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最新曲线积分与曲面积分习题及答案

第十章曲线积分与曲面积分

(A)

1．计算()?+L

dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。

2．计算?

ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。

3．计算()?+L

ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=，

()π20≤≤t 。

4．计算?+L

y x ds e

2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一

角限内所围成的扇形的整个边界。

5．计算????

? ??+L ds y x 34

34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。

6．计算

ds y

x z 2

，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。

7．计算?L

xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。

8．计算?-+L

ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线

段AB 。

9．计算()?-+++L

dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直

线。

10．计算()()?---L

dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()

t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)：

11．计算()()?-++L

dy x y dx y x ，其中L 是：

1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧；

2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。

12．把对坐标的曲线积分()()?+L

dy y x Q dx y x P ,,化成对弧和的曲经积分，其

中L 为：

1）在xoy 平面内沿直线从点()0,0到()4,3； 2）沿抛物线2x y =从点()0,0到点()2,4； 3）沿上半圆周x y x 22=+2从点()0,0到点()1,1。 13．计算

()()

?-+-L

x x

dy mx y e dx my y e

cos sin 其中L 为()t t a x sin -=，

()t a y cos 1-=，π≤≤t 0，且t 从大的方向为积分路径的方向。

14．确定λ的值，使曲线积分()()

-++-βα

λλdy y y x dx xy x

4214

564与积分路径

无关，并求()0,0A ，()2,1B 时的积分值。

15．计算积分()()?++-L

dy y x dx x xy 222，其中L 是由抛物线2x y =和x

y =2所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。

16．利用曲线积分求星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =所围成的图形的面积。 17．证明曲线积分()()

()

()?

-+-4,32

,12232

366dx xy y x dx y xy

在整个xoy 平面内与路

径无关，并计算积分值。

18．利用格林公式计算曲线积分

()()

?-+-+L

x x dy ye x x dx e y x xy x xy

2sin sin 2cos 222

，其中L 为正向星形

线3

y x =+()0>a 。

19．利用格林公式，计算曲线积分()()?-+++-L

dy x y dx y x 63542，其中L 为三顶点分别为()0,0、()0,3和()2,3的三角形正向边界。

20．验证下列()()dy y x Q dx y x P ,,+在整个xoy 平面内是某函数()y x u ,的全微分，并求这样的一个()y x u ,，()()dy ye y x x dx xy y x y 128832322++++。

21．计算曲面积分()

??∑

+dx y x 22，其中∑为抛物面()222y x z +-=在xoy 平

面上方的部分。

22．计算面面积分()

??∑

+--ds z x x xy 222，其中∑为平面和三坐标闰面所围

立体的整个表面。

24．求抛物面壳()

1y x z +=

()10≤≤z 的质量，壳的度为z t =。 25．求平面x z =介于平面1=+y x ，0=y 和0=x 之间部分的重心坐标。 26．当∑为xoy 平面内的一个闭区域时，曲面积分()??∑

dxdy z y x R ,,与二重积

分有什么关系？

27．计算曲面积分??∑

++ydzdx xdydz zdxdy 其中∑为柱面122=+y x 被平面

0=z 及3=z 所截的在第一卦限部分的前侧。

28．计算

??∑

++dxdy z dxdz y dydz x 2

22式中∑为球壳()()2

b y a x -+-

()22

R c z =-+的外表面。

29．反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积

()()()??∑

++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,化成对面积的曲面积分，其中∑是

平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧。

30．利用高斯公式计算曲面积：

1）??∑

++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，

a y =，a z =所围成的立体的表面和外侧。

2）()()??∑

-+-xdydz z y dxdy y x ，其中∑为柱面122=+y x 与平面0=z ，3

=z 所围立体的外表面。

31．计算向理αρ

穿过曲面∑流向指定侧的通量：

1）()k xz j y x i z x ρρρρ

22-+-=α，∑为立体a x ≤≤0，a y ≤≤0，a z ≤≤0，

流向外侧；

2）()()()k y x z j x z y i z y x ρρ

ρρ

-+-++-++-=α，∑为椭球面

2222=++c z b y a x ，流向外侧。 32．求向理场()()

