马尔可夫决策基础理论
马尔可夫决策基础理论
内容提要
本章介绍与研究背景相关的几类决策模型及算法。模型部分，首先是最基本的马尔可夫决策模型，然后是在此基础上加入观察不确定性的部分可观察马尔可夫决策模型，以及进一步加入多智能体的分布式部分可观察马尔可夫决策模型和部分可观察的随机博弈模型。算法部分，针对上述几类模型，我们均按照后向迭代和前向搜索两大类进行对比分析。最后，我们介绍了半马尔可夫决策模型及Option理论，这一理论为我们后面设计分等级的大规模多智能体系统的决策模型及规划框架提供了重要基础。
2.1 MDP基本模型及概念
马尔可夫决策过程适用的系统有三大特点：一是状态转移的无后效性；二是状态转移可以有不确定性；三是智能体所处的每步状态完全可以观察。下面我们将介绍MDP基本数学模型，并对模型本身的一些概念，及在MDP模型下进行问题求解所引入的相关概念做进一步解释。
2.1.1 基本模型
马尔科夫决策过程最基本的模型是一个四元组S,A,T,R(Puterman M, 1994)：
?状态集合S：问题所有可能世界状态的集合；
?行动集合A：问题所有可能行动的集合；
?状态转移函数T: S×A×S’→[0,1]: 用T(s, a, s’)来表示在状态s，执行动作
P s s a；
a，而转移到状态s’的概率('|,)
?报酬函数R: S×A→R:我们一般用R(s,a)来表示在状态s执行动作a所能得到的立即报酬。
虽然有针对连续参数情况的MDP模型及算法，然而本文在没有特殊说明的情况都只讨论离散参数的情况，如时间，状态及行动的参数。
图2.1描述的是在MDP模型下，智能体(Agent)与问题对应的环境交互的过程。智能体执行行动，获知环境所处的新的当前状态，同时获得此次行动的立即
收益。
图 0.1 MDP 的基本模型
2.1.2 状态
状态是对于在某一时间点对该世界（系统）的描述。最一般化的便是平铺式
表示[]，即对世界所有可能状态予以标号，以s 1,s 2,s 3,…这样的方式表示。这种情
况下，标号状态的数目也就代表了状态空间的大小。而一种更加自然的方式是因
子化表示，因子化是一种面向对象的思想，这种状态表示方式我们会在结合
Robocup 的高层设计章节详细讨论。
不同的应用中，人们对状态的具体定义是不一样的，但一般来说，在MDP
中定义的状态必须包括所有当前世界中Agent 能够掌握利用，会对Agent 决策产
生影响的信息，这也可做为建模过程中，某些因素要不要加入问题状态表示的依
据。事实上，这些因素，又对应为一些概念，或者说状态变量。要不要将这些变
量加入问题的状态表示中，再或者要不要对概念对应的状态量进行某种拆分或合
并，这些问题在建模时都是需要考虑的。处理的不好，便可能引入大量冗余信息。
目前，也有专门针对这些问题所作的工作，如识别无关状态(Jong N K, Stone
P,2005)，聚类等等(Givan R, et al, 2003; Li L H, et al, 2006)。
大多数情况，智能体对自己所处的当前世界的状态不可能有一个完整的认
识。因此，我们引入概率的方法来处理这类信息的不确定性。我们引入随机变量
S t ，随机变量从状态集合S 中取值。变量S t 并非由未来时刻的状态所决定，而
是由过去状态影响，如图2.2 所示。
行动
图 0.2 马尔可夫链
图2.2 所表示的是一离散的、随机的动态系统，图中的每个节点表示在某一时刻的某一状态。对于随机变量S t, 有Pr(S t|S0,S1,...,S t?1) = Pr(S t|S t?1) ，为一条件概率。它也同时体现了马尔科夫性质，即S t只是概率依赖于S t?1。任何两个状态间的关系可以只用两个状态来表示。
同时，我们引入吸收状态这一概念，如果对于某一状态s，执行任何行动，过程都以概率1转移到s本身，则该状态s被称为吸收状态(absorb state)。
2.1.3 行动
Agent 的行动会参与改变当前世界的状态。MDP的一个关键部分是提供给Agent的用于做决策的行动集合。当某一行动被执行，世界状态将会发生改变，根据一个已知的概率分布转换为另一状态，这个概率分布也和所执行的动作有关。不加说明的情况下，我们讨论的是时齐马尔可夫过程，即所有行动的执行时间是相同的，状态转移的时间间隔一致。这种行动有时也可以被称为系统的原子动作。在该系统内，行动已对应最小的时间划分，原子动作不可再分割。比如，在一个棋盘类游戏中，每一步所有的走子方式构成了原子动作的集合。再比如，在一个实时的机器人运动控制中，离散的最小时间片内，机器人可以选择以一定的离散的角度转向，或者以一定的离散的加速度进行速度控制，这些也构成了在该系统下的原子动作集合。
2.1.4 状态转移函数
状态转移函数描述了系统的动态特性，我们可以做以下比较：
0.5
图 0.3 对给定行动的状态间概率转移图
?确定环境下的行动：T: S×A→S
在某个状态s 执行动作a 可以得到一个确定的状态；
? 随机环境下的行动：T: S×A →Prob(S)
在某个状态s i 下执行某一动作a ，我们得到的是一状态的概率分布(|,)j i P s s a ，
也记为(,')a T s s 。
图2.3显示了一个对某给定行动，状态间概率转移的情况。在简单的问题中，
状态转移函数也可以记为表格的形式。
2.1.5 策略与值函数
以上都是对模型本身的一些概念的解释，下面我们介绍在MDP 问题求解过
程引入的若干概念。
决策问题的解称为策略(policy)，是从状态集合到动作集合的一个映射，即π :
S →A 。按照策略解决问题的过程是，首先智能体需要知道当前所处状态s ，然后
执行策略对应的行动π(s) ,并进入下一状态，重复此过程直到问题结束。MDP 中
假定Agent 通过观察可以完全确定当前所处的状态。而该假设不能保证的问题属
于POMDP 模型解决的对象，将在下一章讨论。在MDP 某些材料中对策略有如
下区分，若动作的选取只和当前的状态有关，而与时间无关，称作平稳策略；相
应的，非平稳策略是经时间索引后的一系列状态到行动的集合，也就是说非平稳
策略即使对于同样的状态，在过程的不同时刻，可能会对应不同的行动。
我们希望Agent 能够按照某个准则来选择动作以最大化长期的报酬。比如
有现阶段最优准则，要求最大化有限阶段期望总报酬最大，也就是k -1t t=0maxE R ??????
∑，其中R t 是Agent 在第t 步得到的报酬。如果我们处理的是一个无限阶段问题，考
虑整个过程中的总报酬，通常会引入一个折扣因子γ，其中0<γ <1。这样Agent
选择动作所得到的报酬是k-1t t t=0maxE R γ??????∑。折扣因子保证了k-1t t t=0maxE R γ??????
∑的收敛性。
事实上，一个过程本质上是在因果关系下的推进，而并非时间推进本身。当
可以把时间也作为一个变量加入状态描述中时，前面提到过的有限阶段与无限阶
段，以及这里的平稳策略与非平稳策略，都可以统一起来理解。首先，对于有限
阶段和无限阶段的问题，长期期望回报是用来评价策略优劣的，理论上它不能出
现无穷大的情况，这样将无法比较。而在所谓的无限阶段中，这一点却很难保证。
事实上，对于一个现实中决策的智能体来说，无限阶段是不存在的，其生存周期
决定了这一点。于是，折扣因子的另一个含义是人为的认定过程在每步执行都有
较小的非零的概率1 ? γ终止。这样，该过程能无限进行下去的概率为0，无限
阶段的问题仍是转换成了有限阶段。因此，两者都是依靠问题的终止状态来结束，
并无本质区别。同样，当时间可以成为状态变量后，平稳策略与非平稳策略也可
以统一起来考虑，所谓的靠时间索引的策略也将变成统一的状态到行动的映射
了。在本文后面的部分，无特殊说明的情况下，将不对有限阶段或无限阶段，以
及平稳策略或非平稳策略加以区别。
对于任何一个策略，我们都可以用执行该策略所能获得的长期期望回报来评
价其优劣。
定义值函数(Value Function):V S π→ 为采用策略π时在状态s 的期望回
报：
0()(,())t t t t V s E R s s πγπ∞=??=????∑ (0.1)
其中t s 为时刻t 所处状态，0t =对应初始状态s 。以递归的形式表示则为：
()'()(,())(,')(')s s S V s R s s T s s V s ππππγ∈=+∑
(0.2)
对每个策略π，其对应的值函数V π是一系列线性方程(每个状态s 对应一个
方程)的唯一公共解。在某些文献中值函数也被称为评价函数(evaluation
function)。
上述定义给了我们一种计算策略对应的值函数的方法，同时，我们也需要知
道如何从值函数来计算得到相应策略。首先，定义一个求解过程常常用到的中间
变量，行动值函数:Q S A π×→ 为在状态s 采用行动a ，其它状态采用策略π的
期望回报。
'(,)(,)(,')(')a s S Q s a R s a T s s V s ππγ∈=+∑
(0.3)
当策略没有显式记录，只有值函数V 时，行动值函数记为Q 。策略π可以通
过下式计算得到：
()arg max (,)a A s Q s a π∈= (0.4)
即：
'()arg max (,)(,')(')a a A s S s R s a T s s V s πγ∈∈??=+????∑
(0.5)
同时有：
'()max (,)(,')(')a a A s S V s R s a T s s V s πγ∈∈??=+????∑ (0.6)
由于(0.5)式事实上是采用的一步前瞻的贪婪搜索，我们也称这样获得的策略
为贪婪策略。
定义一致性条件(Monotonic Condition)为，对所有s ，有：
'()max[(,)(,')(')]a a s S V s R s a T s s V s ∈≤+∑ (0.7)
如果值函数满足一致性, π即是对当前值函数对应的隐式策略的改进,有:
()()V s V s π≥。相反，如果值函数不满足一致性，在某状态s 处，
'()max[(,)(,')(')]a a s S
V s R s a T s s V s ∈>+∑，我们便无法经由(0.8)确定满足()()V s V s π≥的π(s)。通常，对于一个满足一致性条件的值函数，只按Bellman 公式进行更新
迭代的话，一致性条件始终保持成立。
最优策略记为π*,对应值函数为V *,称为最优值函数。通常,当一个策略π满足
对状态s ,有*()()V s V s πε?≤时,我们称π为状态s 处的ε最优策略，当π对问题所有
状态均满足上述条件时，称其为问题的ε 最优策略。
2.2 MDP 典型算法
马尔可夫决策过程将客观世界的动态特性用状态转移来描述,相关算法可以
按是否求解全部状态空间进行划分.早期求解算法有值迭代和策略迭代,这些方法
采用动态规划,以一种后向的方式同时求解出所有状态的最优策略.随后,一些利
用状态可达性的前向搜索算法,如AO*, LAO* (Hansen E A, Zilberstein, 2001)被相
继提出,他们的特点是只求解从给定初始状态开始的最优策略,通常可以避免大量
不必要的计算,获得更高的效率.与AO*算法比较, LAO*能够处理状态转移存在
环的系统.同样利用状态可达性并结合动态规划的算法有: Heuristic Search/DP
(HDP)(Bonet, B., Geffner, H, 2003), Envelope Propagation (EP) (Dean, T et al , 1995)
以及Focused Dynamic Programming (FP) (Ferguson D, Stentz A T, 2004).
