Lyapunov 指数

3Lyapunov指数

3最大Lyapunov指数 (1)

3.1引言 (2)

3.2Lyapunov指数谱的理论计算方法 (4)

3.3Wolf法求Lyapunov指数 (5)

3.4小数据量和Kantz法计算最大Lyapunov指数 (6)

3.5尺度相关的Lyapunov指数 (8)

3.6海杂波的最大Lyapunov指数 (10)

3.7本章小结 (10)

3.8后记 (10)

3.1 引言

最大Lyapunov指数是判断和描述非线性时间序列是否为混沌系统的重要参数，因此

是一个重要的混沌不变量。对于混沌系统来说，耗散是一种整体性的稳定因素，动力系

统一方面作为耗散系统最终要收缩到相空间的有限区域即吸引子上。另一方面系统在相

体积收缩的同时，运动轨道又是不稳定的，要沿某些方向进行指数分离。奇怪吸引子的

不稳定的运动轨道在局部看来总是指数分离的。为了有效刻画吸引子，我们有必要研究

动力系统在整个吸引子或无穷长的轨道上平均后的特征量，如Lyapunov指数、关联维和

Kolmogorov熵等。混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感，两个极为靠近的初

始值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离，Lyapunov指数就是描述这一现象的量。

在一维动力系统1()n n x F x +=中，初始两点迭代后互相分离还是靠拢，关键取决于导数dF dx 的值。若1dF dx >，则迭代使得两点分开；若1dF dx

<，则迭代使得两点靠拢。但是在不断的迭代过程中，

dF dx 的值也随之而变化，呈现出时而分离时而靠拢。为了表示从整体上看相邻两个状态反而情况，必须对时间(或迭代次数)取平均。不妨设平均每次

迭代所引起的指数分离中的指数为λ，于是原来相距为ε的两点经过次迭代后距离为

n ()00()(n x n n e F x F λεε=+?0)x (3.1) 取极限0,n ε→→∞，则(3.1)变为

()()0

0000()()11lim lim ln lim ln n n n n n x x dF x F x F x x n n εελε→∞→→∞=+?==dx (3.2) 上式变形后，可简化为： ()()0

1001lim ln n n i x x dF x x n dx λ?→∞===∑ (3.3) (3.3)中的λ与初始值的选取没有关系，称为原动力系统的Lyapunov 指数，它表示系

统在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。若0λ<，则意味着相邻点

最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动；若0λ>，则意味着相邻

点最终要分离，对应于轨道的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素(如整体有界、

耗散、存在捕捉区域等)，系统要在有限的几何对象上实现指数分离，必须无穷次折叠。

则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子，故0λ>可以作为混沌行为的一个判据。

对于一般的维动力系统，定义Lyapunov 指数如下：

n

设为上的n 维映射，假设一个维离散动力系统：F n →R R n n ()1F n n x x +=。

将系统的初始条件取为一个无穷小的维小球，由于演化过程中的自然变形，球将

变成椭球。将椭球上所有主轴按其长度顺序排列，那么第i 个Lyapunov 指数根据第i 个主

轴的长度的增加速率定义为

n ()i P n ()()

(1001lim ln ,1,2,,n i i i n i i n P n P σ?→∞===∑ )n (3.4) 这样Lyapunov 指数是与相空间的轨线收缩或扩张的性质相关联的，在Lyapunov 指数

小于零的方向上轨线收缩，运动稳定，对于初始值不敏感；而在Lyapunov 指数为正的方

向上，轨道迅速分离，对初始值敏感。Lyapunov 指数的前个指数之和由前个主轴定

义的维立体指数增加的长期平均速率确定，如椭球长度按j j j 1e σ增加，由前两个主轴定义

的区域面积按12e σσ+增加，由前三个主轴的体积按123e σσσ++增加，以此类推。在Lyapunov

指数谱中，最小的Lyapunov 指数决定轨道收缩的快慢；最大的Lyapunov 指数则决定轨道

发散即覆盖整个吸引子的快慢；而所有的指数之和i λ∑可以认为是大体上表征轨线总

的平均发散快慢。

Lyapunov 指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间

中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌，可以从最大

Lyapunov 指数是否大于零非常直观的判断出来：一个正的Lyapunov 指数，意味着在系统

相空间中，无论初始两条轨线的间距多么小，其差别都会随着时间的演化而成指数率的

增加以致达到无法预测，这就是混沌现象[1]。

Lyapunov 指数对应混沌系统的初始值敏感性，它与吸引子至少有如下关系[2]:

1) 任何吸引子，不论是否为奇怪吸引子，都至少有一个Lyapunov 指数是负的，否

则轨线就不可能收缩为吸引子。

2) 稳定定态和周期运动(以及准周期运动)都不可能有正的Lyapunov 指数。稳定定态

的Lyapunov 都是负的；周期运动的最大Lyapunov 等于0，其余的Lyapunov 都是负

的。

3) 对于任何混沌运动，都至少有一个正的Lyapunov 指数，如果经过由计算得知系

统至少有一个正的李雅普诺夫指数，则可肯定系统作混沌运动。

Lyapunov 指数的计算方法可分为两类：如果知道系统的动力学方程，则可以根据定

义来计算[3, 4]；如果不知道系统的动力学方程，则只有通过观测时间序列来估计。目前

在工程上, 由观测时间序列来计算Lyapunov 指数的方法主要有以下两种[5]:

(1)分析法：该方法通常先进行相空间重构，求系统状态方程的雅可比矩阵，然后对

雅可比矩阵进行特征值分解或奇异值分解求取系统的Lyapunov 指数，但该方法对噪声非

常敏感。

(2)轨道跟踪法：该方法以Wolf 方法[3]和Rosenstein 的小数据法[6-8]为代表，对系统两

条或更多条的轨道进行跟踪，获得它们的演变规律以提取Lyapunov 指数。该方法的优点

是计算结果不易受拓扑复杂性(如Lorenz 吸引子)的影响。

本文主要研究以Wolf 方法为基础的轨道跟踪法及其改进算法，本章中各节主要内容

如下：3.2节介绍 Lyapunov 指数谱的理论计算方法，3.3节介绍Wolf 提出的基于轨道跟

踪的Lyapunov 指数计算方法，3.4节介绍Wolf 方法的改进：小数据量和Kantz 算法，3.5节

介绍能有效区分混沌、噪声、分形布朗运动等多种时间序列的尺度相关Lyapunov 指数，

3.6节介绍海杂波的Lyapunov 指数，3.7节为本章小结。

3.2 Lyapunov 指数谱的理论计算方法

在已知动力学微分方程的情况下，经过理论推导或对微分方程离散化采用某种数值

迭代算法，就可以得到已知动力学系统的精确Lyapunov 指数谱。本文介绍的算法基本

原理是首先求解出系统常微分方程的近似解，然后对系统的Jacobi 矩阵进行QR 分解，

同时对多个小时间段进行必要的正交化重整过程，反复迭代计算后从而得到系统的

Lyapunov 指数谱。

设动力学系统由右侧方程式决定： (3.5) ()F =X

X 并考虑轨道相邻两点和(X ′X ′=?ξX X )，将(3.5)式线性化得

(3.6) (())T t =ξ

X ξ i 式中(F =??T )X 是雅可比矩阵，ξ是切平面上的切矢量，将(3.6)式积分有

()(0)t ′=ξA ξ (3.7) 其中，是切向量到的线性映射算子，因此得到平均指数增长率为

′A (0)ξ()t ξ ()()(0),(0)lim (0)

