matlab求最大李雅普诺夫(Lyapunov)指数程序

求解系统的Lyapunov指数谱程序

Lyapunov 指数是描述时序数据所生成的相空间中两个极其相近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分散或收敛的平均变化率。任何一个系统，只要有一个Lyapunov 大于零，就认为该系统为混沌系统。

李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。

一 chen系统的Lyapunov指数谱

function dX = Chen2(t,X)

% Chen吸引子，用来计算Lyapunov指数

% dx/dt=a*(y-x)

% dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*z

% dz/dt=x*y-b*z

global a; % 变量不放入参数表中

global b;

global c;

x=X(1); y=X(2); z=X(3);

% Y的三个列向量为相互正交的单位向量

Y = [X(4), X(7), X(10);

X(5), X(8), X(11);

X(6), X(9), X(12)];

% 输出向量的初始化

dX = zeros(12,1);

% Lorenz吸引子

dX(1) = a*(y-x);

dX(2) = (c-a)*x+c*y-x*z;

dX(3) = x*y-b*z;

% Lorenz吸引子的Jacobi矩阵

Jaco = [-a a 0;

c-a-z c -x;

y x -b];

dX(4:12) = Jaco*Y;

Z1=[];

Z2=[];

Z3=[];

global a;

global b;

global c;

b=3;c=28;

for a=linspace(32,40,100);

y=[1;1;1;1;0;0;0;1;0;0;0;1];

lp=0;

for k=1:200

[T,Y] = ode45('Chen2', 1, y);

y = Y(size(Y,1),:);

y0 = [y(4) y(7) y(10);

y(5) y(8) y(11);

y(6) y(9) y(12)];

y0=GS(y0);

mod(1)=norm(y0(:,1));

mod(2)=norm(y0(:,2));

mod(3)=norm(y0(:,3));

lp = lp+log(abs(mod));

y0(:,1)=y0(:,1)/mod(1);

y0(:,2)=y0(:,2)/mod(2);

y0(:,3)=y0(:,3)/mod(3);

y(4:12) = y0';

end

lp=lp/200;

Z1=[Z1 lp(1)];

Z2=[Z2 lp(2)];

Z3=[Z3 lp(3)];

end

a=linspace(32,40,100);

plot(a,Z1,'-',a,Z2,'-',a,Z3,'-');

title('Lyapunov exponents of Chen')

xlabel('b=3,c=28,parameter a'),ylabel('lyapunov exponents') grid on

以上是三个变量的Lyapunov指数谱，下面是最大的Lyapunov指数谱：

Z=[];

d0=1e-8;

for a=linspace(32,40,80)

lsum=0;

x=1;y=1;z=1;

x1=1;y1=1;z1=1+d0;

for i=1:100

[T1,Y1]=ode45('Chen',1,[x;y;z;a;3;28]);

[T2,Y2]=ode45('Chen',1,[x1;y1;z1;a;3;28]);

n1=length(Y1);n2=length(Y2);

x=Y1(n1,1);y=Y1(n1,2);z=Y1(n1,3);

x1=Y2(n2,1);y1=Y2(n2,2);z1=Y2(n2,3);

d1=sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2);

x1=x+(d0/d1)*(x1-x);

y1=y+(d0/d1)*(y1-y);

z1=z+(d0/d1)*(z1-z);

if i>50

lsum=lsum+log(d1/d0);

end

end

Z=[Z lsum/(i-50)];

end

a=linspace(32,40,80);

plot(a,Z,'-');

title('Chen 系统最大lyapunov指数')

xlabel('parameter a'),ylabel('lyapunov exponents')

二模拟 Lorenz 系统最大lyapunov指数谱

function ly=jose_ly(b,k)

% the largest lyapunov exponent of josephson

% k 迭代步数，b 参数

% 方程如下:

% θ''+G*θ'+sinθ=I+A*sin(ωt)+αsin(βωt) % 变化：

% dx=y

% dy=-G*y-sin(x)+I+A*sin(w*t)+a*sin(b*w*t) %

% Example:

% ly=jose_ly(0,800)

%

% Author:LDYU

% Author's email: ustb03-07@https://www.docsj.com/doc/c110894038.html,

%

d0=1e-8;

ly=0;

lsum=0;

x=[0;2;b];

x1=[d0;2;b];

for t=1:k

[T1,Y1]=ode45('Josephon',[t-1,t],x);

