成比例线段(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)

专题4.1 成比例线段（知识讲解）

【学习目标】

1.了解两条线段的比和比例线段的概念；

2.能根据条件写出比例线段；

3.会运用比例线段解决简单的实际问题.

【要点梳理】

线段的比：

如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段

的比是a:b=m:n，或写成a m

b n =．

注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；

(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，

比值与采用的长度单位无关.

(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD.

成比例线段：

对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

比例的基本性质：

几个重要的比例定理：

类型一、线段的比

1．如图所示，有矩形ABCD 和矩形A B C D ''''，

AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A B ''＝4cm ，B C ''＝6cm ．

(1)求

A B AB ''

和B C BC

''； (2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段吗？

【答案】(1)1

2，1

2(2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段． 【分析】

（1）根据已知条件，代入A B AB ''

和B C BC

''，即可求得结果； （2）根据

A B AB ''

和B C BC

''的值相等，即可判断线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段． 解：(1)∵AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A ′B ′＝4cm ，B ′C ′＝6cm ．

∵

A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612

＝12 (2)由（1）知A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612

＝1

2； ∵

A B AB ''

＝B C BC

''， ∵线段A′B′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．

【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键． 【变式1】（1）若

x y =115

，求代数式2x y

y -的值；

（2）已知2a =3b =5

c ≠0，求代数式23a b c

a b c -+-+的值．

【答案】（1） 15 （2） 1

4

【分析】

（1）先把原式化为11

5

x y =

，进而可得出结论； （2）直接利用已知得出2,3,5a k b k c k ===，进而代入原式求解． 解：（1）∵

x y =115

， ∵11

5

x y =

， ∵11

22155

y y

x y y y --==；

（2）设2a =3b =5

c

=k ，则2,3,5a k b k c k ===，

∵

23a b c a b c -+-+=

23541

22335164

k k k k k k k

k -+=

=⨯-+⨯． 【点拨】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k 表示a 、b 、c ． 【变式2】在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠=︒==；在DEF 中，

12cm,8cm ED EF DF ===，求AB 与EF 之比，AC 与DF 之比．

【答案】

56AB EF =

，AC DF = 【分析】在直角△ABC 中，利用勾股定理求得AC 的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可．

解：如图，在Rt △ABC 中，

根据勾股定理知，

AC =

cm ， 则

105126

AB EF ==，

AC DF ==

【点拨】本题考查了勾股定理的应用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了两条线段的比的求法．

类型二、比例的性质

2

．已知

a b c +＝b c a +＝c a

b

+＝x ，求x 的值．

【答案】1-或2

【分析】分两种情况讨论：当a +b +c ＝0，当a +b +c ≠0，再进行计算即可． 解：若a +b +c ＝0，则a +b ＝-c ，b +c ＝-a ，c +a ＝-b ，

此时，x ＝-1， 若a +b +c ≠0，则2a b b c c a a b b c c a

x

c

a

b

a b c

，

综上所述，x 的值为-1或2．

【点拨】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键． 【变式1】已知a ：b ：2c =：3：4，且23215a b c +-=，求23a b c -+的值． 【答案】24

【分析】由已知条件设a =2k ，则b =3k ，c =4k ，根据等式得到关于k 的方程，解方程求得k ，即求得a 、b 、c 的值，从而可求得代数式的值．

解：∵a ：b ：c =2：3：4，

∵设a =2k ，则b =3k ，c =4k ． ∵2a +3b -2c =15， ∵4k +9k -8k =15， 解得：k =3， ∵a =6，b =9，c =12， ∵a -2b +3c =6-18+36=24．

【点拨】本题考查了比例关系，解方程及求代数式的值，由比例关系设a =2k ，则b =3k ，c =4k 是关键．

【变式2】已知3a b ＝4b c +＝5

c a

+，求a b c c a b ---+的值．

【答案】－1 【分析】设

3a b ＝4b c +＝5

c a

+＝k ，则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，把三式相加得到a +b +c =6k ，再利用加减消元法可计算出a =2k ，b =k ，c =3k ，然后把a =2k ，b =k ，c =3k 代入

