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复变函数习题答案习题详解

第一章习题详解1．求下列复数z的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：

解：

()

()()13

实部：

虚部：

共轭复数：

模：

辐角：π

πk

arctg

Arg2

arg

解：

()

()()2

实部：

虚部：

共轭复数：

模：

辐角：π

πk

arctg

Arg2

-arg

解：()()()

i i

实部：

()()

虚部：()()1322625243-=-

=??

??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i

i i i +-=

??? ??-+ 模：

()()

292522627252432

2=??

? ??-+??? ??-=-+i

i i

辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+??

? ??=+?????

?--=??? ??-+ 解：i i i i i i 31414218-=+-=+-

实部：()14218=+-i i i Re 虚部：()34218-=+-i i i Im 共轭复数：()

i i i i 314218+=+- 模：1031422218=+=+-i i i

辐角：()()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 23213244218218+-=+??

??-=++-=+-arg

2．当x 、y 等于什么实数时，等式

()i i

y i x +=+-++13531成立？

解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：

即1=x 、11=y 时，等式成立。

3．证明虚数单位i 有这样的性质：i i i ==--1 证明：i i i i i -===-2

11 4．证明

证明：设iy x z +=，则iy x z -=

证明：设111iy x z +=，222iy x z +=，则有：证明：设111θi e r z =，222θi e r z =，则有：证明：设111θi e r z =，222θi e r z =，则有：证明：设iy x z +=，则有

证明：设iy x z +=，则iy x z -=

5．对任何2

2,z z z =是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z 值才成立？解：设iy x z +=，则有：

故当0=y ，即iy x z +=是实数时，2

2z z =成立。

6．当1≤z 时，求a z n +的最大值，其中n 为正整数，a 为复数。解：a z a z a z n

n n +=+≤+

1≤z Θ1≤∴n

z ?a a z n

+≤+1即a a z n +≤+1

a z n +的最大值是a +1 7．判定下列命题的真假： 1) 若c 为实常数，则c c =；

解：真命题。因为实数的共轭复数就是它本身。 2) 若z 为纯虚数，则z z ≠；

解：真命题。设()0≠=y iy z ，则iy z -=，显然z z ≠。 3) i i 2<；

解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。 4) 零的幅角是零

解：假命题。复数0的幅角是任意的，也是无意义的。 5) 仅存在一个数z ，使得

z z

-=1

；解：假命题。有两个数i z i z -==,，使z z

-=1

成立。 6) 2121z z z z +=+；

解：假命题。设有两个数i z i z -==21,，使2121z z z z +=+不成立。

解：真命题。iz z i z i

=-=1

8．将下列复数化为三角表示式和指数表示式：

解：1==i r ，()2

i arg

解：11=-=r ，()π=-1arg

解：231=+=i r ，()

1331π==+arctg i arg 解：()????

???22222111sin cos cos sin cos sin cos +-+=+-=

+-=i r

另：222222222112?????????cos sin sin sin cos sin cos i i i +=???

??++??? ??+-=+-

另：()()??????sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos ++-=+-+=+-00001i i i i 解：

()i i

i i i i -=-=--=+-12

2221212 21=-=i r ，()()4

111π

-=-=-=-arg arg arg i

解：()()

??102

5255i i e e i ==+sin cos

9．将下列坐标公式写成复数的形式：

1) 平移公式：???+=+=1

1b y y a x x

解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：

即：A z z +=1

2) 旋转公式：???+=-=α

αα

αcos sin sin cos 1111y x y y x x

解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得： 10．一个复数乘以i -，它的模与辐角有何改变？解：设θi re z =

即：一个复数乘以i -，它的模不变，辐角减小

π。 11．

证明：(

212

212z z z z z z +=-++，并说明其几何意义。

证明：()()()(

)

212121212

1z z z z z z z z z z ++=++=+

几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的2倍。 12．证明下列各题： 1) 任何有理分式函数()()()

z Q z P z R =

可以化为iY X +的形式，其中X 与Y 为具有实系数的x 与y 的有理分式函数；证明：设()y x z iy x z ,=+=，则：

()()()y x iv y x u z P ,,11+=，()()()y x iv y x u z Q ,,22+=

其中，()y x u ,1，()y x u ,2，()y x v ,1，()y x v ,2皆为关于y x ,的实系数多项式。其中：22222121v u v v u u X ++=