[T2,Y2]=ode45('Josephon',[t-1,t],x1);

x=Y1(end,:);

x1=Y2(end,:);

d1=norm(x-x1);

x1=x+(d0/d1)*(x1-x);

lsum=lsum+log(d1/d0);

end

ly=lsum/k;

Matlab画Lorenz系统的最大李雅普诺夫指数图

Lorenz系统 文档分两个文件方程m文件和计算L指数m文件分开写，复制粘贴即可运行matlab2012a，改写方程文件和参数即可算自己的系统，其中最大L指数用的是经典的柏内庭（G.Benettin）计算方法，准确快速无误！附计算结果图！！ 方程m文件： function dX = Loren(t,X) global a; %变量不放入参数表中 global b; global c; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 %输出向量的初始化 dX = zeros(6,1); % Lorenz吸引子 dX(1)=a*(y-x); dX(2)=x*(b-z)-y; dX(3)=x*y-c*z; end 计算最大L指数文件 Z=[]; global a; global b;

global c; a=10; c=8/3; d0=1e-7; for b=linspace(0,500,500) lsum=0; x=1;y=1;z=1; x1=1;y1=1;z1=1+d0; for i=1:100 [T1,Y1]=ode45('Loren',1,[x;y;z;16;b;4]); [T2,Y2]=ode45('Loren',1,[x1;y1;z1;16;b;4]); n1=length(Y1);n2=length(Y2); x=Y1(n1,1);y=Y1(n1,2);z=Y1(n1,3); x1=Y2(n2,1);y1=Y2(n2,2);z1=Y2(n2,3); d1=sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2); x1=x+(d0/d1)*(x1-x); y1=y+(d0/d1)*(y1-y); z1=z+(d0/d1)*(z1-z); if i>50 lsum=lsum+log(d1/d0); end

李亚普诺夫法稳定性分析

第3章李亚普诺夫法稳定性分析 第1节基本概念 1．系统的平衡状态 设系统的齐次状态方程为 x= f ), (t x 若存在状态e x，对所有t都满足0 ), x e x f (= =t ，则称e x为系统的平衡状态。 一个系统，不一定都存在平衡状态；如存在，也不一定唯一；多个平衡状态，可能连续，也可能孤立。一般只研究孤立平衡状

态。 一般地，0≠e x ，此时可通过平移变换e x x x =-使(,)x f x t =的平衡点0e x =。故一般只研究0=e x （原点）处的稳定性。 一般地，认为0t t =时刻扰动消失，此时系统初始状态为0e x x ≠。 2．系统的稳定性 系统受到扰动后其状态将偏离原平衡状态e x 。系统稳定性表示扰动消失后系统在平衡状态（原e x 或新e x ）下继续工作的能力。 稳定性是系统的一种内部属性，可采用齐次状态方程 ),(t x f x = 通过00≠x ，0t t ≥的自由运动进行研究。 稳定性是针对平衡点而言的。 对0≠A 的线性定常系统，只有一个平衡点=0e x ，平衡点的稳定性与系统稳定性是统一的。

对多平衡点系统，不同的平衡点可能具有不同的稳定性，不存在统一的系统稳定性问题，必须逐一分析各平衡点的稳定性。3．李亚普诺夫关于稳定性的定义 状态x到e x的距离（欧几里德范数）： 2/1 2 2 1 1 ] ) ( ) [(ne n e e x x x x x x- + + - = - ε ≤ -e x x称为e x的邻域（以e x为中心、ε为半径的超球体) (ε s x∈）。 李亚普诺夫关于稳定性的定义： 对任意实数0 > ε，总存在0 ) , ( > t ε δ 。当δ < -e x x0时，系统), (t x f x= 自0x出发的状态轨迹)(t x（ t t≥）： １）若满足ε ≤ - ∞ → e t x x lim，称系统在e x处李亚普诺夫稳定； ２）若满足0 lim= - ∞ → e t x x，称系统在e x处渐近稳定；