a b c

c a b

---+中进行分式的化简求值即可．

解：设

3a b ＝4b c +＝5

c a

+＝k ， 则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ， 三式相加得a +b +c =6k ∵

用∵式分别减去上述三个式子，可得出 解得a ＝2k ，b ＝k ，c ＝3k ，

所以

a b c c a b ---+＝2332k k k

k k k

---+＝－1．

【点拨】本题考查了比例的性质，掌握设比法求值是解题关键．

类型三、比例中项

3．已知线段a 、b 满足a ：b ＝3：2，且a ＋2b ＝28 （1）求a 、b 的值．

（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．

【答案】（1）a ＝12，b ＝8；（2）x ＝． 【分析】

（1）利用:3:2a b =，可设3a k =，2b k =，则3428k k +=，然后解出k 的值即可得到a 、

b 的值；

（2）根据比例中项的定义得到2x ab =，即296x =，然后根据算术平方根的定义求解． 解：（1）:3:2a b =

∴设3a k =，2b k =，

228a b +=， 3428k k ∴+=， 4k ∴=，

12a ∴=，8b =；

（2）x 是:a b 的比例中项，

296x ab ∴==，

x 是线段，0x >，

x ∴=

【点拨】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．

【变式1】已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足438

324

a b c +++==，且12a b c ++=． （1）求a ，b ，c 的值．

（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x ．

【答案】（1）5a =，3b =，4c =；（2）x =【分析】 （1）根据

438

324

a b c +++==，且12a b c ++=，根据比例的性质可得a ，b ，c 的值； （2）根据比例中项的性质求解即可．

解：（1）∵

438

324

a b c +++==，且12a b c ++=， ∵43

843815

121533

2

4

3249

9

a

b c a

b c a b c ，

∵

433

a +=，

3

32b ，

8

34c ，

∵5a =，3b =，4c =，

（2）∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，

∵2

53

15x ab

，

∵x =

【点拨】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．

【变式2】已知线段a ＝4cm ，线段b ＝7cm ，线段c 是线段a ，b 的比例中项，求线段c 的长.

【答案】线段c 的长为．

【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题． 解：∵线段c 是线段a ，b 的比例中项，

∵ab =c 2，

∵a =4cm ，b =7cm ，c ＞0， ∵24728c =⨯=，

∵c ．

故线段c 的长为．

【点拨】本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型．

类型四、成比例线段

4．已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你求出一条线段，使得它的长

与前面三条线段能够组成比例线段．

、 【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论． 解：设这条线段长xcm ，

∵

若四条线段的长度大小为：x ，12时，21x =2

x =

； ∵

若四条线段的长度大小为： 1，x

，212=⨯，解得：x =

∵若四条线段的长度大小为： 1

x ，212=⨯，解得：x =

∵若四条线段的长度大小为： 1 2 ，x 时，12x ⨯=x =

或． 【点拨】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．

【变式1】如图，在ABC 中，12cm,6cm,5cm AB AE EC ===，且AD AE

DB EC

=，求AD 的长．

【答案】72

cm 11

AD =

． 【分析】利用比例线段得到6

125

AD AD =-，然后根据比例性质求AD ．

解：

AD AE BD EC

=，即AD AE

AB AD EC =-，

∴

6

125

AD AD =-，

72

11

AD ∴=

cm ． 【点拨】本题考查了比例线段、比例的性质，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，

如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

【变式2】若P 在线段AB 上，点Q 在AB 的延长线上，10AB =，且3

2

AP AQ PB BQ ==，求PQ 的长．

【答案】24

【分析】根据AP AQ BP BQ =＝3

2，分别求出BP ，BQ 的长，两者相加即可求出PQ 的长. 解：设AP ＝3x ，BP ＝2x ，

∵AB ＝10，∵AB ＝AP ＋BP ＝3x ＋2x ＝5x ，即5x ＝10， ∵x ＝1，∵AP ＝6，BP ＝4. ∵

AQ BQ ＝3

2

，∵可设BQ ＝y ，则AQ ＝AB ＋BQ ＝10＋y ，

∵103

2

y

y

+

=，

解得y＝20，

∵PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24.

【点拨】本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键．

北师大版九年级数学上册《成比例线段》第1课时示范公开课教学设计

第四章图形的相似 4.1 成比例线段 第1课时 一、教学目标 1.结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段. 2.学会求两条线段的比，体会用比值表示两条线段之间的关系；掌握比例的基本性质及其简单应用. 3.能利用比例的基本性质解决有关问题. 4.通过现实情境，进一步发展学生从数学角度提出问题、分析和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识. 二、教学重难点 重点：理解线段比的概念及其求解，掌握比例的基本性质及简单应用. 难点：利用比例的基本性质解决有关问题. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等. 四、教学过程设计 【观察思考】 教师活动：教师展示两组图片，引导学生分别 观察他们的特征，教师引导学生观察并回答下 面问题. 问题：第一组图中两个亭子比较，你发现了什