k xz j xy i a xy

ρρρρ

cos cos ++=α的散度。

33．利用斯托克斯公式计算曲经积分?Γ

++xdz zdy ydx 其中Γ为圆周，

2222a z y x =++，0=++z y x ，若从x 轴正向看去，这圆周取逆时针方向。

34．证明?Γ

=++02xzdz xydy dx y ，其中Γ为圆柱面y y x 222=+与z y =的交

线。

35．求向量场()()()

k xy j yz x i y x a ρρρρ2

33-++-=，其中Γ为圆周

222y x z +-=，0=z 。

36．求向量场()()j y x z i y z ρ

cos sin --+=α的旋度。 37．计算

()()()

?Γ

-+-+-dz y x dy x z dx z y

222222

，其中Γ为用平面

++z y x 切立方体a x ≤≤0，a y ≤≤0，a x ≤≤0的表面所得切痕，若从ox 轴的下向看去与逆时针方向。

(B)

1．计算?L

yds ，其中L 为抛物线px y 22=由()0,0到()00,y x 的一段。

2．计算

ds y 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()t r a y cos -=一拱

()π20≤≤t 。

3．求半径为a ，中心角为24的均匀圆弧(线心度1=ρ)的重心。 4．计算?L

zds ，其中L 为螺线t t x cos =，t t y sin =，t z =()π20≤≤t 。

5．计算?

++L

ds z

y x 2

221，其中L 为空间曲线t x t cos ρ=，t y t

sin ρ=，t z ρ=上相应于t 从0变到2的这段弧。

6．设螺旋线弹簧一圈的方程为t a x cos =，t a y sin =，kt z =()π20≤≤t ，它的线心度为()222,,z y x yz y x ++=ρ，求：

1）它关于z 轴的转动惯量z I ； 2）它的垂心。

7．设L 为曲线t x =，2t y =，3t z =上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分?++L

Rdz Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分。

8．计算()()?+--+L

y x dy y x dx y x 2

2，其中

L 为圆周222a y x =+(按逆时针方向绕

行)。

9．计算?++L

xdz zdy ydx ，其中L 为曲线t a x cos =，t a y sin =，bt z =，

从0=t 到π2=t 的一段。

10．计算()()?-++L

dy y x dx y x 2222，其中L 为||1x y -=()20≤≤x 方向为x

增大的方向。

11．验证曲线积分()()

()

()?-++-1,20

,1222dy y x e x dx y xe

y y

与路径无关并计算积分

值。

12．证明当路径不过原点时，曲线积分()

()?++2,21,12

x ydy

xdx 与路径无并，并计算积分值。

13．利用曲线积分求椭圆122

22=+b

y a x 的面积。

14．利用格林公式计算曲线积分()()?+--L

dy y x dx y x 22sin ，其中L 是圆周

22x x y -=上由点()0,0到点()1,1的一段弧。

15．利用曲线积分，求笛卡尔叶形线axy y x 333=+()0>a 的面积。

16．计算曲线积分()

?+-L y x xdy ydx 2

22，其中L 圆周()212

2=+-y x ，L 的方向为逆时针方向。

17．计算曲面积分??∑

zds 3，其中∑为抛物面()222y x z +-=在xoy 平面上的

部分。

18．计算()??∑

++ds zx yz xy ，其中∑是锥面22y x z +=被柱面ax

y x 222=+所截得的有限部分。

19．求面心度为0ρ的均匀半球壳2222a z y x =++()0≥z 对于z 轴的转动惯量。

20．求均匀的曲面22y x z +=被曲面ax y x =+22所割下部分的重心的坐标。

21．计算曲面积分()??=++=

222,,a z y x ds z y x f I ，其中

()????

