高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答(可编辑修改word版)

1 2 1

2

2 5 L

L

?

?

? 第十章曲线积分与曲面积分习题简答

习题 10—1

1 计算下列对弧长的曲线积分：

（1） I =

?

L

xds ，其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A (0,1) 到 B (

, - ) 之间的一段劣弧；

解: (1 +

) ．

（2） ?

L

(x + y +1)ds ，其中 L 是顶点为O (0, 0), A (1, 0)

及 B (0,1) 所成三角形的边界；

解: ?L (x - y + 1)ds = 3 + 2 ．

（3）

?

x 2 + y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = x ；

解: ? x 2 + y 2 ds = 2 ．

（4） x 2 yzds ，其中 L 为折线段 ABCD ，这里 A (0, 0, 0) ， B (0, 0, 2), C (1, 0, 2),

L

D (1, 2, 3) ；

解:

?

L

x 2 yzds =

8

．

3

z

B (0, 0, 2)

D (1, 2,3)

C (1, 0, 2)

2 求八分之一球面 x 2

+ y 2 + z 2

= 1(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 的边界曲线的重心，设曲线的密

度

= 1 。

解 故所求重心坐标为?

4 , 4 ,

4 ? ．

A (0, 0, 0)

y

x

3 3 3?

习题 10—2

1 设 L 为 xOy 面内一直线 y = b （ b 为常数），证明

1

2

y

A

C o

x

B

?

?

?L x - y + z = 2 , ?

证明：略.

2 计算下列对坐标的曲线积分： ?L

Q (x , y )dy = 0 。

（1） ?

L

xydx ，其中 L 为抛物线 y = x 上从点 A (1, -1) 到点 B (1,1) 的一段弧。 2

4

解 : ?

L

xydx = 5

。

（2） (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy ，其中 L 是曲线 y = 1 - 1 - x 从对应于 x = 0 时的点到

L

x = 2 时的点的一段弧；

解

(x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y

2 )dy = 4 ． L 3

（3） ?

L

ydx + xdy , L 是从点 A (-a , 0) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = a 2 到点 B (a , 0) 的一段弧；

解 ?L ydx + xdy = 0.

（4） xy 2dy - x 2 ydx ，其中 L 沿右半圆 x 2 + y 2 = a 2 以点 A (0, a ) 为起点，经过点C (a , 0) L

到终点 B (0, -a ) 的路径；

解 ?L xy 2dy - x 2 ydx = -a 4

。

4

（5）

?

L x dx + 3zy dy - x ydz ，其中 L 为从点 A (3, 2,1) 到点 B (0, 0, 0) 的直线段 AB ； 3

2 2

0 3 87 解

? x 3dx + 3zy 2dy - x 2 ydz = 87? t dt = - 。 L 1 4

?x 2 + y 2 = 1 ,

（6） I = (z - y )dx + (x - z )dy + (x - y )dz ， L 为椭圆周? 且从 z 轴

?

正方向看去， L 取顺时针方向。

解: = -2

。

习题 10—3

1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:

?

L

2

?

+ + - ?x = a cos 3 t ,

(1) 星形线? y = a sin 3

t , ( 0 ≤ t ≤ 2)；）

解: = 3a 2 。

8

(2) 圆 x 2 + y 2 = 2by ，（ b > 0 ）；

解: =

b 2 。

2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1)

方向；

? ( y - x )dx + (3x + y )dy ，其中 L 是圆(x - 1)2 + ( y - 4)2 = 9 ，方向是逆时针

(2)

(2)

解:

= 18。

ydx + ( 3 sin y - x )dy ，其中 L 是依次连接 A (-1, 0), B (2,1), C (1, 0) 三点的折线 L

段，方向是顺时针方向。解 :2 .