从另一个角度,相关算法还可以按离线或在线划分.对于很多现实世界应用中
的大规模问题,无论是否利用状态可达性，解都不可能以离线的方式一次性求出，
这种情况更适合使用在线算法,也称为实时算法.实时算法的决策计算与执行交替
进行,且解的质量通常随给定计算时间的增加而提升.最早的基于动态规划的实时
算法是RTDP(Barto A G , et al., 1995)。 RTDP 通过不断循环Trail 来改进策略，每
次Trail 确定一个从初始状态到目标状态的路径然后进行反向的值迭代,然而
RTDP 不处理停止问题(Stopping Problem)( Pemberton J C, 1994)。停止问题指如何
判断当前解的质量是否已满足要求进而停止计算并提交策略供执行.在值迭代类
算法中,停止问题对应收敛判据.Labeled RTDP(Bonet B, Geffner H 2003)通过标记
各经历状态是否已被求解,给出了一种处理停止问题的方式,同时避免已经求解过
的状态处的计算进而加快收敛.最新的实时动态规划算法,如BRTDP (McMahan H
B, 2005)及FRTDP (SmithT, Simmons R, 2006)使用了另外一种技术,求解过程记录
并不断更新相关状态期望值函数的上界下界,这些信息用来指导分支选择,显著的
提高了算法性能.另一方面,上下界提供了最优值函数的一个区间估计,当给定初
始状态的值函数上下界间隔足够小时,便可认为已经获得满足精度的最优策略.
下面将分别介绍几类典型的MDP 求解算法。为了方便对比，我们针对同一
类特殊MDP 问题，随机最短路径问题(Bertsekas D, 1995)，它是对传统人工智能
中最短路径问题的泛化。问题存在有限个状态，在非目标状态执行任何行动将获
得一个负的立即收益，达到目标状态后过程终止，过程本身不再引入时间变量。
有如下值函数：
()'0()(,())(,')(')s s S if s is goal state V s R s s T s s V s otherwise ππππγ∈ ??=?+ ??∑ (0.9)
2.2.1 反向迭代类算法
策略迭代与值迭代是求解MDP 问题的两个最基本的方法，均基于动态规划。
2.2.1.1 策略迭代
在策略迭代中,策略显式表示,可以计算得到对应V π,然后使用下列公式改进
策略:
'(,)(,)(,')(')a s S Q s a R s a T s s V s ππγ∈=+∑ (0.10) '()arg max (,)a A
s Q s a ππ∈= (0.11) 其中γ为折扣因子(Discount Factor), γ ≤ 1。由于可能的策略数目是有限的，而
策略迭代的过程总是在改进当前的策略，算法在经过有限步的迭代后总会收敛于
最优策略。
Alg.1: Policy Iteration
1. Start with an initial policy π
2. Evaluation policy : Compute the value function V π for policy π by solving the
following set
of |S | equations in |S | unknowns,
()'()(,())(,')(')s s S
V s R s s T s s V s ππππγ∈=+∑
3. Improve policy : Use equation (0.10)(0.11), Resolve ties arbitrarily, but give
preference to the currently selected action.
4. Convergence test : If π’ is the same as π, go to step
5. Otherwise, set π = π’ and
go to step 2
5. Return an optimal policy .
2.2.1.2 值迭代
在值迭代中,策略没有显式表示,整个过程按动态规划的Bellman 公式不断进
行迭代更新来改进值函数。
'()max (,)(,')(')a s S V s R s a T s s V s γ∈??=+????∑
(0.12)
当值函数经由有界误差衡量接近最优时，策略可以通过(0.13)式获得。对于
随机最短路径问题，误差界限可以通过Bellman 误差及平均初过时间(first
passage time)计算得到。每次迭代所有状态值函数更新前后的最大差值称为
Bellman 误差r :max ()'()s S r V s V s ∈=?；平均初过时间指从状态s 开始，按策略π
执行，到达一个目标状态的期望时间步数，记为()s πφ。平均初过时间可以通过
对所有s 求解线性方程组:
'()1(,(),')(')s S s T s s s s ππφπφ∈=+∑
(0.14)
给定Bellman 误差与平均初过时间,一个最优值函数V *的下界V L 及上界V U
可以按下式计算得到：
()()()()()()L U V s V s s r V s V s s r ππππφφ?=???=+?? (0.15)
对于策略迭代，当前的值函数是最优值函数的一个下界。上界与下界的最大
差值定义为：max ()()U L s S V s V s ∈?????，当该差值小于ε时，策略为ε最优。对给
定的任意实数ε>0，策略迭代与值迭代在经过有限步的迭代后都将收敛于ε最优。
Alg.2: Value Itertaion
1. Start with an initial evaluation function V and parameter ε for detecting
convergence to an ε-optimal evaluation function.
2. Improve evaluation function by Equation(0.12)
3. Convergence test: If the error bound of the evaluation function is less than or
equal to ε, go to step 4. Otherwise, set V = V’ and go to step 2.
4. Extract an ε-optimal policy from the evaluation function by Equation(0.11).
2.2.2 前向搜索类算法
现实中有些问题并不需要求解从所有状态到达目标状态的策略，而是给定从
固定的初始状态开始。这类问题属于特例，使用策略迭代或者值迭代都可以求解。
然而，这两种求解方法都没有利用初始状态的相关知识，没去尝试把计算集中在
由初始状态可能达到的那些状态上。相反，无论是策略迭代还是值迭代在每次更
新时都会计算所有状态。从效果上说，这两种算法计算的是问题所有可能初始状
态下的策略。下面结合与或图介绍一些基于前向搜索的MDP 求解算法。
2.2.2.1 结合与或图的搜索
从更一般的情况来讲，一个状态空间上的搜索问题与MDP 类似，可以被定
义为一系列状态(包含了初始状态及目标状态的集合)，一系列的行动(智能体干预
状态转移)，以及一个花费函数或者收益函数。问题的目标为找到一个从起点状
态到终点状态的最小花费或者最大收益的路径。经典AI 中搜索问题为确定性搜
索，如启发式A*算法，迭代加深的IDA*算法(Bonet B, Geffner H, 2006)等。而从
搜索所基于的树或图的数据结构模型的角度来看，不确定性搜索又有其新的特
点。同时，它也是一种更一般的模型，与或图(AND/OR graph)。
根据Martelli ，Montanari(1978)及Nilsson(1980)，可以定义与或图为一个超
图(hypergraph)。区别与普通图中弧连接了一对状态，超图拥有超弧(hyperarcs)或
者k 连接(k-connectors)将一个状态与k 个后继状态相连。图2.4将与节点，或节
点及超弧，k 连接的概念联系在一起。图2.4.(a)显示了一个或节点及两条从它出
发的弧，分别对应行动a1与行动a2。每条弧导向一个拥有两个后继或节点的与
节点，后继或节点即对应了一个可能的后继状态(按约定,其中方形代表或节点，
圆形代表与节点。在决策分析的术语中，方形表示选择节点，圆形表示或然节点)。
(b)显示了一个状态，由一个圆形表示，并有两个2连接从它出发，分别对应行
动a1及a2。每个2连接导向了两个可能的后继状态。右边的表示法，使用状态
与k 连接，与左边使用与节点及或节点的表示法等价。
图 0.4 与或图基本结构
k 连接可以以不同的方式来解释：在问题规约的搜索中，它被解释为将问题
转化为k 个子问题。当考虑非确定规划问题时，它被解释为行动不确定性的结果。
行动将一个状态转移到k 个可能的后继状态，每个都关联了一个概率。
在一个与或图搜索中，以非循环子图形式表示的解被称为解图，有如下定义：
?起始状态属于解图
?对于解图中的每个非目标状态，恰好有一个输出的k连接（对应一个行动）与其后继状态，这些也都属于解图
?解图中每个定向的路径都终结于目标状态。
AO*，LAO*是较早的两类基于与或图的搜索类算法。它们和经典人工智能中A*算法的设计思路类似，还有在迭代加深的IDA*算法基础上扩展出来的LDFS算法(Bonet B, Geffner H, 2006)。
2.2.2.2 实时动态规划算法
与或图给了我们一种理解MDP求解过程组织方式的一种基本数据结构。事实上，所有利用状态可达性结合前向搜索的方法都显式或隐式的利用这一结构。Barto et al(1995)提出了一种实时动态规划算法(Real-time dynamic programming，RTDP)，也是基于前向搜索的技术，避免穷举所有状态。Alg.3是对RTDP算法的一个总结。
RTDP将计算组织成一系列的试验执行(triials)。每次试验由多步组成，在每一步，行动基于一步前瞻搜索选择，然后基于所选择行动的所有可能结果对当前状态进行更新。试验在达到目标状态时终止，或者是经过一个指定步数的更新。这种基于试验(trial-based)的RTDP算法一个最主要的特性就是，它只更新那些基于当前值函数采用贪婪策略选择行动，从初始状态可以到达的状态。因此，RTDP 可以省掉大量无关状态空间处的计算。Barto证明在一些合理的条件下，RTDP 能够渐近收敛于最优解，而无需评估整个状态空间，并将这一结果与启发搜索关联，认为它是基于学习的实时启发式搜索算法(LRTA*)的一个推广(Hern C, Meseguer P, 2005a, 2005b)。
Alg.3: Trial-based RTDP
1.Start with an admissible evaluation function.
