方程。（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：一元二次定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一解法直接开平方法因式分解法配方法公式法 22 240404b ac b ac b ac ?-??-???-?? ＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际问题?? ? 步骤实际问题的答案

①将方程的右边化为； ②将方程的左边化成两个的乘积； ③令每个因式都等于，得到两个方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3、韦达定理一、一元二次方程的基本概念及解法 1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的值为 A ．－１ B ．0 C ．1 D ．2 2、程时。、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1 =+-++-x m x m m 3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（） A ．－1 B ．2 C ．1和2 D ．－1和2 二一元二次方程根的判别式 4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根 B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根 C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根 D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实

一元二次方程-韦达定理的应用及答案

一元二次方程韦达定理的应用知识点：一元二次方程根的判别式：当△>0 时________方程_____________，当△=0 时_________方程有_______________ ，当△<0 时_________方程___________ . 韦达定理的应用： 1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840x mx m m --+-=.求证：当 m>2 时,原方程永远有两个实数根. 例 2.已知关于 x 的方程22(1)10kx x x k -++-=有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出 k 的值;若不存在，说明理由. 例 3.已知关于 x 的方程222(3)410x k x k k --+--= (1)若这个方程有实数根，求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1，求 k 的值; 例 4.已知关于 x 的一元二次方程21(2)302 x m x m +-+-= (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 (2)若这个方程的两个实数根12,x x 满足1221x x m +=+，求 m 的值。例 5.当 m 为何值时，方程2 8(1)70x m x m --+-=的两根： (1) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数，一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2. 例 6.已知 a,b,c,是△ ABC 的三边长，且关于 x 的方程 22(1)2(1)0b x ax c x --+-=有两个相等的实

韦达定理教案

1 教案：韦达定理一、教学目标 1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力； 2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养逻辑思维及创新思维能力。二、教学重点、难点 1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导． 2．教学难点：韦达定理的灵活应用．三、教学过程（一）定理的发现及论证的值的两根，如何求是方程，提出问题：已知3320132βαβα+=--x x 1.你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）—4和7 问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？观察、思考、探索：2x 2 -5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？问题2；对于一元二次方程的一般式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）是否也具备这个特征？结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，a c x x a b x x =-=+2121,那么结论2．如果方程x 2 +px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．

2 结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．（二）定理的应用例1、关于x 的方程x 2 -2x +m=0 的一根为2 ，求另一根和m 的值。 3222 32.,2310,. 11(1)(2)(1)(1)(3)(4)|| 5x x αβαβαβαβαβαβ--=++++-+例已知是方程的两根不解方程，求下列各式的值（）例2、已知06,221=+-k x x x x x 的方程是关于的两个实数根且115)(212221=+-x x x x ，求k 值。例3已知实数b a ,分别满足的值求且b a b a b b a a 11,22,2222+≠=+=+ （三）总结一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，为进一步学习使用打下坚实基础．韦达定理的内容 ①如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-a b ， x 1·x 2= a c ②如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．

韦达定理(含答案)-

第三讲充满活力の韦达定理一元二次方程の根与系数の关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出の数学家韦达发现の．韦达定理简单の形式中包含了丰富の数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数の值；运用韦达定理，求代数式の值；利用韦达定理并结合根の判别式，讨论根の符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题の基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩の数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例1】已知α、β是方程012=--x x の两个实数根，则代数式)2(22-+βααの值为．思路点拨所求代数式为α、βの非对称式，通过根の定义、一元二次方程の变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +の值为( ) A ． 22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22 123 或2 思路点拨可将两个等式相减，得到a 、b の关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x の两实根，这样就为根与系数关系の应用创造了条件．注：应用韦达定理の代数式の值，一般是关于1x 、2x の对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式の求值常用到以下技巧： (1)恰当组合； (2)根据根の定义降次； (3)构造对称式．【例3】已知关于x の方程：04 )2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程の两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m の值及相应の1x 、2x ．思路点拨对于(2)，先判定1x 、2x の符号特征，并从分类讨论入手．

韦达定理与习题

韦达定理与习题Revised on November 25, 2020

一. 本周教学内容：韦达定理的应用二. 重点、难点：灵活应用韦达定理与推论(韦达定理的逆定理) 三.知识回顾在初中数学的学习中，韦达定理及其逆定理的应用是很广泛的，主要有如下的应用： 1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。 2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。 3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。 4. 一元二次方程的验根。 5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。 6. 与判别式的综合应用。【典型例题】例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。解：设另一个根为x则相加，得x 例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x，x，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和解：∵ 又

∴代入得， ∴新方程为例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根解：∵二次实数方程实根共轭。 ∴若是，则另一根为 ∴，。 ∴以为根的一元二次方程即为. 例4：解方程组解：设 ∴. ∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6. ∴解方程组

∴可解得例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b。则2。又a，b为方程两根。 ∴ab=4m（m-2） ∴S 但a，b为实数且 ∴ ∴ ∴m=5或6 当m=6时， ∴m=5 ∴S. 例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根 ①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数

一元二次方程【韦达定理、根与系数的关系测试+答案】

韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题 1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。 2、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ． 3、如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么=?21x x ． 4、已知1x ，2x 是方程0362=++x x 的两实数根，则2 112x x x x +的值为______． 5、设1x 、2x 是方程03422=-+x x 的两个根，则=++)1)(1(21x x ． 6、若方程03422=--x x 的两根为βα、，则=+-22ββ2a a ． 7、已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝3 1，则21x x ?＝． 8、已知关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为1x 和2x ，且221-=+x x ，则=m ，()=+?2121x x x x 。 9、若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则=k ． 10、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根差为2，那么=k 。 11、已知方程0422=-+mx x 两根的绝对值相等，则=m 。 12、已知方程022=+-mx x 的两根互为相反数，则=m 。 13、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。 14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。若方程的两根互为倒数，则=m ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则=m 。 15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为0和－1，则=q p :。 16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为9 13，那么常数项应改为。 17、已知方程0242=-+m x x 的一个根α比另一个根β小4，则=α；=β；=m 。

初三上学期一元二次方程韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案之欧阳歌谷创作

韦达定理（根与系数的关系）欧阳歌谷（2021.02.01）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么说明：定理成立的条件0?≥ 练习题一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2 x ，那么 1x +2x =， 1x 2x =. 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x =，1x 2x =. 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x =，1x 2x =. 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m =；如果两根互为倒数，那么n =. 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m =，n =. 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 7、以13+，13-为根的一元二次方程是. 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为. 9、以23+和23-为根的一元二次方程是. 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为. 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x +=.

12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是. 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k =，若两根互为倒数，则k =. 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么 n mx x ++2在实数范围内可分解为. 二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值: （1）2212x x +=；（2） 2 111x x +=；（3）=-221)(x x =；（4）)1)(1(21++x x =. 三、选择题： 1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（）（A ）0 （B ）正数（C ）－8 （D ）－4 2、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （） (A )－7 (B)3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2 111x x +=（） (A )－3 1 (B)3 1(C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x 5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是