椭圆的定义及简单几何性质
椭 圆
一、知识精析与点拨 （一）椭圆的定义
1、第一定义：平面上，与两个定点F 1、F 2距离之和为常数（大于| F 1F 2|）的点的轨迹称为椭圆。两个定点F 1、F 2
称为椭圆的焦点，两个焦点间的距离称为焦距。
2、第二定义：平面上到一个定点F （c ，0）的距离与到一定直线L ：x= a 2c 的距离之比为常数e ＝c
a （0 点的轨迹称为椭圆。定点F 叫做椭圆的焦点，定直线L 叫做椭圆对应于焦点F 的准线。 （三）椭圆参数的几何意义，如下图所示： （1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=c a 2 2，||||11PM PF =||||22PM PF =e ； （2）=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12；c a PF c a +≤≤-1 （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ； （四）点、直线与椭圆的位置关系 1、点P （x 0，y 0）和椭圆22a x ＋22 b y =1（a >b >0）的关系 （1）点P 在椭圆内（含焦点）⇔220a x ＋220b y <1； （2）点P 在椭圆上⇔220a x ＋220 b y =1； （3）点P 在椭圆外⇔220a x ＋220 b y >1（其中a >b >0） 2、直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系也可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程，考虑该方程的判别式，则有： （1）△>0⇔直线与椭圆相交于两点； ①设AB 为椭圆22a x ＋22 b y =1的弦，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦中点M （x 0，y 0）， 则弦长|AB|=2 12212)()(y y x x -+-=|x 2－x 1|²1＋k AB 2 =|y 2－y 1|² 1＋ 1k AB 2 (k AB ≠0)； (其中k AB =121 2x x y y --=－0202y a x b ；|x 2－x 1|=212124)(x x x x -+;|y 2－y 1|=212124)(y y y y -+) 直线AB 的方程为y －y 0=－0202y a x b (x －x 0) ；线段AB 的垂直平分线方程为y －y 0=0 20 2x b y a (x －x 0)； ②焦点弦：AB 为椭圆22a x ＋22 b y =1的焦点弦的长|AB|左=e （x 1＋x 2）＋2a （或|AB|右=2a －e （x 1＋x 2）， 通径长为2b 2 a （其中a >b >0） （2）△=0⇔直线与椭圆相切； ①设M （x 0，y 0）为椭圆22a x ＋22 b y =1上的点，则以M 为切点的切线方程为20a x x ＋20b y y =1； ②设M （x 0，y 0）为椭圆22a x ＋22 b y =1外的点，则过M 引椭圆的切线，切点弦所在直线的方程为 20a x x ＋2 0b y y =1（其中a >b >0） ③椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222 A a B b c +=。 ④设切线的斜率为K ，则椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的切线方程为2 22k a b kx y +±= （3）△<0⇔直线与椭圆相离； 直线与椭圆相离时，椭圆上到此直线距离最小或最大的点是与该直线平行的切线的切点 椭圆的第一定义与基本性质的练习题 1.椭圆2x 2+3y 2=6的焦距是 A.2 B.2(3－2) C.25 D.2(3+2) 2.方程4x 2+Ry 2=1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则R 的取值范围是 A.R >0 B.0 C.0 D.2 3.方程x 2sin α+y 2cos α=1（0<α< 2 π ）表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是：（ ） A 、（0，4π） B 、]4,0(π C 、（,4π2π） D 、[,4π2 π ] 4．已知椭圆1252 22=+y a x )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ） （A ）10 （B ）20 （C ）241 （D ） 414 5.椭圆13 122 2=+y x 的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是： A 、43± B 、23± C 、22 ± D 、4 3± 6.已知P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，∠PF 1F 2=90°,∠PF 2F 1=30°,则椭圆的离心率是__________. 7.已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点，若021=⋅PF PF 21 tan 21=∠F PF ，则椭圆的离 心率为 （ ） （A ） 21 （B ）3 2 （C ）31 （D ）35 8.椭圆 19 252 2=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） （A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）8 9.AB 为过椭圆2a x +2 b y =1中心的弦，F ( c ,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是 A.b 2 B.ab C.ac D.bc 10.椭圆152 2=+m y x 的离心率为 510，则实数m 的值为 。 11. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆左顶点A ，上顶点B ，左焦点F 1到直线AB 的距离为 7 7 |OB|，则椭圆的离心率为 。 12.若椭圆的两个焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，椭圆的弦AB 过点F 1，且△ABF 2的周长为20，那么该椭圆的方程为__________. 14.与椭圆22 143 x y +=具有相同的离心率且过点（2，_____ 15.椭圆92x + 4 2 y =1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________. 椭圆的第二定义与性质的练习题 16.点M 到一个定点F (0，2)的距离和它到一条定直线y =8的距离之比是1∶2，则M 点的轨迹方程是__________. 17.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的 A.4倍 B.9倍 C.12倍 D.18倍 18.设点A (－2，3)，椭圆162x + 12 2 y =1的右焦点为F ，点P 在椭圆上移动.当|P A |+2|PF |取最小值时,P 点的坐标是 __________. 19.设椭圆22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0),左准线l 1与x 轴交于点N (－3,0),过点N 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆于A 、B 两点. (1)求直线l 和椭圆的方程； (2)求证:点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上. 20.已知椭圆的两焦点为F 1(0，－1)、F 2(0，1)，直线y =4是椭圆的一条准线. (1)求椭圆方程； (2)设点P 在椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|=1，求tan ∠F 1PF 2的值. 21.