?+<+≥+=2

22222,0,,,y

x z y

x z y x z y x f 。 22．计算??∑

++yzdzdx xydydz xzdxdy ，其中∑是平面0=x ，0=y ，0=z ，

1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。

23．计算dxdy z dxdz y dydz x 1

11++??∑

，其中∑为椭球面1222222=++c z b y a x 。

24．计算

()()()??∑

-+-+-dxdy

y x dxdy x z dydz z y ，式中∑为圆锥面

2=+z y x 22()h z ≤≤0的外表面。

25．设()z y x u ,,，()z y x v ,,是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，

n u ??、n

v ??依次表示()z y x u ,,，()z y x v ,,沿∑外法线方向的方向导数。证明：()?????Ω∑??? ?

???-??=?-?ds n u v n v

u dxdydz u v v u ，其中∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式。

26．利用斯托克斯公式计算曲线积分()()()dz

xy z dy xz y dx yz x -+-+-?Γ

222其中L 是螺旋线t a x cos =，t a y sin =，t h

z π

，从()0,0,0A 到()h a B ,0,的一段。

27．设()z y x u u ,,=是有两阶连续偏导数，求证：()0=gradu rot 。

(C)

1．求曲线的弧长a x a y arcsin =，x a x

a a z +-=ln 4从()0,0O 到()000,,z y x A 。

2．计算?

ds y 21，其中L 为悬链线a

ach y =。 3．求均匀的弧t e x t cos =，t e y t sin =，t e z =()0≤<∞-t 的重心坐标。

4．计算()[]

+++++L

dy x R x y x dx x

R y 222

ln 24，

其中e 是沿222R y x =+由点()0,R A 逆时针方向到()0,R B -的半圆周。

5．设()

x f 在

()

+∞∞-,内有连续的导函数，求

()()[]

?-++L

dy xy f y y x dx y xy f y 11222，其中L 是从点??

??32,3A 到点()2,1B 的直线段。 6．计算()

()???? ??

++???

? ??-ππ,2,122cos sin cos 1dy x y x y x y dx x y x y ，沿着不与oy 轴相交的路径。

7．已知曲线积分()()?+

dy x

x f dx x xy x sin 与路径无关，()x f 是可微函数，

且02=??

??πf ，求()x f 。

8．设在平面上有()2

322y x j

y i x F ++=ρρρ构成内场，求将单位质点从点()1,1移到()4,2场力所作的功。

9．已知曲线积分()?-+=L

dy x x dx y I 333，其中L 为222R y x =+()0>R 逆

时针方向曲线：1）当R 为何值时，使0=I ？2）当R 为何值时，使I 取的最大值？并求最大值。

10．计算()()()

??∑

-+-++=dxdy z x z dzdx z x y dydz z x x I 222111其中∑为曲面

22y x z +=()10≤≤z 的下侧。

11．计算??∑

ds xyz ||，其中∑的方程为1||||||=++z y x 。

12．计算曲面积分()??∑

+=dydz x I 12，其中∑是曲线x y =()10≤≤x 绕x 轴

旋转一周所得曲面的外侧。

13．计算()()?++++L

dy y x x dx xy x 2222，其中L 为由点()0,4A 到点()0,0O 的

上半圆周x y x 422=+

14．证明()()()

?+-+-L

y x dy x y dx x y 333与路径无关，其中L 不经过直线

0=+y x ，且求()()()()

()?

+-+-3,20,13

33y x dy x y dx x y 的值。

15．求圆锥22y x z +=()h z ≤≤0的侧面关于oz 轴的转动惯量。

16．选择a ，b 值使

()()()

2222

22y

by xy x ax xy y

+++-++为某个函数()y x u ,的

全微分，并求原函数()y x u ,。

17．计算曲面积分dxdy y x e

∑

2，其中∑为曲面22y x z +=，平面1=z ，

2=z 所围立体外面的外侧。

18．证明

1）()v u u v v u uv ??+?+?=?2；

2）()()αααρ

ρρ2?-???=??x x

第十章曲线积分与曲面积分

(A)

1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112

2=-+='+=

所以()()2211

=-+=+??dx x x dx y x L

。

2．解：L 的参数方程为???

