复变函数复习题
第一章 复习题
1、 设32z i =--，则arg z =_________________. A) 2ar 3ctg
B) 3ar 2ctg C) 2ar 3ctg π- D) 2
ar 3
ctg π+ 2、设cos cos z i θ=+,则z =____________.
A)1 B) cos θ C)
D) θ
3、设12,w z z w z z =?=+,则1arg w _________ ()2arg Re 0w z ≠ A) = B) ≤ C) < D) ≥
4、设(),,0,1,2,3,4i k k
z re w k θ
===则arg k
w
=____________.
A)
B)
25
k θ
π+ C)
25
k θπ
+ D)
22,0,15
k n n θπ
π++=±
5. 若12z iz =,则1oz 与2oz 的关系是__________ A)同向 B)反向 C)垂直 D)以上都不对
6.复平面上三点: 1
34,0,
34i i
+-+,则__________
A)三点共圆 B)三点共线
C)三点是直角?顶点 D)三点是正?顶点 7.简单曲线(即约当曲线)是__________曲线.
A)连续 B)光滑 C)无重点的连续 D)无重点光滑 8.设函数w z =,其定义域E 为1z <,则值域M 为____________. A) 1w < B) [)0,1 C) ()1,1- D) {}
|01,0x yi x y +≤<= 9.函数1
w z
=
将Z 平面上直线1x =变成W 平面上_________ A ）直线 B ）圆 C ）双曲线 D ）抛物线 10. 4
(1)i +=___________
A ）2
B ）2-
C ）4
D ）4-
11.区域12z <<的边界是1z =，2z =，它们的正方向_____________ A ）1z =，2z =都是“逆时针” B ）1z =“顺时针”， 2z =“逆时针” C ）1z =，2z =都是“顺时针” D ）1z =“逆时针”， 2z =“顺时针” 12.极限0
lim ()z z f z →与z 趋于0z 的方式__________________
A ）无关
B ）有关
C ）不一定有关
D ）与方向有关
13.函数238
()8
z f z z +=+的不连续点集为____________
A ）{2,1--±
B ）{}2-
C ）{}2,1±
D ）{2,1-±
14. 5
3
(cos sin )(cos3sin3)i i e i ?
θθθθ-=+，则?=_________________
A ）2θ
B ）4θ-
C ）4θ
D ）14θ-
15.扩充复平面上，无穷远点∞的ε-邻域是指含于条件_________的点集 A ）z ε< B ）z ε> C ）1
z ε
< D ）1
z ε
>
二、多项选择题：
1.若12z iz =，则12oz z 是______________
A ）锐角
B ）钝角
C ）直角
D ）等腰
E ）正
2.表示实轴的方程是_____________（其中t 是实参数）
A ）Re 0z =
B ）Im 0z =
C ）1
1
z t i -=- D ）
1
2
z t -= E ）3z t = 3.函数2
w z =将Z 平面的曲线_____________变成W 平面上的直线(,)z x iy w u iv =+=+ A ）3z = B) 224x y += C ）224x y -= D ）4xy = E ）2
2
9y x -= 4.函数1
()1f z z
=
-在单位圆1z <内______________ A ）连续 B ）不连续 C ）一致连续 D ）非一致连续 E ）解析
5.对无穷远点∞，规定________________无意义
A ）运算∞+∞
B ）运算∞-∞
C ）∞的实部
D ）∞的虚部
E ）∞的幅角 三、填充题：
1.复数z x iy =+，当0,0x y <≥时，其幅角的主值arg z =___________________________
2.
复
数
i z r
e θ
=
的
n
将方根
k k w ==____________________________________________
3.具备下列性质的非空点集D
称为区域：（1）
__________________________________________
__________（2）_________________________________________________________________ 4.设D 为复平面上的区域，若_____________________________________________________, 则称D 为单连通区域.
5.设E 为一复数集,若_______________________________________________则称在E 上确定了一个单值函数()w f z =.
6.在关系式0
0lim ()()z z f z f z →=中,如果__________________________________就称()f z 在点
0z 为广义连续的.
7.
设12z z i =
=,指数形式:12z z =______________________________________
8. Z 平面上的圆周一般方程可以写成： 其中： 9．考虑点集E 若 ，则称0z 为点集E 的聚点。
10．任一简单闭曲线C 将E 平面唯一地分成C 、()I C 、及()E C 三个点集，它们具有性质：
（1） （2） （3） （4） 四、计算题：
1．解方程：4
4
0z a += ()0a >
2．将复数：1cos sin i ??-+ （0?π<≤）化为指数形式
3．求函数1
w z =将Z 平面上曲线11z -=变成W 平面上的曲线 4．求复数()111z
w z z
+=≠-的实部，虚部，模.
