椭圆的标准方程及性质
一.椭圆曲线的介绍
1.
域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)：
具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。定义保证如下性质：
随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0.
这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）：
P，Q不重合时：
P，Q重合时：
总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。
椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面：
Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点：
（图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）
而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。
为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。
上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。所以右边就提供了我们一个二元运算。而左边恰好是为了有一个沿x轴的对称（即(x,y)是解，那么(x,-y)也是），相当于提供了一个取逆P→−P,而无穷远点提供给我们一个单位元。
2.
我们需要一些例子。
例子一：
y3=x2+6没有整数解
由这个例子可见，一些丢番图方程的求解其实就是求某条椭圆曲线上的整点、有理点问题，而代数数论工具可以应用到求解这类方程上来。
例子二：
Fermat的一些发现也是椭圆曲线上的整点问题如：立方数=平方数+2只有33=52+2，立方数=平方数+4只有22+4=23,112+4=53。不过Fermat可不是用什么素理想分解搞出来这个结果，而是使用他引以为豪的无穷递降法，这又涉及到高度的概念。
（图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）
由这个例子可见，椭圆曲线的研究有一些不同于代数数论的传统方法的新方法（比如高度）。
例子三：
著名的同余数问题以及BSD猜想
例子四：
实际上我们关于椭圆曲线的定义过于狭隘了，例如：(43810194989780,92269814989780)is a solution for x^3+y^3=7
这是为什么呢？注意到x3+y3=7有特解(43,53)，而x^3+y^3=7其实也是椭圆曲线！
用tangent method可以算出其在某个坐标变换下方程化为y2=x3−21168，当然是一条椭圆曲线的。于是我们可以用特解P=(43,53)生成新的有理解2P,3P,…，便可以得到一个有理点(43810194989780,92269814989780)
这个例子告诉我们，最初的定义是依赖坐标的。更好的定义为：
标准的方程：
其中系数都在k中，并且曲线没有奇点，则其
称为k上的一条椭圆曲线
这种方程叫做椭圆曲线的affine Weierstrass form，可以
证明一般的椭圆曲线：
都可以化成Weierstrass form
而一个不依赖坐标的定义为：
k(代数闭)上一条椭圆曲线定义为亏格为1的光滑的射影
代数曲线，同时带一个特定基点。
（对于非代数闭的perfect field k，其上一条椭圆曲线是
k的代数闭包上一条defined over k 的椭圆曲线）
或者更形式地，我们定义
一条k上的椭圆曲线为k上的1维射影代数群。
实际上对于椭圆曲线E，E→Pic0(E)P→(P)−(O)为同构，因此自然给E一个交换群结构。
用Riemann-Roch定理可以很简单证明这些general的定义都可以化成经典的标准型
而射影（从而完备）代数群由于刚性其群运算必须交换，并且态射一定差一个translation后为群同态，所以是Abel群，这类代数群称为Abelian varieties，可以看成椭圆曲线的高维推广。
利用g=(d−1)(d−2)/2可知所有三次的光滑的射影代数曲线(带一个有理点)都是椭圆曲线，特别地x3+y3=7也是。而光滑的假设不能去掉，典型的奇异三次曲线是y2=x3，其在原点附近比较尖，而在平面上的图像有一个cusp，还有y2=x3+x2这类具有结点的例子：
例子五：
y2=x3+n这种椭圆曲线称为Mordell equation,其中n为一个整数，这类椭圆曲线比较好算，作为练习，我们来算一些例子y2=x3+7没有整数解
证：mod 8 知x奇数，由y2+1=x3+8=(x+2)(x2−2x+4),但x^2-2x+4模4余3，故存在p|x^2-2x+4,p模4余3,所以p|y^2+1,所以(−1p)=1，这与p模4余3矛盾。
y2=x3−5没有整数解
证：mod4知y偶，x模4余1.由y2+4=x3−1=(x−1)(x2+x+1)同上可得。类似地可以证明：
y2=x3+n对于n=-3,-6,-9,-12,-24,6,45,46都没有整数解
这些都是模法和简单的二次剩余的应用，方法是凑出y2+b=x3−a3=(x−a)(x2+ax+a2)
再考虑右边的素因子p，那么-b自动是p的二次剩余。
另一种方法是凑出(y+n)(y−n)=y2−n=x3然后在Q(n)的代数整数环中分解，右边一定是理想的三次方，如果左边两项互素，那么左边也是，然后具体到元素上可能会差代数整数环中的单位。例如：
n=16则只有整数解x=0，y=-4,4
n=-1,y2=x3−1只有整数解(0,1)
证：x3=y2+1，易见x奇数，y偶数，若p|y+i,p|y-i，那么p|2i,所以p|2(i为单位),所以
2=p2|(y−i)(y+i)=x3推出x为偶数，矛盾。
所以y+i，y-i互素，由Z[i]中单位全为三次方，并且Z[i] PID,故可写
y+i=(m+ni)3,考虑虚部容易解出n=-1，m=0,y=0,x=1.