????=+=θθsin 212

1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤

则()?θθcos 12||2

sin 2121cos 212

+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x

2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ?

-+=

||21cos 2sin 22

22a a a d y x ds =??

??+??? ??-='+'=θθθ

所以?

=+πθθ

2222

cos 21d a ds y x L

??-=??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a

220222sin 22sin

221a a =???

??-=π

ππθ

θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+=

'+'=2222sin cos

故(

)

()()[]

?-++=+π20

2cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L

()()?

+=???? ??+=+=ππ

ππ20

23220

321242a t t a

dt t t a 4．解：如图?

?++++++=3

2L y x L y x L y x L

y x ds e

ds e

1L ：???==0y x

x ，a x ≤≤0，dx dx ds =+=201

2L ：???==x y x x ，a x 220≤

≤，dx dx ds 2112=+= 3L ：???==t

a y t a x sin cos ，40π

≤≤x ，

()()adt dt t a t a dt y x dx =+-=

'+'=2222cos sin

∴??

??++=+40

220

2π

adt e dx e

dx e ds e

a a x

y x

2424|22

20-??? ?

+=++=a e ae e

e a a

a x

x ππ

5．解：()t t a y x 443

43434

sin cos +=+ ()()

22cos sin

3sin cos 3t

t a t

t a dt y x ds ++-=

'+'=

tdt t a dt t t a cos sin 3cos sin 9222==

∴(

)

??+=???

? ??+2044373434cos sin sin cos 3π

tdt t t t a ds y x L 37

2063

4sin 616cos 61

3a t t a =??? ??+-=π

6．解：()()adt dt a t a t a dt z y x ds 2cos sin 222222=

++-=

'+'+'=

∴()()??

=+=+ππ2020

222222sin cos dt t a adt t a t a t a ds y x z L

320323

8|312ππa t a ==。

7．解：()???

---=

=='

22y dy y dy y y y xydx L

8．解：直线段AB 的方程为

23z

y x ==，化成参数方程为 t x 3=，t y 2=，t z =，t 从1变到0 故ydz x dy xy dx x L

2233-+?

()()

()[]

dt t t t t t ?

?-?+?=0

32322333

878701

==?dt t 9．解：直线的参数方程为

t x +=1，t y 21+=，t z 31+=(10≤≤t )

()?

-+++L

dz y x ydy xdx 1

()()()[]?-+++++++=1

121132121dt t t t t

()?=+=1

13146dt t

10．解：()()?---L

dy y dx y a 92

()[]()()[]{}?

------=π20

sin cos 1cos 1cos 12dt t a t a a t a t a a

()

()?

???

???--=--=ππ20

220

22sin 212cos 121sin cos cos

1dt t t a dt t t t a ππ220

a dt a ==?

11．解：1)原式()()[]

?-++=21

2dy y y y y y

()334221312122

3421

23=

???

??++=++=?

yh y y dy y y y 2)原式()()[]()()()[]{}

++-+++++++=2

222212114112dt t t t t t t t t

()

?+++=1

2329510dt t t t

1213122935410229354101

22424=???

??+++=??? ??+++=t t t t dt t t t

12．解：1）L 的方向余弦53cos α

，5

cos β ()()()()????

???+=+L L ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P ,54,53,, 2）()dx x ds 2

21+=，2411cos x

dx dx +==

224124111sin cos x

x +=+-

==αβ 故()()()()ds x

y x xQ y x P dy y x Q dx y x P L

?++=+2

41,2,,,

3）()dx x

x x ds 2

211--+=

，22cos x x ds

dx -==

x x x -=+-==121sin cos 2αβ

故()()()()()[]?

