勾股定理在最短路径问题中的应用

勾股定理在最短路径问题中的应用

标题：勾股定理的在最短路径问题中的应用

导言：

最短路径问题是一类在图论中广泛应用的数学问题，它关注着在给定的网络中寻找两个节点之间最短路径所需经过的边或弧的集合。数学家们在求解最短路径问题的过程中，经过了数不清的探索和尝试。本文将介绍勾股定理在最短路径问题中的应用，通过深入讨论和具体案例分析，旨在帮助读者更加深入、全面地理解这一主题。

一、勾股定理概述

1.1 勾股定理定义

勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是三角学中一个经典的定理。它表明，在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a² + b² = c²。

二、最短路径问题介绍

2.1 最短路径问题的定义

最短路径问题是一个经典的图论问题，它要求在给定的加权有向图或无向图中，求解两个顶点之间的最短路径。这种路径可能经过一些中间节点，但其总权值和需要最小。

三、勾股定理在最短路径问题中的应用

3.1 最短路径问题的建模

在最短路径问题中，我们需要将问题建模为一个加权有向图或无向图。对于一个直角三角形，我们可以将直角边的长度作为边的权值，斜边

的长度作为两个节点之间的距离。

3.2 以勾股定理为基础的最短路径算法

基于勾股定理的最短路径算法利用了直角三角形的特性，将直角边长

度作为边的权值，通过计算两个节点之间的距离来求解最短路径。

3.3 实例分析：勾股定理在最短路径问题中的具体应用

通过一个具体的实例，我们可以更好地理解勾股定理在最短路径问题

中的应用。假设我们有一个城市地图，有一辆车位于城市的某个节点

A上，我们需要找到车从节点A到达另一个节点B的最短路径。

4. 总结与回顾

通过本文的讨论，我们了解了勾股定理在最短路径问题中的应用。勾

股定理提供了一种有效的方法来计算两个节点之间的距离，从而为最

短路径问题的求解提供了便利。通过建立一个适当的数学模型，我们

可以利用勾股定理来解决各种实际应用中的最短路径问题。

个人观点与理解：

勾股定理在最短路径问题中的应用，为我们提供了一个简单而有效的

方法来求解最短路径。在实际应用中，最短路径问题经常出现，并涉

及到诸如导航系统、网络路由等方面。勾股定理在解决最短路径问题

时的应用，不仅减少了计算的复杂性，同时也提高了计算的效率。深

入理解勾股定理在最短路径问题中的作用，对我们解决实际问题非常

有帮助。

参考文献：

1. [最短路径 (维基百科)](

2. [勾股定理(维基百科)](在现实生活中，我们经常需要找到最短路径，无论是为了导航到目的地还是为了计划行程。最短路径问题可以通过

建立数学模型来解决，特别是利用勾股定理，可以提供便利和效率。

最短路径问题涉及确定两个点之间的最短路径。在解决这个问题时，

我们需要考虑路径上各个点之间的距离，以选择最短的路径。勾股定

理是一个简单且广为人知的数学定理，它用于计算直角三角形的边长

关系。通过将勾股定理应用于最短路径问题中，我们可以简化计算，

并获得准确的结果。

在最短路径问题中，我们可以将路线表示为一个图，其中每个点表示

一个位置，而每个边表示两个位置之间的距离。勾股定理告诉我们，

对于一个直角三角形，边长a、b和c之间存在一个关系：a² + b² =

c²。通过将这个式子引入到最短路径问题中，我们可以计算两个点之

间的距离，并找到一条连接它们的最短路径。

为了使用勾股定理解决最短路径问题，我们可以利用图论和最短路径算法。图论研究图中节点和边之间的关系，而最短路径算法帮助我们找到连接两个节点的最短路径。通过将勾股定理应用于算法中，我们可以计算每个节点之间的距离，并选择最短的路径。