怎样用matlab指数函数拟合

matlab指数函数拟合 2011-04-2617:04碎碎j|分类：文档/报告共享|浏览17560次 刚学matlab，完全不知道如何写程序，特来求助！ x=[1012.51517.52022.52527.53032.53537.54042.54547.55 0]; y=[62.177.392.5104112.9121.9125129.4134138.2142.3143.214 4.6147.2147.8149.1150.9]; y=A(1)*exp(x/A(2))+A(3) 请高手编程拟合指数函数！ 分享到： 2011-05-0119:32提问者采纳 clear all; close all; x=[1012.51517.52022.52527.53032.53537.54042.54547.550]; y=[62.177.392.5104112.9121.9125129.4134138.2142.3143.2144.6147.2147.81 49.1150.9]; myfunc=inline('beta(1)+beta(2)*exp(beta(4)*x)+beta(3)*exp(-beta(4)*x)','beta','x'); beta=nlinfit(x,y,myfunc,[0.50.50.50.5]); a=beta(1),k1=beta(2),k2=beta(3),m=beta(4) xx=min(x):max(x); yy=a+k1*exp(m*xx)+k2*exp(-m*xx); plot(x,y,'o',xx,yy,'r')

提问者评价 知道了，谢谢

关于连续系统Lyapunov指数的计算方法

1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法 连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。 关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。 （1）定义法

关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) % Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 % a=0.15,b=0.20,c=10.0 % dx/dt = -y-z, % dy/dt = x+ay, % dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0 x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数 clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix;

MATLAB拟合函数

在Matlab 6.5以上的环境下，在左下方有一个"Start"按钮，如同Windows的开始菜单，点开它，在目录"Toolboxes"下有一个"Curve Fitting"，点开"Curve Fitting Tool"，出现数据拟合工具界面，基本上所有的数据拟合和回归分析都可以在这里进行。 下面给你简单介绍一下它的使用方法。 首先在Matlab的命令行输入两个向量，一个向量是你要的x坐标的各个数据，另外一个是你要的y坐标的各个数据。输入以后假定叫x向量与y向量，可以在workspace里面看见这两个向量，要确保这两个向量的元素数一致，如果不一致的话是不能在工具箱里面进行拟合的。 例如在命令行里输入下列数据: x=(0:0.02:0.98)';二胡与施工的计划的风光好舒服很多国家法规和积分高科技 y=sin(4*pi*x+rand(size(x))); 此时x-y之间的函数近似的为正弦关系，频率为2，但是存在一个误差项。 可以通过作图看出它们的大体分布: plot(x,y,'*','markersize',2); 打开曲线拟合共工具界面，点击最左边的"Data..."按钮，出现一个Data对话框，在Data Sets 页面里，在X Data选项中选取x向量，Y Data选项中选取y向量，如果两个向量的元素数相同，那么Create data set按钮就激活了，此时点击它，生成一个数据组，显示在下方Data Sets列表框中。关闭Data对话框。此时Curve Fitting Tool窗口中显示出这一数据组的散点分布图。 点击Fitting...按钮，出现Fitting对话框，Fitting对话框分为两部分，上面为Fit Editor，下面为Table of Fits,有时候窗口界面比较小，Fit Editor部分会被收起来，只要把Table of Fits 上方的横条往下拉就可以看见Fit Editor。在Fit Editor里面点击New Fit按钮，此时其下方的各个选框被激活，在Data Set选框中选中刚才建立的x-y数据组，然后在Type of fit 选框中选取拟合或回归类型，各个类型的拟合或回归相应的分别是： Custom Equations 用户自定义函数 Expotential e指数函数 Fourier 傅立叶函数，含有三角函数 Gaussian 正态分布函数，高斯函数 Interpolant 插值函数，含有线性函数，移动平均等类型的拟合 Polynomial 多项式函数 Power 幂函数 Rational 有理函数（不太清楚，没有怎么用过） Smooth Spline ？？（光滑插值或者光滑拟合，不太清楚） Sum of sin functions正弦函数类 Weibull 威布尔函数（没用过） 不好意思，没有学过数理统计，所以很多东西都是用了才知道，翻译也就不太准确。不过在Type of fit选框下方有一个列表框，基本上各个函数类里的函数都写成解析式列在下方以供选择，所以找合适的函数还是比较容易的。

(完整版)Matlab学习系列13.数据插值与拟合

13. 数据插值与拟合 实际中，通常需要处理实验或测量得到的离散数据（点）。插值与拟合方法就是要通过离散数据去确定一个近似函数（曲线或曲面），使其与已知数据有较高的拟合精度。 1.如果要求近似函数经过所已知的所有数据点，此时称为插值问 题（不需要函数表达式）。 2.如果不要求近似函数经过所有数据点，而是要求它能较好地反 映数据变化规律，称为数据拟合（必须有函数表达式）。 插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数。区别是：【插值】不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。【拟合】要求得到一个具体的近似函数的表达式。 因此，当数据量不够，但已知已有数据可信，需要补充数据，此时用【插值】。当数据基本够用，需要寻找因果变量之间的数量关系（推断出表达式），进而对未知的情形作预测，此时用【拟合】。

