椭圆知识点总结

椭圆知识点总结

椭圆知识点 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质 椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的简单几何性质 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目） 离心率 )10(<<= e a c e

c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围） 注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等 知识点三：椭圆相关计算 1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222c b a += 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a b 2 2 焦点弦：椭圆过焦点的弦。 3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。 4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

(完整版)椭圆知识点总结

椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只 有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、 y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤， b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，

椭圆知识点总结表

椭圆知识点总结表 一、基本概念 1. 椭圆的定义 椭圆的定义是指平面上到两个固定点（焦点）的距离之和是常数，这个常数称为椭圆的长轴，而两个焦点到椭圆中心的距离之和称为短轴。椭圆中心到端点的距离称为半长轴和半 短轴。 2. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程为：$\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1$ 其中，$(h,k)$为椭圆中心的坐标，$2a$为椭圆的长轴长度，$2b$为椭圆的短轴长度。 3. 椭圆的离心率 椭圆的离心率定义为：$e=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ 离心率是一个描述椭圆形状的重要参数，它越接近于0，椭圆的形状越趋近于圆形，离心 率越接近于1，椭圆的形状越接近于长条形。 二、性质 1. 椭圆的焦点 椭圆有两个焦点，它们到椭圆上任意一点的距离之和是常数。焦点的坐标可以用椭圆的长 轴长度和离心率来确定。 2. 椭圆的直径 椭圆的长轴和短轴是椭圆的直径，长轴的两个端点称为椭圆的顶点，短轴的两个端点称为 椭圆的边缘点。 3. 椭圆的参数方程 椭圆的参数方程为：$x=h+a\cos t$，$y=k+b\sin t$ 参数$t$在$[0,2\pi]$范围内变化，当$t=0$时，$(x,y)$恰好为椭圆的右顶点，当$t=\pi$时，$(x,y)$恰好为椭圆的左顶点。 4. 椭圆的焦准线 椭圆的焦准线是椭圆上任一点到两个焦点的连线，这个连线的长度是椭圆长轴的长度。 5. 椭圆的切线

椭圆的切线与椭圆的长轴和短轴有一定的关系，具体的切线方程可以用椭圆的参数方程来 推导得到。 6. 椭圆的曲率 椭圆上的每一点都有一个曲率，曲率描述了椭圆在该点处的弯曲程度。曲率与椭圆的离心 率有关，离心率越大，椭圆的曲率越小。 7. 椭圆的对称性 椭圆具有许多对称性，包括关于坐标轴的对称、关于原点的对称、关于椭圆轴的对称等。 三、应用 1. 天体运动 椭圆在天体运动中有广泛的应用，例如行星的轨道就是椭圆。根据开普勒定律，行星绕太 阳运动的轨道是一个椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。 2. 工程设计 椭圆在工程设计中有许多应用，例如电子椭圆变换器就是利用椭圆的形状来实现对电子束 的聚焦和集束。 3. 通信技术 椭圆在通信技术中也有应用，例如地球上的卫星轨道可以近似看作是一个椭圆，而通信卫 星可以利用椭圆轨道来实现对地面通信信号的覆盖。 四、总结 椭圆作为平面几何中的重要概念，具有许多特殊的性质和应用。通过对椭圆的基本概念、 性质和应用的总结，我们可以更好地理解椭圆，从而在实际问题中更好地应用椭圆的知识。希望读者通过本文的阅读，对椭圆有一个更加全面和深入的了解，进而对椭圆的应用有更 多的思考和探索。

数学选修椭圆知识点总结

数学选修椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义 椭圆是平面上一点到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于定值（称为椭圆的半长轴）的所有点的轨迹。这个定值等于椭圆的长度，两个焦点的距离等于椭圆的主轴。 2. 椭圆的方程 椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 其中(a,0)和(-a,0)分别是椭圆的两个焦点，直线x=a和x=-a分别是椭圆的两个直径。 3. 椭圆的性质 椭圆有很多性质，其中一些重要的性质包括： - 椭圆的离心率e < 1 - 椭圆的直径是椭圆的最长直线段 - 椭圆的焦点到椭圆上任意点的距离之和等于椭圆的半长轴 4. 椭圆的焦点和焦距 椭圆有两个焦点，它们位于椭圆的主轴上，并且满足焦距的性质。 椭圆的焦点和焦距的关系由以下公式给出：c = √(a^2-b^2) 5. 椭圆的参数方程 椭圆的参数方程为： x = a*cos(t) y = b*sin(t) 其中t的范围为0 <= t <= 2π 6. 椭圆的面积和周长 椭圆的面积可以用以下公式计算： S = πab 其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。 椭圆的周长可以用以下公式计算：