t t λ→∞=ξX ξξ (3.8) 对于重构相空间中的某一点，与点距离小于i X i X ε的所有点为{,，它

们的位移矢量为

1,2,i =i k X }

{}{}ε=??≤i i i k i k i Y X X X X (3.9) 经过一段时间后，数据点演化为，因此原位移矢量{映射为

t ,→→i i i i+t k k X X X X +t }i Y {}{}ε=??≤i i i k +t i+t k i Z X X X X (3.10) 如果半径ε足够小，则位移矢量{和{可近似为切平面上的切矢量，因此从到的矩阵}i Y }i Z i

Y i Z j A 满足

(3.11) =i j Z A Y i d 使用最小二乘法，可以求得式(3.11)中的矩阵，应用QR 分解矩阵，同时在不同的时

间段内进行必要的Gram-Schmidt 正交化重整过程，即可得到所需的lyapunov 指数

A A ,1,2,,i i λ= [3, 4, 9]。

3.3 Wolf 法求Lyapunov 指数

对于一般的实际时间序列，我们无法确切知道该时间序列代表的原始动力学过程，

因此无法根据动力学方程求得该时间序列的精确Lyapunov指数。一般只能对单变量的时

间序列进行相空间重构，然后使用分析法和轨道跟踪法来提取系统的Lyapunov指数。由

于在1985年，Wolf等人首先提出直接基于相平面、相体积等演化来估计Lyapunov指数，

因此传基于轨道跟踪的这类方法有被统称为Wolf方法，它在混沌系统的研究和基于

Lyapunov指数的混沌时间序列预测中应用十分广泛[1, 3]。

设混沌时间序列为{}12,,,n x x x ，嵌入维数，时间延迟为m τ，则重构相空间为

()()()(),(),,(m-1),1,2,,(m-1)i i i i Y t x t x t x t i N τττ=++=? (3.12) 相空间重构后，利用混沌吸引子的轨道分离特性，Wolf 方法计算最大Lyapunov 指数的整

个过程如图 3-1所示。

图 3-1：Wolf 法求最大Lyapunov 指数示意图(此图取自wolf 论文[3]

，因时间关系没有重绘)

我们取相空间中的初始点为()0Y t ，设它的最邻近点为()00Y t ，两点之间的距离设

为0()L t ，从时刻开始追踪这两点的时间演化，直至时刻两点的间距超过规定值0t 1t ε

()()1(),0L t εε′=?>101Y t Y t > (3.13) 此时保留点，并在临近找一点()1Y t ()1Y t ()11Y t ，此时需要保证两点间距离不但保证

()()1(),0L t εε=?<111Y t Y t > (3.14) 并且使得1()L t 与1()L t ′之间的夹角1θ尽可能的小，继续重复上述过程，直至到达时

间序列的终点，这时追踪演化过程总的迭代次数为()Y t M ，则最大Lyapunov 指数为

1101()1ln ()

M k k M k L t t t L t λ=?′=?∑ (3.15) 如果要计算次大的Lyapunov 指数，如图 3-2所示，则要追踪一个点以及相邻两个点

构成三角形0()A t 的演化过程，当这个三角形1()A t ′变得太偏斜或者面积太大，则重新取

一个两边与原三角形两边夹角最小的三角形1()A t ，反复重复该过程直到终点，则次大的Lyapunov 指数为

2101()1ln ()

M k k M k A t t t A t 1λλ=?′=

?∑? (3.16)

图 3-2：Wolf 法求次大Lyapunov 指数示意图(此图取自wolf 论文[3]，因时间关系没有重绘)

从理论上，对于无噪声的无限长数据，Wolf 方法可以精确求得系统所有的Lyapunov

指数，但实际时间序列长度有限，并且由于噪声的影响，该方法只能较为可靠地计算最

大Lyapunov 指数。

3.4 小数据量和Kantz 法计算最大Lyapunov 指数

在计算Lyapunov 指数的各种方法中, 以Wolf 法为代表轨道跟踪法较为实用且效果

相对较好, 因而获得了较广泛的运用。但Wolf 法也存在以下问题[6]：

(1) 需要较大的数据长度 (2)计算结果受各种参数影响 (3)实现困难

在混沌研究和实际应用中，判断时间序列是否具有混沌属性时，并不需要计算出时

间序列的Lyapunov 指数谱，而只要计算出最大Lyapunov 指数就够了。只要观察最大

Lyapunov 指数是否大于零就能判别一个时间序列是否为混沌系统，另外时间序列的预测

一般也是基于最大Lyapunov 指数进行的，所以最大Lyapunov 指数的计算就显得特别重

要。小数据量方法是一种简便的只计算混沌时间序列最大Lyapunov 指数的方法，其基本

原理如下：

在时间序列相空间重构后，寻找轨道上第点j ()j 0Y t 的最近临近点()′j 0Y t ，即

()()()0min ,j d ′′=??j 0j 0Y t Y t j j p > (3.17) 其中p 为时间序列的平均周期，它可以通过能量谱的平均功率的导数估计出来。我

们由3.2已知，最大Lyapunov 指数可以通过轨道上每个点和其最临近点演化的平均发散

速率估计出来。根据这一思想，Sato 等[10]推导出最大Lyapunov 指数可表示为

()()()()

1111ln 0M i j j j d i i i t M i d λ?==Δ?∑ (3.18) 其中，为样本周期，t Δ()j d i 是基本轨道上第对最临近点对经过i 个离散时间步长

后的距离。Sato 等将j (3.18)改写为如下形式：

()()()()1111,ln M k j j j

d i k i k k t M k d i λ?=+=Δ?∑ (3.19) 式中是常数，k ()j d i 的意义同上，()1,i k λ随着演化时间的增大而变化，最大Lyapunov

