衡水中学高考数学专题分类汇编：专题13 选讲部分(原卷版与解析卷合集)
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题
13 选讲部分
一、解答题
1. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是
4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
. （1）求曲线12,C C 的直角坐标方程；
（2）设曲线12,C C 交于点,A B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离.
2. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】
已知函数()f x x a a =--+，()2124g x x x =-++． （Ⅰ）解不等式()6g x <；
（Ⅱ）若对任意的1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12g x f x -=，求实数a 的取值范围．
3. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】
在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：2
2
(1)1x y -+=，直线1l ：3y x =，直线2l 过点(2,1)P -，倾斜角为
23
π
，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出直线1l 与圆C 的交点极坐标及直线2l 的参数方程； （2）设直线2l 与圆C 交于E ，F 两点，求PE PF ⋅的值. 4．【河北省衡水市2019届高三四月大联考】 已知函数()21()f x x x a a R =+--∈.
（1）当2a =时，作出函数()f x 的图象，并写出不等式()6f x ≥的解集； （2）当[1,1]x ∈-时，若不等式()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.
5.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】
在平面直角坐标系
中，已知圆的参数方程为
（为参数，
）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.
（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围； （2）当
时，过点
且与直线平行的直线交圆于
两点，求
的值.
6. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数，若对于任意的
，都存在
，使得
成立，求实
数的取值范围.
7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】 设函数．
(1)当时，求不等式
的解集；
(2)当
的取值范围．
8. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】 在直角坐标系中，直线l 的参数方程为
(t 为参数，
)，以坐标原点为极点，轴正半轴
为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.
(1)当时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
(2)已知点
，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定
的取值范围．
9. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】 在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取
相同的单位长度）的直角坐标系
中，曲线的参数方程为：
（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若， 分别是曲线和曲线上的动点，求
的最
小值.
10. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】 已知.
（1）当
时，解不等式
. （2）若不等式
对
恒成立，求实数的取值范围.
11. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】 已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建
立坐标系，曲线的极坐标方程为
.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若过点
的直线与交于，两点，与交于，两点，求
的取值范围.
12. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】 已知
，
（1）解不等式；
（2）若方程
有三个解，求实数的取值范围.
13. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】
在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线()2:cos cos C ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正
半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为122
{
32
x t
y =-=（t 为参数）. （1）求12,C C 的直角坐标方程；
（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,H I J K ，求HI JK -的值. 14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】 已知,a b 为任意实数.
（1）求证： (
)4
22
4
22
64a a b b ab a b
++≥+；
（2）求函数()(
)()
4
22
4
3
3
2162221f x x a a b b
x a b ab
=-+--+-+-的最小值.
15. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 (为参数，
).
（1）当
时，若曲线上存在
两点关于点
成中心对称，求直线
的斜率；
（2）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为的直线与曲线相
交于
两点,若
，求实数的值.
16. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】 已知函数，
.
（1）解不等式；
（2）设
，求证：
.
17. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.
（1）求圆的直角坐标方程及弦
的长；
（2）动点在圆上（不与，重合），试求
的面积的最大值.
18. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】 已知函数.
（1）求函数的值域； （2）若
，试比较
，，
的大小.
19. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】 已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建
立坐标系，曲线的极坐标方程为
.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若过点
的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.
20. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】 已知()11f x x =-+， ()(),3
{ 123,3
f x x F x x x ≤=->.
（1）解不等式()23f x x ≤+；
（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围. 21. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】 在直角坐标系
中，曲线：
（为参数，
），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极
轴的极坐标系中，曲线：
.
（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；
（2）当
时，两曲线相交于，两点，求
. 22. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】 已知函数
.
（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数
的图象，并由图象找出满足不等式
的解集；
（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.
23. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】 在平面直角坐标系
中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）若点的极坐标为
，
，求的值.
24. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.
25. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】
在极坐标系中，已知三点，，.
（1）求经过，，三点的圆的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为，（是参数），若圆与圆外切，求实数的值.
26. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】
已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题
13 选讲部分
一、解答题
1. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是
4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
. （1）求曲线12,C C 的直角坐标方程；
（2）设曲线12,C C 交于点,A B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离. 【答案】（1）2
2
40x y y +-=
，40x -=；（2
）1 【解析】（1）曲线1C 的极坐标方程可以化为：2
4sin 0ρρθ-=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为：2
2
40x y y +-=， 曲线2C
的极坐标方程可以化为：1
sin cos 22
ρθρθ+⋅=， 所以曲线2C
的直角坐标方程为：40x +-=； （2）因为点E 的坐标为()4,0，2C 的倾斜角为
56
π
, 所以2C
的参数方程为：412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，
将2C 的参数方程代入曲线1C
的直角坐标方程得到：2
2
42024t t ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭，
整理得：()
2
2160t t -+=，判别式0∆>，
中点对应的参数为1，所以线段AB 中点到E
点距离为1.
2. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】
已知函数()f x x a a =--+，()2124g x x x =-++． （Ⅰ）解不等式()6g x <；
（Ⅱ）若对任意的1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12g x f x -=，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）93,44⎛⎫
- ⎪⎝
⎭（Ⅱ）[)5,-+∞ 【解析】
试题分析:(1)零点分区间去掉绝对值，分段求解；（2）原题等价于()f x 的值域包含()g x -的值域，
()(],f x a ∈-∞，()(],5g x -∈-∞-，所以5a ≥-.
详解：
（Ⅰ）由21246x x -++<，
①当2x ≤-时，21246x x -+--<，得94x >-
，即9
24
x -<≤-； ②当122x -<<时，21246x x -+--<，得56<，即1
22x -<<；
③当12x ≥时，21246x x -++<，得34x <，即13
24
x ≤<；
综上：不等式()6g x <的解集是93,44⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；
（Ⅱ）对任意的1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12g x f x -=成立，
即()f x 的值域包含()g x -的值域，由()f x x a a =--+知，()(]
,f x a ∈-∞， 由()()()212421245g x x x x x =-++≥--+=，且等号能成立， 所以()(],5g x -∈-∞-，所以5a ≥-，即a 的取值范围为[
)5,-+∞.
3. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】
在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：2
2
(1)1x y -+=，直线1l ：y =，直线2l 过点(2,1)P -，倾斜角为
23
π
，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出直线1l 与圆C 的交点极坐标及直线2l 的参数方程； （2）设直线2l 与圆C 交于E ，F 两点，求PE PF ⋅的值.
【答案】（1
）122{
1x t
y =-=-+
（2）1
【解析】（1）联立方程(
)2211
x y y ⎧-+=⎪⎨
=⎪⎩ 220x x ⇒-=， 解得10x =，21
2
x =.
所以当10x =时，10y =； 当212x =
时，2y = 所以交点的直角坐标分别为()0,0
，12⎛ ⎝⎭
，
则对应的极坐标为()0,0，1,
3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 由题得，直线2l
的参数方程为12212x t y t ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）.
（2）将2l
的参数方程12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
代入圆的方程()2
211x y -+=中，
得2
2
121112t ⎛
⎫⎛⎫--+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
化简整理，得(2
110t t -++=，且0∆>， 设点E ，F 分别对应参数1t ，2t ， 所以121t t =，
又由1t ，2t 的几何意义可知，121PE PF t t ⋅==. 4．【河北省衡水市2019届高三四月大联考】
已知函数()21()f x x x a a R =+--∈.
（1）当2a =时，作出函数()f x 的图象，并写出不等式()6f x ≥的解集； （2）当[1,1]x ∈-时，若不等式()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）(,1][3,)-∞-+∞ 【解析】（1）当2a =时，
()4,1
2123,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪
=+--=-≤≤⎨⎪+>⎩
，
作出的函数图象如下：
从图中可知，不等式()6f x ≥的解集为][()
,102,-∞-⋃+∞. （2）因为[]
1,1x ∈-，
所以()2122f x x x a x x a =+--=+--， 所以()2f x ≤转化为222x x a +--≤， 即得2x a x -≥对[]
1,1x ∈-恒成立，
即2x a x -≥或2x a x -≤-，
也就是a x ≤-或3a x ≥对[]
1,1x ∈-恒成立， 所以1a ≤-或3a ≥，
故实数a 的取值范围为][()
,13,-∞-⋃+∞.
5.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】
在平面直角坐标系
中，已知圆的参数方程为
（为参数，
）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.
（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围； （2）当
时，过点
且与直线平行的直线交圆于
两点，求
的值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由， 得
，
即，
故直线的直角坐标方程为.
由 得
所以圆的普通方程为
.
若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，
故实数的取值范围为.
（2）因为直线的倾斜角为，且过点，
所以直线的参数方程为（为参数），①
圆的方程为，②
联立①②，得，
设两点对应的参数分别为，
则，，
故.
6.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）依题意，得
由，得或或
解得.
即不等式的解集为.
（2）由（1）知，，
，
则，
解得，
即实数的取值范围为.
7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】
设函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当a=1时，，
可得的解集为
（2）当时，
,
因为，
所以.
所以，所以.
所以a的取值范围是[-3，-1]
8. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】
在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．
【答案】（1），；（2）
【解析】
（1）当时，直线的参数方程为
.