?-+-=+L

ds y x Q x y x P x x dy y x Q dx y x P ,1,2,,2

13．解：因为

m y e x

Q y P x -=??=??cos 故原积分与路径无关，于是

原式?

+BA

()

?2-+=a a

dy a m y e

dx 0

cos 0πππ

222sin ma a e a ππ-=。

14．解：λxy x P 44+=，42156y y x Q -=-λ，由

Q y P ??=??，得 ()221164y x xy ---=λλλλ，解得3=λ

故当3=λ时，所给积分与路径无关

()()()

()

dy y y x dx xy x

4222,10

,034

564-++?

(

)

()

79516042

421

-??+?+=??dy y y dx x x 取CB AC +计算，其中()0,0A ，()0,1C ，()2,1B 15．解：原式?

L L

()()[]

?++-=10

42322dx x x x x x ()()[]

++-+01

2243

22dy y y y y y

(

)

?++=10

23522dx x x x (

)

12421

0245?=

++--dy y y y 又()()??????=-=-=???? ????-??y y D

D dx x dy dx x dxdy y P x Q 2

301

212110 ∴

???+=????

???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q

16．解取y P -=，x Q =，

1-=??y P ，1=??x

可得面积

???-=

ydx xdy dxdy A 21

1 设1A 为在第I 象限部分的面积，由图形的对称性所求面积

-==ydx xdy A A 21

41 ()[]

?-?-?=20

222

sin cos 3sin cos sin

3cos 2π

dt t t a t a t t a t a

220

222

cos sin a tdt t ba

ππ

==?

注：还可利用????==L

ydx xdy dxdy 17．解：326y xy P -=，2236xy y x Q ==

2312y xy y P -=??，2312y xy x

Q -=?? 因为

x Q ??=??，所以积分与路径无关取路径()()()4,32,32,1→→

原式()()

2369548244

=-+-=??dy y y dx x

18．解：

x ye y x x x x

2cos sin 22-+=??，x ye x x x x y P 2sin 2cos 2-+=?? 原式0=????

????-??=??dxdy y P x Q D 。

19．解：

3=??x

，1-=??y P 原式()[]??????=--=????

????-??=D D D dxdy dxdy dxdy y P x Q 413

?===3

032

0123

4xdx dy dx x 20．解：1）

x x Q ??==??2，故dy x xydx 22+是某个()y x u ,的全微分。

()()

()???

-+=+=2y

x x y x dy x dx dy x xydx y x u 0

4,0,02

02,

2）y

x x x Q ??=+=??1632，()()()

()()?++++=y x y dy ye y x x dx xy y x y x u ,0,023*******,

()

d y y

e y x x dx y

y x ??+++=0

230

1280

()12124223+-++=y y e ye y x y x

21．解：xy D ：222≤+y x ，dxdy y x dxdy z z dx y x 222

24411++=++=

故原式()

??+++=

D dxdy y x y x

2222

441

()()[]()

()??+++=202

20sin 4cos 41sin 9cos dr r r r r r d θθθθθπ

()2412

124120

2022220

rh d r r dr r r r d ?

??+=+=π

θπ

ππ30

149

4120

=du u u u

r 22．解：原式()

??'+'++=

D y x dxdy z z y x

y x 1||||22

()()??+++=xyI

D dxdy y x y x xy 2222414

这里xyI D 为xy D 在第一象限部分

??+=1

41cos sin 4rdr r r d θθθπ

+=102420

4172sin 2

4rdr r d π

θθ

()

420

512512321

411

224

412

2-=

+-+=??=+2

dt t t t

d r r

r 23．解：y x z 226--=，()dxdy dxdy ds 3212

=-+=

原式()

??--+--=

D dxdy y x x x

xy 3226222

()

d y y xy x

x dx x ??--+--=30

222363

27-

= 24．解：(

)

dxdy y x y x zds M xy

D ??

