(完整版)复变函数经典例题
第一章例题
例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？
（1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧；
（2）倾角的直线；
（3）双曲线。
解设，则
因此
（1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。
（3）因，故，在平面上对应的图形为：直线。
例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0.
证因在点连续，则，只要，就有
特别，取，则由上面的不等式得
因此，在邻域内就恒不为0。
例1.3设
试证在原点无极限，从而在原点不连续。
证令变点，则
从而（沿正实轴）
而沿第一象限的平分角线，时，。
故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。
第二章例题
例2.1在平面上处处不可微
证易知该函数在平面上处处连续。但
当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。
例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。
证因。故
但
在时无极限，这是因让沿射线随
而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。
例2.3讨论的解析性
解因, 故
要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性
解因, 故
要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。
例2.5讨论的可微性和解析性，并求。
解因, 而
在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且
。
例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求之值。
解设，则
由代入得
解得：，从而
。
例2.7设则
且的主值为。
例2.8考查下列二函数有哪些支点
(a)
(b)
解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即
从而
故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。
任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简
单闭曲线，则
故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。
最后不是的支点。因若设含0，1的简单闭曲线，则
故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。
（b）可能的支点是0，1，。设分别是含0但不含1，含1但不含0，和既含0又含1的简单闭曲线，则
结果的终值较初值均发生了变化。故0，1，都是支点，此外别无支点。
例2.9试说明在将平面适当割开后能分出三个解析分支。并求出在点取负值的那个分支在的值
解易知的支点是。因此，将平面沿正实轴从0到1割开，再沿负实轴割开。在这样割开后的平面上，能分出三个解析分支。
现取一条从到的有向曲线（不穿过支割线），则
于是
又由题设，可取。故得
。
（3）关于对数函数的已给单值解析分支，我们可以借助下面的公式来计算它的终值：
即
其中是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线；是满足条件那一支在起点之值的虚部，是一个确定的值。
例2.10试说明在割去“从-1到的直线段”，“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。并求时等于零的那一支在的值。
解的支点为。这是因
当变点单绕一周时，
故的值增加了，的值未改变，从而，的值增加了，
从一支变成另一支。故是支点，同理也都是支点，此外无其它支点。故在割去“从-1到的直线段”，“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。
现设是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线。则
故
这就是所要求之值。
例2.11求反正弦。
解
例2.12求
解
。
第三章例题
例3.1命表连接点及的任一曲线，试证
（1）（2）
证（1）因，故
，即
（2）因,选则得
，
但我们又可选，则得
由定理3.1，可知积分存在，因而的极限存在，且应与及的极限相等，从而应与的极限相等。今
，
所以。
注当为闭曲线时，
例 3.2（重要的常用例子）
这里表示以为心，为半径的圆周。（注意，积分值与,均无关）。
证的参数方程为：。故
；
当为整数且时
例3.3试证。积分路径是连接和的直线段
证的参数方程为
即
沿，连续，且
而之长为2 ，故由定理3.2 ，。
例 3.4计算积分
其中积分路径为：
（1）连接由点到点的直线段；
（2）连接由点到点1的直线段及连接由点1到点的直线段所组成的折线。解（1）连接及的直线段的参数方程为：