，22222112v u v u v u Y +-=?()()()

iY X z Q z P z R +== Y X ,为具有实系数的关于y x ,的有理分式函数。

2) 如果()z R 为1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么()

iY X z R -=；证明：因为()z R 为具有实系数的有理分式函数，所以其中：22222121v u v v u u X ++=

，2

222

112v u v u v u Y +-= 3) 如果复数ib a +是实系数方程01110=++++--n n n n a z a z a z a Λ的根，那么ib a -也是它的

根。

证明：令()n n n n a z a z a z a z f ++++=--1110Λ

因为ib a +是方程()0=z f 的根，()0=+∴ib a f ?()0=+ib a f 又因为的系数为实数，()()

()ib a f ib a f ib a f -=+=+∴

因此()0=-ib a f 。即ib a -也是方程()0=z f 的根。即实系数多项式的复根必共轭成对出现。 13．

如果it e z =，证明：

证明：it e z =Θ 证明：it e z =Θ 14．

求下列各式的值：

解：6

23πi

e i -=-Θ

解：421π

e i =+Θ 解：πi e =-1Θ

即：i w 21230+=

，i w =1，i w 21232+-=，i w 21233--=，i w -=4，i w 2

235-= 解：4

21πi

e i -=-Θ

即：??? ??-==-121222612

0πππ

sin cos i e w i

，??? ??

+==12712722612761πππ

sin cos i e w i ，

15．

若()()n

i i -=+11,试求n 的值。

解：()()n

i i -=+11Θ 1) 求方程083=+z 的所有根；解：083=+z Θ3388πi e z =-=Θ

即：3123

0i e

z i

+==π

，221-==π

i e

z ，3123

52i e

z i

-==π

2) 求微分方程08'''=+y y 的一般解。

解：微分方程08'''=+y y 的特征方程为：083=+r 。由前题得：310i r +=，21-=r ，

312i r -=

微分方程08'''=+y y 有三个线性无关的特解：()x i e y 310+=，x e y 21-=，()x i e y 312-=

微分方程08'''=+y y 有三个线性实数特解：x e x 3cos ，x e x 3sin ，x e 2- 一般解为：()

x c x c e e c y x x 333221sin cos ++=-()R c c c ∈321,, 16．在平面上任意选一点z ，然后在复平面上画出下列各点的位置：z

z z z z z 1

,1,1,,,---

解： 17．已知两点1z 与2z （或已知三点321,,z z z ），问下列各点z 位于何处？

1) ()212

z z z +=

；解：z 位于1z 与2z 连线的中点。 2) ()211z z z λλ++=，其中λ为实数；解：z 位于1z 与2z 连线上，其中2

12z z z z --=

λ。

3) ()3213

z z z z ++=

。解：z 位于以1z ,2z ,3z 为顶点的三角形的重心上。

18．

设321,,z z z 三点适合条件0321=++z z z ，1321===z z z 。证明：321,,z z z 是内接

于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。证明：（方法一）

1321===z z z Θ?1z ,2z ,3z 位于以原点为圆心的单位圆上。令111??sin cos i z +=，222??sin cos i z +=，333??sin cos i z +=

其中π???π≤≤≤<-321。?π??2012<-≤，π??2023<-≤，π??2013<-≤

()3212π??=

-∴或()3

412π??=- 同理可得：()3223π??=-∴或()3423π

??=-

分析：如果()3412π??=-，()3223π??=-，则()π??213=-；如果()3

412π

??=-，

()3423π??=-，则()3813π??=-与π??2012≤-≤矛盾。()3

212π??=-∴。

同理()3223π

??=-。

?321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法二）

1321===z z z Θ?1z ,2z ,3z 位于以原点为圆心的单位圆上。同理：32

3=-z z ，3213=-z z 。于是32

2=-=-=-z z z z z z

?321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法三）

1321===z z z Θ?1z ,2z ,3z 位于以原点为圆心的单位圆上。

?321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法四）

1321===z z z Θ?1z ,2z ,3z 位于以原点为圆心的单位圆上。设k k k iy x z +=()321,,=k

而()()()()12

322

121=+++=--+--=+y y x x y y x x y x

()123232-=+∴y y x x 同理?()121121-=+y y x x ，()123131-=+y y x x

即321=-z z 同理?332=-z z ，313=-z z

?321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法五）

设()()()0321=---z z z z z z ，则321,,z z z 是该方程的三个根。

而()()()()()32113322123213321z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z -+++++-=---

