易错点17 双曲线答案-备战2023年高考数学易错题
易错点17 双曲线易错点1：焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：
易错点2：双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径； 易错点3：直线与双曲线的位置关系
（1）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；
（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在
下进行）.
题组一：定义与标准方程
1．（2015福建理）若双曲线22
:
1916
x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3 【答案】B
【解析】
由双曲线定义得，即，解得，故选B ． 2．（2019年新课标1卷）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，
B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则
C 的方程为( ) A ．2
212
x y +=
B ．22
132x y +=
C ．22
143x y +=
D ．22
154
x y +=
【答案】B
【解答】∵22||2||AF F B =，∴23AB BF =， 又1||||AB BF =，∴|BF 1|＝3|BF 2|， 又|BF 1|+|BF 2|＝2a ，∴|BF 2|＝2
a ， ∴|AF 2|＝a ，|BF 1|＝
32
a ， 在Rt △AF 2O 中，cos ∠AF 2O ＝
1
a
， 1226PF PF a -==236PF -=29PF =
在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠BF 2F 1＝
22
3422222
a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⨯⨯
， 根据cos∠AF 2O +cos∠BF 2F 1＝0，可得2
14202a a a
-+=，解得a 2＝3，
∠a =
b 2＝a 2﹣
c 2＝3﹣1＝2．
所以椭圆C 的方程为22
132
x y +=故选：B ．
3．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
的一条渐近线方程为
2y x =，且与椭圆221123
x y +
=有公共焦点，则C 的方程为 A ．
221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143
x y -= 【答案】B
【解析】由题意可得：
b a =3
c =，又222a b c +=，解得2
4a =，25b =， 则C 的方程为
2
145
x y 2-=，故选B ． 4.（2016年新课标1卷）已知方程132
2
22=--+n
m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ） A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3) 【答案】A
【解析】由题意知c=2,()()2224=3,1
m n m n m ++-=解得,
因为方程132
2
22=--+n
m y n m x 表示双曲线， 所以()()()()2230,130m n m n n n +->+->可得 解得-1 题组二：焦点三角形 5．（2020·新课标∠文）设12,F F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ） A ． 72 B ．3 C ． 52 D ．2 【答案】B 【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -， 则1,2a c ==，∵121 ||1||2 OP F F == ，∴点P 在以12F F 为直径的圆上， 即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=， 即2 2 12||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==， ∴2 124||||PF PF =-=22 12||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ， 解得12||||6PF PF =，∴12F F P S = △121 ||||32 PF PF =，故选B ． 6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦 点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a （ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】A 【解析】解法一： 5c a =，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121 ||42 PF F PF F S P = ⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()2 2 212||2PF PF c ∴+=，() 2 2121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即 22540a a -+=，解得1a =，故选A ． 解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2 tan 2 2 1θb S F PF =．∴︒ 45tan 2 b =4，则2=b ， 又∵5== a c e ，∴1=a ． 解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+a c e c n m ，求的1=a ． 7.（2015全国1卷）已知00(,)M x y 是双曲线2 2:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ） A.⎛ ⎝⎭ B.⎛ ⎝⎭ C.⎛ ⎝⎭ D.⎛ ⎝⎭ 【答案】A 【解析】法1：根据题意12,F F 的坐标分别为( )) ,， 所以()( ) 1002003,,3,,MF x y MF x y =---=-- 所以( )() 222120000000 3,,331 0MF MF x y x y x y y ⋅=-⋅-=-+=-< 所以033 y - <<.故选A. 秒杀法2：0 12==90F MF θ∠当 当由等面积得：33 y ⇒y 212tan 00212===F F b S θ 因为120MF MF <，所以 12F MF ∠为钝角，根据变化规律，可得3 3 33-0< 8．(2016全国II 理)已知1F ，2F 是双曲线E ：22 221x y a b -=的左、右焦点，点M 在E 上，1 MF 与x 轴垂直，211 sin 3 MF F ∠=，则E 的离心率为（ ） A B ．3 2 C D ．2 【答案】A 【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2b y a =±， 因为211 sin 3MF F ∠=，所以2 222121 12||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac - ∠= ==== 12222c a e a c e -=-=，所以2 10e - -=，所以e =A ． 题组三：渐进线 9．