勾股定理最短路径问题

勾股定理最短路径问题

勾股定理最短路径问题是一种在数学和计算机科学领域中常见的问题。该问题

的目标是找到两个给定点之间的最短路径，并且路径中的每个线段都恰好满足勾股定理。

勾股定理是一个基本的几何定理，它表明在一个直角三角形中，斜边的平方等

于两个直角边的平方和。勾股定理最短路径问题则是将这个定理应用到路径规划中。

为了解决这个问题，我们可以使用图论中的最短路径算法，如Dijkstra算法或

A*算法。首先，我们将给定的起点和终点转化为图中的节点，节点之间的连接表

示可以直接连接的路径。

在每个节点中，我们需要计算到达该节点的路径长度。以起点为起始节点，我

们开始遍历每个相邻节点，并通过计算其与起点的距离来更新节点的路径长度。这个过程会持续进行，直到所有节点的路径长度都被计算出来。

接下来，我们需要根据勾股定理来评估路径的长度。对于连接起点和终点的路

径上的每一段线段，我们可以根据勾股定理计算其长度。通过将每一段线段的长度累加，我们可以得到整条路径的长度。

最后，我们可以使用最短路径算法来确定具有最短长度的路径。这将帮助我们

找到勾股定理最短路径问题的解决方案。

总结而言，勾股定理最短路径问题是一个涉及路径规划和数学定理应用的问题。通过使用最短路径算法，我们可以找到满足勾股定理的最短路径，从而有效地解决这个问题。

数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析

数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析 勾股定理最短路径问题 例题1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 分析：通过图可以发现，是一个点到它相对的另外一个点的情形。先确定长方体的长宽高，分别为5、10、20。 这类问题相对来说比较简单，这样解题本质上还是展开图的三种情形。 2.长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点 如果在长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点，那就只有通过展开图来解决问题。 例题2：如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米？

分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短来求解。本题蚂蚁爬行了四个面，那就需要将四个面都展开来进行计算。 3.在圆柱体中爬行半圈或一圈 在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形。 例题3：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？

4.正方体表面爬行 蚂蚁在正方体表面爬行时，一般就一种情形，可通过画图解决。 例题4：如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少？

勾股定理最短路径

勾股定理最短路径 引言 勾股定理是初中数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。而最短路径是图论中的一个经典问题，它涉及寻找两个顶点之间最短的路径。本文将探讨如何利用勾股定理来解决最短路径问题。 最短路径问题 最短路径问题是在一个图中寻找两个顶点之间的最短路径。在图论中，图由一组顶点和一组边组成，边连接两个顶点并表示它们之间的关系。最短路径问题有着广泛的应用，例如在网络路由、物流规划和导航系统中都需要找到最短路径。 勾股定理 勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的。它表述为：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。即a2+b2=c2，其中c为斜边的长度，a和b为两个 直角边的长度。 最短路径算法 解决最短路径问题的算法有很多种，其中最著名的一种是迪杰斯特拉算法。该算法通过动态规划的思想，逐步更新起始点到其他所有点的最短路径。具体步骤如下： 1.创建一个集合S，用于存放已经找到最短路径的顶点。 2.初始化起始点到其他所有点的距离为无穷大，起始点到自身的距离为0。 3.选择一个距离最小的顶点v，将其加入集合S。 4.更新起始点到v的邻接点的距离，如果经过v的路径比当前路径短，则更新 距离。 5.重复步骤3和4，直到集合S包含了所有顶点。 6.最终得到起始点到其他所有点的最短路径。