举个例子来说，假设我们想从一个城市到另一个城市旅行，而我们只有有限的预算和时间。我们可以将城市表示为图中的节点，而道路则表示为边。通过利用勾股定理应用于最短路径算法中，我们可以计算每个城市之间的距离，并找到最短并且符合我们的预算和时间限制的路径。

勾股定理在最短路径问题中的应用给我们提供了一种简单而有效的方法来解决实际问题。通过建立数学模型，并将勾股定理引入最短路径算法中，我们能够减少计算的复杂性，同时提高计算的效率。这对于解决各种实际应用中的最短路径问题非常有帮助，如导航系统、网络路由等。

勾股定理在最短路径问题中的应用是非常有用的。它为我们解决最短路径问题提供了便利和效率。通过建立适当的数学模型，并利用勾股定理在最短路径算法中的应用，我们能够轻松地找到连接两个点之间

的最短路径。加深对勾股定理在最短路径问题中的理解，对我们解决实际问题是非常有帮助的。

勾股定理解决最短路径问题及折叠问题

3、如图，长方体的长为 15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 到点C 的距离为5cm ，一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 A 点爬到 B 点，需要爬行的最短距离是多少？ 勾股定理解决最短路径问题及折叠问题 1、如图，长方体的长为 15,宽为10,高为20,点B 离点 C 的距离为 沿着长方体的表面从点 A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是多少？ 5，—只蚂蚁如果要 2、如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一根细线从点 A 开始 经过4个侧面缠绕一圈到达点 B ,那么所用细线最短需要 ____________ cm ；如果从点 A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点 B ,那么所用细线最短需要 I"

4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12, △ ABE 是等边三角形，点E 在正方形 ABCD 内，在 对角线 AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，求这个最小值 5、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世 ?著名的恩施大峡谷 (A )和世界级自然保护区星斗山( B )位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧，AB = 50km , A 、 B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P,向A 、B 两景区运送游客?小民设计了两种方案，图 1是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直，垂足 为P ), P 到A 、B 的距离之和Si = PA+PB,图2是方案二的示意图(点 A 关于直线X 的对 称点是A',连接BA'交直线X 于点P ), P 到A 、B 的距离之和 ◎= PA+PB. (1 )求S 、S 2,并比较它们的大小； (2 )请你说明PA+PB 的值为最小； (3 )拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图 3所示的直角 C

最新中考专题研究用勾股定理解决最短路线问题

用勾股定理巧求最短距离 无论在平时练习或中考试题中，常出现一类利用勾股定理，求空间图形中两点之间通过表面的最短路径问题．对于这类题目，一般要将其转化为平面图形中两点之间线段最短的问题来解决． 例1 如图1（1），已知圆柱体底面圆的半径为 2 π ，高为2，AB CD ，分别是两底面的直径，AD BC ，是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是 （结果保留根式）． 析解：如图1（2），假设将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平，就会得到长方形AA ′D ′D ．连接AC ，则线段AC 就是小虫爬行的最短路线． 在Rt △ABC 中，AB= 2π×2π×2 1 =2，BC=2，由勾股定理，得 AC 2=AB 2＋BC 2=22＋22=8， ∴ = 例2如图2（1），正四棱柱的底面边长为5㎝，侧棱长为8㎝，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点A 沿棱柱的表面到顶点C ′处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？ B （1） （2） （图1） D′ A ′ D C B A D C B A D ' C ' B ' A ' C B A C ' B ' A ' （1） （2） （3） （图2） B A D ' C ' B ' A '

分析：由题可知，沿正四棱柱的表面从A到C′的走法有两大类：过底面或过侧面．由对称性知只需考虑两种情况：（1）沿面A′AB到面A′B′C′；（2）沿面A′AB到面B′BC．将立体图形转化为平面图形后，由两点之间线段最短确定最短路线。 解：（1）沿底边A′B′，将底面A′B′C′和侧面A′AB展开如图2（2），连接AC′，则AC′就是蚂蚁走的最短路线． 在Rt△ABC′中，AB=5，BC′=BB′＋B′C′=8＋5=13，由勾股定理，得 AC′ 2=AB2＋B′C′ 2=52＋132=194， ∴AC′ （2）沿侧棱BB′，将侧面A′AB和侧面B′BC展开如图2（3），连接AC′，则AC′就是蚂蚁走的最短路线． 在Rt△ACC′中，AC=AB＋BC=5＋5=10，CC′=8，由勾股定理，得 AC′ 2=AC2＋CC′ 2=102＋82=164， ∴AC′= = ∴蚂蚁需要爬行的最短路程的长是 点评：在将空间图形中最短路径问题转化为平面图形问题来解决的同时，还必须全方位考虑各种可能性，只有这样才能得到正确的答案．

