当前位置：文档视界 › (完整版)第十章曲线积分与曲面积分练习题

(完整版)第十章曲线积分与曲面积分练习题

第十章曲线积分与曲面积分

§10.1 对弧长曲线的积分

一、判断题

1．若f(x)在（-+∞∞,）内连续，则

dx x f )(也是对弧长的曲线积分。（）

2．设曲线L 的方程为x=)(y ?在[βα,]上连续可导则

?'+=L

y y y f ds y x f β

??2)]([1)),((),(

（）

二、填空题

1.将

?+L

ds y x

)(22

，其中L 为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)()20π≤≤t 化为定积分

的结果是。 2.

?+L ds y x )(= ，其中L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段。

三、选择题

1．

?+L

ds y x )(2

=（）

，其中L 为圆周12

=+y x （A ）?0

θd （B ）?π

θ2

d （C ）?πθ2

d r （D ）?πθ2

2．?L

xds =（），L 为抛物线2

x y =上10≤≤x 的弧段。（A ）

)155(12

1- （B ）)155(- （C ）121 （D ）)155(81

四、计算?+C

ds y x )(，其中C 为连接点（0，0）、（1，0）、（0，1）的闭折线。

五、计算?++L ds z y x )2(2

，其中L 为?

??=++=++02222z y x R z y x

六、计算?+L

n ds y x

)(22

，L 为上半圆周：)(222N n R y x ∈=+

七、计算?

y x ds e

2，其中L 为圆周222a y x =+，直线y=x 和y=0在第一象限内围成扇形的边界。

八、求半径为a ，中心角为?2的均匀圆弧（ρ=1）的重心。

§10.2 对坐标的曲线积分

一、判断题

1．定积分也是对坐标的曲线积分。（） 2．

022=+-?L y x ydx xdy ，其中L 为圆周12

2=+y x 按逆时针方向转一周。（）

二、填空题

1．ydz x dy y dx x 2

233++?

= ，其中Γ是从点A （1，2，3）到点B （0，0，0）的直线

段AB 。 2．化

?+L

dy y x Q dx y x P ),(),(为对弧长的曲线积分结果是其中L 为沿x y =

从点（0，

0）到（1，1）的一段。三、选择题

1．设曲线L 是由A （a,0）到O （0，0）的上半圆周ax y x =+2

，则

?=-+-L

x x

dy m y e dx my y e

)cos ()sin (（）（A ）0 （B ）22a m π （C ）82a m π （D ）4

a m π

2．设L 为20,sin ,cos π≤≤==t t y t x ，方向按t 增大的方向，则?-L dx xy ydy x 2

2=（）

（A ）

-20

)cos sin sin (cos πdt t t t t （B ）?-

]cos 2sin sin sin 2sin cos [

dt t t

t t t

（C ）?20

21π

dt （D ）?-2022)sin (cos πdt t t

四、计算I=?+-A

O xydy dx y x )(2

2，其中O 为坐标原点，A 的坐标为（1，1）

1．OA 为直线段y=x 2.OA 为抛物线段2

x y = 3．OA 为y=0,x=1构成的折线段。 4.OA 为x=0,y=1的折线段。

五、计算ydx x dy xy

-?，L 是从A （1，0）沿21x y -=到B （-1，0）的圆弧。

六、计算?

xydx ，L 为圆周ax y x 222=+（a>0）取逆时针方向。

七、设方向依oy 轴负方向，且大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场，求质量为m 的质点沿抛物线2

1y x =-，从点A （1，0）移到B （0，1）时力场所做的功。

九、把xdy ydx x L

（L 为3

x y =上从A （-1，-1）到B （1，1）的弧段）化为对弧长的曲线积分。

§10.3 格林公式及其应用

一、判断题

1．闭区域D 的边界按逆时针即为正向。（）

2．设P 、Q 在闭区域D 上满足格林公式的条件，L 是D 的外正向边界曲线，则

???+=??-??L D

Qdy Pdx dxdy y

x Q )(

（）

3．对单一积分?L Pdx 或

Qdy 不能用格林公式。（）

4.设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,P(x,y),Q(x,y)上有一阶连续偏导数，则（a ）dxdy y

x P Qdy Pdx L

)(

??-??=+???+ ( ) (b) dxdy y

Q x P dx y x P Qdy L

)(

),(??+??=-???+ ( ) (c)

dxdy x

dy y x Q L

???