指数的几何意义是量化初始轨道的随指数发散特征演化的参量，即有

i

1()t d t Ce λ= (3.20) 对于离散形式有 ()()()1,i t j j j j d i C e C d λΔ≈=i 0 (3.21) 其中j C 为轨道的初始距离，将式(3.21)两边取对数，得到

()()()1ln ln 1,2,,(1)j j d i C i t j N m λτ=+Δ=??i (3.22) 显然，可以通过最小二乘法逼近式(3.22)的斜率得到最大Lyapunov 指数1λ的值，即

()()1ln ,j y i d i t

=?Δ其中表示对所有的点取平均值 (3.23)

Kantz 在与Rosenstein 同时期也独立提出一种类似小数据量法的最大Lyapunov 指数计算方法[7]。与小数据量法不同的是，为了减小噪声的影响，Kantz 算法在计算时，给定了一个邻域范围()U j Y ，提出使用间距在这个邻域范围内的所有邻近点作为参考点，然后对所有点的演化结果取平均值作为计算值。即对于一个固定的()j 0Y t ，有多个满足条件的()′j 0Y t ，最后的演化距离可表示为：

()j d i ()()()1

j U d i U ′∈=∑j j ?j+i j +i Y Y j Y Y Y (3.24)

小数据量法在寻找相空间中每一点的最近邻点时只找距其最近的一点，而由于噪声

的影响，这一点可能并非真正的最近邻点。

Kantz 提出寻找间距小于邻域尺寸ε的所有邻点，用多点平均来减少噪声的影响。这种算法由于充分地利用了能够利用的数据，并对它们进行了某种意义上的平均，因而计算结果更加稳定，但增加了计算量，而且选取合适的邻域范围()U j Y 是Kantz 算法的难点。如果选取固定的邻域尺寸ε，对于不均匀的混沌吸引子，可能造成有的点附近可以找到很多近邻点，而有的点附近一个满足条件的近邻点也找不到。如果选择固定的近邻点数目，则可能有的数据点的邻域很小，符合对邻域的要求，而有的数据点所构成的邻域范围很大，此时反映出来的就是一个较大区域的平均效果，违背了采用近邻点的本意。为了解决这一问题，梁勇等提出采用可变邻域的方法来进行改进N [8]。

3.5 尺度相关的Lyapunov 指数

无论是Wolf 方法还是小数据量方法，都仅仅根据轨道跟踪算法使用最小二乘策略来计算最大Lyapunov 指数。固然他们对于确定的已知混沌系统，能比较准确求出最大Lyapunov 指数，也有一些抗噪声干扰的能力，但都无法区分混沌、含噪混沌和噪声诱发混沌[11, 12]，更不能识别出分形布朗运动的尺度特性。Gao jianbo 等提出基于尺度相关的LYapunov 指数，可以有效地对各种混沌和分形现象进行区分和描述[13]。

Gao 等在最初在1994年定义了时间相关指数(Time-dependent Exponent, TDE)为[14] ()ln k ????Λ=????

i+k j+k i j X X X X ?? (3.25) 式中的和i X j X 的取值范围为r r ≤?≤+Δi j X X r ，其中和r r Δ都为大于零的较小距离值。i 运算符表示对所有的数据点对(,的演化情况取总体平均，整数值被称为演化时间，对应的实际时间值为)i j X X k k t δ，其中t δ为采样时间。距离值的限定条件为TDE 的计算定义了一个区间，不同的区间会捕捉到系统在不同尺度上的特征。

(,)r r r +Δ

将(3.25)式变形，Gao 等定义了另一重要参数为对数分离曲线(Logarithmic Displacement Curves, LDC)，它的表达式如下[15] ()ln ln ()D k k =?=?+Λi+k j+k i j X X X X (3.26)

()D k 描述了动力系统随时间k 演化的情况。

在没有噪声情况下，任意两条对数分离曲线和会有一定的区别。而噪声会影响轨道分离，使得曲线和变得相同，因此可以通过比较参数可以看出噪声对轨道演化的影响1()D k 2()D k 1()D k 2()D k NA [15]

()()1212()()()()i i

with noise i

i i

without n i D k D k NA D k D k ?≈?oise

∑∑ (3.27) NA 的值将会随着噪声的增加逐步由1趋近于0，时间相关指数(TDE)和对数分离曲线(LDC)在研究噪声诱发混沌[11, 12]、区分噪声和混沌信号[15-18]中获得了大量应用。

最大Lyapunov 指数等价于求()k k Λ，这里的()k Λ的定义和式(3.25)相同，只不过其限定条件有一些改变，r ?

因此如果假设最相邻两轨道之间的平均距离为0ε，在t 和t t +Δ时刻轨道分离演化后的平均距离分别为t ε和t t ε+Δ，当时，有

0t Δ→ ()t

t t t t e λεεεΔ+Δ= (3.28) 其中()t λε被称为尺度相关的Lyapunov 指数(Scale-Dependent Lyapunov Exponent,

SDLE)，它可通过如下公式进行计算

ln ln ()t t t t t

εελε+Δ?=Δ (3.29) SDLE 的尺度特性主要通过使用不同的t ε作限制条件来实现，具体计算时需要选取

满足如下条件的相空间向量j Y 和：

i Y k k k εεε≤?≤+Δj i Y Y (3.30)

我们可以将(3.30)式的取不同值，来获取多尺度上的轨道演化特征－SDLE 。由式k (3.28)我们已知t ε和t t ε+Δ为在t 和t t +Δ时刻轨道分离距离，因此公式(3.29)可改写为

ln ln ()t t λε???=Δi+t+Δt j+t+Δt i+t j+X X X X t (3.31) SDLE 可以有效区分各种非线性现象，具有广泛的应用前景。

3.6海杂波的最大Lyapunov指数

内容(略)

3.7本章小结

本章介绍了Lyapunov指数谱的基本概念和理论计算方法，讨论了基于轨道跟踪法计算实际时间序列最大Lyapunov指数的常用算法。最大Lyapunov指数是判断时间序列是否为混沌的重要非线性不变量，但目前的计算方法在含有噪声或对于未确定性质的信号均不稳定[19]，计算时线性区间的选取也具有主观因素。因此对于实际时间序列，不能绝对地说出现正的最大Lyapunov指数就是混沌，分形噪声或含有噪声的非混沌信号也完全有可能出现正的Lyapunov指数值。

3.8后记

本版本为Lyapunov的初稿，语言上我没有校对和晕色，因此可能有语病或语言错误，请谅解。

你的关注是我前进的最大动力?。

任何意见、建议、批评和讨论我都热烈欢迎。

我的信箱：xuxkboy@https://www.docsj.com/doc/3d13578941.html,

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本文版权目前归本人所有，引用格式如下：

许小可.海杂波的非线性分析与建模:(博士学位论文).大连:大连海事大学,2007

参考文献:

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341(1-4): 119-127.