(3)

(3)

(e x sin y - my )dx + (e x

cos y - m )dy ，其中 m 为常数， L 为圆 L

x 2 + y 2 = 2ax 上从点 A (a , 0) 到点O (0, 0) 的一段有向弧；

解 : = 1

m

a 2 -0 = 1

m a 2 。

(4) (4)

针方向； 2 ?L

xdy - ydx x 2 + y 2 2

，其中 L 为椭圆4x 2 + y 2

= 1 ，取逆时 解

= ?0 d = 2．

?u

2 2 2 2 ?u

(5)

?L

?n ds ，其中u (x , y ) = x

u 沿 L 的外法线方向导数。

+ y ， L 为圆周 x + y

= 6x 取逆时针方向，

?n

是

解

? ?u

ds = 36。

L ?n

3 证明下列曲线积分在整个 xOy 面内与路径无关，并计算积分值:

(1)

(2,1)

(0,0)

(2x y )dx (x 2 y )dy ；

?P ?Q

解 令 P = 2x + y ， Q = x - 2 y ，则 ?y = 1 = ?x

在整个

y

0(0, 0)

o

A (2a , 0) x

y

B (2,1)

? ?

?

+ + - (2,1)

?

(1,2)

?

+ (2,1)

xOy 面内恒成立，因此，曲线积分 (0,0)

(2x y )dx (x 2 y )dy 在整个 xOy 面内与路径无

关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有

?

(0,0)

(2x + y )dx + (x - 2 y )dy = 4 +1 = 5 。

(2)

(x ,y )

(2x cos y - y 2 sin x )dx + (2 y cos x - x 2 sin y )dy ；

(0,0)

解 令 P = 2x cos y - y 2 sin x ， Q = 2 y cos x - x 2 sin y ，则

?P

= -2( y sin x + x sin y ) =

?Q

在整个 xOy 面内恒成立，因

?y

?x

此 ，

( x , y )

(2x cos y - y 2 sin x )dx + (2 y cos x - x 2 sin y )dy 在

(0,0)

整个 xOy 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所 示的积分路径，则有

(x ,y )

(2x cos y - y 2 sin x )dx + (2 y cos x - x 2 sin y )dy

(0,0)

= x 2 cos y + y 2 cos x 。

（3）

?

(2,1)

(x )dx +( y )dy ，其中(x ) 和( y ) 为连续函数。

?P ?Q

解 令 P =

(x ) ， Q =( y ) ，则 ?y = 0 = ?x

在整个 xOy 面内恒成立，因此，曲线积

(1,2)

分

(2,1)

(x )dx ( y )dy 在整个 xOy 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所

示的积分路径，则有

(1,2)

1

2

?

(2,1)

(x )dx +( y )dy = ?2(x )dx +?1 ( y )dy 。

4 验证下列 P (x , y )dx + Q (x , y )dy 在整个 xOy 面内为某一函数u (x , y ) 的全微分，并求出这样的一个u (x , y ) ：

（1） (2x + sin y )dx + x cos ydy ； 解 令 P = 2x + sin y ， Q = x cos y

?Q

= cos y ， ?P

= cos y ?x ?y

∴ 原式在全平面上为某一函数的全微分，取

y

B (x , y )

O A (x , 0)

x

y

C (1, 2)

B (1,1) A (2,1)

O

x

y

B (x , y )

?

O

?

A (x , 0) x

?

?

? (x0 , y0 ) = (0,0) ，

u(x, y) =( x, y ) Pdx +Qdy = x 2+x sin y

(0,0)

（2）(x2+ 2xy -y2 )dx + (x2- 2xy -y2 )dy ；

解 因为 P =x 2+ 2xy -y2，Q =x 2- 2xy -y2

?Q

，所以

?x

= 2x - 2 y =

?P

在整个

?y

xOy 面内恒成立，因此，：在整个xOy 面内，(x2+ 2xy -y2 )dx + (x2- 2xy -y2 )dy 是某一函数u(x, y) 的全微分，即有

(x2+ 2xy -y2 )dx + (x2- 2xy -y2 )dy =du 。

易知u(x, y) =1

x3+x2y -xy2-

1

y3+C 。

3 3

（3）e x(1 + sin y)dx + (e x+ 2sin y) cos ydy 。

解令P(x, y) =e x(1 + sin y) ，Q(x, y) = (e x+ 2sin y) cos y ，则在全平面上有

?Q

=?P

=e x cos y ，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，

?x ?y

e x(1 + sin y)dx + (e x+ 2sin y) cos ydy 是全微分．

u(x, y) =e x- 1 +e x sin y + sin2y ．

5可微函数f (x, y) 应满足什么条件时，曲线积分

?L f (x, y)( ydx +xdy)