（2019全国3卷）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为22 :142 x y C - =F P C O 坐标原点，若，则的面积为A B C． D． 【答案】A 【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨设点在第一象限，可得，，所以的面积为： ,故选A． 10． (2018全国2卷) 双曲线 22 22 1(0,0) -=>> x y a b a b A ．= y B ．= y C． 2 =± y x D．= y x 【答案】A 【解析】解法一由题意知，== c e a ，所以= c，所以== b，所以= b a =±= b y x a ，故选A ．解法二由=== c e a ，得= b a ，所以该双曲线的渐近线方程为 =±= b y x a ．故选A． 11．（2017天津理）已知双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的左焦点为F，．若经过F和(0,4) P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 A． 22 1 44 x y -=B． 22 1 88 x y -=C． 22 1 48 x y -=D． 22 1 84 x y -= 【答案】B 【解析】设(,0) F c -，双曲线的渐近线方程为 b y x a =±，由 44 PF k c c - == - ，由题意有 4b c a =，又 c a =222 c a b =+，得b=，a=，故选B． 12．（2015新课标1文）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲|||| PO PF =PFO ∆() 22 :1 42 x y C-=F 2 y x =± P tan 2 POF ∠=P PFO △ 1 24 = )3 ,4(x y 2 1 ± = 线的标准方程为 ． 【答案】2 214x y -= 【解析】∵双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点 ，∴22 44λ-=，∴1λ=，故双曲线的方程为2214 x y -=． 题组四：离心率 13．(2021年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且 121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为 ( ) A ． 2 B ． 2 C D 【答案】A 【解析】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以 2PF a =，13PF a =； 因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒， 整理可得2 2 47c a =，所以22 274a c e == ，即2 e =． 故选：A 14．(2021全国乙卷理科)设B 是椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意 一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是( ) A ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．1,12⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭ C ．0,2⎛ ⎝⎦ D ．10,2 ⎛⎤ ⎥⎝ ⎦ 【答案】C 【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200 221x y a b +=，222a b c =+，所以 () ()2 2 23422 22 2220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 因为0b y b -≤≤，当3 2b b c -≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合 x y 21 ±=)3,4( 题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202 e <≤ ； 当32b b c ->-，即22 b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得， () 2 2 20c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ． 15．（2019全国1卷）已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 ． 【答案】2 【解析】如图，1F A AB =，120F B F B =，∴OA ⊥F1B ， 则F 1B ：()a y x c b = +①，渐近线OB 为b y x a =② 联立①②，解得B 22222,a c abc b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭ ， 则2 2 22 12222a c abc F B c b a b a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ --⎝⎭⎝⎭， 2 2 22 22222a c abc F B c b a b a ⎛⎫⎛⎫ =-+ ⎪ ⎪--⎝ ⎭⎝⎭， 又222 1212F B F B F F +=， 所以2 2 2 2 222 22222222 4a c abc a c abc c c c b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ⎝⎭⎝⎭ 整理得：2222222 3,3,4b a a a a c 所以c 即=-==， 故C 的离心率为2c e a = = 16．（2019全国2卷）设为双曲线的右焦点，为坐标原点， 以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为( ). A ． B ． C ．2 D ． 【答案】A F 22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>O OF 222x y a +=P Q ||||PQ OF =C 【解析】法1：由题意，把代入，得， 再由，得，即， 所以，解得.故选A ． 法2：如图所示，由可知为以 为直径圆的另一条直径， 所以，代入得， 所以，解得.故选A ． 法3：由可知为以为直径圆的另一条直径，则 ，.故选A ． 题组五：距离 17．【2020年高考北京卷12】已知双曲线22 :163 x y C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________． 【答案】(3,0)，3 【解析】∵双曲线22 163 x y -=，∴26a =，23b =，222639c a b =+=+=，∴3c =，∴右焦点坐标为(3,0)，∵双曲线中焦点到渐近线距离为b ，∴3b = ． 18．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 A ．2 B ．2 C ． 32 2 D ．22 【答案】D 【解析】 2 1()2 c b e a a ==+=，1b a ∴=，∴双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，∴2c x =222x y a +=22 24 c PQ a =-PQ OF =22 24 c a c -=222a c =2 22c a =2c e a ==PQ OF =PQ OF ,22c c P ⎛⎫± ⎪⎝⎭ 222x y a +=22 2a c =2 22c a =2c e a ==PQ OF =PQ OF 12 222 OP a OF c ==⋅=2c e a == 点(4,0) 到渐近线的距离d = =，故选D ． 