专题二-勾股定理 最短路径问题

专题二-勾股定理最短路径问题

1.长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、2cm。一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到达B处。求所走的最短路径长，答案为10cm。

2.一个棱长为1的正方体纸箱，一只蚂蚁从A点沿纸箱表面爬到B点。求它所爬行的最短路线的长，答案为√

3.

3.一个底面圆周长为12cm、高为8cm的圆柱，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食。求要爬行的最短路程，答案为4√10.

4.一个三级台阶，每一级的长宽高分别为20cm、3cm、2cm。A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程为29cm。

5.从A点（圆柱底面一点）环绕圆柱形侧面，建梯子到A 点正上方的B点。若圆柱底面周长为12m，XXX为5m，求所建梯子最短需7m。

6.一个底面周长为16cm、高为11cm的圆柱形玻璃杯，离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处。求蚂蚁到达蜂蜜的最短

距离为√170.

最新中考专题研究用勾股定理解决最短路线问题

用勾股定理巧求最短距离 无论在平时练习或中考试题中，常出现一类利用勾股定理，求空间图形中两点之间通过表面的最短路径问题．对于这类题目，一般要将其转化为平面图形中两点之间线段最短的问题来解决． 例1 如图1（1），已知圆柱体底面圆的半径为 2 π ，高为2，AB CD ，分别是两底面的直径，AD BC ，是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是 （结果保留根式）． 析解：如图1（2），假设将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平，就会得到长方形AA ′D ′D ．连接AC ，则线段AC 就是小虫爬行的最短路线． 在Rt △ABC 中，AB= 2π×2π×2 1 =2，BC=2，由勾股定理，得 AC 2=AB 2＋BC 2=22＋22=8， ∴ = 例2如图2（1），正四棱柱的底面边长为5㎝，侧棱长为8㎝，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点A 沿棱柱的表面到顶点C ′处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？ B （1） （2） （图1） D′ A ′ D C B A D C B A D ' C ' B ' A ' C B A C ' B ' A ' （1） （2） （3） （图2） B A D ' C ' B ' A '

分析：由题可知，沿正四棱柱的表面从A到C′的走法有两大类：过底面或过侧面．由对称性知只需考虑两种情况：（1）沿面A′AB到面A′B′C′；（2）沿面A′AB到面B′BC．将立体图形转化为平面图形后，由两点之间线段最短确定最短路线。 解：（1）沿底边A′B′，将底面A′B′C′和侧面A′AB展开如图2（2），连接AC′，则AC′就是蚂蚁走的最短路线． 在Rt△ABC′中，AB=5，BC′=BB′＋B′C′=8＋5=13，由勾股定理，得 AC′ 2=AB2＋B′C′ 2=52＋132=194， ∴AC′ （2）沿侧棱BB′，将侧面A′AB和侧面B′BC展开如图2（3），连接AC′，则AC′就是蚂蚁走的最短路线． 在Rt△ACC′中，AC=AB＋BC=5＋5=10，CC′=8，由勾股定理，得 AC′ 2=AC2＋CC′ 2=102＋82=164， ∴AC′= = ∴蚂蚁需要爬行的最短路程的长是 点评：在将空间图形中最短路径问题转化为平面图形问题来解决的同时，还必须全方位考虑各种可能性，只有这样才能得到正确的答案．

人教版八年级数学下册 勾股定理之最短路径问题 讲义

最短路径问题 解题技巧：先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间线段最短来解决问题 例1、如图，厨房里有一个圆柱体的糖罐，底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只饥饿的蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C偷糖吃，试求出爬行的最短路程 1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 _________dm． 2、如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.

3、如图，A、B两个小城镇在河流CD同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元 (1)请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节约？ (2)求出总费用是多少？ 课后作业 1、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（） A．B．C．D． 3、如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高为______m

4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）。以点A为圆 心，AB的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___________ 5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°。 （1）求∠BAC的度数。 （2）若AC=2，求AD的长。 6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC=________ 7、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。 （1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？ （2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求BC的长。