关于连续系统Lyapunov指数的计算方法

1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法 连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。 关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。 （1）定义法

关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) % Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 % a=0.15,b=0.20,c=10.0 % dx/dt = -y-z, % dy/dt = x+ay, % dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0 x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数 clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix;

⒈新建商品住宅销售价格指数的计算方法。

房地产价格统计报表制度 （简明版本） （年定期统计报表） 中华人民共和国国家统计局制定 年月

本报表制度根据《中华人民共和国统计法》的有关规定制定 《中华人民共和国统计法》第七条规定：国家机关、企业事业单位和其他 组织以及个体工商户和个人等统计调查对象，必须依照本法和国家有关规定，真实、准确、完整、及时地提供统计调查所需的资料，不得提供不真实或者不完整的统计资料，不得迟报、拒报统计资料。 《中华人民共和国统计法》第九条规定：统计机构和统计人员对在统计工作中知悉的国家秘密、商业秘密和个人信息，应当予以保密。 本制度由国家统计局负责解释。

目录 一、总说明 ···················································································································· 二、报表目录 ················································································································· 三、调查表式 ················································································································· 四、主要指标解释 ··········································································································· 五、附录························································································································

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】 Lyapunov指数的计算方法非线性理论 近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！ 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍容。 （1）定义法

定义法求解Lyapunov指数.JPG 关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) %Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 %a=0.15,b=0.20,c=10.0 %dx/dt = -y-z, %dy/dt = x+ay, %dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11);

X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix; tstart = 0; % 时间初始值 tstep = 1e-3; % 时间步长 wholetimes = 1e5; % 总的循环次数 steps = 10; % 每次演化的步数 iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1); lp = zeros(3,1); % 初始化三个Lyapunov指数 Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1); for i=1:iteratetimes

Lyapunov稳定性理论概述

Lyapunov Lyapunov稳定性理论概述稳定性理论概述稳定性理论概述 稳定性理论是19 世纪80 年代由俄国数学家Lyapunov创建的，它在自动控制、航空技术、生态生物、生化反应等自然科学和工程技术等方面有着广泛的应用，其概念和理念也发展得十分迅速。通过本学期“力学中的数学方法”课程的学习，我对此理论的概况有了一些认识和体会，总结于本文中。 一， 稳定性的概念稳定性的概念 初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题 ax dt dx = ， x(0)=x 0 , t≥0，x 0≥0 (1) 的解为e x at t x 0 )(= ，而x=0 是(1)式的一个解。当a f 0时，无论|x 0|多小，只要 |x 0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大，而当a ?0时，e x at t x 0 )(= 。与零解的误差不会超过初始误差x 0，且随 着t 值的增加很快就会消失，所以，当|x 0|很小时，x(t)与零解的误差也很小。 这个例子表明a f 0时的零解是“稳定”的。下面，我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。 设微分方程 ),(x t f dt dx =， x(t 0)=x 0 , x ∈R n (2) 满足解存在唯一定理的条件，其解x(t)=x(t，t 0，x 0)的存在区间是),(+∞?∞，f(t，x)还满足条件： f (t ，0)=0 (3) (3)式保证了x(t) = 0 是(2)式的解，我们称它为零解。 这里给出定义1：若对任意给定的ε > 0，都能找到δ=δ(ε,t 0),使得当||x 0||<δ时的解满足x ( t,x 0 , x 0 ) || x ( t, t 0 , x 0 ) || <ε, t ≥ t 0 , 则称(2)式的零解是稳定的，否则称(2)式的零解是不稳定的。

主要统计指标解释及计算方法

主要统计指标解释及计算方法 １、国民生产总值（GNP） 指一个国家或地区在一定时期（一年）内本国居民在国内或在国外从事物质生产和劳务活动所提供的社会最终产品和提供劳务价值的总和。是按国民原则计算的各经济活动部门增加值的总和。 ２、国内生产总值（GDP） 指在一个国家或地区的领土范围内，本国居民和外国居民在一定时期（一年）内所生产的最终产品和提供的劳务价值总和。它是按国土原则计算的各经济部门增加值的总和。 ３、增加值 是企业进行生产经营活动所获得的总产出扣除原材料、能源、辅助材料及其他物质消耗（包括外购劳务）之后的价值。 增加值的计算方法有两种： ——收入法或成本法 增加值=劳动者报酬+生产税净额+固定资产折旧+营业盈余 ——生产法 增加值=总产出-中间投入 ４、三次产业划分: 第一产业——农业（包括种植业、林业、畜牧业、渔业、农林牧渔服务业）。 第二产业——工业（包括采矿业、制造业和电力、燃气及水的生产和供应业）和建筑业。 第三产业——除上述各业以外的其他产业（包括运输业、通讯业、商业、饮食业、服务业、旅游业、金融业、保险业、房地产业、科学、文化、教育、卫生、保健、社会福利、公共行政和国防等）。 ５、人口自然增长率指在一定时期内（通常为一年）人口自然增加数（出生人数减死亡人数）与该时期内平均人数（或期中人数）之比，该指标与人口增长率的区别是未包含人口迁移因素，人口自然增长率一般用千分率表示。计算公式：

实际上，人口自然增长率就是人口出生率减去人口死亡率，当死亡率大于出生率时，人口自然增长为负增长。 ６、就业人员 指从事一定社会劳动并取得劳动报酬或经营收入的全部劳动力，该指标反映了一定时期内全部劳动力资源的实际利用情况。它包括：（1）全部职工；（2）私营企业从业人员；（3）个体劳动者；（4）乡镇企业从业人员；（5）农村劳动力。 ７、失业人员及失业率 是指在劳动年龄内有劳动能力，在调查期间无工作并以某种方式正在寻找工作的人员。城镇失业率是城镇失业人数同城镇从业人数加城镇失业人数之比。这一指标反映了一定时期内城镇可能参加社会劳动的人数中实际失业的人数比重，也是分析就业水平的主要指标。 ８、下岗职工 指由于用人单位的生产和经营状况等原因，单位未安排任何一种劳动岗位，等待重新安排工作，但仍与用人单位保留劳动关系的人员。包括单位“内退”人员、“轮岗及歇岗”期间的人员，由于单位原因“放长假”人员、“待岗”人员和单位停工、停产下岗、企业裁员下岗的人员。不包括下岗后仍在原单位参加转岗培训的人员。 ９、下岗职工生活费 指符合“下岗人员”定义的下岗职工在原单位领取的无论以何种渠道和各种名义发放的基本工资、比例工资、生活费、补助费、救济金、困难职工补贴等现金和实物折款额。 １０、下岗再就业职工指符合“下岗人员”定义的下岗职工，在城镇劳动力抽样时点前一周内以各种形式为取得收入而劳动1小时以上的人。这里所说的“劳动”是指为获取工资、实物报酬或经营收入而从事的国家法律所不禁止的、对社会有益的各种生产、经营和服务性活动。 １１、平均工资及工资指数平均工资指企业、事业、机关等单位的职工在一定时期内平均每人所得的工资额。它表明一定时期职工工资收入的高低程度，是反映职工工资水平的主要指标。 计算公式为：