19.（2018全国1卷）已知双曲线C ：x 2 3 - y 2 =1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直 线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形，则|MN|=____. 【答案】3 【解析】因为双曲线 2213 -=x y 的渐近线方程为=±y x ，所以60∠=MON ．不妨设过点F 的直线与直 线3 = y x 交于点M ，由∆OMN 为直角三角形，不妨设90∠=OMN ，则60∠=MFO ，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN 的方程为2)=-y x ， 由2)⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x ，得3 2 2 ⎧=⎪⎪ ⎨⎪=⎪⎩ x y ，所以3(2M ， 所以||==OM |||3==MN OM ． 20．【2020年高考浙江卷8】已知点()()()0,0,2,0,2,0O A B -．设点P 满足 –2PA PB =，且P 为函数y =OP = （ ） A ． 2 B ．5 C D 【答案】D 【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，并且2,1c a ==，∴23b =， 方程为()2 2 103 y x x -=> 且点P 为函数y =上的点，联立方程()2 2103y x x y ⎧-=>⎪⎨ ⎪=⎩ ，解得：2134x =，2274y =，OP ∴==，故选D ． 1.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点， AB =C 的实轴长为（ ） B. 4 D.8 【答案】C 【解析】设等轴双曲线C:2 220x y a a ，x y 162=的准线:4l x 因为C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，AB = 所以4,23,4,23A B ,将A 点代入双曲线方程得 2 2 2 4 234,2,24a a a 所以，故选C. 2.双曲线的渐进线方程为x y 2 1 ± =，且焦距为10，则双曲线方程为（ ） A. 152022=-y x B.120522=-y x 或15202 2=-y x C. 120522=-y x D.1|5 20|2 2=-y x 【答案】D 【解析】当焦点在x 轴时，渐进线方程为x y 21 ±=， 所以 2221 ,210,2 b c a b c a 又，解得25,5a b ， 所以双曲线的方程为 2 2120 5 x y . 焦点在y 轴时，渐进线方程为x y 2 1 ±=， 所以 2221 ,210,2 a c a b c b 又，解得5,25a b ， 所以双曲线的方程为 2 2120 5 x y .故选D. 3.已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为( ) A.22136x y -= B.22145x y -= C.2216 3x y -= D.22 154x y -= 【答案】B 【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为 2222 221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312 y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===， 故E 的方程式为 22 145 x y -=．应选B ． 4. 已知双曲线C ：)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为( ) A.x y 41±= B.x y 31±= C.x y 2 1 ±= D.x y ±= 【答案】C 【解析】由题意2251 1,22 c b b e a a a 得==+==， 所以C 的渐近线方程为,2 1 x a b y ±=± =故选C. 5. 已知F 是双曲线C ：2 2 3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3 B.3 C.3m D.3m 【答案】A 【解析】由C:2 2 3(0)x my m m -=>得 22 21,33,33,33 x y c m c m m -==+=+ ( ) 33,0,F m 设+3 3y x m 一条渐近线为= 即0x m y -=， 则点F 到C 得一条渐近线得距离33 3,1m d m += =+故选A. 6.P 是双曲线右支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为 2c ，则的内切圆的圆心的横坐标为 . 【答案】x=a 【解析】如图所示：()()12,0,,0F c F c -，设内切圆与x 轴的切点是点H ，PF 1,PF 2与内切圆的切点分别为M 、N ， 由双曲线定义有|PF 1|-|PF 2|=2a ，由圆的切线长定理知， |PM|=|PN|,所以|MF 1|-|NF 2|=2a ,即|HF 1|-|HF 2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为x ， )0,0(122 22>>=-b a b y a x 21F PF ∆ 则点H 的横坐标为x ，所以（x+c)-(c -x)=2a ,得x=a. 7.已知F 1、F 2为双曲线C ：12 2 =-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为________. 【解析】法1：设12,,PF m PF n m n 不妨设==>，可知 1,1,a b c ===, 根据双曲线定义2 2 2,24m n a m n mn 即-=+-=①， 在ΔPF 1F 2中，根据余弦定理 222 01212122cos60,F F PF PF PF PF =+-228 m n mn 即+-=② 联立①②得4mn =，设P 到x 轴得距离为h ， 则 011sin 60,22h mn h ⨯==所有秒杀法2：由等面积得：4⇒3 π sin 2132 θ tan 21212== == PF PF PF PF b S 设P 到x 轴得距离为h ，0 1211sin 60,22h PF PF h 所有⨯== 8.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为_____. 【解析】根据题意，设双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>，不妨设点M 在第一象限，所以 |AB|=|BM|=2a,∠MBA=1200,作MH ⊥x 轴于点H ，则∠MBH=600，故|BH|=a, () ,2,MH M a =将点M 代入()22 2210,0x y a b a b -=>>得a=b,所以e =9.若双曲线C:22 221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的 弦长为2，则C 的离心率为___. 【答案】2 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为 2b d c = = ，圆心(2,0)到弦的距离也为d == 所以 2b c =222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2c e a == 10．