九年级数学上册 1.1、比例线段知识要点 华东师大版

比例线段

知识要点

本节主要内容为线段的比、成比例线段、比例性质和黄金分割的概念.

在同一单位下，两条线段的长度比叫做这两条线段的比.

①概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段.

②比例线段中的相关概念

已知四条线段a、b、c、d，如果＝(a∶b＝c∶d)，那么a、b、c、d叫做组成比例的项.线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项.

如果作为比例内项是两条相同的线段，即＝(a∶b＝b∶c)，那么线段b叫做线段a、c的比例中项.

如果m n

n p

，比例外项是；比例内项是；比例中项是。

①比例基本性质：＝ad＝bc(bd≠0)

＝b2＝ac(bc≠0)②合比性质：＝＝

③等比性质：若＝＝……＝(b+d+…+n≠0)

则＝

4.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC，(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的比例中线，叫做把线段AB黄金分割，C点叫做线段AB的黄金分割点.

1.请用表达式复述比例基本性质、合比性质、等比性质。

2.画出黄金分割图，并用表达式表示。

典型例题

例1已知3∶x＝8∶y，求

例2已知＝，求.

例3若＝，求

例4已知x∶y∶z＝１∶３∶５.求的值.

练习

一、填空题

1.若4x=5y,则x∶y＝ .

2.若＝＝，则∶ ＝ .

3.已知＝，则的值为 .

4.已知＝，那么＝ .

5.若＝＝＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ .

6.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝ .

7.若＝，那么＝ .

8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .

9.已知△ABC和△A′B′C′，＝＝＝，且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.则AB+BC+AC＝ cm.

10.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝ cm；

a、c的比例中项x＝ cm.

二、选择题

1.已知x＝＝＝，则x的值是( )

A.-

B.1

C.-1

D.

2.P在线段AB上，AP2＝AB·PB，若PB＝4，那么AP为( )

A. +1

B. +2

C.2 +2

D.2

+1

3.把ab＝cd，写成比例式，不正确的是( )

A. ＝

B. ＝

C. ＝

D. ＝

4.如果四条线段a、b、c、d构成＝，m＞0，那么推出下面的结论中，正确的个数是( )

① ＝；② ＝；③ ＝；④ ＝

5.已知线段a＝3，b=6,c＝4，那么下面说法正确的是( )

A.线段a、b、c的第四比例项是a+b

B.线段a、b、c的第四比例项是(2a+3b) 2a是线段b和c的比例中项

6.已知M是线段AB延长线上一点，且AM∶BM＝5∶2，则AB∶BM等于( )

A.3∶2

B.2∶3

C.3∶5

D.5∶2

7.一个三角形三边之比为2∶3∶4，则这个三角形三边上的高的比是( )

A.2∶3∶4

B.6∶4∶3

C.4∶3∶2

D.4∶9∶16

8.已知菱形ABCD，∠A＝60°，则＝( )

A. B.1∶ C.1+

D.( +1)∶2

三、解答题

1.已知C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且＝，如果AB＝6cm，AC ＝，求AD和BD的长.

2.一个三角形的三内角分别为30°、60°、90°，另一个三角形的三内角分别为45°、45°、90°，计算每一个三角形三边长度之比.

3.已知线段x、y，如果(x+y)∶(x-y)＝a∶b，求x∶y.

4.已知a∶b＝c∶d，求证：ab+cd为a2+c2及b2+d2的比例中项.

5.已知：

＝ ＝ ＝3(且有b+d+f ＝0)，求证： ＝ ＝3.

四、把长为7cm 的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段的长为 .

五、在同一时刻物高与影长成比例，如果一教学楼右地面的影长为10m ，同时高为1m 的测杆的影长为50cm ，那么教学楼的高是多少米?

六、已知A 、B 、C 在同一直线上，若AB∶BC＝2∶3，P 为直线外一点，求

的比.

