第一章例题
例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线?
(1)以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧;
(2)倾角的直线;
(3)双曲线。
解设,则
因此
(1)在平面上对应的图形为:以原点为心,4为半径,在上半平面的半圆周。(2)在平面上对应的图形为:射线。
(3)因,故,在平面上对应的图形为:直线
。
例1.2设在点连续,且,则在点的某以邻域内恒不为0.
证因在点连续,则,只要,就有
特别,取,则由上面的不等式得
因此,在邻域内就恒不为0。
例1.3设
试证在原点无极限,从而在原点不连续。
证令变点,则
从而(沿正实轴)
而沿第一象限的平分角线,时,。
故在原点无确定的极限,从而在原点不连续。
第二章例题
例2.1在平面上处处不可微
证易知该函数在平面上处处连续。但
当时,极限不存在。因取实数趋于0时,起极限为1,取纯虚数而趋于零时,其极限为-1。故处处不可微。
例 2.2函数在满足定理2.1的条件,但在不可微。
证因。故
但
在时无极限,这是因让沿射线随
而趋于零,即知上式趋于一个与有关的值。
例2.3讨论的解析性
解因, 故
要使条件成立,必有,故只在可微,从而,处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性
解因, 故
要使条件成立,必有,故只在直线上可微,从而,处处不解析。
例2.5讨论的可微性和解析性,并求。
解因, 而
在复平面上处处连续且满足条件,从而在平面上处处可微,也处处解析。且
。
例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且,试求
之值。
解设,则
由代入得
解得:,从而
。
例2.7设则
且的主值为。
例2.8考查下列二函数有哪些支点
(a)
(b)
解(a)作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐
角得到增量,的辐角没有改变, 即
从而
故的终值较初值增加了一个因子,发生了变化,可见0是的支点。同理1 也是其支点。
任何异于0,1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0,1的简
单闭曲线,则
故的终值较初值增加了一个因子,未发生变化。
最后不是的支点。因若设含0,1的简单闭曲线,则
故的终值较初值增加了一个因子,未发生变化。
(b)可能的支点是0,1,。设分别是含0但不含1,含1但不含0,和既含0又含1的简单闭曲线,则
结果的终值较初值均发生了变化。故0,1,都是支点,此外别无支点。
例2.9试说明在将平面适当割开后能分出三个解析分支。并求出
在点取负值的那个分支在的值
解易知的支点是。因此,将平面沿正实轴从0到1割开,再沿负实轴割开。在这样割开后的平面上,能分出三个解析分支。
现取一条从到的有向曲线(不穿过支割线),则
于是
又由题设,可取。故得
。
(3)关于对数函数的已给单值解析分支,我们可以借助下面的公式来计算它的终值:
即
其中是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线;是满足条件那一支在起点之值的虚部,是一个确定的值。
例2.10试说明在割去“从-1到的直线段”,“从到1的直线段”与射线
“且”的平面内能分出单值解析分支。并求时等于零的那一支在的值。
解的支点为。这是因
当变点单绕一周时,
故的值增加了,的值未改变,从而,的值增加了,
从一支变成另一支。故是支点,同理也都是支点,此外无其它支点。故
在割去“从-1到的直线段”,“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。
现设是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线。则
故
这就是所要求之值。
例2.11求反正弦。
解
例2.12求
解
。
第三章例题
例3.1命表连接点及的任一曲线,试证
(1)(2)
证(1)因,故
,即
(2)因,选则得
,
但我们又可选,则得
由定理3.1,可知积分存在,因而的极限存在,且应与及的极限相等,从而应与的极限相等。今
,
所以。
注当为闭曲线时,