5．求cos 4θ及sin 4θ 用cos 4θ与sin 4θ表示的式子
五、证明题 综合题： 1． 设1z =，试证：
1az b b z a
-
-
+=+
2．
设(1n
n n x iy +=-（n x ，n
y 为实数，n 为正整数）试证：
114n n n n n x y x y ----=3． 试证：以123,,z z z 为顶点的三角行和以123,,w w w 为顶点的三角形同向相似的充要条件
为：
11223
31101
z w z w z w = 4． 试证：四相异点1234,,,z z z z 共圆周或共直线的充要条件是：
34
141232
:
z z z z z z z z ----为实数 5． 函数()1
1f z z
=
-在单位圆1z <内是否连续？是否一致连续？证明之。 6． 证明：Z 平面上的圆周可以写成：0Az z z z C ββ-
-
-
+++=其中A ，C 为实数，0A ≠且
2
AC β>
第二章 复习题
一、单项选择题：
1．函数()w f z =在点0z 则称()f z 在点0z 解析。 A ）连续 B ）可导 C ）可微 D ）某一邻域内可微 2．函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点(,)x y 的C R -条件指：
A ）
,u v u v x y y x ????=-=-???? B ）,u v u v x y y x ????=-=????
C ）
,v u v u x y y x ????=-=???? D ）,v u v u
x y y x
????==-???? 3．函数3
w z =把Z 平面上单位圆在第二象限弧段变成W 平面上单位圆的 象限弧段. A ）第一、二、三 B ）第二、三、四 C ）第三、四、一 D ）第四、一、二 4．函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内有定义，则（1）(,)u x y ，(,)v x y 在区域D 满足C R -条件.（2）,,,x y x y u u v v 在D 连续，是()f z 在区域D 可微的 条件 A ）必要非充分 B ）充分非必要 C ）充分必要 D ）以上都不对 5．指数函数z
e ω=的基本周期为
A ）2π
B ）2i π
C ）i π
D ）π
6．设12,22
i
z i z ==
+，则1ln z 2z （ln z 表示主值） A ）〈 B 〉= C ） 〉 D ）无法比较大小
7．cos(2i A ）≤1 B ）=2 C ）〈2 D 〉2 8．设z x iy =+，则2
z e =
A ）2
z
e
B ）22
x y e
- C ）22
x y e
- D 22
x y e
-
9．2
()f z x iy =-,直线1
:2
L x =-
，则()f z 在 A ）Z 平面上解析 B ）L 上可微 C ）L 上可析 D ）Z 平面上可微 10．以0，1，∞为支点的函数有
A B C D
11．设()f z =
0C 为单位圆，则0arg ()C f z ?=
A ）π
B ）2π
C ）
43π D ）23
π 12．函数z
w e =把Z 平面上实轴变换成W 平面上 A ）负实轴 B ）正实轴 C ）实轴 D ）单位圆 13．一般幂函数i
w z =是 函数
A ）单值
B ）有限的多值
C ）无限多值
D ）以上都不对
14．若()(),,,u x y v x y 在点(),x y 满足C R -条件.则()f z u iv =+在点(),x y A ）可微 B ）不可微 C ）不一定可微 D ）解析
15．复数i
z i =，其幅角主值arg z =
A ）2
π
-
B ）
2
π
C ）π
D ）0 二、多项选择题：
1． 函数()f z z -
=在Z 平面上处处 A ）不连续 B ）连续 C ）不可微 D ）可微 E ）解析 2． 函数()()(),,f z u x y iv x y =+在点z 可微，则()f z '= A ）
u v i x x ??+?? B ）u u i x y ??-?? C ）u v i x y ??+?? D ）v v i y x ??+?? E ）v u i y y
??-?? 3． 在Z 平面上任何一点不解析的函数有 A ）2
()f z z
= B ）()Re f z z = C ）22
()f z xy ix y =+
D ）2
2
x iy + E ）3
3
23x iy + 4． 方程ln 2
i
z π=
的解为
A ）z i =-
B ）z i =
C ）2
i z e
π-
=
D ）2i
z e π= E ）z e π
=
5． 复数3i
z i =的幅角Argz 可以是 A ）0 B ）2
π C ）2π
- D ）2π E ）2π-
二、填空题：
1若()f z 在点0z 则称0z 为()f z 的奇点。 2．函数()()(),,f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是：（1）
（2） 3．对任意复数z ，若z w
z e e +=，则必有w =
4．根式函数w =
=
5具有这种性质的点：使当 则称此点为多值函数的支点。
6．根式函数w =
只以 及 为支点，以 为支割线，
且在 能分出n 个单值解析分支. 7．()34Ln i --= 8．对一般幂函数a
w z =，
（1）当 a
z 是z 的单值函数
（2）当 a z 取 个不同的值 （3）当 a z 是无限多值的
9．函数())w f z
z =，其中12m z z z 互不相同，且
12m a a a N +++=
（1）当且仅当 时，k z 是()f z 的支点 （2）当且仅当 时，∞是()f z 的支点
10．由已给单值解析分支的初值1()f z ，计算终值2()f z ，即2()f z = 其中
arg ()c f z ?为
四、计算题： 1．()()()cos sin cos sin x
x f z e
x y y y ie y y x y =-++是否在Z 平面上解析？
如果是，求其导函数。
2．设z x iy =+，试求1Re z e ??
