初三数学成比例线段知识讲解

初三数学成比例线段知识讲解

初三数学中的成比例线段知识是一个重要的基础概念，它涉及到数学中的比例和比例的性质。在初三数学学习过程中，我们会学习到成比例线段的定义、性质以及相关的应用。

成比例线段是指两个线段之间的比例关系保持不变。具体来说，如果两个线段AB和CD之间的比例关系为AB:CD=a:b，那么我们可以说这两个线段成比例。其中，a和b为常数，且不为零。

成比例线段的定义使我们能够在解决实际问题时，通过已知条件推导出未知条件。例如，如果我们知道一个三角形的两个边长成比例，我们就可以根据这个比例关系求解出第三条边的长度。

成比例线段的性质包括：(1) 如果两个线段成比例，那么它们的倒数也成比例；(2) 如果两个线段成比例，那么它们的和与差也成比例；

(3) 如果两个线段成比例，那么它们的平方也成比例。

利用这些性质，我们可以解决许多与成比例线段有关的问题。例如，如果我们知道一个四边形的对角线成比例，我们就可以通过这个比例关系求解出其他线段的长度。

在实际应用中，成比例线段有着广泛的应用。在几何学中，成比例线段的概念是建立在相似三角形的基础上的。相似三角形的边长成比例，而成比例线段的性质可以推导出相似三角形的性质。因此，

成比例线段在解决相似三角形问题时起着重要的作用。

成比例线段还在比例的运用中起着重要的作用。在比例的运用中，我们经常需要根据已知条件求解未知条件。而成比例线段的性质使得我们能够通过已知比例关系推导出未知比例关系，从而解决问题。

初三数学中的成比例线段知识是一个重要的基础概念。通过学习成比例线段的定义、性质和应用，我们可以在解决实际问题时运用这些知识，提高数学解题的能力。同时，成比例线段的概念也为后续的几何学和比例的运用奠定了基础。因此，我们应该认真学习和掌握成比例线段知识，为数学学习打下坚实的基础。

九年级成比例线段知识点

九年级成比例线段知识点 成比例线段在九年级的数学课程中占据了重要的地位。本文将 对九年级学生需要掌握的成比例线段的相关知识点进行介绍和解析。 一、成比例线段的定义 成比例线段指的是在同一直线上的两个线段，它们的长度比相等。即若线段AB与线段CD成比例，记作AB∶CD，那么有 AB/CD=常数k。 二、成比例线段的特性 1. 定比分点性质：若在线段AB上有一点M，使得AM/MB=k，则称M为AB的一个定比分点。定比分点的特性是，若M是AB 的定比分点，则AM/MB=k或MB/AM=1/k。 2. 分段问题：设线段AB上有一点E，使得AE为AB的α部分（即AE/AB=α），则BE为AB的β部分（即BE/AB=β）。若已 知α和β，求线段AE和BE的具体长度时，可以使用分段比例定理：AE/BE=α/β。

3. 三点共线问题：若已知A、B、C三点共线，且AB∶BC=k，那么可以得出结论，点A、B、C是成比例线段。 三、成比例线段的性质和定理 1. 外分比例定理：在线段AB的延长线上取一点C，使得AC 为AB的α倍，BC为AB的β倍，则有AC/BC=α/β。 2. 内分比例定理：在线段AB上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，那么有AC/BC=α/β。 3. 同位角定理：若两条平行线被一条交叉线所切分，那么所得 的各对共线点所构成的线段成比例。 四、成比例线段的应用 成比例线段在实际问题中具有广泛的应用。以下举例说明： 例1：已知在一条长为10cm的铁丝上，从一端开始分别距离 1cm和9cm的两个固定点，现在要找到距离这两个固定点等距离 的一个点M，该点在铁丝上的位置离起点较近。求点M在铁丝上 的位置。

比例性质及比例线段

比例性质及比例线段（初二4.16） 一、知识点与方法概述： 1、比例的性质： 基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d. 合比性质： 等比性质：如果，那么. 2、（成）比例线段： 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项. 3、黄金分割： 如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC 是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点. 注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点. 4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质） 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理） 5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC 求证：DE=EF 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF 6、三角形的中位线定理： 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点 求证：BC DE //，BC DE 21= 7、梯形的中位线定理 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位 线。 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于 两底和的一半。 已知：梯形ABCD 中，BC AD //，E 、F 分别是AB 、CD 的中点 求证：BC AD EF ////，)(2 1BC AD EF += . 二、典型例题： 1. 如图，CE 是?ABC 的中线，AC EG BD EF AD CD //,//,21=. 若EF=18cm ，则BG= cm ；若CD=9cm ，则AF= cm. 2. 如图，?ABC 中，E 为BC 上一点，CD 平分ACB ∠交AE 于点 D ，且CD ⊥A E ，BC D F //交AB 于F 。若AF=2cm ，则AB= cm. 3. 已知：如图，?ABC 中，AB:BC:CA=3:2:4,AB=9cm,D 、E 、F 分别 是AB 、BC 、AC 的中点，求?DEF 的周长.