设椭圆的中心为坐标原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角，两准线间的距离等于83，求椭圆方程. 椭圆练习 一、选择题 1．下列命题是真命题的是 （ ） A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 B ．到定直线c a x 2 =和定点F(c ，0)的距离之比为a c 的点的轨迹是椭圆 C ．到定点F(－c ，0)和定直线c a x 2 -=的距离之比为a c (a >c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆 D ．到定直线c a x 2 =和定点F(c ，0)的距离之比为c a (a >c>0)的点的轨迹是椭圆 2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2 3 ,25(-，则椭圆方程是 （ ） A ．14 82 2=+x y B ．16 102 2=+x y C ．18 42 2=+x y D ．16 102 2=+y x 3．若方程x 2+ky 2 =2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1） 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(9 21>+=+a a a PF PF ，则点P 的轨迹是 A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+22 22()0>k 具有 （ ） A ．相同的离心率 B ．相同的焦点 C ．相同的顶点 D ．相同的长、短轴 6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ） A ． 4 1 B ． 2 2 C ． 4 2 D ． 2 1 7．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是2 17 ，则点P 到左焦点的距离是 A ．516 B ．566 C ．875 D ．8 77 8．椭圆14 162 2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 （ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．10 9．在椭圆13 42 2=+y x 内有一点P （1，－1） ，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是 （ ） A ． 25 B ．2 7 C ．3 D ．4 10．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆12 22 =+y x 交于P 1， P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ） A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12 二、填空题 11．离心率2 1 = e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ . 12．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________． 13．已知()y x P ,是椭圆125 1442 2=+y x 上的点，则y x +的取值范围是________________ ． 14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于． 15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率3 2 =e ，短轴长为58，求椭圆的方程． 16．已知A 、B 为椭圆22a x +2 2925a y =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58 a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为2 3 ，求该椭圆方程． 参考答案 一、选择题 二、填空题 11．1273622=+x y 12．1101522=+y x 13．]13,13[- 14．5 4 三、解答题 15． [解析]:由 2 223 25 4c b a a c e b =-= ==⇒ 8 12 ==c a ，∴椭圆的方程为：1801442 2=+y x 或18014422=+x y . 16． [解析]：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54= e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 5 8 ，∴x 1+x 2=a 21， 即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴23 4541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+9 25y 2=1． 椭 圆 基 础 练 习 一、选择题 1．已知椭圆方程为132 232 2=+y x ，则这个椭圆的焦距为( ) A ．6 B ．3 C ．53 D ．56 2．椭圆12422=+y x 的焦点坐标是( ) A ．)0,2(),0,2(- B ．)2,0(),2,0(- C ．)2 1 ,0(),21,0(- D ．)0,22(),0,22(- 3．F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 4．已知方程122=+my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．m<1 B ．-1 5．过点(3,-2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆方程是( ) A ．1101522=+y x B ．110152222=+y x C ．115102 2=+y x D ．115 102222=+y x 6．椭圆的两焦点的距离为6，离心率为 3 5 ，则椭圆短轴长为( ) A ．4 B ．8 C ． D 二、填空题 7．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则它的离心率为 8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足2 3 0≤ 2=+m y x 的离心率为510= e ，则=m 10．若椭圆3kx 2+ky 2=1的一个焦点是（0，4），则实数k 的值为 三、解答题 11．求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴与短轴的和为18，焦距为6． （2）焦点坐标为)0,3(-，)0,3(，并且经过点（2，1）． （3）椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-，)0,3(，且短轴是长轴的3 1 ．（4）离心率为23，经过点（2，0）． 椭圆及其标准方程 基础卷 1．椭圆22 11625 x y +=的焦点坐标为 （A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0) 2．在方程22 110064 x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 3．已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是 （A ）4 2214x y += （B ）4 2214y x += （C ）22116x y += （D ）4 22 116 y x += 4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是 （A ）4 2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）4 2213616x y += （D ）4 2211636x y += 5．