???
3．试求函数()cos 1i -之值
4．试证：在将Z 平面适当割开后，函数()f z =求出在点2z =取负值的那个分支在z i =的值 5． 方程：12tgz i =+
五、证明题 综合题：
1． 如果()f z 在区域D 内解析，试求()if z 在区域D 内也解析
2． 若函数()f z 与()f z 在区域D 内都解析，试证：()f z 在区域D 内必为常数
3． 设()21z
f z z =-，试证：()()Re 0f z z f z ??'>????
()1z <
4． 设()()(),,f z u r iv r θθ=+，i z re θ
=，若(),u r θ，(),v r θ在点(),r θ是可微的，且
满足极坐标的C R -条件：
()11,0u v v u
r r r r r θθ
????==>????，则()f z 在点z 可微且()r u v f z i z r r ????
'=+ ?????
5． 设()
333322,0(),00x y i x y z f z x y
z ?-++≠?=?+=?
?
试证：()f z 在原点满足C R -条件，但却不可微 6． 试证：
()f z =
0Re 1≤≤的Z 平面上能分出两个单值解析分支，
并求出割线0Re 1≤≤上岸取正值的那一支在1z =-的值
第三章 复习题
一、单项选择题：
1．如果曲线C 为 则
27C dz
i z π=-?
A ）1z =
B ）2z =
C ）3z =
D ）4z =
2．函数()f z 沿曲线C 有界是()f z 沿曲线C 可积的 条件 A ）充分 B ）必要 C ）充要 D ）以上都不对 3．函数()f z 沿曲线C 连续，则()
C
f z dz =?
A ）()C
f z dz ±
? B ）()C f z dz ? C ）(),C
f z ds ds ?为弧微分 D ）以上都不对
4．函数()f z 沿曲线C 连续是()f z 沿曲线C 可积的 条件 A ）充分 B ）必要 C ）充要 D ）以上都不是 5．对下列的定义的表达式正确的论断是
A ） 若()()f z g z ≠，则()()C
C
f z dz
g z dz ≠??
B ） 若12c c ≠，则()()1
2
C C f z dz f z dz ≠??
C ）
()()C C
f z dz f z dz -
=-?
?
D ）C 为围线，则
()0C
f z dz =?
6．设单位圆:1,()C z f z == ，则
()0C
f z dz ≠?
A ）1cos z
B ）256
z e z z ++ C ）2
cos z z D ）141z -
7．设C 为上半单位圆，则
C
z dz =?
（C 为正方向）
A ）0
B ）i π
C ）2-
D ）2i
8．设区域D 的边界是围线C ，()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，
()00,5
z D f z π
∈=
，则
()
0C f d z ???=-?
A ）5π
B ）225i π
C ）225
π D ）110i
9．设:2C z =，则()
2221
1C
z z dz z -+=-? A ）3 B ）6i π C ）0 D ）4i π
10．设1:12
C z +=，则2sin
41C z dz z π
=-?
A
i B
）i C
i D ）2i π 11．若方程()0f z z -=有实根1，且()f z 是有界整函数，则(1)f i += A ）1 B ）2 C ）1i + D ）2i +
12．设函数()f z u iv =+在区域D 内解析，则在区域D 内 A ）u 必为v 的共轭调和函数 B ）u 与v 互为共轭调和函数 C ）v 必为u 的共轭调和函数 D ）A 、B 、C 皆不对
13．如果u 、v 是区域D 内任意的两个调和函数，则函数()f z u iv =+在D 内 A ）解析 B ）不解析 C ）不一定解析 D ）以上皆不对
14．在下列个式中可作为某区域D 内解析函数()f z u iv =+的实部(,)u x y 有 A ）2
u x = B ）22u x y =- C ）22u x y =+ D ）2u y = 15．设()f z 为有界整函数，C 为1z =，则
()
C
f z
dz z
?