（），
故。
（2）连接与1的直线段的参数方程：
。
连接点1与的直线段的参数方程为：
，
即，
故
由此例可以看出，积分路径不同，积分结果可以不同。
例3.5计算积分
解在单连通区域：内，函数的一个原函数，且
在内解析，故由牛顿—莱布尼兹公式有
例3.6计算下列积分
（1），
（2），其中为右半圆周，，，起点为,终点为；（3）那一支。
解（1）因为的支点为,所以它在闭圆上单值解析。于是由柯西积分定理3.9
（2）因为上解析
故。
（3）因为的支点为，其单值分支在圆内解析，并连续到边界，所以由柯西积分定理3.9
。
例3.7设为围线内部一点，则
证以为圆心画圆周，使全含于的内部，则由复围线的柯西积分定理得
再由例3.2即得要证明的结论。
例3.8计算积分
解因在闭圆上解析，由柯西积分公式得
定理3.11的特殊情形，有如下的解析函数的平均值定理。
例3.9设在上解析。如果存在，使当时
而且
试证：在圆内至少有一个零点。
证反证法，设在内无零点，而由题设在上也无零点。于是
在闭圆上解析。由解析函数的平均值定理，
又由题设，
，
从而，矛盾。故在圆内至少有一个零点。
例3.10计算积分
其中是绕一周的围线。
解因为在平面上解析，应用公式（3.5）于，我们得
。
例3.11应用刘维尔定理证明代数学基本原理。在平面上，次多项式
至少有一个零点。
证反证法，设在平面上无零点。由于在平面上是解析的，在平面上也必解析。
下面我们证明在平面上有界。由于
，
故存在充分大的正整数，使当时，，又因在闭圆上连续，故可设
从而，在平面上
于是，在平面上是解析且有界。由刘维尔定理，必为常数，即必为常数。这与定理的假设矛盾。故定理得证。
例3.12如果为一整函数，且有使
的实数存在，试证为常数。
证令为整函数。又在平面上
故有界，由刘维尔定理可见是常数，因此也是常数。
例3.13设是整函数，是整数，试证当
时，至多是次多项式。
证只须证得对任何的，。
由
可知，对任给的，存在，只要时就有
。
在平面上任取一点，再取以为心，以为半径的圆周，使圆周
全含于其内部。于是有。这时对于，必，因而
。
由柯西不等式可得
因为是任意的，所以
。
故至多是次多项式。
例3.14验证是平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使合。
解因在平面上任一点
故在平面上为调和函数。
法一
故
要合，必，故。
法二先由条件中的一个得
，
故，
再由条件中的另一个得
，
故
因此。（下同法一）
例3.15验证在右半角平面内是调和函数，并求以此为虚部的解析函数。
解
于是
故在右半平面内，是调和函数。
两端对求导
，所以，从而（任意常数），
故
它在右半平面内单值解析。
第四章例题
例4.1考察级数的敛散性。
解因发散，故虽收敛，我们仍断定原级数发散。
例4.2试求下列各幂级数的收敛半径。
（1）
解。
（2）。
解因，
故。
（3）。
解因，
故。
（4）
解应当是平方数时，其他情形。因此，相应有，于是数列{}的聚点是0和1，从而。
例4.3将在展开成幂级数。
解因在内解析，故展开后的幂级数在内收敛。已经知道：
，
在时将两式相乘得（按对角线方法）
。
例4.4求的展开式。
解因的支点为及，故其指定分支在内单值解析。
，
其一般表达式为：当时
。
例4.5将及展为的幂级数。
解因，同理
。
两式相加除以2得
，，
两式相减除以得
。
例4.6试将函数
按的幂展开，并指明其收敛范围。
解
例4.7考察函数
在原点的性质。
解显然在解析，且。
由，或由
知为的三级零点。
例4.8求的全部零点，并指出它们的级。
解在平面上解析。由得
即
故，这就是在平面上的全部零点。显然
故
都是函数的二级零点。
例4.9设（1）及在区域内解析；
（2）在内，
试证：在内或。
证若有使。因在点连续，故由例1.28知，存在的邻域，使在内恒不为零。而由题设
,
故必.
由唯一性定理（推论4.21）。
例4.10试用最大模原理证明例3.9。即证：“设在闭圆上解析，如果存在，使当时
，
而且
，
则在圆内，至少有一个零点。”
证如果在内，无零点。而由题设在上，且在
上解析。故
复变函数总结
第一章 复数的运算与复平面上的拓扑 1.复数的定义 一对有序实数（x,y ）构成复数z x iy =+,其中()()Re ,Im x z y z ==.21i =-， X 称为复数的实部，y 称为复数的虚部。 复数的表示方法 1） 模： z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与 arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