消去参数t得.
由曲线C的极坐标方程为.
得，
将，及代入得，
即
（2）由直线的参数方程为（为参数，）可知直线是过点P（-1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线C为椭圆，所以易知点P（-1，1）在椭圆C内，
将代入中并整理得
，
设A，B两点对应的参数分别为，
则
所以
因为，所以，
所以
所以的取值范围为.
9. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取
相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.
曲线：，∴，故的普通方程为.
（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为
.
当时，有最小值，所以的最小值为.
10.【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
已知.
（1）当时，解不等式.
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）当时，等式，即，
等价于或或，
解得或，
所以原不等式的解集为；
（2）设，则，
则在上是减函数，在上是增函数，
∴当时，取最小值且最小值为，
∴，解得，∴实数的取值范围为.
11. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；
（2）设直线的参数方程为（为参数）
又直线与曲线：存在两个交点，因此.
联立直线与曲线：可得则
联立直线与曲线：可得，则
即
12. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
已知，
（1）解不等式；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
（1）不等式，即为.
当时，即化为，得，
此时不等式的解集为，
当时，即化为，解得，
此时不等式的解集为.
综上，不等式的解集为.
（2）
即.
作出函数的图象如图所示，
当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以. 所以实数的取值范围是.
13. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】
在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线()2:cos cos C ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正
半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C
的参数方程为122
{
x t
y =-=（t 为参数）. （1）求12,C C 的直角坐标方程；
（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,H I J K ，求HI JK -的值. 【答案】（1）()2
211x y -+=,2
4y x =（2）
11
3
【解析】
解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=， sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得2
2cos ρρθ=，
所以曲线1C 的直角坐标方程为()2
211x y -+=；
由()cos 4cos ρρθθ=⋅+⋅，得22
sin 4cos ρθρθ=，
所以曲线2C 的直角坐标方程为2
4y x =.
（Ⅱ）如图，四点在直线l 上的排列顺序从下到上依次为H ， I ， J ， K ，它们对应的参数分别为1t ，
2t ， 3t ， 4t .
连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以1IJ =.
HI JK HI IK IJ -=-+= ()141411t t t t -+=-++，
将122{
x t
y =-=代入24y x =，得： 23
824t t =-, 即238320t t +-=，故1483t t +=-
，所以11
3
HI JK -=
.
14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】 已知,a b 为任意实数.
（1）求证： (
)4
22
4
22
64a a b b ab a b
++≥+；
（2）求函数()()()
4
22
4
3
3
2162221f x x a a b b
x a b ab
=-+--+-+-的最小值.
【答案】（1）见解析（2）1 【解析】
（1）(
)4
22
4
22
64a a b b ab a b
++-+= ()
()2
2
2
222244a
b ab a b a b +-++⋅= ()
2
222a b ab +-
()4
a b =-，
因为()4
0a b -≥，
所以(
)4
22
4
22
64a a b b ab a b
++≥+.
（2）()()
4
22
4
216f x x a a b b
=-+-- ()332221x a b ab +-+-= ()4224
216x a a b b -+--+
()
3322221x a b ab -+-≥
()
33
|22221x a b ab ⎡⎤-+--
⎣⎦
()
4224216|x a a b b ⎡⎤-+--=⎣⎦
()
4
11a b -+≥.
即()max 1f x =.
15. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 (为参数，
).
（1）当
时，若曲线上存在
两点关于点
成中心对称，求直线
的斜率；
（2）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为的直线与曲线相
交于
两点,若
，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，曲线的参数方程为(为参数)，
消去参数得，
∴圆心的坐标为．
∵曲线上存在两点关于点成中心对称，
∴，
又，
∴直线的斜率．
（2）由(为参数，)消去参数得曲线的普通方程为，∴圆心的坐标为，半径为．
又直线的极坐标方程可化为，
故其直角坐标方程为，
又，
∴，
解得．
∴实数的值为．
16. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】
已知函数，.