0321=++z z z Θ，1321===z z z

所以321z z z ，，是的三个根，即321z z z ，，分别是复数321z z z 的三次方根。又因为

1321===z z z ，所以321z z z ，，均匀地分布在单位圆1=z 上，即321,,z z z 是内接于单位圆

1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法六）

如右图所示：0321=++z z z Θ?321z z z -=+ 所以()21z O z -?为等边三角形。同理可知()23z O z -?为等边三角形，于是有：

同理3221π=∠Oz z ，3

232π

=∠Oz z

1321===z z z Θ，所以321z z z ，，均匀地分布在单位圆1=z 上。命题得证。

19．

如果复数321,,z z z 满足等式

11312z z z z z z z z --=--，证明321312z z z z z z -=-=-，并说

明这些等式的几何意义。证明：3

2311312z z z z z z z z --=--Θ

3231212

32221z z z z z z z z z ++=++∴且321z z z ≠≠ 321z z z ?是等边三角形的充分必要条件是

因此，满足3

11312z z z z z z z z --=--Θ

的点1z ，2z ，3z 为顶点的三角形是等边三角形，必有 20．

指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图：

1) 65=-z ；

解：设iy x z +=，则65=-z Θ?()36522

=+-y x

即65=-z 是以5=z 为圆心，半径为6的圆周。

解：设iy x z +=，则12≥+i z Θ?()122

2≥++y x

即12≥+i z 是以i z 2-=为圆心，半径为1的圆周及其外部。 3) ()12Re -=+z ；

解：设iy x z +=，则()12-=+z Re Θ?12-=+x 即()12Re -=+z 是平行于y 轴的通过3-=z 的直线。 4) ()

3Re =z i ；

解：设iy x z +=，则()

3=z i Re Θ?3=y 即()

3Re =z i 是平行于x 轴的通过i z 3=的直线。 5) i z i z -=+；

解：设iy x z +=，则i z i z -=+Θ?()()2

22211-+=++y x y x ?0=y

即i z i z -=+是平行于x 轴。 6) 413=+++z z ；

解：设iy x z +=，则413=+++z z Θ?

()13

222

=++y x 即413=+++z z 是以3-=z ，1-=z 为焦点，长的半轴为2，短半轴为3的椭圆。 7) ()2Im ≤z ；

解：设iy x z +=，则()2≤z Im Θ?2≤y

即()2Im ≤z 是过i z 2=的平行于x 轴的直线及其下半平面。 8)

≥--z z ；解：设iy x z +=，则

123≥--z z ?()()22

2223y x y x +-≥+-?2

5≤x ()2≠z 即

123≥--z z 是去掉过2=z 的半平面2

≤x 。

解：满足π<

-i z arg 。

解：设iy x z +=，则()4

=-i z arg Θ?()[]4

1π

-+y i x arg

即()4

-i z arg 是以i z =为端点的射线1+=x y ，0>x 。 21．描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还

是多连通的： 1) ()0Im >z ；

解：设iy x z +=，则()0Im >z ?0>y ，表示不包含实轴的上半平面，是无界的单连通域。 2) 41>-z ；

解：设iy x z +=，由41>-z 得()16122

>+-y x ，表示以1=z 为圆心半径为4的圆（不含

圆周）的外部，是无界的多单连通域。 3) ()1Re 0<

解：设iy x z +=，则()1Re 0<

解：32≤≤z 表示介于圆2=z 与3=z 之间的圆环域（含两圆周），是有界的多连通域。 5) 31+<-z z ；

解：设iy x z +=，由31+<-z z ?1->x ，表示直线1-=x 右边的半平面区域（不含直线），是无界的单连通域。 6) π+-<<-1arg 1z ；

解：π+-<<-1arg 1z 表示由射线1-=?与π?+-=1所围成的角形区域（不含两射线），是无界的单连通域。 7) 141+<-z z ；

解：设iy x z +=，由141+<-z z ?2

221581517??