一、数据插值 根据选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值 Matlab 插值函数实现： （1）interp1( ) 一维插值 （2）intep2( ) 二维插值 （3）interp3( ) 三维插值 （4）intern( ) n维插值 1.一维插值（自变量是1维数据） 语法：yi = interp1(x0, y0, xi, ‘method’) 其中，x0, y0为原离散数据（x0为自变量，y0为因变量）；xi为需要插值的节点，method为插值方法。 注：（1）要求x0是单调的，xi不超过x0的范围； （2）插值方法有‘nearest’——最邻近插值；‘linear’——线性插值；‘spline’——三次样条插值；‘cubic’——三次插值；

matlab求最大李雅普诺夫(Lyapunov)指数程序

求解系统的Lyapunov指数谱程序 Lyapunov 指数是描述时序数据所生成的相空间中两个极其相近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分散或收敛的平均变化率。任何一个系统，只要有一个Lyapunov 大于零，就认为该系统为混沌系统。 李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。 一 chen系统的Lyapunov指数谱 function dX = Chen2(t,X) % Chen吸引子，用来计算Lyapunov指数 % dx/dt=a*(y-x) % dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*z % dz/dt=x*y-b*z global a; % 变量不放入参数表中 global b; global c; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化 dX = zeros(12,1); % Lorenz吸引子 dX(1) = a*(y-x); dX(2) = (c-a)*x+c*y-x*z; dX(3) = x*y-b*z; % Lorenz吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [-a a 0; c-a-z c -x; y x -b]; dX(4:12) = Jaco*Y; Z1=[];

Z2=[]; Z3=[]; global a; global b; global c; b=3;c=28; for a=linspace(32,40,100); y=[1;1;1;1;0;0;0;1;0;0;0;1]; lp=0; for k=1:200 [T,Y] = ode45('Chen2', 1, y); y = Y(size(Y,1),:); y0 = [y(4) y(7) y(10); y(5) y(8) y(11); y(6) y(9) y(12)]; y0=GS(y0); mod(1)=norm(y0(:,1)); mod(2)=norm(y0(:,2)); mod(3)=norm(y0(:,3)); lp = lp+log(abs(mod)); y0(:,1)=y0(:,1)/mod(1); y0(:,2)=y0(:,2)/mod(2); y0(:,3)=y0(:,3)/mod(3); y(4:12) = y0'; end lp=lp/200; Z1=[Z1 lp(1)]; Z2=[Z2 lp(2)]; Z3=[Z3 lp(3)]; end a=linspace(32,40,100); plot(a,Z1,'-',a,Z2,'-',a,Z3,'-'); title('Lyapunov exponents of Chen') xlabel('b=3,c=28,parameter a'),ylabel('lyapunov exponents') grid on

matlab拟合工具箱的使用

matlab拟合工具箱使用 2011-06-17 12:53 1.打开CFTOOL工具箱。在Matlab 6.5以上的环境下，在左下方有一个"Start"按钮，如同Windows的开始菜单，点开它，在目录"Toolboxes"下有一个"Curve Fitting"，点开"Curve Fitting Tool"，出现数据拟合工具界面，基本上所有的数据拟合和回归分析都可以在这里进行。也可以在命令窗口中直接输入”cftool”，打开工具箱。 2.输入两组向量x，y。 首先在Matlab的命令行输入两个向量，一个向量是你要的x坐标的各个数据，另外一个是你要的y坐标的各个数据。输入以后假定叫x向量与y向量，可以在workspace里面看见这两个向量，要确保这两个向量的元素数一致，如果不一致的话是不能在工具箱里面进行拟合的。 例如在命令行里输入下列数据: x = [196,186, 137, 136, 122, 122, 71, 71, 70, 33]; y = [0.012605; 0.013115; 0.016866; 0.014741; 0.022353; 0.019278; 0.041803; 0.038026; 0.038128; 0.088196]; 3.数据的选取。打开曲线拟合共工具界面，点击最左边的"Data..."按钮，出现一个Data对话框，在Data Sets页面里，在X Data选项中选取x向量，Y Data 选项中选取y向量，如果两个向量的元素数相同，那么Create data set按钮就激活了，此时点击它，生成一个数据组，显示在下方Data Sets列表框中。关闭Data对话框。此时Curve Fitting Tool窗口中显示出这一数据组的散点分布图。