若椭圆4 22 110036 x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 （A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）14 6．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 7．若y 2－lga ²x 2= 3 1 －a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是 . 8．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是 . 9．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 . 10．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 . 11．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。 提高卷 1．过点(3, －2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆的方程是 （A ）4 2211510x y += （B ）4 221510x y += （C ）22 11015 x y += （D ）4 2212510x y += 2．若椭圆a 2x 2－4 2 2 a y =1的一个焦点是(－2, 0)，则a = （A ）4 （B ）4 （C ）4 （D ）4 3．若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为 （A ）4 221(0)10036x y y +=≠ （B ）22 1(0)10084x y y +=≠ （C ）4 221(0)10036x y x +=≠ （D ）4 22 1(0)10084 x y x +=≠ 4．点P 为椭圆4 22 154 x y +=上一点，以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是 （A ）(±4 （B ）(4 ±1) （C ）(4 （D ）(±4 ±1) 5．化简方程4 =10为不含根式的形式是 （A ）4 2212516x y += （B ）221259x y += （C ）4 2211625x y += （D ）4 22 1925x y += 6．椭圆4 22 125 x y m m +=-+的焦点坐标是 （A ）(±7, 0) （B ）(0, ±7) （C ）(±7,0) （D ）(0, ±7) 7．过椭圆4x 2+2y 2=1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的三角形△ABF 2的周长是 . 8．P 为椭圆4 22 110064 x y +=上的一点，F 1和F 2是其焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为 . 9.椭圆122 22=+b y a x (a >b >0)的半焦距为c ，若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为 . 综合练习卷 1．方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是 （A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆 2．已知椭圆方程为4 22 1499 x y +=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有 ①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±210)；④ a =49, b =9, c =40， （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 （A ） 53 （B ） 312 （C ）43 （D ）4 9 10 4．若点P 到两定点F 1(－2, 0), F 2(2, 0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）线段 （D ）两点 5．设椭圆的标准方程为4 22 135x y k k +=--，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是 （A ）k >3 （B ）3 6．若AB 为过椭圆122 22=+b y a x 中心的弦，F (c , 0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是 （A ）b 2 （B ）bc （C ）ab （D ）ac 7．已知A (4, 2.4)为椭圆4 22 12516 x y +=上一点，则点A 到该椭圆的左焦点的距离是______________. 8．若方程x 2cosα－y 2sinα+2=0表示一个椭圆，则圆(x +cosα)2+(y +sinα)2=1的圆心在第 _________象限。 9．椭圆 4 22 1123 x y +=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍。 10．线段|AB |=4，|P A |+|PB |=6, M 是AB 的中点，当点P 在同一平面内运动时，PM 长度的最大值、最小值分别 为 . 11．设圆(x +1)2+y 2=25的圆心为C ，A (1, 0)是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，AQ 的垂直平分线与CQ 的连线的交点 为M ，则点M 的轨迹方程为 . 12．求过点P (3, 0)且与圆x 2+6x +y 2－91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程。 13．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN =2 1 , tan ∠MNP =－2, 适当建立坐标系，求以M , N 为焦点，且过点P 的椭圆方程。 椭圆的简单几何性质 基础卷 1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >0 2．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为 （A ）4 221916x y += （B ）4 2212516x y += （C ）4 2212516x y +=或4 2211625x y += （D ）4 22 11625x y += 3．已知P 为椭圆4 22 1916 x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ） 54 （B ）45 （C ）4 17 （D ） 7 4 7 4．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ） 23 （B ）33 （C ）3 16 （D ） 6 1 6 5．在椭圆122 22=+b y a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有 （A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ）4 123111,,r r r 成等差数列 （D ）4 123 111 ,,r r r 成等比数列 6．椭圆4 221925 x y +=的准线方程是 （A ）x =±4 254 （B ）y =±4 165 （C ）x =±4 165 （D ）y =±4 254 7．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 . 8．对于椭圆C 1: 9x 2 +y 2 =36与椭圆C 2: 4 22 11612 x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆122 22=+b y a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = . 10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆4 22 11612 x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。 提高卷 1．若方程22 1x y a b -=表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是 （A ）4 > （B ）4 < （C ）4 > （D ）4 <2．曲线4 221259x y +=与4 22 1259x y k k +=-- (k <9)有相同的 （A ）短轴 （B ）焦点 （C ）准线 （D ）离心率 3．椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a , b , c ，则其焦点到相应准线的距离P 是 （A ）4 2a c （B ）4 2b c （C ）2b a （D ）4 2 a b 4．椭圆4 2 244 x y +=上一点P 到两焦点距离之和与该点到两准线的距离之和的比是 （A ）3 （B ） 23 （C ）2 1 （D ）随P 点位置不同而有变化 5．椭圆1 2222=+b y a x (a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a , 0), B (0, b )的直线的距离等于4 ，则椭圆的离心率为 （A ） 21 （B ）5 4 （C ）4 76- （D ）4 76+6．设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆122 22=+b y a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠ PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为 （A ） 3 1 6 （B ） 23 （C ）22 （D ）3 2 7．中心在原点，准线方程为y =±4，离心率为 2 1 的椭圆方程是 . 8．若椭圆 22189x y k +=+的离心率为e =2 1 ，则k 的值等于 . 9．若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成120°角，则该椭圆的离心率为 . 10．椭圆 22 2112x y m m +=+的准线方程为 . 综合练习卷 1．离心率为 3 2 ，长轴长为6的椭圆的标准方程是 （A ）4 22195x y += （B ）4 22195x y +=或4 22 1 59x y +=（C ）4 2213620x y += （D ）4 2213620x y +=或4 2212036x y += 2．椭圆4 22143x y +=上有n 个不同的点P 1, P 2, P 3,……, P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于4 1 100 的等差数列，则n 的最大值为 （A ）199 （B ）200 （C ）198 （D ）201 3．点P 是长轴在x 轴上的椭圆122 22=+b y a x 上的点，F 1, F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|²|PF 2| 的最大值与最小值之差一定是 （A ）1 （B ）a 2 （C ）b 2 （D ）c 2 4．一个圆心在椭圆右焦点F 2，且过椭圆的中心O (0, 0)，该圆与椭圆交于点P ，设F 1是椭圆的左焦点，直线PF 1恰和圆相切于点P ，则椭圆的离心率是 （A ）3－1 （B ）2－3 （C ） 22 （D ）2 3 5．椭圆短轴的两端点为B 1, B 2，过其左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ， 若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的比例中项(O 为中心)，则4 12|| || PF OB 等于 （A ）2 （B ） 22 （C ）23 （D ）3 2 6．如图，已知椭圆中心在原点，F 是焦点，A 为顶点，准线l 交x 轴于点B ，点P , Q 在椭圆上，且PD ⊥l 于D ，QF ⊥AO , 则椭圆的离心率是① 4 ||||PF PD ；② 4 ||||QF BF ；③ 4 ||||AO BO ；④ 4 ||||AF AB ；BED Equation.DSMT4 || || FO AO ，其中正确的个数是 （A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 7．点P 与定点(1, 0)的距离和它到直线x =5的距离的比是 3 3 ，则P 的轨迹方程为 . 8．椭圆122 22=+b y a x (b >a >0)的准线方程是 ；离心率是 。 9．椭圆4 22 14924 x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角，则Rt △PF 1F 2的面积为 . 10．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0 2 3 ，则长轴的最大值等于 . 11．若椭圆的一个焦点分长轴为3 : 2的两段，则其离心率为 . 12．椭圆122 22=+b y a x (a >b >0)长轴的右端点为A ，若椭圆上存在一点P ，使∠APO =90°，求此椭圆的离心率的取值范围。 椭 圆 一、知识精析与点拨 （一）椭圆的定义 1、第一定义：平面上，与两个定点F 1、F 2距离之和为常数（大于| F 1F 2|）的点的轨迹称为椭圆。两个定点F 1、F 2 称为椭圆的焦点，两个焦点间的距离称为焦距。 2、第二定义：平面上到一个定点F （c ，0）的距离与到一定直线L ：x= a 2c 的距离之比为常数e ＝c a （0 （四）点、直线与椭圆的位置关系 1、点P （x 0，y 0）和椭圆22a x ＋22 b y =1（a >b >0）的关系 （1）点P 在椭圆内（含焦点）⇔220a x ＋220b y <1； （2）点P 在椭圆上⇔220a x ＋220 b y =1； （3）点P 在椭圆外⇔220a x ＋220 b y >1（其中a >b >0） 2、直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系也可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程，考虑该方程的判别式，则有： （1）△>0⇔直线与椭圆相交于两点； ①设AB 为椭圆22a x ＋22 b y =1的弦，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦中点M （x 0，y 0）， 则弦长|AB|=2 12212)()(y y x x -+-=|x 2－x 1|²1＋k AB 2 =|y 2－y 1|² 1＋ 1k AB 2 (k AB ≠0)； (其中k AB =121 2x x y y --=－0202y a x b ；|x 2－x 1|=212124)(x x x x -+;|y 2－y 1|=212124)(y y y y -+) 直线AB 的方程为y －y 0=－0202y a x b (x －x 0) ；线段AB 的垂直平分线方程为y －y 0=0 20 2x b y a (x －x 0)； ②焦点弦：AB 为椭圆22a x ＋22 b y =1的焦点弦的长|AB|左=e （x 1＋x 2）＋2a （或|AB|右=2a －e （x 1＋x 2）， 通径长为2b 2 a （其中a >b >0） （2）△=0⇔直线与椭圆相切； ①设M （x 0，y 0）为椭圆22a x ＋22 b y =1上的点，则以M 为切点的切线方程为20a x x ＋20b y y =1； ②设M （x 0，y 0）为椭圆22a x ＋22 b y =1外的点，则过M 引椭圆的切线，切点弦所在直线的方程为 20a x x ＋2 0b y y =1（其中a >b >0） ③椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222 A a B b c +=。 ④设切线的斜率为K ，则椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的切线方程为2 22k a b kx y +±= （3）△<0⇔直线与椭圆相离； 直线与椭圆相离时，椭圆上到此直线距离最小或最大的点是与该直线平行的切线的切点 Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for JA V A. （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： 椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0 1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)动点P 到两定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝5 4 |PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( ) [解析] (1)错误，|PA |＋|PB |＝|AB |＝4，点P 的轨迹为线段AB ；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1 ＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为10 5 ，则m ＝________. [解析] 由题设知a 2 ＝5，b 2 ＝m ，c 2 ＝5－m ，e 2 ＝c 2a 2＝5－m 5＝(105)2＝2 5 ，∴5－m ＝2，∴m ＝3.[答案] 3 3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____． [解析] 椭圆的焦点在y 轴上，且c ＝6,2a ＝20，∴a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝64，故椭圆方程为x 264＋y 2 100＝1. [答案] x 264＋y 2 100 ＝1 4．(2014·无锡质检)椭圆x 24＋y 2 3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大 时，△FAB 的面积是________． [解析] 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8， 此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝1 2 ×2×3＝3.[答案] 3 5．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是 线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 椭圆的定义及其几何性质 [要点梳理] 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 椭圆的常用性质 (1)设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边， a2＝b2＋c2． (3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． [基础自测] 一、思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．() (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴 长，c为椭圆的半焦距)．() (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．() (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．() (5)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．() (6)x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)与 y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同．() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√二、小题查验 1．设P是椭圆x2 25＋y2 16＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于() A．4B．5 C．8 D．10解析：D[由椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10．] 2．已知椭圆x2 25＋y2 m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝() A．2 B．3 C．4 D．9解析：B[由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3．] 3．已知椭圆C：x2 a2＋y2 4＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为() 椭圆知识点 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质 椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的简单几何性质 标准方程 12 2 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 离心率 )10(<<= e a c e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点) 1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222c b a += 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a b 2 2 3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠ 为最大角。 4.焦点三角形的面积2 tan 2 21θ b S F PF =?，其中21PF F ∠=θ 5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤． (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程： ①依据上述判断设方程为22 22b y a x +=1)0(>>b a 或2222a y b x +=1)0(>>b a ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系: 2222b y a x +<1,点在椭圆内，2222b y a x +=1，点在椭圆上，22 22b y a x +>1, 点在椭圆外。 7.直线与椭圆的位置关系 设直线方程y ＝kx ＋m ，若直线与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． (1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点． 8.弦长公式： 若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长 221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+= 2122124)(1x x x x k -++= 9.点差法： 就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。 