勾股定理最短路径

勾股定理最短路径 引言 勾股定理是初中数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。而最短路径是图论中的一个经典问题，它涉及寻找两个顶点之间最短的路径。本文将探讨如何利用勾股定理来解决最短路径问题。 最短路径问题 最短路径问题是在一个图中寻找两个顶点之间的最短路径。在图论中，图由一组顶点和一组边组成，边连接两个顶点并表示它们之间的关系。最短路径问题有着广泛的应用，例如在网络路由、物流规划和导航系统中都需要找到最短路径。 勾股定理 勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的。它表述为：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。即a2+b2=c2，其中c为斜边的长度，a和b为两个 直角边的长度。 最短路径算法 解决最短路径问题的算法有很多种，其中最著名的一种是迪杰斯特拉算法。该算法通过动态规划的思想，逐步更新起始点到其他所有点的最短路径。具体步骤如下： 1.创建一个集合S，用于存放已经找到最短路径的顶点。 2.初始化起始点到其他所有点的距离为无穷大，起始点到自身的距离为0。 3.选择一个距离最小的顶点v，将其加入集合S。 4.更新起始点到v的邻接点的距离，如果经过v的路径比当前路径短，则更新 距离。 5.重复步骤3和4，直到集合S包含了所有顶点。 6.最终得到起始点到其他所有点的最短路径。

勾股定理最短路径算法 在某些特殊情况下，我们可以利用勾股定理来求解最短路径问题。假设我们有一个平面上的图，其中每个顶点表示一个点的坐标，边表示两个点之间的距离。如果我们要求解从起始点到目标点的最短路径，并且只能沿着直角边移动，那么我们可以利用勾股定理来解决这个问题。 具体步骤如下： 1.将平面上的点表示为二维坐标(x,y)，其中x和y分别表示点在x轴和y轴上 的坐标。 2.计算起始点到所有其他点的直线距离，并将其作为初始最短路径。 3.对于每个顶点，计算其到目标点的直线距离，并利用勾股定理计算出最短路 径。 4.选择最短路径最小的顶点作为下一个移动的目标点。 5.重复步骤3和4，直到到达目标点。 6.最终得到起始点到目标点的最短路径。 示例 假设我们有一个平面上的图，其中起始点为A(0, 0)，目标点为B(3, 4)。我们可以根据勾股定理来求解从A到B的最短路径。 1.计算起始点到所有其他点的直线距离： –A到B的直线距离为5。 –A到其他点的直线距离为无穷大。 2.对于每个顶点，计算其到目标点的直线距离，并利用勾股定理计算出最短路 径： –对于点C(1, 0)，C到B的直线距离为4，根据勾股定理，A到C的最短路径为1。 –对于点D(0, 1)，D到B的直线距离为3，根据勾股定理，A到D的最短路径为1。 –对于点E(2, 0)，E到B的直线距离为3，根据勾股定理，A到E的最短路径为2。 –对于点F(0, 2)，F到B的直线距离为2，根据勾股定理，A到F的最短路径为2。 3.选择最短路径最小的顶点作为下一个移动的目标点： –A到C的最短路径为1，选择C作为下一个目标点。 4.重复步骤3和4，直到到达目标点：

勾股定理最短路径

勾股定理最短路径 勾股定理是一个十分有趣的数学理论，它给出了如何求一个直角三角 形的斜边长的方法。而当我们将这个定理应用于求解最短路径问题时，它又能为我们提供非常有价值的思路。 首先需要了解的是，什么是最短路径问题。这是一个常见的计算机科 学问题，它在很多实际应用场景中都非常有用。比如在地图导航软件中，我们需要根据起点和终点，找到一条最短路线，以帮助人们快速 到达目的地。类似的，当我们在网络中传输数据时，也需要考虑选择 一条最短路径，以保证网络传输效率。 那么，在最短路径问题中，勾股定理可以起到什么作用呢？我们知道，勾股定理可以计算直角三角形的斜边长，也就是说，如果我们在地图 上画一个直角三角形，那么它的斜边长就可以使用勾股定理计算得到。而在地图导航软件或者其他最短路径问题中，我们也可以将地图或网 络抽象成一个由许多个点和边组成的图形，我们只需要找到起点和终 点之间的最短路径，就可以得到我们要求的答案。 在具体求解问题时，我们可以使用Dijkstra算法等一些经典的最短路 径算法来寻找起点和终点之间的最短路径。而在这些算法中，勾股定 理可以帮助我们在计算距离时，更准确地确定每个点之间的距离，从

