九年级成比例线段知识点

九年级成比例线段知识点

成比例线段在九年级的数学课程中占据了重要的地位。本文将

对九年级学生需要掌握的成比例线段的相关知识点进行介绍和解析。

一、成比例线段的定义

成比例线段指的是在同一直线上的两个线段，它们的长度比相等。即若线段AB与线段CD成比例，记作AB∶CD，那么有

AB/CD=常数k。

二、成比例线段的特性

1. 定比分点性质：若在线段AB上有一点M，使得AM/MB=k，则称M为AB的一个定比分点。定比分点的特性是，若M是AB

的定比分点，则AM/MB=k或MB/AM=1/k。

2. 分段问题：设线段AB上有一点E，使得AE为AB的α部分（即AE/AB=α），则BE为AB的β部分（即BE/AB=β）。若已

知α和β，求线段AE和BE的具体长度时，可以使用分段比例定理：AE/BE=α/β。

3. 三点共线问题：若已知A、B、C三点共线，且AB∶BC=k，那么可以得出结论，点A、B、C是成比例线段。

三、成比例线段的性质和定理

1. 外分比例定理：在线段AB的延长线上取一点C，使得AC

为AB的α倍，BC为AB的β倍，则有AC/BC=α/β。

2. 内分比例定理：在线段AB上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，那么有AC/BC=α/β。

3. 同位角定理：若两条平行线被一条交叉线所切分，那么所得

的各对共线点所构成的线段成比例。

四、成比例线段的应用

成比例线段在实际问题中具有广泛的应用。以下举例说明：

例1：已知在一条长为10cm的铁丝上，从一端开始分别距离

1cm和9cm的两个固定点，现在要找到距离这两个固定点等距离

的一个点M，该点在铁丝上的位置离起点较近。求点M在铁丝上

的位置。

解：设点M在铁丝上的位置离离起点距离为x cm，则根据定比分点的特性可知，x/9=(10-x)/1，解得x=0.9cm。所以点M在铁丝上的位置离起点0.9cm处。

例2：已知线段AB和线段CD成比例，且AB=6cm，

CD=15cm，在线段AB上取一点E，使得AE/EB=1/3，求线段CE 的长度。

解：根据分段比例定理可知，AE/CE=1/3，令CE为x，则

AE=6-x。代入AE/CE=1/3的等式中求解，得(6-x)/x=1/3，解得

x=4。所以线段CE的长度为4cm。

以上就是九年级成比例线段的相关知识点的介绍和解析。通过学习和理解这些知识点，同学们可以更好地应用成比例线段解决实际问题，提升数学能力和解题能力。希望同学们能够通过不断的练习和探索，掌握好这一知识点，为进一步深入学习数学打下坚实的基础。

北师大数学九年级上册第四章比例线段

第01讲_比例线段 知识图谱 比例与比例线段 知识精讲 一．比例的性质 1.比例的基本性质： a c ad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b d b d a c =⇔=； 3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d c b a =)； 4.合比定理：a c a b c d b d b d ++=⇔= ； 5.分比定理：a c a b c d b d b d --=⇔= ； 6.合分比定理：a c a b c d b d a b c d ++=⇔= --； 7.等比定理：(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+． 二．成比例线段 1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a c b d =（即::a b c d =） ，那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a c b d =（::a b c d =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的 第四比例项．三条线段a b b c =（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项． 3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中 510.618AC AB AB -=≈，35 0.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．

九年级成比例线段知识点

九年级成比例线段知识点 成比例线段在九年级的数学课程中占据了重要的地位。本文将 对九年级学生需要掌握的成比例线段的相关知识点进行介绍和解析。 一、成比例线段的定义 成比例线段指的是在同一直线上的两个线段，它们的长度比相等。即若线段AB与线段CD成比例，记作AB∶CD，那么有 AB/CD=常数k。 二、成比例线段的特性 1. 定比分点性质：若在线段AB上有一点M，使得AM/MB=k，则称M为AB的一个定比分点。定比分点的特性是，若M是AB 的定比分点，则AM/MB=k或MB/AM=1/k。 2. 分段问题：设线段AB上有一点E，使得AE为AB的α部分（即AE/AB=α），则BE为AB的β部分（即BE/AB=β）。若已 知α和β，求线段AE和BE的具体长度时，可以使用分段比例定理：AE/BE=α/β。