()2C
f z dz z
A ）>
B ）≥
C ）≤
D ）不能确定
二、多项选择题
1． 设C 是绕i 一周的围线，则cos i = A ）
cos 2C i d i ??π?-? B ）cos 2C i
d i ??π
?--? C ）()
31cos C d i i ?
?π?-? D ）
()
3
1
cos C
d i ?
?π
?-? E ）()2
1cos 2C d i i ?
?π?-?
2．设围线:1C z =，则当()f z = 时，()0C
f z dz =?
A ）
1cos z B ）1sin z C ）2126z z -- D ）318
z + E ）2121z + 3．下列论断中，有 是不正确的（其中D 为围线C 围成的区域）
A ）()f z 在D 内有奇点，则()0C
f z dz ≠?
B ）()f z 在
C 上有奇点，则
()0C
f z dz ≠?
C ）()f z 在
D 内解析，则
()0C
f z dz =?
D ）()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，则()0C
f z dz =?
E ）()f z 在D D C =+内解析，则
()0C
f z dz =?
4．设函数()f z 在D 内解析，则()f z '在D 内
A ）存在但不一定连续
B ）不一定存在
C ）存在且连续
D ）可微
E ）解析 5．设,u v 为调和函数，且u 是v 的共轭调和函数，则 A ）
u v x y ??=?? B ）u v x y ??=-?? C ）u v y x
??=?? D ） u v y x ??=-?? E ）u v y y ??=-??
三、填空题：
1． 若()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿曲线C 连续，则()C
f z dz =?
2． 设a 为围线C 内部一点，n 为整数，则
()
n
C
dz
z a -------
?=?-------
-?? 3． （积分估值）沿曲线C ，()f z 连续，则
()C
f z dz ≤?
其中 、
4． 设C 是一条围线，D 为C 之间内部区域，()f z 在D 内 ，在
D D C =+上 ，则()C
f z dz =?
5． 设()f z 在单连通区域D 内解析，则函数0
()()z
z F z f d ??=?，在D 内 ，
且
6． 设区域D 的边界是围线C ，()f z 在D 内解析，在D D C =+上连接，则函数()f z 在D
内有各阶导数且有()
()n f
z =
7． 如果二元函数(,)H x y 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足 则称
(,)H x y 为区域D 内的调和函数
8． 设是(,)u x y 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由积分确定的
(,)v x y = ，使()u vi f z +=是D 内的解析函数
9． 设:C z =，2371()C f z d z
????++=-?，则(1)f i '+=
10．设()f z 在D 内解析，a D ∈，圆周:r a R ?-=，只要 则有
柯西不等式()
()n f a ≤ ，其中：
四、计算题： 1．求积分
220
(281)a
z z d z
π++?
之值，其中积分路径是连续0到2a π的摆线(s i n ),(1c o s x a y a θθθ=-=- (0)a
2． 计算积分
2sin
41
C
z
dz z π
-?
，其C 为一条围线，讨论之 3． 求满足下列条件的解析函数22(),,()1f z u iv u x xy y f i i =+=+-=-+ 4． 设()f z 在1z
内解析，在闭圆1z ≤上连续，有(0)1f =，求积分：
1112()22z dz
z f z i z z π=????±+ ????
???? 5． 计算积分
4cos ()C z
dz z i -?，其中C 绕i 一周的围线
五、证明题 综合题： 1． 由积分
2C
dz
z +?
之值（其中C :1C z =），证明：012cos 054cos d πθθθ
+=+? 2． 设()f z 在区域D 内解析，试证：2222
22()4()f z f z x y ????'+=??????
3． 设（1）()f z 在1z ≤上连续 （2）对任意的(01),()0z r
r r f z dz ==?
试证：
1
()0z f z dz ==?
4． 设在区域arg 2D z z
π??
=???
?
内的单位圆周1z =上任何一点z ，用D 内曲线C 连接0与z ，求：2Re
1C dz z +?