初中数学知识点精讲精析 比例线段

第一节比例线段 要点精讲 （一）比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说 这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． （二）比例的性质： (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 (三) 平行线分线段成比例定理 1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。 2.推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。 4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。 这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形。

这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD，则或或或 在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC。 基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB。 典型例题 【例1】已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。 【答案】解:∵a:b:c=3:5:7 设a=3k, b=5k, c=7k ∵2a+3b-c=28 ∴6k+15k-7k=28，∴k=2 ∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12 【解析】题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。 【例2】若, 求的值。 【答案】设 则x=3k, y=4k, z=5k ∴ 【解析】在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了。

初三数学成比例线段知识讲解

初三数学成比例线段知识讲解 初三数学中的成比例线段知识是一个重要的基础概念，它涉及到数学中的比例和比例的性质。在初三数学学习过程中，我们会学习到成比例线段的定义、性质以及相关的应用。 成比例线段是指两个线段之间的比例关系保持不变。具体来说，如果两个线段AB和CD之间的比例关系为AB:CD=a:b，那么我们可以说这两个线段成比例。其中，a和b为常数，且不为零。 成比例线段的定义使我们能够在解决实际问题时，通过已知条件推导出未知条件。例如，如果我们知道一个三角形的两个边长成比例，我们就可以根据这个比例关系求解出第三条边的长度。 成比例线段的性质包括：(1) 如果两个线段成比例，那么它们的倒数也成比例；(2) 如果两个线段成比例，那么它们的和与差也成比例； (3) 如果两个线段成比例，那么它们的平方也成比例。 利用这些性质，我们可以解决许多与成比例线段有关的问题。例如，如果我们知道一个四边形的对角线成比例，我们就可以通过这个比例关系求解出其他线段的长度。 在实际应用中，成比例线段有着广泛的应用。在几何学中，成比例线段的概念是建立在相似三角形的基础上的。相似三角形的边长成比例，而成比例线段的性质可以推导出相似三角形的性质。因此，

成比例线段在解决相似三角形问题时起着重要的作用。 成比例线段还在比例的运用中起着重要的作用。在比例的运用中，我们经常需要根据已知条件求解未知条件。而成比例线段的性质使得我们能够通过已知比例关系推导出未知比例关系，从而解决问题。 初三数学中的成比例线段知识是一个重要的基础概念。通过学习成比例线段的定义、性质和应用，我们可以在解决实际问题时运用这些知识，提高数学解题的能力。同时，成比例线段的概念也为后续的几何学和比例的运用奠定了基础。因此，我们应该认真学习和掌握成比例线段知识，为数学学习打下坚实的基础。

北师大版九年级(上)数学第10讲：成比例线段(教师版)——王琪

成比例线段 一、有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是 a ： b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和 c 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 二、比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a = ⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪ ⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.合比性质： d d c b b a d c b a ±= ±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）

九年级线段成比例知识点

九年级线段成比例知识点 一、什么是线段成比例？ 线段成比例是指两个线段之间的比值相等。即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。 二、线段成比例的判定方法 1. 基于长度的判定方法： 设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。 （1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。 （2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。

2. 基于相似三角形的判定方法： 我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。 （1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。 （2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。 三、线段成比例的性质 1. 线段成比例的交叉乘积性质： 设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立： AB × GH = CD × EF

这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。 2. 平行线段上的线段成比例性质： 如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立： AO/OD = BO/OC 这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。 四、线段成比例的应用 线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。 简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。在学习几何学和代

【湘教版】九年级数学上册：3.1.2《成比例线段》教案(含答案)

成比例线段 教学目标 【知识与技能】 1.掌握比例线段的概念及其性质. 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例. 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. 【过程与方法】 能够灵活运用比例线段的性质解决问题. 【情感态度】 感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法. 【教学重点】 能够灵活运用比例线段的性质解决问题. 【教学难点】 掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1.1、2、4、8这四个数成比例吗？如何确定四个数成比例？ 2.比例基本性质是什么？ 【教学说明】复习回顾，引入新课. 二、思考探究，获取新知 1.如下图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC与△A′B′C′，它们的顶点都在格点上，试求出线段AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长度，并计算AB与A′B′,BC 与B′C′,AC与A′C′的长度的比值.

