非光滑混沌系统的Lyapunov指数计算

不光滑混沌系统的Lyapunov指数计算

作者姓名：王欣欣

指导教师：张玺麟副教授

单位名称：电气自动化研究所

专业名称：自动化

清华大学

2006年6月

Computation of Lyapunov Exponents of Non-smooth Chaotic Systems

by Wang Xinxin

Supervisor: Associate Professor Zhang Xilin

Tsinghua University

June 2006

清华大学本科毕业设计（论文） 毕业设计（论文）任务书

毕业设计（论文）任务书

毕业设计（论文）题目：

不光滑混沌系统的Lyapunov指数计算

设计(论文)的基本内容：

1.对混沌理论和Lyapunov指数相关信息进行研究；

2.仔细研究相空间重构理论和求Lyapunov指数的算法；

3.确定算法，并进行编程；

4.求解Chua电路和振动系统的Lyapunov指数，并分析是否混沌；

5.总结全文。

毕业设计（论文）专题部分：

题目：

设计或论文专题的基本内容：

学生接受毕业设计（论文）题目日期

第 1 周

指导教师签字：

2006年3月9日

不光滑混沌系统的Lyapunov指数计算

摘要

混沌理论是20世纪三大科学革命之一。从理论出现到现今，随着计算机技术的飞速前进，以及越来越多的学者关注混沌理论，混沌理论得到了巨大的发展。其中，判断系统是否混沌的一个非常重要的指标就是Lyapunov指数。可以比较容易的判断系统是否混沌。

首先本文介绍了混沌理论和Lyapunov指数，包括它们的定义、发展史及判断方法。

然后本文对重构相空间和Lyapunov指数进行了着重介绍，包括它们的定义，性质和算法。本文用到的计算算法是C-C方法和Wolf方法（C-C法计算嵌入维数和延迟时间，Wolf方法计算最大Lyapunov指数），并且进行了相应的编程工作。

然后本文对Chua电路和振动系统进行了Lyapunov指数计算。再改变参数，计算Lyapunov指数，分析出系统不同参数下的混沌性。说明了混沌系统敏感依赖于参数和初始值。

最后总结全文，对所做工作和课题进行了展望。

关键词：Lyapunov指数，重构相空间，Chua电路，混沌，Wolf算法

Computation of Lyapunov Exponents of Non-smooth Chaotic Systems

Abstract

Chaos theory is considered as the one of three scientific revolutions in 20th century. From the time that chaotic theory appeared to now, as the rapid development of computer technology, more and more scholars concerned about the chaos theory, and chaos theory has been so tremendous development.Where, a very important indicator to judge whether the system is chaotic is the Lyapunov exponent. It can be easier to judge whether the system is chaotic.

First, this dissertation introduces chaos theory and the Lyapunov exponents, including their definition, history, and diagnosis method.

Then, this article introduces the reconstruction of phase space and Lyapunov exponents detailedly, including their definition, character and algorithms. Algorithms used in this dissertation are Wolf and CC method (CC method is used to calculate embedding dimension and delay time, Wolf is used to calculate the maximum Lyapunov exponent), and these algorithms are programmed.

And then, this dissertation calculates Lyapunov exponents of Chua circuit and vibration system. Then changing the parameters, calculate the Lyapunov exponents, judge that systems with different parameters is chaotic. Illustrates the sensitivity of that chaotic systems dependent on the parameters and initial value.

Finally, conclude this dissertation, prospect this thesis.

Keywords: Lyapunov exponent, phase space reconstruction, Chua circuit, chaos, Wolf method

目 录

毕业设计（论文）任务书........................................................................................................I 摘要...........................................................................................................................................II ABSTRACT...........................................................................................................................III 第一章绪论.........................................................................................................................- 1 -1.1背景和意义 (1)

1.2混沌理论和相关知识 (1)

1.2.1混沌的定义..........................................................................................................- 1 -

1.2.2混沌发展史..........................................................................................................- 2 -

1.2.3混沌的基本特征..................................................................................................- 6 -

1.2.4混沌的判别方法..................................................................................................- 7 - 1.3 Lyapunov指数. (7)

1.3.1 Lyapunov指数的现状.........................................................................................- 7 -

1.3.2 Lyapunov指数的性质.........................................................................................- 8 - 1.4本文内容介绍.. (9)

第二章相空间重构及其参数选择....................................................................................- 11 -2.1概述. (11)

2.2相空间重构相关理论 (11)

2.2.1相空间重构理论的概述....................................................................................- 11 -

2.2.2 Taknes定理........................................................................................................- 12 - 2.3重构相空间参数的求取.. (13)

2.3.1求取时间延迟τ的方法....................................................................................- 13 -

2.3.2求取嵌入维数m的方法...................................................................................- 14 -

2.3.3同时求取嵌入维数m和时间延迟τ的方法（C-C法）................................- 14 - 2.4本章小结.. (18)

第三章 Lyapunov指数....................................................................................................- 19 -3.1Lyapunov指数的定义.. (19)

3.2关于Lyapunov指数的性质 (21)

3.3计算Lyapunov指数的方法 (23)

3.4本章小结 (24)

第四章具体算法及实现...................................................................................................- 25 -4.1微分方程求解 (25)

4.2C-C算法的具体实现 (26)

4.2.1子程序设计：....................................................................................................- 27 -

4.2.2主程序设计........................................................................................................- 29 - 4.3Wolf算法的具体实现.. (31)

4.4本章小结 (32)

第五章不光滑系统的Lyapunov指数和分析..................................................................- 33 -5.1 Chua电路及其Lyapunov指数计算 (33)

5.1.1 Chua电路介绍...................................................................................................- 33 -

5.2.2 Chua电路的化简...............................................................................................- 36 -

5.3.3不同参数下Chua电路的混沌性......................................................................- 36 - 5.2振动系统的Lyapunov指数计算 (40)

5.2.1振动系统的介绍和化简....................................................................................- 40 -

5.2.2振动系统的Lyapunov指数计算......................................................................- 42 - 5.3本章小结.. (44)

第六章总结与展望...........................................................................................................- 45 -参考文献.............................................................................................................................- 47 - 致谢.....................................................................................................................................- 51 -

第一章 绪论

1.1背景和意义

随着科技的发展，混沌理论被越来越多的人熟知，尤其是计算机技术的飞速发展，计算机求解复杂方程时，精度和速度都达到了理想要求，而且混沌理论在越来越多的领域都有涉及，所以混沌的发展是前途光明的。

混沌理论作为一个先进课题，已经得到许多领域专家的重视。专家和学者对混沌现象的研究越来越深入，对原来混沌存在的无奈到现今的利用混沌和控制混沌，混沌被越来越多的学者关注和研究。对于一个系统的混沌性判断有很多方法，本文主要是从Lyapunov 指数方面进行研究和判断。因为使用Lyapunov 指数来判断系统混沌性是现今比较流行而且比较可靠的方法，而且技术纯熟，对于初学者非常适合。

由于计算机技术的飞速发展，使得用数值方法研究混沌问题成为可能，其中在计算机上采用数值方法计算动力系统的Lyapunov 指数就是一个典型例子。在计算Lyapunov 指数的过程中，原来困扰人们的计算时间和复杂度问题由于现今计算机的快速计算能力而显得不是那么重要，现在更关心的是计算方法的可靠性和计算精度的问题。

不光滑系统是一类典型的非线性系统，而其中有许多系统都是混沌系统，并且广泛存在于电路、电力、机械、振动和摩擦系统中。已经证实，这类系统存在复杂的非线性现象，在一定的条件下出现混沌运动。因此研究Lyapunov 指数对不光滑系统的分析有着十分重要的意义。

鉴于以上的情况，Lyapunov 指数的计算是一个本科生可以用来研究的课题。所以本文主要是对Lyapunov 指数相关计算算法的研究和分析，并且对部分不光滑混沌系统的Lyapunov 指数计算和分析。

1.2混沌理论和相关知识

1.2.1混沌的定义

现今，大多数人认为混沌的定义可以用Li.Yorke 定理来定义，描述如下：

设有连续单峰映射:f I I →，存在a I ∈使得()b f a =，()c f b =，()d f c =且d a b c ≤<<或d a b c ≥>>，f 映射按Li.Yorke 定义。

若f 映射的Schwaraz 导数<0，即

2()3()()()0()2()

m n f x f x Sf x f x f x =?<′′ (1.1) 也是关于周期轨道，于是得到下面结论：

(1) 最多有一条稳定的周期轨道；

(2) 不收敛于稳定轨道的点集的测度为零。

其实混沌的定义是有多种的，不过根本上是相近的，虽然逻辑上不一定等同。以下是一种较直观的定义。

设V 是一个紧度量空间，连续映射:f V V →如果满足下列三个条件：

(1) 敏感地依赖于初值：存在0δ>，对于任意的0ε>和任意x ∈V ，在x 的ε邻域内存在y 和自然数n ，使得((),())n n d f x f y δ>。