+??=),( ( ) 二、填空题

1．设C 是圆周92

=+y x 的正向，则

=+-++?C

x dx

y x dy y x 224)()4( 2．设f(u)在+∞-∞,(）上连续可导，沿连接点A （3，

）和B （1，2）的直线段AB 的曲线积分 dy y

y x f y x dx y y x f y AB

222)

1),((),(1-+-?= 3．设有二元函数u(x,y),已知u(1,1)=0,且du=(2xcosy-y λsinx)dx+(2ycosx-x λsiny)dy,则

λ= 且u(x,y)=

4 设Γ是由点（1，1，1）到点（2，3，3）的直线段，则?

+++++++z

y x z y x zdz ydy xdx 42

三、选择题

1．设函数f(x)连续（x>0），对x>0的任意闭曲线C 有?=+C

dy x xf ydx x

0)(43

且f(1)=2,则f(x)=( )

(A)242412423-+-x x x (B) rx

e x x x 10242412423+-+- (C)x 3

(D)x

x 13+

2.设F(x,y)可微，如果曲线积分

ydy xdx y x F ))(,(与路径无关，则F(x,y)应满足（）

（A ）),(),(y x xF y x yF x y '

=' （B ）),(),(y x F y x F x y '

（C ）),(),(y x xF y x yF xx yy "=" （D ）),(),(y x yF y x xF x y '

=' 2.设函数f(x)连续可微且f(0)=-2,曲线积分

?+-C

dy x f dx x x yf x y )()tan )(2sin (与路径无关，则f(x)=（）

（A ）x

x cos 34cos 322-

（B ）x 2

cos 2- （C ）-2cosx （D ）x

x cos 34

cos 32-

3.曲线积分dy y

y x x dx y y x x C 22222()(α

α+-++?在不与X 轴相交的区域上与路径无关，则α=（）（A ）

21 （B ）2

- （C ）任意值（D ）0 4如果2

222222)()2()2(y x dy

bx xy x dx ax xy y +++-++是某一函数u(x,y)的二阶微分，则a 、b 满足条件u(1,1)=0的u(x,y)

为（）

（A ）a=1,b=-1,u(x,y)=22y x y x ++ (B)a=-1,b=1, u(x,y)=2

2y x y

x +- (B)a=-1,b=-1, u(x,y)=

222)(y x y x +- (D) a=-1,b=-1, u(x,y)=2

2y x y

x +-

5.L 是圆域D ：x y x 22

-≤+的正向圆周，则=-+-?

dy y x dx y x )()(3

3（）

（A ）π2- （B ）0 （C ）

3π

（D ）π2

四、求变力}2,3{x y y x F -+=?将质点沿椭圆442

2=+y x 的正向转动一周所做的功。

五、利用格林公式计算。 1．C dy xy dx xy C

,22?

-为正向圆周222R y x =+

2．dy m y e dx my y e x

x )cos ()sin (-+-?

L 为点A （a,0）到点（0，0）的上半圆周)0(2

>=+a ax y x 六、计算?

+-=C

x ydx xdy I 2

2，C 为正向圆周)1(2

22≠=+R R y x

七、验证曲线积分?

-+-)

3,2()

0,0(22)sin cos 2()sin cos 2(dy y x y y dx x y y x 与路径无关，并求其值。

八、选取n ，使

y x dy

y x dx y x )

()()(22+++-在XOY 平面上除去X 的负半轴和原点以外的开区域G 内的某个函数u(x,y)的全微分，并求u(x,y).

§10.4 对面积的曲面积分

一、判断

1．二重积分也可看成是在平面片D 上的第一类曲面积分。（） 2．设连续曲面片D y x y x f Z ∈=∑),(),,(:，则∑的面积为 A=

dxdy f f ds D

y x ??