2．成比例线段 （课作）

1．若线段AB=0.1, CD=0.75, 则AB ∶CD=；若AB=1m, CD=25cm ，则AB ∶CD

=；若线段AB=m, CD=n ，则AB ∶CD=.

2．若MN ∶PQ=4∶7，则PQ ∶MN=, MN=PQ, PQ=MN. 3．如图，C 是线段AB 的中点，D 在BC 上，且AB=24cm ，BD=5cm, 则AC ∶CB=；AC ∶AB=；BC ∶

BD=；CD ∶AB=；AD ∶CD=.

4．若ab=cd ，则有a ∶d=；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y=. 5． 若a, x, b, y 是比例线段，则比例式为；若a=1，x=-2, b=-2.5, 则y= .

6．若a=2cm ，b=8cm, 则a, b, b-a 的第四比例项为；（a+b ）,（b-a ）的比例中项为.

7．若x ∶（x+1）=7∶9，则x=；若

b b a +=38，则b a =. 8．若5a=3b ，则b a =，b

a b a +-3=. D A

9．已知A, B 两地实距5Km ，图距2cm ，则比例尺是；若在此地图册上量得A,C 两地间距离

是16cm ，则A,C 两地间实际距离是.

10．正方形ABCD 的对角线相交于点O ，有下列式子：AB ∶BC=AD ∶DC ； AB ∶AC=AD ∶DB ；OA ∶

OB=OD ∶OC ；OA ∶AD=AB ∶AC. 其中正确的式子有个.

11．下列语句正确的有（ ）

A 、已知线段a ∶b=2∶3，则a ，b 的长度一定是2和3；

B 、四条线段a ，b ，c ，d ，不管各线段的位置如何，只要满足ad=bc ，则a ，b ，c ，d 一定是成比例线段；

C 、若a ，b ，c ，d 是实数，且ad=bc ，则一定推出a ∶b=c ∶d ；

D 、所有的矩形都相似，正方形都相似

★12．已知b a =43，c b =5

3，则a ∶b ∶c 等于（ ） A. 3∶4∶∶3∶5 C.9∶12∶20 D. 9∶15∶20

13．判断下列线段是否成比例，若成，请写出比例式.

①a=3m, b=5m, c=, d=② a=30mm, b=2cm, c=

5

4cm, d=12mm

③

★ 14．已知有三条长分别为3cm ，6cm ，9cm 的线段，请你再添一条线段，使这四条线段成

比例，求所添线段的长度.

2．成比例线段 （家作）

1．在比例尺为1∶200000的某某市交通图上，人民广场与日月潭之间的距离约为10厘米，则它们之间的实际距离约为千米.

2．P 是线段AB 上一点，且PB AP =52，则PB AB =，AB=AP.

3．等腰梯形的两腰之比是，直角三角形斜边上的中线与斜边之比是，线段的垂直平分线上

的一点到线段两端点的距离之比是.

4． 若d 是5，-8，-3的第四比例项，则d=；若b 是5，15的比例中项，则b=. 若a=3cm ，a, b 的比例中项是9cm ，则b=cm.

5．若b ∶4=a ∶3, 则a ∶b=；若3∶x=2∶6, 则x=；

6．若（x+y ）∶y=4∶3, 且x+y=8, 则x=, y=.

7．若4x=5y ，则y

y x +=.

8．已知2x=3y=4z ，则x : y :z 为（ ）

A. 2 :3: 4

B. 4: 3 :2

C. 7 :6 :5

D. 6 :4 :3

9．已知三角形的三边长的比是4：5：6，则它们对应高的比是（ ）

A. 4:5:6

B. 5:4:6

C. 6:5:4

D.15:12:10

10. 判断下列各组长度的线段是否成比例？

（1）a=6cm,b=0.12m,c=10cm,d=5cm (2) a=7cm,b=4cm, c=d=27cm

11. 已知a,b,c 为△ABC 的三边长，且△ABC 的周长是60cm,

3a =4b =5c , 求a,b,c 的长.