设F 1，F 2是双曲线C: x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为_____. 【解析】法1：不妨设一条渐近线的方程为b y x a = ， 则 2F 到b y x a = 的距离d b ==， 在2Rt F PO ∆中，2||F O c =，所以||PO a =， 所以1||PF =，又 1||F O c =，所以在1F PO ∆与2Rt F PO ∆中， 根据余弦定理得22212)cos cos 2a c a POF POF ac c +-∠= =-∠=-， 即2223)0a c +-=，得22 3a c =．所以c e a = =． 法2：选C 设P(t,- b a t),∵PF 2与y=- b a x 垂直， ∴-bt a(t-c)=a b ，解得t=a 2 c 即P(a 2 c ,- ab c ) ∴|OP|= (a 2 c )2+(-ab c )2 =a ，|PF 1|=(a 2 c +c)2 +(-ab c )2， 依题有(a 2 c +c)2+(- ab c )2=6a 2，化简得c 2=3a 2 ，即c e a == 易错点17 双曲线易错点1：焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系： 易错点2：双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径； 易错点3：直线与双曲线的位置关系 （1）忽视直线斜率与渐近线平行的情况； （2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在 下进行）. 题组一：定义与标准方程 1．（2015福建理）若双曲线22 : 1916 x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 【答案】B 【解析】 由双曲线定义得，即，解得，故选B ． 2．（2019年新课标1卷）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ， B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则 C 的方程为( ) A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解答】∵22||2||AF F B =，∴23AB BF =， 又1||||AB BF =，∴|BF 1|＝3|BF 2|， 又|BF 1|+|BF 2|＝2a ，∴|BF 2|＝2 a ， ∴|AF 2|＝a ，|BF 1|＝ 32 a ， 在Rt △AF 2O 中，cos ∠AF 2O ＝ 1 a ， 1226PF PF a -==236PF -=29PF = 专题 一元二次不等式、一元二次不等式 易错知识 1．解分式不等式时要注意分母不能为零； 2．“大于取两边，小于取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零； 3．解决有关一元二次不等式恒成立问题要注意给定区间的开闭； 4. 有关一元二次方程根的分布条件列不全致错； 5. 解一元二次不等式时要注意相应的一元二次方程两根的大小关系； 易错分析 一、忽视分式不等式中的分母不能为零致错 1．不等式2x ＋1≤1的解集是________． 【错解】由 2x ＋1≤1得2 x ＋1－1≤0，得2－x －1x ＋1≤0，得x －1x ＋1 ≥0，得(x －1)(x ＋1)≥0，得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集为{x |xx ≤－1或x ≥1}． 【错因】因为x ＋1为分母，所以x ＋1不等于零。 【正解】由 2x ＋1≤1得2 x ＋1－1≤0，得2－x －1x ＋1≤0，得x －1x ＋1 ≥0，得x －1＝0或(x －1)(x ＋1)>0，得x ＝1或x <－1或x >1，得x <－1或x ≥1，所以原不等式的解集为{x |x <－1或x ≥1}． 二、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错 2.若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，＋∞) C ．(－2,2] D ．[－2,2] 一元二次不等式、一元二次不等式 分式不等式忽视分母不为零 解一元二次不等式忽视二次项系数的正负 一元二次方程根的分布条件列举不全 一元二次不等式恒成立忽视区间的开闭 解一元二次不等式忽视两根的大小关系 图形与几何 1、下列命题： ①422||)()(a a a =? ②b c a c b a ??=??)()( ③ |a ·b |=|a |·|b |④若a ∥b b ,∥,c 则a ∥c ⑤ ∥，则存在唯一实数λ，使λ= ⑥若?=?，且≠，则=⑦设21,e e 是平面内两向 量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x 、y ，使21e y e x +=成立。⑧若|+|=|－ |则·=0。⑨·=0，则=或=真命题个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3个以上 解析：①正确。根据向量模的计算2 a a a ?=r r r 判断。②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因 为根据数量积和数乘的定义()a c b ??r r r 表示和向量b r 共线的向量，同理()a b c ??r r r 表示和向量c r 共线的向量， 显然向量b r 和向量c r 不一定是共线向量，故()()a b c a c b ??≠??r r r r r r 不一定成立。③错误。应为a b a b ?≤r r r r ④错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。 ⑤错误。应加条件“非零向量a r ”⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b r 和向量b r 在向量c r 方向的投影相等即可， 作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量21,e e 是不共线的 向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故· =0。⑨错误。只需两向量垂直即可。 答案：B 2、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足). ,0[(+∞∈?++=λλOA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 答案：B 3、已知=r 3a ，=r 4b ，a r 与b r 的夹角为?60，则向量b r 在a r 的方向上的投影为___________. 理解向量b r 在a r 的方向上的投影的含义θ?=r r r r cos a b b a .答案：2 4、已知ABC ?中,5,8,7a b c ===,求BC CA ?u u u r u u u r 【易错点分析】此题易错误码的认为两向量BC uuu r 和CA u u u r 夹角为三角形ABC 的内角C 导致错误答案. 解析:由条件5,8,7a b c ===根据余弦定理知三角形的内角60C ? =，故两向量BC uuu r 和CA u u u r 夹角为60C ? =的补角 即 ,120BC CA ? =u u u r u u u r ,故据数量积的定义知58cos12020BC CA ??=??=-u u u r u u u r . 高中数学易错、易混、易忘题分类汇编 "会而不对，对而不全"一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。 