与路径无关？

解令P =yf (x, y) ，Q =xf (x, y) ，则

?P

=

?y f (x, y) +yf

y

(x, y) ，

?Q

=

?x

f (x, y) +xf

x

(x, y) 。

当?P

=

?Q

?y ?x

，曲线积分?L f (x, y)( ydx +xdy) 在整个xOy 面内与路径无关。

? ?? x

2

+

2

y

?? x

2

+

2

y

?? x 2 + 2y

习题 10—4

1

当∑ 为 xOy 面内的一个闭区域时,曲面积分

?? f (x , y , z )dS 与二重积分有什么关系?

∑

答 当∑ 为 xOy 面内的一个闭区域 D 时， ∑ 在 xOy 面上的投影就是 D ，于是有

?? f (x , y , z )dS ∑

?? f (x , y , 0)dxdy 。

D

2 计算曲面积分

??(x 2 + y 2 )dS ，其中∑ 是

∑

（1） 锥面 z =

及平面 z = 1所围成的区域的整个边界曲面；

1

解

= ( 2

+1)。 ?z = y （2） yOz 面上的直线段?x = 0

(0 ≤ z ≤ 1) 绕 z 轴旋转一周所得到的旋转曲面。

解

2 。

2

3 计算下列曲面积分: (1)

?? dS ，其中∑ 是抛物面在 xOy 面上方的部分： z = 2 - (x 2 + y 2 ) , z ≥ 0 ；

∑

解： = 13π

.

3

(2)

??

(x + y + z )dS ，其中∑ 是上半球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2

, z ≥ 0 ； ∑

解： = 0 + πa 3 = πa 3 . （3） ?? (x + 3y + z )dS ，其中∑ 为平面 x + y + z

= 1在第一卦限的部分；

∑

2 2 2

3

4 7 61 ．

6

1

（4）

dS ，其中∑ 是柱面 x 2 + y 2 = R 2 被平面 z = 0 ﹑ z = H 所截得的部分.

∑

同理可求得

解

1

dS =

πH .

∑1

R

1

dS ∑2

= πH . R x 2 + y 2 2

?? x 2 + 2y

所以

1

dS ∑

= 2πH . R

4 求抛物面壳 z = 1

(x 2 + y 2 ) （ 0 ≤ z ≤ 1 ）的质量，此壳的密度为

= z 。

2

解=

2π

(6 15

+ 1) .

习题 10—5

1 当∑ 为 xOy 面内的一个闭区域时,曲面积分

?? R (x , y , z )dxdy 与二重积分有什么关系?

∑

答 当∑ 为 xOy 面内的一个闭区域时, ∑ 的方程为 z = 0 。若∑ 在 xOy 面上的投影区域

为 D xy ，那么

?? R (x , y , z )dxdy = ±?? R (x , y , 0)dxdy ，

∑

D xy

当∑ 取上侧时，上式右端取正号; 当∑ 取下侧时，上式右端取负号。

2 计算下列对坐标的曲面积分: (1)

?? (x + y )dydz + ( y + z )dzdx + (z + x )dxdy ，其中∑ 是以坐标原点为中心，边长为 2 的

∑

立方体整个表面的外侧；

解 ： ?? (x + y )dydz + ( y + z )dzdx + (z + x )dxdy = 24 .

∑

（2） ?? (z 2 + x )dydz - zdxdy ，其中∑ 为旋转抛物面 z = 1

(x 2 + y 2 ) 介于 z = 0, z = 2 之间部

∑

分的下侧。

解： 2

?? (z 2 + x )d y d z - z d x d y = 8π 。

∑

（3） ??

xdydz + ydxdz + zdxdy ，其中∑ 为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ， z ≥ 0 的上侧；

∑

解∴ 原式= 2

a 3 ? 3 = 2a 3

3

3

（ 4）

??