12. 已知

a b a -=32，求b

a b a +-34的值.

13. 已知x ∶y=3∶5, y ∶z=2∶3, 求⑴x: y :z ⑵（x+y-z ）∶（2x-y+z ）的值.

★ 14. 若x ∶（y+z ）= y ∶（x+z ）= z ∶（x+y ）= k, 求k 的值.

24.2.1 成比例线段

【知能点分类训练】

知能点1 成比例线段

1．已知线段a=2，b=3，c=5时，若a，b，c，d四条线段成比例，则d=_______．2．若2a=3b，则（a-b）：（a+b）的值是________．

3．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：4，则AP：AB=_____，AB：PB=_______．4．求下列各式中的x:

（1）3：x=6：x；（2）5：2=（3-x）：x

知能点2 比例的性质

5．若

4

,

5

a b a

b b

-

=则=______．

6．如果a=15cm，b=10cm，且b是a和c的比例中项，则c=________．

7．若

4

,

7

a c a c

b d b d

+

==

+

则=________．

8．已知

4

________,

3

m m n m

n n m n

+

==

-

,则=_________.

9．已知a：b：c=2：3：5，则

222

________,

a b c a b c

a a

b a

c bc

+++-

=

+-

=________．

10．已知（a-b）：b=2：3，则a：b=_______，a b

a b

-

+

=__________．

11．已知实数x，y，z满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x：y：z=________．

【综合应用提高】

12．设实数x，y，z使│x-2y│+（3x-z）2=0成立，求x，y，z的值．

13．已知b c a c a b c

a b c a b

+++

=

+

=,求的值．

14．已知P是线段AB上一点，且AP：PB=3：5，求AB：PB的值．

15．设x=

a b c

b c a c a b

=

+++

=，求x的值．

【开放探索创新】

16．已知：2，3这三个数，请你添加一个数，写出一个比例式．【中考真题实战】

17．（某某）若

8

5

a b

b

+

=，则

a

b

=______．

18．（某某）已知

5

,

7

a c a c

b d b d

+

==

+

则（b+d≠0）的值等于（）．

A．35105

(77714)

B C D

19．（某某）在比例尺为1：2 700 000的某某地图上量得某某与某某间的距离约为8cm，则某某与某某两城间的实际距离为________km．

答案:

1．15

2

2．1：5 3：1：5 5：4 4．（1）x=4 （2）x=

69

5.

75

6．c=20

3

cm 点拨：线段不能是负数．

7．474

8.

731

或4

9．5 -12 点拨：设一份为x，则a=2x，b=3x，c=5x，代入式中求解．

10．51 34

11．1：（-5）：（-4）

点拨：可把原式列为方程组，用x 为表示y 和z ，可得y=-5x ，z=•-4x ， ∴x ：y ：z=1：（-5）：（-4）．

12．解：由题意20,30,30.x y y z x z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩

∴x=0，y=0，z=0．

13．解：设当a+b+c ≠0时，

b c a +=a c b +=a b c +=k ． 则b c a

+=k ⇒b+c=ak ， a c b

+=k ⇒a+c=bk ， a b c

+=k ⇒a+b=ck ， ∴2（a+b+c ）=（a+b+c ）k ，

∴k=2，

∴a+b=2c ，即c a b +=12

． 当a+b+c=0时，a+b=-c ， ∴c a b

+=-1． 14．AB ：PB=8：5

15．解：当a+b+c ≠0时，a=（b+c ）x ，

b=（a+c ）x ，c=（a+b ）x ，

∴（a+b+c ）=2（a+b+c ）x ，

∴x=12

． 当a+b+c=0时，x=-1．

16

．如2

等． 17．

35

18．B 19．216

答案：

一、1.5∶4 2. 3. 4. 5.12 6.5∶3 7. 8.

