培优练习之勾股定理与最短路径

用勾股定理求最短路径

例1：圆柱中的最短路径

1.有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱表面爬行的最短路程是多少?

(π的值取3)B

A

2.变式探究：如果把圆柱的高改为2cm呢？算一算，你有什么发现？

例2.阶梯中的最短路径

如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？

例3：正方体中的最短路径

如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）例4：长方体中的最短路径

如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物那么它需要爬行的最短路径的长是（）

例5：鱼与蚂蚁的区别

①一盛满水的圆柱形容器,它的高等于8厘米, 底面半径等于3厘米,在圆柱下

底面上的A点有一条小鱼, 它想从点A游到点B , 小鱼游过的最短路程是多少?

②图是一个长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体容器（盛满水）。一

条小鱼要从容器的顶点A处，游到A相对的顶点B处吃食物，那么它需要游过的最短路径是多少？

巩固练习：

1.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，

要爬行的最短路程（π取3）是（）

2. 如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm ，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）（π取3）

3、一只蚂蚁从长、宽都是30cm，高是80cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，求它

所行的最短路线的长．

4、（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一

只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm．5.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离

是。

6、如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）

7、有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深为AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．求小动物爬行的最短路线长？

勾股定理解决最短路径问题及折叠问题

3、如图，长方体的长为 15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 到点C 的距离为5cm ，一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 A 点爬到 B 点，需要爬行的最短距离是多少？ 勾股定理解决最短路径问题及折叠问题 1、如图，长方体的长为 15,宽为10,高为20,点B 离点 C 的距离为 沿着长方体的表面从点 A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是多少？ 5，—只蚂蚁如果要 2、如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一根细线从点 A 开始 经过4个侧面缠绕一圈到达点 B ,那么所用细线最短需要 ____________ cm ；如果从点 A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点 B ,那么所用细线最短需要 I"

4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12, △ ABE 是等边三角形，点E 在正方形 ABCD 内，在 对角线 AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，求这个最小值 5、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世 ?著名的恩施大峡谷 (A )和世界级自然保护区星斗山( B )位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧，AB = 50km , A 、 B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P,向A 、B 两景区运送游客?小民设计了两种方案，图 1是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直，垂足 为P ), P 到A 、B 的距离之和Si = PA+PB,图2是方案二的示意图(点 A 关于直线X 的对 称点是A',连接BA'交直线X 于点P ), P 到A 、B 的距离之和 ◎= PA+PB. (1 )求S 、S 2,并比较它们的大小； (2 )请你说明PA+PB 的值为最小； (3 )拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图 3所示的直角 C

勾股定理最短路径

勾股定理最短路径 引言 勾股定理是初中数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。而最短路径是图论中的一个经典问题，它涉及寻找两个顶点之间最短的路径。本文将探讨如何利用勾股定理来解决最短路径问题。 最短路径问题 最短路径问题是在一个图中寻找两个顶点之间的最短路径。在图论中，图由一组顶点和一组边组成，边连接两个顶点并表示它们之间的关系。最短路径问题有着广泛的应用，例如在网络路由、物流规划和导航系统中都需要找到最短路径。 勾股定理 勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的。它表述为：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。即a2+b2=c2，其中c为斜边的长度，a和b为两个 直角边的长度。 最短路径算法 解决最短路径问题的算法有很多种，其中最著名的一种是迪杰斯特拉算法。该算法通过动态规划的思想，逐步更新起始点到其他所有点的最短路径。具体步骤如下： 1.创建一个集合S，用于存放已经找到最短路径的顶点。 2.初始化起始点到其他所有点的距离为无穷大，起始点到自身的距离为0。 3.选择一个距离最小的顶点v，将其加入集合S。 4.更新起始点到v的邻接点的距离，如果经过v的路径比当前路径短，则更新 距离。 5.重复步骤3和4，直到集合S包含了所有顶点。 6.最终得到起始点到其他所有点的最短路径。