勾股定理最短路径算法 在某些特殊情况下，我们可以利用勾股定理来求解最短路径问题。假设我们有一个平面上的图，其中每个顶点表示一个点的坐标，边表示两个点之间的距离。如果我们要求解从起始点到目标点的最短路径，并且只能沿着直角边移动，那么我们可以利用勾股定理来解决这个问题。 具体步骤如下： 1.将平面上的点表示为二维坐标(x,y)，其中x和y分别表示点在x轴和y轴上 的坐标。 2.计算起始点到所有其他点的直线距离，并将其作为初始最短路径。 3.对于每个顶点，计算其到目标点的直线距离，并利用勾股定理计算出最短路 径。 4.选择最短路径最小的顶点作为下一个移动的目标点。 5.重复步骤3和4，直到到达目标点。 6.最终得到起始点到目标点的最短路径。 示例 假设我们有一个平面上的图，其中起始点为A(0, 0)，目标点为B(3, 4)。我们可以根据勾股定理来求解从A到B的最短路径。 1.计算起始点到所有其他点的直线距离： –A到B的直线距离为5。 –A到其他点的直线距离为无穷大。 2.对于每个顶点，计算其到目标点的直线距离，并利用勾股定理计算出最短路 径： –对于点C(1, 0)，C到B的直线距离为4，根据勾股定理，A到C的最短路径为1。 –对于点D(0, 1)，D到B的直线距离为3，根据勾股定理，A到D的最短路径为1。 –对于点E(2, 0)，E到B的直线距离为3，根据勾股定理，A到E的最短路径为2。 –对于点F(0, 2)，F到B的直线距离为2，根据勾股定理，A到F的最短路径为2。 3.选择最短路径最小的顶点作为下一个移动的目标点： –A到C的最短路径为1，选择C作为下一个目标点。 4.重复步骤3和4，直到到达目标点：

勾股定理最短路径

勾股定理最短路径 勾股定理是一个十分有趣的数学理论，它给出了如何求一个直角三角 形的斜边长的方法。而当我们将这个定理应用于求解最短路径问题时，它又能为我们提供非常有价值的思路。 首先需要了解的是，什么是最短路径问题。这是一个常见的计算机科 学问题，它在很多实际应用场景中都非常有用。比如在地图导航软件中，我们需要根据起点和终点，找到一条最短路线，以帮助人们快速 到达目的地。类似的，当我们在网络中传输数据时，也需要考虑选择 一条最短路径，以保证网络传输效率。 那么，在最短路径问题中，勾股定理可以起到什么作用呢？我们知道，勾股定理可以计算直角三角形的斜边长，也就是说，如果我们在地图 上画一个直角三角形，那么它的斜边长就可以使用勾股定理计算得到。而在地图导航软件或者其他最短路径问题中，我们也可以将地图或网 络抽象成一个由许多个点和边组成的图形，我们只需要找到起点和终 点之间的最短路径，就可以得到我们要求的答案。 在具体求解问题时，我们可以使用Dijkstra算法等一些经典的最短路 径算法来寻找起点和终点之间的最短路径。而在这些算法中，勾股定 理可以帮助我们在计算距离时，更准确地确定每个点之间的距离，从

而更容易得到最优解。例如，在寻找地图上两个城市之间的最短路径时，我们可以将这两个城市看作直角三角形的直角点，使用勾股定理 计算这两个城市之间的直线距离，作为它们之间的距离，在最短路径 算法中进行求解。 总的来说，勾股定理在最短路径问题中的应用是十分广泛的，它能够 提供有价值的思路和方法，帮助我们更准确地计算距离和寻找最优解。当然，在具体应用时还需要根据实际情况进行微调和改进，综合应用 各种算法和工具，才能得到最好的结果。 为了总结本文中的内容，我们可以提出以下几点建议： 1. 在最短路径问题中，勾股定理可以用来计算两个点之间的直线距离，作为它们之间的距离，从而在最短路径算法中起到作用。 2. 在具体使用时，可以根据实际情况进行微调和改进，综合应用各种 算法和工具，以得到最好的结果。 3. 最短路径问题是一个重要的计算机科学问题，具有广泛的应用场景，在实际应用中需要不断探索和研究。

培优练习之勾股定理与最短路径

用勾股定理求最短路径 例1：圆柱中的最短路径 1.有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱表面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)B A 2.变式探究：如果把圆柱的高改为2cm呢？算一算，你有什么发现？ 例2.阶梯中的最短路径 如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？ 例3：正方体中的最短路径 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）例4：长方体中的最短路径 如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物那么它需要爬行的最短路径的长是（） 例5：鱼与蚂蚁的区别 ①一盛满水的圆柱形容器,它的高等于8厘米, 底面半径等于3厘米,在圆柱下 底面上的A点有一条小鱼, 它想从点A游到点B , 小鱼游过的最短路程是多少? ②图是一个长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体容器（盛满水）。一 条小鱼要从容器的顶点A处，游到A相对的顶点B处吃食物，那么它需要游过的最短路径是多少？ 巩固练习： 1.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食， 要爬行的最短路程（π取3）是（）