??>+??? ??+y x ，表示以1517-=z 为圆心半径

为

的圆的外部（不含圆周），是无界的多连通域。 8) 622≤++-z z ；

解：622≤++-z z 表示以2=z 与2-=z 为焦点长半轴3=a 短半轴5=b 的椭圆及其内部，是有界的单连通闭域。 9) 122>+--z z ；

解：122>+--z z 表示以2=z 与2-=z 为焦点实半轴2

=a 虚半轴215=b 的双曲线左边

一支的左侧，是无界的单连通域。 10) ()()422≤--+-z i z i z z 。

解：设iy x z +=，由()()422≤--+-z i z i z z ?()()22

312≤++-y x ，表示以点i z -=2为

圆心半径为3的圆及其内部，是有界的单连通闭域。 22．

证明复平面上的直线方程可写成：c z a z a =+，（0≠a 为复常数，c 为实常数）。

证明：设点iy x z +=在直线上，则直线方程可写成：c By Ax =+()R c B A ∈,,

又()

x z z =+21Θ

，()

y z z i

=-21

整理得：()()c z iB A z iB A =++-21

令()iB A a +=21，则()iB A a -=2

。因为B A ,不全为零，所以0≠a 。

?c z a z a =+是复平面上的直线方程（0≠a 为复常数，c 为实常数）。

23．证明复平面上的圆周方程可写成：0=+++c z a z a z z （其中a 为复常数，c 为实常数）。

证明：设点iy x z +=在圆上任意一点，点000iy x z +=为圆心，半径为a ，则圆的方程为：

()x z z =+21Θ，()

y z z i =-21。代入上式，得：()

()

02121a y z z i x z z =??

????--+??????-+。整理得：()()022*******=-+++---a y x z iy x z iy x z z 令c a y x =-+22

020

，()00iy x +-=α，()00iy x --=α ?0=+++c z z z z αα是复平面上的圆的方程（α为复常数，c 为实常数）。

24．将下列方程（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出：

1) ()i t z +=1；

解：设iy x z +=，则()i t iy x z +=+=1????==t y t

x ?x y = 2) t ib t a z sin cos +=，（b a ,为实常数）；

解：设iy x z +=，则t ib t a iy x z sin cos +=+=??

?==t b y t a x sin cos ?122

22=+b y a x 3) t

t z +=；

解：设iy x z +=，则t i t iy x z +=+=????

??==t y t x 1

?x y 1= 4) 22t

t z +

=；解：设iy x z +=，则22t i t iy x z +=+=????

??==2

t y t x ?()001≥≥=y x x y , 5) ibsht acht z +=，（b a ,为实常数）；

解：设iy x z +=，则ibsht acht iy x z +=+=???

?==bsht y acht x ?122

22=-b y a x 122=-t sh t ch Θ 6) it it be ae z -+=；

解：设iy x z +=，则it

be ae iy x z -+=+=?()()???-=+=t

b a y t b a x sin cos ?()()12

22=-++b a y b a x 7) t e z α=，（bi a +=α为复数）。解：设iy x z +=，则()t

bi a t e e iy x z +==+=α??????==bt e y bt e x at

sin cos ??

????==+bt x

y e y x at

tan 222 25．函数z

w 1

把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎样的曲线？ 1) 422=+y x ；

解：设iy x z +=，iv u w +=，则z w 1=Θ?????

???

+-=

+=2222y x y v y x x u

422=+y x Θ?4

22=

+v u 是w 平面上的圆。 2) x y =；

解：设iy x z +=，iv u w +=，则z w 1=Θ????

???

+-=+=2222y x y

v y x x u

y x =Θ?v u -=且0≠z 是w 平面上的直线。 3) 1=x ；

解：设iy x z +=，iv u w +=，则z w 1=Θ????

???+-=

+=2222y x y v y x x u

1=x Θ?22v u u +=?412122

=+??? ??

-v u 是w 平面上的圆。

4) ()1122

=+-y x 。

解：设iy x z +=，iv u w +=，则z w 1=Θ?????

???