L = 4aE(e) 其中E(e)是第二类完全椭圆积分。 7. 椭圆的变换 椭圆可以通过一些线性变换转化为标准椭圆方程。一般情况下，椭圆可以通过平移、旋转和缩放等变换转化为标准椭圆方程。 8. 椭圆的应用 椭圆在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。在几何学中，椭圆是圆锥曲线中的一个重要成员，它的性质和特征被广泛应用于曲线的研究和建模中。在物理学中，椭圆的运动规律和能量转换规律被广泛应用于物体运动和动力学模型的建立。在工程学中，椭圆的形状和性质被广泛应用于建筑物、机械设备、电子设备等的设计和制造中。 总之，椭圆是一个非常有趣且重要的数学概念，它的定义、性质、方程、焦点、焦距、离心率、参数方程等内容都具有重要的理论和应用价值。对椭圆进行深入的研究不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以帮助我们更好地应用数学知识解决实际问题。希望本文能够对读者对椭圆有个更深入的了解。

数学椭圆知识点总结

数学椭圆知识点总结 椭圆是一种常见的数学曲线，它在几何、物理和工程学中有着广泛的应用。在数学中，椭圆是一个二次方程，可以用两个参数来表示它的形状和大小。本文将对数学椭圆的知识点进行总结。 1. 椭圆的定义 椭圆是一个平面上点的集合，它到定点F1和F2的距离之和为常数2a（a>0），即d(P,F1)+d(P,F2)=2a。这两个定点分别称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度称为椭圆的长轴。椭圆的短轴则是垂直于长轴的线段，长度为2b（b>0），中点为椭圆的中心点O。椭圆的离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离。当e=0时，椭圆变成一个圆。 2. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。对于一些特殊情况，椭圆的标准方程可以简化。例如，当椭圆的中心在原点上时，它的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1；当椭圆的长轴与x轴平行时，它的方

程为(x-h)^2/a^2+y^2/b^2=1；当椭圆的长轴在y轴上时，它的方程为x^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1。 3. 椭圆的参数方程 椭圆的参数方程为x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数， 0≤θ≤2π。这个方程可以通过将x和y用sin和cos表示，并代入椭圆的标准方程得到。 4. 椭圆的面积和周长 椭圆的面积为πab，周长为2πa*(1-e^2)^0.5。这个公式可以通过将椭圆的周长表示为积分形式，然后用换元积分法计算得出。 5. 椭圆的焦点和直径 椭圆上的任意一点都有两个焦点，它们到该点的距离之和为定值2a。椭圆的长轴就是连接两个焦点的线段。椭圆上的任意一条线段，连接两个点并且经过椭圆中心的线段，称为椭圆的直径。椭圆的短轴就是椭圆的垂直于长轴的直径。

椭圆的知识点总结

椭圆的知识点总结 椭圆是一种特殊的圆形，也是平面上一条固定的点（称为焦点）与该点到一个固定长度（称为焦距）的距离之和等于该点到另一个固定点（称为另一个焦点）的距离的所有点的集合。 首先，椭圆具有对称性。如果点A位于椭圆上，那么以椭圆 中心为中心的线段也必然位于椭圆上。这意味着椭圆在它的主轴（连接两个焦点的线段）上具有镜像对称性。 其次，椭圆有两个焦点。椭圆的焦点是椭圆内几何图形的重要特征，它们定义了椭圆的形状。焦点的距离越大，椭圆越拉长，而焦距的长度决定了椭圆的大小。 椭圆还有一个重要的特征是它的长轴和短轴。长轴是连接两个焦点，并通过椭圆的中心的线段，而短轴是与长轴垂直的线段，通过椭圆的中心。 椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个重要指标。离心率表示为e，它是焦点之间的距离与长轴长度的比值。当离心率为0时，椭圆变成圆形，当离心率接近1时，椭圆越拉长。 椭圆还有一个重要的特性是它的焦点与椭圆上任意一点之间的距离之和等于常数。这个常数称为椭圆的焦距，记为2a。根 据焦点和焦距的定义，可以得到椭圆的标准方程： (x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1