【合作探究】 教师活动：那我们现在观察一组的几何图形，你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？ 预设答案： 教师引导，就上面一组图进一步观察思考下面问题： 1.图中形状相同的图形有什么不同？ 2.形状相同的图形其中的一个如何由另一个得到？ 3.形状相同的图形对应线段如何变化？ 4.形状相同而大小不同的两个图形，你认为如何描述它们的大小关系？ 预设答案： 1.形状相同，大小不同 2.图形之间的“放大、缩小” 3.图形上相应的线段也被“放大、缩小” 4.对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用相应“线段长度的比”来描述图形的大小关系.【归纳】 教师活动：展示ppt中讲解线段的比的定义并讲解：

如果选用同一个长度单位量的两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比. 记住：AB ∶CD =m ∶n ，或写成 ，其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.若我们把m ∶n 表示成比值k ，则 或AB =k ﹒CD. 总结：两条线段的比实际上就是两个数的比. 【思考】 提出问题： (1)在求两条线段的比时应注意哪些问题？ (2)两条线段的比结果有单位吗？ (3)两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？ 预设答案并总结： ①两条线段的比就是长度的比，它没有单位； ②两条线段的比是有顺序的； ③两条线段比与所选的长度单位无关； ④求两条线段比时.如果单位不同，那么必须先化成同一单位，再求它们的比. 【想一想】 如图，五边形 ABCDE 与五边A′B′C′D′E′形状相同，AB =5cm ，A′B′=3cm.线段AB 与线段A′B′的比是________. 答案：5∶3 n m CD AB =k CD AB =

北师大版九年级上册数学 第四章 成比例线段、平行线段成比例(解析版)

第四章成比例线段、平行线段成比例 一、单选题 1．下列各组线段的长度成比例的是（） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cm C．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm 【答案】D 【解析】 【分析】 根据成比例线段的定义，把线段按照由大到小或由小到大的顺序排列，验证第一项×第四项是否与中间两项乘积相等即可． 【详解】 A、1×4≠2×3，因此不成比例； B、3×6≠4×5，因此不成比例； C、5×20≠10×15，因此不成比例； D、6×2＝4×3，因此成比例； 故选D． 【点睛】 本题考查成比例线段的定义，属于基础题． 2．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（）

A ．AP ：BP=A B ：AP B ．AP AB = C ．12BP AB = D ．0.618AP AB ≈ 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据黄金分割的概念排除选项即可． 【详解】 由题意得： ∴ AP ：BP=AB ：AP ，故A 正确； 12 AP AB =，故B 正确； AP AB = ∴32 BP AB AP AB =-=，故C 错误； 2.236≈，∴0.618 AP AB AB =≈，故D 正确． 故选C ． 【点睛】 本题主要考查黄金分割点，熟记黄金分割点的概念是解题的关键．

3．如图，// DE BC，下列各式不正确的是（） A．AD AE AB AC =B． AD AE BD CE =C． AD AE AC AB =D． AD AB AE AC = 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平行线分线段成比例列出比例式，即可判断．【详解】 ∵// DE BC, ∵AD AE BD CE =， AD AE AB AC =，即 AD AB AE AC =，， ∵选项A、B、D均正确， 故选：C． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并注意比例中的线段的顺序． 4．如图，l1∵l2∵l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若 2 3 = AB BC ，DE＝4.2，则 DF的长是（）

北师大数学九年级上册第四章比例线段

第01讲_比例线段 知识图谱 比例与比例线段 知识精讲 一．比例的性质 1.比例的基本性质： a c ad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b d b d a c =⇔=； 3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d c b a =)； 4.合比定理：a c a b c d b d b d ++=⇔= ； 5.分比定理：a c a b c d b d b d --=⇔= ； 6.合分比定理：a c a b c d b d a b c d ++=⇔= --； 7.等比定理：(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+． 二．成比例线段 1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a c b d =（即::a b c d =） ，那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a c b d =（::a b c d =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的 第四比例项．三条线段a b b c =（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项． 3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中 510.618AC AB AB -=≈，35 0.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．

北师大版九年级(上)数学第10讲：成比例线段(教师版)——王琪

成比例线段 一、有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是 a ： b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和 c 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 二、比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a = ⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪ ⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.合比性质： d d c b b a d c b a ±= ±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）

北师大版九年级数学上册教案-第四章第一节成比例线段

第四章图形的相似 第一节成比例线段 第1课时成比例线段(一) 教学目标 1．结合现实情景了解线段的比和成比例线段． 2．理解并掌握比例的性质及其简单应用． 3．通过现实情景，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系． 教学重点 理解并掌握比例的性质及其简单应用． 教学难点 利用引入比值k的方法研究比例的主要性质． 教学设计(设计者：×××) 教学过程设计 一、创设情景明确目标 活动内容：形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小图形可以看成由较大图形“缩小”而成的．在这个过程中，两个图形上的相应的线段也被“放大”或“缩小”．因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段的长度之比来描述它的大小关系． 让同学们举出一些实例来：例如：全班男生与女生人数之比为几比几？黑板的长与宽之比为几比几？等等． 二、自主学习指向目标 自学教材第76至78页．