??'+'+=∑

2)()(1，这与用二重积分求面积不一样。（）二、填空题

1．设∑是圆锥面22y x Z +=

被圆柱面ax y x 222=+所截的下部分，则??∑

++ds zx yz xy )(=

2．设∑是球面：az z y x 22

=++，则曲面积分??∑

++ds z y x )(2

22= 三、选择题

1．设∑为2

22y x Z --=在XY 平面上方的曲面，则??∑ds =（）

（A ）??+π

θ2010

241rdr r d （B ）??

+π

θ20

20241rdr r d （C ）

?+-π

θ20

2241)2(rdr r r d （D ）??

+π

θ20

241rdr r d

2．设有一分布非均匀的曲面∑ ，其面密度为),,(z y x Ω，则曲面∑对X 轴的转动惯量为（）（A ）??∑

xds （B ）??∑

ds z y x x ),,(ρ

（C ）

??∑

ds x

（D ）??∑

+ds z y x z y ),,)((22

3．设∑为球面2

R z y x =++，则=（）

（A ）2

4R π （B ）545R π （C ）2

R π （D ）R π4

四、计算下列第一型曲面积分。]

1．??∑

+ds y x z )342(，其中∑为平面14

32=++z

y x 在第一卦限的部分。

2．??

∑

++ds z y x )(，∑为球面2222R z y x =++上（)0a h h z <<≥且的部分。

3．??

∑

++ds z

y x 2

221

，∑是柱面222R y x =+ 于平面Z=0和Z=h(h>0)之间的部分。

4．??∑

+ds y x

)(22

，∑为锥面22y x Z +=与平面Z=1所围成的区域的边界曲面。

五、求球面22y x z Z --=在柱面ax y x =+22内部的表面积。

六、求旋转抛物面2

2y x Z +=被平面Z=2所截的部分的质心坐标，假设其上各点的面密度为该点到Z

轴的距离的平方。

§10.5 对坐标的曲面积分

一、判断题

1．设∑为2

R z y x =++在第一卦限部分，则∑的面积为

A=??????++++++++zx

D z x Dxy

D z y y x dzdx y y dydz x x dxdy z z ]111[

22222

其中zx yz xy D D D ,,分别为∑在各坐标面上投影区域。（）

2．因为??

????∑

∑

==3

cos ds ds x xdydx γ，（∑为x+y+z=1上侧），所以

??∑

xdxdy 为第一类曲线积分。

3．

34a zdxdy π??∑

=，∑为2222a z y x =++的外侧。（）二、填空题

1．

∑

++ydzdx xdydz zdxdy = ，∑为柱面2

22a y x =+被平面Z=1和Z=4所截得的在第一卦限内的部分。

2．设∑为平面3x+2y+32z=6在第一卦限的部分的上侧，将??∑

++Qdzdx Pdydz Rdxdy 化为对

面积的曲面积分的结果为。

三、选择题

1．设流速场}1,0,0{=v ω

，则流过球面2

222a z y x =++的流量值=（）

（A ）0 （B ）2

4R π （C ）33

4R π （D ）1

2．设曲面∑为Z=0，1,1≤≤y x ，方向向下，D 为平面区域：1,1≤≤y x ，则??∑

dxdy =（）

（A ）1 （B ）

??∑

dxdy （C ）-??∑

dxdy （D ）0

3．设∑为Z=0（2

R y x ≤+）的上，则??∑

+dxdy y x )(2

2=（）（A ）

22R dxdy R

R y x π=??≤+ （B ）42

22R dxdy R

R y x π-=-

??≤+

（D ）

R dr r d R

πθπ

? （D ）0

四、计算下列第二型曲面积分。

1．??∑

+xdydz zdxdy ，∑是平面x+y+z=2在第一卦限部分的外侧。

2．

??∑

+--zdxdy ydzdx x dydz yz x

2)(,∑柱面122=+y x 被平面z=1和z=0所截得部分的外

侧。 3．

dxdy y x e Z ??