步骤:①设直线和圆锥曲线交点为 ， ，其中点坐标为 ，则得到关系式 ， ．. ②把 ， 分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进 行因式分解．其结果为0))(())((21212121=+-++-y y y y n x x x x m ③利用 求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 . 椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存有; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义：平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23- ,2 5） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为 9 252 2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知， 22)225()23(2++-=a ＋22)22 5 ()23(-+- 102 11023+= 102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为6 102 2=+x y 另法：∵ 42 222-=-=a c a b ∴可设所求方程142 222=-+a x a y ，后将点（23-,2 5 ）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程 (3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： 第五节椭圆 第1课时椭圆及其性质[最新考纲] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． 1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆． (2)若a＝c，则集合P为线段． (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 1．过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2 a，过焦点最长弦为长轴． 2．过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. 3．与椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为 x2 a2＋λ ＋ y2 b2＋λ ＝1(λ＞ －b2)． 4．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若∠F1PF2＝θ，则 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)S△PF1F2＝1 2|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取 最大值，为bc. (4)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (5)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a. 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． () (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． () (3)y2 a2＋ x2 b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．() (4)x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)与 y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0)的焦距相等． 椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只 有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、 y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤， b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义:平面内与两定点F １,F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M ＝{P| |ＰF 1｜+|PF 2｜=２a,2a ＞|F 1Ｆ2|=2c}; 这里两个定点F 1,Ｆ2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2ｃ。 (212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹)。 2．标准方程:2 22c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a>ｂ＞0); 焦点F(±c,0) ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a>b>0); 焦点Ｆ（0, ±ｃ) 注意：①在两种标准方程中,总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n + = 或者 ｍx 2+ｎｙ2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 (1）椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0) 横坐标-a ≤x ≤ａ ,纵坐标-ｂ≤x ≤b (2)椭圆122 22=+b x a y (ａ＞b>0) 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴ｙ轴都是对称的,这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3．顶点 (1)椭圆的顶点：A 1（-a,0），A 2（ａ，0),Ｂ1(0，－b)，B 2(０,b) (2)线段A １Ａ2,B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ,即a c 称为椭圆的离心率，记作e （10< 高二数学椭圆几何性质总结 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为 双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=（一个∆Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总 在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ⎩⎨⎧==θ θ sin cos b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； 椭圆几何性质知识点总结 1. 椭圆的定义 椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。即 PF1+PF2=2a。其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。 椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。 2. 椭圆的焦点和离心率 椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。离心率的取值范围是0 1 椭 圆 一、椭圆的定义： 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （其中122a FF >）的点的轨迹叫做椭圆.