其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a是椭圆长轴的一半的长度，b 是椭圆短轴的一半的长度。 椭圆还可以通过参数方程来表示： x = a cosθ + h y = b sinθ + k 其中θ是参数，代表了椭圆上的不同点。 椭圆还有很多应用。在天文学中，行星和彗星的轨道通常是椭圆。在工程学中，椭圆经常用于描述抛物面天线的形状。此外，椭圆也在设计中使用，例如设计艺术中的画布形状或建筑物中的弧线。 总结起来，椭圆是一个有趣而重要的几何形状，具有对称性，有两个焦点，有长轴和短轴，有离心率的概念，可以通过标准方程或参数方程来描述。椭圆在数学、物理和工程学中都有广泛的应用。

椭圆知识点总结

椭圆知识点总结 椭圆知识点总结 在平平淡淡的学习中，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。掌握知识点有助于大家更好的学习。下面是小编收集整理的椭圆知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。 椭圆知识点总结1 ⑴集合与简易逻辑：集合的.概念与运算、简易逻辑、充要条件。 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用。 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用。 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用。 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用。 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用。 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系。 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用。 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用。 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布。 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用。 ⒀复数：复数的概念与运算。 椭圆知识点总结2 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的

外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2—2accosB注：角B是边a和边c的夹角 圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2注：（a，b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2—4F>0 抛物线标准方程y2=2pxy2=—2pxx2=2pyx2=—2py 直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c*h 正棱锥侧面积S=1/2c*h正棱台侧面积S=1/2（c+c）h 圆台侧面积S=1/2（c+c）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi*r2 圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积V=SL注：其中，S是直截面面积，L是侧棱长 柱体体积公式V=s*h圆柱体V=p*r2h 乘法与因式分a2—b2=（a+b）（a—b）a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）a3—b3=（a—b（a2+ab+b2） 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a—b|≤|a|+|b||a|≤b<=>—b≤a≤b |a—b|≥|a|—|b|—|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解—b+√（b2—4ac）/2a—b—√（b2—4ac）/2a 根与系数的关系X1+X2=—b/aX1*X2=c/a注：韦达定理 判别式 b2—4ac=0注：方程有两个相等的实根 b2—4ac>0注：方程有两个不等的实根 b2—4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根 椭圆知识点总结3 两角和公式 sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A—B）=sinAcosB—sinBcosA cos（A+B）=cosAcosB—sinAsinBcos（A—B）

椭圆知识点详细总结

椭圆知识点详细总结 椭圆的定义 椭圆可以由一个平面上到两个定点的距离之和等于定值的所有点构成。这两个定点称为焦点，这个定值称为椭圆的长轴长度。椭圆的中心为长轴的中点，长轴的两端点为椭圆长度最长的地方，称为顶点；长轴两端点与椭圆中心连线的长度称为椭圆的半长轴长。椭圆的长轴、短轴的长度之比称为离心率。 椭圆的性质 1. 椭圆内任意两点的距离之和等于椭圆的长轴长。 2. 椭圆内所有点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长。 3. 椭圆的对称轴是长轴和短轴所在直线。 4. 椭圆与两个焦点的连线的中垂线平分椭圆内的所有弦。 5. 椭圆的两条焦轴的交点是椭圆的中心。 6. 椭圆的长轴与短轴之间的角度变化是连续的，角度越大离心率越小。 椭圆的参数方程 通常表达一个椭圆方程的一个参数方程的形式如下： x=a*cos(t) y=b*sin(t) 其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度，t为参数，x和y分别为点在椭圆上的坐标。 椭圆的焦点和直径 椭圆上到焦点距离之和等于常数2a，常数2a叫做椭圆的长度，而2b为宽。椭圆上长度为2a，宽度为2b的直径垂直于椭圆上的长度分割直径一比一集中的两点。 椭圆的离心率 椭圆的离心率是一个与椭圆形状有关的参数。它用来描述椭圆的瘦胖程度，是长轴长度与短轴长度的比值。离心率越接近0，椭圆越接近一个圆；离心率越接近1，椭圆越接近一个长条形。 椭圆的方程