2.Repeat the following trial n times.
Trails: Set the current state s to the start state and repeat the following steps m times or until a goal state is reached.
(a)Improve the evaluation function by performing the following backup for
the current state s, by Equation(0.12).
(b)Take the action determined to be best for state s by the backup and change
the current state s to the state that results from a stochastic transition
following the action.
3.Extract a partial policy from evaluation function V by Equation(0.11).
以上我们介绍了MDP的后向迭代及前向搜索两大类最基本的算法，后向迭
代类算法通常具有状态空间，行动空间，及求解精度的多项式时间的计算复杂度,而前向搜索类算法在求解具体问题时由于利用了状态可达性的信息常常具有更高的效率(Littman M L, et al., 1995)。
2.3 POMDP基本模型及概念
POMDP适合用来描述在状态非完全可观察的情况下，智能体与环境交互，并进行决策的问题。它与MDP的区别在于它建模了观察的不确定性，并在模型中引入了信念状态这一个概念，是一个更一般化的模型，因而具有更广泛的应用，如对话管理、机器视觉、机器人导航、医疗诊断、网络维护等等。由于问题复杂性的增加，从效率与求解质量平衡的角度出发，POMDP问题发展出大量近似求解算法。下面首先介绍POMDP的基本数学模型及决策过程引入的新的概念。
2.3.1 基本模型
相对于MDP模型，POMDP模型中加入了对观察的处理。
图 0.5 POMDP模型
一般情况下，模型为一个六元组,,,,,
S A T R O
Ω。其中S,A,T,R与MDP模型相同，而增加的部分为：
??: 为智能体可观察信息的集合；
?O(s’,a,o): :O S A O O
××→为观察函数，给出在执行行动a并进入下一个状态s’时可能观察的概率分布，使用Pr(o|s’,a)表示。
?B: 智能体的信念状态空间，使用b(s)来描述在智能体信念中，当前处在状态
s 的概率。
2.3.2 观察
我们假设一个有限的观察集合{}12,,,H O o o o = ，智能体观察的选择和对
当前状态的感知来自于这个集合。在POMDP 模型上，可以通过一系列的假设得
到其他的模型。例如全观察(full observable)的MDP(FOMDP)，如前所述，Agent
对各个时刻的环境的了解是全面的。那么有以下的定义：
1Pr(|,,)0h j h i k j if o s o s a s otherwise =?=??
另一个比较极端的模型是non-observable 系统(NOMDP)。在这个系统里，
Agent 在执行时，不会从系统获得任何的有关当前状态的信息。这样，该系统的
观察集合为O ={o }，即，在每个状态获得的观察都是一样，这样观察集合就变
得没有意义了。这两种极端情况是POMDP 的特例。
2.3.3 信念状态
在POMDP 问题中，智能体的决策过程如图2.6所示。
图 0.6 POMDP 决策过程
由于智能体在POMDP 中不能保证每步都获得全部的当前状态信息，为了仍
保持过程的马尔可夫性，这里引入了信念状态这一概念。信念状态是智能体根据
观察及历史信息计算得到的一个当前状态对所有世界状态的一个概率分布，记为
b(s)，有对s ?，有0()1b s ≤≤，且()1s S
b s ∈=∑。由于它是智能体主观信念上所认为
的一个状态，故称为信念状态。作为一个概率分布，信念状态空间是连续的，无
限的。
行动
信念
观察
状态
图 0.7示例信念状态的简单模型
图2.7是一个小的POMDP 的例子，两个状态，两个观察，一个行动。如果
智能体处在状态s 1，时刻t 并且做出行动后得到观察o 2，那么可以确定，智能体
仍处在状态s 1。然而，如果它获得观察o 1，那么智能体便既可能处在状态s 1，也
可能处在状态s 2。表2.1总结了4种可能的结果，各种结果之间互斥，且概率总
和为1。比如，我们还可以看到，执行行动后获得观察o 1的情况下，智能体处在
状态s 2的概率为0.8/(0.02+0.8)≈0.976。
表 0.1 信念状态计算示例 resulting state
observation probability of event s 1 o 1 0.2×0.1=0.02 s 1
o 2 0.2×0.9=0.18 s 2
o 1 0.8×1.0=0.80 s 2 o 2 0.8×0.0=0.00
2.3.4 主观贝叶斯更新
在POMDP 中，每一步的信念状态都是智能体的一个主观概率，而获得新的
观察后，计算新的信念状态便可以使用贝叶斯公式进行更新。具体过程如下：
'(')Pr('|,,)
Pr(|',,)Pr('|,)Pr(|,)Pr(|',,)Pr('|,,)Pr(|,)Pr(|,)
Pr(|',)Pr('|,)Pr(|)
Pr(|,)
(',,)(,,')()
Pr(|,)
s S s S s S b s s o a b o s a b s a b o a b o s a b s a b s
s a b o a b o s a s a s s b o a b O s a o T s a s b s o a b ∈∈∈==
=
∑∑∑ = = (0.16) 其中： o 1:0.1
o 2:0.9
o 1:1.0o 2:0.0
''''Pr(|,)Pr(,'|,)
Pr('|,)Pr(|',,)
Pr('|,)()Pr(|',)
(',,)(,,')()
s S
s S
s S s S s S s S
o a b o s a b s a b o s a b s a s b s o s a O s a o T s a s b s ∈∈∈∈∈∈====∑∑∑∑∑∑ (0.17)
通过反复的使用贝叶斯公式，便可以得到上述信念状态的更新公式。通过它
我们可以从当前的信念状态，根据转移函数T 及观察矩阵O 得到新的信念状态
对应的概率分布。对于同一个观察，分母Pr(o|a,b )为一个常数，事实上，它起到
的就是归一化因子的作用，使得概率分布总和为1。图2.8展示了信念空间的表
示方法。在此我们举了一个很简单的2-状态的POMDP 作为实例。对于一个2-
状态POMDP ，给定一个状态的概率是p ，则另一个状态的概率是1-p 。在这个例
子里，信念空间可以用一条线段来表示。信念空间的左边标记为0，右边标记为
1，用来表示当前状态为s 1的概率。在高维空间中，该线段将变成超平面。
图 0.8 状态POMDP 的一维信念空间
图2.9中展示了一个2状态的POMDP 中信念状态的变化情况。假设智能体
有两个动作（a1，a2）和三个观察（z1, z2, z3）。图中较大的点为初始信念状态，
结果的信念状态用较小的点表示。弧表示了信念状态的变换过程。由于观察是概
率的，每个结果也和概率有关。信念状态的转移过程满足马尔科夫性，即下一个
信念状态只依赖于当前信念状态（还有当前的动作和得到的观察），而跟历史信
念状态无关。
图 0.9 状态POMDP
的一维信念空间
1
2.3.5 策略表示形式
在POMDP 问题中，智能体通常不知道环境明确的状态，而只知道一个在所
有状态上的概率分布。MDP 问题中策略可以用状态到行动的映射来表示，但面
对连续的信念状态空间，这一方法不再可行。事实上，存在一种有限状态机(finite
states controller ，FSC)的表示法(Hansen E A, 1997)，它会涉及POMDP 问题值函
数的一种性质，我们留在稍后介绍。
一般情况下，在POMDP 问题中，智能体的t 步非平稳策略可以用策略树来
表示。根节点决定要采取的第一个动作，然后根据得到的观察，通过一条弧指向
下一节点，这个节点在决定下一步的动作，如图2.10所示即是一个t 步策略树。
在根节点处，我们有()(,())p V s R s a p =。
图 0.10 一棵t-step 策略树
这里()a p 是策略树p 的根节点指定的动作。上式所示即为在初始状态按照
策略树p 选择要执行的动作所能获得的报酬。那么，有：
()''()'()(,())()
(,())Pr('|,())Pr(|',())(')(,())(,(),')(',(),)(')
t t t p t o p s S s S
t o p s S o V s R s a p R s a p s s a p o s a p V s R s a p T s a p s O s a p o V s γγγ∈∈∈∈Ω
=+=+=+∑∑∑∑将来的期望值 (0.18)
其中，o t (p )是t 步策略树根节点的其中一棵t-1步子策略树，与观察o t 相关。
通过信念状态的引入，POMDP 问题可以看成Belief MDP 问题(Strehl A L,
2004)。
t step
t-1 step t-2 step t-k step
定义类似MDP 中状态转移函数的信念状态转移函
数:(,,'):[0,1]b a b B A B Γ××→，有：