例 3.2(重要的常用例子)
这里表示以为心,为半径的圆周。(注意,积分值与,均无关)。
证的参数方程为:。故
;
当为整数且时
例3.3试证。积分路径是连接和的直线段
证的参数方程为
即
沿,连续,且
而之长为2 ,故由定理3.2 ,。
例 3.4计算积分
其中积分路径为:
(1)连接由点到点的直线段;
(2)连接由点到点1的直线段及连接由点1到点的直线段所组成的折线。解(1)连接及的直线段的参数方程为:
(),
故。
(2)连接与1的直线段的参数方程:
。
连接点1与的直线段的参数方程为:
,
即,
故
由此例可以看出,积分路径不同,积分结果可以不同。
例3.5计算积分
解在单连通区域:内,函数的一个原函数,且
在内解析,故由牛顿—莱布尼兹公式有
例3.6计算下列积分
(1),
(2),其中为右半圆周,,,起点为,终点为;(3)那一支。
解(1)因为的支点为,所以它在闭圆上单值解析。于是由柯西积分定理3.9
(2)因为上解析
故。
(3)因为的支点为,其单值分支在圆内解析,并连续到边界
,所以由柯西积分定理3.9
。
例3.7设为围线内部一点,则
证以为圆心画圆周,使全含于的内部,则由复围线的柯西积分定理得
再由例3.2即得要证明的结论。
例3.8计算积分
解因在闭圆上解析,由柯西积分公式得
定理3.11的特殊情形,有如下的解析函数的平均值定理。
例3.9设在上解析。如果存在,使当时
而且
试证:在圆内至少有一个零点。
证反证法,设在内无零点,而由题设在上也无零点。于是
在闭圆上解析。由解析函数的平均值定理,
又由题设,
,
从而,矛盾。故在圆
内至少有一个零点。
例3.10计算积分
其中是绕一周的围线。
解因为在平面上解析,应用公式(3.5)于,我们得
。
例3.11应用刘维尔定理证明代数学基本原理。在平面上,次多项式
至少有一个零点。
证反证法,设在平面上无零点。由于在平面上是解析的,在平面上也必解析。
下面我们证明在平面上有界。由于
,
故存在充分大的正整数,使当时,,又因在闭圆上连续,故可设
从而,在平面上
于是,在平面上是解析且有界。由刘维尔定理,必为常数,即必为常数。这与定理的假设矛盾。故定理得证。
例3.12如果为一整函数,且有使
的实数存在,试证为常数。
证令为整函数。又在平面上
故有界,由刘维尔定理可见是常数,因此也是常数。
例3.13设是整函数,是整数,试证当
时,至多是次多项式。
证只须证得对任何的,。
由
可知,对任给的,存在,只要时就有
。
在平面上任取一点,再取以为心,以为半径的圆周,使圆周
全含于其内部。于是有。这时对于,必,因而
。
由柯西不等式可得
因为是任意的,所以
。
故至多是次多项式。
例3.14验证是平面上的调和函数,并求以为实部的解析函数,使合。
解因在平面上任一点
故在平面上为调和函数。
法一
故
要合,必,故。
法二先由条件中的一个得
,
故,
再由条件中的另一个得
,
故
因此。(下同法一)
例3.15验证在右半角平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数。
解
于是
故在右半平面内,是调和函数。
两端对求导
,所以,从而(任意常数),
故
它在右半平面内单值解析。
第四章例题
例4.1考察级数的敛散性。
解因发散,故虽收敛,我们仍断定原级数发散。
例4.2试求下列各幂级数的收敛半径。
(1)
解。
(2)。
解因,
故。
(3)。
解因,
故。
(4)
解应当是平方数时,其他情形。因此,相应有,于是数
列{}的聚点是0和1,从而。
例4.3将在展开成幂级数。
解因在内解析,故展开后的幂级数在内收敛。已经知道:
,
在时将两式相乘得(按对角线方法)
。
例4.4求的展开式。
解因的支点为及,故其指定分支在内单值解析。
,
其一般表达式为:当时
。
例4.5将及展为的幂级数。
解因,同理
。
两式相加除以2得
,,
两式相减除以得
。
例4.6试将函数
按的幂展开,并指明其收敛范围。
解
例4.7考察函数
在原点的性质。
解显然在解析,且。
由,或由
知为的三级零点。
例4.8求的全部零点,并指出它们的级。
解在平面上解析。由得
即
故,这就是在平面上的全部零点。显然
故
都是函数的二级零点。
例4.9设(1)及在区域内解析;
(2)在内,
试证:在内或。
证若有使。因在点连续,故由例1.28知,存在的邻域,使在内恒不为零。而由题设
,
故必.
