复变函数课后习题答案(全)
习题一答案
1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
（1）
1
32i
+
（2）
(1)(2)
i
i i
--
（3）13
1
i
i i
-
-
（4）821
4
i i i
-+-
解：（1）
132
3213
i z
i
-
==
+
，
因此：
32 Re, Im
1313 z z
==-，
232
arg arctan,
31313
z z z i
==-=+
（2）
3
(1)(2)1310
i i i
z
i i i
-+
===
---
，
因此，
31
Re, Im
1010
z z
=-=，
131
arg arctan,
31010
z z z i
π
==-=--
（3）
133335
122
i i i
z i
i i
--
=-=-+=
-
，
因此，
35
Re, Im
32
z z
==-，
535
,arg arctan,
232
i
z z z
+
==-=
（4）821
41413
z i i i i i i
=-+-=-+-=-+
因此，Re1,Im3
z z
=-=，
arg arctan3,13
z z z i
π
==-=--
2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：
（1）i（2
）1
-+（3）(sin cos)
r i
θθ
+
（4）(cos sin)
r i
θθ
-（5）1cos sin (02)
i
θθθπ
-+≤≤解：（1）2
cos sin
22
i
i i e
π
ππ
=+=
（2
）1-+23
222(cos sin )233
i i e πππ=+=
（3）(sin cos )r i θθ+()2
[cos()sin()]22
i
r i re
π
θππ
θθ-=-+-=
（4）(cos sin )r i θ
θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=
（5）2
1cos sin 2sin 2sin cos 222
i i θ
θθ
θθ-+=+ 2
2sin [cos
sin
]2sin 22
22
i
i e
πθ
θπθ
πθ
θ
---=+=
3． 求下列各式的值：
（1
）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )
i i i θθθθ-+-- （4）
23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+-
（5
（6
解：（1
）5)i -5[2(cos()sin())]66
i ππ
=-+-
5
552(cos()sin()))66
i i ππ
=-+-=-+
（2）100
100(1)
(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--
2[cos()sin()](cos sin )
33)sin()][cos()sin()]44
i i i i ππ
θθππ
θθ-+-+=
-+--+-
)sin()](cos2sin 2)12
12
i i π
π
θθ=-
+-
+
(2)12
)sin(2)]12
12
i
i π
θπ
π
θθ-
=-
+-
=
（4）2
3
(cos5sin 5)(cos3sin 3)
i i ????+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)
i i i ??????+==+-+- （5
=
11cos (2)sin (2)3232k i k ππ
ππ=++
+1
, 0221, 122
, 2i k i k i k +=?
??=-
+=??-=???
（6
=
11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++8
8, 0, 1
i i e k e k π
π
==?=?
4．
设1
2 ,z z i =
=-试用三角形式表示12z z 与12z z
解：1
2cos
sin
, 2[cos()sin()]4
466
z i z i π
π
ππ
=+=-+-，所以
12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212
i i ππππππ
=-+-=+，
12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212
i i ππππππ
=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5
()
1z i += （2）440 (0)z a a +=>
解：（1
）z i += 由此
2
5
k i
z i e i
π
=-=-，(0,1,2,3,4)
k=
（2
）z==
11
[cos(2)sin(2)]
44
a k i k
ππππ
=+++，当0,1,2,3
k=时，对应的4
(1),1),1),)
i i i i
+-+---
6．证明下列各题：（1）设,
z x iy
=+
z x y
≤≤+
证明：首先，显然有z x y
=≤+；
其次，因222,
x y x y
+≥固此有222
2()(),
x y x y
+≥+
从而
z=≥。
（2）对任意复数
12
,,
z z有222
121212
2Re()
z z z z z z
+=++
证明：验证即可，首先左端22
1212
()()
x x y y
=+++，
而右端2222
11221122
2Re[()()]
x y x y x iy x iy
=+++++-
2222
11221212
2()
x y x y x x y y
=+++++22
1212
()()
x x y y
=+++，由此，左端=右端，即原式成立。
（3）若a bi
+是实系数代数方程1
0110
n n
n
a z a z a z a
-
-
++++=
的一个根，那么a bi
-也是它的一个根。
证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()
n n
z z
=，由此得到：1
0110
()()0
n n
n
a z a z a z a
-
-
++++=
由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。结论得证。（4）若1,
a=则,
b a
?≠皆有
1
a b
a
ab
-
=
-
证明：根据已知条件，有1aa =，因此：
1
1()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---，证毕。 （5）若1, 1a b <<，则有
11a b
ab
-<- 证明：
222
()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，
2
22
1(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，
因为
1, 1a b <<，所以，
2
2
2
2
2
2
1(1)(1)0a b a b a b +--=--< ，
因而2
2
1a b ab -<-，即
11a b
ab
-<-，结论得证。 7．设
1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，
其中n 为正整数，a 为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有
1n n z a z a a +≤+≤+，
在上面两个不等式都取等号时
n z a +达到最大，为此，需要取n
z
与a 同向且1n
z =，即n
z 应为a 的单位化向量，由此，n
a
z a
=，
z =
8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。 解：要使三点共线，那么用向量表示时，2
1z z -与31z z -应平行，因而二
者应同向或反向，即幅角应相差0或π的整数倍，再由复数的除法运算规则知21
31
z z Arg
z z --应为0或π的整数倍，至此得到：
123,,z z z 三个点共线的条件是
21
31
z z z z --为实数。
9．写出过1212, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。
解：过两点的直线的实参数方程为： 121121()
()
x x t x x y y t y y =+-??