4）若 12 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 () 121212i z z z z e θθ+=； ()121122 i z z e z z θθ-= 5.无穷远点得扩充与扩充复平面 复平面对内任一点z , 用直线将z 与N 相连, 与球面相交于P 点, 则球面上除N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N 点本身可代表无穷远点, 记作∞.这样的球面称作复球面 这样的球面称作复球面. 扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞ 复平面的开集与闭集 复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。 第二章 复变量函数 1.复变量函数的定义 1）复变函数的反演变换（了解） 2）复变函数性质 反函数 有界性 周期性， 3）极限与连续性 极限： 连续性 2.复变量函数的形式偏导 1）复初等函数 ). ( ),( , , , , . z f w z w iv u w z G iy x z G =+=+=记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设. )( )(,)0(0 )( ,0 , , 0 )( 0000时的极限趋向于当为那末称有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数z z z f A A z f z z A z z z z f w ερδδεδερ<-≤<<-<><-<= . )( , )( . )( ),()(lim 000 内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果D z f D z f z z f z f z f z z =→
复变函数经典例题
第一章例题 例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].；平面上的何种曲线? (1) 以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； (2) 倾角 二的直线； (3) 双曲线''■='。 解 设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos
0 特别，取 - ，则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此， f ② 在匚邻域 内就恒不为0。 例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一 在原点无极限，从而在原点不连续。
证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则 而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时，其极限为一1。故匚处处不可微。 证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。故 但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而 （沿正实轴。一 H ） 当I: 「时，极限不存在。因 二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于 例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数
这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理
寄生虫-寄生虫总结完整版(网上来的)
寄生虫总结 阅读笔记： 红色部分：历年考题涉及的内容 红色部分：历年考题中比较重要的内容 蓝色部分：是课上老师强调的比较重要的内容 蓝色部分：是老师强调的重要的概念or是历年考试的大题例题 黑色部分：了解就可以的内容（为了保持学习内容的完整性） 黑色部分：原理，概念，专用名词和标题等等 绿色部分：备注 灰色部分：貌似大课没有讲，实习课时候讲过 考试的时候有的题型会是英文的，本总结里面用的都是中文，所以最好尽可能的掌握总结中出现过的英文名词。 根据历年考试经验，题目大多出自于应试指南，所以该练习册很有参考价值。 总体上寄生虫内容还是比较少的，用两三天的时间复习应该就没有问题了。 加油，祝考出理想的成绩~ 第一节总论 1.Notes on the Powerpoint 1. 医学寄生虫学分为：医学原虫学、医学蠕虫学、医学节肢动物学 2. TDR、世界卫生组织重点防治的五种寄生虫病： 疟疾（malaria） 血吸虫病（schistosomiasis) 丝虫病（filariasis) 锥虫病（trypanosomiasis) 利什曼病（leishmaniasis） 3.我国建国初期五大寄生虫病： 疟疾（malaria） 血吸虫病（schistosomiasis) 丝虫病（filariasis) 钩虫病（hookworm disease) 利什曼病（leishmaniasis） 4. 概念： 寄生现象（parasitism）：两种生物间共同生活的三种方式 互利共生（mutualism）：双方均获益 片利共生（commensalism）：一方获利，另一方既无益也无害 寄生（parasitism）：一方获利，称寄生虫（parasite）；一方受害，称宿主（host）宿主的分类： 终宿主（definitive host）：寄生虫成虫或有性生殖阶段寄生的宿主 中间宿主（intermediate host）：寄生虫幼虫或无性生殖阶段寄生的宿主 保虫宿主（reservoir host）：强调是脊椎动物 转续宿主（paratenic host）：非正常宿主，蠕虫感染宿主能存活但不能发育
复变函数学习指导书
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