(2) 拓扑传递性：对于V 上任意～对开集X ，Y ，存在k >0，使()fk x Y φ≠I 。

(3) f 的周期点集在V 中稠密。

所有称f 是在Devaney 意义下V 上的混沌映射或混沌运动。

对初值敏感地依赖，意味着在f 的作用之下两者的轨道都可能分开较大的距离，即使X ，Y 离得多么近。且在每个点X 附近都可以找到离它很近，但由于f 的作用最终产生严重偏离的点Y 。对这样的f ，计算它的轨道（使用计算机辅助计算），初始误差无论多么微小，计算结果终将会在若干次迭代后失效。

在f 的作用之下，任一点的邻域将“散变”整个度量空间V ，这就是拓扑传递性。这也道出f 不可能细化或分解成在f 下相互影响的两个子系统。

上述两条一般说来是随机系统的特征，但第三条——周期点的稠密性，又表明系统具有很强的确定性和规律性，绝非一片混乱，形似紊乱而实则有序。

1.2.2混沌发展史

非线性理论的一个重要分支既是混沌，混沌揭示了社会生活中和科学研究中存在的一种复杂现象的本质特性。它是确定性与随机性的统一、有序与无序的统一，人们因此对大自然有了更深的理解。M. Shlesinger 、J. Ford 等都是混沌科学的拥护者，他们认为，混沌科学是20世纪物理学上可与相对论和量子力学并称的三次大革命。而且提出：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻象，量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦，而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式的可预测性的幻想。”

一般认为对经典动力学概念的质疑引起了混沌研究，它的标志性事件有：法国学者庞加莱研究天体物理学三星体问题的时候发现出现随机结果和英国物理学家麦克斯维

发现的物理系统可能对初值敏感。随着社会进步和科学发展，学者们深入研究，又认识到，以拉普拉斯和牛顿为代表的经典确定性理论的正确性是受到一定限制的。19世纪初，微观世界研究需要应用薛定谔方程，并非牛顿力方程；随后科学家们又发现高速运动规律不能再用牛顿定律来解释了，所有近乎于光速的运动都需要用相对论方法来进行研究。20世纪后期，伴随着海森堡不确定性关系的建立以及量子力学的蓬勃发展，最终证实了拉普拉斯决定论是失败的。

20世纪中期，前苏联概率论大师科尔莫哥洛夫在探索运动稳定性过程中发表了《哈密顿函数中微小变化时条件周期运动的保持》一文，被认为是KAM定理的雏形。而后其学生Arnold和瑞士数学家J. Moser分别对此给出了严格的数学证明，此项研究成果为明确不但耗散系统中存在混沌现象而且保守系统中也存在混沌铺平了道路。

1963年，Lorenz[1]著名论文《确定性的非周期流》面世，文中指出：三阶非线性自治系统中可能会出现混乱解，将近40年之后，《自然》杂志上发表论文《洛伦兹吸引子存在性的证明》从数学上严格证明了Lorenz吸引子在自然界中的存在。

1964年，法国天文学家Henon从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，给出了著名的Hónon映射[2]，给出了一个最简单的吸引子，并用它建立了“热引力崩坍"理论，解释了太阳系的稳定问题。

1970年，数学家David Ruelle和Floris Takens从RenóThorn的观点和Smale与其他数学家的研究成果中得到启发，提出了一种逼近法，用以研究湍流中的振荡现象，发现其中有奇异吸引子。第2年，两位学者联名发表了著名论文《论湍流的本质》提出应用混沌来描述湍流形成机理的新观点，论文通过严格数学分析，发现了动力系统存在一套特别复杂新型吸引子，描述了其几何特征，并证明了与此吸引子有关的运动为混沌运动，发现了第一条通向混沌的道路。

1975年，美国学者Yorke和李天岩在美国《数学月刊》发表了著名的论文《周期三意味混沌》，其关于混沌的Li. Yorke定理震动了整个学界。

1976年，美国数学生态学家May R在《自然》杂志上发表了论文《具有复杂动力学过程的简单数学模型》，讨论了Logistic方程，以单峰映射为主要研究对象，系统分析了方程动力学特性，绘制了分岔轮廓图，其对周期窗口、各种分岔现象、不动点谐波等都进行了较为详尽的论述[3]。

1978年，Feigenbaum发现了倍周期分岔过程中间距的几何收敛率，并发现了著名的Feigenbaum常数，即几何收敛率以约4.6692的倍数收敛。另外，Feigenbaum还将标

度性、重正化群方法等思想、概念引入混沌研究中来，计算了一组新的普适常数，建立了一维映射的混沌普适理论，阐明了如何进行尺度变换，第一次给出了走向混沌的具体道路，将混沌研究由定性分析推向定量分析，成为混沌学研究史上重要的里程碑。

进入20世纪80年代以来，Mandelbrot利用现代计算机绘制出了第一张混沌图像；而后经过Takens等杰出的工作，证明了可以利用系统一维时间序列对系统整个相空间进行重构；继他们之后Grassberger和Procaccia应用相空间重构技术分析了通过实验得到的系统时间序列的吸引子几何不变量以及统计特征量，将混沌理论由理论、思想层面对人们的启迪引入到实际应用阶段。

随着科学技术不断的进步与发展以及大量科学家不懈地努力，进入到上世纪90年代以来，混沌已经被广泛应用于物理、化学、经济、社会、生物以及医学等各个领域。伴随着混沌理论成功应用于各学科，其对各学科深入理解所需研究的问题、学科理论与实践的发展起到了积极促进作用；反过来，各学科随着混沌思想的引入，也对混沌学本身的发展提出了更高的要求，二者相互促进，不断发展。在保密通信领域混沌应用理论，如美国已经利用激光混沌成功地进行了5里长的通信试验，此外数字图象的混沌加密解密技术也方兴未艾[4,5]；混沌研究对原子能科技也有积极的促进作用，比如热核聚变中高温等离子体问题中的强流质子束产生的复杂的束晕——混沌现象，会引起严重的放射性剂量超标，利用混沌控制对此问题进行解决以初现曙光[6]；强激光系统由于其具有混沌特性大大耗散了激光能量，导致激光功率上不高，因此非常需要进行激光混沌控制[7]；化工系统中可以将系统导入混沌区域，利用混沌系统具有遍历性的特点，充分地进行多种物质的混合，节约能源[8]；在医学工程上，有学者利用混沌治疗神经系统疾病等“动态病"，也有人利用混沌控制方法探索对心脏等器官进行控制[9]，另外混沌还被广泛应用于生物医学工程诸如人脑奥秘等方面的探索中；在系统识别领域，针对混沌系统利用混沌动力学指标研究系统状态特性，如碰摩转子系统的混沌动力特性研究[10]，多相流体混合流动问题中某指标时间序列混沌特性研究[11]，对复杂交通流模型混沌动力特性进行研究[12]，也有学者研究大型输变电电力系统混沌模型[13]，也有文章报道应用混沌动力学研究江河湖泊水网[14]、海洋流动模型[15]；对在振荡非线性电路研究领域中有学者利用混沌理论研究电路特性，并探索对其进行混沌控制[16]。

混沌振动理论在振动工程和声学领域也被广泛研究。1979年，Moon和Holmes通过两块磁铁间铁磁梁的研究观察到磁弹耦合悬臂梁的混沌振动现象；1983年，Shaw等更进一步研究了具有非线性边界条件梁的混沌振动实验；同年，Shaw与Holmes证明了