∑

2，∑为锥面22y x Z += 平面z=1和z=2所围成的立体表面的外侧。

五、求流速场k y i x v ???2+=穿过曲面2

2y x z +=与平面z=1所围成的立体表面的流量。

六、已知f(x,y,z)连续，∑是平面x+y+z=1在第四卦限部分的外侧，计算??∑

+++++dxdy z z y x f dxdz y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([

§10.6 高斯公式与斯托克斯公式散度与旋度

一、断题

1．设∑是球面2

R z y x =++的外侧，γβα.,为法矢的方向角。V 是∑所围成的立体，则

ds z y x )cos cos cos (3

33γβα++??

∑=52224)333(R dv z y x v

π=++??? （） 2．空间立体Ω的体积V=

][31

zdxdy ydzdx xdydz ++???Ω

这是∑为∑的边界曲面之外侧。（） 3．梯度和旋度为Z ，散度是向量。（）

二、填空题

1 设空间区域Ω是由曲面2

y x a z --=与平面z=0围成，其中a 为正整数，记Ω的表面外侧为s ，Ω的体积为v ，则

=++-??dxdy xyz z dxdz xy dydz yz x S

)1(222 。 2 设R xz j xy i e A xy ????)cos()cos(2

++=则A div ?= 。

3 设2

22ln z y x u ++=，则)1,1,1()(u d gra div ?=

)1,1,1()(u d gra t ro ??

= 。

二、选择题

1．设f(u)具有连续导数，∑是曲面2

2z x y +=与2

8z x y --=所围成立体表面之外侧，则（）

zdxdy dzdx y

f x dydz y x f y ++??)(1)(1=（）（A ）16π （B ）-16π （C ）-8π （D ）因f(u)未知，故无法确定。

2．设∑为球面2

222R z y x =++的外侧，则)()(12

222zdxdy ydzdx xdydz z y x ++++??∑

+（）（A ）0 （B ）π4 （C ）2

4R π （D ）33

4R π

3．设∑是球面2

222a z y x =++的外侧，则??∑

zdzdy =（）

（A ）0 （B ） 334a π （C ）34a π （D ）42

a π 三、计算zdxdy dzdx zx y dydz yz x

2)()(22

+-+-??∑

，∑是221y x z +-=被z=0所截部分的外侧。

五、计算

dxdy y z

y f y dzdx y z y f z dydz x ])(1[])(1[33

3++++??，其中f(u)具有连续导数，∑是球面

2222R z y x =++的外侧。

六、算下列曲面积分。

1．??

∑

-+-+-,)()()(dxdy y x dxdz x z dydz z y ∑为)0(222h z y x z ≤≤+=的下侧。

2．yzdxdy dzdx y z xdydz y 4)1()18(2

--++??∑其中S 是由曲线)31(0

1≤≤?????=-=y x y z 绕y 轴旋转而成的旋转曲面，它的法向量与y 轴的正向的夹角恒大于2

。

3．??

++s

zdxdy dydz z x )2(，S 为)10(2

2≤≤+=z y x z 其法向量与轴正向的夹角为锐角。

七、求k xy z j x y i yz x A ???ρ)()2()(2

22+++++=的散度和旋度。

八、利用斯托克斯公式计算下列曲线积分。

1．

++xdz zdy ydx ，其中Γ为圆周2222R z y x =++，x+y+z=a,从X 轴正向看去，这圆周是

逆时针方向。 2．

?Γ

+-ydz dy dx ，其中Γ为x+y+z=1在第一卦限部分的三角形周期，从Y 轴正向看去方向是

顺时针的。九、流体在空间流动，流体的密度u 处处相同（设u=1）已知流速k zy j yx i xz V ????2

22++=，求流体在

单位时间内流过曲面∑：z z y x 22

=++的流量（流向外侧）和沿曲线L ：z z y x 22

=++，z=1的环流量（从z 轴正向看去是逆时针方向。）

曲线积分和曲面积分

定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。定义可以用统一的形式给出：从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。曲面积分的形式如下： \begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*} 这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头

