辽宁省盘锦市高级中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理

2017-2018学年度高二期末考试试题（理科数学）

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.已知集合，

，则

（ ） A. (1,1]- B. C.

D.

2.抛物线的准线方程为（ ）

A. 116y =-

B.116

y = C. 1y = D. 1y =- 3．设p 、q 是两个命题，若()p q ?∨是真命题，那么（ ） A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题

C ．p 是假命题且q 是真命题

D ．p 是假命题且q 是假命题 4．已知(3),1

()log ,1

a a x a x f x x x --

≥?，((1))3f f =，则a =（ ）

A.2

B.-2

C.3-

D.3 5．函数()2cos()3

f x x π

=-的单调递增区间是（ ）

A 、4223

3k k π

ππ

π??+

+

???

?，()k Z ∈ B 、22233k k ππππ??-+???

?，()k Z ∈

C 、2223

3k k ππππ??-+???

?

，(

)k Z ∈ D 、242233k k ππππ??

-

+???

?

，()k Z ∈

6.函数12018()()cos 212018

x

x

f x x -=+的图象大致为（ ） A. B.

C. D.

7.将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ） A. 240 B. 480 C. 720 D. 960

8．高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占

6

1

，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（ ） （A ）

61 （B ）81 （C ）101 （D ）12

1 9．已知命题：①函数2(11)x

y x =-≤≤的值域是1

[,2]2

； ②为了得到函数sin(2)3

y x π

=-的图象，只需把函数sin 2y x =图象上的所有点向右平移

3

π个单位长度；

③当0n =或1n =时，幂函数n

y x =的图象都是一条直线；

④已知函数2|log |,02()1

2,22

x x f x x x <≤??

=?-+>??，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是(2,4).

其中正确的命题个数为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 10．函数sin sin()3

y x x π

=+的图象沿轴向右平移

个单位后，得到为偶函数，

则的最小值为（ ） A. 12π B. 6πC. 3πD. 2

π

11.已知锐角ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2

b a a

c =+，则

()

2sin sin A B A -的取值范围是（ ）

A. 20,

2? ?

?

B. 132? ??

C. 12,22?? ? ???

D. 3? ?? 12.设定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足11

'()()ln ,()xf x f x x x f e e

-==，

则()f x （ ）

A. 有极大值，无极小值

B. 有极小值，无极大值

C. 既有极大值，也有极小值

D.既无极大值，也无极小值

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在n

x x ??? ?

?

-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则n 等于_________.

14．已知双曲线22

22:1(0,0)x y E a b a b

-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB,CD 的中点

为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率为__________．

15.已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，8b =，且223

cosB 5

ac a b bc =-+

，O 为ABC ?内一点，且满足0

0,30OA OB OC BAO ++=∠=u u u v u u u v u r u u v ，则OA =u u u v __________．

16.已知函数()1,()ln x

f x e ax

g x x ax a =--=-+，若存在0(1,2)x ∈，使得

00()()0f x g x <，则实数a 的取值范围__________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分） 已知函数11)(-++=mx x x f .

（1）若1=m ，求()f x 的最小值，并指出此时x 的取值范围； （2）若()2f x x ≥，求m 的取值范围. 18.（本题满分12分）

在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ,[0,

]2π

ρθθ=∈，曲线2C 的参数方程为x t

y a t

=??

=-?（t 为参数）. （1） 求曲线1C 的直角坐标方程；曲线2C 的极坐标方程。 （2） 当曲线1C 与曲线2C 有两个公共点时，求实数a 的取值范围.

19. （本小题满分12分）

已知向量1

(cos ,1),(3sin ,)2

a x

b x =-=-r r ,函数()()2f x a b a =+-r r r g

（1）求函数

的最小正周期及单调递增区间；

（2）在中，三内角，，的对边分别为，已知函数的图象经过点，若

成等差数列，且9AB AC =u u u r u u u r

g ，求的值.

20.(本小题满分l2分) 已知函数

()()

()

2log 2x f x k k R =+∈的图象过点

()

0,1P .

(1)求k 的值并求函数()

f x 的值域；

(2)若关于x 的方程

()f x x m

=+有实根，求实数m 的取值范围；

(3)若函数

()()

[]

122

2

,0,4x f x h x a x ??+ ???

=-?∈，则是否存在实数a ，使得函数

()

h x 的最大值为

0,若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10

元的基础上，每超过

（不足

，按

计算）需再收5元.

该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：

公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：

以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.

（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；

②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？

22.（本小题满分12分）

已知函数，其中.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；

（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.

高二期末考试数学试题（理科）答案

一、选择题

1~5 ：CADCC 6~10 ：ABBCB 11~12：CD 二、 填空题

13 .8 14.2 15. 64

15 16.