3. 三点共线问题：若已知A、B、C三点共线，且AB∶BC=k，那么可以得出结论，点A、B、C是成比例线段。 三、成比例线段的性质和定理 1. 外分比例定理：在线段AB的延长线上取一点C，使得AC 为AB的α倍，BC为AB的β倍，则有AC/BC=α/β。 2. 内分比例定理：在线段AB上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，那么有AC/BC=α/β。 3. 同位角定理：若两条平行线被一条交叉线所切分，那么所得 的各对共线点所构成的线段成比例。 四、成比例线段的应用 成比例线段在实际问题中具有广泛的应用。以下举例说明： 例1：已知在一条长为10cm的铁丝上，从一端开始分别距离 1cm和9cm的两个固定点，现在要找到距离这两个固定点等距离 的一个点M，该点在铁丝上的位置离起点较近。求点M在铁丝上 的位置。

九年级数学上册比例线段

比例线段 学习目标： 1.学习并掌握比例线段的相关概念并学会运用. 2.掌握比例的性质，并能够运用比例的性质求值. 3.了解黄金分割的意义. 学习重点：比例线段的概念及性质. 学习难点：黄金分割的运用. 一、知识链接 1 .已知线段AB和CD的长度分别是2cm,6cm,则AB和CD的比是_______,表示为_______. 2.小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？ 二、新知预习 3.观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？ 如果选用同一长度单位，图中每个长方形的长和宽分别是a、b，则可得

在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即我们就把这个四条线段叫做成比例线段，简称比例比例线段，此时也成这四条线段成比例. 可知图中____，____，____，____是成比例线段，____，____，____，____不是成比例线段. 三、自学自测 1.已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？ (1) a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm. 四、我的疑惑 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 一、要点探究 探究点1：成比例线段 例1：下列四组线段中，是成比例线段的是（） A.3cm，4cm，5cm，6cm B.4cm，8cm，3cm，5c m C.5cm，15cm，2cm，6cm D.8cm，4cm，1cm，3cm

九年级线段成比例知识点

九年级线段成比例知识点 一、什么是线段成比例？ 线段成比例是指两个线段之间的比值相等。即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。 二、线段成比例的判定方法 1. 基于长度的判定方法： 设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。 （1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。 （2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。

2. 基于相似三角形的判定方法： 我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。 （1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。 （2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。 三、线段成比例的性质 1. 线段成比例的交叉乘积性质： 设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立： AB × GH = CD × EF

这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。 2. 平行线段上的线段成比例性质： 如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立： AO/OD = BO/OC 这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。 四、线段成比例的应用 线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。 简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。在学习几何学和代

九年级数学 平行线分线段成比例 知识点精讲 教案 课件

九年级数学平行线分线段成比例知识点精讲 平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。 1简介编辑 平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线

段，称其为平行线等分线段。[1] 图1 2定理证明编辑 设三条平行线与直线m 交于A、B、C 三点，与直线n 交于D、E、F 三点。 连结AE、BD、BF、CE 根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF， ∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE 根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。 由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。 3定理推论编辑 过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。 定理推论： ①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 ②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 01 平行线分线段成比例的基本事实 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.符号表示：如图 02 平行线分线段成比例的基本事实的推论 1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 2.符号表示：如图

湘教版九年级上册数学比例线段专题

比例线段专题 1.线段的比 定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。 说明： （1）统一单位： 如果用同一长度单位量得线段a 、b 的长度分别是m 、n ，那么 n m b a ::=或 n m b a =。 （2）前项后项： 在b a :或b a 中，a 叫比的前项， b 叫比的后项。 （3）应用：（比例尺） 若实际距离是250m ，图上距离是5cm ，求比例尺. 解析： 比例尺＝ 实际距离 图上距离 ， 5000 1 250005＝ ∴ ， ∴比例尺为1：5000. 注意： （1）若k b a =:，说明a 是b 的k 倍； （2）两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长单位必须一致。（单位要统一）； （3）两条线段的比值是一个没有单位的正数； （4）线段的比是有顺序性，即a b b a ::≠。