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论 近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！ 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。 （1）定义法

定义法求解Lyapunov指数.JPG 关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) %Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 %a=0.15,b=0.20,c=10.0 %dx/dt = -y-z, %dy/dt = x+ay, %dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子

dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数 clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix; tstart = 0; % 时间初始值 tstep = 1e-3; % 时间步长 wholetimes = 1e5; % 总的循环次数 steps = 10; % 每次演化的步数 iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1); lp = zeros(3,1); % 初始化三个Lyapunov指数 Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1); for i=1:iteratetimes tspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y); % 取积分得到的最后一个时刻的值 y = Y(size(Y,1),:); % 重新定义起始时刻 tstart = tstart + tstep*steps;

李雅普诺夫稳定性方法

李雅普诺夫稳定性方法 李雅普诺夫第一方法又称间接法，它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。如果其解随时间而收敛，则系统稳定；如果其解随时间而发散，则系统不稳定。 李雅普诺夫第二方法又称直接法，它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断，是从广义能量的观点进行稳定性分析的。例如有阻尼的振动系统能量连续减小（总能量对时间的导数是负定的），系统会逐渐停止在平衡状态，系统是稳定的。由于李雅普诺夫第一方法求解通常很烦琐，因此李雅普诺夫第二方法获得更广泛的应用。李雅普诺夫第二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。迄今为止，尚没有通用于一切系统的构造李雅普诺夫函数的方法。 对于系统[]t ,f x x = ，平衡状态为,0e =x 满足()0f e =x 。如果存在一个标量函数()x V ,它满足()x V 对所有x 都具有连续的 一阶偏导数；同时满足()x V 是正定的；则 （1）若()x V 沿状态轨迹方向计算的时间导数()dt /)(dV V x x = 为半负定，则平衡状态稳定； （2） 若()x V 为负定，或虽然()x V 为半负定，但对任意初始状 态不恒为零，则平衡状态渐近稳定。进而当∞→∞→)(V x x 时，，则系统大范围渐近稳定； （3） 若()x V 为正定，则平衡状态不稳定。 判断二次型 x x x P )(V τ=的正定性可由赛尔维斯特

（Sylvester ）准则来确定，即正定（记作V(x)>0）的充要条件为P 的所有主子行列式为正。如果P 的所有主子行列式为非负，为正半定（记作V(x)≥0）；如果-V(x)为正定,则V(x)为负定（记作V(x)<0）；如果-V(x)为正半定,则V(x)为负半定（记作V(x)≤0）。 例： []正定。 则)(V 0 1121412110 ,0411 10,010x x x 1121412110x x x )(V 321321x x >---->>----=??? ????????????? 例： )x x (x x x ) x x (x x x 2 2212122221121+--=+-= (0,0）是唯一的平衡状态。设正定的标量函数为 ∞→∞→<+-=+--++-=+=??+??=+=)V(,且当0 )x 2(x )]x (x x x [2x )]x (x x [x 2x x 2x x 2x dt dx x V dt dx x V )(V x x )V(2222122212122221121221122112 2 21x x x x 故系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。

李雅普诺夫指数综述

李雅普诺夫指数 一、李雅普诺夫指数的提出与历史 1961年冬季的一天，为了考察一条更长的序列，洛伦兹走了一条捷径。他在进行天气模式计算时没有从头开始运行，而是从中途开始。作为计算的初值，他直接输入了上次运算的输出结果，然后他穿过大厅下楼，清净的去喝一杯咖啡。一个小时之后他回来时，看到了出乎意料的事。从几乎相同出发点开始，洛伦兹看到他的计算机产生的天气模式差别愈来愈大，终至毫无相似之处。就是这件事播下了一门新科学的种子。 稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则系统是不稳定的。系统只要有一个正值就会出现混沌运动。判断一个非线性体统是否存在混沌运动时，需要检查它的李雅普诺夫指数λ是否为正值。 二、李雅普诺夫指数的定义 Lyapunov 指数是描述时序数据所生成的相空间中两个极其相近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分散或收敛的平均变化率。任何一个系统，只要有一个Lyapunov 大于零，就认为该系统为混沌系统。 李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。李雅普诺夫指数的定义: 首先考虑一维映射假设初始位置附近有一点，则经过一次迭代后，这两点之间的距离为： （1） 并利用微分中值定理有： （2） n次迭代后，并利用微分中值定理，这两点之间的距离为： （3） 由（3）式可得：（4）又由复合函数的微分规则有： 其中 那么式（4）就变为： （5） 则称（6）为Lyapunov指数。 一维映射就对应一个李雅普诺夫指数，而且当时，该系统具有混沌特性。当时， 对应着分岔点或系统的周期解，既系统出现周期现象。时，系统有稳定的不动点，