见学生用书“课前预习”部分． 三、合作探究 达成目标 探究点一 比和比例线段 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD ＝m n ，其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把m n 表示成比值k ，那么AB CD ＝k ，或AB ＝k ·CD ，两条线段的比实际上就是两个数的比． 【针对训练】 ①已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝3cm ，b ＝2cm ，c ＝6cm ，求线段d 的长． ②下列四组线段中，a ，b ，c ，d 能成比例线段的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4 B ．a ＝0.5，b ＝3，c ＝2，d ＝10 C ．a ＝1.1，b ＝2.2，c ＝3.3，d ＝4.4 D ．a ＝2，b ＝3，c ＝6，d ＝3 探究点二 如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc ，反之：如果ad ＝bc ，那么a b ＝c d 两条线段的比实际上就是两个数的比．如果a ，b ，c ，d 四个数满足a b ＝c d ，那么ad ＝bc 吗？反过来，如果ad ＝bc ，那么a b ＝c d 吗？与同伴交流． (学生相互间讨论，从数取值的情况来讨论，经过交流后得出正确的结论．) 在引出成比例线段的概念后，研究比例的一些性质，比例的性质不仅适用于有关线段的比例，而且也适用于有关数的比例． 第一个问题可以通过引入比值k 的方法，借助代数推理得到解决：设a b ＝c d ＝k ，那么a ＝kb ，c ＝kd ，ad ＝kb ·d ＝b ·kd ＝bc ；对于第二个问题，要注意：由ad ＝bc 得出a b ＝c d 是有条件的． 如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc .(比例的基本性质) 如果ad ＝bc (a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b ＝c d (注意指出这个结论与基本性质是互逆关系．) [例题讲解]见教材P78例1 【针对训练】①见教材P79随堂练习第2，3题. ②见学生用书第57页“当堂训练”第1，2题． 四、总结梳理 内化目标 1．比和比例线段的定义． 2．如果a b ＝c d ，则ad ＝cb ，反之也成立． 五、达标检测 反思目标 1．如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条 线段的比就是它们长度的比，即AB ∶CD ＝________，或写成AB CD ＝________．

4.1成比例线段习题精练 2021-2022学年北师大版数学九年级上册(含答案)

北师大版九年级第四章4.1成比例线段习题精练 一、选择题 1.已知三条线段的长分别为1.5，2，3，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是() A. 1 B. 2.25 C. 4 D. 2 2.四条线段a，b，c，d成比例，即a b =c d ，其中a=3cm，d=4cm，c=6cm，则b等于 () A. 8cm B. 9 2cm C. 2 9 cm D. 2cm 3.比例尺为1︰800的学校地图上，某条路的长度约为5cm，它的实际长度约为() A. 400cm B. 40m C. 200cm D. 20m 4.已知线段a，b，c的长度分别为1，2，3，如果线段d和已知的三条线段是成比例线段， 那么线段d的长度不等于() A. 6 B. 3 2C. 2 3 D. 16 5 5.下列四组线段中，是成比例线段的是() A. 3cm，4cm，5cm，6cm B. 4cm，8cm，3cm，5cm C. 5cm，15cm，2cm，6cm D. 8cm，4cm，1cm，3cm 6.将两块长a米，宽b米的长方形红布，加工成一个长c米，宽d米的长方形，有人就a， b，c，d的关系写出了如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是() A. 2a c =d b B. a c =d 2b C. 2a d =c b D. a 2c =d b 7.若x:y=1:3，2y=3z，则2x+y z−y 的值是() A. −5 B. −10 3C. 10 3 D. 5 8.已知x 2=y 3 ，那么下列式子中一定成立的是() A. x+y=5 B. 2x=3y C. xy=6 D. x y =2 3 9.已知a b =c d =e f =4 3 ，若b+d+f=9，则a+c+e=() A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 10.已知x y =2 3 ，则下列结论一定正确的是() A. x=2，y=3 B. 2x=3y C. x 3=y 2 D. x x+y =2 5 二、填空题 11.若m x =x n ，则称x是m，n的比例中项，当m=5，n=8时，x的值为． 12.已知线段a=20cm，b=30cm，c=4m，d=6m，那么这四条线段是不是成比例线 段⋅.(填“是”或“不是”)