xydydz + yzdxdz + zxdxdy ， 其 中 ∑ 是 由 平 面 ∑

x + y + z = 1 所围成的四面体的表面的外侧。

解：

?? xydydz + yzdxdz + zxdxdy = 1

。

x = 0 ， y = 0 ， z = 0 ， ∑

8

3 把对坐标的曲面积分

?? P (x , y , z )dydz + Q (x , y , z )dzdx + R (x , y , z )dxdy

∑

化成对面积的曲面积分，这里∑ 为平面3x + 2 y + 2 3z = 6 在第一卦限的部分的上侧。

解： = ??[3 P (x , y , z ) + 2 Q (x , y , z ) + 2 3

R (x , y , z )]d S

∑ 5

5 5

习题 10—6

1 利用高斯公式计算下列曲面积分： （1）

??

(x - y )dxdy + x ( y - z )dydz ，其中∑ 为柱面 x 2 + y 2 = 1及平面 z = 0 及 z = 3 ∑

所围成的空间闭区域Ω 的整个边界曲面的外侧。（《高等数学》P170 例 1）

解： - 9。

2

（2） ??

( y - z )dydz + (z - x )dzdx + (x - y )dxdy ，其中∑ 为曲面 z = ∑

z = 0 ﹑ z = h (h > 0) 所围成的空间区域的整个边界的外侧。

及平面

解

??

( y - z )dydz + (z - x )dzdx + (x - y )dxdy =0. ∑

（3） ）

?? (x 2 cos

+ y 2 cos + z 2 cos )dS ， 其中 ∑ 为锥

∑

面 x 2 + y 2 = z 2 介于平面 z = 0 ﹑ z = h (h > 0) 之间的部分的下

侧， cos ﹑ cos ﹑ cos 是∑ 在点(x , y , z ) 处的法向量的方向 余弦。

x 2 + y 2 z

z = h

o

y

x

1 1 1 11 L

L

= 解：h 3 。

2 利用高斯公式计算三重积分

??? (xy + yz + zx )dxdydz ，

Ω

其中Ω 是由 x ≥ 0 ， y ≥ 0 ， 0 ≤ z ≤ 1 及 x 2 + y 2 ≤ 1所确定的空间闭区域。 解 ：

???

(xy + yz + zx )dxdydz = + + = 。 Ω

6 6 3 24

3 利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：

（1）

?L

( y 2 + z 2 )dx + (z 2 + x 2 )dy + (x 2 + y 2

)dz ，

其中L 为平面 x + y + z = 1 与三个坐标面的交线，其正向

为逆时针方向，与平面 x + y + z = 1 上侧的法向量之间符合右手规则；

解 ：

? ( y 2 + z 2 )dx + (z 2 + x 2 )dy + (x 2 + y 2 )dz = 0 。

（ 2）

?L

(z - y )dx + (x - z )dy + ( y - x )dz ， 其中 L 为以点 A (a , 0, 0) ﹑ B (0, a , 0) ﹑

C (0, 0, a ) 为顶点的三角形沿 ABCA 的方向。

解 ：

? ( y 2 + z 2 )dx + (z 2 + x 2 )dy + (x 2 + y 2 )dz = 3a 2 。

习题 10—7

1 若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。） 解： 4a ?0

8a 4 。 3

2 设某流体的流速为 v = ( yz , zx , xy ) ， 求单位时间内从圆柱 ∑ ： x 2 + y 2 ≤ a 2 （

0 ≤ z ≤ h ）的内部流向外侧的流量（通量）。

3

a 2 - r 2 z

∑4

∑ 5

O

∑1

y ∑3

∑2

a

解：0.

?

3 求向量场v = (x 2 + yz , y 2 + zx , z 2 + xy ) 的散度。

解

div v =

?P + ?Q + ?R

= 2(x + y + z ) 。 ?x ?y ?z

4 求向量场 A ?x 2 + y 2 = 1 , y i + x j +c k （

c 为常数）沿有向闭曲线 L : ? ?z = 0 ,

（从 z 轴的 正向看 L 依逆时针方向）的环流量。 解： Q = ?L

(- y )d x + x d y + c d z =

2

(sin 2 t + cos 2 t )dt = 2。

复 习 题 A

一、 选择题

1. 设 L 是从原点O (0, 0) 沿折线 y = x - 1 - 1 至点 A (2, 0) 的折线段,则曲线积分

?