matlab非线性参数拟合估计_很好的参考材料

使用nlinfit、fminsearch在matlab中实现基于最小二乘法的 非线性参数拟合 （整理自网上资源） 最小二乘法在曲线拟合中比较普遍。拟合的模型主要有 1.直线型 2.多项式型 3.分数函数型 4.指数函数型 5.对数线性型 6.高斯函数型 ...... 一般对于LS问题，通常利用反斜杠运算“\”、fminsearch或优化工具箱提供的极小化函数求解。在Matlab中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界面操作。在命令提示符后键入：cftool，即可根据数据，选择适当的拟合模型。 “\”命令 1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^ 2.首先建立设计矩阵X： X=[ones(size(x)) x x^2]; 执行： para=X\y para中包含了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c; 这种方法对于系数是线性的模型也适应。 2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2) 设计矩阵X为 X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)]; para=X\y 3.多重回归(乘积回归) 设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x和t是预测变量，y是响应变量。设计矩阵为X=[ones(size(x)) x t] %注意x,t大小相等！ para=X\y polyfit函数 polyfit函数不需要输入设计矩阵，在参数估计中，polyfit会根据输入的数据生成设计矩阵。 1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2 p=polyfit(x,y,2) 然后可以使用polyval在t处预测： y_hat=polyval(p,t) polyfit函数可以给出置信区间。 [p S]=polyfit(x,y,2) %S中包含了标准差 [y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %按照拟合模型在t处预测 在每个t处的95%CI为：(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)

MATLAB数据拟合例子

MATLAB数据拟合例子（一次函数、指数函数、双曲线） (2010-06-03 01:44:30)转载▼ 分类：数学工具 标签：杂 谈 一次函数：（a+bx = y） %先求出拟合函数 format long; x = [2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009]; y = [32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7]; d = [1 1 1 1 1 1 1 1 1]; a=[d;x]; b = a*y'; a=a*a'; c=a\b c = 1.0e+003 * 2.436797222221444 -0.001201666666666 %所以，拟合函数为 y = 1.0e+003 *(2.436797222221444 - 0.001201666666666*x %根据拟合函数求估测值 format short; x = [2010, 2011, 2012, 2013, 2014] 1.0e+003 *( 2.436797222221444 - 0.001201666666666*x) ans = 21.4472 20.2456 19.0439 17.8422 16.6406

指数函数：( y = exp(a + b*x)） >> x = [2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009]; y = [21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0]; y=log(y'); d = [1 1 1 1 1 1 1 1 1]; a=[d;x]; b = a*y; a=a*a'; c=a\b c = 601.9448 -0.2993 %所以，拟合函数为 y = exp(601.9448 - 0.2993*x) %根据拟合函数求估测值 >> x = [2010, 2011, 2012, 2013, 2014] exp(601.9448 - 0.2993*x) ans = 1.4216 1.0539 0.7813 0.5792 0.4294 双曲线：（1/y = a + b/x） format long;

matlab中的最小二乘法拟合指数函数(人口问题)

紧急：用matlab中的最小二乘法拟合指数函数（人口问题） 2008-5-11 18:37 提问者：337645394|悬赏分：10|浏览次数：8496次 t=[1971:1:1990]; y=[8.5229 8.7177 8.9221 9.0859 9.2420 9.3717 9.4974 9.6259 9.7542 9.8705 10.0072 10.1654 10.3008 10.4357 10.5851 10.7507 10.9300 11.1026 11.2704 11.4333]; 拟合曲线y=exp(a*t+b) 希望您上机操作一下，给出具体的编写程序． x=[1971:1990]; y=[8.5229 8.7177 8.9221 9.0859 9.2420 9.3717 9.4974 9.6259 9.7542 9.8705 10.0072 10.1654 10.3008 10.4357 10.5851 10.7507 10.9300 11.1026 11.2704 11.4333]; z=log(y); p=polyfit(x,z,1) y1=polyval(p,x); 由此程序求得y1=exp(0.0147*x-26.7773) 再绘图plot(x,y,'o',x,y1),结果点都在拟合的曲线的下面，谁能帮我找出毛病并修改一下？ 问题补充： 并写出答案的结果 2008-5-11 21:21 最佳答案 呵呵，还需要转换一次啊。及y1=exp(z1) clear all x=[1971:1990]; y=[8.5229 8.7177 8.9221 9.0859 9.2420 9.3717 9.4974 9.6259 9.7542 9.8705 10.0072 10.1654 10.3008 10.4357 10.5851 10.7507 10.9300 11.1026 11.2704 11.4333]; fun=inline('exp(a(1)*t+a(2))','a','t') a=nlinfit(x,y,fun,[0.01 -20]) xx=1970:1990; yy=exp(a(1)*xx+a(2)); plot(x,y,'o',xx,yy) z=log(y); p=polyfit(x,z,1)