matlab求最大李雅普诺夫(Lyapunov)指数程序

求解系统的Lyapunov指数谱程序 Lyapunov 指数是描述时序数据所生成的相空间中两个极其相近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分散或收敛的平均变化率。任何一个系统，只要有一个Lyapunov 大于零，就认为该系统为混沌系统。 李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。 一 chen系统的Lyapunov指数谱 function dX = Chen2(t,X) % Chen吸引子，用来计算Lyapunov指数 % dx/dt=a*(y-x) % dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*z % dz/dt=x*y-b*z global a; % 变量不放入参数表中 global b; global c; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化 dX = zeros(12,1); % Lorenz吸引子 dX(1) = a*(y-x); dX(2) = (c-a)*x+c*y-x*z; dX(3) = x*y-b*z; % Lorenz吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [-a a 0; c-a-z c -x; y x -b]; dX(4:12) = Jaco*Y; Z1=[];

Z2=[]; Z3=[]; global a; global b; global c; b=3;c=28; for a=linspace(32,40,100); y=[1;1;1;1;0;0;0;1;0;0;0;1]; lp=0; for k=1:200 [T,Y] = ode45('Chen2', 1, y); y = Y(size(Y,1),:); y0 = [y(4) y(7) y(10); y(5) y(8) y(11); y(6) y(9) y(12)]; y0=GS(y0); mod(1)=norm(y0(:,1)); mod(2)=norm(y0(:,2)); mod(3)=norm(y0(:,3)); lp = lp+log(abs(mod)); y0(:,1)=y0(:,1)/mod(1); y0(:,2)=y0(:,2)/mod(2); y0(:,3)=y0(:,3)/mod(3); y(4:12) = y0'; end lp=lp/200; Z1=[Z1 lp(1)]; Z2=[Z2 lp(2)]; Z3=[Z3 lp(3)]; end a=linspace(32,40,100); plot(a,Z1,'-',a,Z2,'-',a,Z3,'-'); title('Lyapunov exponents of Chen') xlabel('b=3,c=28,parameter a'),ylabel('lyapunov exponents') grid on

⒈新建商品住宅销售价格指数的计算方法

○V房地产价格统计 报表制度 （简明版本） （2018年定期统计报表） 中华人民共和国国家统计局制定 20XX年11月 本报表制度根据《中华人民共和国统计法》的有关规定制定 《中华人民共和国统计法》第七条规定：国家机关、企业事业单位和其他 组织以及个体工商户和个人等统计调查对象，必须依照本法和国家有关规定，真实、准确、完整、及时地提供统计调查所需的资料，不得提供不真实或者不完整的统计资料，不得迟报、拒报统计资料。 《中华人民共和国统计法》第九条规定：统计机构和统计人员对在统计工作中知悉的国家秘密、商业秘密和个人信息，应当予以保密。 本制度由国家统计局负责解释。 目录 一、总说明1 二、报表目录3 三、调查表式4 四、主要指标解释7 五、附录8

一、总说明 （一）调查目的 为了解和掌握相关城市新建商品住宅和二手住宅销售价格及其变动情况，为做好国民经济核算和房地产市场调控工作、满足社会公众需要提供基础数据，依照《中华人民共和国统计法》规定，特制定本调查制度。 （二）调查内容 调查内容是商品住宅销售价格、面积、金额等相关基础资料。其中新建商品住宅调查内容主要包括：住宅所在项目（楼盘）名称、项目地址、幢号、总层数、所在层数、住宅结构、建筑面积、成交总价（合同金额）、签约时间等；二手住宅调查内容主要包括：成交住宅所在小区或社区名称、位置、住宅类型、住宅所在区域、住宅所在地段、本月销售面积、本月销售金额、样本住宅上月销售单价、样本住宅本月销售单价等。 （三）调查方法 ⒈新建商品住宅销售价格的调查方法。 新建商品住宅销售价格调查为全面调查，基础数据直接采用当地房地产管理部门的网签数据。 ⒉二手住宅销售价格的调查方法。 二手住宅销售价格调查为非全面调查，采用重点调查与典型调查相结合的方法，按照房地产经纪机构上报、房地产管理部门提供与调查员实地采价相结合的方式收集基础数据。 为保证二手住宅销售价格调查的科学性和可靠性，在选取房地产经纪机构和二手住宅样本时遵循以下原则： ⑴选取房地产经纪机构要注重代表性。为保证调查资料的可靠性和连续性，要统筹考虑各种因素，选择规模大、实力强、营业额占当地总营业额比重较大、经营状况比较稳定的房地产经纪机构，并尽量兼顾内资、港澳台商投资、外商投资等不同注册登记类型。选取的房地产经纪机构的总营业额一般应占当地二手住宅总营业额的75%以上。房地产经纪机构应按规定内容和要求填报调查表。 ⑵选取住宅样本要兼顾不同地理位置。综合考虑住宅类型、区域、地段、结构等统计口径的一致性，保证上月、本月价格同质可比。由于存在级差地租，不同地理位置的住宅单位面积价格差异较大。在选取住宅样本时，要分区域（辖区）、分类型从上月及本月销售的住宅中分别选取销售量（套数）所占比重最（较）大、同质可比性和代表性强且交易时间最接近每月15日的一套住宅。如每月15日前、后两日均有同质可比住宅时，选取后者作为样本住宅。 （四）调查对象 房地产管理部门和房地产经纪机构等。 （五）调查范围 调查城市包括直辖市、省会城市、自治区首府城市（不含拉萨市）和计划单列市（共35个），以及唐山、秦皇岛等其他35个城市（以下简称“其他35个城市”）。调查范围为70个大中城市的市辖区，不包括县。 （六）调查组织方式 ⒈新建商品住宅基础数据。 直辖市、省会城市、自治区首府城市（不含拉萨市）、计划单列市等35个城市房地产管理部门按照《关于加强协作共同做好房地产价格统计工作的通知》（国统字〔20XX〕93号）规定的内容与时间向当地国家统计局调查总队或调查队提供自然月度基础数据。唐山、秦皇岛等其他35个城市房地产管理部门依照《关于加强协作共同做好房地产价格统计工作的通知》（国统字〔20XX〕93号）要求，向当地国家统计局调查总队或调查队提供自然月度基础数据。相关调查总队、调查队将当地房地产管理部门提供的上个自然月新建住宅交易网签数据用专用存储设备拷贝，确保数据安全，并按照统一规则进行标识。 ⒉二手住宅基础数据。