而更容易得到最优解。例如，在寻找地图上两个城市之间的最短路径时，我们可以将这两个城市看作直角三角形的直角点，使用勾股定理 计算这两个城市之间的直线距离，作为它们之间的距离，在最短路径 算法中进行求解。 总的来说，勾股定理在最短路径问题中的应用是十分广泛的，它能够 提供有价值的思路和方法，帮助我们更准确地计算距离和寻找最优解。当然，在具体应用时还需要根据实际情况进行微调和改进，综合应用 各种算法和工具，才能得到最好的结果。 为了总结本文中的内容，我们可以提出以下几点建议： 1. 在最短路径问题中，勾股定理可以用来计算两个点之间的直线距离，作为它们之间的距离，从而在最短路径算法中起到作用。 2. 在具体使用时，可以根据实际情况进行微调和改进，综合应用各种 算法和工具，以得到最好的结果。 3. 最短路径问题是一个重要的计算机科学问题，具有广泛的应用场景，在实际应用中需要不断探索和研究。

勾股定理--最短距离问题

勾股定理--最短距离问题

蚂蚁爬行的最短路径 正方体 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（） A．A⇒P⇒B B．A⇒Q⇒B C．A B ⇒R⇒B D．A⇒S⇒ 解：根据两点之间线段最短可知选A． 故选A． 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段

最短”知，线段AB 即为最短路线． AB= 51222=+． 8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3， MD 1= 132322212=+=+DD MD ． 5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁 从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 （ ） 第7题

1 解：如图，AB= C ． 9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5 秒钟． 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ； （2）展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm ； 所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒． 长方体

1 A B A 1B 1D C D 1C 12410．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10 ，高为20，点B 离点C 的距离为5 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。 解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB= =25． 11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .

勾股定理--最短距离问题

蚂蚁爬行的最短路径 正方体 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着外表爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是〔 〕 A ．A ⇒P ⇒ B B ．A ⇒Q ⇒B C ．A ⇒R ⇒B D ．A ⇒S ⇒ B 解：根据两点之间线段最短可知选A ． 应选A ． 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外外表爬到顶点B 的最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短〞知，线段AB 即为最短路线． AB= 51222=+． 8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3， 第6题 第7题

A B 12 1MD 1= 1323222 12=+=+DD MD ． 5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其外表爬到点B 的最短路程是〔 〕 解：如图，AB= ()101212 2=++．应选C ． 9．如下图一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，那么它从下底面点A 沿外表爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟． 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比拟，再从各个路线中确定最短的路线． 〔1〕展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ； 〔2〕展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm ； 所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒． 长方体 10．〔2021•恩施州〕如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。 解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB= =25．

专题 勾股定理中的最短路径问题

专题1.4 勾股定理中的最短路径问题 目标导航 1、熟练掌握勾股定理的最短路径问题（主要包含：长方体、圆柱、圆锥、将军饮马等）。 2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题. 知识精讲 知识点01 最短路径问题 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 【知识拓展1】圆柱有关的最短路径问题 【微点拨】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。 要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（）（ 取3）

A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm 【答案】A 【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图， 根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC=3×16÷2=24， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 2222 241830 AB AC BC =+=+=cm． ∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处， ∴最短路径长为60cm.故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键． 【即学即练】 1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝24 π cm，高BC＝10cm，在BC的 中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm． 【答案】13

勾股定理最短路径问题做题技巧

勾股定理是数学中的经典定理，被广泛应用于解决直角三角形中的各种问题。其中，勾股定理最短路径问题是一个常见而又有一定挑战性的问题，需要我们对勾股定理的应用进行深入理解和掌握。下面，我将共享一些在做勾股定理最短路径问题时的一些技巧和注意事项，希望能对大家有所帮助。 1. 确定直角三角形 在解决勾股定理最短路径问题时，首先需要确定问题中是否存在直角三角形。通常情况下，我们可以通过问题描述中给出的线段长度或角度信息来判断是否为直角三角形。一旦确定存在直角三角形，我们便可以应用勾股定理来解决最短路径问题。 2. 确认最短路径 在确定了直角三角形后，接下来我们需要确认问题中所要求的最短路径。这个最短路径可能是直角三角形中的某条边，也可能是直角三角形内部的某一段路径。在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来判断最短路径的具体位置。 3. 应用勾股定理 一旦确定了直角三角形和最短路径，我们就可以开始应用勾股定理来求解问题了。勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b分别为直角三角形的两条直角边，c为斜边。我们可以根据勾股定理的这一表达式来进行问题的推理和计算，从而得出最终的最短路径结果。