勾股定理最短路径算法 在某些特殊情况下，我们可以利用勾股定理来求解最短路径问题。假设我们有一个平面上的图，其中每个顶点表示一个点的坐标，边表示两个点之间的距离。如果我们要求解从起始点到目标点的最短路径，并且只能沿着直角边移动，那么我们可以利用勾股定理来解决这个问题。 具体步骤如下： 1.将平面上的点表示为二维坐标(x,y)，其中x和y分别表示点在x轴和y轴上 的坐标。 2.计算起始点到所有其他点的直线距离，并将其作为初始最短路径。 3.对于每个顶点，计算其到目标点的直线距离，并利用勾股定理计算出最短路 径。 4.选择最短路径最小的顶点作为下一个移动的目标点。 5.重复步骤3和4，直到到达目标点。 6.最终得到起始点到目标点的最短路径。 示例 假设我们有一个平面上的图，其中起始点为A(0, 0)，目标点为B(3, 4)。我们可以根据勾股定理来求解从A到B的最短路径。 1.计算起始点到所有其他点的直线距离： –A到B的直线距离为5。 –A到其他点的直线距离为无穷大。 2.对于每个顶点，计算其到目标点的直线距离，并利用勾股定理计算出最短路 径： –对于点C(1, 0)，C到B的直线距离为4，根据勾股定理，A到C的最短路径为1。 –对于点D(0, 1)，D到B的直线距离为3，根据勾股定理，A到D的最短路径为1。 –对于点E(2, 0)，E到B的直线距离为3，根据勾股定理，A到E的最短路径为2。 –对于点F(0, 2)，F到B的直线距离为2，根据勾股定理，A到F的最短路径为2。 3.选择最短路径最小的顶点作为下一个移动的目标点： –A到C的最短路径为1，选择C作为下一个目标点。 4.重复步骤3和4，直到到达目标点：

专项训练2 巧用勾股定理求最短路径的长

专项训练2 巧用勾股定理求最短路径的长方法指导： 求最短距离的问题，第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题；第二种情况是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种情况是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)． 技巧1：用计算法求平面中的最短问题 1．如图，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，AC＝160 m，BC＝120 m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到试验田A，B； 乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到线段AB上的H处，再从H分别向试验田A，B修筑水渠． (1)试判断△ABC的形状，并说明理由． (2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． (第1题)

技巧2：用平移法求平面中的最短问题 2．如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20 m，又向南走40 m，再向东走70 m．则小明到达的终点与原出发点的距离是________． (第2题) 3．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________． (第3题) 技巧3：用对称法求平面中的最短问题 4．某岛争端持续，我海监船加大对该岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝45 n mile，OB＝15 n mile，该岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向此岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． (1)请用直尺和圆规作出C处的位置； (2)求我国海监船行驶的航程BC的长． (第4题)

培优练习之勾股定理与最短路径

用勾股定理求最短路径 例1：圆柱中的最短路径 1.有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱表面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)B A 2.变式探究：如果把圆柱的高改为2cm呢？算一算，你有什么发现？ 例2.阶梯中的最短路径 如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？ 例3：正方体中的最短路径 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）例4：长方体中的最短路径 如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物那么它需要爬行的最短路径的长是（） 例5：鱼与蚂蚁的区别 ①一盛满水的圆柱形容器,它的高等于8厘米, 底面半径等于3厘米,在圆柱下 底面上的A点有一条小鱼, 它想从点A游到点B , 小鱼游过的最短路程是多少? ②图是一个长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体容器（盛满水）。一 条小鱼要从容器的顶点A处，游到A相对的顶点B处吃食物，那么它需要游过的最短路径是多少？ 巩固练习： 1.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食， 要爬行的最短路程（π取3）是（）

2. 如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm ，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）（π取3） 3、一只蚂蚁从长、宽都是30cm，高是80cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，求它 所行的最短路线的长． 4、（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一 只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm．5.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离 是。 6、如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（） 7、有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深为AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．求小动物爬行的最短路线长？