9.24 10.3 4

三、1.12cm、12cm 2.1∶ ∶21∶1∶ 3.x∶y＝ 4.∵a∶b＝c∶d，∴ad＝bc，此时(a2+c2)(b2+d2)＝a2b2+a2d2+c2b2+c2d2＝a2b2+a2b2c2+c2d2

(ab+cd)2＝a2b2+2abcd+c2d2=a2b2+2b2c2+c2d2

即：(ab+cd)2=(a2+c2)(b2+d2)

5.提示：a=3b c=3d e＝3f，代入得证.

四、(cm)

五、20m

六、2∶3

华东师范大学九年级上册数学知识点总结

华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1）=2)(a （a ≥0）；（2 ；（3）?? ? ??<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ?≥≥??=≥>?? 4. 概念： 1.2.?? ?最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”： 根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数 项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，

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华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章二次根式 1.二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式． 2.二次根式的性质： （1）=2) (a（a≥0）；（2 ；（ 3 ） ? ? ? ? ? < = > = = )0 ___( )0 ___( )0 ___( ____ 2 a a a a 3.二次根式的乘除： 计算公式： ___(0,0) ___(0,0) a b a b ?≥≥ ? ? =≥> ? ? 4.概念： 1. 2. ? ? ? 最简二次根式：(1) (2) (3) 同类二次根式： 5.二次根式的加减：(一化，二找，三合并) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6.二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）； (2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式 移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7.二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章一元二次方程 1.一元二次方程： 1)一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整

2)

3) 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 1) 当△<0时，一元二次方程没有实数根． 2. 韦达定理： 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x - =+2 1， a c x x = 21．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之 和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 3. 一元二次方程的二次函数的关系： 其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y =0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点，也就是该方程的解了． 第23章 图形的相似 1． 比例线段的有关概念 ==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项， a c (a b c d )a d b c a c b d b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项． 2． 比例性质 ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()() ()?=?? ?=?=?? ?=???=?交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a b c d d c a c b a d b b d c a b d a c ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0

九年级上册数学基础知识归纳

九年级数学基础知识归纳 第一章 反比例函数 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y =还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量 0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分 支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线

x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4．反比例函数性质如下表： k 的取值 图像所在象限 函数的增减性 o k > 一、三象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而减 小 o k < 二、四象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而增 大 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反 比例函数,但是反比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用 8、比较正比例函数和反比例函数的性质 正比例函数 反比例函数 解析式 图像 直线 双曲线 位置 k ＞0，一、三象限； k ＜0，二、四象限 k ＞0，一、三象限 k ＜0，二、四象限 (0) y kx k =≠(0) k y k x =≠

【华东师大版】九年级数学上册：23.1.1《成比例线段教案(含答案)

23.1 成比例线段 1.成比例线段 【知识与技能】 1.了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例. 2.会利用比例的性质，求出未知线段的长. 【过程与方法】 培养学生灵活解题及合作探究的能力. 【情感态度】 感受数学逻辑推理的魅力. 【教学重点】 成比例线段的定义;比例的基本性质及直接运用. 【教学难点】 比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质. 一、情境导入，初步认识 挂上两张照片，问： 1.这两个图形有什么联系？ 它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形. 2.这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例. 二、思考探究，获取新知 1.两条线段的比 （1）回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比较两线段的大小. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n ，或写成ABCD= n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.

如果把n m 表示成比值k ，则CD AB =k 或AB=k ·CD. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位. （2）做一做 量出数学书的长和宽（精确到0.1cm ），并求出长和宽的比. 改用m 作单位，则长为0.211m,宽为0.148m,长与宽的比为0.211∶0.148=211∶148. 只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变. （3）求两条线段的比时要注意的问题 ①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比； ②两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； ③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？（学生讨论） （答：线段的长度比与所采用的长度单位无关）. 2.成比例线段的定义四条线段a 、b 、c 、d 中，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如 d c b a =，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 3.比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a 、b 、c 、d 四个数满足d c b a =，那么ad=bc 吗？反过来，如果说ad=bc ，那么 d c b a =吗？与同伴交流. 如果d c b a =，那么ad=bc. 若ad=bc(a 、b 、c 、 d 都不等于0），那么d c b a =. 例1 在某市城区地图（比例尺1∶9000)上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm 、10cm. （1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ （2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 解：（1）1440米，900米. （2）8∶5,8∶5. 例2如图，已知d c b a ==3，求b b a +和d d c +;