椭圆的标准方程一般形式为： (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1 其中(h，k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴的长度。 常见的椭圆曲线 椭圆曲线是一种特殊的代数曲线，其方程为y^2 = x^3 + ax + b （模n）。椭圆曲线与椭圆 的名字相似，但它们是不同的数学概念。椭圆曲线在密码学和数论中有重要应用，例如椭 圆曲线加密算法和椭圆曲线数字签名算法。 椭圆的应用 椭圆在很多领域具有重要的应用价值。在天文学中，椭圆轨道描述了行星和卫星的运动规律；在椭圆几何中，椭圆是平面上到两个焦点的距离之和等于常数的曲线，在计算机图形 学中，椭圆是一种基本的几何图形，可以用来绘制圆形、椭圆形的图形；在电子通信领域，椭圆曲线密码学是一种重要的密码学方法，被广泛应用于数字签名、密钥交换等领域。 椭圆与其他几何图形的关系 椭圆与其他几何图形有着密切的联系。与圆的关系：圆是一个离心率等于0的椭圆。与抛 物线的关系：椭圆和抛物线是两种不同的曲线，它们的形状和性质有很大的不同。与双曲 线的关系：椭圆和双曲线都是二次曲线，但它们的形状和性质又有着显著的不同。 总结 椭圆是一种重要的几何图形，具有丰富的性质和应用。在这篇文章中，我们介绍了椭圆的 定义、性质、参数方程、焦点和直径、离心率、椭圆的方程、常见的椭圆曲线、椭圆在现 实生活中的应用以及与其他几何图形的关系。椭圆的研究不仅具有理论意义，还有着广泛 的应用价值，它在数学、天文学、计算机图形学、密码学等领域都发挥着重要的作用。希 望本文能够帮助读者更深入地理解椭圆的性质和应用。

有关椭圆的相关知识点总结

有关椭圆的相关知识点总结 椭圆的定义 椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和等于常数的轨迹。这两个定点称为焦点，距离之 和为常数。常数可以称为椭圆的长轴长度，还可以称为半长轴的两倍。椭圆也可以由平面 上的一个固定点到一条直线上的一点的距离等于它到另一定点到同一直线上的点的距离的 轨迹，这条直线称为直径。每个椭圆都有两个轴：一个长轴和一个短轴，且两轴的长度和 常数相关。 椭圆曲线方程 椭圆曲线的通用方程是： x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 其中a和b是椭圆的两个半轴的长度。a是长半轴，b是短半轴。椭圆在x轴上有两个焦 点F1和F2，坐标分别为(-c, 0)和(c, 0)，其中c^2=a^2-b^2。 椭圆的性质 1. 根据定义，椭圆上每一点到两个焦点的距离之和是常数，也就是椭圆上的每一点到两个 焦点的距离之和是常数。 2. 椭圆的重要性质有：椭圆是中心对称的，对一个椭圆做中心对称后得到的还是一个椭圆；椭圆上所有点的轨迹都位于长轴和短轴之间。 3. 椭圆的长度是无限的，其周长C可以用积分来表示。根据椭圆的参数方程，可以得到椭圆的周长C=4aE(e)，其中E(e)是第一类椭圆积分，e是离心率。 椭圆的参数方程 椭圆的参数方程为： x=a*cos(t) y=b*sin(t) 其中t是参数，a和b是椭圆的长短半轴。当椭圆上的点(x, y)按照参数t变化时，便得到 了椭圆曲线。 椭圆的焦点 椭圆的焦点是椭圆上的两个特殊点，它们是椭圆的形成过程的关键，也是椭圆曲线的重要 特征点。椭圆焦点的重要性在于，它可以通过焦距和离心率来定义。焦距的一般定义是： 椭圆上一个点到两个焦点的距离之差的一半就是焦距。而离心率是椭圆形状的度量，它是

数学椭圆知识点总结

数学椭圆知识点总结 数学椭圆知识点总结 椭圆基础知识梳理 知识点一椭圆的定义 平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满足集合，，且都为常数。 当即时，集合P为椭圆。 当即时，集合P为线段。 当即时，集合P为空集。 知识点二椭圆的标准方程 (1)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。 (2)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。 知识点三椭圆方程的一般式 这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考： (其中为同号且不为零的常数，)，它包含焦点在轴或轴上两种情形。方程可变形为。