由唯一性定理(推论4.21)。
例4.10试用最大模原理证明例3.9。即证:“设在闭圆上解析,如果存在,使当时
,
而且
,
则在圆内,至少有一个零点。”
证如果在内,无零点。而由题设在上,且在
上解析。故
第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数) (1)1-; (2) ππ2(cos isin )33-; (3)1cos isin αα-+; (4)1i e +; (5)i sin R e θ ; (6)i + 答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ;主辐角为4π 3; 原题即为代数形式;三角形式为 4π4π2(cos isin )33+;指数形式为4π i 32e . (2)略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + (3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα (4)略为 i ;(cos1isin1)ee e + (5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+ (6)该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1)() 10 3 i 1+-;2)()3 1i 1+-; 答案 1)3512i 512+-;2) ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=; 计算下列复数 (1 (2 答案 (1 (2)(/62/3) i n e ππ+ 已知x
【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值. 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根,则b a i -一定也是该方程的根. 证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()() k k z z =, 故由共轭复数性质有:()() z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根. 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点. 证明: 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 (1) cos5θ; (2)sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明:如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根,但是1≠w 即不是主根,则必有 对于复数 ,k k αβ,证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式:
第一章例题 例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].;平面上的何种曲线? (1) 以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧; (2) 倾角 二的直线; (3) 双曲线''■='。 解 设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos
0 特别,取 - ,则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此, f ② 在匚邻域 内就恒不为0。 例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一 在原点无极限,从而在原点不连续。
证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则 而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限,从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1 北)= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时,其极限为一1。故匚处处不可微。 证因UaJ )二倆,呛J ) = C I 。故 但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而 (沿正实轴。一 H ) 当I: 「时,极限不存在。因 二取实数趋于O 时,起极限为1 ,二取纯虚数而趋于 例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件,但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是( A ); A 1212()Arg z z Argz Argz =+; B 1212()arg z z argz argz =+; C 1212()ln z z lnz lnz =+; D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是( B ); A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件; B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件; C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件; D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=( 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ), 主值为( 4 5(arctan )3 ln i π+- ). 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =( 0 ). 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛,那么该级数在45 z i =处的敛散性为( 绝对收敛 ). 6、 311z -的幂级数展开式为( 30n n z ∞=∑ ),收敛域为( 1z < ); 7、 sin z z -在0z =处是( 3 )阶的零点; 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是( 4 )阶的极点; 二、计算下列各值 1.3i e π+; 2.tan()4i π -; 3.(23)Ln i -+; 4 . 5.1i 。 解:(略)见教科书中45页例2.11 - 2.13
第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数) (1)1-; (2) ππ2(cos isin )33-; (3)1cos isin αα-+; (4)1i e +; (5)i sin R e θ ; (6)i + 答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±;主辐角为4π 3; 原题即为代数形式;三角形式为 4π4π2(cos isin )33+;指数形式为4π i 32e . (2)略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + (3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα (4)略为 i ;(cos1isin1)ee e + (5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+ (6)该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1)() 10 3 i 1+-;2)()3 1i 1+-; 答案 1)3512i 512+-;2) ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=; 1.3计算下列复数 (1 (2 答案 (1) (2)(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部.
【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值. 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根,则b a i -一定也是该方程的根. 证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()() k k z z =, 故由共轭复数性质有:()()z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根. 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点. 1.7 证明: 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值.