在非对称性恢复力分段线性系统中存在混沌振动现象；1988年，Kisliakov与Popov[17]则在对称性恢复力的分段线性系统中观察到了混沌振动现象；1990年，陈予恕等采用受纵向激励梁结构模型模拟一类非线性Mathieu方程的亚谐共振，并对此亚谐分岔特性进行了实验研究；1997年，季进臣，陈予恕等对分别采取固定、滑动承受的轴向简谐载荷下的屈曲梁进行了非线性响应分析，通过混沌实验研究，给出了无量纲一阶模型的运动方程。张淑芹等[18]研究自激励边界反馈下梁混沌动力学行为，通过调节增益常数观察到了振动能量经历慢周期、快周期、混沌，再回到周期振动的过程。胡春林等[19]通过研究非线性弹性和线性粘弹性桩系统本身关系，通过数值模拟观察到了此系统中的混沌振动现象。金基铎等[20]通过研究输送脉动流管道的几何非线性和材料非线性问题，观察到系统在特定参数下会出现围绕不同平衡点的周期和混沌运动现象，并发现可并周期分岔与阵发混沌运动。欧阳茹荃等[21]以船舶非线性横摇运动模型为研究对象，通过变换各参数，观察到吸引子共存、对称性破缺、倍周期分岔以及混沌运动等现象。朱石坚等[22]应用无反馈混沌控制技术，通过选取适当参数设计混沌隔振系统。韩正铜等[23]利用实验研究磨削过程非线性振动以及混沌振动。混沌当然也被广泛应用于声学问题的研究中，首当其冲的就是应用混沌理论研究语音信号[24]，还有学者研究利用强噪声激起粉尘管道中混沌运动从而令粉尘能够更好的沉降，有人通过测量舰船辐射噪声信号时间序列研究其混沌动力特性[25]，也有人利用非线性减振、隔振系统在某些参数条件下具有混沌动力特性，利用混沌系统响应具有频域平坦等特点对舰船进行减振降噪研究[26]，响应也可出现规则占优和随机占优等非混沌运动此外有学者研究水声测量系统具有的混沌动力特性以及利用混沌理论进行抗混响技术研究[27]。对于工业产品的设计制造，混沌理论也大有用武之地[28]。日本三洋公司的“混沌暖风机”，利用对流风扇人为制造混沌室温扰动，改善其不均匀性，提高舒适感；日本松下公司的“混沌洗碗机”、韩国LG公司的“混沌空调机”等家电也都是利用混沌具有遍历性，服务于人们的日常生活。此外，需要浓书一笔的是上海和徐州工程机械厂相继研发的“重型混沌振动压路机”，巧妙利用了混沌振动的宽频特性，提高工效，为世界首创。除此以外，混沌振动原理在选矿等工程实践中被用来对特定目标进行有效识别与筛选。

从本质上讲，混沌是直接研究人类所看得见摸得着的宇宙，以及在人类本身的尺度大小差不多的对象中发生的过程，所有日常生活经验与这个世界的真实图像都是研究混沌时所探索的目标。因此，混沌是一种关于过程的科学而不是关于状态的科学，是关于演化的科学而不是关于存在的科学。今天的科学认为，混沌无处不在。一支上翘的香烟，

烟纹袅袅涡卷；在风中旗帜前后拍动；滴水的自来水龙头，水滴的花样由稳态变为随机；在气候的变化中，在飞行中的飞机的性态中，在高速公路上汽车拥挤的性态中，在地下油管内油的流动性态中，都会出现混沌。这些性态都遵循着同一条新发现的定律或同一类新发现的定律。

混沌中蕴含着有序，有序的过程也可能出现馄沌。大自然就是如此纵横交错，如此复杂，包含着无穷的奥妙。因此，对混沌科学的进一步研究将使人类对大自然增加更深刻的理解。

上述对各学科、各工程领域的混沌学研究介绍也许只是管中窥豹，但足以充分说明混沌理论正在，并将持续地改变人类的思维观念和科学世界，在此以著名物理学家J.Ford 的观点“混沌是20世纪物理学第三次大革命，前两次分别是量子力学和相对论”结束对混沌动力学研究进展的介绍。

1.2.3混沌的基本特征

通俗的讲，所谓混沌，就是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则的，类似随机的现象。由于人们还没有完全彻底的认识混沌，因此，到目前为止还没有一个统一的被大家公认的混沌定义。它的定常状态不是通常概念下确定性运动的三者状态：静止（平衡）、周期运动和准周期运动，而是局限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运动。与其他复杂现象相区别，混沌运动有着自己独有的特征，主要有：

(1) 有界性：混沌系统是有界的，其轨线始终局限于一个确定区域（称为混沌吸引域），因此，从整体上说它是稳定的；

(2) 遍历性：混沌运动在其混沌吸引区域内是各态历经的，即在有限时间内轨道经过混沌区域内的每个状态点；

(3) 内随机性：混沌系统是确定性动力系统，但从长时间看它产生类似随机的运动状态，这是系统内部自发产生的，称为内随机性．与通常的随机性不同，它是由系统对初值的敏感性造成长时间的不可预测性，体现了混沌系统的局部不稳定性质；

(4) 统计性：混沌系统具有正的Lyapunov指数和连续功率谱特征；

(5) 分维性：混沌运动的状态具有多叶、多层结构且具有无限层次的自相似结构；

(6) 普适性：混沌运动具有内在规律性，如Feigenbaum常数；

(7) 标度性：混沌运动是无序中的有序。

1.2.4混沌的判别方法

由于混沌运动本身的复杂性，还没有一种合适的解析方法对其进行研究，因此对于混沌运动判定和识别主要是采用数值方法。目前判断或预报混沌出现的主要数值方法有：

(1) 运动轨迹和奇怪吸引子结构分析，利用数值计算结果去观察运动轨迹和奇怪吸引子结构的不规则性。

(2) 功率谱，如果出现连续功率谱，则认为出现混沌。

(3) Poincare映射，将连续的动力系统化为离散动力学系统去研究，如果Poincare 映射的结果不是有限的点集合或简单曲线，混沌就可能存在。

(4) Lyapunov指数，用来度量运动对初始条件的敏感程度的量化指标。研究两个很相近轨道平均指数发散率。最大Lyapunov指数大于零可以作为混沌存在的一个最可靠依据。

在实际分析中判定一种运动形态是否为混沌运动时，可以使用上面的几种方法。本文使用的是Lyapunov指数方法来判断系统的混沌特性。

1.3 Lyapunov指数

1.3.1 Lyapunov指数的现状

对初始条件极为敏感是混沌运动的基本特点。两个很靠近的初始值所产生的轨道，但是随着时间推移按指数方式分离，Lyapunov指数就是定量描述这一现象的量。目前Lyapunov指数是与相空间中不同方向上轨道的收缩和膨胀特征有关的一个平均量，每一个Lyapunov指数都可以看作是相空间各个方向上相对运动的局部变形的平均，同时它都是由系统长时间演变决定的。所以，无论从空间还是时间的意义上来说，Lyapunov 指数决不是局部量，而是整体特性的一个表示。在Lyapunov指数谱中，最小Lyapunov 指数决定轨道收敛的快慢，最大Lyapunov指数则决定轨道发散即覆盖整个吸引子的快慢，即Lyapunov指数反映了运动系统在初始条件发生微小变化时所导致的在相空间轨道不同方向上的变化程度，是用来刻划非线性系统混沌吸引子“奇异”程度的一个十分重要的参数，因而广泛地应用于刻划非线性系统的行为。

近几十年来，Lyapunov指数已经广泛地用于判别系统的混沌行为，进行故障诊断，并成为一种极其重要的判别工具。例如文献[29]对水下目标信号的混沌特性研究、文献[30]海杂波的混沌分析、文献[31]语音信号非线性特性的研究、文献[32]，心电信号的混

沌研究、文献[33]非稳态油膜轴承转予的分岔研究等等，都是采用Lyapunov指数这一混沌的特征量来分析其混沌特性的。另外，Lyapunov指数不仅仅用来判别混沌现象，还应用到混沌相关的其它领域。Lyapunov指数的值表明了系统混沌的程度，为系统的预测和决策提供了重要信息。例如文献[34]利用最大Lyapunov指数对发动机的故障进行诊断和监控，文献[35]利用最大Lyapunov指数对发动机组进行故障诊断，文献[36]对注水泵故障信号的Lyapunov指数的研究进行设备的状态识别，文献[37]将Lyapunov指数与神经网络结合，建立混沌时间序列的预测模型，文献[38]基于Lyapunov指数的道路交叉口交通量的混沌预测。文献[39]实现了比一般统计方法更高预测精度和更强适应性的预测。因而，Lyapunov指数作为混沌的一个极其重要的特征量，是非常有研究意义的。

由于混沌状态时系统的最大Lyapunov指数大于零，而当系统处于收敛状态时，最大Lyapunov指数小于零，很自然地想到利用这一点就可以确定系统的阈值：最大Lyapunov指数的符号从大于零变为小于零的时刻，所对应的参数值就是阈值。所以，Lyapunov指数不仅是判别混沌存在与否的重要指标，也可以用来求取系统从混沌态跃变到收敛态的阈值，为系统状态判断提供有效途径。

1.3.2 Lyapunov指数的性质

Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌,可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来：一个正的Lyapunov指数，意味着在系统相空间中，无论初始两条轨线的间距多么小，其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。

Lyapunov指数的和可以表示椭球体积的变化率。对于汉米尔顿系统，它的Lyapunov 指数的和等于零；对耗散系统,Lyapunov指数的和为负。若耗散系统的吸引子是一个不动点，那么它的Lyapunov指数一般都是小于零的。如果是一个简单的m维流形（m=1或m=2分别为一个曲线或一个面），那么，前m个Lyapunov指数等于零,其余的Lyapunov 指数小于零。总之，不管所求系统是不是耗散的，只要λ1>0就会出现混沌。