2. 如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm ，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）（π取3） 3、一只蚂蚁从长、宽都是30cm，高是80cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，求它 所行的最短路线的长． 4、（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一 只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm．5.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离 是。 6、如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（） 7、有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深为AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．求小动物爬行的最短路线长？

勾股定理在最短路径问题中的应用

勾股定理在最短路径问题中的应用 标题：勾股定理的在最短路径问题中的应用 导言： 最短路径问题是一类在图论中广泛应用的数学问题，它关注着在给定的网络中寻找两个节点之间最短路径所需经过的边或弧的集合。数学家们在求解最短路径问题的过程中，经过了数不清的探索和尝试。本文将介绍勾股定理在最短路径问题中的应用，通过深入讨论和具体案例分析，旨在帮助读者更加深入、全面地理解这一主题。 一、勾股定理概述 1.1 勾股定理定义 勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是三角学中一个经典的定理。它表明，在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a² + b² = c²。 二、最短路径问题介绍 2.1 最短路径问题的定义 最短路径问题是一个经典的图论问题，它要求在给定的加权有向图或无向图中，求解两个顶点之间的最短路径。这种路径可能经过一些中间节点，但其总权值和需要最小。

三、勾股定理在最短路径问题中的应用 3.1 最短路径问题的建模 在最短路径问题中，我们需要将问题建模为一个加权有向图或无向图。对于一个直角三角形，我们可以将直角边的长度作为边的权值，斜边 的长度作为两个节点之间的距离。 3.2 以勾股定理为基础的最短路径算法 基于勾股定理的最短路径算法利用了直角三角形的特性，将直角边长 度作为边的权值，通过计算两个节点之间的距离来求解最短路径。 3.3 实例分析：勾股定理在最短路径问题中的具体应用 通过一个具体的实例，我们可以更好地理解勾股定理在最短路径问题 中的应用。假设我们有一个城市地图，有一辆车位于城市的某个节点 A上，我们需要找到车从节点A到达另一个节点B的最短路径。 4. 总结与回顾 通过本文的讨论，我们了解了勾股定理在最短路径问题中的应用。勾 股定理提供了一种有效的方法来计算两个节点之间的距离，从而为最 短路径问题的求解提供了便利。通过建立一个适当的数学模型，我们 可以利用勾股定理来解决各种实际应用中的最短路径问题。 个人观点与理解：

专题 勾股定理中的最短路径问题

专题1.4 勾股定理中的最短路径问题 目标导航 1、熟练掌握勾股定理的最短路径问题（主要包含：长方体、圆柱、圆锥、将军饮马等）。 2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题. 知识精讲 知识点01 最短路径问题 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 【知识拓展1】圆柱有关的最短路径问题 【微点拨】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。 要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（）（ 取3）

A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm 【答案】A 【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图， 根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC=3×16÷2=24， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 2222 241830 AB AC BC =+=+=cm． ∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处， ∴最短路径长为60cm.故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键． 【即学即练】 1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝24 π cm，高BC＝10cm，在BC的 中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm． 【答案】13

勾股定理之圆柱上的最短路径问题

勾股定理之圆柱上的最短路径问题 【知识点】 求圆柱上两点之间的最短距离，可转化为求一个平面图形上对应线段的长.其一般步骤： ①将圆柱的侧面展开为一个长方形 ②确定相应点的位置 ③连接相应点，构造直角三角形 ④利用勾股定理求解 【练习题】 1.如图，有一个圆柱状的玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只 蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处， 则蚂蚁到蜂蜜的最短路线长为 2.如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与 蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁 B处的最短距离为______cm(杯壁厚度不计)

3.如图，圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4 dm，在圆柱的侧面上，过点A和 点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最小为 4.如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点 S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F 处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度 5.如图，已知圆柱的底面直径为6 ，高AB=3，小虫在圆柱侧面爬行，从C点 爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为

6.如图，圆柱的底面直径为16 ，高为12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面 移动到BC的中点S所经过的最短距离为 7.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛 藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺 8.如图，有一圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B 点．已知油罐的底面周长是12 m，高AB是5 m，问：梯子最短需要多长？

利用勾股定理确定最短路径问题

利用勾股定理确定最短路径问题 我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题. 例1如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（） 分析根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条. 说明在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论. 例2如图1，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.

分析要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解. 说明对于从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理解为就是n个底面周长. （3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?