{a}）上任何一点的分量向量。最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积 \超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi）如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。

高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答(可编辑修改word版)

1 2 1 2 2 5 L L ? ? ? 第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题 10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分：（1） I = ? L xds ，其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A (0,1) 到 B ( , - ) 之间的一段劣弧；解: (1 + ) ．（2） ? L (x + y +1)ds ，其中 L 是顶点为O (0, 0), A (1, 0) 及 B (0,1) 所成三角形的边界；解: ?L (x - y + 1)ds = 3 + 2 ．（3） ? x 2 + y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = x ；解: ? x 2 + y 2 ds = 2 ．（4） x 2 yzds ，其中 L 为折线段 ABCD ，这里 A (0, 0, 0) ， B (0, 0, 2), C (1, 0, 2), L D (1, 2, 3) ；解: ? L x 2 yzds = 8 ． 3 z B (0, 0, 2) D (1, 2,3) C (1, 0, 2) 2 求八分之一球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 的边界曲线的重心，设曲线的密度 = 1 。解故所求重心坐标为? 4 , 4 , 4 ? ． A (0, 0, 0) y x 3 3 3? 习题 10—2 1 设 L 为 xOy 面内一直线 y = b （ b 为常数），证明 1 2 y A C o x B

? ? ?L x - y + z = 2 , ? 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： ?L Q (x , y )dy = 0 。（1） ? L xydx ，其中 L 为抛物线 y = x 上从点 A (1, -1) 到点 B (1,1) 的一段弧。 2 4 解 : ? L xydx = 5 。（2） (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy ，其中 L 是曲线 y = 1 - 1 - x 从对应于 x = 0 时的点到 L x = 2 时的点的一段弧；解 (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy = 4 ． L 3 （3） ? L ydx + xdy , L 是从点 A (-a , 0) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = a 2 到点 B (a , 0) 的一段弧；解 ?L ydx + xdy = 0. （4） xy 2dy - x 2 ydx ，其中 L 沿右半圆 x 2 + y 2 = a 2 以点 A (0, a ) 为起点，经过点C (a , 0) L 到终点 B (0, -a ) 的路径；解 ?L xy 2dy - x 2 ydx = -a 4 。 4 （5） ? L x dx + 3zy dy - x ydz ，其中 L 为从点 A (3, 2,1) 到点 B (0, 0, 0) 的直线段 AB ； 3 2 2 0 3 87 解 ? x 3dx + 3zy 2dy - x 2 ydz = 87? t dt = - 。 L 1 4 ?x 2 + y 2 = 1 , （6） I = (z - y )dx + (x - z )dy + (x - y )dz ， L 为椭圆周? 且从 z 轴 ? 正方向看去， L 取顺时针方向。解: = -2 。习题 10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数对为奇函数其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=

曲线积分和曲面积分

定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：

从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。

换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi）如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。

第十章(第三部分)曲线积分习题解答

第十章曲线积分与曲面积分（第三部分）曲线积分习题解答一、对弧长的曲线积分 1．计算? = L yds I ，其中L 为摆线)cos 1( ),sin (t a y t t a x -=-=的一拱 )20 ,0(π≤≤>t a ．解由于? ??-=-=)c o s 1()s i n (:t a y t t a x L , )20 (π≤≤t ；而 dt t a dt y x ds 2 1 2 2)cos 1(2-='+'=，)20 (π≤≤t 故 ? ? π -?-= = 2 0 2 1 )c o s 1(2)c o s 1(dt t a t a yds I L ? π =2 0 3 22 sin 4dt t a ?π= 0 32sin 8udu a ? π=2 0 32 sin 16udu a 2 2 32a = . 2．计算曲线积分? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22．解圆周ax y x =+22在极坐标下的方程为θ=ρc o s a )2 2(π ≤θ≤π- ，则 θ=θρ'+ρ=ad d ds 22. 故 ? +L ds y x 22 ? π π-?ρ=2 2 ads ? ππ-θ?θ=2 2 cos ad a ? πθθ=2 0 2 cos 2d a 22a =. 3．计算?+=L y x ds e I 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解积分曲线L 为闭曲线（如右图），可分解为321L L L L ++=，其中 )0( ,0 :1a x y OA L ≤≤==； )4 0( , :2π ≤ θ≤==a r AB L ；

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算作者：钟家伟指导老师：张伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。关键词：第二类曲线积分二重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第二类曲面积分 1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章曲线积分与曲面积分内容要点一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα；性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注：若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??