勾股定理在最短路径问题中的应用

勾股定理在最短路径问题中的应用 标题：勾股定理的在最短路径问题中的应用 导言： 最短路径问题是一类在图论中广泛应用的数学问题，它关注着在给定的网络中寻找两个节点之间最短路径所需经过的边或弧的集合。数学家们在求解最短路径问题的过程中，经过了数不清的探索和尝试。本文将介绍勾股定理在最短路径问题中的应用，通过深入讨论和具体案例分析，旨在帮助读者更加深入、全面地理解这一主题。 一、勾股定理概述 1.1 勾股定理定义 勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是三角学中一个经典的定理。它表明，在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a² + b² = c²。 二、最短路径问题介绍 2.1 最短路径问题的定义 最短路径问题是一个经典的图论问题，它要求在给定的加权有向图或无向图中，求解两个顶点之间的最短路径。这种路径可能经过一些中间节点，但其总权值和需要最小。

三、勾股定理在最短路径问题中的应用 3.1 最短路径问题的建模 在最短路径问题中，我们需要将问题建模为一个加权有向图或无向图。对于一个直角三角形，我们可以将直角边的长度作为边的权值，斜边 的长度作为两个节点之间的距离。 3.2 以勾股定理为基础的最短路径算法 基于勾股定理的最短路径算法利用了直角三角形的特性，将直角边长 度作为边的权值，通过计算两个节点之间的距离来求解最短路径。 3.3 实例分析：勾股定理在最短路径问题中的具体应用 通过一个具体的实例，我们可以更好地理解勾股定理在最短路径问题 中的应用。假设我们有一个城市地图，有一辆车位于城市的某个节点 A上，我们需要找到车从节点A到达另一个节点B的最短路径。 4. 总结与回顾 通过本文的讨论，我们了解了勾股定理在最短路径问题中的应用。勾 股定理提供了一种有效的方法来计算两个节点之间的距离，从而为最 短路径问题的求解提供了便利。通过建立一个适当的数学模型，我们 可以利用勾股定理来解决各种实际应用中的最短路径问题。 个人观点与理解：

专题 勾股定理中的最短路径问题

专题1.4 勾股定理中的最短路径问题 目标导航 1、熟练掌握勾股定理的最短路径问题（主要包含：长方体、圆柱、圆锥、将军饮马等）。 2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题. 知识精讲 知识点01 最短路径问题 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 【知识拓展1】圆柱有关的最短路径问题 【微点拨】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。 要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（）（ 取3）

A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm 【答案】A 【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图， 根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC=3×16÷2=24， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 2222 241830 AB AC BC =+=+=cm． ∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处， ∴最短路径长为60cm.故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键． 【即学即练】 1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝24 π cm，高BC＝10cm，在BC的 中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm． 【答案】13

勾股定理之长方体上的最短路径问题

勾股定理的之长方体上的最短路径问题【知识点】 求长方体(如图1)上A、B 两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式(如图2) (1)右侧面向前展开，如图①，此时AB2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab (2)上底面向前展开，如图②，此时AB2＝(c＋b)2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc (3)上底面向左展开，如图③，此时AB2＝(a＋c)2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac 通过对三种展开方式的分析，我们得到： ①当c最大时，图①中AB最短 ②当a最大时，图②中AB最短 ③当b最大时，图③中AB最短 【练习题】 1.如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，其边长为 2 cm．现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达 C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为