=+-?， 因而，复参数方程为：
112121121()()z x iy x iy t x x iy iy z t z z =+=++-+-=+-
其中t 为实参数。
10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t 为实参数）
（1）(1)z i t =+ （2）cos sin z a t ib t =+ （3）i
z t t
=+
解：只需化为实参数方程即可。 （1）,x t y
t ==，因而表示直线y x =
（2）cos ,sin x a t y b t ==，因而表示椭圆22
221x y a b
+=
（3）1
,x t y t
==，因而表示双曲线1xy =
11．证明复平面上的圆周方程可表示为 0zz az az c +++=，
其中a 为复常数，c 为实常数 证明：圆周的实方程可表示为：2
20x
y Ax By c ++++=，
代入, 22z z z z x y i +-==，并注意到222
x y z zz +==，由此 022z z z z
zz A B c i
+-+++=， 整理，得
022
A Bi A Bi
zz z z c -++++=
记2
A Bi
a +=，则
2A Bi a -=，由此得到
0zz az az c +++=，结论得证。
12．证明：幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。 证明：首先，arg z 在原点无定义，因而不连续。 对于00x <，由arg z 的定义不难看出，当z 由实轴上方趋
于0x 时，arg z
π→，而当z 由实轴下方趋于0x 时，arg z π→-，由此
说明0
lim arg z x z →不存在，因而arg z 在0x 点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。
13．函数1w z
=把z 平面上的曲线1x =和22
4x y +=分别映成w 平面中
的什么曲线？
解：对于1x =，其方程可表示为1z
yi =+，代入映射函数中，得
2
11111iy
w u iv z iy y
-=+===++， 因而映成的像曲线的方程为 22
1, 11y
u v y y
-=
=++，消去参数y ，得 222
1,1u v u y +=
=+即22211()(),22
u v -+=表示一个圆周。 对
于
224
x y +=，其方程可表示为
2cos 2sin z x iy i θθ=+=+
代入映射函数中，得
11cos sin 2cos 2sin 2
i w u iv z i θθ
θθ-=+=
==+
因而映成的像曲线的方程为 11
cos , sin 22
u v θθ==-，消去参数θ，
得2
214u
v +=
，表示一半径为1
2
的圆周。 14．指出下列各题中点z 的轨迹或所表示的点集，并做图：
解：（1）
0 (0)z z r r -=>，说明动点到0z 的距离为一常数，因而表
示圆心为0z ，半径为r 的圆周。 （2）
0,z z r -≥是由到0z 的距离大于或等于r 的点构成的集合，即圆心
为0z 半径为r 的圆周及圆周外部的点集。 （3）
138,z z -+-=说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常
数，因而表示一个椭圆。代入,z
x iy ==化为实方程得
22(2)11615
x y -+=
（4）
,z i z i +=-说明动点到i 和i -的距离相等，因而是i 和i -连线的
垂直平分线，即x 轴。 （5）arg()4
z i π
-=
，幅角为一常数，因而表示以i 为顶点的与x 轴正向
夹角为4
π
的射线。
15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。 （1）23z <<，以原点为心，
、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通 （2）arg (02)z α
βαβπ<<<<<，顶点在原点，两条边的倾角
分别为,αβ的角形区域，无界，单连通 （3）
3
12
z z ->-，显然2z ≠，并且原不等式等价于32z z ->-，说明z 到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3 连线的垂直平分线即x =2.5左边部分除掉x =2后的点构成的集合，是一无界，多连通
区域。 （4）
221z z --+>，
显然该区域的边界为双曲线