(,,')Pr('|,)Pr('|,,)Pr(|,)o O
b a b b a b b a b o o a b ∈Γ==∑
定义信念报酬函数：
(,)()(,)s S
b a b s R s a ρ∈=∑
可以得到一个类似MDP 中策略与值函数的计算公式：
**()arg max ()(,)Pr(|,)(')t t a s S o O
b b s R s a o a b V b πγ∈∈??=+????∑∑
(0.19) **()max ()(,)Pr(|,)(')t t a s S o O V b b s R s a o a b V b γ∈∈??=+????∑∑ (0.20)
当然，有这样的公式并不代表就能按照MDP 中类似的求解方法进行下去，
最根本原因还是连续的信念状态空间造成的。
2.3.6 值函数表示形式
在MDP 中，值函数V (s )对应了有限个状态的评价值，而对于具有无限个信
念状态的POMDP 问题，也需要寻找一种值函数的有效表示方法。事实上，信念
状态下值函数有其本身的特性，即PWLC(piecewise linear and convex)性质，图
2.11
表示某策略树。
图 0.11 简单的PWLC 函数和它在信念空间上的划分
其对应的值函数是一个分段线性凹函数。由于初始0-step 的值函数总是由立
即收益确定的直线或者超平面(多个状态的情况)，而每次迭代对上一步的值函数
做的都是一个线性变化。因而，在有限步的POMDP 问题中，其值函数永远都可
以用一个分段线性凹函数表示(在无限步情况下，其极限的情况可能是曲线)。这意味着对每次值迭代，只需要找到有限个线段或者超平面来表示值函数即可。进而，由于组成值函数的每一个超平面都可记为信念状态空间的一个向量(维度即原问题的状态数)，它们分别与给定信念状态对应的向量做内积，取最大便可完全确定该信念状态处对应值函数的值。
做形式化的表示，每个构成值函数的超平面对应的向量可记为：
12()(),(),,()p p p n p V s V s V s α=<> ，
其中p 表示该向量对应的子策略。进而有：
()()()()()p p p s S
V b b s V s V b b p α∈=?=?∑。
那么，根据上述讨论可以知道，值函数可以定义为：()max ()t p P
V b b p α∈=?。 进而，也可以看到，对于一个t-step 的策略树，其最大的节点数为(||1)/(||1)t Ω?Ω?，其中||Ω表示每一层可能的观察数，每个节点所采取的行动有||A 种可能，因此，计算该策略的时间复杂度为：||1
||1(||)t Time O A Ω?Ω?=。策略树
的时间复杂度为一个指数函数，因此，普通的解决POMDP 的算法将会是一个NP-hard 问题。
2.4 POMDP 典型算法
POMDP 的求解算法一样可以按前向后向分类。在后向迭代类算法中， POMDP 的策略迭代算法并不会直接去对策略树进行，而是会用到有限状态机的概念。所谓的有限状态机事实上可以理解为构成满足PWLC 性质的的值函数的有限个向量。也因此，对于无限步的情况，当PWLC 不能保证时，用有限状态机来表示策略同样不一定可行，当然，求近似解的情况除外。Hansen(1997)描述过一种改进的针对POMDP 的策略迭代算法。事实上，策略迭代比值迭代算法主要多了策略评价的步骤，策略改进或者值函数改进的步骤却基本上相同，而后者是POMDP 算法中最特殊也是最复杂的部分。因此，下面的后向算法中我们主要来分析几个经典的值迭代算法。
2.4.1 值迭代算法
基于值迭代的POMDP 算法有很多，如Sondik/Monahan(1982)的列举算法，Sondik(1971)的One-Pass 算法，cheng(1988)的线性支持算法，wintess 算法(Littman M L, 1994)，增量裁剪算法(Anthony R C et al, 1997)及PBVI(Pineau J et al, 2003)
算法等。本章将对后三种算法做较详细的分析。而在此之前，我们首先对POMDP 问题按反向值迭代求解中几个关键问题点做更进一步的说明。
1. 解为非平稳策略
基于PWLC 性质来求解POMDP 的，需要保证在问题中PWLC 性质成立，通常所要求解的是一个t-step 的非平稳策略，而不是对应无限步问题的平稳策略。事实上，利用限定数目的超平面去逼近曲面的思想，无限阶段的问题仍是可以近似处理的，这里不再多做讨论。
2. 解的表示形式
做为解的一个非平稳策略在这里仍可以最简表示为多个值函数的形式，记为01,,,t V V V 。每个值函数都是由一个向量集合构成，对应前面所说的超平面。在这种形式下，设当前处在时刻t ，给定任意信念状态b ，按照公式(0.19)一步前瞻的贪婪策略由1t V ?便可得到当前应该选择的行动，获得观察o 后，又可按式(0.16)推知下一步所处的信念状态b’。事实上，解的形式通常会记录为一个t 层的策略树，这里每层即对应过程的一步或者说一个阶段。因为在求解的过程，这个策略树可以被同时构建出来。基于策略树上附加信息，在实际中可以更方便的查寻对应的行动执行，并经由观察不断的进入子树，重复这一过程即可。
3. 向量支配问题
图 0.12 向量被支配的几种情况的示例
做为迭代算法，在由1t V ?生成t V 的过程会涉及到一个向量支配问题，也是后面各个算法要处理的一个核心问题。我们知道，值函数是由一个向量的集合构成的。在做反向值迭代，计算构成t V 的向量时，每选定一个行动a ，观察o ，跟一个构成值函数1t V ?的一个向量α，都可以由(0.18)式计算出一个新的向量α’，这些向量α’都对应了一个策略，有其对应的行动a ，相应的观察o 及后继子策略所对应的向量α。有策略就存在最优及次优。某些向量对应的策略可能在整个信念空
b b b
间上都不是最优，我们称这些向量为被支配的向量，也就是说，任意给定一个信念状态b ，总存在另一个向量，高过该向量，如图2.12所示。在MDP 问题中，由于状态有限，在每个状态处进行max 操作，即可获得当前步的最优策略。而POMDP 中，由于是无限的信念空间，按照同样的反向值迭代方法，便必须处理向量支配问题。检测向量支配，也就对应了如何在整个连续的信念空间上排除次优策略这个问题。
2.4.1.1 Witness 算法
为了降低时间复杂度，就必须避免像列举法那样直接构建t-step 策略树对应向量集合的超集，然后进行支配向量的检测与裁剪。证据witness 算法事实上是引入了一种分而治之的思想，将此过程分步来做，从而避免了在最后同时处理所有向量所带来的高额的计算代价。算法核心部分代码见Alg.1和Alg.2。
Alg.4: solvepomdp(ε,M )
V 0:={}
t := 1
do{
foeach a in A
Q t a :=witness(V t-1,a, M )
V t :=purge(a a t Q ∪)
t:=t + 1
}until( diffenrence(V t-1,V t ) <=ε)
return V t
在算法中，任何一个构成值函数的向量都对应一个策略，t-step 值函数的最简向量集合表示即对应了t-step 的最优策略，witness 算法中其实同时存储了策略树及值函数向量。策略树主要记录向量对应的行动选择a ，并经由观察o 与后面的子树连接，这些通常是伴随着值函数向量的计算同时进行的，后面不再详述。witness 算法将t-step 值函数t V 及策略的的获取分为两大步，首先针对每个行动经由1t V ?计算对应的行动值函数a t Q 的最简向量集合，然后对各个a t Q 取并集并进行支配检测及裁剪得到t V 。而其中第一步a t Q 的计算是witness 算法最核心的部分。设值函数1t V ?由最简向量集合{}12,,,k ααα 表示，按照一般列举法，当行动固定
后，可以针对观察o 及后继策略(对应值函数1t V ?向量集合中的一个向量)的所有组合，计算得到各个对应的向量。然后裁剪去这些向量中被支配的向量，最终获得a t Q 。而witness 算法选择了另一种思路:
1. 先在一个任意信念状态点b 生成该处最优策略，放入一个中间集合?a t
Q 2. 然后不断试图寻找新信念状态点'b 做为证据点(witness)，证明在该处仍存在
比?a t
Q 中更好的策略 3. 计算'b 处的最优策略，并加入至?a t
Q 中 4. 重复步骤2直至找不到这样的证据点为止，此时有?a t
Q ＝a t Q 。 只针对某个给定信念状态b 计算()a t Q b ，有下列公式：
'1,()()(,)Pr(|,)()a t t a o s S o O
Q b b s R s a o a b V b γ?∈∈=+∑∑
()()()',1()(,)Pr |,max a t a o i i k o O Q b b a o a b b ργα≤≤∈=+?∑
(0.21)
其中，',a o b 为在信念状态b 执行行动a ，
获得观察o 后新的信念状态，可由公式(0.16)得到。此过程，可以可以获得信念状态b 处的最优策略，及经由不同观察o 连接不同子树(对应1t V ?中不同的α)。
Alg.5: witness(V t-1, a , M )
[](){}1
?1.:1,0,0,,0,,,a t t Q besttree a V ?= M ()
1,?2.:,,,a t t
b findb a V Q ?= M (){3.while b nil ≠ (){}1
??:,,,a a t t t Q Q besttree b a V ?=∪4. M ()
1?:,,,a t t
b findb a V Q ?=5. M }6.