2.比例线段 定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 图解： 注意： （1）顺序性：如 d c b a =叫做线段a、b、c、d成比例，而不能说成是b、a、c、d成比例。 如 d c b a =中，线段d叫做a、b、c的第四比例项，而不能说成“线段d 叫做b、a、c的第四比例项”。 3．比例性质 （1）基本性质： ad b d b b a bc ad d c b a = ⇔ = = ⇔ = 2 : : : : （简称：外项积等于内项积） 深层推导：① d c b a =⇒② d b c a =（交换bc）；③ a c b d =（交换ad）；④ c d a b = （上下对称）；⑤ b a d c =（左右对称）；⑥ c a d b =（左右对称）；⑦ b d a c =（左 右对称）；⑧ a b c d =（左右对称）。 （2）更比性质：① d c b a =⇒② d b c a =（交换bc）；③ a c b d =（交换ad）。 （3）合比性质： d c b a =⇔ d d c b b a+ = + （4）分比性质： d c b a =⇔ d d c b b a- = - （5）合分比性质： d c d c b a b a - + = - +或 d a d c b a b a + - = + -

苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点总结+易错点汇总

第六章《图形的相似》 知识点一：比例线段 1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a c b d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质： (1)基本性质：a c b d =⇔ ad ＝b c ；（b 、 d ≠0） (2)合比性质：a c b d =⇔ a b b ±＝c d d ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质： a c b d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c m b d n ++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即 如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则 AB DE BC EF = . （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB ∥CD ，则 OA OB OD OC = . （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC. 4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝= 5－1 2 ≈0.618，那么线段 AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。 知识点二 ：相似三角形的性质与判定 5. 相似三角形的判定： (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ， AC AB DF DE = ，则△ABC ∽△DEF. F E D C B A 学 班级 姓名 考试号 -----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------

14初中数学“成比例线段”知识点全解析

初中数学“成比例线段”知识点全解析 一、引言 成比例线段是初中数学中的一个重要概念，它是研究比例关系的基础。理解并掌握成比例线段的概念和性质，对于提高学生分析问题和解决问题的能力具有重要意义。本文将详细解析成比例线段的概念、性质、判定方法以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。 二、成比例线段的概念 1.定义：如果四条线段a, b, c, d满足a/b = c/d，那么我们就说这四条线段是 成比例的，记作a:b = c:d。 2.术语解析：在a:b = c:d中，a和d称为比例的外项，b和c称为比例的内项。 三、成比例线段的性质 1.等比性质：若a:b = c:d，则(a+b)/b = (c+d)/d。这一性质表明，成比例线段 的对应项之和与原线段的比例关系相同。 2.合比性质：若a:b = c:d，则(a-b)/b = (c-d)/d。这一性质表明，成比例线段 的对应项之差与原线段的比例关系相同。 3.更比性质：若a:b = c:d，则a/c = b/d。这一性质表明，成比例线段的交叉项 之比相等。 4.反比性质：若a:b = c:d，且b和d均不为0，则a/b = d/c。这一性质表明， 成比例线段的交叉项之积相等。 四、成比例线段的判定方法 1.直接判定法：根据定义直接判断四条线段是否满足a/b = c/d。 2.等比中项法：如果两条线段的平方等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段 是成比例的。即如果a² = bc，那么a, b, c以及另一条与它们成比例的线段d构成成比例线段。 3.相似三角形法：在相似三角形中，对应边之间的比例是相等的。因此，可以通 过证明两个三角形相似来判定四条线段是否成比例。 五、成比例线段的应用

成比例线段的八种形式

成比例线段的八种形式 成比例线段是指两个线段的比值相等。在几何学中，成比例线段有 八种形式，分别是： 1. 相等线段：当两个线段的长度相等时，它们是成比例线段的一种 形式。例如，AB和CD两个线段的长度相等，即AB = CD。 2. 同向线段：当两个线段的方向相同，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的方向相同，并且它们的长度之比为k，即AB/CD = k。 3. 反向线段：当两个线段的方向相反，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的方向相反，并且它们的长度之比为k，即AB/CD = k。 4. 互补线段：当两个线段的长度之和为常数，并且它们的长度之比 相等时，它们是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的 长度之和为常数m，且它们的长度之比为k，即AB/(m-AB) = CD/(m-CD) = k。 5. 互逆线段：当两个线段的长度之积为常数，并且它们的长度之比 相等时，它们是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的 长度之积为常数n，且它们的长度之比为k，即AB/CD = n/k。 6. 平方线段：当两个线段的长度之比等于它们的平方之比时，它们 是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的平方之比为k^2，即AB^2/CD^2 = k^2。