4. 注意特殊情况 在应用勾股定理解决最短路径问题时，我们还需要特别注意一些特殊情况。当直角三角形的两条直角边长度相等时，斜边也将会最短，这种情况下我们可以直接应用勾股定理来得出结果。另外，当直角三角形的两条直角边长度有一个为0时，斜边也将为另一条直角边，这时最短路径也就不言而喻了。 5. 结合实际问题 当我们应用勾股定理解决最短路径问题时，需要将数学知识与实际问题相结合，确保解答的合理性和可行性。我们可以通过画图、列方程等方法来辅助求解，从而得出准确的最短路径结果。 在解决勾股定理最短路径问题时，我们需要确保对勾股定理的基本原理有充分的理解，同时要灵活运用对问题进行分析和求解。希望以上共享的技巧和注意事项能够帮助大家在做题时更加得心应手，解决问题时得心应手。经过以上的介绍，我们已经对勾股定理最短路径问题有了一定的了解，接下来，我们将继续探讨一些具体的例题，并结合实际情境来应用所学的技巧和注意事项。 例题一：田地中的最短路径 假设有一块矩形的田地，田地的一边长为20米，另一边长为15米。现在农夫需要从田地的一角走到对角的另一角，问农夫走的最短路径

利用勾股定理确定最短路径问题

利用勾股定理确定最短路径问题 我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题. 例1如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（） 分析根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条. 说明在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论. 例2如图1，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.

分析要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解. 说明对于从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理解为就是n个底面周长. （3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?

例4恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA+PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X 于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA+PB. （1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2＝PA+PB的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

勾股定理之长方体上的最短路径问题

勾股定理的之长方体上的最短路径问题【知识点】 求长方体(如图1)上A、B 两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式(如图2) (1)右侧面向前展开，如图①，此时AB2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab (2)上底面向前展开，如图②，此时AB2＝(c＋b)2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc (3)上底面向左展开，如图③，此时AB2＝(a＋c)2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac 通过对三种展开方式的分析，我们得到： ①当c最大时，图①中AB最短 ②当a最大时，图②中AB最短 ③当b最大时，图③中AB最短 【练习题】 1.如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，其边长为 2 cm．现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达 C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为

2.如图，有一个长、宽各为2 m、高为3 m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从 顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为 3.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm、30 cm、10 cm， A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬cm 4.如图，已知长方体的长AC＝2 cm，宽BC＝1 cm，高AA′＝4 cm．如果一只 蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短路程是多少？

5.如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一 根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？ 6.如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点 S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F 处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度

数学人教版八年级下册利用勾股定理解决最短路径问题

《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计 一、教学目标 1、通过探究平面图形和立体图形中最短路径问题，掌握利用勾股定理解决最短路径问题的方法。 2、体会类比、数形结合的数学思想方法。 二、教学重、难点 重点：掌握利用勾股定理解决最短路径问题的方法 难点：利用勾股定理解决最短路径问题的方法探究 三、教学过程 （一）情境导入 在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，怎样爬行路程最短？ 设计意图：通过有趣的问题情境导入新课，很好 的吸引学生的注意，使得学生全身心 地投入到学习中。 （二）知识梳理 1、常见立体图形的侧面展开图： 圆柱：圆锥：长方体： 2、距离最短 （1）两点之间最短距离： （2）点到直线的最短距离： （3）两个点到直线的距离和最短：两个点在直线异侧： 两个点在直线同侧： 3、勾股定理： （三）自主探究 1、平面中的最短路径问题 学习指导：请每个学生先独立思考，尝试解决例题，然后在小组合作交流。 温馨提示：请结合知识梳理中的方法思考解决问题的方法。 例题1、如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B,为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 . 步路（假如2步为1cm），却才伤了花草。 B

解答： 设计意图：通过解决这道题，让学生认识到这要做并没有节约太多的路程，然而破坏了花草，提高学生的环保意识，并倡导学生从自我做起，提醒身边的每一个人爱护花草树木。 解答： 设计意图：例题2比较综合，用到轴对称中最短路径问题，考查了学生综合解决问题的能力，也体现了小组合作的必要性。 归纳分享： 归纳利用勾股定理解决平面图形中最短路径问题的方法 设计意图：通过归纳反思，让学生认识到勾股定理解决平面中的最短路径问题的便利，并学习解决问题的方法。 （二）立体图形中最短路径问题 例题3、如图，有一个圆柱，它的高等于16cm ，底面半径等于4cm,在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是（ ） （π取3） 例题2、如图，在正方形ABCD 中，AB 边上有一点E ，AE=3，EB=1，在AC 上有一点P ，求EP+BP 的最短长度。 B C 4cm 3cm A B E C D