（1）解不等式；
（2）设，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由题意得原不等式为，等价于
或或，
专题13 结构不良题(三角函数与解三角形)-高考数学微专题复习(新高考地区专用)
专题13 结构不良题（三角函数与解三角形） 结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。 一、题型选讲 题型一 、研究三角形是否存在的问题 例1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在 下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6 C π =，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】方案一：选条件①． 由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-= ． 由sin A B =及正弦定理得a ． 222 = b c =． 由①ac =1a b c ==． 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②． 由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-= ． 由sin A B =及正弦定理得a ． 222 = b c =，6B C π==，23 A π =． 由②sin 3c A =，所以6c b a ===． 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c = 方案三：选条件③． 由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-= ． 由sin A B =及正弦定理得a ． 222 = b c =．
由③c =，与b c =矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 例2、（2021年徐州联考）在①cos cos 2c B b C +=，②π cos()cos 2 b C c B -=，③sin cos B B +条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC △的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π 6 A = ，______________，4b =？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】选择①： 由余弦定理可知，222222 cos cos 222a c b a b c c B b B c b a ac ab +-+-+=?+?==，……4分 由正弦定理得，sin sin 1b A B a = =，又(0,π)B ∈，所以π 2 B =，…………………6分 所以ABC △是直角三角形，则c =ABC △的面积1 2 S ac ==…10分 选择②： 由正弦定理得，πsin cos()sin cos 2 B C C B -=，即sin sin sin cos B C C B =， 又(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，所以sin cos B B =，即tan 1B =， 又(0,π)B ∈，所以π 4 B =．……………………………………………………………4分 由正弦定理得，sin sin b A a B = =，…………………………………………………6分 所以ABC △的面积1ππ sin )sin()2246 S ab C A B ==+=+=+.…10分 选择③： 因为π sin cos )4B B B ++=πsin()14 B +=， 又(0,π)B ∈，所以ππ5π(,)444B +∈，所以ππ42B +=，即π 4 B =．…………………4分 由正弦定理得，sin sin b A a B = =，…………………………………………………6分 所以ABC △的面积1ππ sin )sin()2246 S ab C A B = =+=+=+.…10分 题型二、运用正余弦定理研究边、角及面积
2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷(含答案解析)
2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.复数z=1+√3i，则|z|+z=() A. 3+√3i B. 3−√3i C. −3+√3i D. −3−√3i 2.函数y=2cos2(x−π 4 )−1是() A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数 3.已知整数如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)， …，则第60个数对是() A. (5,7) B. (6,6) C. (4,8) D. (7,5) 4.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的 点，则a的取值范围是()． A. (1,3] B. [2,3] C. (1,2] D. [3,+∞) 5.已知二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射 影是△BCD的() A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 6.已知圆x2+y2+mx−1 4=0与抛物线y=1 4 x2的准线相切，则m的值等于() A. ±√2 B. √3 C. √2 D. ±√3 7.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数 的底数，k，b为常数)若该食品在0°C的保鲜时间是384小时，在22°C的保鲜时间是24小时，则该食品在33°C的保鲜时间是()小时 A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 8.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转 4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y= Asin(ωx+φ)+2则() A. ω=2π 15，A=5 B. ω=15 2π ，A=5
衡水中学高考数学专题分类汇编：专题13 选讲部分(原卷版与解析卷合集)
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题 13 选讲部分 一、解答题 1. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是 4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫ + = ⎪⎝ ⎭ . （1）求曲线12,C C 的直角坐标方程； （2）设曲线12,C C 交于点,A B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离. 2. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】 已知函数()f x x a a =--+，()2124g x x x =-++． （Ⅰ）解不等式()6g x <； （Ⅱ）若对任意的1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12g x f x -=，求实数a 的取值范围． 3. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：2 2 (1)1x y -+=，直线1l ：3y x =，直线2l 过点(2,1)P -，倾斜角为 23 π ，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出直线1l 与圆C 的交点极坐标及直线2l 的参数方程； （2）设直线2l 与圆C 交于E ，F 两点，求PE PF ⋅的值. 4．【河北省衡水市2019届高三四月大联考】 已知函数()21()f x x x a a R =+--∈.