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华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1）=2)(a （a ≥0）；（2 3） ⎪⎩ ⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0)___(0,0)a b a b ⎧=≥≥⎪⎨=≥>⎪⎩ 4. 概念： 1.2.⎧⎨⎩最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如b a x =+2 )(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式22 2)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．

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华东师范大学出版社九年级上册数学知识点总结 华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章二次根式 二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式． 二次根式的性质： （1）（a≥0）；（2） 0(a≥0)；（3） 二次根式的乘除： 计算公式： 概念： 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 二次根式化简求值步骤：(1)”一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面； (3)“三化”：化去被开方数中的分母． 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章一元二次方程 一元二次方程： 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．一元二次方程的一般形式：． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零．

叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c 叫做常数项． 一元二次方程的解法： 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．直接开平方法适用于解形如的一元二次方程．根据平方根的定义可知， 是b的平方根，当时，，，当b0时，方程没有实数根． 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式．公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程的求根公式： 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“ ”来表示，即． 当△0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 当△0时，一元二次方程没有实数根． 韦达定理： 如果方程的两个实数根是，那么，．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 一元二次方程的二次函数的关系： 其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y=0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面

华东师大初中数学九年级上册424918比例线段及黄金分割(提高) 知识讲解

相似形和比例线段（提高） 知识讲解 学习目标】 1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 2、会运用比例线段解决简单的实际问题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、比例线段 【高清课堂： 394495 图形的相似 预备知识】 1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d ，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 要点二、黄金分割 1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释： AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 图4－7 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD = 2 1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB . （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.

要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、比例线段 1. （2016春•上海校级月考）已知， （1）求的值； （2）如果，求x的值． 【思路点拨】（1）令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，再代入代数式进行计算即可； （2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=y﹣z，求出k的值即可． 【答案与解析】解：（1）∵==， ∴令===k，则x=2k，y=3k，z=4k， ∴===﹣1； （2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z， ∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3(舍去)， ∴x=﹣2． 【总结升华】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x=2k，y=3k，z=4k是解答此题的关键．举一反三： 【高清课堂：394495 图形的相似预备知识练习2】 【变式】（2015春•扶沟县期中）若=，则=（）. A. B. C. D. 无法确定 【答案】C. 2.

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华东师大版数学九年级上知识点小结 第21章 二次根式 1、二次根式的意义 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。 2、最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 4、二次根式的主要性质 （1）双重非负性：)0(0≥≥a a （2）还原性：（a 2 )=a )0(≥a 。 ＊（3）绝对性：⎪⎩ ⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0) 0(2 a a a a a a a 5、二次根式的运算 （1）因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根式。 0,0).a b ⋅ =≥≥ = (0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。 附：1、根式 )0,0(>≥a b a b 的化简方法 （1）把 a b 化为,a b 然后分母有理化为 .a ab （2）把a b 化为a a a b ⨯⨯，然后化为 .a ab 2、 分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为： (1)根据（a ）a =2 )0(≥a 可知a (2)根据平方差公式，可知b ±a 的有理化因式为b a ，y b x a ±的有理化因式是y b x a 第22章 一元二次方程： 1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这