精品 2016年八年级数学 勾股定理-最短路径问题 题型汇总

勾股定理-最短路径问题 题型汇总 1.如图,有一圆柱,它的高等于8cm,底面直径等于4cm （3=π）,在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物,需要爬行的最短路程大约是多少？ 2.如图,无盖玻璃容器,高18,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度为 cm. 3.如图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

4.如图,A、B是笔直公路L同侧的两个村庄,且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m,两村庄之间的距离为CD(已知CD2=400000m2),现要在公路上建一汽车停靠站,使两村到停靠站的距离之和最小.问最小是多少？ 5.如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆,其边缘AB=CD=20m,点E在CD上,CE=2m,一滑行爱好者从A 点到E点,则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数） 6.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm,3dm,2dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是________ 7.如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟?

专题 勾股定理中的最短路径问题

专题1.4 勾股定理中的最短路径问题 目标导航 1、熟练掌握勾股定理的最短路径问题（主要包含：长方体、圆柱、圆锥、将军饮马等）。 2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题. 知识精讲 知识点01 最短路径问题 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 【知识拓展1】圆柱有关的最短路径问题 【微点拨】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。 要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（）（ 取3）

A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm 【答案】A 【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图， 根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC=3×16÷2=24， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 2222 241830 AB AC BC =+=+=cm． ∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处， ∴最短路径长为60cm.故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键． 【即学即练】 1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝24 π cm，高BC＝10cm，在BC的 中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm． 【答案】13

勾股定理应用长方体最短路径

勾股定理的应用之最短距离问题 个棱长为8cm 的正方体盒子，在顶点A 处有一只蚂蚁，它想沿正 2.如图，一圆柱高8cm,底面圆周长为12cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食, 4 .如图，有一棱长为2dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点 方体表面爬行到达顶点C 处，则蚂蚁爬行的最短路程是 cm. cm. 3.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm 的 点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 3cm 与蜂蜜相对 cm （杯壁厚 A 到点 D 拉一条捆绑线纯，使线缆经过 ABFE BCGF EFGH CDHG 四个面，则所需 捆绑线缆的长至少为 度不计）. P 琏蜜 H G 3

5.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2, A和B是这个台阶两个 相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 6.有一个如图所示的凹槽，各部分长度如图中所标.一只蜗牛从A点经过凹槽内壁爬到B点取食，最短的路径长是m. 7.如图，一长方体底面宽AN=5cm,长BN=10cm,高BC=16cm D为BC的中点, 一动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是. A J V 8.如图，已知圆柱的底面直径BC聿，高AB=3,小虫在圆柱表面爬行，从点C J U 爬到点A,然后在沿另一面爬回点C,则小虫爬行的最短路程为 . 9.我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤

自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是多少尺？ 10.如图是一个长、宽、高分别为12cm, 4cm, 3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木 条的粗细忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是多少？

勾股定理之长方体上的最短路径问题

勾股定理的之长方体上的最短路径问题【知识点】 求长方体(如图1)上A、B 两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式(如图2) (1)右侧面向前展开，如图①，此时AB2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab (2)上底面向前展开，如图②，此时AB2＝(c＋b)2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc (3)上底面向左展开，如图③，此时AB2＝(a＋c)2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac 通过对三种展开方式的分析，我们得到： ①当c最大时，图①中AB最短 ②当a最大时，图②中AB最短 ③当b最大时，图③中AB最短 【练习题】 1.如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，其边长为 2 cm．现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达 C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为

2.如图，有一个长、宽各为2 m、高为3 m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从 顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为 3.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm、30 cm、10 cm， A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬cm 4.如图，已知长方体的长AC＝2 cm，宽BC＝1 cm，高AA′＝4 cm．如果一只 蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短路程是多少？

5.如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一 根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？ 6.如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点 S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F 处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度