5． 已知22
()(2)2()u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数：()f z u iv =+
第四章 复习题
一、单项选择题： 1． 复级数
1
1
()n n
n n n a a
ib ∞∞
===+∑∑收敛的充要条件是：
A ）0n a →
B ）
1
n
n a
∞
=∑收敛 C ）实级数
1
n
n a
∞
=∑及
1
n
n b
∞
=∑皆收敛
D ）实级数
1
n
n a
∞
=∑及
1
n
n b
∞
=∑至少有一个收敛
2． 复级数1n
n i n
∞
=∑
A ）条件收敛
B ）绝对收敛
C ）发散
D ）以上都不是 3． 设()(1,2
)n f z n =定义于区域D 内，若级数1
()n n f z ∞
=∑在D 内 上一致收
敛，则称此级数在D 内，内闭一致收敛
A ）一个有界开集
B ）任一有界开集
C ）一个有界闭集
D ）任一有界闭集 4．复级数在区域D 内一致收敛是复级数在D 内，内闭一致收敛的 条件 A ）必要 B ）充分 C ）充要 D ）无法确定的
5．幂级数12
n
n n nz ∞
=∑的收敛半径R =
A ）0
B ）1
C ）2
D ）
12
6.幂级数1
1,,1
n n
n n n n c z c z nc z n +-∑∑
∑∑+的收敛半径分别为,,r R ρ，则 A ）r R ρ<< B ）R r ρ<< C ）r R ρ<< D ）r R ρ== 7.幂级数n n c z ∑在点a 收敛，在点b 发散，其收敛半径为R ，则 A ）a R b << B ）a R b ≤< C ）a R b <≤ D ）a R b ≤≤ 8.一个收敛的幂级数的和函数在其收敛圆周上____________奇点. A ）没有 B ）有一个 C ）至少有一个 D ）有无限多个
9.函数2
2
2()sin 6
z f z z z =--的零点0z =是________级零点. A ）2 B ）4 C ）6 D ）10
10. a 是解析函数()f z 的m 级零点,又是()g z 的n 级零点,则a 是()()f z g z +的_________
级零点.
A ）(,)min m n
B ）max(,)m n
C ）至少(,)min m n
D ）至多max(,)m n 11.0ln (1)z +在0点展成z 的幂级数,其泰勒系数n C =____________
A ）
1n B ）1!n C ）1(1)n n - D ）11(1)n n
-- 12.在原点解析,而在1
(1,2,)z n n
==???处取___________组的函数()f z ,是存在的
A ）0,1,0,1,0,1,???
B ）111
0,,0,,0,,246
???
C ）111111,,,,,,224466???
D ）12345,,,,,23456
???
13.解析函数()f z 的零点a 满足__________,则称a 为n 级零点.
A ）()()0,()0n f a f a =≠
B ）()(1)()()()0,()0n n f a f a f a f a +'==???==≠
C ）(1)()()()0,()0n n f a f a f a f a -'==???==≠
D ）(1)()()0,()0n n f a f a f a -==≠
14.求幂级数2
4
9
1z z z ++++???的收敛半径R 为:______________ A ）n C 不明确,无法求 B ）1
lim n
n n C R C →∞
+= C
）1n R =
D
1R
=
15.在圆:K z a R -<内的解析函数()()
n
n
n f z C z a ∞
→∞
=
-∑,则n C =__________
A ）
1!()2()n n f d i a ζζπζ+Γ-? B ）11()2()n f d i a ζζ
πζ+Γ-?
C ）
(1)!()2()n n f d i a ζζπζΓ--? D ）1()2()
n f d i a ζζ
πζΓ-? (其中:,0z a r r R Γ-=<<)
二、多项选择题
1.一个幂级数在其收敛圆周上可能____________________
A ）处处发散
B ）既有收敛点,又有发散点
C ）处处收敛
D ）处处绝对收敛
E ）和函数没有奇点
2.设在区域D 内解析函数1()f z 及2()f z 在D 内______________________相等,则1()f z 和
2()f z 在D 内恒等.
A ）一个点列{}n z 上
B ）某一子区域上
C ）某一小段弧上
D ）某一个线段
E ）一个收敛于a 的点列{}n z (n z a ≠)
3.设()f z 在2z <内解析,且不恒等于常数,则()f z 在点______________不能达到最大值.
A
）12+
B
）1 C
）1 D
E
）12
+ 4.幂级数21n
n z n
∞
=∑在闭圆1z ≤上_________________
A ）收敛
B ）条件收敛
C ）绝对收敛
D ）一致收敛
E ）对有些点收敛,有些点发散 5.函数2()(1)z f z z e =-有零点:_________________
A ）0z =是级零点
B ）0z =是三级零点
C ）2z i π=是一级零点
D ）2z i π=是二级零点
E ）2z i π=是三级零点 二、填充题： 1．如果幂级数
()
n
n n c z a ∞
=-∑在某点1()z a ≠收敛，则它必在圆________内_______收敛.
2．（W e i e r s t r a s s 定理）设(1)()
(1,2,)n f z n =_____________
(2)
1
()n
n f
z ∞
=∑_____________()f z ；1
()()n n f z f z ∞
==∑
则(1)()f z __________________________, (2) ________________________________.
3. ()f z 在区域D 内解析的充要条件为__________________________即泰勒级数.