?7.a t return Q
witness 选择这种方法的好处及需要说明的几点如下：
? 给定一个特定的信念状态点，计算()a t Q b 相对来说非常快速。
? 上述步骤中寻找witness 点可以使用线性规划(Linear Programming)完成，均
为多项式计算时间，也非常高效。
? 线性规划LP 找到证据信念状态点'b 的同时,会给出对应的一个该处比?a t
Q 策略集合中更优的策略(也对应了一个值函数向量)，但并不保证它就是'b 处最
优的策略，因此也才有上述步骤3的存在，这样始终保证保证?a t Q 为a t
Q 的一个子集，对?a t
Q 不再需要做支配检测。
北大随机过程课件：第 3 章 第 2 讲 马尔可夫过程
马尔可夫过程 ?1马尔可夫过程概论 6 1.1马尔可夫过程处于某个状态的概率 6 1.2马尔可夫过程的状态转移概率 6 1.3参数连续状态离散马尔可夫过程的状态转移的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 齐次切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 转移概率分布函数、转移概率密度函数 6 1.4马尔可夫过程状态瞬时转移的跳跃率函数和跳跃条件分布函数 瞬时转移概率分布函数 6 1.5确定马尔可夫过程Q矩阵 跳跃强度、转移概率Q矩阵 ?2参数连续状态离散马尔可夫过程的前进方程和后退方程 柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）福克-普朗克方程（状态概率的微分方程） 柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）?3典型例题 排队问题、机器维修问题、随机游动问题的分析方法 ?4马尔可夫过程的渐进特性 稳态分布存在的条件和性质 稳态分布求解 ?5马尔可夫过程的研究 1概论 1.1 定义及性质 1.2 状态转移概率 1.3 齐次马尔可夫过程的状态转移概率 1.5跳跃强度、转移概率Q矩阵 2 前进方程和后退方程 2.1 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 2.2柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程 2.2福克-普朗克方程 2.3柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程 3典型的马尔可夫过程举例 例1 例2 例3 例4，随机游动 4马尔可夫过程的渐进特性 4.1 引理1 4.2 定理2 4.3 定理
5马尔可夫过程的研究 6关于负指数分布的补充说明：
1概论 1.1定义：马尔可夫过程 ()t ξ： 参数域为T ，连续参数域。以下分析中假定[0,)T =∞； 状态空间为I ，离散状态。以下分析中取{0,1,2,}I ="； 对于T t t t t m m ∈<<<<+121"，若在12m t t t T <<<∈"这些时刻观察到随机过程的值是12,,m i i i "，则 1m m t t T +>∈时刻的条件概率满足: {}{}1111()/(),,()()/(), m m m m m m P t j t i t i P t j t i j I ξξξξξ++======∈" 则称这类随机过程为具有马尔可夫性质的随机过程或马尔可夫过程。 1.2 定义：齐次马尔可夫过程 对于马尔可夫过程()t ξ，如果转移概率{}21()/()P t j t i ξξ==只是时间差12t t ?=τ的函数,这类马尔可夫过程称为齐次马尔可夫过程。 1.３ 性质 马尔可夫过程具有过程的无后效性； 参数连续状态离散的马尔可夫过程的条件转移概率为： {}{}212112()/()0()/(),,P t j t t t P t j t i t t i j I ξξξξ′′=≤≤===≤∈ 马尔可夫过程的有限维联合分布律可以用转移概率来表示 {} {}{}{}32132211123(),(),()()/()()/()(),,,P t k t j t i P t k t j P t j t i P t i t t t i j k I ξξξξξξξξ=========≤≤∈ 马尔可夫过程的有限维条件分布律可以用转移概率来表示
马尔科夫及其应用(02129057)
马尔可夫过程及其应用 一． 马尔可夫过程的简介 马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。 二． 马尔可夫过程的一般概念 2.1定义 设有一随机过程X(t)，t ∈T ，若在t1,t1,…tn-1,tn(t1
马尔科夫决策过程MDPs
数学模型-MATLAB工具箱-马尔可夫决策过程-MDPs 前言： MDPs提供了一个数学框架来进行建模，适用于结果部分随机部分由决策者控制的决策情景。由于其在数学建模或学术发表中经常被用到，这里我们从实用的角度对其做一些归纳整理，案例涉及到大数据应用方面的最新研究成果，包括基本概念、模型、能解决的问题、基本算法（基于MATLAB或R工具箱）和应用场景。最后简单介绍了部分可观察马尔可夫决策过程(POMDP)。 由于相关的理论和应用研究非常多，这里我们只介绍最基本的东西（但是提供了必要而丰富的展开），并提供相应的参考文献和工具箱链接，以期帮助读者更快上手，至于更加深入的研究和更加细致的应用，则需要参照相关研究领域的学术文献。 一、基本概念 （1）序贯决策（Sequential Decision）[1]： 用于随机性或不确定性动态系统的最优化决策方法。 （2）序贯决策的过程是： 从初始状态开始，每个时刻作出最优决策后，接着观察下一时刻实际出现的状态，即收集新的信息，然后再作出新的最优决策，反复进行直至最后。 （3）无后效性 无后效性是一个问题可以用动态规划求解的标志之一。 某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各种状态及决策的影响，简单的说，就是“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。 （4）马尔可夫决策过程 系统在每次作出决策后下一时刻可能出现的状态是不能确切预知的，存在两种情况： ①系统下一步可能出现的状态的概率分布是已知的，可用客观概率的条件分布来描述。对于这类系统的序贯决策研究得较完满的是状态转移律具有无后效性的系统，相应的序贯决策称为马尔可夫决策过程，它是将马尔可夫过程理论与决定性动态规划相结合的产物。 ②系统下一步可能出现的状态的概率分布不知道，只能用主观概率的条件分布来描述。用于这类系统的序贯决策属于决策分析的内容。 注：在现实中，既无纯客观概率，又无纯主观概率。 客观概率是根据事件发展的客观性统计出来的一种概率。主观概率与客观概率的主要区别是，主观概率无法用试验或统计的方法来检验其正确性。 客观概率可以根据历史统计数据或是大量的试验来推定。 客观概率只能用于完全可重复事件，因而并不适用于大部分现实事件。 为什么引入主观概率：有的自然状态无法重复试验。如：明天是否下雨，新产品销路如何。 主观概率以概率估计人的个人信念为基础。主观概率可以定义为根据确凿有效的证据对个别事件设计的概率。这里所说的证据，可以是事件过去的相对频率的形式，也可以是根据丰富的经验进行的推测。比如有人说:“阴云密布,可能要下一场大雨!”这就是关于下雨的可能性的主观概率。主观概率具有最大的灵活性，决策者可以根据任何有效的证据并结合自己对情况的感觉对概率进行调整。 二、和马尔可夫链的联系
马尔可夫过程的发展和应用
H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：马尔可夫过程的发展与应用 院系：电子信息与工程学院 班级：通信一班 设计者： 学号： 指导教师：田波平 设计时间： 2009/12/17 马尔可夫链(过程)的发展与应用
1. 随机过程发展简述 在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。 一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 2. 马尔可夫过程发展 2.1 马尔可夫过程简介 马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。 2.2 马尔可夫过程的发展 20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程──扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径。