微分动力系统Lyapunov指数的性质：

对于一维(单变量)情形，吸引子只可能是不动点(稳定定态)，此时λ是负的。对于二维情形，吸引子或者是不动点或者是极限环。对于不动点，任意方向的δx i，都要收缩，故这时两个Lyapunov指数都应该是负的，即对于不动点，(λ1,λ2)=(-,-)。至于极限环，

如果取δx i始终是垂直于环线的方向，它一定要收缩，此时λ<0；当取δx i沿轨道切线方向,它既不增大也不缩小，可以想像，这时λ=0。事实上，所有不终止于定点而又有界的轨道(或吸引子)都至少有一个Lyapunov指数等于零，它表示沿轨线的切线方向既无扩展又无收缩的趋势。所以极限环的Lyapunov指数是(λ1,λ2)=(0,-)。

在三维情形下有：

( λ1, λ2, λ3 ) = ( -, -, - ) ：稳定不动点；

( λ1, λ2, λ3 ) = ( 0, -, - ) ：极限环；

( λ1, λ2, λ3 ) = ( 0, 0, - ) ：二维环面；

( λ1, λ2, λ3 ) = ( +, +, 0 ) ：不稳极限环；

( λ1, λ2, λ3 ) = ( +, 0, 0 ) ：不稳二维环面；

( λ1, λ2, λ3 ) = ( +, 0, - ) ：奇怪吸引子。

Lyapunov指数小于零，则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动；若指数大于零，则意味着相邻点最终要分离，这对应于轨道的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素（如整体有界、耗散、存在捕捉区域等），则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子。指数越大，说明混沌特性越明显，混沌程度越高。

具体Lyapunov指数相关的知识在以后的章节有具体介绍。

1.4本文内容介绍

本文的题目是不光滑混沌系统的Lyapunov指数计算。本文对于Lyapunov指数的计算方法有了非常详细的介绍和分析。与Lyapunov指数计算相关的各种知识都有研究，例如：混沌理论的各方面知识，重构相空间的方法等。下面对每章内容进行概括：第一章是绪论。绪论对于混沌进行介绍。对于混沌的定义，混沌的发展史，混沌的特征，以及混沌的判别方法都具体加以说明。这些也是研究Lyapunov指数必需掌握的知识。接着简单说说Lyapunov指数的一些定义和特性，因为在后面章节有具体介绍，所以在此不再赘述。下面又是对本文内容的简单介绍。

第二章是重构相空间。相空间重构在从时间序列计算Lyapunov指数起着很关键作用。本章对于重构相空间的理论知识，求嵌入维数m的伪邻近点法、饱和关联维数法等，求延迟时间τ的自相关方法，互信息量法等，以及同时求两参数的C-C法都详细的研究和分析。

第三章是Lyapunov指数相关的定义，发展史，和具体的计算方法，例如：定义法，

P-范数，Wolf方法等等，其中对Wolf方法进行了详细说明。

第四章是对于本文中涉及到的编程和绘图方法进行介绍。

第五章是几个不光滑混沌系统的Lyapunov指数计算实例，其中包括著名的Chua电路和振动系统。通过实例深入研究Lyapunov指数与混沌系统的关系。

第六章是对于本课题的总结和展望。

第二章相空间重构及其参数选择

2.1概述

如果想从时间序列求Lyapunov指数，那么重构相空间就非常重要。重构相空间有两个重要的参数m和τ（m是嵌入维数，τ是延迟时间）的求取就非常的关键，这两个参数直接影响着Lyapunov指数的计算结果。

鉴于重构相空间的重要性，特写此章来具体学习和研究重构相空间。本章中对于相空间重构理论做了具体，包括它的出现和理论思想。以及对于m，τ的求解方法都有比较详细的讲解，例如：C-C法。

2.2相空间重构相关理论

2.2.1相空间重构理论的概述

从上世纪80年代以来，相空间重构由Packard[40]等人提出，因为Takens在拓扑学方面工作的发展，所以他能以研究动力学机制和时间序列为背景，用数学为重构相空间奠定了可靠的基础。它的基本思想是：系统中所有分量之间是彼此关联的，每个分量的改变都是与其它分量关联的。因此，每个分量的发展过程中都含有与其关联分量的信息。为了重构一个“等价”的状态空间，只需考虑一个分量，并将它在某些固定点的时间延迟点上的测量作为新维处理，即延迟值被看成是新坐标。它们确定了某个多维状态空间中的一点。重复这一过程并测量相对于不同时间的各延迟量，就可以产生出许多这样的点。

再运用其它方法来检验这些点是否在一个混沌吸引子上。虽然这种表示方法在许多方面是任意的，但业已证明，它可以将吸引子的许多性质保存下来。这对于那种甚至不知应当去测量哪些变量而只知道一个数据序列，或者不能直接测量深层的自变量而仅仅有表现于现象上的数据序列的研究人员来说，也有了可以研究系统的动力行为的可能。

那么在时间序列的分析中，决定序列的可观测因素很多，而且相互作用的动力学方程往往是非线性的，甚至是混沌的。同时，因测量精度的实际限制、计算的复杂性，以及可能存在的本质上的非确定性因素等多方面的困难，严重制约着人们对时间序列内在机制的理解。对序列动力学因素的分析，目前广泛采用的是延迟坐标状态空间重构法。一般来说，非线性系统的相空间可能维数很高，甚至无穷，但在大多数情况下维数并不知道。在实际问题中，对于给定的时间序列x1，x2，x3…，通常是将其扩展到三维或更

高维的空间中去，以便把时间序列中的信息充分地揭示出来，这就是延迟坐标状态空间重构法。

2.2.2 Taknes 定理

最初提出相空间重构的目的在于在高维相空间中恢复混沌吸引子。混沌吸引子作为混沌系统的特征之一，体现着混沌系统的规律性，意味着混沌系统最终会落入某一特定的轨迹之中，这种特定的轨道就是混沌吸引子。系统任一分量的演化是由与之相互作用着的其他分量所决定的。因此，这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程中。这样，就可以从某一分量的一批时间序列数据中提取和恢复出系统原来的规律，这种规律是高维空间下的一种轨迹。也就是说，有一个混沌系统产生的轨迹经过一定时期的变化后，最终会做一种有规律的运动，产生一种规则的、有形的轨迹（混沌吸引子），这种轨迹在经过类似拉伸和则跌后转化成与时间相关的序列时，却呈现出混沌的、复杂的特征。由于混沌系统的策动因素是相互影响的，因而在时间上先后产生的数据点也是相关的。Packard 等建议用原始系统的某变量的延迟坐标来重构相空间，Takens 证明了可以找到一个合适的嵌入维，即如果延迟坐标的维数m >=2d +1，d 是动力系统的维数，在这个嵌入维空间里可以把有规律的轨迹（吸引子）恢复出来。亦即在重构的R m 空间中的轨线上原动力系统保持微分同胚，从而为混沌时间序列的预测奠定了坚实的理论基础。

定义1：设11(,),(,)X X λλ是两个度量空间，如果存在映射1:X X ?→满足：(1)?满射；(2)1(,)((),())(,)x y x y x y N λλ??=?∈，则称11(,),(,)N N ρρ是等距同构的。

定义2：如果11(,)X λ与另一度量空间22(,)X λ的子空间02(,)X λ是等距同构的，则称11(,)X λ可以嵌入22(,)X λ。

Takens 定理：M 是d 维流行，:L L ?→，?是一个光滑的微分同胚，:g L R →，g 有二阶连续导数，21(,):D g H L R ?+→，其中22(,)((),(()),(()),...,(()))D g H g x g x g x g x ????=，则(,)y φ?是M 到21d R +的一个嵌入。

Takens 的嵌入定理是在非常一般的情况下讨论的。定理中当?是某些特定函数，M 是非紧流形时，定理同样成立。函数g 实质上就是D 维流形L 中人们所能观测到的信号。令?为一特殊的形式——延迟函数，即:()()x t x t ?τ→?，()x t 表示t 时刻L 中的状态，τ表示延迟时间。假设，时刻t 中能观测到的某信号记为()g t ，则

(())()g x t g t =,2((()))(())(),,((()))(2)D g x t g x t g t g x t g t D ?ττ?τ=?=?=?L 。这样嵌入定理中的(,)g H ?就成为(),(),,(2)g t g t g t D ττ??L ，根据嵌入定理，(,)g H ?是一个嵌入，即L 与空间(),(),,(2)g t g t g t D ττ??L 微分同胚，这就从理论上证明了当嵌入维数大于原动力学系统吸引子维数的2倍时，用某信号延迟时间坐标向量为基的相空间与原系统状态空间等价。