L

- y d x + x d y 等于（ C ）． A ． 0 ．

B ． -1 ．

C ． 2 ．

D ． -2 ．

2．若微分(2008x 2008 + 4xy 3 )d x + (cx 2 y 2 - 2009 y 2009 )d y 为全微分，则c 等于（ B

）．

A ． 0 ．

B ． 6 ．

C ． -6 ．

D ． -2 ．

3. 空间曲线 L : x = e t cos t , y = e t sin t , z = e t (0 ≤ t ≤ 1) 的弧长等于（ D ）．

A ．1 ．

B ． ．

C ． ．

D ． 3(e - 1) ．

4. 设∑ 为上半球面 z

=

， ∑1 为∑ 在第一卦限的部分，则下列等式正确的是（

D ）．

A ． ??d S = ??d S ．

B ． ??d S = 2??d S ．

∑

∑1

∑

∑1

C ． ??d S = 3??d S ．

D ． ??d S = 4??d S ．

∑

∑1

∑

∑1

5. 设∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 的外侧，则积分

?? z d x d y 等于（ A

）．

∑

2 3 2 - x 2 - y 2 = -

o

a

? L

??

2

2

?

A ．

D ． 0 ．

2 ??

x 2

+ y 2

≤a 2

a 2 - x 2 - y 2 d x d y ．

B ． -2

??

x 2

+ y 2

≤a 2

a 2 - x 2 - y 2 d x d y ．

C ． 1 ．

二、 填空题

1．设曲线 L 为圆周 x = a cos t , y = a sin t (0 ≤ t ≤ 2) ,则 (x 2 + y 2 )2009 d s = 2a 4019

．

L

2. 设 L 为任意一条分段光滑的闭曲线，则曲线积分 ? (2xy - 2x )d x + (x 2 - 4 y )d y = 0 ．

3. 设∑ 是以原点为球心, R 为半径的球面,则

1

d S = 4．

∑

4.

设∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 的下半部分的下侧,则曲面积分

?? z d x d y = ∑

2

a

3 ． 3 5. 向量场

A = ( y 2 + z 2 )i + (z 2 + x 2 ) j + (x 2 + y 2 )k

的旋度rot A = (2 y - 2z )i + (2z - 2x ) j + (2x - 2 y )k ．

三、计算题 y

1. 计算 ?

L

x 2 + y 2 ds

L ： x 2 + y 2 = ax

解：∴

?

L

x 2 + y 2 ds = 2a 2

2. 计算 xy 2d y - x 2 y d x ,其中 L 为右半圆 x 2 + y 2 = a 2 以点 A (0, a ) 为起点,点 B (0, -a ) 为终

L

点的一段有向弧；

解： - 1

a 4 。

4

3. 计算

?? xyz d S ,其中∑ 为平面 x + y + z = 1 在第一卦限中的部分；

∑

解 ： 3

。

120

4. 计算?? yz d z d x ,其中∑ 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 的上半部分并取外侧；

∑

解 = π 。

4

5. 验证：在整个 xOy 面内, (x 2 + 3y )d x + (3x + y 2 )d y 是某一函数u (x , y ) 的全微分,并求

出一个这样的函数.。

x

?L y = z ? y = 0 ? 2

解 因为 P = x 2 + 3y , Q = 3x + y 2 ,所以

?Q = 3 = ?P

在整个 xOy 面内恒成立,因此,在整个 xOy ?x ?y

所求的函数为

面内, (x 2 + 3y )d x + (3x + y 2 )d y 是某一函数u (x , y ) 的全微分,

u (x , y ) = 1 x 3 + 3xy + 1

y 3 + C .

3 3

?x 2 + y 2 + z 2 = 1, 四、计算曲线积分 I = y d x + z d y + x d z ,其中 L 为闭曲线? ?

，若从 z 轴正

向看去, L 取逆时针方向. 解 ： 0.

五、计算曲面积分??(x 2 + y 2 )d S ,其中∑ 是线段?z = x

(0 ≤ z ≤ 2) 绕Oz 轴旋转一周所得

∑

?