【教学说明】注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD. 2.什么是比例线段？ 【归纳结论】在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段. 3.能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线 段AC与线段AB的比呢？即，使得：CB AC AC AB . 【教学说明】引导学生用一元二次方程的知识解决问题. 【教学说明】学生通过“计算、证明”等活动，得到并加深对黄金分割的理解. 三、运用新知，深化理解 1.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例. （1）a=16cm，b=8cm，c=5cm，d=10cm;

湘教版九年级上册数学比例线段专题

比例线段专题 1.线段的比 定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。 说明： （1）统一单位： 如果用同一长度单位量得线段a 、b 的长度分别是m 、n ，那么 n m b a ::=或 n m b a =。 （2）前项后项： 在b a :或b a 中，a 叫比的前项， b 叫比的后项。 （3）应用：（比例尺） 若实际距离是250m ，图上距离是5cm ，求比例尺. 解析： 比例尺＝ 实际距离 图上距离 ， 5000 1 250005＝ ∴ ， ∴比例尺为1：5000. 注意： （1）若k b a =:，说明a 是b 的k 倍； （2）两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长单位必须一致。（单位要统一）； （3）两条线段的比值是一个没有单位的正数； （4）线段的比是有顺序性，即a b b a ::≠。

2.比例线段 定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 图解： 注意： （1）顺序性：如 d c b a =叫做线段a、b、c、d成比例，而不能说成是b、a、c、d成比例。 如 d c b a =中，线段d叫做a、b、c的第四比例项，而不能说成“线段d 叫做b、a、c的第四比例项”。 3．比例性质 （1）基本性质： ad b d b b a bc ad d c b a = ⇔ = = ⇔ = 2 : : : : （简称：外项积等于内项积） 深层推导：① d c b a =⇒② d b c a =（交换bc）；③ a c b d =（交换ad）；④ c d a b = （上下对称）；⑤ b a d c =（左右对称）；⑥ c a d b =（左右对称）；⑦ b d a c =（左 右对称）；⑧ a b c d =（左右对称）。 （2）更比性质：① d c b a =⇒② d b c a =（交换bc）；③ a c b d =（交换ad）。 （3）合比性质： d c b a =⇔ d d c b b a+ = + （4）分比性质： d c b a =⇔ d d c b b a- = - （5）合分比性质： d c d c b a b a - + = - +或 d a d c b a b a + - = + -

初三数学上比例线段(基础) 知识讲解+巩固练习

比例线段（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质； 2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 3、会运用比例线段解决简单的实际问题； 4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、相似形 1.相似的图形 在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 要点诠释： (1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形. 2.相似多边形 一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释： 相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． 要点二、比例线段 1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作 a b 或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段 c ， d 的比，即 (::)a c a b c d b d ==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项. 3．比例的性质： （1）基本性质 如果 a c b d =，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即 如果ad bc =，那么a c b d =（,b d ≠0）. （2）合比性质 如果 ++==.a c a b c d b d b d ，那么（,b d ≠0）

初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段

初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段 【基础知识精讲】 一、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。 二、成比例线段：1.比例线段： 四条线段d c b a 、、、中，如果 d c b a =， 那么这四条线段 d c b a 、、、叫做成比例线段，简称比例线段。 2.比例中项： 如果 c b b a =（或a c b =2），则b 叫做c a 、的比例中项。 三、比例的性质：1. 基本性质: 如果 d c b a =，那么b c a d =. 2．更比性质：如果d c b a =，那么d b c a =. 3．反比性质: 如果d c b a =，那么c d a b =. 4．合比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a +=+. 5．分比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a -=-. 6．等比性质: 如果)0(≠+++===n d b n m d c b a ，那么 b a n d b m c a =++++++ . 四、黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），如果 AC BC AB AC =， 那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比， 618.02 1 5≈-=AB AC 。 【例题巧解点拨】 例1：（1）已知 2a c a b c d b d b d --==，求和 （2）已知 0,0,a c a b c d a b c d b d a b c d ++=-≠-≠=--，且求证： 例2：已知d c b a 、、、是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，

苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点总结+易错点汇总

第六章《图形的相似》 知识点一：比例线段 1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a c b d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质： (1)基本性质：a c b d =⇔ ad ＝b c ；（b 、 d ≠0） (2)合比性质：a c b d =⇔ a b b ±＝c d d ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质： a c b d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c m b d n ++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即 如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则 AB DE BC EF = . （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB ∥CD ，则 OA OB OD OC = . （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC. 4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝= 5－1 2 ≈0.618，那么线段 AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。 知识点二 ：相似三角形的性质与判定 5. 相似三角形的判定： (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ， AC AB DF DE = ，则△ABC ∽△DEF. F E D C B A 学 班级 姓名 考试号 -----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------

初三数学第2讲：比例线段与黄金分割

初三数学第2讲：比例线段与黄金分割 教学内容 一、知识要点： 1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。 2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 如果a、b、c、d是比例线段，即（或），那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项。 3、比例线段有以下性质： （1）基本性质 如果，那么 （2）合比性质 如果，那么，； （3）等比性质 如果，那么。 等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。例如：如果，那么小试牛刀： 一、填空题 1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作 ____________。 2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比 ____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。 3、合（分）比性质：如果，那么=_____________。 4、等比性质：如果，且_____________，那么__________= 5、若4x=5y，则x：y=____________ 6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______ 7、下列各组线段成比例的是（）

A、1cm、3cm、2cm、4cm B、1m、20cm、5cm、25cm C、cm、cm、cm、4m D、4cm、8cm、6m、12cm 8、已知点C是AB延长线上一点，且AC:CB=5:3,AB=52,则CB 的值为（） A、13 B、19.5 C、78 D、130 9、在比例尺为40:1的图纸上，一零件的长度为16厘米，则该零件的实际长度为（） A、6.4厘米 B、64分米 C、0.4厘米 D、4厘米 二、典型例题： 例1、有两组线段，每组分别有四条，长度如下： （1）a=16厘米，b=18厘米，c=5厘米，d=10厘米； （2）a=10厘米，b=0.5厘米，c=0.6分米，d=12厘米。 试判断它们是否成比例。 分析：判断四条线段是否成比例，可以先把它们按从小到大的顺序排列，由比例的基本性质可知，即如果第一、四两个数之积等于第二、三两数之积，则四条线段成比例，否则不成比例。 例2、如图：已知 A 求证：（1）（2） D E B C 例3、三条线段的长分别为2cm、3cm、4cm，再添一条线段，使这四条线段成比例线段。

初三数学比例线段知识精讲 上海科技版

初三数学比例线段知识精讲 某某科技版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 比例线段 二. 教学要求 1. 结合现实情景了解线段的比和成比例线段，理解并掌握比例的基本性质及其简单应用 2. 了解黄金分割，体会其中的文化和艺术价值，进一步理解线段的比和成比例线段。 三. 重点及难点 重点： 1、了解线段的比和成比例线段，理解并掌握比例的基本性质。 2、了解黄金分割，理解线段的比、成比例线段等相关知识。 难点： 1、比例基本性质的简单应用。 2、成比例线段的应用。 四. 课堂教学 ［知识要点］ 知识点1、线段的比 当用同一长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ， n ，那么就说这两条线段 的比AB:CD=m: n 或写成 k n m CD AB ==， 其中线段AB ，CD 分别叫做这两条线段比的前项和后项，k 叫做它们的比值。 说明：（1）两线段的比是指用同一长度单位度量的两线段长度的比 （2）两线段的比值与所用的长度单位无关。 知识点2、成比例线段 （1）成比例线段的定义：四条线段a ，b ，c ，d ，中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段a ，b ， c ， d 叫做成比例线段，简称比例线段，其中a ，d 可称为比例外项，b ，c 可称为比例内项，d 可称为a ，b ，c 的第四比例项。 （2）比例的基本性质 如果d c b a =，那么ad=bc 如果ad=bc （a ，b ，c ，d ，都不等于0），那么d c b a =。 说明： ①比例的基本性质是比例变形的重要依据。 ②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k 的方法，设d c b a ==k ，那么a=kb ， c=k d ，a d=k b ·d=b ·k d=b c 知识点3、比例的性质

人教版初三数学：图形的相似和比例线段--知识讲解(基础)

图形的相似和比例线段--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 【高清课堂：图形的相似预备知识】 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比 是a:b=m:n，或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 要点三、相似多边形 【高清课堂：图形的相似二、图形的相似 2】 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【典型例题】 类型一、比例线段 1.（2014•甘肃模拟）若==（abc≠0），求的值． 【答案与解析】解：设===k， 则a=2k，b=3k，c=5k， 所以===．