最大李指数计算方法

物理学报 ACTA PHYSICA SINICA 2000 Vol.49 No.4 P.636-640 一种最大李雅普诺夫指数估计的稳健算法 杨绍清章新华赵长安 最大李雅普诺夫指数是诊断和描述动态系统混沌的重要参数.在深入研究相空间重构技术和轨道跟踪法的基础上，提出了一种从标量混沌时间序列中估计最大李雅普诺夫指数的新算法.该算法能够克服现有算法的不足，主要有以下三个优点：1）很高的精度；2）几乎不受噪声的影响；3）所需的计算时间和存贮空间小, 能进行在线计算. PACC： 0545 A ROBUST METHOD FOR ESTIMATING THE LARGEST LYAPUNOV EXPONENT YANG SHAO-QING (Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China) ZHANG XIN-HUA (Dalian Naval Academy,Dalian 116018,China) ZHAO CHANG-AN (Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China) ABSTRACT The largest Lyapunov exponent is an important parameter of detecting and characterizing chaos produced from a dynamical system. In this paper, based on the technology of phase space reconstruction and the methods of trajectory tracing, a new algorithm is proposed for estimating the largest Lyapunov exponent from a scalar chaotic time series. This method, which can overcome the deficiencies of the existing methods, has three main advantages: (1) It has highly accurate results; (2) It is little affected by noise; (3) It only needs a little time of computation and small space of memory and can calculate the largest Lyapunov exponent on line.

李雅普诺夫稳定性分析

第六章 李雅普诺夫稳定性分析 在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。 经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 §6-1 外部稳定性和内部稳定性 系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。 一、外部稳定性 1、定义（外部稳定性）： 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明： （1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实 常数k ，使得对于所有的[]∞∈0 t ，恒有∞<≤k t h )(成立。 （2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。 2、系统外部稳定性判据 线性定常连续系统 ∑),,(C B A 的传递函数矩阵为 Cx y Bu Ax x =+= BU A sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+= B A sI C s G 1 )()(--= 当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。 【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为

MATLAB在非线性曲线拟合中的应用研究

MATLAB 在非线性曲线拟合中的应用小结 摘要:归纳总结了非线性曲线拟合的方法、求解步骤和上机操作过程 关键词:曲线拟合非线性MATLAB 正文： 1．曲线拟合的基本原理 已知一组测定的数据（例如N 个点（xi,yi ）去求得自变量x 和因变量y 的一个近似解析表达式y=φ（x ）。若记误差δi=φ（xi ）-yi ，i=1，2，…N ，则要使误差的平方和最小，即要求： ∑==N i i Q 1 2 δ 为最小，这就是常用的最小二乘法原理。 2 .MATLAB 曲线拟合的相关方法 2.1.函数形式： （1）多项式拟合函数polyfit ，调用格式为： p=polyfit （x,y,n ） 其中x ，y 为参与曲线拟合的实验数据，n 为拟合多项式的次数，函数返回值为拟合多项式的系数（按降幂排列）。n=1时，就为线性拟合。 例1：给出表1数据，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。 表1 数据 在MATLAB 命令窗口中输入： clear; close; x=-1:0.25:1; y=[-0.2209,0.3295,0.8826,1.4392,2.0003,2.5645,3.1334,3.7061,4.2836] p1=polyfit(x,y,1) p2=polyfit(x,y,2) y1=polyval(p1,x); y2=polyval(p2,x); plot(x,y,'+',x,y1,'r:',x,y2,'k-.') 运行结果：