（1）当2a =时，作出函数()f x 的图象，并写出不等式()6f x ≥的解集； （2）当[1,1]x ∈-时，若不等式()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 5.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 在平面直角坐标系 中，已知圆的参数方程为 （为参数， ）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是. （1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围； （2）当 时，过点 且与直线平行的直线交圆于 两点，求 的值. 6. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 已知函数. （1）解不等式； （2）若函数，若对于任意的 ，都存在 ，使得 成立，求实 数的取值范围. 7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】 设函数． (1)当时，求不等式 的解集； (2)当 的取值范围． 8. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】 在直角坐标系中，直线l 的参数方程为 (t 为参数， )，以坐标原点为极点，轴正半轴 为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为. (1)当时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (2)已知点 ，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定 的取值范围． 9. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】 在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取 相同的单位长度）的直角坐标系 中，曲线的参数方程为： （为参数）. （1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
专题13 选讲部分-汇集名校资源之三年(2016-2018)河北衡水中学高三数学(理)模拟试卷分项版(解析版)
一、解答题 1.【2018河北衡水中学高三二调】选修4-4：坐标系与参数方程 将圆（为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．（1）求曲线的普通方程； （2）设，是曲线上的任意两点，且，求的值． 【答案】（1）（2） 2．【2018河北衡水中学高三二调】选修4-5：不等式选讲 已知函数，． （1）当时，解不等式； （2）若存在满足，求的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：
3．【2018河北衡水中学高三分科综合测试】在极坐标系中，曲线,曲线 ．以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）． （1）求的直角坐标方程； （2）与交于不同的四点，这四点在上排列顺次为,求的值． 【答案】（1）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）． 【解析】试题分析：（1）根据，，将极坐标方程化为直角坐标方程，（2）将直线参数方程依次代入的直角坐标方程，由圆的几何性质以及参数几何意义得，再由韦达定理得，代入求得的值. 学@科网 试题解析：解：（Ⅰ）因为，，由，得， 所以曲线的直角坐标方程为； 由，得，
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0) 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 (1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝. (4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0. 4.【2018河北衡水中学高三分科综合测试】已知为任意实数． （1）求证：； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）1． 【解析】试题分析： (1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论； (2)利用题意结合不等式的性质可得.
河北省衡水中学2020-2021学年第二次联考数学(理科)试卷(全国Ⅱ) (解析版)
2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全 国Ⅱ） 一、选择题（共12小题）. 1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5} 2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（） A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D． 3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（） A．B．C．D．1 4．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B． C．D．或 5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（） A．B．C．D． 6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（） A．B． C．D．
7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．13 8．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法： ①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期； ③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点． 其中正确说法的个数为（） A．1B．2C．3D．4 9．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（） A．B．C．3D． 10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（） A．B．C．D． 11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（） A．﹣1B．0C．1009D．1011 12．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学理科(含答案解析)
2019-2020学年高三第二学期一调数学试卷（理科） 一、选择题 1．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则阴影部分所示集合为（） A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2） 2．已知复数（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为，则复数z在复平面内对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 3．若a＝π﹣2，b＝a a，，则a，b，c的大小关系为（） A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c 4．函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A．B． C．D． 5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（） A．B．C．D． 6．已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝3，AC＝5，则的值是（）