的旋转曲面．

解： ?? (x 2 + y 2 )d S = 8 2π 。

∑

?z = 1 x 2

六、计算曲面积分 ?? (z 2 + x )d y d z - z d x d y ,其中∑ 为 zOx 上的抛物线?

2 绕 z 轴旋转

∑

一周所得的旋转曲面介于 z = 0 和 z = 2 之间的部分的下侧．

解： = 8π ，

?? y = 0

七、设一段锥面螺线 x = e cos , y = e sin , z = e (0 ≤≤ π) 上任一点(x , y , z ) 处的线密

度函数为

(x , y , z ) = 1

x 2 + y 2 + z 2

,求它的质量．

解：

3

(1 - e -π ) 。

八、设 f (x ) 具有一阶连续导数,积分?L f (x )( y d x + d y ) 在右半平面 x > 0 内与路径无关,试求满足条件 f (0) = 1的函数 f (x ) ．

解 令 P (x , y ) = yf (x ) ， Q (x , y ) = f (x ) ，依题意，有

?Q = ?P ， ?x ?y

3 (2 - 2)πR 3

1 - y

2 ?

? f (x ) = e x 为所求的函数。

九、设空间区闭域Ω 由曲面 z = a 2 - x 2 - y 2 与平面 z = 0 围成,其中 a 为正常数,记Ω 表面的外侧为∑ , Ω 的体积为V ,证明：

??

x 2 yz 2d y d z - xy 2 z 2d z d x + (1 + xyz )z d x d y = V ． ∑

证明略。

复 习 题 B

一、填空题

?x 2

+ y 2

+ z 2

= a 2

1. 设 L 的方程?

x - y = 0

,则 ?L

x 2d s = a 3 2

2. 设 L 为正向圆周(x - 1)2 + ( y - 1)2 = 1 ，则曲线积分

0 ．

x - y

L x 2 + y 2 d x + x + y x 2 + y 2

d y 的值为 3. 设∑ 是曲面 z 2 = x 2 + y 2 介于 z = -1 和 z = 2 之间的部分,则曲面积分

I = ?? (x 2 + y 2 + z 2 )d S

∑

的 值 为 17 2π ．

4. 设Ω 是由锥面 z

=

与半球面 z =

, ∑ 是Ω 的整

个边界的外侧,则?? x d y d z + y d z d x + z d x d y =

．

∑

5. 设 r = z (x 2 + 3) , 则矢量场 A = gra d r 通过曲面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 上半部分的流量 Q =

15 π ． 4

二、计算题 1.

计算曲线积分?

yds ，

L

（1） L 是第一象限内从点 A (0,1) 到点 B (1,0) 的单位圆弧

（2） L 是ⅠⅣ象限从 A (0,1) 到 B '( 1 ,- 2 ) 的单位圆弧；

2 （3） L ： x = ( -

3

≤ y ≤ 1) 2

（4） L ： x = cos t ， y = sin t

解 (1) 1.

- ≤ t ≤ 3 2

x 2 + y 2 R 2 - x 2 - y 2 3

? ?? x + y + z 3

?? r 3 ?? r 3

(3) 3 （2）= 2

=

3 2

(4) = 3

2

2. 计算 I = (e x sin y - b (x + y ))d x + (e x cos y - ax )d y ,其中 a , b 为正的常数, L 为从点

L

A (2a , 0) 沿曲线 y = 到点O (0, 0) 的弧．

解： 1

πa 2 (b - a ) + 2a 2b .

2

3. 计算曲面积分 I =

z = 2 之间的部分.

解： =π ln 5 .

y + z

2

2

2

∑ d S ,其中∑ 是圆柱面 x 2 + y 2 = 1介于平面 z = 0 与

4. 计算曲面积分 I = ??

∑

解： I = 4π .

x d y d z + y d z d x + z d x d y

,其中∑ 是球面 x 2 + y 2 + z 2

= a

2

(x 2 + y 2 + z 2 )

2

的外侧．

三﹑确定常数,使在右半平面 x > 0 上的向量

A (x , y ) = (3x + 6xy 2 )i + (6x y + 4 y 3 ) j

为某二元函数u (x , y ) 的梯度,并求u (x , y ) ． 解: u (x , y ) = x 3 + 3x 2 y 2 + y 4 + C .