【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1、设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？ 【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。 解析：集合A化简得，由知故（Ⅰ）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。 【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论． （2）在解答集合问题时，要注意集合的性质"确定性、无序性、互异性"特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其中,若求r的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是。答案：或。 【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。 例2、已知,求的取值范围 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 解析：由于得(x+2)2=1- ≤1，∴-3≤x≤-1从而x2+y2=-3x2-16x-12= + 因此当x=-1时x2+y2有最小值1, 当x=- 时，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范围是[1, ] 【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。 【练2】（05高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线上变化，则的最大值为（） （A）（B）（C）（D） 答案：A 【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。 例3、是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数 【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。 解析：（1）利用（或）求得a=1. （2）由即，设,则由于故，，而所以 【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。 （2）应用可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。 【练3】（2004全国理）函数的反函数是（） A、B、 C、D、 答案：B 【易错点4】求反函数与反函数值错位 例4、已知函数，函数的图像与的图象关于直线对称，则的解析式为（） 新《函数与导数》专题解析 一、选择题 1．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1 B ． 32 C ．2 D ． 34 【答案】B 【解析】 【分析】 将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程 ()0f x =可得出函数()y f x =的零点． 【详解】 141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ， 2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为3 2 ，故选B. 【点睛】 本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题． 2．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于 t 的不等式，求解. 【详解】 由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ， 2a x a y b t =⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ， 即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】 备战2023年高考名师预测模拟卷（3） 一．填空题（共12小题） 1．已知z 1＝1+i ，z 2＝2+3i ，求z 1+z 2＝ 3+4i ． 【分析】直接根据复数的运算性质，求出z 1+z 2即可． 【解答】解：因为z 1＝1+i ，z 2＝2+3i ， 所以z 1+z 2＝3+4i ． 故答案为：3+4i ． 2．已知集合A ＝{﹣1，0，a }，B ＝{x |1＜2x ＜2}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 （0，1） ． 【分析】解指数不等式求得集合B ，再根据A ∩B ≠∅，求得实数a 的取值范围． 【解答】解：∵集合A ＝{﹣1，0，a }，B ＝{x |1＜2x ＜2}＝{x |0＜x ＜1}，若A ∩B ≠∅，则有 0＜a ＜1， 故实数a 的取值范围是（0，1）， 故答案为 （0，1）． 3．椭圆 x 225 + y 2b 2 =1（b ＞0）与双曲线 x 28 −y 2=1有公共的焦点，则b ＝ 4 ． 【分析】求得双曲线的焦点坐标，可得25﹣b 2 ＝9，解方程可得b 的值． 【解答】解：双曲线 x 28 −y 2=1的焦点为（±3，0）， 由题意可得25﹣b 2＝9，得b 2＝16，则b ＝4． 故答案为：4． 4．已知向量a → =（2，0），b → =（﹣3，4），则向量a → 在b → 方向上的投影为 −6 5 ． 【分析】根据向量a → ，b → 的坐标及向量投影的计算公式，即可求出a → 在b → 方向上的投影的值． 【解答】解：∵a → =(2，0)，b → =(−3，4)， ∴向量a → 在b → 方向上的投影为： a →⋅ b → |b → | = −65 =−6 5 ． 故答案为：−6 5 ． 5．函数f （x ）＝arcsin x ，x ∈[0，1]的反函数为 f −1(x)=sinx ，x ∈[0，π 2] ． 【分析】直接利用反函数的定义求出结果． 【解答】解：函数f （x ）＝arcsin x ，x ∈[0，1]， 故反函数为f −1(x)=sinx ，x ∈[0，π2 ]． 故答案为：f −1(x)=sinx ，x ∈[0，π2]． 6．若x ，y 满足约束条件{x +2y −2≥0 x −y +1≥0x ≤1 ，则z ＝x ﹣2y 的最小值为 ﹣3 ． 【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值． 【解答】解：画出x ，y 满足约束条件{x +2y −2≥0 x −y +1≥0x ≤1 ，表示的平面区域，如图所示； 结合图象知目标函数z ＝x ﹣2y 过A 时，z 取得最小值， 由{x =1x −y +1=0，解得A （1，2）， 所以z 的最小值为z ＝1﹣2×2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 易错点03 函数概念与基本初等函数 易错点1：求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则； 研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。 