2.3重构相空间参数的求取

在相空间重构时，时间延迟τ和嵌入维数m 的选取具有十分重要的意义，同时这种选取也是很困难的。关于时间延迟τ和嵌入维数m 的选取，现在主要有两种观点：一种是认为两者是互不相关的，即τ和m 求取是分别进行的。另一种是认为两者是相互关联的，即一个算法就能求出τ和m 。

2.3.1求取时间延迟τ的方法

对于无限长，没有噪声的时间序列，对延迟时间的选取没有限制，但大量的数值实验表明相空间的特征量依赖于延迟时间的选择，通常其选取原则是使其在统计意义上为独立的尽可能小的值。延迟时间的选择影响着重构相空间所包含的信息量，状态点的各分量的差别是由延迟时间决定的。因此，延迟时间τ的选择既不宜太大也不宜太小，如果延迟时间太小，通过重构的负荷系统相轨迹由于相关性较强而在相空间主方向压缩，相邻延迟坐标元素之间差别太小，重构相空间的相点所包含的原吸引子的信息偏小，如果延迟时间太大，系统中某一时刻的状态与其后的状态在因果关系上变得不相关，相邻延迟坐标元素之间的信息将丢失，信号轨迹也可能出现折叠现象。因此，相空间的延迟时间的选择成了重构相空间的关键因素之一，选择合适的延迟时间还可降低嵌入维数。

目前，在实际操作中最佳延迟时间的选取方法主要有以下几种：

1、互信息(mutualinformation)法[41]；

2、其它信息论的方法，如冗余度(redundancy)法、信息熵等方法；

3、自相关法和复自相关法[41]；

4、预报效果法；

5、真实矢量场法；

6、波动积(wavering product)法；

7、填充因子(fill factor)法；

8、累积局部变形(integral local deformation)法；

关于连续系统Lyapunov指数的计算方法

1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法 连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。 关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。 （1）定义法

关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) % Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 % a=0.15,b=0.20,c=10.0 % dx/dt = -y-z, % dy/dt = x+ay, % dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0 x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数 clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix;

⒈新建商品住宅销售价格指数的计算方法。

房地产价格统计报表制度 （简明版本） （年定期统计报表） 中华人民共和国国家统计局制定 年月

本报表制度根据《中华人民共和国统计法》的有关规定制定 《中华人民共和国统计法》第七条规定：国家机关、企业事业单位和其他 组织以及个体工商户和个人等统计调查对象，必须依照本法和国家有关规定，真实、准确、完整、及时地提供统计调查所需的资料，不得提供不真实或者不完整的统计资料，不得迟报、拒报统计资料。 《中华人民共和国统计法》第九条规定：统计机构和统计人员对在统计工作中知悉的国家秘密、商业秘密和个人信息，应当予以保密。 本制度由国家统计局负责解释。

目录 一、总说明 ···················································································································· 二、报表目录 ················································································································· 三、调查表式 ················································································································· 四、主要指标解释 ··········································································································· 五、附录························································································································

泛函分析习题1

线性与非线性泛函分析◇ - 1 - 习题1 1.(张燕石淼)设在全体实数R 上，定义两个二元映射2(,)()x y x y ρ=-和 (2) (,)d x y ，证明(1)(,)ρR 不是度量空间；(2)(,)d R 是度量空间． 2.(范彦勤孙文静)设X ρ(,)为度量空间，:f ∞→∞[0,+][0,+]为严格单调函数，且满足 ,x y f ?∈∞[0,+],(0)=0,()()()f x y f x f y +≤+，令(,)((,))d x y f x y ρ=，证明X d (,)为度量空间． 3. (武亚静张丹)设X d (,)为度量空间，证明,,,x y z w X ?∈有 (,)(,)(,)(,)d x z d y w d x y d z w -≤+． 4.(崔伶俐杨冰)设全体实数列组成的集合为{}123(,,,....,...)|,1,2,...n i X x x x x x R i =∈=，对于 123(,,,....,...)n x x x x x =及12(,,...,...)n y y y y =∈X ，定义11(,)12k k k k k k x y d x y x y ∞ =-=+-∑ ．证明 X d (,)为度量空间． 5.设()X n 为0和1组成的n 维有序数组，例如(3){000,001,010,011,100,101,110,111}X =，对于任意的,()x y X n ∈，定义(,)d x y 为x 和y 中取值不同的个数，例如在(3)X 中，(110,111)1d =， (010,010)0d =(010,101)3d =．证明((),)X n d 为度量空间． 6.(苏艳丁亚男)设X d (,)为度量空间， A X ?且A ≠φ．证明A 是开集当且仅当A 为开球的并． 7.(张振山赵扬扬)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间．那么映射:f X Y →是连续映射当且仅当Y 的任意闭子集F 的原象1()f F -是X 中的闭集． 8.(王林何超)设{}n x 与{}n y 是度量空间X d (,)的两个Cauchy 列．证明(),n n n a d x y =是收敛列． 9.(李敬华孙良帅)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间，在X Y ?上定义度量 112212121 ((,),(,)){[(,)][(,)]}p p p x y x y d x x d y y γ=+，其中1122(,),(,)x y x y X Y ∈?，1p ≥为正数．证明 X Y ?是完备空间当且仅当X d (,)和Y ρ(,)均是完备空间． 10.(李秀峰钱慧敏)设X d (,)是完备的度量空间，{}11n G x G ∈是X 中的一列稠密的开子集，证明1n n G ∞ = 也是X 中的稠密子集． 11.(王胜训闫小艳)设n A ?R ，证明A 是列紧集当且仅当A 是有界集． 12 (冯岩盛谢星星)设X d (,)为度量空间，A X ?且A φ≠．证明 （1）{|,(,)}x x X d x A ε∈<是X 的开集． （2）{|,(,)}x x X d x A ε∈≤是X 的闭集，其中0ε>．

《分析化学》计算题答案

1、称取0.2562g Na 2CO 3标准物质溶于水后，以甲基橙做指示剂，用HCl 滴定，终点时用去HCl 22.82ml ，求此HCl 浓度和T(HCl/Na 2CO 3）。 M (Na 2CO 3)=106.0 g/mol mL /0.01124g 0.106102120.02 1 M 10c 2 1 T mL /0.01124g 22.80 0.2562 V m T L /2120mol .0c 1080.22c 2 1 106.00.2562V c 2 1 M m 3CO Na 3HCl CO Na /HCl HCl CO Na CO Na /HCl HCl 3 HCl HCl HCl CO Na CO Na 3 2323 2323 232=???=???=== ==???=??=---或 2、称取含铁试样0.3000g ，溶于酸，并把铁全部还原为Fe 2+，用0.02000 mol/L K 2Cr 2O 7 溶液滴定，用去22.00mL ，计算T(K 2Cr 2O 7/ Fe 2O 3）和试样中Fe 2O 3质量分数。 （M Fe 2O 3=159.69g/mol ） 1 3 16/2n n 16n n -27 2 32-27 2 2O Cr O Fe O Cr Fe ===+ %27.70%1003000 .02108 .02108g .0m 1000.2202000.01 3 159.69m V c 1 3 M m 3 2 323 2-27 2-2723232O Fe O Fe 3O Fe O Cr O Cr O Fe O Fe =?==???=??=-ω 3、标定NaOH 标准溶液时称取邻苯二甲酸氢钾（KHP ）基准物质0.4925g 。若终点时用去NaOH 溶液23.50mL ，求NaOH 溶液的浓度。M (KHP)=204.2 g/mol ) /(1026.0)(1050.23)(1 1 2.2044925.0) ()()()(11)()(3 L mol NaOH c NaOH c NaOH V NaOH c b a KHP M KHP m NaOH n KHP n b a =???=??===- 4、在含0.1908g 纯的K 2Cr 2O 7溶液中加入过量的KI 和H 2SO 4，析出的I 2用Na 2S 2O 3溶液滴定，用去33.46mL ，求Na 2S 2O 3的浓度。M (K 2Cr 2O 7)=294.2 g/mol ) /(1163.0)(1046.33)(6 1 2.2941908.0) ()()()(6 1 )()(3223 322322322722722322722L mol O S Na c O S Na c O S Na V O S Na c b a O Cr K M O Cr K m O S Na n O Cr K n b a =???=??===- 5、测定工业用纯碱Na 2CO 3的含量，称取0.2560g 试样，用0.2000mol/ L HCl 溶液滴定。若终点时消耗HCl 溶液22.93mL ，问该HCl 溶液对Na 2CO 3的滴定度是多少？计 算试样中Na 2CO 3的质量分数。M (Na 2CO 3)=106.0 g/mol % 94.94%1002560 .093.2201060.0% 100) ()()/(01060.0100.1062000.02 1 10)()(2 1 3232/3233 32/=??=?==???=???=--W HCl V T CO Na mL g CO Na M HCl c T CO Na HCl CO Na HCl ω 6、0.5000g MgO 试样中加入 0.2645mol/L HCl 标准溶液48.00mL ，过量的HCl 用0.1000mol/ L NaOH 回滴，用去NaOH 14.35mL ，求试样中MgO%。 M(MgO)=40.30 g/mol %38.45%1005000 .02269 .02269g .0m 1035.141000.01 140.30m 121000.482645.0V c 1 1 M m 12V c MgO MgO 3 MgO 3 NaOH NaOH MgO MgO HCl HCl =?= =???+?=????+?= ?--ω 7、将1.000g 钢样中Cr 氧化成Cr 2O 7 2- ，加入25.00ml 0.1000mol/ L FeSO 4标准溶液，然后用0.01800mol/L KMnO 4标准溶液7.00mL 回滴过量的FeSO 4 ，计算钢中Cr 2O 3%。M (Cr 2O 3) =152.0g/mol 1 5 ')()(16 )O ()(42322= == =+ +b c KMnO n Fe n a c Cr n Fe n % 737.4%100000 .14737 0.0)(47370.0)(1000.701800.0500.152) O (6) ()(5) O () O (61000.251000.0)()(3 32443232344=?= =???+? =?+?=??=--Cr g Cr m Cr m KMnO V KMnO c Cr M Cr m FeSO V FeSO c ω 1、0.1000mol/LNH 3?H 2O 20.00ml(已知K b (NH 3?H 2O)=1.8?10-5)用同浓度的HCl 来滴定，计算未滴定前、计量点前半滴、计量点、计量点后半滴溶液pH 值。选择指示剂并指明指示剂颜色变化。