2.如图，有一个长、宽各为2 m、高为3 m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从 顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为 3.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm、30 cm、10 cm， A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬cm 4.如图，已知长方体的长AC＝2 cm，宽BC＝1 cm，高AA′＝4 cm．如果一只 蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短路程是多少？

5.如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一 根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？ 6.如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点 S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F 处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度

勾股定理之圆柱上的最短路径问题

勾股定理之圆柱上的最短路径问题 【知识点】 求圆柱上两点之间的最短距离，可转化为求一个平面图形上对应线段的长.其一般步骤： ①将圆柱的侧面展开为一个长方形 ②确定相应点的位置 ③连接相应点，构造直角三角形 ④利用勾股定理求解 【练习题】 1.如图，有一个圆柱状的玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只 蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处， 则蚂蚁到蜂蜜的最短路线长为 2.如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与 蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁 B处的最短距离为______cm(杯壁厚度不计)

3.如图，圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4 dm，在圆柱的侧面上，过点A和 点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最小为 4.如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点 S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F 处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度 5.如图，已知圆柱的底面直径为6 ，高AB=3，小虫在圆柱侧面爬行，从C点 爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为

6.如图，圆柱的底面直径为16 ，高为12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面 移动到BC的中点S所经过的最短距离为 7.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛 藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺 8.如图，有一圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B 点．已知油罐的底面周长是12 m，高AB是5 m，问：梯子最短需要多长？

勾股定理在最短路径问题中的应用

『勾股定理在最短路径问题中的应用』 一、引言 在数学和实际生活中，勾股定理是一个被广泛应用的基本定理，它不仅仅是一个几何定理，还在诸多领域中有着重要的应用，其中就包括最短路径问题。本文将探讨勾股定理在最短路径问题中的应用，从而帮助我们更深入地理解这一数学原理在实际生活中的作用。 二、最短路径问题概述 最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的最短路径，通常以距离或权重来衡量路径的长度。这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如在网络传输中寻找最短路径可以提高传输效率，在交通规划中寻找最短路径可以节省时间和成本等等。寻找最短路径是一个被广泛关注的问题。 三、勾股定理在最短路径问题中的应用 1. 从原理上来看，勾股定理可以帮助我们计算两点之间的直线距离，这在寻找最短路径时是至关重要的。通过勾股定理，我们可以准确地计算出两点之间的距离，从而找到最短路径。 2. 勾股定理还可以帮助我们理解和推导其他寻找最短路径的算法，比如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。这些算法都是建立在对距离的准确计算基础上的，而勾股定理为我们提供了这样的基础知识。 3. 在实际的地图导航中，勾股定理也被广泛应用。通过勾股定理，地

图导航可以准确计算出最短路径，并为我们提供最优的导航方案，从 而节省时间和成本。 四、结论和回顾 通过本文的探讨，我们更加深入地了解了勾股定理在最短路径问题中 的重要应用。勾股定理不仅仅是一个单纯的数学定理，它还在实际生 活中发挥着重要作用，特别是在寻找最短路径这样的实际问题中。我 们应该重视和深入理解勾股定理这一基础数学原理，从而更好地应用 它解决现实生活中的问题。 五、个人观点 在我看来，数学定理和实际问题之间的联系总是让人感到惊讶和敬畏。勾股定理作为一个古老的数学定理，竟然在现代的最短路径问题中发 挥着如此重要的作用，这让我对数学的普适性有了更深刻的理解。我 相信，随着数学和现实生活的更加深入的结合，我们将能够更好地解 决各种实际问题，提高生活质量和效率。 在本文中，我重点从原理、应用和实际意义三个方面来探讨勾股定理 在最短路径问题中的应用，通过多次提及勾股定理，以及总结性的结语，旨在帮助读者更好地理解和接受这一数学原理在实际生活中的价值。 我鼓励读者对于数学定理和实际问题之间的联系保持好奇心和探索精