221z z --+=，化为实方程为
22
44115
x y -
=，再注意到z 到2与z 到-2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。 （5）
141z z -<+，代入z x iy =+，化为实不等式，得
222178()()1515
x y +
+> 所以表示圆心为17(,0)15-半径为8
15
的圆周外部，是一无界多连通区域。
习题二答案
1．指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。 （1）5
(1)z - （2）3
2z
iz + （3）
2
1
1
z + （4）13z z ++ 解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，
商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：
（1）5(1)z -处处解析，5
4[(1)
]5(1)z z '-=-
（2）32z iz +处处解析，32
(2)32z iz z i '+=+
（3）211
z +的奇点为2
10z +=，即z i =±，
222222
1(1)2(), ()1(1)(1)z z
z i z z z '-+-'==≠±+++ （4）1
3
z z ++的奇点为3z =-，
2
11()1, (3)3(3)
z z z z '+=-≠-++ 2．判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。 （1）
22()f z xy x yi =+ （2）22()f z x y i =+
（3）
3223()3(3)f z x xy i x y y =-+- （4）1()f z z
=
解：根据柯西—黎曼定理：
（1）2
2, u xy
v x y ==，
22
, ,2, 2x y y x u y v x u xy v xy ====
四个一阶偏导数皆连续，因而,u v 处处可微，再由柯西—黎曼方程 , x y y x u v u v ==-解得：0x y ==，
因此，函数在0z =点可导， 0(0)0x x z f u iv ='=+=，
函数处处不解析。
（2）22, u x v y =
=，
2, 2,0, 0x y y x u x v y u v ====
四个一阶偏导数皆连续，因而,u v 处处可微，再由柯西—黎曼方程 , x y y x u v u v ==-解得：x y =， 因此，函数在直线y x =上可导， ()2x x y x f x ix u iv x ='+=+=，
因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。
（3）32233, 3u x xy v x y y =
-=-，
2222
33, 33,6, 6x y y x u x y v x y u xy v xy =-=-=-= 四个一阶偏导数皆连续，因而 ,u v 处处可微，并且 ,u v 处处满足柯西—黎曼方程 , x y y x u v u v ==-
因此，函数处处可导，处处解析，且导数为
()x x f z u iv '=+= 2233+6x y i xy -23z = （4）2211()x iy f z x iy x y
z +===-+，2222
, x y
u v x y x y ==++， 2222
222222
, ()()x y y x x y u v x y x y --==++， 222222
22, ()()
y x xy xy
u v x y x y --==++， 因函数的定义域为0z ≠，故此，,u v 处处不满足柯西—黎曼方程，
因而函数处处不可导，处处不解析。 3．当,,l m n 取何值时3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面上处
处解析？ 解：3
232, u my
nx y v x lxy =+=+
22222, 2, 3, 3x y y x u nxy v lxy u my nx v x ly ===+=+，
由柯西—黎曼方程得：
2
2
2
2
2 2, (1)
33 (2)
x y y x u nxy v lxy u my nx v x ly ====+=-=--
由（1）得 n l =，由（2）得3, 3n m l =-=-，因而，最终有 1, 3m n l ===-
4．证明：若()f z 解析，则有 22
2(())(())()f z f z f z x y
??'+=??