复变函数经典习题及答案
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
(完整版)【工程数学】复变函数复习重点
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1） 模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）； 主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
《复变函数》总结
复变小结 1.幅角（不赞成死记，学会分析） .2 argtg 20,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg ππ πππ<<-???? ?????=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏ b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C ）共线所满足的公式: (向量) OC=tOA+（1-t ）OB=OB+tBA c.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。 d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.8 4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程 a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。 b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加） c.指数函数:复数转换成三角的定义。 d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k π) e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e 时，w= z a = e aLnz (幂指数为Ln 而非ln) 能够区分： 的计算。 f.三角函数和双曲函数： 只需记住： 及 其他可自己试着去推导一下。 反三角中前三个最好自己记住，特别 iz iz i z -+-=11Ln 2Arctg 因为下一章求积分会用到 11)(arctan ,2+=z z (如第三章的习题9) 5.复变函数的积分 ,,,i e e i i e i ππ+)15.2(.2e e sin ,2e e cos i z z iz iz iz iz ---=+=???????=-==+=--y i i iy y iy y y y y sh 2e e sin ch 2e e cos 第一章复数 1 i 2=-1 i = ?, -1 欧拉公式z=x+iy 实部Re Z 虚部Im Z 2运算① z1≡z2^ Rez1=Rez2Imz1=Imz2 ②(z1±z2)=Re(z1±z2)+lm(z1±z2)= (Rez1±Rez2)+(lm z1+ Im Z2) 乙Z2 ③=χ1 iy1 χ2 iy2 X1X2iχ1y2iχ2y1- y1y2 =X1X2 -y』2 i χ1y2 χ2y1 ④z1 _ z1z2 一χ1 i y1 χ2 -iy2 _ χ1χ2 y1y2 i y1χ2 -χ1y2 2 2 2 2 Z2 Z2Z2 χ2 iy2 χ2 -iy2 χ2 y2 χ2 y2 ⑤z = X - iy 共轭复数 z z =(x+iy I x — iy )=χ2+ y2共轭技巧 运算律P1页 3代数，几何表示 ^X iy Z与平面点χ,y-------- 对应，与向量--- 对应 辐角当z≠0时，向量Z和X轴正向之间的夹角θ ,记作θ =Arg z= V0■ 2k二k= ± 1 ± 2± 3… 把位于-∏v二0≤∏的厲叫做Arg Z辐角主值记作^0= argz0 4如何寻找arg Z π 例：z=1-i 4 π z=i 2 π z=1+i 4 z=-1 π 5 极坐标: X = r CoSr , y = r sin 二Z=Xiy = r COSr isin 利用欧拉公式e i 71 =COS71 i Sin71 例2 f Z = C 时有(C )=0 可得到z= re° Z z2=r1e i J r2e i72=r1r2e iτe i72= r1r2e i 71'y^ 6高次幂及n次方 n n in 「n Z Z Z Z ............ z=re r COS 1 Sin nv 凡是满足方程国=Z的ω值称为Z的n次方根，记作CO =^Z ☆当丄二f Z o时，连续 例1 证明f Z =Z在每一点都连续 证：f（Z f（Z o ）= Z - Z o = Z - Z o τ 0ZT Z o 所以f z = Z在每一点都连续 3导数 f Z o Jm fZ 一 f z o z-?z°Z-Z o ,2 n 第二章解析函数 1极限 2函数极限 ①复变函数 对于任一Z- D都有W FP与其对应川=f Z 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例f z = z Z—Z o 称f Z当Z-:Z o时以A为极限 df(z l Z=Zo 1 (一)在我国能引起肝脏损伤的寄生虫有哪些?