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论 近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！ 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。 （1）定义法

定义法求解Lyapunov指数.JPG 关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) %Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 %a=0.15,b=0.20,c=10.0 %dx/dt = -y-z, %dy/dt = x+ay, %dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子

dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数 clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix; tstart = 0; % 时间初始值 tstep = 1e-3; % 时间步长 wholetimes = 1e5; % 总的循环次数 steps = 10; % 每次演化的步数 iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1); lp = zeros(3,1); % 初始化三个Lyapunov指数 Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1); for i=1:iteratetimes tspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y); % 取积分得到的最后一个时刻的值 y = Y(size(Y,1),:); % 重新定义起始时刻 tstart = tstart + tstep*steps;

基于神经网络的时间序列Lyapunov指数普的计算设计

基于神经网络的时间序列Lyapunov指数普的计算设计

目录 摘要...................................................................... I Abstract............................................................... I I 第一章绪论. (1) 1.1 引言 (1) 1.2 Lyapunov计算方法的定义 (2) 第二章基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算 (3) 2.1 相空间重构 (3) 2.2 Oseledec矩阵的确定 (3) 2.3 QR分解 (5) 2.4 小波神经网络 (6) 2.5 基于RBF神经网络的Lyapunov指数谱 计算方法 (9) 2.6 Lyapunov指数实验计算代码 (10) 2.6.1确定嵌入维数 (10) 2.6.2确定延迟时间 (10)

2.6.3计算Lyapunov指数普 (11) 2.7 Lyapunov指数仿真实验结果 (13) 2.7.1 实验一 (13) 2.7.2 实验二 (14) 小结 (17) 总结 (18) 参考文献 (19) 致谢 (20) 摘要 Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。利用RBF 神经网络的非线性函数逼近能力, 由实验观察数据列计算系统的Lyapunov指数谱实例计算表明, 此种方法精度较高且计算量较小, 有重要的实际意义. 关键词: Lyapunov 指数谱; 相空间重构; 人工神经网络

价格指数的计算方法

（四）价格指数计算方法 1．价格指数的概念 居民消费价格指数是度量消费商品及服务项目的价格水平随时间而变动的相对数，反映居民家庭购买的消费品及服务价格水平的变动情况。它是宏观经济分析和调控、价格总水平监测以及国民经济核算的重要指标。其变动率在一定程度上反映了通货膨胀(或紧缩)的程度。根据建立大都市统计指标体系的要求，北京市增加了高、中、低收入层居民消费价格指数分组指标。 商品零售价格指数是反映工业、商业、餐饮业和其他零售企业向居民、机关团体出售生活消费品和办公用品价格水平变动情况的相对数，以此反映市场商品零售价格的变动趋势和变动程度。其目的在于掌握商品价格的变动趋势，为国家宏观调控和国民经济核算提供参考依据。 居民基本生活费用价格指数是反映城镇居民家庭维持基本生活水准所需消费项目的价格变动趋势和变动程度的相对数。它从家庭支出角度出发，反映了生活必需消费项目价格变动对特定消费阶层居民生活的影响程度，为制定最低工资标准及最低社会保障线提供重要依据。 2．价格指数的编制单位 市局、总队负责编制全市居民消费价格指数、商品零售价格指数、居民基本生活费用价格指数，并对区县价格调查实行统一的组织管理。 3. 权数资料来源与计算 计算居民消费价格指数所用的权数，根据城市居民家庭住户调查资料整理得出，必要时辅以典型调查数据或专家评估补充和完善。 计算商品零售价格指数所用的大类权数，根据商业统计资料整理得出，小类及基本分类的权数参考居民消费价格指数中的相关权数进行调整，并辅之以典型调查资料。 计算居民基本生活费用价格指数所用的权数，根据城市居民家庭支出调查资料中20%的低收入户居民的消费结构来确定，必要时辅以典型调查数据或专家评估补充和完善。 4．价格指数的计算方法 (1)代表规格品平均价格的计算 代表规格品的月度平均价采用简单算术平均方法计算，首先计算规格品在一个调查点的平均价格，再根据各个调查点的价格算出月度平均价。 ∑∑∑=====m j m j n k ijk i Pij m P n m P 1 111)1(1 其中： P ijk 为第i 个规格品在第j 个价格调查点的第k 次调查的价格； P ij 为第i 个规格品第j 个调查点的月度平均价格； m 为调查点的个数，n 为调查次数。 (2)基本分类指数的计算

(五)固定资产投资价格指数的计算方法

（五）固定资产投资价格指数的计算方法 价格总指数的公式为： i i i W W I I ∑∑= 式中：I 为投资价格总指数 ∑为连加符号(下同) I i 为分类价格指数 W i 为权数。即上述三部分投资的前三年投资完成额的平均比重。∑W i =1000。 现将三部分价格指数及具体计算方法分述如下： 1.建筑安装工程投资价格指数的计算方法： 在建筑安装度程构成中，材料费、人工费和机械使用费的比重约占到90%以上，其他各项费用所占比重较小，可以忽略不计，所以可分别计算材料费、人工费、机械使用费的价格指数，然后再加权计算建筑安装工程投资价格指数。 ①计算材料费价格指数 a.某种材料规格品的价格指数 某种材料规格品的价格指数，是以各样本工程的规格品价格指数，加权调和平均求得，公式如下： i i i W K W K 1∑∑ = K i 为i 样本工程该种材料规格品的价格指数，W i 为权数即该规格品的购进额。 b.计算某种材料的价格指数 计算某种材料的价格指数是以该种材料下属所有规格品价格指数算术平均求得。公式如下： n K K K I in i i i +++= 21 I i 为i 种材料价格指数。i=1，2，…，n 。 c.计算材料费价格总指数 材料费价格指数用各种材料的购进额(各样本工程每种材料购进额之和)加权调和平均求得。公式如下： ∑∑=i i i W I W I 1 I i 为i 种材料价格指数，W i 为i 种材料各样本工程购进金额之和。 建筑安装工程所耗用材料种类很多，不能一一计算，可以选择价值量大的主要材料，如钢材、木材、水泥、地方建筑材料、其他材料(如化工材料、电料、构件、暖气片、玻璃、油漆等)进行计算。所选材料的价值之和不应低于全部材料费的70％。 报告期材料单价和基期材料单价应包括材料的运杂费和供销部门的手续费。 ②计算人工费价格指数