勾股定理应用长方体最短路径

勾股定理的应用之最短距离问题 个棱长为8cm 的正方体盒子，在顶点A 处有一只蚂蚁，它想沿正 2.如图，一圆柱高8cm,底面圆周长为12cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食, 4 .如图，有一棱长为2dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点 方体表面爬行到达顶点C 处，则蚂蚁爬行的最短路程是 cm. cm. 3.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm 的 点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 3cm 与蜂蜜相对 cm （杯壁厚 A 到点 D 拉一条捆绑线纯，使线缆经过 ABFE BCGF EFGH CDHG 四个面，则所需 捆绑线缆的长至少为 度不计）. P 琏蜜 H G 3

5.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2, A和B是这个台阶两个 相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 6.有一个如图所示的凹槽，各部分长度如图中所标.一只蜗牛从A点经过凹槽内壁爬到B点取食，最短的路径长是m. 7.如图，一长方体底面宽AN=5cm,长BN=10cm,高BC=16cm D为BC的中点, 一动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是. A J V 8.如图，已知圆柱的底面直径BC聿，高AB=3,小虫在圆柱表面爬行，从点C J U 爬到点A,然后在沿另一面爬回点C,则小虫爬行的最短路程为 . 9.我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤

自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是多少尺？ 10.如图是一个长、宽、高分别为12cm, 4cm, 3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木 条的粗细忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是多少？

17.1+勾股定理的应用+最短路径问题+教学设计2021-2022学年人教版数学八年级下册+

勾股定理之最短路径问题 一、教学目标： 1、结合具体实例，能灵活的运用勾股定理、线段公理解决实际问题 2、鼓励学生大胆思考，善于思考，初步养成自觉思考的好习惯鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情． 二、教学重、难点分析 ●教学重点： 运用勾股定理、线段公理解决几何体中最短路径的实际问题． ●教学难点： 学会从知识内容中提炼出数学思想或方法，学会归纳总结，初步学会思考．●突出重点、突破难点的方法与策略： （1）突出重点的方法：运用多媒体通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点 （2）突破难点的方法：充分运用多媒体教学手段，验证猜想、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点． 四、教学方法的选择与应用 根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用本节课采用“引导—探究—发现”的教学模式，引导学生在探究活动中认识到良好学习方法的重要性． 教学过程设计： 一、复习提问 1.勾股定理 2.在平面上如何求点与点、点与线的最短路径，依据什么？ （1）两点之间线段最短（2）垂线段最短 二、创设情景，引入主题 蚂蚁想吃爆米花，怎样走最近？

模型一点与直线的最短路径模型 如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后可走AB，BC两条道路到达公路，经测量∠B＝90°，BC＝3 km，AB＝4 km，现需重新修建一条道路从学校B 到公路，则新修建的道路的最短长度为______km. 模型二将军饮马的最短路径模型 如图要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为2 km和7 km，且AB两村庄相距13 km，则水泵站到A村，B 村的距离之和最短是_______km. 小试牛刀 如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M 是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM＋MN的最小值是. 三、探究新知 模型三正方体的最短路径模型 1.如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方一边AB的中点P出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点C'处的最短路径是多少? 思考：如何解决某些几何体中的最短路径问题呢？ 针对练习 1.如图3，正方体的棱长为2 cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面(不能经过底面)爬行，从点A爬到点B的最短路程是_______cm. 2．图5是由3个棱长均为1的正方体堆积而成的几何体，一只蚂蚁沿几何体表面从底端的顶点A处到顶端的顶点B处爬行的最短路程为_______.