《成比例线段(1)》教案 2022年北师大版九年级数学上

4.1.1成比例线段（1） 【教学目标】 知识与技能：知道线段比的概念.会计算两条线段的比. 过程与方法 通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段。 情感、态度与价值观 在获得知识的过程中培养学习的自信心． 【教学重难点】 教学重点：成比例线段、比例的性质 教学难点：会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一. 【导学过程】 【创设情景，引入新课】 、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题： （1）若a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 。 （2）已知2：3＝4：x ，则：x= 。 【自主探究】 (1) 自主学习完成课本60--62页试一试与概括：填写下列空格： （1）、“比例线段”的概念： 。 已知四条线段a 、b 、c 、d,如果 d c b a =（或a:b=c:d ） ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的 ， （2）“比例线段”和“线段的比”的区别 “比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？ 结论： （3）注意：概念的有序性 线段的比有顺序性，a:b 和b:a 通常是不相等的。 比例线段也有顺序性，如d c b a =叫做线段a 、b 、 c 、 d 成比例，而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。 【课堂探究】 例1如图一块矩形的绸布长AB=am ，宽AD=1m ，按照图中所示的方式将它剪裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同。即 那么 a 的值应当是多少？ 判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10； （2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35． 解： AB AD AD AE =

九年级数学上册知识点归纳(北师大版)_

九年级数学上册知识点归纳(北师大版)

九年级数学上册知识点归纳（北师大版） 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 （八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ．．．．．，平行四边形不相邻的两顶 点连成的线段叫做它的对角线 ．．．。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行

所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 图3 ※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

第二章 一元二次方程 1认识一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为 2=++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。 ※把0 2 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次 方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 2用配方法求解一元二次方程 ①配方法 <即将其变为0 ) (2 =+m x 的形式> ※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一

北师大版九年级数学4.1成比例线段(1)教案

《成比例线段1》教学设计 教学目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.会运用比例线段解决简单的实际问题. 教学重点、难点 教学重点：比例线段的概念. 教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法. 2.四条线段成比例可以解决一些实际问题 教学过程 一、创设情境、引入新课 欣赏几组图片，你发现了什么？ 图形的形状相同，但是大小不同 二、讲授新课、探索新知 1、线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m 、n ，那这 两条线段的比就是两条线段的长度比。 ）（或记作：n m CD AB n m CD AB ==:: 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD . 巩固练习1：（1）若线段AB ＝6cm ，CD ＝4cm ，则 （2）.若线段AB ＝8cm ，CD ＝2dm ，则 =CD AB =CD AB

2、比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 巩固练习2：判断下列a 、b 、c 、d 是否成比例线段，为什么？ 10,5,2,4)1(====d c b a 35,152,5,2)2(====d c b a 三、典例精讲、新知应用 例1 一块矩形绸布的长AB =a m ，宽AD =1 m ，按照图中所示方式将它裁成相同的三面 矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 那么a 的值应当是多少？ 变式练习：如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB ＝acm ，宽BC ＝bcm ，E 、F 分别 为AB 、CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形 ABCD 的长与宽之比，则a ：b 等于（ ） 1:2.A 2:1.B 1:3.C 3:1.D 四、课堂小结 1.两条线段的比及比例线段的概念； 2.方程思想的体现； 3.比例线段在实际问题中的应用. 必做作业：习题4.1第1，2题. 选做作业：习题4.1第3题.

初三数学上比例线段(基础) 知识讲解+巩固练习

比例线段（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质； 2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 3、会运用比例线段解决简单的实际问题； 4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、相似形 1.相似的图形 在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 要点诠释： (1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形. 2.相似多边形 一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释： 相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． 要点二、比例线段 1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作 a b 或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段 c ， d 的比，即 (::)a c a b c d b d ==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项. 3．比例的性质： （1）基本性质 如果 a c b d =，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即 如果ad bc =，那么a c b d =（,b d ≠0）. （2）合比性质 如果 ++==.a c a b c d b d b d ，那么（,b d ≠0）

北师大版九年级数学上册成比例线段线段的比和成比例线段教案

4.1 成比例线段 第1课时 线段的比和成比例线段 ●教学目标 1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比.. 2.知道成比例线段的定义. ●教学重点 会求两条线段的比.注意线段长度的单位要统一. 成比例线段的定义. ●教学难点 会判断线段成比例. ●教学方法 自主探索法 ●教学过程 一.创设问题情境，引入新课 ［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明. ［生］课本中两张图片；同一底片洗印出来的大小不同的照片；两个大小不同的正方形，等等. ［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习. 二.新课讲解 1.两条线段的比的概念 ［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？ ［生］两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作b a ；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小. ［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ ［生］两条线段的比就是两条线段长度的比. ［师］对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶6=1∶2,对吗？ ［生］对. ［师］大家同意他的观点吗？ ［生］不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对. ［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？ ［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么这两条线段的比（ratio ）就是它们长度的比，即AB ∶CD =m ∶n ，或写成 CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CD AB =k ，或AB =k ·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比. 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；