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】 Lyapunov指数的计算方法非线性理论 近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！ 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍容。 （1）定义法

定义法求解Lyapunov指数.JPG 关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) %Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 %a=0.15,b=0.20,c=10.0 %dx/dt = -y-z, %dy/dt = x+ay, %dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11);

X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix; tstart = 0; % 时间初始值 tstep = 1e-3; % 时间步长 wholetimes = 1e5; % 总的循环次数 steps = 10; % 每次演化的步数 iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1); lp = zeros(3,1); % 初始化三个Lyapunov指数 Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1); for i=1:iteratetimes

主要统计指标解释及计算方法

主要统计指标解释及计算方法 １、国民生产总值（GNP） 指一个国家或地区在一定时期（一年）内本国居民在国内或在国外从事物质生产和劳务活动所提供的社会最终产品和提供劳务价值的总和。是按国民原则计算的各经济活动部门增加值的总和。 ２、国内生产总值（GDP） 指在一个国家或地区的领土范围内，本国居民和外国居民在一定时期（一年）内所生产的最终产品和提供的劳务价值总和。它是按国土原则计算的各经济部门增加值的总和。 ３、增加值 是企业进行生产经营活动所获得的总产出扣除原材料、能源、辅助材料及其他物质消耗（包括外购劳务）之后的价值。 增加值的计算方法有两种： ——收入法或成本法 增加值=劳动者报酬+生产税净额+固定资产折旧+营业盈余 ——生产法 增加值=总产出-中间投入 ４、三次产业划分: 第一产业——农业（包括种植业、林业、畜牧业、渔业、农林牧渔服务业）。 第二产业——工业（包括采矿业、制造业和电力、燃气及水的生产和供应业）和建筑业。 第三产业——除上述各业以外的其他产业（包括运输业、通讯业、商业、饮食业、服务业、旅游业、金融业、保险业、房地产业、科学、文化、教育、卫生、保健、社会福利、公共行政和国防等）。 ５、人口自然增长率指在一定时期内（通常为一年）人口自然增加数（出生人数减死亡人数）与该时期内平均人数（或期中人数）之比，该指标与人口增长率的区别是未包含人口迁移因素，人口自然增长率一般用千分率表示。计算公式：

实际上，人口自然增长率就是人口出生率减去人口死亡率，当死亡率大于出生率时，人口自然增长为负增长。 ６、就业人员 指从事一定社会劳动并取得劳动报酬或经营收入的全部劳动力，该指标反映了一定时期内全部劳动力资源的实际利用情况。它包括：（1）全部职工；（2）私营企业从业人员；（3）个体劳动者；（4）乡镇企业从业人员；（5）农村劳动力。 ７、失业人员及失业率 是指在劳动年龄内有劳动能力，在调查期间无工作并以某种方式正在寻找工作的人员。城镇失业率是城镇失业人数同城镇从业人数加城镇失业人数之比。这一指标反映了一定时期内城镇可能参加社会劳动的人数中实际失业的人数比重，也是分析就业水平的主要指标。 ８、下岗职工 指由于用人单位的生产和经营状况等原因，单位未安排任何一种劳动岗位，等待重新安排工作，但仍与用人单位保留劳动关系的人员。包括单位“内退”人员、“轮岗及歇岗”期间的人员，由于单位原因“放长假”人员、“待岗”人员和单位停工、停产下岗、企业裁员下岗的人员。不包括下岗后仍在原单位参加转岗培训的人员。 ９、下岗职工生活费 指符合“下岗人员”定义的下岗职工在原单位领取的无论以何种渠道和各种名义发放的基本工资、比例工资、生活费、补助费、救济金、困难职工补贴等现金和实物折款额。 １０、下岗再就业职工指符合“下岗人员”定义的下岗职工，在城镇劳动力抽样时点前一周内以各种形式为取得收入而劳动1小时以上的人。这里所说的“劳动”是指为获取工资、实物报酬或经营收入而从事的国家法律所不禁止的、对社会有益的各种生产、经营和服务性活动。 １１、平均工资及工资指数平均工资指企业、事业、机关等单位的职工在一定时期内平均每人所得的工资额。它表明一定时期职工工资收入的高低程度，是反映职工工资水平的主要指标。 计算公式为：

最新非线性泛函分析试题与答案

一. 名词解释 弱收敛，弱*收敛，,0 ()k p W Ω，强制，Gateaux 可微，Frechet 可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值，2 C 映射的Brouwer 度，全连续场，全连续场的Leray -Schauder 度 二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。 三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h 方向的G -微分 212 1222 1212,(,)(0,0)()0,(,)(0,0)x x x x f x x x x x ?≠?=+??=? 四. 证明Poincare 不等式：存在常数0C >使得对任意1,{|,([0,],)}p p n T u W u u u L T R ? ∈=∈，有 1,p T W u C u ∞ ≤ 五. 设n R Ω?是有界闭集，(,,)k x y u 是2 R Ω?上的连续函数，证明积分算子 :()(), ()()(,,())K C C K x k x y y dy ??Ω Ω→Ω=? 是全连续算子。 六. 设X 是Banach 空间，:[0,)f X X +∞?→连续，对固定的[0,)t ∈+∞，(,)f t x 关于x 是局部Lipschitz 的，并且Lipschitz 常数对t 在有界区间[0,]α上一致有界，证明：存在0β>，使得下列初值问题在区间[0,]β上有唯一解 (,) (0)dx f t x dt x x ?=???=? 七. 证明Gronwall 不等式：设,,u v w 是[,]a b 上的实函数，其中u 非负且在[,]a b 上Lebesgue 可积，v 在[,]a b 上绝对连续，w 在[,]a b 上连续，若它们满足 ()()()(), t a w t v t u s w s ds a t b ≤+≤≤? 则 ()()exp(())exp(()) t t t a a s dv w t v a u s ds u d ds ds ττ≤+??? 八. 证明Brouwer 度的切除性、Kronecker 存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare -Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。 九. 设:n n f R R R ?→连续，关于x 是局部Lipschitz 的，关于t 是T 周期的，若存在球(0)n r B R ?使得 (0),[0,]r x B t T ∈?∈时，1 (,),(,)0n i i i f t x x f t x x =<>=<∑，证明下列初值问题存在T 周期解