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法 非线性理论 近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！ 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE 求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。 （1）定义法

定义法求解 Lyapunov 指数.JPG 关于定义法求解的程序，和matlab 板块的“连续系统LE 求解程序”差不多。以Rossler 系统为例 Rossler 系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) % Rossler 吸引子，用来计算Lyapunov 指数 % a=0.15,b=0.20,c=10.0 % dx/dt = -y-z, % dy/dt = x+ay, % dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y 的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler 吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler 吸引子的Jacobi 矩阵

Lyapunov 指数

3Lyapunov指数 3最大Lyapunov指数 (1) 3.1引言 (2) 3.2Lyapunov指数谱的理论计算方法 (4) 3.3Wolf法求Lyapunov指数 (5) 3.4小数据量和Kantz法计算最大Lyapunov指数 (6) 3.5尺度相关的Lyapunov指数 (8) 3.6海杂波的最大Lyapunov指数 (10) 3.7本章小结 (10) 3.8后记 (10)

3.1 引言 最大Lyapunov指数是判断和描述非线性时间序列是否为混沌系统的重要参数，因此 是一个重要的混沌不变量。对于混沌系统来说，耗散是一种整体性的稳定因素，动力系 统一方面作为耗散系统最终要收缩到相空间的有限区域即吸引子上。另一方面系统在相 体积收缩的同时，运动轨道又是不稳定的，要沿某些方向进行指数分离。奇怪吸引子的 不稳定的运动轨道在局部看来总是指数分离的。为了有效刻画吸引子，我们有必要研究 动力系统在整个吸引子或无穷长的轨道上平均后的特征量，如Lyapunov指数、关联维和 Kolmogorov熵等。混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感，两个极为靠近的初 始值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离，Lyapunov指数就是描述这一现象的量。 在一维动力系统1()n n x F x +=中，初始两点迭代后互相分离还是靠拢，关键取决于导数dF dx 的值。若1dF dx >，则迭代使得两点分开；若1dF dx <，则迭代使得两点靠拢。但是在不断的迭代过程中， dF dx 的值也随之而变化，呈现出时而分离时而靠拢。为了表示从整体上看相邻两个状态反而情况，必须对时间(或迭代次数)取平均。不妨设平均每次 迭代所引起的指数分离中的指数为λ，于是原来相距为ε的两点经过次迭代后距离为 n ()00()(n x n n e F x F λεε=+?0)x (3.1) 取极限0,n ε→→∞，则(3.1)变为 ()()0 0000()()11lim lim ln lim ln n n n n n x x dF x F x F x x n n εελε→∞→→∞=+?==dx (3.2) 上式变形后，可简化为： ()()0 1001lim ln n n i x x dF x x n dx λ?→∞===∑ (3.3) (3.3)中的λ与初始值的选取没有关系，称为原动力系统的Lyapunov 指数，它表示系 统在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。若0λ<，则意味着相邻点 最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动；若0λ>，则意味着相邻 点最终要分离，对应于轨道的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素(如整体有界、 耗散、存在捕捉区域等)，系统要在有限的几何对象上实现指数分离，必须无穷次折叠。 则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子，故0λ>可以作为混沌行为的一个判据。 对于一般的维动力系统，定义Lyapunov 指数如下： n

GDP平减指数计算方法

GDP可以分为现价GDP与不变价GDP,真实GDP等于现价GDP除以GDP平减指数,然而在统计年鉴中,并没有直接给出GDP平减指数以及计算方法,下面我们对GDP平减指数的计算方法作以简要介绍: GDP平减指数等于现价GDP除以不变价GDP,若1978年的指数为100,1979年的GDP指数为,是指与1978年相比,按可比价计算,GDP增加了%,1978年的GDP为,则按不变价计算,1979年的GDP等于乘以等于,则1979年的平减指数为现价(1979)=,据此计算,则GDP平减指数及真实GDP如下表: 1978=100的 不变价GDP平减指数真实GDP 年份现价GDP 指数 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 200231170 在一些计算中,一些文章喜欢算换成1990年为100的不变价计算真实GDP,此方法其实是假定1990年的指 数为100进行计算,例如,1990年的现价GDP=,1990年的指数为,1996年的指数为,则以1990=100,1996年的价格指数为*100%=,则1996年不变价的GDP为*%=,则1996年平减指数为*100%=,如此计算,可以得到 1990=100的GDP平减指数,其计算结果如下表: 年份现价GDP1978=1001990=100不变价GDP(1990=100)平减指数真实GDP 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989

居民消费价格指数的计算过程

居民消费价格指数的计算过程 在收集了原始价格数据后，下一步我们就开始计算了。 （一）月环比价格指数的计算 基本分类当月的价格指数（月环比价格指数），反映该基本分类（商品集团）与上月比较的价格变动。计算方法是先计算该基本分类中各代表规格品当月价格与上月价格比较的相对数。然后，采用几何平均法计算基本分类月环比价格指数。以大米为例简单说明某年某月该基本分类月环比指数编制的过程及基本方法： 、计算代表规格品的平均价格，调查员分别到个调查点采价，每个调查点每月采价三次。代表规格品一级大米各调查点的时点价格如下（采用简单算术平均法计算。以一级大米为例，计量单位为元每千克）： 此例中一级大米的月平均价格为元千克。即代表规格品的月平均价格采用简单算术平均法计算，就是把在三个调查点所采的共次价格相加，再除以得出。 、计算出代表规格品平均价后，再计算代表规格品本月平均价与上月平均价对比的相对数。假设年月大米的一种规格品价格是每公斤元，年月份的价格 每公斤元，相对数为： 假设大米基本分类共有个代表规格品，在各调查点代表规格品月平均价格的基础上，分别计算个代表规格品的价格变动相对数，再用几何平均法计算该基本分类的月环比价格指数： 例如大米，调查个规格品的价格，即。