A．2B．4C．8D．16 7．给出下列五个命题： ①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题； ②命题“?x＞0，有e x≥1”的否定为“?x0≤0，有＜1”； ③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”； ④在锐角△ABC中，必有sin A+sin B＞cos A+cos B； ⑤{a n}为等差数列，若a m+a n＝a p+a q（m，n，p，q∈N*），则m+n＝p+q 其中正确命题的个数为（） A．1B．2C．3D．4 8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），恒为正数的f（x）符合f（x）＜f′（x）＜2f （x），则的取值范围为（） A．（e，2e）B．C．（e，e3）D． 9．已知点A（0，2），抛物线C：y2＝4x的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（） A．2：B．1：2C．1：D．1：3 10．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，又，则＝（）A．B．C．D． 11．对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx ＝0成立，则实数a的取值范围是（） A．（]B．[） C．（0，]D．[） 12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，给出下面结论： ①直线A1H与该正方体各棱所成角相等； ②直线A1H与该正方体各面所成角相等； ③过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，
2020-2021学年衡水中学高考数学复习冲刺阶段精选汇编(文科)模拟试题 (20)
课时作业(六十一) 几何概型 一、选择题 1．（2020-2021学年衡水中学高考数学复习冲刺阶段精选汇编（文科）模拟试题）(2020模拟·茂名二模)已知在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A .16 B .13 C .12 D .23 解析：如图所示，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE(不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF(不包含F 点) 上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝1 2 .故选C . 答案：C 2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ) A .16 B .13 C .23 D .45 解析：设AC ＝x cm,0 2021〜2022学年度上学期高三班级七调考试 理数试卷 命题人:李桂省 本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。 第I 卷(选择题共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1.已知全集 U=R ，集合 A={X y=log 2 (-x 2 +2x)}，B={ Y y=1+3 }，那么A ∩C U B = ( ) A. {X 0＜ x ＜1} B. {X X ＜ 0 } C. {x x ＞ 2 } D. {x 1＜x ＜2} 2.在复平面内，复数Z 满足Z （1 + I )= |1+√3I |，则z 的共轭数对应的点 ( ) A .第一象限 B .其次象限 C .第三象限 D .第四象限 3.在各项均为正数的等比数列{A N }中，若a m+1 • a m-1 = 2a m (m(m ≥2)，数列{A N }的前N 项积为T N ，若T 2m-1—1=512,则M 的值为（ ） A.4 B. 5 C. 6 D.7 4.已知函数f(x) = sin ωx+ 3sin(ωx + 2π )(ω＞0) 的最小正周期为π，则f(x)在区间[0, 3 2π]上的值域为 （ ） A. [0, 2 3] B. [-21,23] C. [-21,1] D. [-23,21 ] 5.执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 A. 2 B. 2 1 C. -1 D. 1 6.在二项式（√x + 423x • ）n 的开放式中，前三项的系数成等差数列，把开放式中全部的项重新 排成一列，有理项都互不相邻的概率为( ) A. 61 B. 41 C. 31 D. 12 5 7.在△ ABC 中，A ，B , C 分别是角A ，B ，C 所对边的边长，若cos A + sin A- B A sin cos 2+=0,则 c b a +的值是 A. 1 B. 2√2 C. 3√3 D. 2 8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如右图 所示 (单位:cm)，则该几何体的体积为( ) A. 120 cm 3 B. 80 cm 3 C. 100 cm 3 D. 60 cm 3 9.在△ ABC 中，BC=5，G ，O 分别为AABC 的重心和外心，且OG → •BC →=5，则△ABC 的外形是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种状况都有可能 10.平行四边形ABCD 中，AB ·BD = 0，沿BD 将四边形折起成直二面角A — BD — C ，且 2AB 2 +|BD |2 =4，则三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为 （ ） A . 2π B . 4π C .4π D .2π 11.已知双曲线C 的方程为 4 2 x 一 4 2 y = 1 , 其左、右焦点分别是F 1、F 2 ,已知点M 坐标为（2，1)，双曲线 C 上点 P(x 0,y 0 ) (x 0 ＞0，y 0＞0) 满足 1 11PF MF PF ⋅ = F F MF F F 221 1 1 • 1 2112F F MF F F ⋅ ，则S △PMF 1 - S △PMF 2 = ( ) A -1 B. 1 C. 2 D. 4 2023届高三数学二轮复习单选题训练 题组一 1．(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M ＝{x |x <4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0≤x <2} B.⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫ x ⎪⎪ 13≤x <2 C ．{x |3≤x <16} D.⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪ 13≤x <16 2．(2022·漳州质检)已知z ＝|3i －1|＋1 1＋i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．“∀x ≥0，a ≤x ＋4 x ＋2”的充要条件是( ) A ．a >2 B ．a ≥2 C ．a <2 D ．a ≤2 4．(2022·温州质检)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1 7等于较 小的两份之和，问最大的一份为( ) A ．35 B.1103 C.1153 D ．40 5．(2022·新高考全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种 6．(2022·茂名模拟)已知0<α<π2，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝26，则sin α1＋tan α的值为( ) A.414 51 B.21413 C.41751 D.21713 7．(2022·南通模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，过左焦点F 作一条渐近线的垂线，记 垂足为P ，点Q 在双曲线上，且满足FP →＝2FQ → ，则双曲线的离心率为( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 8．(2022·绍兴模拟)已知函数f (x )＝x (e x －e － x )＋x 2，若f (x ) 河北省衡水中学2022届上学期高三年级一调考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上) 1．下列集合中表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B ．M ＝{4，5}，N ＝{5，4} C ．M ＝{(x ，y )| x ＋y ＝1}，N ＝{y | x ＋y ＝1} D ．M ＝{1，2}，N ＝{(1，2)} 【答案】B 【考点】集合的概念与特性 2．已知i 为虚数单位，复数x ＝a －2i 1－i (a ∈R )是纯虚数，则1＋a i 的虚部为( ) A ．2 B ．2i C ．－2i D ．－2 【答案】C 【考点】复数的运算、几何意义 3．下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝ 1x ln2；③(e x )′＝e x ；④(1 ln x )′＝x ；⑤(xe x )′＝e x ＋1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【考点】导数的运算 4．