各是由哪个阶段造成的? 刚地弓形虫滋养体(速殖子)、、溶组织内阿米巴滋养体、华枝睾吸虫成虫、日本血吸虫卵、杜氏利什曼原虫无鞭毛体?斯氏狸殖吸虫童虫、细粒棘球绦虫棘球蚴、似蚓蛔线虫成虫异位寄生于肝胆管。 (二)在我国能引起肺脏损害的寄生虫有哪些?各是由哪个阶段造成的? 刚地弓形虫滋养体(速殖子)、溶组织内阿米巴滋养体、卫氏并殖吸虫成虫、日本血吸虫虫卵、细粒棘球绦虫棘球蚴、卡氏肺孢子虫滋养体和包囊、旋毛形线虫、钩虫和似蚓蛔线虫幼虫游移至肺。 (三)在我国能引起眼损伤的寄生虫有哪些?各是由哪个阶段造成的? 刚地弓形虫滋养体(速殖子)、细粒棘球绦虫棘球蚴、链状带绦虫囊尾蚴、曼氏迭宫绦虫裂 头蚴、蝇蛆、结膜吸吮线虫成虫。 (四)在我国以贫血为主要临床表现的寄生虫有哪些?其贫血机制有何不同? 在我国以贫血为主要临床表现的寄生虫有钩虫、疟原虫和杜氏利什曼原虫。 钩虫贫血机理①钩虫口囊内有钩齿或板齿咬附、破坏肠粘膜并吸血。②钩虫吸血时，分泌抗凝素，加重血液的丢失。③因钩虫寄生造成人丢失的血量，为吸血量、移位伤口渗血量、咬附点渗血量和偶尔肠粘膜大面积渗血量的总和。每条十二指肠钩口线虫每日所致失血量为0.14～0.4d，而美洲板口线虫为0.01～0.1m1。④钩虫破坏肠粘膜，影响营养成分的吸收，加重贫血的发生。⑤宿主全身营养不佳时，虽有少量钩虫寄生，也可出现贫血。 疟原虫贫血机理①疟原虫直接破坏，每完成一个红细胞内裂体增殖周期，就破坏大量红细胞，以恶性疟原虫破坏红细胞为重。②脾肿大，脾功能亢进，破坏血细胞的能力增强。③免疫溶血。④骨髓造血功能受抑制。 杜氏利什曼原虫贫血机理①脾肿大，脾功能亢进，破坏血细胞能力增强。②免疫溶血。③骨髓造血功能受抑制。 (五)在我国能引起脑部损害的寄生虫有哪些?各是由哪个阶段造成的? 刚地弓形虫滋养体(速殖子)、溶组织内阿米巴滋养体、疟原虫(脑型疟主要由恶性疟原虫引起，而间日疟偶发)红细胞内期、卫氏并殖吸虫童虫和成虫、日本血吸虫虫卵、细粒棘球绦虫棘球蚴、链状带绦虫囊尾蚴、旋毛形线虫幼虫。 (六)粪便检查时，主要能发现哪些寄生虫卵? 似蚓蛔线虫卵、钩虫卵、毛首鞭形线虫卵、日本血吸虫卵、卫氏并殖吸虫卵、华枝睾吸虫卵、布氏姜片虫卵和微小膜壳绦虫卵。 (七)人粪处理不当能引起哪些寄生虫病的流行? 蛔虫病、钩虫病、鞭虫病、肺吸虫病、血吸虫病、肝吸虫病、肠吸虫病、猪带绦虫病和囊虫病、牛带绦虫病、微小膜壳绦虫病、阿米巴痢疾、贾第虫病、隐孢子虫病、结肠小袋纤毛虫病。 (八)在人肠道内寄生的寄生虫主要有哪些? 似蚓蛔线虫、钩虫、毛首鞭形线虫、蠕形住肠线虫、旋毛形线虫、布氏姜片吸虫、链状带绦虫、肥胖带绦虫、微小膜壳绦虫、曼氏迭宫绦虫、溶组织内阿米巴、蓝氏贾第鞭毛虫、隐孢子虫和结肠小袋纤毛虫。 第六章留数理论及其应用 §1.留数 1.（定理6.1 柯西留数定理）： ∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k) n k=1 C 2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点， f(z)= φ(z) (z?a)n , 其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则 Res(f(z),a)=φ(n?1)(a) (n?1)! 3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点， φ(z)=(z?a)f(z),则 Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点 φ(z)=(z?a)2f(z)则 Res(f(z),a)=φ′(a) 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： Res(f(z),∞)= 1 2πi ∫f(z)dz Γ? =?c?1 即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1 z 这一项系数的反号 7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。 8.计算留数的另一公式： Res (f (z ),∞)=?Res (f (1t )1t 2,0) §2.用留数定理计算实积分 一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ 注：注意偶函数 二.∫P(x)Q(x)dx +∞?∞型积分 1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上 lim R→+∞zf (z )=λ 则 lim R→+∞∫f(z)dz S R =i(θ2?θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中 P (z )=c 0z m +c 1z m?1+?+c m (c 0≠0) Q (z )=b 0z n +b 1z n?1+?+b n (b 0≠0) 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m ≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 ∫ f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0 +∞ ?