??+++==∑

2222

121 ()

+=+=20

2220

13615

27121πθπdr r r d 25．解：平面x z =这部分的面积

????='+'+=D

y x dxdy dxdy z z S 2122

210

?-x dy dx 因而?

??-∑

x dy xdx xds S x 10

222

???-∑=

=x dy y dx yds S y 10

1????∑

∑==

xds zds S z 故重心坐标为??

??31,31,31

26．解：因为曲面积分∑有向曲面，所以()()????∑

±=dxdy

y x R dxdy z y x R xy

D 0,,,,当积分曲面取在∑的上侧时为正号，取在下侧时为负号

27，解：?

=AB D xy ，面积为0，??∑

=0zdxdy

(){}30,10,0|,,0≤≤≤≤==z y x z y D yz ，

(){}30,0,10|,0,≤≤=≤≤=z y x z x D zx

原式????-+-=

D D dzdx x dydz y 2211

??-+-=10

230

11dx x dz dy y dz

π23arcsin 2121221

0=???

???+-?=y yh y 。

28．解：根据轮换对称，只要计算??∑

dxdy z 2

xy D ：()()22

R b y a x ≤-+-

注意到：()()2

2b y a x R e z -+--±=-，再利用极坐标可得

()()????-??????----+=

-∑

dxdy b y a x R c dxdy z 2222 ()()????

????------xy

dxdy b y a x R c 2

()()??----=xy

D dxdy b y a x R e 2

-=R rdr r R d e 0

2220

4πθ

()

e R r R e R

2383

8ππ=??????--= 于是原式()c b a R ++8

=33

29．解：原式()??∑

++=ds R Q P γβαcos cos cos ，这里αcos ，βcos ，γcos 是

∑的法向理n ρ

的方向余弦而∑是平面63223=++z y x 在第一卦限部分的上侧

0cos >γ，取{}

32,2,3=n ρ

。

()

2233cos 2

22=

++=

α，52cos =β，532cos =γ

故原式dx R Q R ??∑???

??++=5325253。

30．解：1）

z y x z

R y Q x P 222++=??+??+?? 原式()??????ΩΩ++=????

????+??+??=dxdydz z y x dxdydz z R y Q x P 2

()??

??????

??++=++=a

a a

dy a ay ax dx dz z y x dy dx 020

222 4

03323222a dx a a x a a

=???? ?

?++=? 20()x z y P -=，0=Q ，y x R -=

z y z

y Q x P -=??+??+?? 故原式()()πθθπ2

sin ,301020

-=-==???

???Ω

dz z x rdr d dxdydz z y 。

31．解：??∑

++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz

???Ω???

????+??+??=dxdydz z R y Q x P

()()dz xz x dy dx dxdydz xz x a

??????-+=-+=Ω

2002

2222

()????

??---+=a

a a dx x a ax a a 0

622 2）()()()dxdy y x z dzdx x z y dydz z y x s d S

+-++-++-==Φ????∑

ρα

()abc bc dxdydz πα434

3111=?=++=???Ω

。

32．解：xy e P =，()xy Q cos =，()2cos xz R =

xy ye x P =??，()xy x y Q sin -=??，()

2sin 2xz xz z

-=?? 故()()2sin 2sin xz xz xy x ye z

R y Q x P div xy --=??+??+??=

αρ

曲线积分和曲面积分

定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。定义可以用统一的形式给出：从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。曲面积分的形式如下： \begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*} 这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头

{a}）上任何一点的分量向量。最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积 \超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi）如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数对为奇函数其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=

曲线积分和曲面积分

定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：

从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。

换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi）如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Jenny was compiled in January 2021

第二类曲线积分的计算定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为 }{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算作者：钟家伟指导老师：张伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。关键词：第二类曲线积分二重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第二类曲面积分 1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章曲线积分与曲面积分内容要点一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα；性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注：若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??