案例分析及计算
案例分析及计算（第二章） 案例分析 绿色化工公司的人力资源计划的编制 白士镝三天前才调到人力资源部当助理，虽然他进入这家专门从事垃圾再生的公司已经有三年了，但是面对桌上那一大堆文件、报表，他还是有点晕头转向：我哪知道我干的是这种事！原来副总经理李勤直接委派他在10天内拟出一份本公司5年的人力资源计划。 其实，白士镝已经把这任务仔细看过好几遍了。他觉得要编制好这个计划，必须考虑以下各项关键因素： 首先是公司现状。公司共有生产与维修工人825人，行政和文秘性白领职员143人，基层与中层管理干部79人，工程技术人员38人，销售人员23人。 其次，据统计，近5年来员工的平均离职率为4%，没理由会有什么改变。不过，不同类型员工的离职率并不一样，生产工人离职率高达8%，而技术和管理干部则只有3%。 再则，按照既定的扩产计划，白领职员和销售员要新增10%～15%，工程技术人员要增加5%～6%，中、基层干部不增也不减，而生产与维修的蓝领工人要增加5%。 有一点特殊情况要考虑：最近本地政府颁发了一项政策，要求当地企业招收新员工时，要优先照顾妇女和下岗职工。公司一直未曾有意地排斥妇女或下岗职工，只要他们来申请，就会按照同一种标准进行选拔，并无歧视，但也未特殊照顾。如今的事实却是，只有一位女销售员，中、基层管理干部除两人是妇女或下岗职工，而且都集中在最低层的劳动岗位上。 白士镝还有7天就得交出计划，其中得包括各类干部和员工的人数，要从外界招收的各业人员的人数以及如何贯彻政府关于照顾妇女与下岗人员政策的计划。 此外，绿色化工公司刚开发出几种有吸引力的新产品，所以预计公司销售额5年内会翻一番，他还得提出一项应变计划以备应付这种快速的增长。 讨论题 白士镝在编制这项计划时要考虑哪些情况和因素？ 他该制订一项什么样的招工方案？ 在预测公司人力资源需求时，他能采取哪些计算技术？ 在预测公司人力资源供给时，他能运用哪些计算技术？ 讨论题答案要点 编制人力资源计划要考虑的因素包括：企业内部⑴企业目标的变化。本例中要充分考虑企业扩产这一目标的改变，以及销售额5年内会翻一番这样一种变化。⑵员工素质的变化。本例中白士镝考虑到了员工数量的变化，而未考虑员工素质的变化。⑶组织形式的变化。本例未考虑。⑷企业最高领导层的理念。本例也未考虑。⑸与企业发展战略的匹配性。本例未考虑。企业外部⑴劳动力市场的变化。本例未考虑。⑵政府相关政策变化。本例考虑了政府要求照顾下岗职工和女职工的政策。⑶行业发展状况。本例也未考虑。 白士镝制定的招工方案至少应包括以下内容：⑴招聘的各类人员数量及招聘总数；⑵招聘的各类人员岗位描述；⑶招聘的各类人员要具备的资质条件；⑷招聘的地域和优先条件（本例中下岗人员和妇女优先）；⑸招聘程序等。 人力资源需求预测的方法有两大类：主观判断法和定量分析法。主观预测法包括经验推断法和团体预测法（包括德尔菲法和名义团体法）；定量分析法包括总体预测法、工作负荷法、趋势预测法、多元回归分析法等。本例中预计5年内企业的业务量（销售额）会翻一番，因此可以用总体预测法进行人力资源需求的定量预测。总体预测法的公式是： 生产率的增长率）（目前人均业务量计划期末业务的增长量 目前的业务量量计划期末需要的员工数+?+= 1
马尔可夫决策基础理论
马尔可夫决策基础理论 内容提要 本章介绍与研究背景相关的几类决策模型及算法。模型部分，首先是最基本的马尔可夫决策模型，然后是在此基础上加入观察不确定性的部分可观察马尔可夫决策模型，以及进一步加入多智能体的分布式部分可观察马尔可夫决策模型和部分可观察的随机博弈模型。算法部分，针对上述几类模型，我们均按照后向迭代和前向搜索两大类进行对比分析。最后，我们介绍了半马尔可夫决策模型及Option理论，这一理论为我们后面设计分等级的大规模多智能体系统的决策模型及规划框架提供了重要基础。 2.1 MDP基本模型及概念 马尔可夫决策过程适用的系统有三大特点：一是状态转移的无后效性；二是状态转移可以有不确定性；三是智能体所处的每步状态完全可以观察。下面我们将介绍MDP基本数学模型，并对模型本身的一些概念，及在MDP模型下进行问题求解所引入的相关概念做进一步解释。 2.1.1 基本模型 马尔科夫决策过程最基本的模型是一个四元组S,A,T,R(Puterman M, 1994)： ?状态集合S：问题所有可能世界状态的集合； ?行动集合A：问题所有可能行动的集合； ?状态转移函数T: S×A×S’→[0,1]: 用T(s, a, s’)来表示在状态s，执行动作 P s s a； a，而转移到状态s’的概率('|,) ?报酬函数R: S×A→R:我们一般用R(s,a)来表示在状态s执行动作a所能得到的立即报酬。 虽然有针对连续参数情况的MDP模型及算法，然而本文在没有特殊说明的情况都只讨论离散参数的情况，如时间，状态及行动的参数。 图2.1描述的是在MDP模型下，智能体(Agent)与问题对应的环境交互的过程。智能体执行行动，获知环境所处的新的当前状态，同时获得此次行动的立即
马尔可夫更新过程与半马尔可夫过程”的讨论
关于“马尔可夫更新过程与半马尔可夫过程”的讨论 前言 马尔可夫更新过程是马尔可夫过程和更新过程的综合与推广。马尔可夫更新过程以及由其产生的半马尔可夫过程，与马尔可夫过程、更新过程仅有紧密的联系，又有明显的区别。 马尔可夫更新过程是一个二维（包括状态和时间）随机过程，而半马尔可夫过程是由其产生的一维随机过程。半马尔可夫过程的状态逗留时间是一般分布，不具有马尔可夫性，但在各状态转移时刻具有马尔可夫性。 马尔可夫更新过程是马尔可夫过程的推广。如果忽略马尔可夫更新过程中的时间变量，就可得到离散时间马尔可夫链。如果半马尔可夫过程在各个状态的逗留时间都服从指数分布，就可得到连续时间马尔可夫链。 马尔可夫更新过程是更新过程的推广。状态逗留时间可以看作是受到一个马尔可夫链调制。如果忽略确切的状态或状态固定，即只有一个状态，就可得到更新过程。 本读书报告主要对马尔可夫更新过程和半马尔可夫过程的概念进行了分析，讨论了马尔可夫更新过程和半马尔可夫过程、马尔可夫过程、更新过程的区别与联系，并分析总结了马尔可夫更新过程的基本特性。 一、对相关定义的理解 1、马尔可夫更新过程
取值于状态空间{},是取值[)的随机变{}是马尔可夫更新过程，如果对于满足 []n n n n n X t T T j X P |,110011≤-==++ （1） 上式称作“半马尔可夫性”的联合分布与过去的历111100 马尔可夫更新过程是将连续时间马尔可夫过程的状态逗留时间分布由指数分布推广到一般分布，故马尔可夫更新过程中，序列{}只具有半马尔可夫性，即在状态转移时刻{}具有马尔可夫性。 2、与马尔可夫更新过程相联系的计数过程 由教材2.9节知道，更新过程是一计数过程，表示到时刻t 的更新次数。那么马尔可夫更新过程的更新次数应该如何描述呢？ 表示过程{}在(0,t]到达状态是马尔可夫更新过对应的更新次数。特别地，假设初始状态是k ,则转移到状态k 构成一次更新，则意味着每次转移到状态k 的连续时间间隔是独立同分布的。时间间隔叫作在状态的逗留时间。定义如下函数：
第章离散时间的马尔可夫链
第1章 离散时间的马尔可夫链 §1 随机过程的基本概念 定义1 设(,,)P ΩF 是概率空间，(, )E E 是可测空间， T 是指标集. 若对任何t T ∈，有 :t X E Ω→，且t X ∈F E ，则称{}(), t X t T ω∈是(, , )P ΩF 上的取值于(,)E E 中的随机过 程，在无混淆的情况下简称{(), }t X t T ω∈为随机过程，称(,)E E 为状态空间或相空间，称E 中的 元素为状态，称T 为时间域. 对每个固定的ω∈Ω，称()t X ω为 {}(), t X t T ω∈对应于ω的轨道或现 实，对每个固定的t T ∈，称()t X ω为E 值随机元. 有时()t X ω也记为 设 T ?R ，{}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数（σ代数流），即 ① t t T ?∈??F F ，且t F 是σ代数； ② , , s t s t T s t ?∈
部分可观察马尔可夫决策过程研究进展.