数学北师大版九年级上册成比例线段说课稿

第四章图形的相似 1．成比例线段（二）说课稿 彬县公刘中学郭江平 说教材： 这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。 教学目标： （一）知识目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。 （二）能力目标：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。 （三）情感与价值观目标：通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。 教学重点：让学生理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。 教学难点：运用比例的基本性质解决有关问题。 说教法： 比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。 说学法： 在比例基本性质的推导和例题中都引入比例k，这是本节课的难点。学生可能理解不好，要把握好这个环节的教学。对于比的性质应用，教师在教学时，可补充一些练习做为随堂练习，以巩固这几个性质，达到当堂消化的目的。

说教学设计： 本节课设计了十个教学环节：第一环节：问题情境引入；第二环节：合作交流；第三环节：新知探究；第四环节：新知归纳；第五环节：范例讲解；第六环节：巩固练习；第七环节：合作交流；第八环节：新知归纳；第九环节：巩固练习；第十环节：课堂小结。 说板书设计： 一、复习三、例题讲解 1、成比例线段。、、、、、、、、 2、比例的基本性质。 二、新课讲解、、、、、、、、 1、等比性质。 2、合比性质。、、、、、、、、 说教学反思： 1、在复习时，有一个小问题，学生指出来，但当时没有改 正。复习不是很到位，花费的时间有点多。 2、情景问题导入新课时不是很顺理成章。 3、对学情掌握不是很好，没有充分估计学生的理解和准备 能力。 4、没有让学生板演。

数学北师大版九年级上册成比例线段(二)说课稿

《成比例线段（2）》说课稿 说课教师:徐国飞 尊敬的各位专家、领导、老师： 大家好！ 首先感谢领导给我这次展示的机会，同时也感谢第四中学的大力配合和支持，下面我就本节课说说我的设计思路，希望得到专家和同行们的点评与指导。 一、教材分析 （一）教材的地位和作用： 本节内容是北师大版九年级数学上册第四章第一节成比例线段第2课时，在此之前学生已学习了线段的比，成比例线段和比例的基本性质等相关知识，这为进一步研究比例的性质打下了基础。本节课比例性质的研究也是我们今后解决比例相关问题的重要依据，因此，比例性质的研究为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础，也为今后利用比例解决实际问题有着重要的作用。 （二）教学目标： 根据《新课程标准纲要》对这部分内容的要求及本课的特点，结合学生的实情，本节课的教学目标确定为： 1．知识与技能目标：知道线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的性质及其简单应用。 2．过程与方法目标：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。

3．情感与态度价值观目标：培养数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系，进一步发展学生的探究、合作交流意识。 （三）教学重点与难点 重点：让学生理解并掌握比例的性质及其简单应用。 处理方法：我将充分运用多媒体教学手段，设置问题、让学生展开小组实验、讨论、探究，教师演示和强调，突出重点。 难点：教学难点：运用比例的性质解决有关问题。 处理方法：我将通过设问和强调方式，引导和提醒学生找到运用知识的突破口，讲解必要的解题方法和技巧，此外通过典型例题的发展性作用，逐步突破难点。 二、教学方法的选择与应用 根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用“合作探究式”的教学法。教师着眼于引导，学生着眼于探索。意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过学习伙伴的讨论来深化对知识的理解。其主要流程可以分为“直觉观察——探究猜想——合作论证——概括总结——应用拓展” 本节课采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率。 三、学法指导 《数学新课程标准纲要》指出：动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。为了充分体现这一要求，培养学生的动手实践能力，

北师大版九年级数学上册_名师教学设计：4。1_成比例线段(第1课时)

成比例线段 郑州市第七中学方敏 一、学情分析 相似图形是现实生活中广泛存在的现象，在小学时学生就接触过比例的知识，在七年级下册时学生已学习了全等图形（其实全等图形就是相似图形的一个特例）. 所以学生已经具备一些知识基础、活动经验基础等，学生在学习线段的比时不会感到很困难. 二、教学目标 1.结合现实情境，感受学习线段的比的必要性，了解线段的比和成比例线段. 2.借助几何直观，了解比例的基本性质及其简单应用. 3.通过现实情境，进一步发展从数学的角度发现问题、提出问题、解决问题的能力，培养数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系. 三、教学重、难点 重点：理解线段的比和成比例线段的概念及比例的基本性质. 难点：判断四条线段是否成比例. 四、教学方法 探索法、发现法 五、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：设置情境，引入新课；第二环节：新知探究；第三环节：应用新知；第四环节：巩固新知；第五环节：回顾新知；第六环节：布置作业. 第一环节设置情境，引入新课 （1）通过用幻灯片展示生活的的图片，并提出问题：观察下列图形，每一组图形有什么特点？