证明：由柯西—黎曼方程知，左端2
2=+
22
2222()()x x x x uu vv uu vv uv vu u v +++-=+=+ 22222
22
()()()x x x x x x u u v v u v u v u v +++==++2x x u iv =+ 2
()f z '==右端，证毕。
5．证明：若()f z u iv =+在区域D 内解析，且满足下列条件之一，则()
f z 在D 内一定为常数。
（1）
()f z 在D 内解析 ， （2）u 在D 内为常数，
（3）()f z 在D 内为常数， （4）2
v u = （5）231u v += 证明：关键证明,u v 的一阶偏导数皆为0！
（1）()f z u iv =-，因其解析，故此由柯西—黎曼方程得
, x y y x u v u v =-= ------------------------（1）
而由
()f z 的解析性，又有, x y y x u v u v ==- ------------------------（2） 由（1）、（2）知，0x y x y u u v v ===≡，因此12, ,u c v c ≡≡即
12()f z c ic ≡+为常数
（2）设1u c ≡，那么由柯西—黎曼方程得
0, 0x y y x v u v u =-≡=≡，
说明v 与,x y 无关，因而 2v c ≡，从而12()f z c ic ≡+为常数。
（3）由已知，2
22
0()f z u v c =+≡为常数，等式两端分别对,x y 求偏
导数，得
220
220
x x y y uu vv uu vv +=+=----------------------------（1）
因()f z 解析，所以又有 , x y y x u v u v ==--------------------------（2） 求解方程组（1）、（2），得 0x y x y u u v v ===≡，说明 ,u v 皆与,x y 无关，因而为常数，从而()f z 也为常数。
（4）同理，2
v u =两端分别对,x y 求偏导数，得 2, 2x x y y v uu v uu ==
再联立柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-，仍有 0x y x y u u v v ===≡
（5）同前面一样，231u v +=两端分别对,x y 求偏导数，得 2+30, 2+30x x y y u v u v == 考虑到柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-，仍有
0x y x y u u v v ===≡，证毕。
6．计算下列各值（若是对数还需求出主值） （1）2
i e
π
- （2）()Ln i - （3）(34)Ln i -+
（4）sin i （5）(1)i
i + （6）23
27
解：（1）2
cos()sin()22
i
e
i i π
ππ
-=-+-=-
（2）1
()ln arg()2(2)2
Ln i i i k i k i ππ-=-+-+=-+，
k 为任意整数，
主值为：1
()2
ln i i π-=-
（3）(34)ln 34arg(34)2Ln i i i k i π-+=-++-++
4
ln5(arctan 2)3
k i ππ=+-+， k 为任意整数
主值为：4
ln(34)ln5(arctan )3
i i π-+=+-
（4）..1
sin 22
i i i i e e e e i i i ----=
= （5）(2)
2(1)4
4
(1)
i i k i k i
iLn i i e e
e
π
π
ππ
++--++===
24
(cosln sin k e i π
π--=+， k 为任意整数
（6）22
2
24427(272)273
3
3
33
3
279Ln ln k i ln k i k i e e e
e e
πππ+====，
当k 分别取0，1，2时得到3个值：
9
，
43
9
9(1)
2
i e
π=-+，
8
3
9
9(1)2
i e
π=-+ 7．求2
z e 和2z Arge 解：2
222z x y xyi
e
e
-+=，因此根据指数函数的定义，有 2z e 22
x y e -=， 222z Arge xy k π=+，（k 为任意整数）
8．设i z
re θ=，求Re[(1)]Ln z -
解：(1)ln 1[arg(1)2]Ln z z i z k i π-=-+-+，因此
Re[(1)]Ln z -ln 1ln z =-= 2
1ln(12cos )2
r r θ=-+
9．解下列方程：
（1）1z
e
=+ （2）ln 2
z i π
=
（3）sin cos 0z z += （4）shz i =
解：（1）方程两端取对数得：1
(1)ln 2(2)3
z Ln k i π=+=++
（k 为任意整数）
（2）根据对数与指数的关系，应有
2
cos
sin
2
2
i
z e
i i π
π
π
==+=
（3）由三角函数公式（同实三角函数一样），方程可变形为
sin cos )04
z z z π
+=+=
因此,4
z k π
π+
= 即 4
z k π
π=-
，
k 为任意整数
（4）由双曲函数的定义得 2
z z
e e shz i --==，解得
2()210z z
e ie --=，即z e i =，所以
(2)2
z Lni k i π
π==+ ，k 为任意整数
10．证明罗比塔法则：若()f z 及()g z 在0z 点解析，且