+-=

+=2222y x y v y x x u

()1122

=+-y x Θ?x y x 222=+?2

u 是w 平面上的直线。 26．

已知映射3z w =，求：

1) 点i z =1，i z +=12，i z +=33在w 平面上的象；

解：i i z w -===33

1()i i z w 2213

322+-=+== 2) 区域3

0π

解：30π<

0?<

<∴π

w arg ?π<<∴w arg 0

27．

证明§6定理二与定理三。

定理二如果()A z f z z =→lim 0

，()B z g z z =→lim 0

，那么

1) ()()[]B A z g z f z z ±=±→lim 0

；

2) ()()[]AB z g z f z z =?→lim 0

；

证明：

1) ()A z f z z =→lim 0

Θ，()B z g z z =→lim 0

，则0>?ε

01>?δ，使100δ<-

<-A z f 02>?δ，使200δ<-

-B z g

取()21δδδ,m in =，则当δ<-<00z z 时，必有

()()[]()()()εε

<-+-≤±-±2

B z g A z f B A z g z f 成立。

故()()[]B A z g z f z z ±=±→lim 0

。

2) ()B z g z z =→lim 0

Θ，则01>?δ及0>M ，使100δ<-

0>?ε，()A z f z z =→lim 0

Θ，02>?∴δ，使200δ<-

M A z f +<

-ε

；

又()B z g z z =→lim 0

Θ，故存在03>δ，使300δ<-

M B z g +<

-ε

取()321δδδδ,,m in =，则当δ<-<00z z 时，必有

故()()[]AB z g z f z z =?→lim 0

。

3) ()()00

≠=→B B z g z z lim Θ，则01>?δ及0>M ，使100δ<-

B z g <

0>?ε，()A z f z z =→lim 0

Θ，()B z g z z =→lim 0

02>?∴δ，使200δ<-

03>?δ，使300δ<-

取()321δδδδ,,m in =，则当δ<-<00z z 时，必有

故()()()00

≠=→B B

z g z f z z lim

。

定理三函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在000iy x z +=处连续的充要条件是：()y x u ,和()y x v ,在点()00y x ,处连续。

证明：()()()y x iv y x u z f ,,+=在000iy x z +=处连续，()()00

z f z f z z =∴→lim ，即

()()0

0y x u y x u y y x x ,,lim ,=→→，()()0

0y x v y x v y y x x ,,lim ,=→→

即()y x u ,和()y x v ,在点()00y x ,处连续。 28．

设函数()z f 在0z 连续且()00≠z f ，那么可找到0z 的小邻域，在这邻域内()0≠z f 。

证明：()00≠z f Θ()00>∴z f

函数()z f 在0z 连续，即()()00

z f z f z z =→lim

可取()02

z f ε，存在()0>εδ，使得当()εδ<-0z z 时，有又()()()()00z f z f z f z f -<-?()()()002

z f z f z f <-

即存在0z 的()εδ邻域，在这邻域内()0≠z f 。 29．

设()A z f z z =→lim 0

，证明()z f 在0z 的某一去心邻域内是有界的，即存在一个实常数

0>M ，使在0z 的某一去心邻域内有()M z f ≤。

证明：()A z f z z =→lim 0

Θ，即0>?ε，()0>?εδ，当()εδ<-<00z z 时，有()ε<-A z f ，

取ε+=A M ，则有()M z f ≤。 30．

设()()0,21≠???

??-=

z z z z z i z f 。试证当0→z 时()z f 的极限不存在。

证明：（方法一）设?i re z =，则?i re z -=

显然，当沿着不同的路径0→z 时，()?2sin =z f 有不同的值，()z f z lim 0

→不存在。

（方法二）

令iy x z +=，则()()()

22y

x xy

z z z f +=

Im Re 于是()2

22y x xy

y x u +=

,，()0=y x v ,

沿着不同的路径0→z 时，()y x u ,的值不同，故()z u y x lim ,0

0→→不存在，于是()z f z lim 0

→不存在。

31．

试证z arg 在原点与负实轴上不连续。

证明：当00=z 时，z arg 不确定，所以z arg 在00=z 处不连续。

当0z 点在负实轴上时，动点z 从上半平面趋于0z 时，z arg 趋于π；而动点z 从下半平面趋于0z 时，z arg 趋于π-。故z z z arg lim 0

→不存在，所以z arg 在负实轴上不连续。

复变函数经典例题

第一章例题例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].；平面上的何种曲线? (1) 以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； (2) 倾角二的直线； (3) 双曲线''■='。解设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos