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f′(x )大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) A ．f (b )＞f (c )＞f (d ) B ．f (b )＞f (a )＞f (c ) C ．f (c )＞f (b )＞f (a ) D ．f (c )＞f (b )＞f (d ) 【答案】C 【考点】函数的单调性与图象 5．设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2 ＋b ，若f (0)＋f (3)＝3，则f (13 2 )＝( ) A ．－54 B ．－94 C ．72 D ．52 【答案】A 2022届高三上学期一轮复习周测数学考卷带参考答案和解析（河北省衡水中学） 选择题 下列说法正确的是（） A. 0与的意义相同 B. 高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合 C. 集合是有限集 D. 方程 的解集只有一个元素 【答案】D 【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以（只有一个实数根），即方程的解集只有一个元素，应选答案D。 选择题 已知集合，则 （） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：, ，所以. 选择题 设命题“”，则为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为全称命题的否定是存在性命题，所以为，应选答案B。 选择题 已知集合，则集合（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，所以，应选答案C。 选择题 设，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，所以，，但 时，即，不能保证为正数，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A. 选择题 设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以由题意可得： ，应选答案B。 选择题 已知命题有解，命题，则下列选项中是假命题的为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，则△=m2+4＞0，因此：?m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题． 2022年高考数学模拟试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．8 1x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭的二项展开式中，2 x 的系数是（ ） A ．70 B ．-70 C ．28 D ．-28 2．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ． 12 B ． 35 C ． 710 D ． 45 3．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ） A 53 B ．3 C ．33 D ． 3 3 4．若复数5 2z i =-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i - 5． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ） 数学高三下学期高考模拟卷（河北省衡水中学） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时 间120分钟. 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知M ､N 是全集U 的两个非空子集.若()U M N M ⋂=，则下列说法可能正确的是（ ） A. ( )U M N U ⋃= B. ()U M N M ⋃= C. M N ≠∅ D. M N U ⋃= 【答案】D 【解析】 【分析】通过()U M N M ⋂=，得到,M N 之间的关系，再结合韦恩图即可得到答案. 【详解】由()U M N M ⋂=可得U M N ⊆ ，如图， 由图①②，( )U U N N M ⋃=，()U U M N M ⋃=，M N ⋂=∅，A,B,C 错误； 由图②，D 正确. 故选：D. 2. 已知 110a b <<，则下列结论一定正确的是（ ） A. 22a b > B. 2b a a b +< C. a b a a < D. 2lg lg a ab < 【答案】D 【解析】 【分析】由110a b <<，得到0b a <<，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】由 110a b <<，可得0b a <<，则0,0,0a b a b ab +<->>， 对于A 中，由22()()0a b a b a b -=+-<，所以22a b <，所以A 不正确； 对于B 中，由0,0b a a b <>，且b a a b ≠，则2b a a b +>=，所以B 不正确； 对于C 中，由0,0a b a a >>，且a a b b a a a -=， 当1a >时，1a a b b a a a -=>，此时a b a a >； 当1=a 时，1a a b b a a a -==，此时a b a a =； 当1a <时，1a a b b a a a -=<，此时a b a a <，所以C 不正确； 对于D 中，由22 lg lg lg lg a a a ab ab b =-=，因为0b a <<，可得01a b <<， 所以lg 0a b <，可得2lg lg a ab <，所以D 正确. 故选：D. 3. 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ） A. 48 B. 54 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况. 【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人， 共有2215312215C C C A ••= 种方法； 专题对点练13等差、等比数列与数列的通项及求和 专题对点练第17页1.S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,+2a n=4S n+3. (1)求{a n}的通项公式; (2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求T n. 解(1)由+2a n=4S n+3,可知+2a n+1=4S n+1+3.两式相减可得+2(a n+1-a n)=4a n+1,即2(a n+1+a n)==(a n+1+a n)(a n+1-a n).由于a n>0,因此a n+1-a n=2. 又+2a1=4a1+3,解得a1=3(a1=-1舍去). 所以{a n}是首项为3,公差为2的等差数列,故a n=2n+1. (2)由a n=2n+1可知b n=. T n=b1+b2+…+b n=+…+. 2.已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1=9,S3=21. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)若a5,a8,S k成等比数列,求k的值. 解(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵a1=9,S3=21, ∴S3=3×9+d=21,解得d=-2, ∴a n=9+(n-1)×(-2)=-2n+11. (2)∵a5,a8,S k成等比数列,∴=a5·S k,即(-2×8+11)2=(-2×5+11)·,解得k=5. 3.(2017河北衡水中学三调,理17)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1≠0,常数λ>0,且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列的前n项和最大? 解(1)令n=1,得λ=2S1=2a1,即a1(λa1-2)=0. 因为a1≠0,所以a1=. 当n≥2时,2a n=+S n,2a n-1=+S n-1, 两式相减,得2a n-2a n-1=a n(n≥2), 所以a n=2a n-1(n≥2),从而数列{a n}为等比数列, 所以a n=a1·2n-1=. (2)当a1>0,λ=100时,由(1)知,a n=, 设b n=lg=lg=lg 100-lg 2n=2-n lg 2, 所以数列{b n}是单调递减的等差数列,公差为-lg 2, 所以b1>b2>…>b6=lg=lg>lg 1=0, 当n≥7时,b n≤b7=lg 河北省衡水中学高三下学期二调考试 数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}1,3,4,5A =，集合{} 2|450B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 2.