拟合多项式为：y*=2.0516+2.0131和y*=0.0313x2+2.2516x+2.20001 （2）非线性数据拟合函数lsqcurvefit 调用格式为： c=lsqcurvefi （t'fun',x0,xdata,ydata ） 其中'fun'为拟合函数的M -函数文件名，x0为初始向量，xdata,ydata 为参与曲线拟合的实验数据。函数返回值c 为非线性函数fun 的拟合系数。 例2：2004年全国大学生数学建模竞赛C 题（酒后驾车）中给出某人在短时间内喝下两瓶啤酒后，间隔一定的时间测量他的血液中酒精含量y （毫克/百毫升），得到数据如表2。 表2 酒精含量与饮酒时间的实验数据 通过建立微分方程模型得到短时间内喝酒后血液中 酒精浓度与时间的关系为： )(321t c t c e e c y ---= （2） 根据实验数据，利用非线性拟合函数lsqcurvefit ，确定模型（2）式中的参数c1，c2，c3。求解过程为： 先编写一个M -函数文件Example2_1： function f=Example2_1(c,tdata) f=c(1)*(exp(-c(2)*tdata)-exp(-c(3)*tdata)); 保存后，在命令窗口中输入： clear tdata=[0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]; ydata=[30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 8 15 12 10 7 7 4]; c0=[1 1 1];

Matlab画Lorenz系统的最大李雅普诺夫指数图

Lorenz 系统 文档分两个文件方程m文件和计算L指数m文件分开写，复制粘贴即可运行matlab2012a，改写方程文件和参数即可算自己的系统，其中最大L指数用的是经典的柏内庭（G.Benettin）计算方法，准确快速无误！附计算结果图！！ 方程m文件： function dX = Loren(t,X) global a; % 变量不放入参数表中 global b; global c; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 % 输出向量的初始化 dX = zeros(6,1); % Lorenz吸引子 dX(1)=a*(y-x); dX(2)=x*(b-z)-y; dX(3)=x*y-c*z; end 计算最大L指数文件 Z=[]; global a; global b; global c; a=10; c=8/3; d0=1e-7; for b=linspace(0,500,500) lsum=0; x=1;y=1;z=1; x1=1;y1=1;z1=1+d0; for i=1:100 [T1,Y1]=ode45('Loren',1,[x;y;z;16;b;4]); [T2,Y2]=ode45('Loren',1,[x1;y1;z1;16;b;4]); n1=length(Y1);n2=length(Y2); x=Y1(n1,1);y=Y1(n1,2);z=Y1(n1,3); x1=Y2(n2,1);y1=Y2(n2,2);z1=Y2(n2,3); d1=sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2); x1=x+(d0/d1)*(x1-x); y1=y+(d0/d1)*(y1-y); z1=z+(d0/d1)*(z1-z); if i>50

matlab指数函数拟合

matlab指数函数拟合 浏览次数：347次悬赏分：50 |解决时间：2011-5-25 19:18 |提问者：孤倚修竹 x=[39;47;45;47;65;46;67;42;67;56;64;56;59;34;42;48;45;18;20;19;36;50;39;21 ;44;53;63;29;25;69]; y=[144;150;138;145;162;142;170;124;158;154;162;150;140;110;128;130;135; 114;116;124;136;142;120;120;160;158;144;130;125;175]; y=exp(a+bx) 求a b的值 最佳答案 利用cftool工具可以很快得到结果。 General model Exp1: f(x) = a*exp(b*x) Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 101.8 (92.97, 110.6) b = 0.006974 (0.005257, 0.00869) Goodness of fit: SSE: 2459 R-square: 0.7167 Adjusted R-square: 0.7065 RMSE: 9.372 exp(a)可以当做常数。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1 command window里输入cftool； 2 点data，输入x和y的数据； 3 点fitting，然后点Newfit，在Type of fit 里选择指数拟合； 4 选好以后，点击apply即可； 追问 不好意思啊，我们的作业里面要求在common window里面直接输入代码来计算结果，能不能不用快捷操作给出一份指数拟合的代码啊，就是我在这里直接复制粘贴以后能出来运行结果的 回答 x=[39 47 45 47 65 46 67 42 67 56 64 56 59 34 42 48 45 18 20 19 36 50 39 21 44 53 63 29 25 69]; y=[144 150 138 145 162 142 170 124 158 154 162 150 140 110 128 130 135 114 116 124 136 142 120 120 160 158 144 130 125 175]; y=log(y');