易错点2：判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称； 判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论； 易错点3： 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负 )； 判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 易错点4：指对型函数比较大小 要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）. 易错点5：用函数图象解题时作图不准 “数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。 易错点6：在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件； 要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）； 易错点7：抽象函数的推理不严谨致误； 所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点;解决抽象函数的方法有：换元法、方程组法、待定系数法、赋值法、转化法、递推法等； 【最新】数学高考《平面解析几何》专题解析 一、选择题 1．若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP →→ g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C 【解析】 【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根 据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】 设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ， 因为点P 为椭圆上，所以有：22143 x y +=即2 2334y x =-， 所以()2222 23132244 x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤， 所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r 的最大值为6 故选：C 【点睛】 本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题. 2．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过 2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的 最小值为（ ） A ．B C ．2 D ．【答案】A 【解析】 【分析】 联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得 2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果. 【详解】 易错点17电场力、电场能的性质 例题1. （多选）如图所示匀强电场E 的区域内，在O 点处放置一点电荷＋Q ，a 、b 、c 、d 、e 、f 为以O 为球心的球面上的点，aecf 平面与电场平行，bedf 平面与电场垂直，则下列说法中正确的是（ ） A ．a 、c 两点的电场强度相同 B ．b 点的电势等于d 点的电势 C ．点电荷＋q 在球面上任意两点之间移动时，静电力一定做功 D ．将点电荷＋q 在球面上任意两点之间移动，从a 点移动到c 点电势能的变化量一定最大 例题2. （多选）（2022·辽宁·高三开学考试）如图所示，在足够长的光滑绝缘水平直线轨道上方的P 点，固定一电荷量为+Q 的点电荷。一质量为m 、带电荷量为+q 的物块（可视为质点的检验电荷），从轨道上的A 点以初速度v 0沿轨道向右运动，当运动到P 点正下方的B 点时速度为v 。已知点电荷产生的电场在A 点的电势为φ（取无穷远处电势为零），P 到物块的重心竖直距离为h ，P 、A 连线与水平轨道的夹角为45°，k 为静电常数，下列说法正确的是（ ） A ．点电荷+Q 产生的电场在 B 点的电场强度大小为 2 kq h B ．物块在A 点时受到轨道的支持力大小为2 2N kQq F mg h =+ C ．物块从A 到B 机械能减少量为qφ D ．点电荷+Q 产生的电场在B 点的电势为220() 2B m v v q φφ-=+ 一、电荷、电荷守恒定律 1、两种电荷：用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电荷，用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷。 2、元电荷：一个元电荷的电量为1．6×10－19C，是一个电子所带的电量。 说明：任何带电体的带电量皆为元电荷电量的整数倍。 3、起电：使物体带电叫起电，使物体带电的方式有三种①摩擦起电，②接触起电，③感应起电。 4、电荷守恒定律：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，系统的电荷总数是不变的． 二、库仑定律 1.内容：真空中两个点电荷之间相互作用的电力，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 2.公式：F=kQ1Q2／r2k＝9．0×109N·m2／C2 3．适用条件：（1）真空中；（2）点电荷． 点电荷是一个理想化的模型，在实际中，当带电体的形状和大小对相互作用力的影响可以忽略不计时，就可以把带电体视为点电荷．（这一点与万有引力很相似，但又有不同：对质量均匀分布的球，无论两球相距多近，r都等于球心距；而对带电导体球，距离近了以后，电荷会重新分布，不能再用球心距代替r）。点电荷很相似于我们力学中的质点． 注意：①两电荷之间的作用力是相互的，遵守牛顿第三定律 ②使用库仑定律计算时，电量用绝对值代入，作用力的方向根据“同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引”的规律定性判定。 三、电势高低及电势能大小的判断方法 1．比较电势高低的方法 (1)沿电场线方向，电势越来越低． (2)判断出U AB的正负，再由U AB＝φA－φB，比较φA、φB的大小，若U AB>0，则φA>φB，若U AB<0，则φA<φB. 2．电势能大小的比较方法 做功判断法 电场力做正功，电荷(无论是正电荷还是负电荷)从电势能较大的地方移向电势能较小的地方，反之，如果电荷克服电场力做功，那么电荷将从电势能较小的地方移向电势能较大的地方． 特别提醒其他各种方法都是在此基础上推理出来的，最终还要回归到电场力做功与电势能的变化关系上．四、电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 1．几种常见的典型电场的等势面比较 电场等势面(实线)图样重要描述 【易错题】高考数学试题带答案 一、选择题 1．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 2．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 3．已知集合{}{}x -1 易错点16 椭圆易错点1：焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系： 易错点2：椭圆的几何性质 易错点3：直线与椭圆的位置关系 （1）忽视直线斜率为0或不存在的情况 （2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在 下进行）. 易错点4：求轨迹方程时，忽视对结论进行验证。 题组一：椭圆的定义与焦点三角形 1.（2019年全国文科1卷）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ， 过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( ) A ．