曲线积分的计算法

曲线积分第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) ? ??转化定积分 (1) 选择积分变量用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程 (2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终对弧长曲线积分的计算定理 ) ()()()](),([),(,],[)(),()(),(), (, ),(22βαψ?ψ?βαψ?βαψ?β α <'+'=≤≤? ? ?==?? dt t t t t f ds y x f t t t t y t x L L y x f L 且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意: ;.1βα一定要小于上限定积分的下限. ,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f 特殊情形 . ) (:)1(b x a x y L ≤≤=ψ. )(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f b a L ?? '+=ψψ. )(:)2(d y c y x L ≤≤=?. )(1]),([),(2dy y y y f ds y x f d c L ?? '+=??

).(, sin ,cos :,象限第椭圆求I ? ? ?===?t b y t a x L xyds I L 解 dt t b t a t b t a I 2220 )cos ()sin (sin cos +-?=?π dt t b t a t t ab 222220 cos sin cos sin +=?π ?-= a b du u b a ab 22 2) cos sin (2222t b t a u +=令. ) (3) (22b a b ab a ab +++=例2 . )2,1()2,1(,4:, 2 一段到从其中求-==?x y L yds I L x y 42=解 dy y y I 222)2 (1+=?-. 0=例3 ) 20(., sin ,cos :, πθθθθ≤≤===Γ=?Γ 的一段其中求k z a y a x xyzds I 解 θ θθθd k a k a 222sin cos +?? =π 20 I . 2 1 222k a ka +-=π例4 ?? ?=++=++Γ=?Γ . 0, , 22 2 2 2z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解由对称性, 知 . 22 2 ???Γ ΓΓ==ds z ds y ds x ?Γ ++=ds z y x I )(312 22故例1

曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分一、基本内容要求 1．理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、面积分表达一些几何量和物理量； 2．掌握线、面积分的计算法； 3．知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系； 4．掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重积分； 5．掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数，注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少； 6．掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭区间Ω上的三重积分。二、选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=ds e om y x ? +2 2不相等的积分是：（） A)dx e x 21 2? B) dy e y 21 02? C) dt e t ? 2 D) dr e r 21 ? 2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I= ? +-L xdy ydx 等于（） A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I= ds y x L ? +)2(化为定

积分的正确结果是：（） A) dt t t R )sin 2(cos 0 2+? -π B) dt t t R )sin 2(cos 0 2 +?π C) dt t t R )cos 2sin (0 2+-?- π D) dt t t R )cos 2sin (232 2+-?π π 4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向，则 ? -+-L dy y x dx y x )2()3(等于：（） A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)，则曲线积分I= dx y AEB ? 3等于：（） A) 0 B)dx y BE ? 32 C) dx y EB ? 32 D) dx y EA ? 32 三、填空 1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 ds y P x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[( γβα??-??+??-??+??-???? ∑ = 。 2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且

曲线积分曲面积分总结

第十三章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入图13-1

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes 公式向量计算形式 1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积.

曲线积分与曲面积分(答案word

第十章曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Revised as of 23 November 2020

第二类曲线积分的计算定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤, 又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11, ---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对

曲线积分与曲面积分总结

对弧长的曲线积分??+=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( ???==) ()(:t y y t x x L βα≤≤t dt t y t x t y t x f ?'+'βα)()())(),((22 (,,)((),(),(L L f x y z ds f x t y t z t =??():()()x x t L y y t z z t =??=??=? βα≤≤t ((),(),(f x t y t z t βα ? 22222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 ?+L dy y x q dx y x p ),(),( ???==) ()(:t y y t x x L α=t β=t dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?βα (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?