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九年级上 第二十一章 二次根式 1．二次根式 )0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，也就是说，)0(≥a a 是一个非负数，它的平方等于a ，即有：（1）)0(0≥≥a a （2） () )0(2 ≥=a a a 形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。 二次根式的性质：⎩⎨ ⎧<-≥=) 0()0(2a a a a a 2．二次根式的乘法 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。 )0,0(≥≥=⋅b a ab b a 3．积的算术平方根 积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。主要用于二次根式的化简。 )0,0(≥≥⋅=b a b a ab 4．二次根式的除法 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除。 )0,0(>≥= b a b a b a 1． 商的算术平方根 商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母。 )0,0(>≥=b a b a b a 7．最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。 8．二次根式化简主要包括两方面 （1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。 （2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。 9．同类二次根式 像33与32-， a 3、 a 2-与 a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式。 二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。

第二十二章 一元二次方程 1．一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。 一般形式：c b a c bx ax ,,(02 =++是已知数，)0≠a 。其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。 2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 （2）因式分解法 （3）配方法 （4）公式法 () 042422≥--±-= ac b a ac b b x 3．一元二次方程的判别式，a c b 42 -=∆ 当0>∆时，方程有两个不等的实根。 当0=∆时，方程有两个相等的实根。 当0<∆时，方程没有实数根。 a c x x a b x x =⋅-=+2121, 第二十三章 图形的相似 1．相似图形 把具有相同形状的图形称为相似图形。 2．成比例线段 对于四条线段,,,,d c b a 如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如)::(d c b a d c b a == ，那么这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段，此时也称这四条线段成比例。 3．比例的基本性质 （1）如果 d c b a =，那么ad=bc 。 （2）如果ad=bc,（a,b,c, d 都不等于零），那么 d c b a =。 4．（1）如果 d c b a =，那么 d d c b b a +=+。 （2）如果 d c b a =，那么 d c c b a a -=-。 5．相似多边形的性质

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华师大版九年级上册数学知识点总结 第 21 章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： ___（a 0） （1）（ a ）2 = （a ≥0）；（2） a ___ 0（a≥0）； （3） a 2 = = ___（a = 0） ___（a 0） 3. 二次根式的乘除： 乘法运算：a b = ___(a 0, b 0) 除法运算： a = ___(a 0,b 0) 5. 二次根式的加减：（一化，二找，三合并 ） （1）将每个二次根式化为最简二次根式； 2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：（1）“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）； （2）“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移 到根号外面；（3）“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除， 最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘 法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 计算公式： 4. 1.最简二次根式： （1） 2.同类二次根式： (2) (3)

第22 章一元二次方程 1.一元二次方程： 1）一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整 式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c =0(a0)．它的特征：等式左边 是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零． ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项． 2.一元二次方程的解法： 1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的 方法． 直接开平方法适用于解形如(x+a)2= b的一元二次方程．根据平方根的定义可知，x + a是b的平方根，当b0时，x+a= b，x = - a b，当b <0 时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式a22ab+b2= (a+b)2，把公 式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x22bx+b2= (x b)2．配 方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为 1 ，再同时加上1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公 式． 3)公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．一元二 次方程ax2+bx+c =0(a0) 的求根公式：x= -b b -4ac (b2 - 4ac0) 2a 4)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的 方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 3.一元二次方程根的判别式： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+ bx + c = 0(a0)的根的判别式，通常用“ ”来表示，即 = b2- 4ac．

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华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1）=2)(a （a ≥0）；（2） ；（3 ）⎪ ⎩⎪ ⎨⎧<=>==) 0___()0___()0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ⎧≥≥⎪⎨=≥>⎪⎩ 4. 概念： 1.2.⎧⎨ ⎩最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”： 根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常 数项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．