4. (Taylor 定理)设()f z 在区域D 内解析, a D ∈,只要圆:K z a R -<含于D ,则
()f z 在K 内可展成幂级数0
()()n n n f z c z a ∞
==-∑其中n c =_______(________)
且_______________.
5. (1)Ln z +的各支的展式为ln (1)k z +=____________(__________________).
6. 设2
11n
n n c z z z ∞
==--∑, 则
(1)系数递推式: n c =______________; 7c _________________;
(2)收敛半径R ____________, 收敛圆为_________和函数奇点为______________. 7.不恒为零的解析函数()f z 以a 为m 级零点的充要条件为__________________________, 其中______________________________
8.设(1)函数1()f z 和2()f z 在区域D 内解析,(2) D 内有__________________在其上1()f z 和
2()f z 等值,则1()f z 和2()f z 在D 内恒等.
9.设()f z 在D 内解析,则()f z 在____________________________最大值除非()f z 在D 内_______________________________,(________________)
10.
=
四、计算题： 1． 将函数2
1
()(1)f z z =
-展开为z 的幂级数，并求展式成立的范围
2． 将函数sin z 按1z -的幂展开，并指明收敛的范围 3． 求幂级数
224821
n
n n Z
z z z z ∞
==+++
++
∑的收敛半径
4． 求函数2
()(cos 1)f z z z =-的零点及其级别
5． 求z
e 在闭圆01z z -≤上的最大值
五、证明题 综合题： 1．设0
1
()(0)n n
n f z a z a ∞
==
≠∑的收敛半径0R >，且max ()()z p
M f z p R ≤=<试证：在圆
00a z a M
ρ<
+内()f z 无零点
2．设z R <内解析的函数()f z 有泰勒展式：0
()n
n n f z a z
∞
==
∑.试证:当0r R
≤<时,
222
20
1()2i n n n f re d a r π
θ
θπ
∞
==∑?
3.试证:当01z <<时,
217144
z e z <-< 4.设()f z 是一个整函数,且假定存在一贯正整数n ,以及两个正数R 与M ,使当z R
≥
时,()n
f z M z ≤,试证明: ()f z 是一个至多n 次的多项式或一常数. 5.写出ln(1)z e z +的幂级数展式至含5
z 项为止,其中0
ln(1)0z z =+=
第五章 复习题
一单项选择题:
1. 函数
sin z
z 在0z <<+∞的罗朗展式的罗朗系数2C -,2C 分别为 A)3!,13!B)0, 13!
C) 3!,0D) 0,13!-
2.0z =为函数21cos ()(1)
z z
f z z e -=
-的
A)零点B)一级极点C)二级极点D) 三级极点 3.z =∞ 为函数1()1sin f z z
=
的
A)可去奇点B)m 级极点C)本性奇点D)非孤立奇点
5.()f z 在1z <内解析且()1(1)f z z <<,(0)0f =,则在1z <内恒有()f z
z ,且(0)f ' 1 A)=,≤B)≥ ,≤C) ≤,≤D) ≤,≥
6.解析函数()f z 的孤立奇点a 的去心邻域{}K a -的罗朗级数()
n
n n C z a ∞
=-∞
-∑的主要部分
为 A)
1
()
n
n
n C z a ∞
=-∑B)
()
n
n
n C z a ∞
=-∑C)
1
()
n
n
n C z a -∞
=-∑D)
()
n
n
n C z a ∞
-=-∑
7.z a =分别为()f z ,()g z 的m 级与n 级极点()m n ≠,则z a =是()()f z g z +的
级极点.
A)m n +B)m n C)min(,)m n D)max(,)m n
8.()f z 的孤立奇点a 为本性奇点的充要条件是 A)lim ()0z a
f z →=B)lim ()z a
f z →C)lim ()()z a
f z b →=≠∞D)lim ()z a
f z →=∞
9.若0z =是()f z 的三级极点,则∞是1()f z
的 A)三级极点B)三级零点C)可去奇点D)本性奇点
10.设0z =是不恒为另的函数()f z 的孤立奇点,且有趋于0的无穷点列使()0n f z =则
0z =是()f z 的
A)零点B)可去奇点C)极点D)本性奇点
11.∞是函数()tan f z z =的 A)极点B) 非孤立奇点C) 本性奇点D) 可去奇点
12.函数()f z = 在1z =的去心邻域内不能展成罗朗级数. A)1sin
1z -B) 1sec 1z -C)1(1)z z -D)tan(1)1
z z -- 13.整函数()f z 的孤立奇点个数 个 A)只有一个B)至少一个C)没有D)无法确定 14.亚纯函数的孤立奇点只能是 A) 可去奇点B)极点C) 本性奇点D) 非孤立奇点 15. ()f z 在无穷远点去心邻域内的罗朗展式:()n
n
n f z b z
∞
=-∞
=
∑的主要部分为
A)
1
n
n
n b z
-∞
=-∑B)
n
n n b z
-∞
=∑C)
1
n
n n b z
∞
=∑D)
n
n n b z
∞
=∑
二、多项选择题: 1.1
()(1)(2)
f z z z =
--可以在区域 展开罗朗级数
A)1z < B)12z << C)2z <<+∞ D)011z <-< E)021z <-< 2.0z =是函数()f z = 的本性奇点.