勾股定理的应用----最短路径 (2)

勾股定理的应用----几何体的最短路径 洪湖市第七中学向长华 【教学目标】 （一）知识与技能： 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单几何体的最短路径实际问题。 （二）过程与方法： 1．让学生经历将几何体展开成平面图形即实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理解决此问题，发展学生的应用意识。 2．学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。 3．在解决实际问题的过程中，使学生体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神。 （三）情感态度与价值观 1．在利用勾股定理探索实际问题的过程中使学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2．在解决实际问题的过程中让学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。【教学重点】 探索、发现给定事物中隐含的勾股定理，将实际问题转化为直角三角形模型,并用它解决生活实际问题。 【教学难点】 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理解决实际问题。 教学准备： 纸板做的正方体、长方体和圆柱，幻灯片。 教学过程： 一、知识回顾: 1、勾股定理的文字及符号语言 2、在平面上如何求点与点、点与线的最短路径，依据什么？ （1）两点之间线段最短 （2）垂线段最短 3、那么如何求某些几何体中的最短路径呢？ 二、提出问题: 活动一：圆柱中的最值问题 蚂蚁怎样走最近：学生分组，测量、画图、计算、总结规律 例1 、如图在一个底面周长为20cm,高AA′为4cm的圆柱石 凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的 蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿圆柱的侧面从A 处爬向B处，你 们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 操作猜想： （1）从A 处爬向A′处，再从A′处爬向B处即AA′+ A′B；不符合题意舍去； （2）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉

勾股定理--与最短路径问题

17.1(11)勾股定理--与最短路径问题 一．【知识要点】 1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型 2.垂线段最短型 3.造桥选址型 二．【经典例题】 1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．． 离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．． 的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）. 4.编制一个底面半径为6 cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222, A C B ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．

5. 如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______. 6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。 7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值. 8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm. 2 A B

八下 专题三 利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题

专题(三)利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题 平面(或曲面)上的最短路线问题是数学中常见的一种最值问题,勾股定理及其逆定理是解决这类问题的一大利器.求最短路线问题,首先要把实际问题转化成含有直角三角形的数学模型,再根据“两点之间,线段最短”的数学事实通过勾股定理(或逆定理)得出最短路线.如果求曲面上的最短路线,还要通过转化的方法先将曲面展开得到一个熟悉的平面图形,然后再通过平面图形来解决. 类型1平面上的最短路径问题 1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点M在AC边上,且AM=1,MC=4,动点P在AB边上,连接PC,PM,则PC+PM的最小值是(C) A.√17 B.6 C.√26 D.7 2.如图,在△ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为(D) A.4.8 B.8 C.8.8 D.9.8

3.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接 AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)直接写出AC+CE的值;(用含x的代数式表示) (2)求AC+CE的最小值. 解:(1)AC+CE=√AA2+AA2+√AA2+AA2=√25+(8−A)2+√1+A2. (2)如图,连接AE交BD于点C1,此时AC+CE有最小值.平移DE至BF. 则BF=DE=1,EF=BD=8,AF=AB+BF=5+1=6, AC+CE的最小值AE=√AA2+AA2=√62+82=10. 4.如图,A,B两个村子在河CD的同侧,A,B两村到河的距离分别为AC=1 km,BD=3 km,CD=3 km.现在河边CD上建一水厂向A,B两村输送自来水,铺设水管的费用为20000元/km. (1)请你在河CD边上作出水厂的位置O,使铺设水管的费用最省; (2)求出铺设水管的总费用. 答案图 解:(1)O点如图所示.

(完整版)勾股定理解决最短路径问题及折叠问题

勾股定理解决最短路径问题及折叠问题 1、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 2、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm． 3、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？

4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，求这个最小值 5、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 （A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB ＝50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝PA +PB ，图2是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A ′，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝PA +PB . （1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝PA +PB 的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、 B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. B A P X 图1 C C B A P X A ′ 图2 M A D E P B C

勾股定理的应用一(蚂蚁爬行最短路线问题)

勾股定理的应用（1）--蚂蚁爬行最短路线问题 班别：_____________姓名：_________________学号：_________ 1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 2、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少? 3、一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． （Ⅰ）如图 1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A 沿表面爬行到顶点B ，怎样爬行路线最短？说出你的理由． （Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm 的正方体的顶点A 沿最短路线爬行到顶点C ，那么爬行的最短距离d 的长度应是下面选项中的（ ） （A ）1cm ＜l ＜3cm??? （B ）2cm?????? （C ）3cm 这样的最短路径有 _________条． （Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm ，宽DF=2cm ，高AB=1.5cm 的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A 沿表面爬行到顶点E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明） A B