():()()x x t L y y t z z t =??=??=? α=t β =t ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++? 11 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+?? 1( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? ??=??-??D dxdy y p x q )( ?+L dy y x q dx y x p ),(),( y p x q ??=?? ???+=+2 1212211),(),(),(),(21) ,(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=Q P x y ??? =?? 1、 ?? ??++= =∑xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)),(,,(),,(),(μμ 2、 (,)(,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑==???? 3、 (,)(,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑==???? ds ∑ =∑??面积。

第八章曲线积分与曲面积分

第八章曲线积分与曲面积分本章是把定积分概念推广到定义在曲线是的函数和定义曲面上的函数上去，就得到曲线积分和曲面积分。 §1对弧长的曲线积分问题：设有一曲线形构件占xOy 面上的一段曲线L ，设构件的质量分布函数为),(y x ρ，设),(y x ρ定义在L 上且在L 上连续，求构件的质量。 ∑=→=n i i i i S M 10 ),(lim ?ηξρλ 定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧，),(y x f 在L 上有界，在L 上任意插入一点列1M ，2M ，…，1-n M 把L 分成n 个小弧段 i i i M M L 1-=?的长度为i S ?，又),(i i ηξ是i L ?上的任一点，作乘积 i i i S f ?ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和∑=n i i i i S f 1 ),(?ηξ，记}max {i S ?λ=，若 ∑=→n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ存在，且极限值与L 的分法及),(i i ηξ在i L ?的取法无关，则称极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分，记为：?L s y x f d ),(，即 ?L s y x f d ),(∑=→=n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ 。其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分曲线。对弧长曲线积分的存在性：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则?L s y x f d ),(一定存在。对弧长曲线积分的性质：

1、???±=±L L L s y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([ 2、??=L L s y x f k s k y x kf d ),(d ),( 3、设21L L L +=，则???+=2 1 d ),(d ),(d ),(L L L s y x f s y x f s y x f 这里规定：若L 是封闭曲线，则曲线积分记为?L s y x f d ),( 有上述对弧长的曲线积分，则上面的问题就可以用对弧长的曲线积分表示为 ?=L s y x f M d ),( 对弧长的曲线积分的计算法：在一定体积下化为定积分计算，首先要注意： 1、),(y x f 定义在曲线L 上， 2、s d 是弧长微分。定理：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，L 由参数方程) ()() (βαψ?≤≤? ? ?==t t y t x 给出，其中)(t ?、)(t ψ在],[βα上具有连续导数且0)()(22≠'+'t t ψ?，则 ? L s y x f d ),(存在，且：??'+'=β α ψ?ψ?t t t t t f s y x f L d )()()](),([d ),(22。若L 方程为：)(x y ψ=，b x a ≤≤，则??'+=b a L x x x x f s y x f d )(1)] (,[d ),(2ψψ。若L 方程为：)(y x ?=，d y c ≤≤，则??'+=d c L y y y y f s y x f d )(1]),([d ),(2?? 例1、计算?L s y d ，其中L ：)20()cos 1() sin (π≤≤? ? ?-=-=t t a y t t a x

曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L βα≤≤t 则原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α )()())(),((22 对弧长的曲线积分 (,,) ((),()L L f x y z ds f x t y t z t =? ?若 () :()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则原式= ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为：特别的： 22 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===??? 22 =2(0)L x y y +≥为上半圆周

二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一：若 ?? ?==) () (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z d x Q x y z d y R x y z d z ++? () :()()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处α=t ，终点处β=t 则原式= ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图：三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界特别地：当 y p x q ??=??时，积分与路径无关，且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,P x y d x Q x y d y d U x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积

曲线积分和曲面积分

曲线积分：在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。分类：曲线积分分为：（1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。曲面积分：定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。第一型曲面积分：

定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分：第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。

第二类曲线积分的计算教案资料

第二类曲线积分的计算

为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P ),(),(+=由于 ),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ??从而力()y x F , 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ?≈),(i F ηξ i i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ? 其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F , 沿L 所作的功可近似等于 i W =∑=n i i W 1 i n i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1 1 ),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 2.2 第二型曲线积分的定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限

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