A) 1z
e B)
11sin z
C) 1cos
z D) 1sin z E) 2
1cos z z - 3.0z =是函数()f z = 的本性奇点.
A)B)C)D)E) A)
1sin cos z z +B)ctgz C)tan z D)11z e +E)1
cos z
4.设1
()sin f z z
=存在着收敛于0的点列{}n z ,使0lim ()n n z f z →=
A ∞)B)0C)1D)2E)3
5.函数()f z = 为整函数. A)常数0C B)sin z C)az b +D)az b
cz d
++E)tan z 三、填充题：
1．在圆环H （ ）内解析的函数()f z 可展成双边幂级数
()()
n
n
n f z C z a ∞
=-∞
=
-∑，其中n C = ，Γ为
2．如果a 为()f z 的可去奇点，则有：
（1） (2) (3)
3．若z a =为()f z 之一本性奇点，且在 则z a =必为
1
()
f z 的 4．（Weierstrass 定理）如果a 为()f z 的本性奇点，则任何常数A ， ，使得lim ()n n z a
f z A →=
5．如果z =∞为()f z 的m 级极点的充要条件是下列三条中任何一条成立 （1） （2） （3） 6．若()f z 为一整函数，则z =∞为()f z 的（1）
可去奇点（2）m 级极点（3）本性奇点的充要条件分别为：（1） （2） （3） 7．函数()f z 为有理数的充要条件为
8．()f z ，()g z 分别以z a =为m 级极点与n 级极点，则z a =为
()
()
f z
g z 的 ()m n >， ()m n <， ()m n = 9．函数23
1
()()
f z z i =
+的奇点有：z = ，各为 ，z = 为
10．函数1
()1
z f z e =-的奇点有：z = ，各为 ，z =
为 四、计算题 1．求函数tan ()z
f z z
=的奇点 2．求函数1
()(1)(2)
f z z z =
++在五种不同区域（1）1z <（2）12z <<（3）011
z <+<（4）021z <+<（5）2z <<∞的罗朗展式
3．将2
()(1)
z e f z z z =+在圆环01z <<内展为罗朗级数，（只要含1z 到2
z 各项） 4将函数22
25
()(2)(1)
z z f z z z -+=-+在圆环01z <<内展为罗朗级数 5求函数11
()1z f z e z
=
--的奇点及其类别 五、证明题 综合题：
1．试证：()f z 是单叶整函数的充要条件为：()(0)f z az b
a =+≠
2．试证：在扩充Z 平面上只有一个一级极点的解析函数()f z 必有如下形式：
()az b
f z cz d
+=
+，0ad bc -≠ 3．()f z ，()g z 分别以z a =为m 级极点与n 级极点，试问a 为()()f z g z +，()()
f z
g z 及
()
()
f z
g z 的什么点/讨论之 4．求函数11()z
f z e -=在∞点邻域(1)z <<+∞的罗朗展式至含5
z 为止
5．设C 是一条围线，区域D 是C 的外部（含点∞），()f z 在D 内解析且连续到C ；又设
复变函数试题及答案
1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数
4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1
中南大学复变函数考试试卷(A)及答案
中南大学考试试卷(A) 2008--2009学年第二学期 时间110分钟 复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每小题3分） 1． 下列方程中，表示直线的是（ ）。 ()()()()()()()254(54)54(54)1 12R e 1 A i z i z z z B i z i z C z i z i D z z z -++ =-++=-++= =- 2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面 处处不可导 3． 下列命题中，不正确的是（ ）。 ()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i ωπω∞∞ =-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数 ,则在内解析. 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆 4． 下列级数绝对收敛的是（ ）。 ()()()() ()2 2111 1112n n n n n n n i i i A B C i D n n n ∞∞ ∞ ∞ ====?? ++ ?? ?∑ ∑∑∑ 5． 设()f z 在01z <<内解析且()0 lim 1z zf z →=，那么()() Res ,0f z =（ ）。
()()()()22 11 A i B i C D ππ-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。 2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3． ()1 sin z z z e z dz =-=? 。 4． 函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式 。 5． 幂级数()1 1n n z n ∞ =-∑ 的收敛半径为 。 三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。 四．(20分)求下列积分的值 1． () 2 2 4 1z z e dz z z =-? 2． ()2 sin 0x x dx a x a +∞ >+? 五．(15分)若函数()z ?在点解析，试分析在下列情形： 1．为函数()f z 的m 阶零点； 2．为函数()f z 的m 阶极点； 求()()()0Res ,f z z z f z ??? '??? ?。 六．（15分）试求()2 1 1f z z = +以z i =为中心的洛朗级数。 七．（10分）已知单位阶跃函数()0 01 t u t t >?=?