例4恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA+PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X 于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA+PB. （1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2＝PA+PB的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

勾股定理求最短路径方法技巧

勾股定理求最短路径方法技巧 摘要： 1.引言 2.勾股定理简介 3.求最短路径方法技巧 4.应用实例与分析 5.结论 正文： 【引言】 在数学领域中，勾股定理及其求最短路径方法一直是备受关注的热点。本文将详细介绍勾股定理求最短路径的方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一理论。 【勾股定理简介】 勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边平方和等于斜边的平方。其数学表达式为：a + b = c。其中a、b为直角边，c为斜边。 【求最短路径方法技巧】 利用勾股定理求最短路径，关键在于找到起点和终点之间的直角三角形，然后运用勾股定理计算出路径长度。这里有两种求最短路径的方法： 1.直接法：在平面上给定两个点A和B，找出一条直线路径，使得这条路径上的所有点与A、B两点的距离之和最小。可以通过构建直角三角形，利用

勾股定理求解路径长度。 2.间接法：先找到起点和终点之间的中间点C，然后分别计算从起点到C 点和从C点到终点的路径长度。最后在所有路径中选择长度最短的一条。同样可以利用勾股定理计算路径长度。 【应用实例与分析】 以一个简单的平面直角坐标系为例，设有两点A(0, 0)和B(3, 4)。现在需要求从A点到B点的最短路径。 首先，求出AB的中点C：(1.5, 2)。然后，分别计算从A到C和从C到B 的路径长度。 AC的长度：√((1.5-0) + (2-0)) = √(2.25 + 4) = √6.25 BC的长度：√((3-1.5) + (4-2)) = √(1.25 + 4) = √5.25 现在可以计算出从A点到B点的最短路径长度：√6.25 + √5.25 ≈ 7.27【结论】 通过以上分析，我们可以看出，利用勾股定理求最短路径方法是简单且实用的。只需找到起点和终点之间的直角三角形，然后运用勾股定理计算路径长度，最后在所有路径中选择长度最短的一条。

(完整版)勾股定理解决最短路径问题及折叠问题

勾股定理解决最短路径问题及折叠问题 1、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 2、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm． 3、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？

4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，求这个最小值 5、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 （A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB ＝50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝PA +PB ，图2是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A ′，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝PA +PB . （1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝PA +PB 的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、 B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. B A P X 图1 C C B A P X A ′ 图2 M A D E P B C

勾股定理最短路径问题做题技巧

勾股定理是数学中的经典定理，被广泛应用于解决直角三角形中的各种问题。其中，勾股定理最短路径问题是一个常见而又有一定挑战性的问题，需要我们对勾股定理的应用进行深入理解和掌握。下面，我将共享一些在做勾股定理最短路径问题时的一些技巧和注意事项，希望能对大家有所帮助。 1. 确定直角三角形 在解决勾股定理最短路径问题时，首先需要确定问题中是否存在直角三角形。通常情况下，我们可以通过问题描述中给出的线段长度或角度信息来判断是否为直角三角形。一旦确定存在直角三角形，我们便可以应用勾股定理来解决最短路径问题。 2. 确认最短路径 在确定了直角三角形后，接下来我们需要确认问题中所要求的最短路径。这个最短路径可能是直角三角形中的某条边，也可能是直角三角形内部的某一段路径。在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来判断最短路径的具体位置。 3. 应用勾股定理 一旦确定了直角三角形和最短路径，我们就可以开始应用勾股定理来求解问题了。勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b分别为直角三角形的两条直角边，c为斜边。我们可以根据勾股定理的这一表达式来进行问题的推理和计算，从而得出最终的最短路径结果。

4. 注意特殊情况 在应用勾股定理解决最短路径问题时，我们还需要特别注意一些特殊情况。当直角三角形的两条直角边长度相等时，斜边也将会最短，这种情况下我们可以直接应用勾股定理来得出结果。另外，当直角三角形的两条直角边长度有一个为0时，斜边也将为另一条直角边，这时最短路径也就不言而喻了。 5. 结合实际问题 当我们应用勾股定理解决最短路径问题时，需要将数学知识与实际问题相结合，确保解答的合理性和可行性。我们可以通过画图、列方程等方法来辅助求解，从而得出准确的最短路径结果。 在解决勾股定理最短路径问题时，我们需要确保对勾股定理的基本原理有充分的理解，同时要灵活运用对问题进行分析和求解。希望以上共享的技巧和注意事项能够帮助大家在做题时更加得心应手，解决问题时得心应手。经过以上的介绍，我们已经对勾股定理最短路径问题有了一定的了解，接下来，我们将继续探讨一些具体的例题，并结合实际情境来应用所学的技巧和注意事项。 例题一：田地中的最短路径 假设有一块矩形的田地，田地的一边长为20米，另一边长为15米。现在农夫需要从田地的一角走到对角的另一角，问农夫走的最短路径