第三章习题详解 1. 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段; 解:连接自原点至i +3的直线段的参数方程为:()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至i +3; 解:连接自原点沿实轴至3的参数方程为:t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为:it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ,再由i 沿水平方向向右至i +3。 解:连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为:it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为:i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2. 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解:x y =Θ ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y =Θ ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 656121213 1 3121311+-=-++=??? ??++
习题一答案 1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数: (1) 1 32i + (2) (1)(2) i i i -- (3)13 1 i i i - - (4)821 4 i i i -+- 解:(1) 132 3213 i z i - == + , 因此: 32 Re, Im 1313 z z ==-, 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ (2) 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- , 因此, 31 Re, Im 1010 z z =-=, 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- (3) 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - , 因此, 35 Re, Im 32 z z ==-, 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= (4)821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re1,Im3 z z =-=, arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i(2 )1 -+(3)(sin cos) r i θθ + (4)(cos sin) r i θθ -(5)1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解:(1)2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=
(2 )1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= (3)(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= (4)(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= (5)2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3. 求下列各式的值: (1 )5)i - (2)100100(1)(1)i i ++- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- (4) 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- (5 (6 解:(1 )5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ (2)100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =
复变函数卷答案与评分标准 一、填空题: 1.叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件: (1)(,)u x y ,(,)v x y 在D 内可微, (2)(,)u x y ,(,)v x y 满足C R -条件。(3分) 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件: (1),,,x y x y u u v v 在D 内连续, (2)(,)u x y ,(,)v x y 满足C R -条件。(3分) 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件:()f z 在区域D 内连续,若闭曲线C 及内部包含于D ,则()0C f z dz =? 。 (3分) 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件:()f z 在区域D 内每一点a ,都能展成x a -的幂级数。(3分) 2.叙述刘维尔定理:复平面上的有界整函数必为常数。(3分) 3、方程2z e i =+的解为:11ln 5arctan 222 i k i π++,其中k 为整数。(3分) 4、设()2010sin z f z z +=,则()0Re z s f z ==2010。(3分) 二、验证计算题(共16分)。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数,并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。(8分) 解:(1)22u x x ?=+?,222u x ?=?;2u y y ?=-?,222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??,所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。(4分) (2)因为()f z 为解析函数,则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程,则有 22v u x y x ??==+??,所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ,所以 ()0C x '=,即()C x 为常数。
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解:2 cos sin 2 2 i i e i π ππ==+ (2) -1 解:1cos sin i e i πππ-==+ (3) 13i + 解:()/31322cos /3sin /3i i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解: 2 221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos ) 2 2 2 2 2 2 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα ?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解:()3333cos 3sin 3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解:()1cos1sin 1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解: 3/4 11cos 3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) a ib + 解: 1ar 2ar 2 2 22 4 21ar 2 2421ar 2242 b b i ctg k i ctg k a a b i ctg a b i ctg a a i b a b e a b e a b e a b e ππ?? ?? ++ ? ? ?? ?? += += +?+?=? ?-+? (2) 3 i 解:6 226 36346323 2332 2322 i k i i i i k i e i i e e e e i π ππππππππ?? ??++ ? ???????+ ?????+ ??? ?=+ ?? ??====-+? ??=-?
第一章 复数与复变函数 一、选择题: 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π= -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2 32 1+ - (D )i 2 12 3+ - 3.复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为( ) A .44-3(cos isin )5 5 ππ+ B . 443(cos isin )55ππ- C . 443(cos isin )5 5 ππ+ D .44-3(cos isin )5 5 ππ- 4.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续 (C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1.设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ,则=z 2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg 3.设4 3)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5.=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题:
《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20分): 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛,则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析,且 0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中n 为自然数.
复变函数练习题解答 一、求出下列函数的奇点,并确定它们的类别<对于极点,要指明它 们的阶),对于无穷远点也要加以讨论. <1),<2) 解.<1)有奇点,因在扩充复平面上 有一阶零点,故有一阶极 点,易见0是的一阶极点的 极限点,因而0不是的孤立奇点. 解.<2)有奇点,因 0是的可去奇点,易见有一阶极点.事实 上
因而是的一阶极点的极限点,不是的孤立奇点. 二、考查函数的可微性和解读性,并求出导数<如 存在). 解.因,,,, ,,故仅在两个点满 足条件,,因此函数处处不 解读,仅在两个点可导和可微,且, . 三、求出圆到半平面的共形映射,使符合条件 1.将圆映为圆, 2.因将半平面映为圆,故逆映射 将圆映为上半平面 3.将上半平面映为右半平面 4.上述三个映射的复合将圆映为半平面 ,且符合 条件.
四、证明:级数收敛,但不绝对收敛,提示,写成实 部和虚部. 因 其实部条件收敛,虚部绝对收敛 因此级数收敛,但不绝对收敛. 五、计算下列积分 <1) <2) 解.<1),事实上 <2)已知,为求,令,则原积分 , 记,,则 六、设函数在区域内解读,试证
<1)设,则, <2)左 <3)由<2)和Laplace方程,知, 左, <4)由<3)和条件,知,左 <5)由<4)和知,右 <6)由<4)和<5)知,左=右. 七、设在内解读,且,,如果原点0是 的阶零点,则 <1)当时 <2) <3)如对于某一点,有,或者, ,那么,在内,其中是一复常数, 因原点0是的阶零点,故可以将在展成如下的幂级数,且, 记,则在内解读,, , 设,,则由最大模定理知, , 令,得,因此 (1)当时得证;
第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线? (1)以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧; (2)倾角的直线; (3)双曲线。 解设,则 因此 (1)在平面上对应的图形为:以原点为心,4为半径,在上半平面的半圆周。(2)在平面上对应的图形为:射线。 (3)因,故,在平面上对应的图形为:直线 。 例1.2设在点连续,且,则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续,则,只要,就有 特别,取,则由上面的不等式得 因此,在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限,从而在原点不连续。
证令变点,则 从而(沿正实轴) 而沿第一象限的平分角线,时,。 故在原点无确定的极限,从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时,极限不存在。因取实数趋于0时,起极限为1,取纯虚数而趋于零时,其极限为-1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件,但在不可微。 证因。故 但
在时无极限,这是因让沿射线随 而趋于零,即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立,必有,故只在可微,从而,处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立,必有,故只在直线上可微,从而,处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性,并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件,从而在平面上处处可微,也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且,试求 之值。 解设,则
由代入得 解得:,从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解(a)作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子,发生了变化,可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0,1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0,1的简
基本要求 1. 正确理解复变函数积分的概念;01()lim ()n k k C k f z dz f z λζ→==?∑? 2. 掌握复变函数积分的一般计算法;()()()(())()C C f z dz u iv dx idy f z t z t dt βα '=++=??? 3. 掌握并能运用柯西—古萨基本定理和牛顿—莱布尼茨公式来计算积分; ()0C f z d z =? ,10 10()()()z z f z dz G z G z =-? 4. 掌握闭路变形定理、复合闭路定理,并能运用其计算积分; 1()()C C f z dz f z dz =?? ,1()()k n C C k f z dz f z dz ==∑?? 5. 掌握并能熟练运用柯西积分公式;00 ()2()C f z dz if z z z π=-? 6. 掌握解析函数的高阶导数公式,理解解析函数的导数仍是解析函数,会用高阶导数公式计算积分。 0102()()()! n C if z f z dz z z n π+=-? 一、填空题 1.2||122z dz z z ==++? ( ) ; 2.22|1|111z z dz z -=+=-? ( ) ; 3.2||1cos ()z z dz z π==-? ( ) ; 4.设()f z 在单连通域D 内解析且不为零,C 为D 内任一条简单闭曲线,则()2()1() C f z f z dz f z '''++=? ( ); 5.解析函数()f z 的导函数仍为( ),且()()n f z =( )。 二、计算下列各题 1.计算积分2(2)C iz dz +?,C 是由(1,0)A 到(0,1)B 的直线段; 111.33 i -+ 2.计算积分22z C e dz z z +? ,:||2C z =; 22(1).i e π--
第一章习题详解 1. 求下列复数z 的实部与虚部,共轭复数、模与辐角: 1) i 231+ 解: () ()() 13 234 9232323231231i i i i i i -=+-=-+-= + 实部:133231 = ??? ?? +i Re 虚部:132231- =??? ?? +i Im 共轭复数:1323231 i i +=? ?? ?? + 模: 13 113 232312 2 2= += +i 辐角:πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3 13 22231231+?? ? ??-=+-=+?? ? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解: () ()() 2 532 3321 133******** i i i i i i i i i i i i i i -= -+-= ++-- -=+-+- =-- 实部:23 131=??? ??-- i i i Re 虚部:25 131-=??? ??-- i i i Im 共轭复数:2 53131i i i i +=? ?? ??-- 模: 2 344 342 531312 2 2= = += -- i i i 辐角:πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2352232 52131131+??? ??-=+??? ? ? ??-=+?? ? ??--=??? ??--arg
3) ()() i i i 25243-+ 解: ()()()2 2672 2672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部:()()2725243-=? ? ? ??-+i i i Re 虚部:()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数:()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模: ()() 292 522627252432 2= ? ? ? ??-+??? ??-= -+i i i 辐角:()()ππk arctg k arctg i i i Arg 27262272 26 25243+??? ??=+??? ? ? ??--=?? ? ??-+ 4) i i i +-2184 解:i i i i i i 31414218-=+-=+- 实部:()14218=+-i i i Re 虚部:()3421 8 -=+-i i i Im 共轭复数:()i i i i 314218+=+- 模:103 142 221 8 =+=+-i i i 辐角:()()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 23213244218218+-=+?? ? ? ?- =++-=+-arg 2. 当x 、y 等于什么实数时,等式() i i y i x +=+-++13531成立? 解:根据复数相等,即两个复数的实部和虚部分别相等。有: ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ? ? ?=-=+832 1y x ???==?111y x 即1=x 、11=y 时,等式成立。