0引言 部分可观察马尔可夫决策过程 (partially observable Markov decision processes , POMDP 描述的是当前世界模型部分可知的情况下,智能体 Agent Agent 的例如, 足球运动员在球场上踢足球, 每个球员并不完全清楚他周围的所有状态, 当他向前带球的过程中, 他可能知道在他前面人的位置和状态, 但是可能不知道在他后面的其他队友的位置和状态, 此时他观察到的信息是不完整的, 但是一个优秀的足球运动员往往靠着一种感觉传给他身后的最有利的队员, 使其进行最有利的进攻, 过程就是部分可观察马尔可夫决策过程。在部分可感知模型中, 不仅要考虑到状态的不确定性, 同时还要考虑到动作的不确定性,这种世界模型更加能够客观的描述真实世界, 因此应用十分广泛。 本文综述了目前在 POMDP 领域的研究情况, 介绍了 MDP 的数学理论基础和决策模型, 以及一种典型的 POMDP 决策算法-值迭代算法, 介绍了目前现有的几种经典的决策算法, 并分析它们之间的优点和不足, 列举了一些 POMDP 常见的应用领域, 并进行了总结和展望。 1马尔可夫决策过程 Agent 每一个时刻都要做一些决策, 做决策时不仅要考虑甚至是其它 Agents (Markov decision process , MDP 的最优解, MDP 可以用一个四元组 < , >来描述 [1] :
:Agent 的行为集; , : ×:当 Agent 在状态 , 可能转移到状态的概率, 使用 | :→ 情况下 采用动作 -2116- -2117 - , Agent 使 Agent 选择的动作能够获得
人力资源实操案例(29例)
人力资源实操案例（29例），物超所值 案例一 绿色化工公司的人力资源计划的编制 白士镝三天前才调到人力资源部当助理，虽然他进入这家专门从事垃圾再生的公司已经有三年了，但是面对桌上那一大堆文件、报表，他还是有点晕头转向：我哪知道我干的是这种事！原来副总经理李勤直接委派他在10天内拟出一份本公司5年的人力资源计划。 其实，白士镝已经把这任务仔细看过好几遍了。他觉得要编制好这个计划，必须考虑以下各项关键因素： 首先是公司现状。公司共有生产与维修工人825人，行政和文秘性白领职员143人，基层与中层管理干部79人，工程技术人员38人，销售人员23人。 其次，据统计，近5年来员工的平均离职率为4%，没理由会有什么改变。不过，不同类型员工的离职率并不一样，生产工人离职率高达8%，而技术和管理干部则只有3%。 再则，按照既定的扩产计划，白领职员和销售员要新增10%～15%，工程技术人员要增加5%～6%，中、基层干部不增也不减，而生产与维修的蓝领工人要增加5%。 有一点特殊情况要考虑：最近本地政府颁发了一项政策，要求当地企业招收新员工时，要优先照顾妇女和下岗职工。公司一直未曾有意地排斥妇女或下岗职工，只要他们来申请，就会按照同一种标准进行选拔，并无歧视，但也未特殊照顾。如今的事实却是，只有一位女销售员，中、基层管理干部除两人是妇女或下岗职工，而且都集中在最低层的劳动岗位上。 白士镝还有7天就得交出计划，其中得包括各类干部和员工的人数，要从外界招收的各业人员的人数以及如何贯彻政府关于照顾妇女与下岗人员政策的计划。 此外，绿色化工公司刚开发出几种有吸引力的新产品，所以预计公司销售额5年内会翻一番，他还得提出一项应变计划以备应付这种快速的增长。 问题：
马尔科夫决策解决方案
马尔科夫决策解决方案 篇一：马尔可夫决策过程模型 3。马尔可夫决策过程模型 本节介绍了MDP模型来确定相互制约的服务商到客户系统调度策略,分配区分服务器优先级的客户。医药科学的MDP模型作为一个线性规划模型,以至于考虑与约束不可以添加扩展马尔可夫状态空间,从而允许有效的线性规划算法标识最佳相互制约政策。消费者要求达到的服务,都有一个关联的位置和分为高优先级或低优先级。服务器救护车所分化他们的答复和服务时间。我们可以捕捉时间从一个服务器是派去当它到达现场,捕捉的总时间和服务时间为客户服务,包括响应客户时间,对待客户现场,运输一个客户去医院,并返回到服务。目标是确定哪些服务器调度到达客户最大化平均水平.总奖励每阶段给予最低标准股本。回复一个电话的奖励是解释作为高优先级客户的可能性是对一个固定的时间内一个RTT目标函数已经成为最好的效率的性能的措施，在EMS系统。在模型中,客户根据到达泊松过程的速度。当一个客户到达时,其位置和优先级评估,和一家派往它可用的服务器。的模型使得几个假设: 1.如果客户和服务器可用,到达服务器必须派遣。 2。只有服务器-服务器位于他们家庭基站可以被派往客
户。 3。一个服务器分配给每个客户。 4。然后服务器返回服务客户。 5。服务时间不依赖于客户优先权和指数分布。 6。有一个零长度队列为客户。 我们将讨论如何修改模型 电梯的假设和假设一个强大的影响产生的政策。需要服务器被派往客户如果服务器是可用非理想的政策合理,因为这里的模型是出于EMS体系中,为所有客户提供服务是一个主要的公共服务系统的目标。此外,由于担忧的责任,而不是保留是一种能力,嵌入在EMS调度和政策实践,约束的服务提供者。为了简单起见,所有服务器维修后返回本国驻地客户,当他们说为其他客户服务可用,服务器不能动态改航。在实践中,服务器可以从以外的地点派遣他们家电台,当服务器完整的服务。以允许救护车被派遣本国驻地以外的位置,可以扩大到包括状态空间辅助服务器的位置相对应服务器完成服务。同样地,可以将状态空间扩大到包括辅助客户地点,对应一个服务器是谁前往客户允许服务器动态改航,直到它到达服务客户和位置,相对应的服务器正在接近尾声与另一个客户的服务。关于第五假设,尽管它将琐碎包含服务时间依赖于客户优先级,指数提升,因为我们假设是更难了必须扩大状态方程考虑non-Markov模型。我们承认这是一个强
马尔可夫决策过程 马尔可夫决策过程(Markov Decision Processes
马尔可夫决策过程 马尔可夫决策过程(Markov Decision Processes，MDP) 马尔可夫决策过程概述 马尔可夫决策过程是基于马尔可夫过程理论的随机动态系统的最优决策过程。马尔可夫决策过程是序贯决策的主要研究领域。它是马尔可夫过程与确定性的动态规划相结合的产物，故又称马尔可夫型随机动态规划，属于运筹学中数学规划的一个分支。 马尔可夫决策过程是指决策者周期地或连续地观察具有马尔可夫性的随机动态系统，序贯地作出决策。即根据每个时刻观察到的状态，从可用的行动集合中选用一个行动作出决策，系统下一步（未来）的状态是随机的，并且其状态转移概率具有马尔可夫性。决策者根据新观察到的状态，再作新的决策，依此反复地进行。马尔可夫性是指一个随机过程未来发展的概率规律与观察之前的历史无关的性质。马尔可夫性又可简单叙述为状态转移概率的无后效性。状态转移概率具有马尔可夫性的随机过程即为马尔可夫过程。马尔可夫决策过程又可看作随机对策的特殊情形，在这种随机对策中对策的一方是无意志的。马尔可夫决策过程还可作为马尔可夫型随机最优控制，其决策变量就是控制变量。 马尔可夫决策过程的发展概况 50年代R.贝尔曼研究动态规划时和L.S.沙普利研究随机对策时已出现马尔可夫决策过程的基本思想。R.A.霍华德(1960)和D.布莱克韦尔(1962)等人的研究工作奠定了马尔可夫决策过程的理论基础。1965年，布莱克韦尔关于一般状态空间的研究和E.B.丁金关于非时齐（非时间平稳性）的研究，推动了这一理论的发展。1960年以来，马尔可夫决策过程理论得到迅速发展，应用领域不断扩大。凡是以马尔可夫过程作为数学模型的问题，只要能引入决策和效用结构，均可应用这种理论。 马尔可夫决策过程的数学描述 周期地进行观察的马尔可夫决策过程可用如下五元组来描述：{S，(A(i)，i∈S，q，γ，V},其中S 为系统的状态空间（见状态空间法）；A(i)为状态i(i∈S)的可用行动（措施，控制）集；q为时齐的马尔可夫转移律族，族的参数是可用的行动；γ是定义在Γ(Г呏{(i，ɑ):a∈A(i)，i∈S}上的单值实函数；若观察到的状态为i，选用行动a，则下一步转移到状态j的概率为q(j│i，ɑ)，而且获得报酬γ(j，ɑ),它们均与系统的历史无关；V是衡量策略优劣的指标（准则）。 马尔可夫决策过程的策略 策略是提供给决策者在各个时刻选取行动的规则，记作π＝(π0，π1，π2，…，πn，πn ＋1…)，其中πn是时刻n选取行动的规则。从理论上来说，为了在大范围寻求最优策略πn，最好根据时刻n以前的历史，甚至是随机地选择最优策略。但为了便于应用，常采用既不依赖于历史、又不依赖于时间的策略，甚至可以采用确定性平稳策略。 马尔可夫决策过程的指标 衡量策略优劣的常用指标有折扣指标和平均指标。折扣指标是指长期折扣〔把t时刻的单位收益折合成0时刻的单位收益的βt(β < 1)倍〕期望总报酬；平均指标是指单位时间的平均期望报酬。 采用折扣指标的马尔可夫决策过程称为折扣模型。业已证明：若一个策略是β折扣最优的，则初始时刻的决策规则所构成的平稳策略对同一β也是折扣最优的，而且它还可以分解为若干个确定性平稳策略，它们对同一β都是最优的。现在已有计算这种策略的算法。 采用平均指标的马尔可夫决策过程称为平均模型。业已证明：当状态空间S 和行动集A(i)均为有限集时，对于平均指标存在最优的确定性平稳策略；当S和（或）A(i)不是有限的情况,必须增加条件，才有最优的确定性平稳策略。计算这种策略的算法也已研制出来。
《管理学》作业题目及答案
《管理学》题目与答案 《管理学》第一次作业（第1-4章） 一、单项选择题 1、在组织的日常管理中，制定目标及目标实施途径的是（ A ）职能。 A、计划 B、组织 C、领导 D、控制 2、在组织中直接从事某项工作或任务，不具有监督其他人工作的职责的人是（ D）。 A、基层管理者 B、中层管理者 C、高层管理者 D、操作者 3、亨利·明茨伯格提出的管理者角色理论认为，管理者扮演着（ D ）种角色。 A、3种 B、5种 C、9种 D、10种 4、认为管理者应该具有技术技能、人际技能和概念技能的学者是（ C ）。 A、亨利·明茨伯格 B、卢森斯 C、卡兹 D、法约尔 5、一般来说，高层管理者应该拥有更多的技能是（ C）。 A、技术技能 B、人际技能 C、概念技能 D、关系技能 6、任何管理在实际运行过程中都会受到确定性和不确定性因素的影响和作用，这是指（B）。 A、人本规律 B、权变规律 C、循环规律 D、择优规律 7、在管理的基本职能中，激励组织成员完成组织目标的是（C）。 A、计划 B、组织 C、领导 D、控制 8、认为管理就是界定企业的使命，并激励和组织人力资源去实现这个使命的是（ A ）。 A、德鲁克 B、西蒙 C、卡兹 D、法约尔 9、人性的两套系统性假设——X理论和Y理论是由（B）提出的。 A、泰罗 B、麦格雷戈 C、马斯洛 D、卡内基 10、《管理理论的丛林》、《再论管理理论的丛林》的作者是（A）。 A、孔茨 B、麦格雷戈 C、马斯洛 D、卡内基 11、“学习型组织”理论的提出者是（C）。 A、安索夫 B、孔茨 C、彼得·圣吉 D、亚当·斯密 12、提出了所谓理想的行政组织体系理论，被人们称之为“组织理论之父”的是（B）。 A、西蒙 B、马克斯·韦伯 C、卡兹 D、法约尔 13、最能说明古代人类生产组织和生产管理思想的实例的应该是（B）。 A、汉穆拉比法典 B、胡夫金字塔 C、罗马天主教会 D、古代印度孔雀王朝 14、企业流程再造一般分为（B）过程。 A、3 B、4 C、5 D、5 15、目标管理的最早提出者是（A）。 A、德鲁克 B、西蒙 C、卡兹 D、法约尔 二、多项选择题 1、现代教科书普遍认为管理的四项基本职能是（ABCD）。 A、计划 B、组织 C、领导 D、控制 E、人事