勾股定理之长方体上的最短路径问题

勾股定理的之长方体上的最短路径问题【知识点】 求长方体(如图1)上A、B 两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式(如图2) (1)右侧面向前展开，如图①，此时AB2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab (2)上底面向前展开，如图②，此时AB2＝(c＋b)2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc (3)上底面向左展开，如图③，此时AB2＝(a＋c)2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac 通过对三种展开方式的分析，我们得到： ①当c最大时，图①中AB最短 ②当a最大时，图②中AB最短 ③当b最大时，图③中AB最短 【练习题】 1.如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，其边长为 2 cm．现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达 C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为

2.如图，有一个长、宽各为2 m、高为3 m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从 顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为 3.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm、30 cm、10 cm， A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬cm 4.如图，已知长方体的长AC＝2 cm，宽BC＝1 cm，高AA′＝4 cm．如果一只 蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短路程是多少？

5.如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一 根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？ 6.如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点 S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F 处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度

勾股定理应用长方体最短路径

勾股定理的应用之最短距离问题 个棱长为8cm 的正方体盒子，在顶点A 处有一只蚂蚁，它想沿正 2.如图，一圆柱高8cm,底面圆周长为12cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食, 4 .如图，有一棱长为2dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点 方体表面爬行到达顶点C 处，则蚂蚁爬行的最短路程是 cm. cm. 3.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm 的 点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 3cm 与蜂蜜相对 cm （杯壁厚 A 到点 D 拉一条捆绑线纯，使线缆经过 ABFE BCGF EFGH CDHG 四个面，则所需 捆绑线缆的长至少为 度不计）. P 琏蜜 H G 3

5.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2, A和B是这个台阶两个 相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 6.有一个如图所示的凹槽，各部分长度如图中所标.一只蜗牛从A点经过凹槽内壁爬到B点取食，最短的路径长是m. 7.如图，一长方体底面宽AN=5cm,长BN=10cm,高BC=16cm D为BC的中点, 一动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是. A J V 8.如图，已知圆柱的底面直径BC聿，高AB=3,小虫在圆柱表面爬行，从点C J U 爬到点A,然后在沿另一面爬回点C,则小虫爬行的最短路程为 . 9.我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤

自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是多少尺？ 10.如图是一个长、宽、高分别为12cm, 4cm, 3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木 条的粗细忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是多少？

勾股定理--与最短路径问题

17.1(11)勾股定理--与最短路径问题 一．【知识要点】 1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型 2.垂线段最短型 3.造桥选址型 二．【经典例题】 1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．． 离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．． 的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）. 4.编制一个底面半径为6 cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222, A C B ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．

5. 如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______. 6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。 7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值. 8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm. 2 A B

完整版勾股定理 最短距离问题

蚂蚁爬行的最短路径 正方体 4.如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处，它爬行的最短 路线是（ ） 解：根据两点之间线段最短可知选 A . 故选A . 2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的 最短距离是 _____________ . 解：如图将正方体展开，根据 两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线. 8.正方体盒子的棱长为 2, BC 的中点为 M , —只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离 为 _________ . 甘—Si — 第7题 解：将正方体展开，连接 M 、D1 , 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3 , B . A? Q? B C . A? R? B D . A? S? B A . A? P? B

5.如图，点A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 蚂蚁从点A 沿其表面爬到点 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线. 所以最短路径长为 5cm ，用时最少：5吃=2.5秒. 长方体 10. (2009?恩施州)如图，长方体的长为 15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是 解：将长方体展开，连接 A 、B ，根据两点之间线段最短, B 的最短路程是 ( 2 2 12 710 .故选 C . 9.如图所示一棱长为 3cm 的正方体，把所有的面均分成 3 X3个小正方形.其边长都为 1cm , 假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm ，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 2, 一 (1)展开前面右面由勾股定理得 AB= 讥 2+3)2+⑵ 2 =V29 cm ; (2)展开底面右面由勾股定理得 AB=阿+(屮F =5cm ; 15 20 解：如图，AB=