第十章曲线积分与-曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分 10.01 填空 (1) 第二类曲线积分 ?Γ Rdz +Qdy +Pdx 化成第一类曲线积分是 ?Γ γ+β+α)ds Rcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为Γ上点(x,y,z)处切向量的方向角。 (2) 第二类曲面积分 ??∑ Rdxdy +Qdzdx +Pdydz 化成第一类曲面积分是 ??∑ γ+β+α)ds Rcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为∑上点(x,y,z)处的法向量的方向角 10.02 计算下列曲线积分： (1) ds y x L 22?+,其中L 为圆周 ax y x 22=+ 解： Θ L:x y ax 22+= 表示为参数方程:x =a 2a 2cos y =a 2sin +? ??? ?≤≤θθ θπ() 02 有 θ'θ-='θ θcos 2a =y ,sin 2a x x y a 4a 2''2θθ2 2 +== ) cos 1(2a =ax y x 222θ+=+ θ?θ=+∴ ?? πd 2a cos +12 a ds y x 20L 22θθ ?πd 2cos 2a 42= 202 ??? ? ?θθ-θθ=??πππ022d 2cos d 2cos 2a =-?? ? ? ??=a a 2 2 20222sin sin θπθππ (2) ?Γ zds ,其中Γ为曲线t cos t x =，t sin t x =，t z =，0t t 0≤≤ 解： ΘΓ:cos sin () x t t y t t z t t t ===??? ??≤≤0 0 ∴++=+x y z t t t t '''2 2 2 2 2

曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分一、基本内容要求 1．理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、面积分表达一些几何量和物理量； 2．掌握线、面积分的计算法； 3．知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系； 4．掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重积分； 5．掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数，注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少； 6．掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭区间Ω上的三重积分。二、选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=ds e om y x ? +2 2不相等的积分是：（） A)dx e x 21 2? B) dy e y 21 02? C) dt e t ? 2 D) dr e r 21 ? 2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I= ? +-L xdy ydx 等于（） A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I= ds y x L ? +)2(化为定

积分的正确结果是：（） A) dt t t R )sin 2(cos 0 2+? -π B) dt t t R )sin 2(cos 0 2 +?π C) dt t t R )cos 2sin (0 2+-?- π D) dt t t R )cos 2sin (232 2+-?π π 4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向，则 ? -+-L dy y x dx y x )2()3(等于：（） A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)，则曲线积分I= dx y AEB ? 3等于：（） A) 0 B)dx y BE ? 32 C) dx y EB ? 32 D) dx y EA ? 32 三、填空 1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 ds y P x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[( γβα??-??+??-??+??-???? ∑ = 。 2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且

高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分：（1）L I xds = ? ，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A 到( ,)22 B -之间的一段劣弧；解: (1)2 +．（2）(1)L x y ds ++? ?，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及 (0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)322L x y ds -+=+??．（3） 22L x y ds +? ?，其中L 为圆周22x y x +=；解:22 2L x y ds +=??．（4） 2 L x yzds ? ，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ；解: 2 853 L x yzds =?． 2 求八分之一球面222 1(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。解故所求重心坐标为444,,333πππ?? ??? ．习题10—2 1 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明 x y z (0,0,0) A (0,0,2) B (1,0,2) C (1,2,3) D x y o A B C