复变函数与积分变换复习题.
第一章 一、选择题 1. 一个向量顺时针旋转 3 π，向右平移3个单位，再向下平移1个单位， 对应的复数为1-，则原向量对应的复数是（A ） A. 2 B. 1 C. i D. i + 2. 设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（B ） A. 34i - + B. 34i + C. 3 4 i - D. 34i -- 3. 方程23z i +-= C ） A. 中心为23i - 的圆周 B. 中心为23i -+，半径为2的圆周 C. 中心为23i -+ D. 中心为23i -，半径为2的圆周 4. 15()1, 23, 5f z z z i z i =-=+=-则 12()f z z -=（C ） A. 44i -- B. 44i + C. 44i - D. 44i -+ 5. 设z C ∈，且1z =,则函数21()z z f z z -+=的最小值是（A ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 二、填空题 1.不等式225z z -++<所表示的区域是曲线_________________的内部。（椭圆 22 22153()()22 x y +=） 2. 复数 2 2 (cos5sin 5) (cos3sin 3)θθθθ+-的指数表示式为_______________.（ 16i e θ） 3. 方程 2112(1)z i i z --=--所表示曲线的直角坐标方程为__________________.（221x y +=） 4. 满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴 为25 的椭圆，该图形是否为区域 否 . 5．复数 () i i z --= 11 32 的模为_________，辐角为____________. （5/12π- ）
复变函数_期末试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点
复变函数经典习题及答案
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
复变函数试题汇总
复变函数试题汇总
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ?
《复变函数》考试试题(一） 一、 判断题（2０分）: 1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析． （ ) 2. 有 界 整 函 数 必 在 整 个 复 平 面 为 常 数 . ( ） ３ . 若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. （ ) 4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）. ( ) ５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点，则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极 点． （ ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z ０ 是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. （ ） 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ） 二．填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz ＿__＿______.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿．
《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)
《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z ) 2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错 ；5.对的 ；6.错； 7.错 ； 8. 错 ；9. 对的 ；10. 错 。 三(8分) 解：1)在2||1< 得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ ）；3. 2 11)(z z f +=，=)0() 5(f （ ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （ ） ； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； 得分 复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中 n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设)2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的 罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二） 二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z 2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.（n 为自然数） 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 复变函数复习题答案() 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑 复变函数复习题答案<2018.12） 一、判断题(红色的是错误的> 1.的幅角为. 2.. 3.. 4.. 5.. 6.. 7.. 8.. 9.. 10.函数在复平面内没有奇点. 11.若是函数的奇点，则不存在. 12.设是的共轭调和函数，函数则也是的共轭调和函数. 13．设是的共轭调和函数，则一定是调和函数. 14.函数的奇点只有一个. 15.设是不经过原点的简单闭曲线，则. 16.解读函数的导数还是解读函数. 17.. 18.. 19.. 20.. 21.. 22.若，则z0是函数的可去奇点. 23.若函数f(z>在z0处解读，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 24. 若是函数的可去奇点，则. 25. 设是的孤立奇点,如果,则是的极点. 二、选择题 1．下列各式中表示有界区域的是< C）. A. B. C. D. 2．在映射下，双曲线在平面上的象是，其中是整数. A. B. C. D. 7．对于幂级数，下列命题中正确的是< B ）. A.在收敛圆内，其条件收敛 B.在收敛圆内，其绝对收敛 C.在收敛圆上，其处处收敛 D在收敛圆上，其处处发散 8．是的< D ）. A.本性奇点 B.极点 C.连续点 D.可去奇点p1EanqFDPw 9．在复平面内，关于的命题中，错误的是< C ）. A.是周期函数 B.是解读函数 C. D. 10．设为正向曲线，则( A >. A. B. C. D.DXDiTa9E3d 11．设，则( C >. A. B. C. D.RTCrpUDGiT 12.函数将平面上的曲线映射成平面内的一条 复变函数试题库 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内复变函数试题及标准答案样本
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