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ） A ．1Z B ．2Z C ．3Z D ．4Z 3.下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（ ） ①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2x y = A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．②③ 4.已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪ -+≥⎨⎪≥⎩ ，则() 22x y z += 的最大值为（ ） A ．2 B ．22 C ．2 D ．4 5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 6.两个等差数列的前n 项和之比为 510 21 n n +-，则它们的第7项之比为（ ） A ．2 B ．3 C ． 4513 D ．7027 7.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()2 1000，σσ>，若ξ在（80,120）内的概率为 0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 8.函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．0 B ．32 C ．62 D ．2- 9.若()()7 280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-131 10.已知圆2 2 1:20C x cx y ++=，圆2 2 2:20C x cx y -+=，椭圆22 22:1x y C a b +=（0a b >>，焦距为 2c ） ，若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．102，⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．202，⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ 11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有 ()()1212 0f x f x x x -<-， 且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()() 2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t s s t -+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫-- ⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡ ⎤--⎢⎥⎣ ⎦ 12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ） A ．7π B ．19π C ． 776π D ．19 196 π 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 河北省衡水中学高三下学期（衡水卷五） 文数试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合(){}(){},|1,,|32A x y y x B x y y x = =+==-，则A B =（ ） A ．25,33⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ B ．25,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,33⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭ D ．2525,,,3333⎧⎫⎛⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 2.已知复数1(12i z i i += +为虚数单位), 则（ ） A ．z 的实部为15- B ．z 的虚部为1 5 i - C ．35z = D ．z 的共轭复数为31 55 i + 3.椭圆()222:106x y C a a +=>的离心率是6 6 ,则实数a 为（ ） A ． 655 B ．5 C ．655或5 D ．55 或5 4.执行如图所示的程序框图, 则输出的结果是（ ） A ．1 B ． 43 C ．5 4 D ．2 5.我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 [)[)[)[]20,40,40,60,60,80,80,100，若低于60分的人数为15，则该班的人数为（ ） A ．40 B ．50 C ．60 D ．70 6.已知71 sin 24 πα⎛⎫- += ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．78- B ．78 C ．78或78- D ．154 7.已知函数()() ()ln 01x f x a b a a =+>≠且是R 上的奇函数, 则不等式()ln f x a a >的解集是（ ） A ．(),a +∞ B ．(),a -∞ C ．当1a >时, 解集是(),a +∞；当01a <<时, 解集是(),a -∞ D ．当1a >时,解集是(),a -∞；当01a <<时, 解集是(),a +∞ 8. 一个几何体的三视图如图所示, 其中府视图与侧视图均为半径是1的圆, 则这个几何体的体积是（ ） A ． 3 π B ．23π C ．π D ．43π 9.已知双曲线 ()2222:10,0x y C a b a b -=>>的虚轴端点到一条渐近线的距离为2 b ,则双曲线C 的 离心率为（ ） 学习界的专题13 利用导数解决函数的极值、最值 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 类型一利用导数研究函数的极值 例1 已知函数f (x) =+ ln x ，求函数f (x)的极值. x 【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020 届月考】下列说法正确的是（） A.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极大值 B.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极小值 C.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极值 D.当f (x0 ) 为f (x) 的极值且f '(x0 ) 存在时，则有f '(x0 ) = 0 【变式演练2】（图像与极值）【百师联盟2020 届高三考前预测诊断联考全国卷1】如图为定义在R 上的函 数f (x)=ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0)的图象，则关于它的导函数y =f '(x)的说法错误的是（） A．f '(x)存在对称轴B．f '(x)的单调递减区间为⎛ -∞, 1 ⎫ 2 ⎪ ⎝⎭ C．f '(x)在(1, +∞)上单调递增D．f '(x)存在极大值 【变式演练3】（解析式中不含参的极值）【江苏省南通市2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数f (x)=(ax2 +x +1)e x ，其中e是自然对数的底数，a ∈R . （1）当a = 2 时，求f (x )的极值； （2）写出函数f (x )的单调增区间； （3）当a = 0 时，在y 轴上是否存在点P，过点P 恰能作函数f (x)图象的两条切线？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由. 【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020 届高三高考数学（理科）三诊】已知函数f (x )=ax - 2 ln x - 2 ，g (x )=axe x - 4x ． （1）求函数f (x )的极值； （2）当a > 0 时，证明：g (x )- 2 (ln x -x +1)≥ 2 (ln a - ln 2 )． 【变式演练5】（由极值求参数范围）【黑龙江省哈尔滨一中2020 届高三高考数学（理科）一模】已知函数河北省衡水中学2022届高三上学期七调考试数学(理)试题 Word版含答案
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