勾股定理--与最短路径问题

17.1(11)勾股定理--与最短路径问题 一．【知识要点】 1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型 2.垂线段最短型 3.造桥选址型 二．【经典例题】 1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．． 离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．． 的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）. 4.编制一个底面半径为6 cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222, A C B ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．

5. 如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______. 6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。 7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值. 8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm. 2 A B

勾股定理应用长方体最短路径

勾股定理的应用之最短距离问题 个棱长为8cm 的正方体盒子，在顶点A 处有一只蚂蚁，它想沿正 2.如图，一圆柱高8cm,底面圆周长为12cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食, 4 .如图，有一棱长为2dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点 方体表面爬行到达顶点C 处，则蚂蚁爬行的最短路程是 cm. cm. 3.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm 的 点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 3cm 与蜂蜜相对 cm （杯壁厚 A 到点 D 拉一条捆绑线纯，使线缆经过 ABFE BCGF EFGH CDHG 四个面，则所需 捆绑线缆的长至少为 度不计）. P 琏蜜 H G 3

5.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2, A和B是这个台阶两个 相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 6.有一个如图所示的凹槽，各部分长度如图中所标.一只蜗牛从A点经过凹槽内壁爬到B点取食，最短的路径长是m. 7.如图，一长方体底面宽AN=5cm,长BN=10cm,高BC=16cm D为BC的中点, 一动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是. A J V 8.如图，已知圆柱的底面直径BC聿，高AB=3,小虫在圆柱表面爬行，从点C J U 爬到点A,然后在沿另一面爬回点C,则小虫爬行的最短路程为 . 9.我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤

自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是多少尺？ 10.如图是一个长、宽、高分别为12cm, 4cm, 3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木 条的粗细忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是多少？

勾股定理中的最短路径问题与翻折问题(五大题型)(原卷版)

专题01 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题（五大题型） 【题型1 与长方形有关的最短路径问题】 【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】 【题型3 与台阶有关的最短路径问题】 【题型4将军饮马与最短路径问题】 【题型5几何图形中翻折、旋转问题】 【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下： 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 【题型1 与长方体有关的最短路径问题】 【典例1】（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（）cm．

A．10B．50C．10D．70 【变式1-1】（2022秋•新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（） A．10cm B．25cm C．5cm D．5cm 【变式1-2】（2023春•光泽县期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（） A．5B．25C．D．35 【变式1-3】（2023春•灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C之间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（）

八年级数学上册 1 勾股定理专题训练(二)利用勾股定理解决最短路径问题 (新版)北师大版

专题训练(二) 利用勾股定理解决最短路径问题 1．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（） A．6 cm B．12 cm C．13 cm D．16 cm 2．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是（） A．521 B．25 C．105＋5 D．35 3．如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈达到点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？ 4．(青岛中考改编)如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底3 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的平方是多少？ 5．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬

到柜角C1处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长． 参考答案 1.C 2.B 3.如图是长方体的展开图，连接PQ，则PQ即为蚂蚁爬行的最短路程．易知PP′＝12 cm，QP′＝5 cm.由勾股定理，得PQ2＝PP′2＋P′Q2＝122＋52＝169.所以PQ＝13 cm.所以蚂蚁爬行的最短路径长为13 cm. 4．如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C即为最短距离．A′C2＝A′D2＋CD2＝92＋132＝250(cm2)． 5．(1)如图，木柜的表面展开图是两个长方形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89.∵l1>l2，∴最短路径的长是89.

勾股定理最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径好

勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径 正方体 1．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是 A ．A ⇒P ⇒ B B ．A ⇒Q ⇒B C ．A ⇒R ⇒B D ．A ⇒S ⇒ B 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 . 3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 4．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 5．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟． 长方体 10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。 第2题 第3题

10题 11 12 13 11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 . 12．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm． 13．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？ 14、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm. (1)在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ (2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少? 15．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。 15 14 16 17 16．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求： （1）蚂蚁经过的最短路程； （2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程． 17．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是。 18．圆柱形坡璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。 19 18 20 19．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 cm 20．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是 cm。圆柱