0 特别，取 - ，则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此， f ② 在匚邻域内就恒不为0。例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一在原点无极限，从而在原点不连续。

证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则而沿第一象限的平分角线故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。第二章例题例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时，其极限为一1。故匚处处不可微。证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。故但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而（沿正实轴。一 H ）当I: 「时，极限不存在。因二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复变函数经典习题及答案

练习题一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ），主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（绝对收敛）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点；二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（） 3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点

复变函数习题及解答

第一章复变函数习题及解答写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-；（2） ππ2(cos isin )33-；（3）1cos isin αα-+；（4）1i e +；（5）i sin R e θ ；（6）i + 答案（1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3；原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ．（2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=；计算下列复数（1 （2 答案（1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x

【解】令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以即实部为 ,x ± 虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为±值．如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根．证因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =，故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义．若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式（1） cos5θ；（2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：

《复变函数论》试卷一

《复变函数论》试卷一一、填空（30分） 1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z 2.=+i e π3 ，()i i +1的辐角的主值为 3. =z 0是()44sin z z z f =的阶零点. 4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是 () z f '1 的阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数，则___________________===c b a 6.方程0273=+z 的根为，，二、简要回答下列各题（15分） 1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？ 2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？ 3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简单闭曲线，问积分()() dz z f z f c ? '是否等于零，为什么？三、计算下列积分（16分） 1. c zdz ?，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段 2. 20 2cos d πθ θ +? 四、（12分）求函数() 1 1z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式.

五、（12分）证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、（15分）求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把1z =映射成0w =，把2z =映射成1w =. 《复变函数》试卷二一、填空题（20分） 1. －2是的一个平方根 2. 设2 1i z --= ，则，=z Argz ＝ =z Im 3. 若2 2z z =，则θi re z =满足条件 4. =z e e ，() =z e e Re 5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z 6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为变换，它是由等三个变换复合而成. 7. 幂级数∑∞ =1 2n n n z n 的收敛半径=R 8.函数 b az +1 在0=z 处的幂级数展开式为，其收敛半径为 9.变换z e W =将区域π<

《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷第1页（共4页）《复变函数》试卷第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试复变函数试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-

第二学期复变函数论期末试卷A

黄冈师范学院 2009—2010学年度第二学期期末试卷考试课程：复变函数论考核类型：考试A 卷考试形式：闭卷出卷教师：考试专业：数信学院数教考试班级：数教200701-02班一、选择题（每小题4分，共20分） 1、复数i z 45-=，则=2Re z （） A 、40 B 、9 C 、-40 D 、-9 2、关于复数z ，下列不正确的是（） A 、||2z z z = B 、)Im()Re(iz z = C 、z Argz arg = D 、z z sin )sin(-=- 3、已知xy i y x z f 2)(22+-=，则)(z f ''是（） A 、2 B 、y x 22- C 、2z D 、0 4、下列等式中不正确的是（） A 、?==0cos 111z dz z B 、02111=?=dz e z z z C 、??=dz z f k dz z kf )()( D 、? =z z e dz e 5、下列级数收敛的是（） A 、∑∞ =+1)21(n n i n B 、∑∞=??????+-12)1(n n n i n C 、∑∞=02cos n n in D 、∑∞=+o n n i )251( A 卷【第 1 页共 2 页】

二、填空题（每小题4分，共20分） 1、=-)22(i Arg ____________； 2、函数z e z f =)(是以 _______为基本周期； 3、幂级数∑∞ =12n n n z 的收敛半径R=____________； 4、函数()z z f cos =在0=z 处的泰勒级数是_________ ； 5、计算积分?==1||1 2 z z dz e 二、判断题（每小题2分，共10分） 1、在几何上，θi re z =与)2(πθk i re z +=表示同一个复角.（） 2、当复数z=0时，则有0=z 和0arg =z .（） 3、可导函数一定处处连续，连续函数不一定处处可导.（） 4、若)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内存在无穷阶导数.（） 5、收敛级数的各项必是有界的.（）三、计算及证明题（8+8+10+12+12，共50分） 1、若0321=z z z ，则复数321,,z z z 中至少有一个为零（8分） 2、已知解析函数iv u z f +=)(的虚部为222121y x v +- =，且0)0(=f ，求)(z f （8分） 3、已知c 为从z =0到z =2+i 的直线段，求?dz z c 2（10分） 4、将z e z -1在0=z 处展成幂级数（12分） 5、将函数2 )(+=z z z f 按1-z 的幂展开，并指出它的收敛范围.（12分） A 卷【第 2 页共 2 页】