勾股定理--与最短路径问题

17.1(11)勾股定理--与最短路径问题 一．【知识要点】 1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型 2.垂线段最短型 3.造桥选址型 二．【经典例题】 1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．． 离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．． 的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）. 4.编制一个底面半径为6 cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222, A C B ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．

5. 如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______. 6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。 7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值. 8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm. 2 A B

2020人教版数学八年级下册 第十七章勾股定理：小专题(一)：利用勾股定理解决最短路径问题

小专题（一）：利用勾股定理解决最短路径问题 【例】如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π取3） 【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形（即立体图形的平面展开图），把圆柱沿着过A点的直线AA'剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走. 【方法指导】 几何体中最短路径基本模型如下：

1.（2018·黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为_____________cm . （杯壁厚度不计） 2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24dm,3dm,3dm ，点A 和点B 是这个台阶上两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是_____________. 3.如图，长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm . （1）点1A 到点2C 之间的距离是多少？ （2）若一只蚂蚁从点2A 爬到1C ，则爬行的最短路程是多少？

【例】解：需要爬行的最短路程是15cm . 变式训练 1.20 2.30dm 3.解：（1）Q 长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm ，222222124117(cm).C 5(17)A C A ∴=+=∴=+=42(cm). （2）如图1所示，22215552(cm)A C =+=.如图2所示，22219182(cm)A C =+=.如图3所示， 222164213(cm).5221382,A C =+=<<∴Q 一只蚂蚁从点2A 爬到1C ， 爬行的最短路程是52cm .

专题14勾股定理与最短路径问题-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【北师大版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题1.4勾股定理与最短路径问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020秋•禅城区期末）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B 点的食物，需要爬行的最短路径是（） A．9B．13C．14D．25 【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程． 【解析】展开圆柱的半个侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5． 根据两点之间线段最短， 知最短路程是矩形的对角线的长，即√52+122=13， 故选：B． 2．（2020秋•太原期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）

A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解析】如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半， 作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm， 延长BG，过A'作A'D⊥BG于D， ∵AE＝A'E＝DG＝4cm， ∴BD＝16cm， Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=√202−162=12cm， ∴则该圆柱底面周长为24cm． 故选：D． 3．（2020秋•金牛区校级月考）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是4 π ，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是（） A．5B．√5C．√73D．4

数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析

数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析 勾股定理最短路径问题 例题1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 分析：通过图可以发现，是一个点到它相对的另外一个点的情形。先确定长方体的长宽高，分别为5、10、20。 这类问题相对来说比较简单，这样解题本质上还是展开图的三种情形。 2.长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点 如果在长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点，那就只有通过展开图来解决问题。 例题2：如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为

5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米？ 分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短来求解。本题蚂蚁爬行了四个面，那就需要将四个面都展开来进行计算。 3.在圆柱体中爬行半圈或一圈 在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形。 例题3：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？

4.正方体表面爬行 蚂蚁在正方体表面爬行时，一般就一种情形，可通过画图解决。 例题4：如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少？

第十七章勾股定理中的最短路径问题举例练习

勾股定理中的最短路径问题举例 1.如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地 毯米。 2．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（） A．3m B．5m C．7m D．9m 3．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是______cm．（π取3） 4. 在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。 5. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是______ dm。

6.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 7.如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M 在CH 上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M,需要爬行的最短距离是多少? 8.如图，正方形ABCD ，AB 边上有一点31E AE EB ==，，，在AC 上有一点P ，使EP BP +为最短． 求：最短距离EP BP +． A E B M D C H C F

八下 专题三 利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题

专题(三)利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题 平面(或曲面)上的最短路线问题是数学中常见的一种最值问题,勾股定理及其逆定理是解决这类问题的一大利器.求最短路线问题,首先要把实际问题转化成含有直角三角形的数学模型,再根据“两点之间,线段最短”的数学事实通过勾股定理(或逆定理)得出最短路线.如果求曲面上的最短路线,还要通过转化的方法先将曲面展开得到一个熟悉的平面图形,然后再通过平面图形来解决. 类型1平面上的最短路径问题 1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点M在AC边上,且AM=1,MC=4,动点P在AB边上,连接PC,PM,则PC+PM的最小值是(C) A.√17 B.6 C.√26 D.7 2.如图,在△ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为(D) A.4.8 B.8 C.8.8 D.9.8