000()()0, ()0f z g z g z '==≠，则000()
()lim
()()
z z f z f z g z g z →'='，并由此求极限 00sin 1
lim ; lim
z z z z e z z
→→- 证明：由商的极限运算法则及导数定义知
000000000000
()()()()
lim ()
lim lim ()()()()()lim z z z z z z z z f z f z f z f z z z z z f z g z g z g z g z g z z z z z →→→→----==----00()()
f z
g z '='， 由此，00sin cos lim lim 11
z z z z
z →→==
0001 lim
lim 11z z
z z e e e z
→→-=== 11．用对数计算公式直接验证： （1）2
2Lnz Lnz ≠ （2
）1
2
Lnz =
解：记i z
re θ=，则
（1）左端22()2ln (22)i Ln r e r k i θ
θπ==++，
右端2[ln (2)]2ln (24)r m i r m i θπθπ=++=++， 其中的,k m 为任意整数。
显然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在1k =时的值为 2ln (22)r i θπ++，而右端却取不到这一值），因此两端不相等。
（2）左端22
1]ln (2)22
m i
Ln re
r m k i θπ
θ
ππ+=
=+++
右端11[ln (2)]ln ()222
r n i r n i θ
θππ=++=++
其中,k n 为任意整数，而 0,1m =
不难看出，对于左端任意的k ，右端n 取2k 或21k +时与其对应；反之，对于右端任意的n ，当2n l =为偶数时，左端可取,0k l m ==于其
对应，而当21n l =+为奇数时，左端可取2,1k l m ==于其对应。综上所述，左右两个集合中的元素相互对应，即二者相等。 12．证明sin sin , cos cos z z z z ==
证明：首先有
(cos sin )(cos sin )z x x x iy z e e y i y e y i y e e -=+=-== ，因此
sin ()2222iz iz iz iz iz iz i z i z
e e e e e e e e z i i i i --------====---
sin 2i z i z
e e z i
--=
=，第一式子证毕。 同理可证第二式子也成立。 13．证明
Im Im sin z
z z e
≤≤ （即
sin y
y z e ≤≤）
证明：首先，
sin 22
2
iz iz
iz
iz
y y y e e e e
e e z e i
---+-+=≤
=≤，
右端不等式得到证明。
其次，由复数的三角不等式又有
sin 22
2
2
iz iz
y y
y y
iz iz
e e e e e e
e e z i
--------=
≥
=
=
，
根据高等数学中的单调性方法可以证明0x ≥时2
x x
e e x --≥，因此接着
上面的证明，有sin 2
y y e e
z y --≥
≥，左端不等式得到证明。 14．设z R ≤，证明sin , cos z chR z chR ≤≤
证明：由复数的三角不等式，有
sin 22
2
2
iz iz
y
y
iz iz
y y e e e e
e e e e z ch y i
----+-++=≤
==
=，
由已知，
y z R ≤≤，再主要到0x ≥时chx 单调增加，因此有
sin z ch y chR ≤≤，
同理，
cos 2222
iz iz y y iz iz
y y e e e e e e e e z ch y chR
----++++=≤===≤
证毕。
15．已知平面流场的复势()f z 为
（1）2()z i + （2）2
z （3）2
1
1
z + 试求流动的速度及流线和等势线方程。
解：只需注意，若记()(,)(,)f z x y i x y ?ψ=+，则
流场的流速为()v f z '=，
流线为1(,)x y c ψ≡， 等势线为2(,)x y c ?≡，
因此，有 （1）2
222()[(1)](1)2(1)z i x y i x y x y i +=++=-+++
流速为()2()2()v f z z i z i '=
=+=-，
流线为1(1)x y c +≡，等势线为 22
2(1)x y c -+≡
（2）333223
()3(3)z x iy x xy x y y i =+=-+- 流速为22()33()v f z z z '=
==， 流线为2313x y y c -≡，等势线为 32
23x xy c -≡
（3）2222
111
1()112z x iy x y xyi
==+++-++ 2222222
12(1)4x y xyi
x y x y
-+-=-++ 流速为222222()(1)(1)z z
v f z z z --'===++， 流线为 122222
(1)4xy
c x y x y
≡-++， 等势线为 22222222
1
(1)4x y c x y x y
-+≡-++ 习题三答案
1．计算积分
2
()c
x y ix dz -+?，其中c 为从原点到1i +的直线段 解：积分曲线的方程为, x t y
t ==，即
z x iy t ti =+=+，:01t →，代入原积分表达式中，得
1
2
2
()()()c
x y ix dz t t it t ti dt '-+=-++??