规格品一的相对数为， 规格品二的相对数为， 规格品三的相对数为， 规格品四的相对数为， 规格品五的相对数为， 由以上计算可知，大米这一基本分类的环比价格指数为： 即根据各代表规格品价格变动相对数，采用几何平均法计算大米这个基本分类月份的月环比指数，基本计算公式为： 其中：、、……、分别为第一个至第个规格品报告期（）价格与上期（）价格对比的相对数。 （二）定基指数的计算 由各期月环比指数连乘计算，公式为： 基××……× 其中：、、……、分别表示基期至报告期间各期的月环比指数。 （三）类别及总指数逐级加权平均计算，计算公式： [∑ (÷)] × 其中：：权数 ：价格 ：报告期 ：报告期的上一时期

Lyapunov方程求解(附件)

广西大学实验报告纸 学院：电气工程学院 专业：自动化 成绩： 组员：陈平忠（1302120238） 黄智榜（1302120237） 班级： 实验地点：808实验室 2015年12月 18日 实验内容：Lyapunov 方程求解 【实验目的】 1、掌握求解Lyapunov 方程的一种方法，了解并使用MATLAB 中相应函数。 【实验设备与软件】 1、硬件：PC 机一台；软件：MATLAB/Simulink 。 【实验原理】 1、线性定常系统渐进稳定的Lyapunov 方程判据 线性定常连续系统为渐进稳定的充要条件是：对给定的任一个正定对称阵Q ，都存在唯一的对称正定阵P ，满足如下矩阵Lyapunov 方程： Q PA P A T -=+ 该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根都是负实数或实部为负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。 线性定常离散系统为渐进稳定的充要条件：对给定的任一个正定对称阵Q ，都存在唯一的对称正定阵P ，满足如下矩阵Lyapunov 方程： Q P PG G T -=- 该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根的摸均小于1，即都在单位圆内。 2、在MATLAB 控制工具箱中，函数lyap 和dlyap 用来求解lyapunov 方程。 P =lyap （T A ,Q )可解连续时间系统的lyapunov 方程，其中，Q 和A 为具有相同维数的方阵（A 是系统矩阵）。如果Q 是对称的，则解P 也是对称的。 P =dlyap （T G ，Q ）可解离散时间系统的lyapunov 方程，其中，Q 和G 为具有相同维数的方阵(G 是系统矩阵)。如果Q 是对称的，则解P 也是对称的。 3、连续情况下的最小相位系统：系统的零点均在左半复平面，但系统首先是稳定的，其他情况为非最小相位系统。 【实验内容、方法、过程与分析】 题目1实验内容： 输入连续状态空间模型()∑=D C,B,A,:

消费物价指数的计算公式

消费物价指数的计算公式是什么 推荐回答：计算公式： CPI=(一组固定商品按当期价格计算的价值/一组固定商品按基期价格计算的价 值)×100%。 采用的是固定权数按加权算术平均指数公式计算，即K'=ΣKW/ΣW，固定权数为W，其中公式中分子的K为各种销售量的个体指数。CPI表示对普通家庭的支出来说，购买具有代表性的一组商品，在今天要比过去某一时间多花费多少，例如，若1995年某国普通家庭每个月购买一组商品的费用为800元，而2000年购买这一组商品的费用为1000元，那么该国2000年的消费价格指数为(以1995年为基 期)CPI=1000/800×100%=125%，也就是说上涨了(125%-100%)=25%。在日常中 我们更关心的是通货膨胀率，它被定义为从一个时期到另一个时期价格水平变动的百分比，公式为 式子中T为t时期的通货膨胀率，Pt和P(t-1)分别表示t时期(代表报告期)和t-1 时期(代表基期)的价格水平。如果用上面介绍的消费价格指数来衡量价格水平，则通货膨胀率就是不同时期的消费价格指数变动的百分比。如：一个经济体的消费价格指数从去年的100增加到今年的112，那么这一时期的通货膨胀率为 T=(112—100)/100×100%=12%，就是说通货膨胀率为12%，表现为物价上涨12%。现期中国的CPI指数是根据上年为基期(100)计算得出的，而并非是以历史某一确定时点 作为基期。 概念释义： CPI是居民消费价格指数。 居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费商品和服务价格水平变动情况的宏观经济指标。 同比和环比计算公式? 推荐回答：同比增长计算公式: 同比增长率=(本期数-同期数)÷同期数×100% 环比增长...环比:当月价格指...

非光滑混沌系统的Lyapunov指数计算

不光滑混沌系统的Lyapunov指数计算 作者姓名：王欣欣 指导教师：张玺麟副教授 单位名称：电气自动化研究所 专业名称：自动化 清华大学 2006年6月

Computation of Lyapunov Exponents of Non-smooth Chaotic Systems by Wang Xinxin Supervisor: Associate Professor Zhang Xilin Tsinghua University June 2006

清华大学本科毕业设计（论文） 毕业设计（论文）任务书 毕业设计（论文）任务书 毕业设计（论文）题目： 不光滑混沌系统的Lyapunov指数计算 设计(论文)的基本内容： 1.对混沌理论和Lyapunov指数相关信息进行研究； 2.仔细研究相空间重构理论和求Lyapunov指数的算法； 3.确定算法，并进行编程； 4.求解Chua电路和振动系统的Lyapunov指数，并分析是否混沌； 5.总结全文。 毕业设计（论文）专题部分： 题目： 设计或论文专题的基本内容： 学生接受毕业设计（论文）题目日期 第 1 周 指导教师签字： 2006年3月9日

不光滑混沌系统的Lyapunov指数计算 摘要 混沌理论是20世纪三大科学革命之一。从理论出现到现今，随着计算机技术的飞速前进，以及越来越多的学者关注混沌理论，混沌理论得到了巨大的发展。其中，判断系统是否混沌的一个非常重要的指标就是Lyapunov指数。可以比较容易的判断系统是否混沌。 首先本文介绍了混沌理论和Lyapunov指数，包括它们的定义、发展史及判断方法。 然后本文对重构相空间和Lyapunov指数进行了着重介绍，包括它们的定义，性质和算法。本文用到的计算算法是C-C方法和Wolf方法（C-C法计算嵌入维数和延迟时间，Wolf方法计算最大Lyapunov指数），并且进行了相应的编程工作。 然后本文对Chua电路和振动系统进行了Lyapunov指数计算。再改变参数，计算Lyapunov指数，分析出系统不同参数下的混沌性。说明了混沌系统敏感依赖于参数和初始值。 最后总结全文，对所做工作和课题进行了展望。 关键词：Lyapunov指数，重构相空间，Chua电路，混沌，Wolf算法