∞ 注：lim R→R+∞ ∫f(x)dx +R ?R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞?∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞?∞ 型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且 lim R→+∞g (z )=0 在ΓR 上一致成立。则 lim R→+∞ ∫g(z)e imz dz ΓR =0 4.（定理6.8）：设g (z )=P (z )Q (z )，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件： 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 复变函数积分方法总结The final revision was on November 23, 2020 复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θθ称为主值 -π＜θ≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0， z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点k 并作和式S n =∑f( k )n k?1(z k -z k-1)= ∑f( k )n k?1z k 记 z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长 度 δ=max 1≤k≤n {S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为： ∫f(z)dz c =lim δ 0 ∑f(k )n k?1z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c?.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 （1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f(k)n k?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k?1（k ?1）(z k -z k-1) 有可设k =z k ，则 ∑2= ∑Z n k?1（k ?1）(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n = (∑1+∑2)= ∑k?1n z k (z k 2?z k?12)=b 2-a 2 ∴ ∫2zdz c =b 2-a 2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入∫f(z)dz c 得： 寄生虫实验总结 医学原虫（油镜观察） 溶组织内阿米巴【观察结构：包囊】 形态特点：未成熟糖原泡、拟染色体成熟包囊为四核感染阶段：成熟四核包囊 感染特点：经口、口腔性行为寄生部位：盲肠、升结肠、乙状结肠终宿主：人 实验诊断：生理盐水：滋养体碘液涂片：包囊镜下特点：球形，包囊内有泡状核 蓝氏贾第鞭毛虫（贾第虫）【观察结构：包囊】 形态特征：蓝色染液，呈椭圆形，囊壁较厚，与虫体间有明显间隙 感染阶段：4 核成熟包囊 致病阶段：滋养体 感染途径：经口 寄生部位：十二指肠及小肠上段终宿主：人或某些哺乳动物实验诊断：粪便检查（生理盐水涂片检查滋养体，碘液涂片检查包囊）、小肠液检查、小肠活体组织检查 阴道毛滴虫【观察结构：滋养体】 形态特点:呈梨形,5根鞭毛,泡状核上缘有5个毛基体,发出5根鞭毛,后鞭毛与波动膜相连感染阶段:滋养体致病阶段：滋养体 感染途径: 直接接触:性传播 间接接触:公共泳衣泳裤、坐式马桶、公共浴盆等 寄生部位： 女性：阴道后穹男性：尿道、前列腺、睾丸、附睾实验诊断：生理盐水直接涂片、姬氏染色涂片、培养基培养镜下检查：蓝色（姬氏），梨形，轴柱伸出体外很明显，4根明显的鞭毛 疟原虫（红细胞内期形态） 形态特点：早期滋养体：核小，胞质少，虫体环状晚期：细胞变大变淡，出现红色薛氏点未成熟滋养体：核开始分裂，空泡消失，疟色素开始集中成熟滋养体：红细胞胀大，有裂殖子，疟色素集中雌配子：圆形或卵圆形，胞质蓝色，核小致密，深红色，偏一侧，疟色素分散雄配子：圆形，胞质蓝略带红色，核大，疏松，疟色素分散 感染阶段：子孢子 感染特点：按蚊叮咬 寄生部位：肝细胞，红细胞实验诊断：厚薄血涂片镜检（厚血涂片查虫，薄血片鉴别虫种）镜下特点：同形态特点 医学蠕虫 吸虫 华支睾吸虫（10*40 ）【观察结构：虫卵】 形态特点：形似芝麻，淡黄褐色，一端较宽且有盖，卵盖周围的卵壳增厚形成肩峰，另一端有小疣。卵小，卵内有毛蚴。 感染阶段：囊蚴 感染途径：经口中间宿主：第一中间宿主淡水螺（豆螺）第二中间宿主（淡水鱼，虾）终宿主：人和肉食类哺乳动物 寄生部位：肝胆管内实验诊断：粪便直接涂片法镜下特点：在高倍镜下，有卵盖。淡黄褐色。 