(,)0L Q x y dy =?。证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）L xydx ? ，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。解 : 45 L xydx = ? 。（2） ? -++L dy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到 2=x 时的点的一段弧；解 3 4)()( 2222= -++? L dy y x dx y x ．（3） ,L ydx xdy +? L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.L ydx xdy +=? （4）22L xy dy x ydx -?，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0) C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22L xy dy x ydx -? 44 a π =- 。（5）3223L x dx zy dy x ydz +-? ，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223L x dx zy dy x ydz +-? 31 87 874 t dt ==- ?。（6）()()()L I z y dx x z dy x y dz =-+-+-??，L 为椭圆周22 1 , 2 ,x y x y z ?+=?-+=? 且从z 轴正方向看去，L 取顺时针方向。解: 2π=-。习题10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:

曲线积分曲面积分总结

第十三章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入图13-1

第十章曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分必作习题 P158 1；2；3（1）（3）（5）（7）必交习题一、计算? +L y x ds e 2 2，其中L 为圆周2 22a y x =+，直线x y =及x 轴在第一卦限内所围成的扇形的整个边界。二、计算 ds z y x L ? ++2 221，其中L 为曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 在相应于t 从0到2的这段弧。

三、计算? +L ds y x )(，L 为以（0，0），（1，0）和（0，1）为顶点的三角形边界。四、设物质曲线32x x y = 在点M 处的线密度μ与点M 到原点的弧长s 成正比，求该曲线从点)0,0(到)3 16 ,4(的一段弧的质量。

§2 对坐标的曲线积分必作习题 P170 1；2；3（1）（3）（5）（7）；4（2）（4）必交习题一、把对坐标的曲线积分 ? +L dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分，其中L 为：在xoy 平面内 1、沿直线从点（0，0）到点（1，1）； 2、沿抛物线2 x y =从点（0，0）到点（1，1）； 3、沿上半圆周x y x 22 2=+从点（0，0）到点（1，1）。二、计算? +--+L y x dy y x dx y x 2 2)()(，其中L 为圆周2 22a y x =+（按逆时针方向绕行）。

三、在力},,2{22z x y xy F = 的作用下，质点从)0,0,0(沿L ：?? ? ??===22t z t y t x 移至)1,2,1(，求力F 所做的功。四、计算曲线积分? +++L x x dy e x dx ye )()1(，其中L 为：沿21x y -=从点A(1，0）到点B （-1，0）。

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes 公式向量计算形式 1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积.

曲线积分与曲面积分(答案word

第十章曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章曲线积分 1第一型曲线积分一、第一型曲线积分的定义引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量. 当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i n i i P f ?Ω∑=1)(. 当对Ω有分割越来越细密(即d=i n i ?Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是该物体的质量. 定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i n i s ?≤≤1max ，在L i 上任取一点 (ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i n i i i T s f ?∑=→1 ),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：?L ds y x f ),(. 注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类

似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分?L ds z y x f ),,(. 性质：1、若?L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则 ?∑=L k i i i ds y x f c 1 ),(=∑?=k i L i i ds y x f c 1 ),(. 2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且?i L ds y x f ),((i=1,2,…,k) 都存在，则?L ds y x f ),(也存在，且?L ds y x f ),(=∑?=k i L i i ds y x f 1 ),(. 3、若?L ds y x f ),(与?L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则 ? L ds y x f ),(≤?L ds y x g ),(. 4、若?L ds y x f ),(存在，则?L ds y x f ),(也存在，且?L ds y x f ),(≤?L ds y x f ),(. 5、若?L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得?L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L ≤c ≤),(sup y x f L . 6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是 ? L ds y x f ),(. 二、第一型曲线积分的计算定理20.1：设有光滑曲线L:?? ?==) () (t y t x ψ?, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L 上的连续函数，则?L ds y x f ),(=?'+'β αψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =?='+'i i t t dt t t 1 )()(22ψ?. 由)()(22t t ψ?'+'的连续性与积分中值定理，有

曲线积分与曲面积分总结

对弧长的曲线积分??+=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( ???==) ()(:t y y t x x L βα≤≤t dt t y t x t y t x f ?'+'βα)()())(),((22 (,,)((),(),(L L f x y z ds f x t y t z t =??():()()x x t L y y t z z t =??=??=? βα≤≤t ((),(),(f x t y t z t βα ? 22222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 ?+L dy y x q dx y x p ),(),( ???==) ()(:t y y t x x L α=t β=t dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?βα (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?