(1)(3-i) 5 解:3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°] (3-i)5 =25[cos(30°?5)-isin(30°?5)] =25(-3/2-i/2) =-163-16i
(2)(1+i )6 解:令z=1+i 则x=Re (z )=1,y=Im (z )=1 r=z =22y x +=2 tan θ=x y =1 x>0,y>0 ∴θ属于第一象限角 ∴θ= 4 π ∴1+i=2(cos 4π+isin 4 π ) ∴(1+i )6=(2)6(cos 46π+isin 4 6π ) =8(0-i ) =-8i 1.2求下式的值 (3)61-
因为 -1=(cos π+sin π) 所以 6 1-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6). 习题一 1.2(4)求(1-i)3 1的值。
解:(1-i)3 1 =[2(cos-4∏+isin-4 ∏ )]31 =62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12 ) 18(-k ∏)] (k=0,1,2) 1.3求方程3z +8=0的所有根。 解:所求方程的根就是w=38- 因为-8=8(cos π+isin π) 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2
其中ρ=3r=38=2 即 w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i 1 w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2 2 w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i 3 习题二 1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域,并指明它是有界还是无界的,单连通还是多连通的。 (1) Im(z)>0 解:设z=x+iy 因为Im(z)>0,即,y>0
第一章 复数与复变函数 本章知识点和基本要求 掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念; 熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式; 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。 一、填空题 1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立,则=x ______, =y _______. 2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ,y = 3、若1231i z i i +=--,则z = 4、若(3)(25) 2i i z i +-= ,则Re z = 5、若4 21i z i i +=- +,则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z = 7复数1z i =-的三角表示式为 ,指数表示式为 。 8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________,指数表示式为 _________________. 9、设i z 21=,i z -=12,则)(21z z Arg = _ _____. 10、设4 i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________. 12、一曲线的复数方程是2z i -=,则此曲线的直角坐标方程
为 。 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1 2 +-= z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的部。 16 二、判断题(正确打√,错误打?) 1、复数7613i i +>+. ( ) 2、若z 为纯虚数,则z z ≠. ( ) 3、若 a 为实常数,则a a = ( ) 4、复数0的辐角为0. 5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在 00(,)x y 点连续。 ( ) 6、设21,z z 为复数,则2121z z z z ?=。 ( ) 7、1212z z z z +=+ ( ) 8、参数方程2 z t ti =+ (t 为实参数)所表示的曲线是抛物线2y x =. ( ) 三、单项选择题 1、下列等式中,对任意复数z 都成立的等式是 ( ) A.z·z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg (z·z ) D. z·z =|z| 2、方程3z =8 的复根的个数为 ( ) A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当11i z i +=-时,1007550z z z ++的值等于 ( ) A i B i - C 1 D 1- 4、方程23z i +-= ( ) A 中心为23i -的圆周
复变函数论第三版课后习题答案
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第一章习题解答 (一) 1.设132 i z -=,求z 及Arcz 。 解:由于3132 i i z e π--== 所以1z =,2,0,1,3 Arcz k k ππ=-+=±L 。 2.设121,312 i z z +==-,试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解:由于64121,322 i i i z e z i e ππ -+===-= 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3.解二项方程44 0,(0)z a a +=>。 解:1 24 444 4 (),0,1,2,3k i i z a a e ae k ππ π+=-===。 4.证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。 证明:由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是:平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件:0321=++z z z ,1321 ===z z z 。证明z 1,z 2,z 3是内 接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1321===z z z ,知321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 333 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以, 12121-=+z z z z , 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z
第三章 复变函数的积分习题与解答 3.1 如果函数()f z 是在【1】单连通区域;【2】复通区域中的解析函数,问其积分值与路径有无关系? 【答案 单连通 无关,复连通 有关】 3.2 计算积分 3||21z z =-?的值 【答案 0】 3.3 计算积分 22d L z z a -?:其中0a >.设 L 分别为 (1)(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+= 【答案 (1)0;(2)πi a ; (3)πi a -】 3.4 计算积分 Im d C z z ?,其中积分曲线C 为 (1)从原点到2i +的直线段; (2)上半圆周 ||1z =,起点为1,终点为1-; (3)圆周|| (0)z a R R -=>的正方向(逆时针方向) 【答案 2(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】 3.5 计算积分 d ||C z z z ?的值, (1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】 3.6 计算积分的值 π2i 0 cos d 2z z +? 【答案 1/e e +】 3.7计算下列积分的值 (1) ||1d cos z z z =?;(2)2||2 d z z e z =?21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++?? 【答案(1)0;(2) 0;(3) 0;(4) 4πi 4i +】 3.8 计算 2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21) cos (3)d ; (4)d (i)(2) d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z z z z z e z z z z z ==-===-=--+--+?????? 【答案 (1)0;(2)0;(3)πicosi -;(4)3πi 2-;(5)πi 12(6)π8-】 3.9 计算积分 (1)π61i i 000(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z --??? 【答案 13(1)s i n 1c o s 1; (2)i ; (3)1c o s 1i [s i n (1)1]--+-】