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1.二次根式：式子 a （a ≥0）叫做二次根式。 2.二次根式有意义的条件：被开方数a ≥0 3. 二次根式的性质： （1）（ a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 4．二次根式的乘法 )0,0(≥≥⇔⋅b a ab b a 5．二次根式的除法)0,0(>≥⇔ b a b a b a 6．最简二次根式： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 7．同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同。 8.二次根式的加减先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。 9.分母有理化：把分母中的根号化去。 ① a 的有理化因式是a ； ②a a 1． 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 2.一般形式：c b a c bx ax ,,(02 =++是已知数，)0≠a 。 其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。 3. 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法若 ()02≥=a a x ，则a x ±= （2）配方法步骤：①把常数项移到方程的右边；②把二次项的系数化为1；③方程两边同时 加上1次项的系数的一半的平方，配成完全平方公式；④直接开平方。 （3）公式法求根公式：)04(242 2≥--±-= ac b a ac b b x 步骤：①把方程化为()002 ≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；②求出ac b 42-的值；③若042 ≥-ac b ，则. ,b a 把及ac b 42 -的值代入求根公式 ，求出21,x x 。 （4）因式分解法要求方程右边必须是0，左边能分解因式。 注意：形如“ ()()为常数b a b a x b a x ,02=+++可将左边分解因式，方程变形为()()0=++b x a x ，则 00=+=+b x a x 或，即b x a x -=-=21,。 5.一元二次方程根的判别式△=ac b 42 - ①△=ac b 42 -﹥0⇔方程有两个不相等的实数根； a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；

九年级数学上册 1.1、比例线段知识要点 华东师大版

比例线段 知识要点 本节主要内容为线段的比、成比例线段、比例性质和黄金分割的概念. 1.线段的比 在同一单位下，两条线段的长度比叫做这两条线段的比. 2.比例线段 ①概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段. ②比例线段中的相关概念 已知四条线段a、b、c、d，如果＝(a∶b＝c∶d)，那么a、b、c、d叫做组成比例的项.线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项. 如果作为比例内项是两条相同的线段，即＝(a∶b＝b∶c)，那么线段b叫做线段a、c的比例中项. 如果m n n p ，比例外项是；比例内项是；比例中项是。 3.比例的性质 ①比例基本性质：＝ad＝bc(bd≠0) ＝b2＝ac(bc≠0) ②合比性质：＝＝ ③等比性质：若＝＝……＝(b+d+…+n≠0)

则＝ 4.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC，(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的比例中线，叫做把线段AB黄金分割，C点叫做线段AB的黄金分割点. 1.请用表达式复述比例基本性质、合比性质、等比性质。 2.画出黄金分割图，并用表达式表示。 典型例题 例1已知3∶x＝8∶y，求 例2已知＝，求. 例3若＝，求 例4已知x∶y∶z＝１∶３∶５.求的值.

练习 一、填空题 1.若4x=5y,则x∶y＝ . 2.若＝＝，则∶ ＝ . 3.已知＝，则的值为 . 4.已知＝，那么＝ . 5.若＝＝＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ . 6.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝ . 7.若＝，那么＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 . 9.已知△ABC和△A′B′C′，＝＝＝，且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.则AB+BC+AC＝ cm. 10.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝ cm； a、c的比例中项x＝ cm. 二、选择题 1.已知x＝＝＝，则x的值是( ) A.- B.1 C.-1 D. 2.P在线段AB上，AP2＝AB·PB，若PB＝4，那么AP为( ) A. +1 B. +2 C.2 +2 D.2 +1

华东版数学九年级基础知识要点

一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 （1）一元二次方程的一般形式是：)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项； （2）要某方程是一元二次方程，常根据最高次项的次数是2列方程，同时注意这项的系数不等于0； （3）已知一元二次方程的解时，一般是把这个解代入方程。 2、一元二次方程的解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。 3、直接开平方法： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程，根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根。 4、因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简便易行，是解一元二次方程最常用的方法． 对于一边是零，另一边易于分解成两个一次因式的一元二次方程，都可以用因式分解法来解． 因式分解法的理论根据是：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零．例如，如果0)2)(1(=++x x ，那么01=+x 或02=+x ． 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程的右边化为零； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； (3)令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 5、配方法： 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其它领域也有着广泛的应用。 用配方法解一元二次方程02=++c bx ax 的一般步骤： (1)二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； (2)移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为n m x =+2)(的形式； (4)用直接开平方法解变形后的方程。 6、公式法： 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一