4、如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________。若从A 点开始绕4个侧面两圈爬到B 点，最短路径长为____________。 5、一个圆柱体元件，底面半径为3，现要在其侧面绕线圈。 （1）若从A 点出发，绕侧面1圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。（结果保留π） （2）若从A 点出发，绕侧面5圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。（结果保留π） B A 6m 3m 1m

勾股定理的应用一(蚂蚁爬行最短路线问题)

勾股定理的应用（1)——蚂蚁爬行最短路线问题 班别：_____________姓名:_________________学号:_________ 1、如图,一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是（ ） A 。20cm B.10cm C 。14cm D 。无法确定 2、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少？ 3、一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． （Ⅰ）如图1,当蚂蚁从正方体的一个顶点A 沿表面爬行到顶点B,怎样爬行路线最短？说出你的理由． （Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm 的正方体的顶点A 沿最短路线爬行到顶点C,那么爬行的最短距离d 的长度应是下面选项中的（ ） (A)1cm ＜l ＜3cm （B ）2cm (C)3cm 这样的最短路径有 _________条． （Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm ，宽DF=2cm ，高AB=1。5cm 的长方体(如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A 沿表面爬行到顶点E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短?为什么?（可通过画图测量来说明） A B

4、如图所示:有一个长为3米,宽为1米,高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________。若从A 点开始绕4个侧面两圈爬到B 点，最短路径长为____________。 5、一个圆柱体元件,底面半径为3,现要在其侧面绕线圈。 （1)若从A 点出发，绕侧面1圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。（结果保留π） （2）若从A 点出发，绕侧面5圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。（结果保留π） B A 6m 3m 1m

八年级数学上册勾股定理的应用——-最短路径(将军饮马)

第3讲最短路径 ①蚂蚁沿着长方形的表面爬行，从A走到C最短路径怎么算？ ②有一个圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问：梯子最短需要多长?

③蚂蚁吃蜂蜜问题：求蚂蚁从A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B 的最短路径。 ④

例题1 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5. 只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬行到点B，则需要爬 行的最短距离是_____________. 例题2

如图，一圆柱高为8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处觅食，则要爬行的最短路程(π取3)是____________. 例题3 如图所示，圆柱形容器高为6cm，底面周长为6cm，在容器内壁离底部2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为_______cm 例题4 如图,从A到B的最短距离是多少?

模块二 将军饮马 1.在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； ①两定点在直线m 两侧： ②两定点在直线同侧： 2.一个点到一条线画______线最短。 A B l m m A B

例题5 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2,AD=8,P是AC 上一动点，则PB+PE的最小值是_____ 例题6 如图所示，MN表示一条铁路，A，B分别表示两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AA1=20km,BB1=140km,且A1B1=80km，现要在A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离的和最小请你设计一个方案确定P点的位置，并求出这个距离的和的最小值

《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计

C B A 《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计 教材分析 本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。在初中阶段，求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计 算，在中考中占有一定地位．而勾股定理是直角三角形非常重要的性质， 有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁． 学情分析 学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题， 因此对最短路径问题有一定的理解。分类讨论一直都是学生觉得比较难 掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误． 教 学 目 标 知识 目标 能运用勾股定理求最短路径问题 能力 目标 学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实 际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透 数学建模的思想． 情感 目标 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验 数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功 感． 教学重点 探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题． 教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题． 教学过程 教学环节 教学内容 教学活动 学生活动 设计意图 复习巩固 1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AC =4，BC =2，则AB = ． 2．如图，小华的家在A 处，书店在B 处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ） A ．A C D B →→→ B ．A C F B →→→C ．A C E F B →→→→ D ．A C M B →→→ 引导学生复习利用勾股定理计算三角形的边长． 引导学生回顾同一平面内，两点之间线段最短的知识． 学生回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识． 帮助学生 温故知新