22 12 x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2.（2019年全国3卷）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第 一象限，若△为等腰三角形，则的坐标为 ． 3.(2013新课标1)已知圆M ：1)1(22=++y x ，圆N ：9)1(2 2=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .则C 的方程为________ 题组二：椭圆的标准方程 4.（2019新课标2卷）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 p =( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.（2017新课标1卷）已知椭圆C ：22 22=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1）， P 3 （–1，32），P 4（1，3 2 ）中恰有三点在椭圆C 上，则C 的方程是______________。 6.（2014新课标1卷）已知点A （0，-2），椭圆E ：22 221(0)x y a b a b +=>>3 1F 2F 22 :13620 x y C +=M C 12MF F M 2 2(0)y px p =>22 13x y p p += 高考数学的易错的知识点的集合 易错点1 遗忘空集致误 由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=∅时也满足B⊆A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况. 易错点2 忽视集合元素的三性致误 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求. 易错点3 混淆命题的否定与否命题 命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论. 易错点4 充分条件、必要条件颠倒致误 对于两个条件A，B，如果A⇒B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A⇔B，则A，B互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断. 易错点5 “或”“且”“非”理解不准致误 命题p∨q真⇔p真或q真，命题p∨q假⇔p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真⇔p真且q真，命题p∧q假⇔p假或q假(概括为一假即假);綈p真 ⇔p假，綈p假⇔p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目，也可以把 “或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解，通过集合的运算求解. 易错点6 函数的单调区间理解不准致误 在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法.对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可. 易错点7 判断函数的奇偶性忽略定义域致误 易错点12 立体几何中的垂直与平行在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。 立体几何中平行与垂直的易错点 易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一 谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。 易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视 ",//,"a a b b αα⊄⊂三个条件中的某一个。 易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大； 题组一：基本性质定理 1．（2021年浙江卷）已知正方形1111ABCD A B C D -，,M N 分别是11,A D D B 的中点，则（ ）. A ．直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B 2．（2021新高考1卷多选题）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则 A ．当1λ=时，1A B P △的周长为定值 B ．当1μ=时，三棱锥1P A B C -的体积为定值 C ．当1 2 λ= 时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当1 2 μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 高中数学易错题 一．选择题（共6小题） 1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5 2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（） A．缺条件，不能求出B．C．D． 3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（） A．3＜d＜4 B．C．D． 4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（） A．B．C．D． 5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（） A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0 6．（2011•江西模拟）下面命题： ①当x＞0时，的最小值为2； ②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条； ③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象； ④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12． 其中正确的命题是（） A．①②④B．②④C．②③D．③④ 二．填空题（共10小题） 7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________． 8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________． 9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是 易错点07曲线运动 运动的合成与分解 例题1. （2022·河南新乡·模拟预测）为了抗击病毒疫情，保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”。快递小哥想到了用无人机配送快递的方法。某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向速度x v 及竖直方向y v 与飞行时间t 的关系图像如图甲、图乙所示。关于无人机运动说法正确的是（ ） A ．10~t 时间内，无人机做曲线运动 B ．2t 时刻，无人机运动到最高点 C ．34~t t 时间内，无人机做匀变速直线运动 D ．2t 22 02 v v +【答案】D 【解析】A ．