这两个 定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的定义可用集合语言表示为：{} 12122,2P M MF MF a a F F = +=>. 注意：当122a FF = 时，表示线段12FF ；当122a FF <时，轨迹不存在. 二、椭圆的标准方程与几何性质： 当椭圆焦点在x 轴上时 当椭圆焦点在y 轴上时 标准方程 )0(122 22>>=+b a b y a x )0(122 22>>=+b a b x a y 图形 范 围 a x a -≤≤，b y b -≤≤ a y a -≤≤，b x b -≤≤ 对称轴 x 轴、y 轴 x 轴、y 轴 对称中心 坐标原点(0,0)O 坐标原点(0,0)O 长轴、短轴 长轴长2a ，短轴长2b 长轴长2a ，短轴长2b 顶点坐标 (,0)a ±，(0,)b ± (0,)a ±，(,0)b ± 焦点坐标 (,0)c ±，其中222c a b =- (0,)c ±，其中222c a b =- 离心率 (c e a =其中01)e << (c e a =其中01)e << 1.a 、b 、c 、e 的几何意义：a 叫做长半轴长；b 叫做短半轴长；c 叫做半焦距；a 、b 、c 之间满足 222a b c =+. e 叫做椭圆的离心率，c e a =且01e <<，e 可以刻画椭圆的扁平程度，e 越大，椭圆越扁， e 越小，椭圆越圆. 2.点P 是椭圆上任一点，F 是椭圆的一个焦点，则max PF a c =+，min PF a c =-. 四、直线与椭圆位置关系 （1）直线与椭圆的位置关系及判定方法 椭圆及其几何性质 主干梳理： （一）椭圆定义：a MF MF 2||||21=+（)c a >。 注：①||221F F a >轨迹为椭圆；②||221F F a =轨迹为线段21F F ；③||221F F a <轨迹不存在。 （二）椭圆标准方程：（其中2 22b c a +=） 122 22=+b y a x （0>>b a ）表示椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -， 中心在坐标原点的椭圆方程； 122 22=+b x a y （0>>b a ）表示椭圆的焦点在y 轴上，焦点是),0(),0(21c F c F -， 中心在坐标原点的椭圆方程。 （三）以椭圆122 22=+b y a x (0>>b a ) 研究椭圆的几何性质 1、范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，落在b y a x ±=±=,组成的矩形中； 2、对称性：原点叫椭圆的对称中心，简称中心，x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴； 3、顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。 椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -。 长轴，短轴长分别为b a 2,2，b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。 4、离心率：椭圆焦距与长轴长之比。 定义式：a c e =⇒2)(1a b e -=； 范围： 10< 椭圆的性质及应用 一、圆锥曲线 圆锥与平面的截线通常有：圆、椭圆、双曲线、抛物线，其中的椭圆、双曲线、抛物线叫圆锥曲线，其中抛物线是圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线，双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线，圆是圆锥面与垂直于轴的平面相截而得的曲线，其他平面截取的则为椭圆。 圆锥曲线有一个共同的定义：即：圆锥曲线是到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。 二、椭圆的定义 椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1常值的点之轨迹。 椭圆的第一定义：平面与两定点F 、F'的距离的和等于常数2a (2a>|FF'|)的动点P 的轨迹叫做椭圆。即：│PF │+│PF'│=2a ，其中两定点F 、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。若2a=|FF'|，为线段，若2a<|FF'|，不存在。 下面确定椭圆的方程 现设P 的坐标为（x,y ），F 的坐标为（C,0） 2a = 2a =整理可得： 22222222()()a c x a y a a c -+=- 定义：222a c b -= 则椭圆的方程可表示为： 椭圆在方程上可以写为标准式2 2 221y x a b +=，(a>b>0)，这样的椭圆长轴在x 轴上，焦点在X 轴时，若 2 2 2 21y x b a +=，(a>b>0)，这样的椭圆长轴在y 轴上。焦点在y 轴时。 有两条线段，a 、b 中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长，当a>b 时，焦点在x 轴 上，焦距为:222a c b -= 椭圆的第二定义 由椭圆的第一定义：可到椭圆方程为：22222 22221b x a b y b y a x =+⇒=+ 将2 22c a b -=代入，可得：22222222222222x a c a c x y c a x a c a y +=++⇒-=-+ 所以：() ()2 2 22422 2 ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛±=±+⇒+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+a x a c c x y c a x a c c x y 解析几何 04 椭圆及其性质 一、具体目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．能处理与椭圆有关的问题. 二、知识概述：1. 椭圆方程的第一定义：一个动点到两个定点的距离为一个常数（大于两定点之间的距离）则动点的轨迹就是椭圆.几何表示：() 121222PF PF a a F F +=>. 当() 121222PF PF a a F F +=<无轨迹；当() 121222=PF PF a a F F +=，以12,F F 为端点的线段. ⑴①椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在x 轴上：()22 2210x y a b a b +=>>. 中心在原点，焦点在轴上：()22 2210y x a b a b +=>>. ②一般方程：()2 2 10,0Ax By A B +=>>.③椭圆的标准参数方程： 的参数方程为（一象限应是属于02 π θ<< ）. ⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长. ③焦点：或.④焦距： . ⑤准线：或.⑥离心率：()01c e e a =<<. ⑦焦点半径：i. 设为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上的一点，为左、右焦点，则 y 1222 2=+ b y a x ⎩⎨ ⎧==θ θ sin cos b y a x θ),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2221,2b a c c F F -==c a x 2±=c a y 2 ±=),(00y x P 21,F F 【考点讲解】 ⇒ -=+=02 01,ex a PF ex a PF椭圆的定义及简单几何性质
椭圆的几何性质知识点归纳及典型
椭圆的定义与性质
椭圆的定义及几何性质(含答案)
(完整版)椭圆基本知识点总结
椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆及其性质
椭圆知识点总结
椭圆知识点总结
椭圆几何性质总结
椭圆几何性质知识点总结
椭圆,双曲线,抛物线定义,好
椭圆及其几何性质
高中数学解析几何椭圆性质及定义
2020年高考数学(理)之解析几何高频考点04 椭圆及其性质附解析