药物分析计算题

药物分析计算题 滴定度的计算 公式： 滴定度，每1 ml 滴定液相当于被测组分的mg 数，mg/ml ——T 1 mol 样品消耗滴定液的摩尔数，常体现为反应摩尔比，即1∶n ——n 例题：用碘量法测定维生素C 的含量：已知维生素C 的分子量为176.13，每1ml 碘液 （0.1mol/L ）相当于维生素C 的量为多少？ mg 61.17L 1mol g 176.13L mol 0.1=?==CM T 杂质限量计算 例题：对乙酰胺基酚中氯化物的检查：取本品 2.0g ，加水100ml ，加热溶解后，冷却，滤过， 取滤液25ml ，依法检查，与标准氯化钠溶液5.0ml （每1ml 相当于10μg 的Cl-）制成的对照液比较，浊度不得更大。问氯化物限量为多少（%）？ 例题：葡萄糖中重金属的检查：取本品4.0g ，加水23ml 溶解后，加醋酸盐缓冲液（pH3.5） 2ml ，依法检查，含重金属量不得过百万分之五。问应取标准铅溶液多少ml （每1ml 相当于10μgPb/ml 的Pb ）？

含量计算-容量分析法 原料药 例题：硝西泮的含量计算：称取本品0.2135g ，加冰醋酸15ml 与醋酐5ml 溶解后，加结晶 紫1滴，用高氯酸滴定液（0.1mol/L ，F=0.9836）滴定液至溶液显黄绿色，消耗滴定液7.80ml ，空白消耗滴定液0.15ml 。每1ml 高氯酸滴定液（0.1mol/L ）相当于28.13mg 的硝西泮。求硝西泮的百分含量。 100 )(%0???-=W F T V V 含量 ? %=（7.80-0.15）ml ×28.13mg/ml ×0.9836×100% / 0.2135g =99.14% 片剂 ? 公式 例题：奋那露片的含量测定：取本品（0.2g/片）10片，精密称定其重量为2.0159g ，研细， 精密称取片粉0.0510g ，照氧瓶燃烧法依法进行实验。消耗硝酸汞滴定液（0.005mol/L,F=1.042)17.60ml 。已知，1ml 硝酸汞滴定液（0.005mol/L)相当于2.737mg 奋那露。试求奋那露片的标示百分含量。 注射液 ? 公式：

⒈新建商品住宅销售价格指数的计算方法

○V房地产价格统计 报表制度 （简明版本） （2018年定期统计报表） 中华人民共和国国家统计局制定 20XX年11月 本报表制度根据《中华人民共和国统计法》的有关规定制定 《中华人民共和国统计法》第七条规定：国家机关、企业事业单位和其他 组织以及个体工商户和个人等统计调查对象，必须依照本法和国家有关规定，真实、准确、完整、及时地提供统计调查所需的资料，不得提供不真实或者不完整的统计资料，不得迟报、拒报统计资料。 《中华人民共和国统计法》第九条规定：统计机构和统计人员对在统计工作中知悉的国家秘密、商业秘密和个人信息，应当予以保密。 本制度由国家统计局负责解释。 目录 一、总说明1 二、报表目录3 三、调查表式4 四、主要指标解释7 五、附录8

一、总说明 （一）调查目的 为了解和掌握相关城市新建商品住宅和二手住宅销售价格及其变动情况，为做好国民经济核算和房地产市场调控工作、满足社会公众需要提供基础数据，依照《中华人民共和国统计法》规定，特制定本调查制度。 （二）调查内容 调查内容是商品住宅销售价格、面积、金额等相关基础资料。其中新建商品住宅调查内容主要包括：住宅所在项目（楼盘）名称、项目地址、幢号、总层数、所在层数、住宅结构、建筑面积、成交总价（合同金额）、签约时间等；二手住宅调查内容主要包括：成交住宅所在小区或社区名称、位置、住宅类型、住宅所在区域、住宅所在地段、本月销售面积、本月销售金额、样本住宅上月销售单价、样本住宅本月销售单价等。 （三）调查方法 ⒈新建商品住宅销售价格的调查方法。 新建商品住宅销售价格调查为全面调查，基础数据直接采用当地房地产管理部门的网签数据。 ⒉二手住宅销售价格的调查方法。 二手住宅销售价格调查为非全面调查，采用重点调查与典型调查相结合的方法，按照房地产经纪机构上报、房地产管理部门提供与调查员实地采价相结合的方式收集基础数据。 为保证二手住宅销售价格调查的科学性和可靠性，在选取房地产经纪机构和二手住宅样本时遵循以下原则： ⑴选取房地产经纪机构要注重代表性。为保证调查资料的可靠性和连续性，要统筹考虑各种因素，选择规模大、实力强、营业额占当地总营业额比重较大、经营状况比较稳定的房地产经纪机构，并尽量兼顾内资、港澳台商投资、外商投资等不同注册登记类型。选取的房地产经纪机构的总营业额一般应占当地二手住宅总营业额的75%以上。房地产经纪机构应按规定内容和要求填报调查表。 ⑵选取住宅样本要兼顾不同地理位置。综合考虑住宅类型、区域、地段、结构等统计口径的一致性，保证上月、本月价格同质可比。由于存在级差地租，不同地理位置的住宅单位面积价格差异较大。在选取住宅样本时，要分区域（辖区）、分类型从上月及本月销售的住宅中分别选取销售量（套数）所占比重最（较）大、同质可比性和代表性强且交易时间最接近每月15日的一套住宅。如每月15日前、后两日均有同质可比住宅时，选取后者作为样本住宅。 （四）调查对象 房地产管理部门和房地产经纪机构等。 （五）调查范围 调查城市包括直辖市、省会城市、自治区首府城市（不含拉萨市）和计划单列市（共35个），以及唐山、秦皇岛等其他35个城市（以下简称“其他35个城市”）。调查范围为70个大中城市的市辖区，不包括县。 （六）调查组织方式 ⒈新建商品住宅基础数据。 直辖市、省会城市、自治区首府城市（不含拉萨市）、计划单列市等35个城市房地产管理部门按照《关于加强协作共同做好房地产价格统计工作的通知》（国统字〔20XX〕93号）规定的内容与时间向当地国家统计局调查总队或调查队提供自然月度基础数据。唐山、秦皇岛等其他35个城市房地产管理部门依照《关于加强协作共同做好房地产价格统计工作的通知》（国统字〔20XX〕93号）要求，向当地国家统计局调查总队或调查队提供自然月度基础数据。相关调查总队、调查队将当地房地产管理部门提供的上个自然月新建住宅交易网签数据用专用存储设备拷贝，确保数据安全，并按照统一规则进行标识。 ⒉二手住宅基础数据。

数学分析计算题库

一、 计算题:(每小题8分,共40分) 十六章 1、求y x y x xy y x y x +++→→2430 0lim 2、lim() x x y y x y →→+0 22 22 3、lim() x x y y x y →→+0 22 22 4、求 x y x x y x →∞ →+-α lim ()11 2 (10分) 十七章 1、求() z f xy x y =22 , 的所有二阶偏导数. 2、设2 2 2(,),z u f x y y =+求,,u u u x y z ??????,2u x y ??? 3、设22 2(, ),z u f x y f y =+是可微函数,求,,u u u x y z ?????? 4、设(,,)F f x xy xyz =,求,,F F F x y z ?????? 5. 求函数 ()33220,x y f x y x y ??=??? －， ，＋ 22 22x y 0x y 0≠=＋，＋， 在原点的偏导数()00x f ，与()00y f ，. 6. 设函数()u f x y =，在2 R 上有0xy u =，试求u 关于x y ，的函数式. 7.设2 (,)y u f x y x =求 22,u u x x ????

8.设x h z h y g y f x e z d z c y b x a z y x +++++++++=),,(?, 求22x ??? 9. 1 1211222 21 21 21111),,(---=n n n n n n n x x x x x x x x x x x x u , 求 ∑=??n k k k x u x 1 10.求函数xyz u =在点)2,1,5(A 处沿到点)14,4,9(B 的方向AB 上的方向导数. 11.设)ln(2 v u z += 而 y x v e u y x +==+2 ,2 , 求 y x z ???2 12.用多元复合微分法计算 2 2cos sin ln )1(x x x x y ++=的导数. 13.求 5362),(22+----=y x y xy x y x f 在点)2,1(-的泰勒公式. 14.求 )sin(sin sin y x y x z +-+=在}2,0,0|),{(π≤+≥≥=y x y x y x D 上的最大与最小值. 15.设123123123()()() (,,)()()()()()() f x f x f x x y z g y g y g y h z h z h z φ=，求3x y z φ ???? 16、试求抛物面22 z ax by =+在点000(,,)M x y z 处的切平面方程与法线方程. 17、设2ln()z u v =+，而2 2,x y u e v x y +==+,求 ,.z z x y ???? 18、没222 (,,)f x y z x y z =++，求f 在点0(1,1,1)P 沿方向:(2,1,2)l -的方向导数． 19、求函数2x y z e +=的所有二阶偏导数和32 z y x ???. 20、设(,)x z f x y =求222,z z x x y ?????. 21、求2 2 (,)56106f x y x y x y =+-++的极值．