1
12
30011(1)33
i i
it i dt t -+-+=+==
? 2．计算积分z
c
e dz ?，其中c 为
（1）从0到1再到1i +的折线 （2）从0到1i +的直线 解：（1）从0到1的线段1c 方程为：, :01z x iy x x =+=→， 从1到1i +的线段2c 方程为：1, :01z x iy iy y =+=+→，
代入积分表达式中，得
1
2
1110
(1)z
z
z
x
yi
c
c c e dz e dz e dz e dx e
yi dy +'=+=++?????
1
11
00
(cos sin )1(sin cos )x e
ei y i y dy e ei y i y =++=-+-?
11(sin1cos1)(cos1sin1)11i e ei i i e i e +=-+-+=+-=-； （2）从0到1i +的直线段的方程为z x iy t ti =+=+，:01t →，
代入积分表达式中，得
1
1
00
()(1)(cos sin )z
t ti
t c
e dz e
t ti dt i e t i t dt +'=+=++???，
对上述积分应用分步积分法，得
1
(sin cos )(sin cos )
(1)[]22t
t
z
c e t t e i t t e dz i +-=++? 1
1
00
(1)(1)(cos sin sin cos )()22t
t
it it i e i e t i t t i t e ie ++=++-=-
1
(1)1010
1i t i i e
e e e +++==-=-
3．积分
2
()c
x iy dz +?，其中c 为 （1）沿y x =从0到1i + （2）沿2y x =从0到1i +
解：（1）积分曲线的方程为z x iy t ti =+=+，:01t →，
代入原积分表达式中，得
1
1
2
2
2
()()()(1)()c
x iy dz t it t ti dt i t it dt '+=++=++??? 1115
(1)()3266
i i i =++=-+
（2）积分曲线的方程为 2
z x iy x x i =+=+， :01t →，
代入积分表达式中，得
1
1
2
2
2
2
23
()()()(1)(2)c
x iy dz x ix x x i dx i x x i dx '+=++=++??? 1215
(1)()3466
i i i =++=-+
4．计算积分
c
z dz ?，其中c 为
（1）从-1到+1的直线段 （2）从-1到+1的圆心在原点的上半
圆周 解：（1）c 的方程为z x =，代入，得 1
1
1
021c
z dz xdx xdx -===??
?
（2）c 的方程为cos sin , :0z x iy i θθθπ=+=+→，代入，得
1(cos sin )(sin cos )c
z dz i d i d ππθθθθθθ'=?+=-+???
(cos sin )2i πθθ=+=
5．估计积分
21
2c
dz z +?的模,其中c 为+1到-1的圆心在原点的上半圆周。 解：在c 上，z
=1，因而由积分估计式得
222
111
222c c c c
dz ds ds ds z z z ≤≤=++-???? c =的弧长π= 6．用积分估计式证明：若
()f z 在整个复平面上有界，则正整数1n >时
()
lim 0R
n R c f z dz z →+∞=? 其中R c 为圆心在原点半径为R 的正向圆周。 证明：记()f z M ≤，则由积分估计式得
0≤
()()1R R R R
n n n n c c c c f z f z M
dz ds M ds ds z z R z ≤≤=???? 1
22n n M M
R R R
ππ-==， 因1n >，因此上式两端令R →+∞取极限，由夹比定理，得
()
lim 0R
n R c f z dz z →+∞=?， 证毕。
7．通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因，其中积分曲线c 皆为1z =。
（1）
2
(2)c
dz z +?
（2）224c
dz
z z ++? （3）22c
dz z +? （4）cos c dz z ? （5）z
c
ze dz ?
解：各积分的被积函数的奇点为：（1）2z =-，（2）2
(1)3
0z ++=
即1z
=-±，
（3）z = （4）, 2
z k k π
π=+为任意整数，
（5）被积函数处处解析，无奇点
不难看出，上述奇点的模皆大于1，即皆在积分曲线之外，从而在积分曲线内被积函数解析，因此根据柯西基本定理，以上积分值都为0。 8．计算下列积分：
（1）
240
i
z
e dz π
?
（2）2
sin i
i
zdz ππ-? （3）1
sin z zdz ?
解：以上积分皆与路径无关，因此用求原函数的方法：
（1）
4220240
111
()(1)222
i
i i
z
z e dz e
e e i π
π
π
==-=-?