四 、 计 算 I = x d y d z + ∑

y d z d x + r 3 z d x d y , r = r 3 , 其 中 ∑ 为 曲 面

z (x - 2)2 ( y - 1)2

1 - = + 5 16 9

(z ≥ 0) 的上侧． 解 : I = x d y d z + ∑

y d z d x + r 3

z d x d y = 2。 r 3

五、设u 具有二阶连续偏导数, n 是闭曲面∑ 的外法线向量, ∑ 所围成的闭区域为Ω ,试

证明 ?? u ?u d S = ???( g ra d u )2

d V + ???u ( g ra d u )d V ．

∑ ?n Ω Ω

证明略。

六、设曲面∑ 为球面(x - a )2 + ( y - a )2 + (z - a )2 = a 2 , a > 0 ,试证明

??

(x + y + z + ∑

3a )d S ≥ 12πa 3 .

2ax - x 2 x + y +

z 2 2

2

证明略。

高数不定积分例题

不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分

1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (

高等数学积分公式大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+

15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?

高等数学常用导数和积分公式

高等数学常用导数和积分公式 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： （一）含有的积分() 1.＝ 2.＝（） 3.＝ 4.＝ 5.＝ 6.＝ 7.＝ 8.＝ 9.＝ （二）含有的积分10.＝11.＝12.＝13.＝14.＝15.＝16.＝17.＝18.＝ （三）含有的积分19.=20.=21.= （四）含有的积分22.＝23.＝24.＝25.＝26.＝27.＝28.＝ （五）含有的积分29.＝30.＝ （六）含有的积分31.＝＝32.＝33.＝34.＝35.＝36.＝37.＝38.＝39.＝40.＝41.＝42.＝43.＝44.＝ （七）含有的积分45.＝=46.＝47.＝48.＝49.＝50.＝51.＝52.＝53.＝54.＝55.＝56.＝57.＝58.＝

（八）含有的积分59.＝60.＝61.＝62.＝63.＝64.＝65.＝66.＝67.＝68.＝69.＝70.＝71.＝72.＝（九）含有的积分73.＝74.＝75.＝76.＝77.＝78.＝（）含有或的积分79.＝80.＝81.＝82.＝（一）含有三角函数的积分83.＝84.＝85.＝86.＝87.＝＝88.＝＝89.＝90.＝91.＝92.＝93.＝94.＝95.＝96.＝97.＝98.＝99.＝＝100.＝101.＝102.＝103.＝104.＝105.＝106.＝107.＝108.＝109.＝110.＝111.＝112.＝（二）含有反三角函数的积分（其中）113.＝114.＝115.＝116.＝117.＝118.＝119.＝120.＝121. ＝（三）含有指数函数的积分122.＝123.＝124.＝125.＝126.＝127.＝128.＝129.＝130.＝131.＝（四）含有对数函数的积分132.＝133.＝134.＝135.＝136.＝（五）含有双曲函数的积分137.＝138.＝139.＝140.＝141.＝（六）定积分142.＝＝0143.＝0144.＝145.＝146.＝＝147. ＝＝＝（为大于1的正奇 数），＝1 （为正偶数），＝

高等数学不定积分习题

第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=，则f(x)=______.

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？

高数 常用积分公式

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()x x ax b +?＝2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ．x ? C 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a -+

12 ．x x ? ＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13 ． x ＝2 2(23ax b C a - 14 ． 2x ＝22232(34815a x abx b C a -++ 15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ．? 2a bx b -- 17 ． x ＝b 18 ． x ＝ 2a + （三）含有22 x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有 2 (0)ax b a +>的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) x C b C b ?+>+<

高等数学微积分复习题

第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

高等数学积分公式大全

常 用 高 数 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? C 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+

14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ? +< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1ln 2ax b C a ++

《高等数学》不定积分课后习题详解Word版

不定积分内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??

★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学积分公式大全

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++

9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ?