3.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接 AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)直接写出AC+CE的值;(用含x的代数式表示) (2)求AC+CE的最小值. 解:(1)AC+CE=√AA2+AA2+√AA2+AA2=√25+(8−A)2+√1+A2. (2)如图,连接AE交BD于点C1,此时AC+CE有最小值.平移DE至BF. 则BF=DE=1,EF=BD=8,AF=AB+BF=5+1=6, AC+CE的最小值AE=√AA2+AA2=√62+82=10. 4.如图,A,B两个村子在河CD的同侧,A,B两村到河的距离分别为AC=1 km,BD=3 km,CD=3 km.现在河边CD上建一水厂向A,B两村输送自来水,铺设水管的费用为20000元/km. (1)请你在河CD边上作出水厂的位置O,使铺设水管的费用最省; (2)求出铺设水管的总费用. 答案图 解:(1)O点如图所示.

数学八年级下册专题17.4 勾股定理中最短路径问题专项训练(30道)(人教版)(学生版)

专题17.4 勾股定理中最短路径问题专项训练（30道） 【人教版】 1．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（） A．√14B．√18C．√20D．√26 2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（） A．10cm B．20cm C．√208cm D．100cm 3．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（） A．√21B．5C．√29D．√37 4．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）

A．3√17cm B．10cm C．5√5cm D．√113cm 5．如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（） A．2√29B．4 π √π2+25C．2√25π2+4D．14 6．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（） A．√73厘米B．10厘米C．8√2厘米D．8厘米 7．国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（）

勾股定理中的最短路径问题与翻折问题(五大题型)(原卷版)

专题01 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题（五大题型） 【题型1 与长方形有关的最短路径问题】 【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】 【题型3 与台阶有关的最短路径问题】 【题型4将军饮马与最短路径问题】 【题型5几何图形中翻折、旋转问题】 【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下： 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 【题型1 与长方体有关的最短路径问题】 【典例1】（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（）cm．

A．10B．50C．10D．70 【变式1-1】（2022秋•新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（） A．10cm B．25cm C．5cm D．5cm 【变式1-2】（2023春•光泽县期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（） A．5B．25C．D．35 【变式1-3】（2023春•灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C之间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（）

初中数学数学勾股定理的专项培优练习题(附解析

一、选择题 1．如图，点A 的坐标是(2)2， ，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） A ．（2，0） B ．（4，0） C ．（－22，0） D ．（3，0） 2．在ABC ∆中，D 是直线BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，5CD =，则BC 的长为（ ） A ．4或14 B ．10或14 C ．14 D ．10 3．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ） A ．29cm B ．5cm C ．37cm D ．4.5cm 4．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2(1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为 （ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 5．如图，在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于 点D ，DE BC ⊥，垂足为E ，若CDE ∆的周长为6，则ABC ∆的面积为（ ）. A ．36 B ．18 C ．12 D ．9 6．在△ABC 中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D 是AB 的中点，将△ACD 沿直线CD 折叠得到△ECD ，连接BE ，则线段BE 的长等于（ ）

A ．5 B ．75 C ．145 D ．365 7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（ ） A ．2 B ．2.5 C ．3 D ．4 8．如图，已知45∠=MON ，点A B 、在边ON 上，3OA =，点C 是边OM 上一个动点，若ABC ∆周长的最小值是6，则AB 的长是（ ） A ．12 B ．34 C ．56 D ．1 9．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是( ) A ．5 B ．4 C 34 D ．43410．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A ＝90°，BD ＝4，CF ＝6，设正方形ADOF 的边长为x ，则210x x +=（ ）