14初中数学“成比例线段”知识点全解析

初中数学“成比例线段”知识点全解析 一、引言 成比例线段是初中数学中的一个重要概念，它是研究比例关系的基础。理解并掌握成比例线段的概念和性质，对于提高学生分析问题和解决问题的能力具有重要意义。本文将详细解析成比例线段的概念、性质、判定方法以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。 二、成比例线段的概念 1.定义：如果四条线段a, b, c, d满足a/b = c/d，那么我们就说这四条线段是 成比例的，记作a:b = c:d。 2.术语解析：在a:b = c:d中，a和d称为比例的外项，b和c称为比例的内项。 三、成比例线段的性质 1.等比性质：若a:b = c:d，则(a+b)/b = (c+d)/d。这一性质表明，成比例线段 的对应项之和与原线段的比例关系相同。 2.合比性质：若a:b = c:d，则(a-b)/b = (c-d)/d。这一性质表明，成比例线段 的对应项之差与原线段的比例关系相同。 3.更比性质：若a:b = c:d，则a/c = b/d。这一性质表明，成比例线段的交叉项 之比相等。 4.反比性质：若a:b = c:d，且b和d均不为0，则a/b = d/c。这一性质表明， 成比例线段的交叉项之积相等。 四、成比例线段的判定方法 1.直接判定法：根据定义直接判断四条线段是否满足a/b = c/d。 2.等比中项法：如果两条线段的平方等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段 是成比例的。即如果a² = bc，那么a, b, c以及另一条与它们成比例的线段d构成成比例线段。 3.相似三角形法：在相似三角形中，对应边之间的比例是相等的。因此，可以通 过证明两个三角形相似来判定四条线段是否成比例。 五、成比例线段的应用

初三数学圆中成比例的线段知识精讲

初三数学圆中成比例的线段知识精讲 知识考点： 1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。 2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。 精典例题： 【例1】已知如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2。求： （1）BC 的长； （2）⊙O 的半径r 。 分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。 解：（1）设BM ＝MN ＝NC ＝x ，由切割线定理可得：BM BN AB ⋅=2 即)(22x x x +=解得：2= x ， ∴BC ＝233=x ； （2）在Rt △ABC 中，AC ＝1422=-AB BC 由割线定理可得：CM CN AC CD ⋅=⋅ ∴7 14 2= ⋅= AC CM CN CD ∴14 14 5)714214(21)(21= -=-= CD AC r 【例2】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分 线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AE AD ⋅的值。 分析：由切割线定理有PC PB PA ⋅=2 ，可得直径BC 的长，要求AE AD ⋅，由△ACE ∽△ADB 得 BA CA AE AD ⋅=⋅，也就是求CA 、BA 的长。 解：连结CE ∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线 ∴PC PB PA ⋅=2 又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15 ∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP 又∠P 为公共角，△PAB ∽△PCA ∴ 2 1 2010===PC PA AC AB ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝900 ∴2252 2 2 ==+BC AB AC ∴AC ＝56，AB ＝53 又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB • 例1图 O N M D C B A •例2图 P O E D C B A

平行线分线段成比例定理证明过程

平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。 一、平行线分线段成比例定理的概念 平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。 二、证明过程 接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。 1. 利用证明过程所需的前提条件 我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。 2. 构造辅助线 在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。 3. 利用相似三角形性质 在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。

4. 利用平行线的性质 平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直 线所成的各对应角相等。我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。 5. 运用数学归纳法 在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情 况都成立。 6. 总结 通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明 结果。 三、个人观点和理解 从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要 创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。平行线分 线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让 我更加深入地理解了相关概念和定理。 总结 通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了 解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良

北师大版九上数学4.2平行线分线段成比例知识点精讲

平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。 1 简介 编辑 平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则 平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线段，称其为平行线等分线段。[1]

图1 2 定理证明 编辑 设三条平行线与直线 m 交于 A、B、C 三点，与直线 n 交于 D、E、F 三点。 连结AE、BD、BF、CE 根据平行线的性质可得 S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF， ∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE 根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。 由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。 3 定理推论 编辑 过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。 定理推论： ①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 ②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 01 平行线分线段成比例的基本事实 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.符号表示：如图 02 平行线分线段成比例的基本事实的推论 1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 2.符号表示：如图