（设计目的：引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣.） （2）请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？ （设计目的：从生活图片过渡到平面图形，引导学生寻找表示方法，引出线段的比.） 利用多媒体技术，通过放大或缩小得到形状相同、大小不同的图形，引导学生观察放大、缩小的过程中图形上的相应线段也被放大或缩小，从而发现结论. 对于形状相同、大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系. 第二环节：探究新知 （一）线段的比 1. 活动：同桌之间用不同的长度单位测量课本的长和宽（精确到0.1 cm），

数学北师大版九年级上册成比例线段

4.1成比例线段教学设计 麻田中学叶双 ●教学目标 1.结合现实情境了解线段的比和成比例线段，会求两条线段的比，体会用比值表示两条线段之间的关系。 2.掌握成比例线段的基本性质并能进行简单的运用。 3.通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。 ●教学重点 重点：运用线段的比和成比例线段求线段的长度。 ●教学难点 难点：成比例线段的基本性质的应用。 ●教法与学法 教法：教师采用“情景引入---引导探究--归纳总结”的模式，引导学生理解并掌握线段的比和成比例线段。 学法：学生经历“观察猜想--自主探究--合作交流”的方法，锻炼自己仔细观察、主动思考、自主探究的学习习惯，并通过合作交流学会解决问题的方法。 ●教学过程 （一）活动导入 学生活动1：游戏大家来找茬。游戏规则：请仔细观察两幅图片，找出图片不相同的地方。

（设计意图：用游戏引入，能激发学生的兴趣，更好的导入本节课的课题。） 学生活动2：观察图形，并找出形状相同的图形，且用语言描述图形的不同之处。 教师：对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用相应“线段长度的比”来描述图形的大小关系，今天我们就来学习一下成比例线段（板书课题：成比例线段）。 （设计意图：通过图形以及问题引导，更加直观，并且能够吸引学生的注意力。） （二）新课探究 给出概念： 线段比：如果选用同一个长度单位量的两条线段AB 、CD 的长度分别是m,n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ：CD=m:n ，或写成n m CD AB =。其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。 ※如果把 n m 表示成比值k ，那么 k CD AB =，或AB=k ·CD 。两条线段的比实际上就是两个数的比。 思考：当比值k=1时，两条线段是什么关系？ (设计意图：直接了当给出概念，并设计一个思考题，加深学生对概念的理解，并养成充分思考的习惯。）

初中数学北师大九年级上册(2023年修订) 图形的相似平行线分线段成比例 赵立娟

小专题1 平行线分线段成比例 学习目标 掌握运用平行线分线段成比例定理解决作辅助线的通常方法：过中点(分点)或端点作平行线。 问题探究 在△ABC 中，中线AD 、BE 交于点O,如图，你能求出AO:OD 的值吗？ 题后反思： 变式1 题目条件不变，你能求出BO:OE 的值吗？

变式2 题目条件不变，点E 从AC 中点处向点A 运动至AE:EC=1:2处，你能求 出AO:OD 的值吗？ 问题3 题目条件不变，点E 从AC 中点处向点A 运动至AE:EC=1:n 处，你还能求出AO:OD 的值吗？ 题后反思： 问题4 题目条件不变，E 点运动至AC 的延长线上，且AE:EC=3:1，请求出AO:OD 的值.

问题5 在问题4的基础上，E 点运动至AC 的延长线上，若AE:EC=n:1，请求出AO:OD 的值. 本课小结： 课后作业 1．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，则BC 的长为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15 2．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果AD ＝2，BD ＝4，那么由下列条件能够判断DE ∥ BC 的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点 F ，则DF ：FC ＝ .