（2）
21cos 2sin 2sin []224i
i
i
i i i
z z z
zdz dz ππππππ----==-??
22111
sin 2()(2)242
i i i e e sh i i πππππππ-=-=--=-
（3）
11
1
1
0000sin cos cos cos z zdz zd z z z zdz =-=-+???
1
0cos1sin sin1cos1z =-+=-
9．计算
22c
dz
z a -?，其中c 为不经过a ±的任一简单正向闭曲线。 解：被积函数的奇点为a ±，根据其与c 的位置分四种情况讨论： （1）a ±皆在c 外，则在c 内被积函数解析，因而由柯西基本定理
2
2
0c
dz
z a =-? （2）a 在c ，a -在c 外，则1
z a
+在c 内解析，因而由柯西积分
公式：22
1
12z a c c
dz
z a dz i i z a z a a
z a ππ=+===-+-??
（3）同理，当a -在c ，a 在c 外时，
221
12z a c c
dz z a dz i i z a z a a z a ππ=--===-+--?? （4）a ±皆在c
此时，在c 内围绕,a a -分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ，则由
复合闭路原理得：
1
2
22
11
1
1
22z a
z a
c
c
c dz
z a z a dz dz i i
z a z a z a z a z a
ππ==-+-=+=+-++--???
0i i a
a
π
π
=
-
=
注：此题若分解22
1111
()2a z a z a z a =--+-，则更简单！ 10．
计算下列各积分
解：（1）
1
1
()(2)
2
z dz i
z z =-+?
，由柯西积分公式
1121
1142224()(2)22
i z z z i z dz dz i i i z i z z z ππ===+===++-+-?? （2）2
322
1
iz
z i e dz z -=
+?， 在积分曲线内被积函数只有一个奇点i ，故此同上题一样： ‘;
2
322
1
iz
z i e dz z -=
+?
322
2iz
iz
z i
z i e e z i dz i z i z i
e
π
π=-=
+===
-+?
复变函数试题及答案
1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数
4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数_期末试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点
复变函数经典习题及答案
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)
《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和 零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+= 11； 2) n n i a -?? ? ? ?+=21； 3) ()11++ -=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-= 。 2． 证明：??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞ =1n n n i ； 2) ∑∞ =2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞ =1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) ()∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7． 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c 【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中 n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设)2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的 罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二） 二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z 2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.（n 为自然数） 复变函数 第四、五章 练习 一、 掌握复级数收敛，绝对收敛的判别 1. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛。 （1）2ln n n i n ∞ =∑ （2）01cos 2n n in ∞=∑ （3）0(1)2n n n n i ∞=+∑ 2.如果级数1n n c ∞=∑收敛，且存在0,,..,|arg |,2n s t c πααα><≤证明级数1n n c ∞ =∑绝对收敛. 二、充分掌握幂级数，及解析函数的泰勒展开式 3. 证明级数11n n n z z ∞ =-∑在||1z ≥上发散；在||1z <内绝对收敛且内闭一致收敛 4. 试证：黎曼函数 11(),(ln 0)z n z n n ζ∞ ==>∑，在点2z =的邻域内可展开为泰勒级数，并求收敛半径。 5.求下列幂级数的收敛半径： （1）0()n n n n a z ∞=+∑ （2）0[3(1)](1)n n n n z ∞=+--∑ （3）(1)0()(1)n n n n i z n ∞ +=-∑ 6.设0n n n a z ∞ =∑的收敛半径为R , 证明：0[Re()]n n n a z ∞=∑的收敛半径大于等于R 。 7．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，试回答该级数在2=z 处的敛散性。 8.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，求幂级数∑∞=0 n n n z c 的收敛半径。 9. 将函数31()z f z z -= 在点1z =-展成泰勒级数。 10.证明：若1||,2z ≤则2|ln(1)|||z z z +-≤. （这里ln(1)z +取主值支） 三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达 式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 复变函数试题库 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内 第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=--（3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.（6）请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.（9）讨论函数2 2i =的可导性，并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外，函数) f在可导点解析吗？是或否请说明 (z 理由。 4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数 v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。 5.（6×2）计算积分： （1）?+-C n z z z 1 0) (d , 其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数； （2）?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.（5×2）分别在圆环 （1）1||0< 7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。 9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换； （2）求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。复变函数论第三版课后习题答案解析
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