基于神经网络的时间序列Lyapunov指数普的计算设计

基于神经网络的时间序列Lyapunov指数普的计算设计

目录 摘要...................................................................... I Abstract............................................................... I I 第一章绪论. (1) 1.1 引言 (1) 1.2 Lyapunov计算方法的定义 (2) 第二章基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算 (3) 2.1 相空间重构 (3) 2.2 Oseledec矩阵的确定 (3) 2.3 QR分解 (5) 2.4 小波神经网络 (6) 2.5 基于RBF神经网络的Lyapunov指数谱 计算方法 (9) 2.6 Lyapunov指数实验计算代码 (10) 2.6.1确定嵌入维数 (10) 2.6.2确定延迟时间 (10)

2.6.3计算Lyapunov指数普 (11) 2.7 Lyapunov指数仿真实验结果 (13) 2.7.1 实验一 (13) 2.7.2 实验二 (14) 小结 (17) 总结 (18) 参考文献 (19) 致谢 (20) 摘要 Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。利用RBF 神经网络的非线性函数逼近能力, 由实验观察数据列计算系统的Lyapunov指数谱实例计算表明, 此种方法精度较高且计算量较小, 有重要的实际意义. 关键词: Lyapunov 指数谱; 相空间重构; 人工神经网络

价格指数的计算方法

（四）价格指数计算方法 1．价格指数的概念 居民消费价格指数是度量消费商品及服务项目的价格水平随时间而变动的相对数，反映居民家庭购买的消费品及服务价格水平的变动情况。它是宏观经济分析和调控、价格总水平监测以及国民经济核算的重要指标。其变动率在一定程度上反映了通货膨胀(或紧缩)的程度。根据建立大都市统计指标体系的要求，北京市增加了高、中、低收入层居民消费价格指数分组指标。 商品零售价格指数是反映工业、商业、餐饮业和其他零售企业向居民、机关团体出售生活消费品和办公用品价格水平变动情况的相对数，以此反映市场商品零售价格的变动趋势和变动程度。其目的在于掌握商品价格的变动趋势，为国家宏观调控和国民经济核算提供参考依据。 居民基本生活费用价格指数是反映城镇居民家庭维持基本生活水准所需消费项目的价格变动趋势和变动程度的相对数。它从家庭支出角度出发，反映了生活必需消费项目价格变动对特定消费阶层居民生活的影响程度，为制定最低工资标准及最低社会保障线提供重要依据。 2．价格指数的编制单位 市局、总队负责编制全市居民消费价格指数、商品零售价格指数、居民基本生活费用价格指数，并对区县价格调查实行统一的组织管理。 3. 权数资料来源与计算 计算居民消费价格指数所用的权数，根据城市居民家庭住户调查资料整理得出，必要时辅以典型调查数据或专家评估补充和完善。 计算商品零售价格指数所用的大类权数，根据商业统计资料整理得出，小类及基本分类的权数参考居民消费价格指数中的相关权数进行调整，并辅之以典型调查资料。 计算居民基本生活费用价格指数所用的权数，根据城市居民家庭支出调查资料中20%的低收入户居民的消费结构来确定，必要时辅以典型调查数据或专家评估补充和完善。 4．价格指数的计算方法 (1)代表规格品平均价格的计算 代表规格品的月度平均价采用简单算术平均方法计算，首先计算规格品在一个调查点的平均价格，再根据各个调查点的价格算出月度平均价。 ∑∑∑=====m j m j n k ijk i Pij m P n m P 1 111)1(1 其中： P ijk 为第i 个规格品在第j 个价格调查点的第k 次调查的价格； P ij 为第i 个规格品第j 个调查点的月度平均价格； m 为调查点的个数，n 为调查次数。 (2)基本分类指数的计算

医学统计学分析计算题_与解析

第二单元 计量资料的统计推断 分析计算题 2.1 某地随机抽样调查了部分健康成人的红细胞数和血红蛋白量，结果见表4： 表4 某年某地健康成年人的红细胞数和血红蛋白含量 指 标 性 别 例 数 均 数 标准差 标准值* 红细胞数/1012 ·L -1 男 360 4.66 0.58 4.84 女 255 4.18 0.29 4.33 血红蛋白/g ·L -1 男 360 134.5 7.1 140.2 女 255 117.6 10.2 124.7 请就上表资料： (1) 说明女性的红细胞数与血红蛋白的变异程度何者为大？ (2) 分别计算男、女两项指标的抽样误差。 (3) 试估计该地健康成年男、女红细胞数的均数。 (4) 该地健康成年男、女血红蛋白含量有无差别？ (5) 该地男、女两项血液指标是否均低于上表的标准值（若测定方法相同）？ 2.1解： (1) 红细胞数和血红蛋白含量的分布一般为正态分布，但二者的单位不一致，应采用变异系数(CV )比较二者的变异程度。 女性红细胞数的变异系数0.29 100%100% 6.94%4.18 S CV X = ?=?= 女性血红蛋白含量的变异系数10.2 100%100%8.67%117.6 S CV X =?=?= 由此可见，女性血红蛋白含量的变异程度较红细胞数的变异程度大。 (2) 抽样误差的大小用标准误X S 来表示，由表4计算各项指标的标准误。 男性红细胞数的标准误0.031 X S = ==(1210/L ) 男性血红蛋白含量的标准误0.374 X S = ==(g/L )

女性红细胞数的标准误0.018X S = ==(1210/L ) 女性血红蛋白含量的标准误0.639X S = ==(g/L ) (3) 本题采用区间估计法估计男、女红细胞数的均数。样本含量均超过100，可视为大样本。σ未知，但n 足够大 ，故总体均数的区间估计按 (/2/2X X X u S X u S αα-+ , )计算。 该地男性红细胞数总体均数的95%可信区间为： (4.66－1.96×0.031 , 4.66＋1.96×0.031)，即(4.60 , 4.72)1210/L 。 该地女性红细胞数总体均数的95%可信区间为： (4.18－1.96×0.018 , 4.18＋1.96×0.018)，即(4.14 , 4.22)1210/L 。 (4) 两成组大样本均数的比较，用u 检验。 1) 建立检验假设，确定检验水准 H 0：12μμ=，即该地健康成年男、女血红蛋白含量均数无差别 H 1：12μμ≠，即该地健康成年男、女血红蛋白含量均数有差别 0.05α= 2) 计算检验统计量 22.829X X u === 3) 确定P 值，作出统计推断 查t 界值表(ν＝∞时)得P <0.001，按0.05α=水准，拒绝H 0，接受H 1，差别有统计学意义，可以认为该地健康成年男、女的血红蛋白含量均数不同，男性高于女性。 (5) 样本均数与已知总体均数的比较，因样本含量较大，均作近似u 检验。 1) 男性红细胞数与标准值的比较 ① 建立检验假设，确定检验水准 H 0：0μμ=，即该地男性红细胞数的均数等于标准值

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论 近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！ 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。 （1）定义法

定义法求解Lyapunov指数.JPG 关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) %Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 %a=0.15,b=0.20,c=10.0 %dx/dt = -y-z, %dy/dt = x+ay, %dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子

dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数 clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix; tstart = 0; % 时间初始值 tstep = 1e-3; % 时间步长 wholetimes = 1e5; % 总的循环次数 steps = 10; % 每次演化的步数 iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1); lp = zeros(3,1); % 初始化三个Lyapunov指数 Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1); for i=1:iteratetimes tspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y); % 取积分得到的最后一个时刻的值 y = Y(size(Y,1),:); % 重新定义起始时刻 tstart = tstart + tstep*steps;

典型混沌系统和混沌同步的简介

2典型混沌系统和混沌同步的简介 2.1典型混沌系统的介绍 混沌从表述形式上大体包括两大类：以微分方程表述的时间连续函数和以状态方程表述的时间离散函数。时间离散系统多用于扩频通信，而时间连续函数多见于保密通信之中。介于本文主要考虑连续系统在保密通信之中的应用，这里就重点介绍连续时间混沌系统中的典型模型：Lorenz 系统、蔡氏电路、统一混沌系统。 2.1.1 Lorenz 系统 混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。他提出了著名的Lorenz 方程组： () ??? ????----cz xy y xz bx y x y a x ＝ｚ＝＝。。 。 (2-1) 这是一个三阶常微分方程组。它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统 (2-1)的主要控制参数。k v a =是普朗特数(v 和k 分别为分子粘性系数和热传导系数)，c 代表与对流纵横比有关的外形比，且a 和c 为无量纲常数。在参数范围为)1/()3(--++?>c a c a a b 时，Lorenz 系统均处于混沌态。 在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为[x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所示，二维吸引子如图2.3所示，图2.2所示分别为分量x 、y 随时间t 的变化情况。 图2.1 Lorenz 系统的吸引子