马尔科夫链与马尔科夫过程
关于马尔科夫链与马尔科夫过程 人生中第一次接触到马尔科夫链不是在随机过程的课上，是在大三时候通信大类开设的两门专业课上，一个是大名鼎鼎的通信原理，另一个是模式识别这门课。 1 关于马尔科夫脸的概念 在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：АндрейАндреевичМарков）得名，不愧是切比雪夫同志的弟子。其为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。 这个过程强调的性质，不光是独立性，还有记忆性。该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。但是绝对意义上的这个时候的状态与之前的一切毫无关系的案例十分少见，只能人为的创造满足这样性质的条件，不光是在机器学习的实际应用上，在随机过程中的更新过程或者是其他的某些过程都是这种解题思路，使用一定的数学上的处理进行一定的转化，从而使得后来得到的序列可以适应马尔科夫链的相关性质。 在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。随机漫步就是马尔可夫链的例子。随机过程中反映这样的一个变化往往使用一个矩阵进行表示。 随机漫步（其实就是随机过程）中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。 2 一个经典的实例 概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。
马尔科夫链决策方法
马尔科夫预测与决策法
马尔科夫预测与决策法——是应用随机过程中马尔科夫链的理论和方法研究分析有关经济现象变化规律并借此对未来进行预测和决策的一种方法。 池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假设有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去。在初始时刻t ，它在第二张荷叶上。在时 ，它有可能跳到第一张或者第三张荷叶上，也有可能在原刻t 1 地不动。我们把青蛙某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态。这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态有关，与它以前所处的状态无关。实际上青蛙在一段时间内在荷叶间跳或不跳的过程就是一个马尔科夫过程。 2010年6月6日Sunday2
马尔可夫性与转移概率矩阵 一个过程或系统在未来时刻的状态只依赖于现状时刻的状态，而与以往更前的时刻无关，这一特性就成为无后效性（无记忆性）或马尔可夫性（简称马氏性）。换一个说法，从过程演变或推移的角度上考虑，如果系统在时刻的状态概率，仅依赖于当前时刻的状态，而与如何达到这个状态的初始概率无关，这一特性即马尔可夫性。 2010年6月6日Sunday3
设随机变量序列，{X ,X2, ···,X n, ···},它的状态集合记为 1 S= {s1,s2 , ···, s n, ···} 若对任意的k和任意的正整数i , i2 , ···,i k, i k+1,有下式成 1 立： P{X k+1= s ik+1| X1= s i1, X2= s i2, ···X k= s ik} = P{X k+1= s ik+1| X k= s ik} ,X2, ···,X n, ···} 为一个马尔可夫则称随机变量序列{X 1 链（Markov chains）。 2010年6月6日Sunday4
马尔科夫过程在金融中应用文献综述完整版
马尔科夫过程在金融中应用文献综述完整版 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
【摘要】随着我国经济的持续发展，大众对于股票投资、外汇投资、基金投资等的热情也日益高涨。但是如股票等投资产品，其短期价格是市场供求所决定，因此股票的价格变得难以把握。特别是从去年年末股市从熊市转为牛市，今年六月份又发生的大规模的股灾。这时我们需要一种科学而简便的方法来预测股价，为我们投资进行指导。小组选择了相对简单的马尔科夫过程来对这些金融投资产品的价格进行分析。马尔科夫过程是一类随机过程，它的原始模型马尔科夫链表明事物状态由过去到现在、由现在到将来，一环接一环，像一根链条。在预测领域，人们用其对预测对象各个状态的初始分布和各状态间的转移概率进行研究，描述状态的变化趋势，并由此来预测未来。 【关键字】马尔科夫过程股票基金汇率投资分析 （一）马尔科夫过程的理论简介 1.马尔科夫链 若随机变量序列{x n,n=0,1,2……}的参数为非负整数，且具有马尔科夫性，则称这一过程为马尔科夫链。马尔科夫链是参数t只取离散值的马尔科夫过程，也是最简单的一种马氏过程。 2.状态和状态转移概率矩阵 状态是指客观事物可能出现或存在的状况，假如客观事物有X1,X2, …,Xn共n种状态，且每次只能处于一种状态，则每一种状态之间都有n个转向(包括自身)，即：将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。记{0,1,2,…}为该过程的状态空间，记为S。将事物n个状态的状态的转移概率依次排列，可以得到一个n行n列的矩阵≥0 (i,j∈S) (i∈S)
称P为状态转移概率矩阵。若一步转移概率矩阵为P，则k步转移概率矩阵为p(k): p(k)= p(k-1)p=ppp…p.(k个p相乘) 3.预测模型 s(k+1)= s(k)p s(k)是预测对象t=k时的状态向量；p为一步转移概率矩阵；s(k+1)是预测对象在 t=k+1时的状态向量，也就是预测结果。 4.马氏链的稳定状态 稳定状态：经过较长一段时间后。马氏链将逐渐趋于一种状态，它与初始状态无关，在n+1期的状态概率与前一期的状态概率相等，也就是s(n+1)= s(n)成立。 马氏链达到稳定状态时的状态概率称为稳定状态概率，也称为稳定概率。它表示在稳定状态下，预测对象处于各个状态的概率。 5.马尔科夫链预测模型所需满足的条件 （1）过程的随机性。即在系统内部中从一个状态转移到另一个状态是随机的。 （2）过程的无后效性。即转移概率只与当前的状态有关，与过去的状态无关。 （3）转移概率矩阵稳定保持不变。即一个时期向下一个时期转移状态的转移概率矩阵是不变的，均为一步转移概率矩阵。 （4）预测对象的状态是有限的或可列的，而且必须在可列个时间发生状态转移。 （5)在预测过程中对预测对象用同一标准划分的各状态应相互独立。 （6）划分的状态应该包括预测对象全部可能出现的状况。 （二）案列分析 一．.利用马尔科夫过程预测当前股票走势
马尔可夫决策过程模型
3。马尔可夫决策过程模型 本节介绍了MDP模型来确定相互制约的服务商到客户系统调度策略,分配区分服务器优先级的客户。医药科学的 MDP模型作为一个线性规划模型,以至于考虑与约束不可以添加扩展马尔可夫状态空间,从而允许有效的线性规划算法标识最佳相互制约政策。消费者要求达到的服务(病人),都有一个关联的位置和分为高优先级(H)或低优先级(L)。服务器救护车所分化他们的答复和服务时间。我们可以捕捉时间从一个服务器是派去当它到达现场,捕捉的总时间和服务时间为客户服务,包括响应客户时间,对待客户现场,运输一个客户去医院,并返回到服务。目标是确定哪些服务器调度到达客户最大化平均水平.总奖励每阶段给予最低标准股本。回复一个电话的奖励是解释作为高优先级客户的可能性是对一个固定的时间内一个RTT目标函数已经成为最好的效率的性能的措施，在EMS系统(McLay和马约加2010)。在模型中,客户根据到达泊松过程的速度。当一个客户到达时,其位置和优先级评估,和一家派往它可用的服务器。的模型使得几个假设: 1.如果客户和服务器可用,到达服务器必须派遣。 2。只有服务器-服务器位于他们家庭基站可以被派往客户。3。一个服务器分配给每个客户。 4。然后服务器返回本站服务客户。 5。服务时间不依赖于客户优先权和指数分布。 6。有一个零长度队列为客户。
我们将讨论如何修改模型 电梯的假设和假设一个强大的影响产生的政策。需要服务器被派往客户如果服务器是可用非理想的政策合理,因为这里的模型是出于EMS体系中,为所有客户提供服务是一个主要的公共服务系统的目标。此外,由于担忧的责任,而不是保留是一种能力,嵌入在EMS调度和政策实践,约束的服务提供者。为了简单起见,所有服务器维修后返回本国驻地客户,当他们说为其他客户服务可用,服务器不能动态改航。在实践中,服务器可以从以外的地点派遣他们家电台,当服务器完整的服务。以允许救护车被派遣本国驻地以外的位置,可以扩大到包括状态空间辅助服务器的位置相对应服务器完成服务(见§3.1的讨论状态空间)。同样地,可以将状态空间扩大到包括辅助客户地点,对应一个服务器是谁前往客户允许服务器动态改航,直到它到达服务客户和位置,相对应的服务器正在接近尾声与另一个客户的服务。关于第五假设,尽管它将琐碎包含服务时间依赖于客户优先级,指数提升,因为我们假设是更难了必须扩大状态方程考虑non-Markov模型。我们承认这是一个强烈的假设。 队列长度为零的假设需要更深一层的讨论。请注意,客户只是失去当所有的服务器很忙,因此每种类型的客户丢失的速度相同进入系统。从温顺的角度看来,顾客队列的状态模型变得难以管理和调度,政策可能取决于客户的设置队列中。我们认为,长度为零的假设