():()()x x t L y y t z z t =??=??=? α=t β =t ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++? 11 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+?? 1( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? ??=??-??D dxdy y p x q )( ?+L dy y x q dx y x p ),(),( y p x q ??=?? ???+=+2 1212211),(),(),(),(21) ,(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=Q P x y ??? =?? 1、 ?? ??++= =∑xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)),(,,(),,(),(μμ 2、 (,)(,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑==???? 3、 (,)(,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑==???? ds ∑ =∑??面积。

第八章曲线积分与曲面积分

第八章曲线积分与曲面积分本章是把定积分概念推广到定义在曲线是的函数和定义曲面上的函数上去，就得到曲线积分和曲面积分。 §1对弧长的曲线积分问题：设有一曲线形构件占xOy 面上的一段曲线L ，设构件的质量分布函数为),(y x ρ，设),(y x ρ定义在L 上且在L 上连续，求构件的质量。 ∑=→=n i i i i S M 10 ),(lim ?ηξρλ 定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧，),(y x f 在L 上有界，在L 上任意插入一点列1M ，2M ，…，1-n M 把L 分成n 个小弧段 i i i M M L 1-=?的长度为i S ?，又),(i i ηξ是i L ?上的任一点，作乘积 i i i S f ?ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和∑=n i i i i S f 1 ),(?ηξ，记}max {i S ?λ=，若 ∑=→n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ存在，且极限值与L 的分法及),(i i ηξ在i L ?的取法无关，则称极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分，记为：?L s y x f d ),(，即 ?L s y x f d ),(∑=→=n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ 。其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分曲线。对弧长曲线积分的存在性：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则?L s y x f d ),(一定存在。对弧长曲线积分的性质：

1、???±=±L L L s y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([ 2、??=L L s y x f k s k y x kf d ),(d ),( 3、设21L L L +=，则???+=2 1 d ),(d ),(d ),(L L L s y x f s y x f s y x f 这里规定：若L 是封闭曲线，则曲线积分记为?L s y x f d ),( 有上述对弧长的曲线积分，则上面的问题就可以用对弧长的曲线积分表示为 ?=L s y x f M d ),( 对弧长的曲线积分的计算法：在一定体积下化为定积分计算，首先要注意： 1、),(y x f 定义在曲线L 上， 2、s d 是弧长微分。定理：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，L 由参数方程) ()() (βαψ?≤≤? ? ?==t t y t x 给出，其中)(t ?、)(t ψ在],[βα上具有连续导数且0)()(22≠'+'t t ψ?，则 ? L s y x f d ),(存在，且：??'+'=β α ψ?ψ?t t t t t f s y x f L d )()()](),([d ),(22。若L 方程为：)(x y ψ=，b x a ≤≤，则??'+=b a L x x x x f s y x f d )(1)] (,[d ),(2ψψ。若L 方程为：)(y x ?=，d y c ≤≤，则??'+=d c L y y y y f s y x f d )(1]),([d ),(2?? 例1、计算?L s y d ，其中L ：)20()cos 1() sin (π≤≤? ? ?-=-=t t a y t t a x

(完整版)第十章曲线积分与曲面积分练习题

曲线积分和曲面积分

高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答(可编辑修改word版)

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

曲线积分和曲面积分

第十章(第三部分)曲线积分习题解答

第二类曲线积分的计算

第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

第十章曲线积分与-曲面积分

曲线积分与曲面积分

最新曲线积分与曲面积分习题及答案

高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

曲线积分曲面积分总结

第十章曲线积分与曲面积分

第二类曲面积分的计算方法

曲线积分与曲面积分(答案word

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

曲线积分与曲面积分总结

第八章 曲线积分与曲面积分

第八章曲线积分与曲面积分