7. 立方线段：当两个线段的长度之比等于它们的立方之比时，它们 是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的立方之比为k^3，即AB^3/CD^3 = k^3。 8. 平方根线段：当两个线段的长度之比等于它们的平方根之比时， 它们是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的长度之比 为k，且它们的平方根之比为√k，即√(AB/CD) = √k。 这八种形式的成比例线段在几何学中具有重要的应用价值，可以用 于解决各种与线段长度相关的问题。在实际生活中，成比例线段的概 念也常常被应用于比例关系的计算和测量中，例如在地图的比例尺中，可以根据两个线段的长度比例来确定实际距离的大小。因此，了解和 掌握成比例线段的八种形式对于几何学的学习和实际应用都具有重要 意义。

线段比例计算方法知识点总结

线段比例计算方法知识点总结线段比例是数学中的一个重要概念，用于描述和比较线段之间的长度关系。在实际应用中，线段比例计算方法经常被使用到，比如在测量和绘图中。本文将对线段比例的概念和计算方法进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。 1. 线段比例的定义 线段比例指的是两个线段之间的长度比值。设有两个线段AB和CD，线段比例可以表示为AB:CD。其中，AB称为第一个线段，CD 称为第二个线段。如果两个线段长度的比值相等，即AB:CD=EF:GH，那么我们就说这两组线段的比例相等。 2. 线段比例的基本性质 线段比例具有以下基本性质： - 任意线段与自身的比例为1:1，即线段与自身的比例相等。 - 如果线段AB与线段CD的比例为m:n，那么线段CD与线段AB 的比例为n:m。 - 如果线段AB与线段CD的比例为m:n，线段CD与线段EF的比例为n:p，那么线段AB与线段EF的比例为m:p。即线段比例具有传递性。 3. 线段比例计算方法 线段比例的计算可以通过几何方法或代数方法来实现。

3.1 几何方法 几何方法是通过直观的图形分析和测量来计算线段比例。常用的方 法包括倍量法和相似三角形法。 3.1.1 倍量法 倍量法是通过在一侧或两侧同时乘以同一个倍数来计算线段比例。 具体步骤如下： - 将线段AB分为若干等分，选取其中一份作为第二个线段的起点。 - 逐步倍量，完成对另一个线段的划分。 - 根据划分结果，得出线段的比例关系。 3.1.2 相似三角形法 相似三角形法是利用相似三角形的性质，通过线段的长度比值来计 算线段比例。具体步骤如下： - 构造与给定线段具有一定几何关系的相似三角形。 - 利用相似三角形的对应边长比例关系，求解线段比例。 3.2 代数方法 代数方法是通过运用代数学中的变量和方程来计算线段比例。常用 的方法包括“等式法”和“移项法”。 3.2.1 等式法

北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳

北师大版九年级数学上册《图形的相似》 知识点归纳 北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似 一、成比例线段 1、定义： （1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长 度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a 与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段 a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0), 那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b 二、平行线分线段成比例 1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线 段成比例。 三、相似多边形 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相 似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 四、探索三角形相似的条件

1、两角分别相等的两个三角形相似。 2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 3、三边成比例的两个三角形相似。 4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 五、相似三角形判定定理的证明 六、利用相似三角形测高 1、利用阳光下的影子 2、利用标杆 3、利用镜子的反射 七、相似三角形的性质 1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 八、图形的位似 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有 OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

北师大版九上数学4.2平行线分线段成比例知识点精讲

平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。 1 简介 编辑 平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则 平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线段，称其为平行线等分线段。[1]

图1 2 定理证明 编辑 设三条平行线与直线 m 交于 A、B、C 三点，与直线 n 交于 D、E、F 三点。 连结AE、BD、BF、CE 根据平行线的性质可得 S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF， ∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE 根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。 由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。 3 定理推论 编辑 过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。 定理推论： ①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 ②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 01 平行线分线段成比例的基本事实 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.符号表示：如图 02 平行线分线段成比例的基本事实的推论 1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 2.符号表示：如图

九年级下册数学知识点归纳

九年级下册数学知识点归纳 失败乃成功之母，重复是学习之母。学习，需要不断的重复重复，重复学过的知识，加深印象，其实任何科目的学习方法都是不断重复学习。下面是小编给大家整理的一些九年级数学的知识点，希望对大家有所帮助。 九年级下册数学知识点归纳 知识点1.概念 把形状相同的图形叫做相似图形。(即对应角相等、对应边的比也相等的图形) 解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到. (2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同. (3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关. 知识点2.比例线段 对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 知识点3.相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等. 解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系. (2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性. 知识点4.相似三角形的概念 对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形. 解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种; (2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形; (3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;