10~t 时间内，无人机在水平方向做初速度为零的匀加速运动，在竖直方向也做初速度为零的匀加速运动，则合运动为匀加速直线运动，选项A 错误； B ．40~t 时间内，无人机速度一直为正，即一直向上运动，则t 2时刻，无人机还没有运动到最高点，选项B 错误； C ．34~t t 时间内，无人机水平方向做速度为v 0的匀速运动，竖直方向做匀减速运动，则合运动为匀变速曲线运动，选项C 错误； D ．2t 时刻，无人机的水平速度为v 0，竖直速度为v 22202 v v +D 正确。 故选D 。 【误选警示】 误选AC 的原因：对两个互成角度的直线运动合运动的判断方法不清晰。两个互成角度的初速度为零的匀加速直线运动合运动一定时匀加速直线运动。两个互成角度的一个匀速直线运动一个匀变速直线运动的合运动一定时匀变速曲线运动。 误选B 的原因：对竖直方向运动的运动性质理解出错，错误认为竖直方向速度减小就向下运动。只要竖直方向有向上的速度，物体就会向上运动，速度方向速度为零时，物体运动到最高点。 例题2. （2022·湖南·模拟预测）如图所示为一简易机械装置，质量相等的两个物块A 和 新《平面解析几何》专题解析 一、选择题 1．已知12F F 分别为双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线上一点， 2PF 与x 轴垂直，1230PF F ∠=︒，且焦距为 ） A ．y = B ．y = C ．2y x =± D ．3y x =± 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出c 的值，再求出点P 的坐标，可得2 2b PF a =，再由已知求得1PF ，然后根据双曲 线的定义可得b a 的值，则答案可求． 【详解】 解：由题意，2c = 解得c = ， ∵()2,0F c ，设(),P c y ， ∴22221x y a b -=，解得2b y a =±， ∴2 2b PF a =， ∵1230PF F ∠=︒， ∴2 1222b PF PF a ==， 由双曲线定义可得：2 122b PF PF a a -==， 则222a b =，即 b a = ∴双曲线的渐近线方程为y =． 故选：B ． 【点睛】 本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.求解双曲线的渐近线方程，可通过找到 ,,a b c 中任意两个量的倍数关系进行求解. 2．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．(1,14 ) B ．1(,1)4 - C ．(1,2) D ．(1,2)- 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：抛物线2 4y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为 M 根据抛物线定义： ，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边， 直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离； 所以点P 纵坐标为1，则横坐标为 14,即(1 ,14 )，故选A 考点：抛物线的定义及几何性质的运用. 3．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过 2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的 最小值为（ ） A ．3B 3 C ．2 D ．22【答案】A 【解析】 【分析】 联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得 2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果. 【详解】 <备战2023年高考数学一轮复习讲义> 专题37 双曲线 1．（2022·全国乙卷）双曲线C 的两个焦点为 12F F ， ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过 1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且 123 cos 5 F NF ∠= ，则C 的离心率为（ ） A 5 B ． 32 C 13 D 17 【答案】C 【解析】解：依题意不妨设双曲线焦点在 x 轴，设过 1F 作圆 D 的切线切点为 G ， 所以 1OG NF ⊥ ，因为 123 cos 05 F NF ∠= > ，所以 N 在双曲线的右支， 所以 OG a = ， 1OF c = ， 1GF b = ，设 12F NF α∠= ， 21F F N β∠= ， 由 123cos 5F NF ∠= ，即 3cos 5α= ，则 4sin 5α= ， sin a c β= ， cos b c β= ， 在 21F F N 中， ()()12sin sin sin F F N παβαβ∠=--=+ 4334sin cos cos sin 555b a a b c c c αβαβ+=+=⨯+⨯= ， 由正弦定理得 211225sin sin sin 2 NF NF c c F F N αβ===∠ ， 所以 112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c ++= ∠=⨯= ， 2555sin 222 c c a a NF c β==⨯= 又 12345422222a b a b a NF NF a +--= -== ，所以 23b a = ，即 3 2 b a = ，所以双 考向12 函数的图象 【2022·全国·高考真题（理）】函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】 令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦ ， 则()()()() ()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-， 所以()f x 为奇函数，排除BD ； 又当0,2x π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C. 故选：A. 【2022·全国·高考真题（文）】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ） A ．3231x x y x -+=+ B ．321 x x y x -=+ C ．22cos 1 x x y x = + D ．22sin 1 x y x = + 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】 设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 时，0cos 1x <<， 所以()222cos 2111 x x x h x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1x g x x =+，则 ()2sin 33010 g =>，故排除D. 故选：A. 1.函数图象的画法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出． (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 2.图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．易错点17 双曲线答案-备战2023年高考数学易错题
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