(完整word版)高等数学第四章不定积分习题,DOC

第四章不定积分 §4–1不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)( '，则F(x)叫做)(x f在该区间上的一个,)(x f的 F= x f )(x A(1,6)和B(2,- .[] 三．单项选择题 1．c为任意常数，且) F=f(x),下式成立的有。 ('x （A）?= =F(x)+c; ('f(x)+c;（B）?dx x F) dx ( f) x （C）?=dx x F)()('x F+c;(D)?dx ('=F(x)+c. x f) 2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。

48 （A ）F(x)=cG(x);（B ）F(x)=G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c;(D))()(x G x F ?=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。 (A)||cos x y -=;(B)y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D)y={. 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 dx x -2 x 2sin 9.dx x x 2 )2sin 2(cos -?10.? ++dx x x 2cos 1cos 12 11.?dx x x x 2 2 cos sin 2cos 12.?++-dx x x x 3322332 13.dx x x )12 13( 22?--+14.?-dx x x x )tan (sec sec

15.?- dx x x x )1 1(216.dx x x ? -+11 五．应用题 1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程. 2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: ? 15．= -? dx x x 1 12 = -? dx x x 2 2)1 (11=-? 2 )1(11x x d _________ 16.若??≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则 二．是非判断题 1． ??+?=??? ??=c x x d x dx x x 21 2111ln .[]

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分 内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将

(完整)高等数学常用积分公式查询表

导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高等数学不定积分练习题

作业习题 求下列不定积分。 1、dx x ? +sin 11；2、dx e x ?+-23；3、dx x x x ?+--22)83(32；4、dx e e x x )sin(?； 5、dx e x ?-2； 6、dx x a x ?-2 2 1； 7、dx x x x ? -3 ； 8、dx x x x ? +) 1(arctan 2 2；9、dx x e x ?+22)1(tan ；10、dx x x ?++)1ln(2； 11、?-xdx e x cos ；12、dx x x x x x ?+++-232223；13、dx x ?+sin 451 ； 14、dx x x x -+?111；15、dx x x ?+)1(124； 16、dx b x a x ?++) )((1 。

作业习题参考答案： 1、解：dx x ? +sin 11 ?+-=-=C x x dx x x sec tan cos sin 12 。 2、解：dx e x ?+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-?23233 1 )23(31。 3、解：dx x x x ?+--2 2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=?831)83()83(2222。 4、解：dx e e x x )sin(?C e de e x x x +-==?cos sin 。 5、解：dx e x ?-2 C t t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+? -=???2 arctan 24224222222 C e e x x +-- -=2 2arctan 2 422。 6、解：dx x a x ? -2 2 1 C x x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==?2 2ln 1cot csc ln 1sin sin 。 7、解：dx x x x ? -3dt t t t t t t dt t t t t x )11 1(6623452386 -++++++=-=?? C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2 3456(62 3456 C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2 3456(661613 1 21 32 65 。 8、解：dx x x x ? +) 1(arctan 2222 21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=?? C t t t t +-+-=22 1 sin ln cot C x x x x x +-++- =22)(arctan 2 1 1ln arctan 。 9、解：dx x e x ?+22)1(tan ??+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222

《高等数学》不定积分课后习题详解

《高等数学》不定积分课后习题详解 篇一：高等数学第四章不定积分习题 第四章不 定 积 分 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上 F?(x)?f(x)，则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的 所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。 2．F(x)是 f(x)的一个原函数，则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例，并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线 方程为__________ 。 二．是非判断题 1． 若 f?x?的某个原函数为常数，则 f?x??0.[ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原 函数.[ ] 3． 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4． 若 f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且 F'(x)=f(x),下式成立的有 。（A）?F'(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c; （C）?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有 。（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3．下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。 4.F?(x)?f(x),f(x) 为可导函数，且 f(0)=1,又 F(x)?xf(x)?x2，则 f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设 f?(sin2x)?cos2x，则 f(x)=________. 1 (A)sinx?sin2x?c;(B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c;(D)x2?1x4?c; 1 / 30

高等数学常用导数积分公式查询表好

(1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- +

三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2． ()d ax b x μ +?＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π