（第3题图） （第4题图） 4．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的延长线上一点，AE 与CD 交于点F ，DF:FC=3:2,那么AD:CE= ,BE:CE= . 5.如图，已知DE ∥BC ，FE ∥CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长． 6.如图，△ABC 中，M 为AC 边的中点，E 为AB 上一点，且AE ＝AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于D ，求证：BC ＝2CD （请用多种方法解决）． 7.如图，在△ABC 中，AD 与BE 相交于点G ，且 DG AG ＝4，2 3 BD CD （1）求CE AE 的值； （2）若CE ＝5cm ，则AC 的长．

北师大版九年级数学上册 4.1成比例线段 导学案(含答案)

北师大版九年级数学上册第四章 4.1 成比例线段 导学案 第1课时 线段的比和成比例线段 1、教学目标 1．线段的比：是指选用同一个长度单位量得的两条线段长度的比，叫做两条线段的比． 2．比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺． 3．线段比AB ∶CD 中，AB 叫线段比的前项，CD 叫线段比的后项． 4．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝c d ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 5．比例的基本性质：如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc ；反之，如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么a b ＝c d . 2、课堂精讲精练 【例1】在1∶40 000的地图上，村犀路的距离是7厘米，则实际距离是2.8千米． 【跟踪训练1】 在比例尺为1∶6 000的地图上，图上尺寸为1 cm ×2 cm 的矩形操场，实际尺寸为60m ×120m ． 【例2】下列各组中的四条线段成比例的是(C) A ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3 B ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C ．a ＝2，b ＝5，c ＝23，d ＝15 D ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝1 【跟踪训练2】已知a ，b ，c ，d 成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，c ＝6 cm ，则d 的长度为(A) A ．4 cm B ．5 cm C ．6 cm D ．9 cm 【例3】已知x ∶y ＝3∶2，则下列各式中正确的是(A) A.x ＋y y ＝52 B.x －y y ＝13 C.x y ＝23 D.x ＋1y ＋1＝43

北师大版九年级数学上册 4.2平行线分线段成比例 导学案(含答案)

北师大版九年级数学上册第四章 4.2平行线分线段成比例 导学案 1、预习目标 1．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 如图1，∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EF DF . 2．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 如图2，∵DE ∥BC ，∴AD DB ＝AE EC ，AD AB ＝AE AC ，DB AB ＝EC AC . 【补充】如图3，∵DE ∥BC ，∴AD AC ＝AE AB . 2、课堂精讲精练 【例1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，两条直线AC 和DF 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.则下列比例式不正确的是(D) A. AB BC ＝DE EF B.AB AC ＝DE DF C. AC AB ＝DF DE D.EF ED ＝BC AC 【跟踪训练1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分 别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.已知AB AC ＝13，则EF DE ＝2． 【例2】如图，直线l 1，l 2，l 3分别交直线l 4于点A ，B ，C ，交直线l 5于点D ，E ，F ，且l 1 ∥l 2∥l 3，直线l 4，l 5相交于点O ，已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24.

(1)求AB 的长； (2)当DE ＝3，OE ＝1时，求OB OC 的值． 解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3， ∴EF ∶DF ＝BC ∶AC ＝5∶8， ∴BC ＝15. ∴AB ＝AC －BC ＝9. (2)OB OC ＝14 . 【跟踪训练2】如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么 BC BE 的值等于3 8 ． 【例3】如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是(C) A. AD AB ＝AE EC B.AG GF ＝AE BD C. BD AD ＝CE AE D.AG AF ＝AC EC 【跟踪训练3】如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于(C)

北师大版数学九年级上册第四章第二节4.2 平行线分线段成比例 同步练习(含答案)

第四章 图形的相似 2 平行线分线段成比例 同步练习 一、选择题 1. 如图，已知a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F .若AB BC ＝12，则DE DF 的值是( ) A. 13 B. 12 C. 2 3 D. 1 第1题 第2题 2. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AE EC 的值是( ) A. 13 B. 25 C. 23 D. 3 5 3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，以下结论正确的是( ) A. AE ∶AC ＝AD ∶BD B. AE ∶AC ＝BD ∶AB C. AE ∶CE ＝AD ∶BD D. AC ∶CE ＝AD ∶BD 第3题 第4题 4. 如图，在▱ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为AD 上一点，EF 交AC 于点G ，AF ＝2cm ，DF ＝4cm ，AG ＝3cm ，则AC 的长为( ) A. 9cm B. 14cm C. 15cm D. 18cm 5. 如图，若l 1∥l 2∥l 3，则AB BC ＝ ，DF DE ＝ ；若AB ＝2，AC ＝6，则DE EF ＝ .

第5题 第6题 6. 如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BC CE 的值是 . 7. 如图，AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝32，则(1)CE AE ＝ ； (2)若BD ＝10cm ，则AD ＝ cm ； (3)若△ADE 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为 cm. 第7题 第8题 8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝3cm ，则EF ＝ . 9. 如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为 . 10. 如图，在▱ABCD 中，AE 交BD 于G ，交DC 于F ，交BC 的延长线于E ，求证：AG 2＝GF ·GE . 11. 如图，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，DE 的延长线交BC 的延长线于F .