当时，椭圆的焦点在轴上;当时，椭圆的焦点在轴上。 一般式，通常也设为，应特别注意均大于0，标准方程为。 知识点四椭圆标准方程的求法 1.定义法 椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。 例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B(-1,0)C(1,0)，求满足，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。 变式练习1.在△ABC中，点B(-6,0)、C(0,8)，且成等差数列。 (1)求证：顶点A在一个椭圆上运动。 (2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。 2.待定系数法 首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满足的等式，求得的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。 例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，=3b，求椭圆的标准方程。 例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。

数学椭圆涉及知识点总结

数学椭圆涉及知识点总结 一、椭圆的定义 1.1、直角坐标系下的定义 在直角坐标系中，椭圆的定义如下：给定两个固定点F1和F2（称为焦点）以及一个正实 数a，且a>0。椭圆是到两个焦点的距离之和等于常数2a的点的集合，即对于任意点 P(x,y)，PF1+PF2=2a。 1.2、参数方程的定义 椭圆也可以用参数方程来表示。假设椭圆的焦点在原点，半长轴为a，半短轴为b （a>b>0）。椭圆上的点可以表示为(x,y)=(a*cosθ, b*sinθ)，其中θ是参数。 1.3、其他等价定义 除了以上直角坐标系和参数方程的定义之外，椭圆还有许多其他等价的定义，例如：轴对称、封闭曲线等等。 二、椭圆的性质 2.1、焦点、顶点和长轴、短轴 椭圆有两个焦点和两条主轴。焦点是椭圆上的两个固定点，两个焦点之间的距离等于2a。椭圆的两个主轴分别是椭圆的长轴和短轴，其长度分别为2a和2b。 2.2、离心率 椭圆的离心率e是一个表示椭圆形状的重要参数，它是焦距与长轴的比值，即e=c/a，其 中c是焦点到原点的距离。离心率是一个小于1的实数，并且与椭圆的形状密切相关。 2.3、焦点、半焦距和半通径 椭圆的焦点F1和F2之间的距离是2c，称为焦距。椭圆的半焦距用c表示，半焦距与长 短轴关系为c=sqrt(a^2-b^2)。半通径是椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和的一半。 2.4、椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，其中(a>b>0)。根据标准方程，椭圆的长轴平 行于x轴，短轴平行于y轴。 2.5、对称性质 椭圆是关于x轴和y轴对称的，且有中心对称性质。 2.6、切线与法线

高中椭圆知识点总结大全

高中椭圆知识点总结大全 一、椭圆的定义 椭圆可以通过一个固定点F（称为焦点）和一个固定线段2a（称为长轴）来定义：对于平 面上的任意一点P到F的距离加上到线段上两个端点的距离之和恒为常数2a。即对于平 面上任意一点P(x, y)，有PF1 + PF2 = 2a，其中PF1和PF2分别是点P到焦点F1和F2 的距离。 椭圆的数学定义为：椭圆是平面上到两个给定点F1和F2的距离之和为定值2a的所有点 P(x, y)的集合。2a称为椭圆的主轴长。椭圆的中点O为原点，主轴与x轴平行。a称为半长轴，b称为半短轴。 椭圆的方程通常表示为(x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1，当a=b时，椭圆的长轴和短轴相等， 称为圆。 二、椭圆的参数方程 椭圆还可以通过参数方程来描述。椭圆的参数方程为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)，其中t为 参数，a和b分别为半长轴和半短轴。参数方程可以将椭圆的轨迹表示为一个参数的函数，很方便进行曲线的分析和运算。 三、椭圆的焦点与离心率 椭圆有两个焦点F1和F2，它们在长轴上与中点O等距离。 椭圆的离心率e定义为焦距2c与长轴2a的比值，即e = c/a。e的取值范围为0

(完整版)椭圆知识点归纳总结

(完整版)椭圆知识点归纳总结 1. 椭圆的定义 椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。 这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。椭圆的形状由焦点之 间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。 2. 椭圆的基本性质 - 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。 - 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。 - 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。 - 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两 个焦点的距离之和。 - 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。 3. 椭圆的方程 普通椭圆的方程为： (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1 其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的 一半。