复变函数课后习题答案全

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ，因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ，因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ，因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=

（2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3．求下列各式的值：（1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =

复变函数练习题及答案

复变函数卷答案与评分标准一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分）定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分）定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。（3分）定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分）二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分）解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分）（2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。

复变函数试题及答案

成绩西安交通大学考试题课程复变函数（A）系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号姓名学号期中期末 1. 填空（每题3分， 2. 共30分） 1．＝ 2．＝0是函数的（说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. ,则＝ 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10．二．判断题（每题3分，共30分） 1．在解析。【】 2．在点可微，则在解析。【】 3．是周期函数。【】 4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】 6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7．为大于1的正整数, 成立。【】 8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】 9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。五．（8分）计算积分。六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ； 2. 三级极点； 3. ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. ； 7. ； 8. 0； 9. 0 ；10. 。二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分故 ---------8分五.(8分) 解: -------3分由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ；2. 三级极点；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ； 9. 0 ； 10. 0。二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由，故 , 所以。则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由，故 , 所以。则

复变函数习题集(1-4)

第一章复数与复变函数一、选择题： 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 32 1+ - （D ）i 2 12 3+ - 3．复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为（） A ．44-3(cos isin )5 5 ππ＋ B ． 443(cos isin )55ππ－ C ． 443(cos isin )5 5 ππ＋ D ．44-3(cos isin )5 5 ππ－ 4．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续二、填空题 1．设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线. 5．=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章解析函数一、选择题：

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）

（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z

（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z

复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数.

复变函数经典例题

第一章例题例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？（1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧；（2）倾角的直线；（3）双曲线。解设，则因此（1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。（3）因，故，在平面上对应的图形为：直线。例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有特别，取，则由上面的不等式得因此，在邻域内就恒不为0。例1.3设试证在原点无极限，从而在原点不连续。

证令变点，则从而（沿正实轴）而沿第一象限的平分角线，时，。故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。第二章例题例2.1在平面上处处不可微证易知该函数在平面上处处连续。但当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。证因。故但

在时无极限，这是因让沿射线随而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。例2.3讨论的解析性解因, 故要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性解因, 故要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。例2.5讨论的可微性和解析性，并求。解因, 而在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且。例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求之值。解设，则

由代入得解得：，从而。例2.7设则且的主值为。例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即从而故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简

复变函数测试题及答案-精品

第一章复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）

复变函数积分(练习题)

基本要求 1．正确理解复变函数积分的概念；01()lim ()n k k C k f z dz f z λζ→==?∑? 2．掌握复变函数积分的一般计算法；()()()(())()C C f z dz u iv dx idy f z t z t dt βα '=++=??? 3．掌握并能运用柯西—古萨基本定理和牛顿—莱布尼茨公式来计算积分； ()0C f z d z =? ，10 10()()()z z f z dz G z G z =-? 4．掌握闭路变形定理、复合闭路定理，并能运用其计算积分； 1()()C C f z dz f z dz =?? ，1()()k n C C k f z dz f z dz ==∑?? 5．掌握并能熟练运用柯西积分公式；00 ()2()C f z dz if z z z π=-? 6．掌握解析函数的高阶导数公式，理解解析函数的导数仍是解析函数，会用高阶导数公式计算积分。 0102()()()! n C if z f z dz z z n π+=-? 一、填空题 1．2||122z dz z z ==++? （）； 2．22|1|111z z dz z -=+=-? （）； 3．2||1cos ()z z dz z π==-? （）； 4．设()f z 在单连通域D 内解析且不为零，C 为D 内任一条简单闭曲线，则()2()1() C f z f z dz f z '''++=? （）； 5．解析函数()f z 的导函数仍为（），且()()n f z =（）。二、计算下列各题 1．计算积分2(2)C iz dz +?，C 是由(1,0)A 到(0,1)B 的直线段； 111.33 i -+ 2．计算积分22z C e dz z z +? ，:||2C z =； 22(1).i e π--

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