(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”; (5)相似三角形的对应边之比叫做相似比. 知识点5.相似三角的判定方法 (1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似; (2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似. (3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. (5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. (6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似. 知识点6.相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边的比相等; (2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比; (3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方. (4)射影定理 初三下册数学知识点 合并同类项就是逆用乘法分配律 把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项(combiningliketerms)。 如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且各字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。如2ab与-3ab，m2n与m2n都是同类项。特别地，所有的常数项也都是同类项。 把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并(或合并同类项)。同类项的合并应遵照法则进行：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 为什么合并同类项时，要把各项的系数相加而字母和字母的指数

比例线段知识点及练习题

第十八章 相似形——比例线段及相似知识点讲解 【知识点讲解】 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成n m b a = ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果d c b a = ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ， d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或 c b b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质： (1)比例的基本性质： bc ad d c b a =⇔= ac b c b b a =⇔=2 (2)反比性质： c d a b d c b a =⇔= (3)更比性质: 或 d b c a d c b a =⇒=或a c b d = (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±=±⇒= (5)等比性质: n m f e d c b a ====...且 b a n f d b m e c a n f d b =++++++++⇒≠++++......0...

比例线段练习 ① a=2，b=5,c=15，d=23； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10 2、已知：ad=bc （1） 将其改写成比例式； （2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式； （3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式； （4）若d b c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算. (1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z. (2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长. 4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米? 5、 EF BE CD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长. 6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)若 2132=+-y x y x ，求x y (3) 若 56=+b b a ，求b a ，b b a - (4)若x 2-3xy+2y 2=0,求x y 7．将比例式中的x 移到第四比例项，使比例式仍成立。 （1）a:b=x :c （2） x :a=b:c （3） a:x =b:c 8：若 52===f e d c b a ，求f d ab e c a d b c a 43432,-+-+-- 练习：已知:4 1:32:51::=z y x , 求z y x z y x 5252+--+的值 9： 若ABC 三边a:b:c=6:4:3,三边上的高分别为h 1、h 2、h 3，求h 1:h 2:h 3的值。 10：已知两地的实际距离是250米，画在地图上的距离（图距）是5厘米，在这样的地图上,图距a=8厘米的两地A,B 的实际距离是多少呢?比例尺是多少？

九年级数学图形的相似和比例线段学生版知识点典型例题

图形的相似和比例线段 [学习目标] 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念与有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. [要点梳理] 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是 a:b=m:n，或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状一样的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释：(1)相似图形就是指形状一样，但大小不一定一样的图形； (2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状一样”且“大小一样”时，两个图形是全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． [典型例题] 类型一、比例线段 1. 下列四组线段中，成比例线段的有( ) A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cm C．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm 2.求证：如果，那么. 举一反三： 1、判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：

比例的性质及成比例线段(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题27.1 比例的性质及成比例线段（知识讲解） 【学习目标】 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.会运用比例线段解决简单的实际问题. 【要点梳理】 线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a 、b 长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a :b=m :n ，或写成 a m b n =． 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD . 成比例线段： 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 比例的基本性质： ;a c ad bc b d =⇔=（1） 2;a b b a c b c =⇔=（2） 几个重要的比例定理： a c a b b d c d =⇔=更比定理： a c b d b d a c =⇔= 反比定理： a c a b c d b d b d ++=⇔=合比定理：

--a c a b c d b d b d =⇔=分比定理： ...=...==(b d ...+f 0)...a c e a c e b d f b d f +++=++≠++等比定理： = a c a mc b d b md ±=±等比定理： 【典型例题】 类型一、线段的比 1．如图所示，有矩形ABCD 和矩形A B C D ''''， AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A B ''＝4cm ，B C ''＝6cm ． (1)求 A B AB '' 和B C BC ''； (2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段吗？ 【答案】(1)1 2，1 2(2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段． 【分析】 （1）根据已知条件，代入A B AB '' 和B C BC ''，即可求得结果； （2）根据 A B AB '' 和B C BC ''的值相等，即可判断线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段． 解：(1)∵AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A ′B ′＝4cm ，B ′C ′＝6cm ． ∵ A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612 ＝12 (2)由（1）知A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612 ＝1 2； ∵A B AB '' ＝B C BC ''， ∵线段A′B′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段． 【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键． 【变式1】（1）若 x y =115 ，求代数式2x y y -的值；