4. 椭圆的参数方程 椭圆的参数方程为： x = h + a * cos(t) y = k + b * sin(t) 其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。 5. 椭圆的焦点与直径 - 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。 - 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。 6. 椭圆与其他几何图形关系 - 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。 - 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。 - 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。

7. 椭圆的应用 椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如： - 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。 - 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。 - 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。 以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。

椭圆知识点总结

椭圆知识点总结 椭圆学问点总结1 学问点一椭圆的定义 平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 依据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满意集合，，且都为常数。 当即时，集合P为椭圆。 当即时，集合P为线段。 当即时，集合P为空集。 学问点二椭圆的标准方程 (1)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。 (2)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。 学问点三椭圆方程的一般式 这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较便利，在此供应出来，作为参考： (其中为同号且不为零的常数，)，它包含焦点在轴或轴上两种情形。方程可变形为。 当时，椭圆的焦点在轴上;当时，椭圆的焦点在轴上。 一般式，通常也设为，应特殊留意均大于0，标准方程为。 学问点四椭圆标准方程的求法 1.定义法 椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的

方法之一,当问题是以实际问题给出时，肯定要留意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。 例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B(-1,0)C(1,0)，求满意，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。 变式练习1.在△ABC中，点B(-6,0)、C(0,8)，且成等差数列。 (1)求证：顶点A在一个椭圆上运动。 (2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。 2.待定系数法 首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满意的等式，求得的值，再代入所设方程，即肯定性，二定量，最终写方程。 例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，=3b，求椭圆的标准方程。 例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。 变式练习2.求适合以下条件的椭圆的方程; (1)两个焦点分别是(-3,0)，(3,0)且经过点(5,0). (2)两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12. 3.已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程。 4.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆标准方程。

椭圆知识点总结

【椭圆】 一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦 点的距离叫作椭圆的焦距。 注意：假设)(2121F F PF PF =+，那么动点P 的轨迹为线段21F F ； 假设)(2121 F F PF PF <+，那么动点P 的轨迹无图形。 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程〔端点为a 、b ，焦点为c 〕 〔1〕当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 〔2〕当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 2、两种标准方程可用一般形式表示： 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质〔以122 22=+b y a x )0(>>b a 为例〕 1、对称性： 对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且 是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 a x ≤， b y ≤。

3、顶点： ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4、离心率： ① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。 ② 因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<

椭圆知识点总结

椭圆知识点 知识要点小结：知识点一： 椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成 y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴 的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤， b y ≤。

椭圆知识点总结精选

椭圆知识点总结 1.椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 集合p={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a0，c0，且a，c为常数： (1)若ac，则集合p为椭圆; (2)若a=c，则集合p为线段; (3)若a 2.椭圆的标准方程和几何性质 一条规律 椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系： 两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程. 三种技巧 (1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c. (2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0 (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴. 椭圆方程的第一定义： ⑴①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：. ②一般方程：.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为(一象限应是属于 ).

⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴;长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：.⑦焦点半径： i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：归结起来为左加右减. 注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和 ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. (4)若p是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为(用余弦定理与可得). 若是双曲线，则面积为. 1、羟基就是氢氧根 看上去都是oh组成的一个整体，其实，羟基是一个基团，它只是物质结构的一部分，不会电离出来。而氢氧根是一个原子团，是一个阴离子，它或强或弱都能电离出来。所以，羟基不等于氢氧根。 例如：c2h5oh中的oh是羟基，不会电离出来;硫酸中有两个oh也是羟基，众所周知，硫酸不可能电离出oh-的。而在naoh、mg(oh)2、fe(oh)3、cu2(oh)2co3中的oh就是离子，能电离出来，因此这里叫氢氧根。 2、fe3 离子是黄色的 众所周知，fecl3溶液是黄色的，但是不是意味着fe3 就是黄色的呢?不是。fe3 对应的碱fe(oh)3是弱碱，它和强酸根离子结合成的盐类 将会水解产生红棕色的fe(oh)3。因此浓的fecl3溶液是红棕色的，一般浓度就显黄色，归根结底就是水解生成的fe(oh)3导致的。真正fe3 离子是淡紫色的而不是黄色的。将fe3 溶液加入过量的酸来抑制水解，黄色将褪去。 3、agoh遇水分解 我发现不少人都这么说，其实看溶解性表中agoh一格为“—”就认为是遇水