21(ln 2,)2e - 17（1）2)1()1(11)(=--+≥-++=x x x x x f ， 当且仅当0)1)(1(≤-+x x 时取等号，

故)(x f 的最小值为2，此时x 的取值范围是]1,1[-. （2）0≤x 时，x x f 2)(≥显然成立，所以此时R m ∈；

0>x 时，由x mx x x f 211)(≥-++=，得11-≥-x mx .

由1-=mx y 及1-=x y 的图象可得1≥m 且

11

≤m

， 解得1≥m 或1-≤m .综上所述，m 的取值范围是(,1][1)-∞-?+∞

18（1）由2cos ρθ=得 2

2cos ρρθ=，即：2

2

2

2

2,(1)1x y x x y +=-+=，

[0,]2π

θ∈Q ∴曲线1C 为以（1,0）为圆心，1为半径的圆的上半部分，从而直角坐标方程为：

22(1)1(0)x y y -+=≥.-

曲线2C 的极坐标方程为sin cos 0a ρθρθ+-= (2) 直线l 的普通方程为：0x y a +-=，

当直线l 与半圆2

2

(1)1(0)x y y -+=≥相切时

112

a -=，

解得12a =-（舍去）或12a =+，

当直线l 过点（2,0）时，2a =，故实数a 的取值范围为[2,12)+.

19．（1）最小正周期：， 由

得：

所以的单调递增区间为：

;

（2）由可得：

所以

,

又因为成等差数列，所以

，

而

， .

20 （1）因为函数()()2log 2x f x k

=+()k R ∈的图象过点()0,1P ，

所以()01f =，即()2log 11k +=，所以1k =，

所以()()

2log 21x f x =+，因为20x >，所以211x

+>，所以()()

2log 210x f x =+>， 所以函数()f x 的值域为()0,+∞.

（2）因为关于x 的方程()f x x m =+有实根，即方程()

2log 21x m x =+-有实根，即函数

()

2log 21x y x =+-与函数y m =有交点，

令()()

2g log 21x x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y m =有交点，

()(

)(

)

22222211g log 21log 21log 2log log 122

x x

x

x

x x

x x +?

?

=+-=+-==+ ???

因为()g x 在R 上是减函数 因为1112x +

>，所以()()21g log 10,2x

x ?

?

=+∈+∞ ???

， 所以实数m 的取值范围是()0,+∞. （3）由题意知()12

2

212

2221x x x

x

h x a a +=+-=-+，[]0,4x ∈，

令2

2x t =，则()[]

221,1,4t t at t φ=-+∈，

当52a ≤时，()()max 41780t a φφ==-=，所以178a =， 当5

2

a >时，()()max 1220t a φφ==-=，所以1a =（舍去），

综上，存在17

8

a =使得函数()h x 的最大值为0.

21.（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率，

故可估计概率为，

显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数服从二项分布，

即，故所求概率为

（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：

包裹重量（单位：） 1 2 3 4 5

快递费（单位：元）10 15 20 25 30

包裹件数43 30 15 8 4

故样本中每件快递收取的费用的平均值为，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.

②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），

若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：

包裹件数范围0～100

101～

200 201～

300

301～

400

401～500

包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450

实际揽件数50 150 250 350 450

频率0.1 0.1 0.5 0.2 0.1

50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260

故公司平均每日利润的期望值为（元）；

若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：

包裹件数范围0～100 101～200 201～300 301～400 401～500 包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450

实际揽件数 50 150 250 300 300 频率 0.1

0.1

0.5

0.2

0.1

50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235

故公司平均每日利润的期望值为（元）

因，故公司不应将前台工作人员裁员1人. 22．（1）当时，，故

，

且，故 所以函数在

处的切线方程为

（2）由，

可得

因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个不等正根，

即

的两个不等正根为

所以，即

4a ∴>

所以

令，故，在上单调递增，

所以

故

得取值范围是

（3）据题意，对任意的实数恒成立， 即对任意的实数

恒成立.

令，则

①若，当时，

，故

符合题意；

②若，

（i ）若

，即，则，在上单调赠

所以当时，，故符合题意；

（ii）若，即，令，得（舍去），

，当时，，在上单调减；

当时，，在上单调递增，

所以存在，使得，与题意矛盾，

所以不符题意.

③若，令，得

当时，，在上单调增；当时，，在上单调减.

首先证明：

要证：，即要证：，只要证：

因为，所以，故

所以

其次证明，当时，对任意的都成立

令，则，故在上单调递增，所以，则

所以当时，对任意的都成立

所以当时，

即，与题意矛盾，故不符题意，

综上所述，实数的取值范围是.

也可以用不同方法处理。