姜片吸虫（10*10 ）【观察结构：虫卵】 形态特点：虫卵椭圆形，吸虫中最大，淡黄色，卵盖薄而均匀，一端有一不明显小盖，卵内含有一个卵细胞和约20-40 个卵黄细胞。 中间宿主：扁卷螺 终宿主：人和猪 感染阶段：囊蚴 感染途径：经口寄生部位：人小肠实验诊断：粪便直接涂片法（检查虫卵）镜下特点：肥厚，淡黄色，吸虫中最大 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数. 复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。 保虫宿主（reserboir host）:有些寄生虫即可寄生于人也可寄生于脊椎动物，脊椎动物体内的寄生虫在一定条件下可传给人，从流行病学角度上看，这些动物称保虫宿主。（例子：日本血吸虫的保虫宿主为牛、羊、鼠）。幼虫移行症（larva migrans）一些蠕虫侵入非正常宿主人后，不能发育为成虫，长期以幼虫状态存在，在皮下，组织，器官间窜扰，造成的局部或全身病变；分为内脏幼虫移行症和皮肤幼虫移行症；其共同特征是嗜酸性粒细胞增多，血中丙球蛋白及IgE水平升高。变态（metamorphosis）：昆虫从幼虫到成虫性成熟的过程中发生的外部形态、内部结构、生理功能到生态习性、行为的一系列变化。全变态(complete metamorphosis)：昆虫在个体发育中,经过卵、幼虫、蛹和成虫等4个时期地叫完全变态。不完全变态(Hemimetabolism)：昆虫发育过程不需要经历蛹期。世代交替（alternation of generation）：需要有性生殖与无性生殖交替进行才能完成生活史的现象。中间宿主 ．．．． （intermediate host）：指寄生虫的幼虫或无性生殖阶段所寄生的宿主。保虫宿主 ．．．．（reservoir host）亦称储存宿主，指某些寄生虫既可寄生于人，也可寄生于脊椎动物，后者在一定条件下可将体内的寄生虫传播给人。在流行病学上将这些脊椎动物称之为储存宿主 或保虫宿主。转续宿主（ ．．．．． paratenic host ）有些寄生虫幼虫侵入非适宜宿主后不能发育成虫，但能存活并长期维持幼虫状态，只有当该幼虫有机会进入其适宜宿主体内时，才能发育 为成虫。这种非适宜的宿主称为～。机会致病寄生虫 ．．．．．．．(opportunistic parasite)：某些寄生虫在宿主免疫功能正常时处于隐性感染状态，当宿主免疫功能低下时，虫体出现异常繁殖、致病力增强，导致宿主出现临床症状，称之。如弓形虫、微小隐孢子虫。共栖 ( commensalism )：两种不同的生物共同生活，其中一方受益，另一方既不受益，也不受害，此种现象称为共栖。鮣鱼与鲨鱼，海葵与寄居蟹。互利共生( mutualism ) ：两种生 物共同生活，双方互相依靠，彼此受益，称为互利共生。河马与小鸟。寄生 ．．(parasitism)：两种生物共同生活，其中一方受益，另一方受害，受害者提供营养和居住场所给受益者，这种关系称为寄生。受益者称为寄生物(parasite)，受害者称为宿主(host)。。机会致病性寄生虫：某些寄生虫在健康的人体内寄生时，通常不表现明显致病性，但当人体免疫功能低下或缺陷时，则可出现异常增殖且致病力明显增强，引起人体急性感染或严重发作，甚至死亡。这类寄生虫称为机会致病性寄生虫。 寄生虫生活史 ．．．．．．：是指寄生虫完成一代的生长、发育与繁殖的整个过程。包括寄生虫侵入宿主的途径、虫体在宿主体内移行、定居及离开宿主的方式，以及发育过程中所需的宿主种类（包括传播媒介）和内外环境条件等。 我国五大寄生虫病：血吸虫病、疟疾、丝虫病、钩虫病、黑热病。 寄生虫对宿主的损害：1、掠夺营养2、机械性损伤3、毒性与免疫损伤。 宿主对寄生虫的抵抗：1、全部清除寄生虫，并具有抵御再感染能力。2、部分清除寄生虫，并具有部分抵御再感染能力。3、不能有效控制寄生虫，寄生虫发育并大量繁殖。导致寄生虫病。 寄生虫感染 ．．．．．(．parasitic infection)：寄生虫侵入人体并能生活或长或短一段时间，若不引起明显的临床表现，这种现象称为寄生虫感染。有明显临床表现的寄生虫感染则称为寄生虫病。 感染阶段(infection stage)：寄生虫生活史中能使人体感染的阶段，又称感染期。 异位寄生 ．．．．(ectopic parasitism)：有些寄生虫在常见寄生部位以外的器官、组织内寄生,这种寄生现象称为异位寄生。 人兽共患寄生虫病(parasitic zoonoses)：有些人体寄生虫病可以在人与动物之间自然的传播，这些寄生虫病称之。人兽共患寄生虫病主要有黑热病、弓形虫病、血吸虫病、肺吸虫病、肝吸虫病、姜片虫病、囊虫病、包虫病、曼氏迭宫绦虫裂头蚴病、旋毛虫病和广州管圆线虫等。 自然疫源性：不需要人的参与而存在于自然界的人兽共患寄生虫病具有明显的自然疫源性。伴随免疫（concomitant immunity）：宿主感染蠕虫后对再感染产生不同程度的抵抗力，这种免疫力能作用于再次感染的幼虫或童虫，而对初次感染的成虫无杀伤作用，这种不完全非消除性免疫称伴随免疫，如血吸虫。 终宿主（definitive host）:成虫或有性生殖阶段所寄生的宿主。复变函数总结完整版
人体寄生虫学 总结归纳_共4页
(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
复变函数课后习题答案全
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