类似地：
n=-4，y2=x3−4只有整数解(2,±2),(5,±11)
n=-2,只有整数解(3,5),(3,-5)
更复杂的计算有：
n=1,只有整数解(-1,0),(0,1或-1),(2,3或-3)
当然不要忘记我们最早的例子：
y2=x3−6没有整数解。
由这个例子可见，计算整解可以用模法和代数数论的一些方法，至于有理解的探寻就有点神秘。尽管我们可以通过P计算2P，用原来的解生成新的解.但如何保证得到的是所有解，还是有些tricky的.
例子六：
x4+y4=z4没有非平凡的整数解：
容易看出如果y非0，则
故只需要证明y^2=x^3-x上的有理点必须y=0即可.
这个argument可由无穷递降法（关于高度递降）得到
由这个例子可见，利用椭圆曲线的性质可以证明之前代数数论中的一些问题，例如虚二次域类数1问题,explicit class field theory for imaginary quadratic field。
（当然还有Fermat 大定理XD）
3.
下面是椭圆曲线中一些广为人知的重要定理。
（Mordell-Weil，1922）
Q上的椭圆曲线E的有理点E(Q)是有限生成Abel群：
E(Q)=Zr⊕T,
T是挠点全体,为有限Abel群,r称为E的秩
证明需要weak mordell-weil theorem（其由Selmer group有限导出），以及高度的性质。
(Mazur，1977)
上面的T只可能为：
Z/NZ，其中N= 1, 2, ..., 10, or 12,
或Z/2Z×Z/2NZ其中N= 1, 2, 3, 4
这15个群之一
例如考虑E:y2=x3−n2x,n∈N∗其挠点仅四个,从而E(Q)/2E(Q)≅
(Z/2Z)r+2,r为rank.
(Siegel，1929)
Q上的椭圆曲线E的整点（坐标均为整数的点），或者更
一般的坐标有一者为整数的点，只有有限个。
其证明用到了一些高度的性质和有理数逼近的Roth theorem。对于亏格>1的曲线的有理点也有类似的有限性定理，其由Faltings证明。
(Hasse)
If N is the number of points on the elliptic
curve E over a finite field with q elements, then
显然N≤#P2(Fq)=q2+q+1.
接下来是研究有理点的具体结构。
二.挠点
E是Q上一条椭圆曲线,则在合适的坐标下其可写成
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质 椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。 一、椭圆的标准方程 椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1 其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。 二、椭圆的性质 1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。 2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。 3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。 4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。
5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两 个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。 6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆 的弦。 7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。 8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。 三、椭圆的应用 椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。以下 是一些椭圆应用的例子： 1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作 椭圆。 2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。 3. 固定时间下的最短路径问题。 4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。 4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。 5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。 总结：
椭圆标准方程及其性质知识点大全
(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两 焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： ●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 【说明】： 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F ，F 的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中
a 最大且a=b+c . 2. 方程表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三) ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?> b a 相交于两点11(,)A x y 、 x
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程 一、高考考点分析与讲解： 1．椭圆定义： 平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ） 的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距． 说明：当与两个定点21,F F 的距离之和等于||21F F 的点的轨迹是线 段12F F ；与两个定点21,F F 的距离之和小于||21F F 的点的轨迹不存在． 2．根据定义推导椭圆标准方程： 取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴 设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）. 则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数） {}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又， a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴， 化简，得 )()(2 2222222c a a y a x c a -=+-， 由定义c a 22>,02 2>-∴c a 令2 22b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+， 两边同除2 2 b a 得 122 22=+b y a x 此即为椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中 22b c a += 注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将 方程122 22=+b y a x 中的y x ,调换，即可得 12 2 22=+b x a y ，也是椭圆的标准方程 说明：所谓椭圆标准方程，一定指的是 焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在 12222=+b y a x 与122 22=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(12 2n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两 种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如122 22=+b y a x 中，由于b a >，所以在x 轴 上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)． 3 注：①是0a b >>； ②是222a b c =+（要区别与习惯思维下的勾股定理222c a b =+）； ③是定方程“型”与曲线“形”． 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,58 2,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为 19 252 2=+y x ． 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、 (0,2)，并且椭圆经过点35(,)22 - ；
椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23- ,2 5） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为 19 252 2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知， 22)225()23(2++-=a ＋22)22 5 ()23(-+- 102 11023+= 102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为 6 102 2=+x y 另法：∵ 42 222-=-=a c a b ∴可设所求方程14 2 2 22=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程 (3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： . 椭圆的标准方程及性质椭圆的两种定义：1． y?? F2a?F FF的点的轨迹，即点，(1)平面内与两定点的距离的和等于定长212PMM FF2a?FF FPFPFaFaMP，|+|时为线段|=2|}，2＞集|={；| |（1221122121 A2FF2a?FF. ，其中两定点叫焦点，定点间的距离叫焦距无轨迹）. xA O FFKK212111221的正常数的点的(2)平面 内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1PF?ePM. ＜={1的常数| ，0＜轨迹，即点集e?d 2．标准方程：22yx22ccFxabF b??ac 0＞0）；焦点）（－，0）， .（（1）焦点在（轴上，中心在原点：其中＞，1??2122ba22xy22ccFyabF1??，.（（0＞，＞0）；焦点其中（）焦点在（20轴上，中心在原点：，－））ba?c?2122ba 3.椭圆一般方程22BAABxAAxByABB时＜轴上，=1 （当＞0，，＞0时，椭圆的焦点在两种标准方程可用统一形式表示：≠+＞y. 焦点在，已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便轴上）．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异42222yxxy211????)(m??b)0?b?(a共焦点的椭圆方程可设为相同。与椭圆，共焦点，则c2222m?mbaba?此类问题常用待定系数法求解。22yx1??)0b?(a?共焦点的椭圆方程可设e相同。与椭圆共5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程离 心率，则22ba，为 2222xyxy1??1??)?0(a?b与6：椭圆的区别和联系 2222bbax??1??1(a?b?0(a?b?)0)标准方程2222abab 图形 F(?c,0)F(c,0)F(0,?c)F(0,c)，，焦点2121FF?2cc2F?F焦距2121x?by?b?a?xay，，范围 一.椭圆曲线的介绍 1. 域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)： 具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。定义保证如下性质： 随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0. 这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）： P，Q不重合时： P，Q重合时： 总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。 椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面： Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点： （图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》） 而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。 为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。 上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。所以右边就提供了我们一个二元运算。而左边恰好是为了有一个沿x轴的对称（即(x,y)是解，那么(x,-y)也是），相当于提供了一个取逆P→−P,而无穷远点提供给我们一个单位元。 2. 我们需要一些例子。 例子一： y3=x2+6没有整数解 由这个例子可见，一些丢番图方程的求解其实就是求某条椭圆曲线上的整点、有理点问题，而代数数论工具可以应用到求解这类方程上来。 椭圆的标准方程与几何性质 一、知识梳理 1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 思考：若与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（小于或等于||21F F ）的点的轨迹又是如何？ 2．标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆的标准方程为122 22=+b y a x ; （2）焦点在y 轴上，中心在坐标原点的椭圆的标准方程为122 22=+b x a y . 3、重要关系： 2 2 2 a b c =+。（注意大小关系） 4、椭圆的几何性质 由椭圆方程122 22=+b y a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质。 （1）范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-（椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中） （2）对称性：图形关于原点对称．原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴． 长轴与短轴长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。 椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -。 【小秘书】 （1）求椭圆方程的方法：除了定义外，常用待定系数法； （2）当椭圆的焦点位置不确定时，可设方程为22 1x y m n +=（,0m n >），避免讨论和繁杂的计算。 （3）要重视椭圆定义解题的重要作用，要注意归纳提炼，优化解题过程。 【例1】求满足下列各条件的椭圆的标准方程.： 椭圆及其标准方程 椭圆是数学中的一个重要概念，指的是平面上一组点，到两个固定 点（称为焦点）的距离之和是常数的点的集合。它是圆锥曲线之一， 在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。本文将介绍椭圆及 其标准方程。 一、椭圆 椭圆是一个常出现于生活中的几何形状，比如篮球、鸡蛋等，都是椭 圆形状。在代数学中，一个在平面内有两个固定焦点F1和F2的点P，使得PF1+PF2=2a（a>0），则称这个点P在以F1和F2为焦点、2a为 长轴的椭圆上。椭圆也可以看成一个斜着的圆，所以我们也可以称其 为“斜圆”。 二、标准方程 椭圆的标准方程表示为： （x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1 其中，a和b分别代表长轴和短轴的长度。这个方程的中心在坐标系原点，椭圆的形状和位置通过a和b的取值来确定。如果a>b，那么椭圆 的长轴与x轴平行；如果b>a，那么椭圆的长轴与y轴平行；如果a=b，那么椭圆就是一个圆。 三、椭圆的性质 1. 椭圆中任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。 2. 椭圆中心为坐标系原点O，且椭圆的长轴与x轴夹角为α，则椭圆上任何一点P(x,y)的斜率为k=tan(α±β)或k=tan(β-α)，其中β为焦点在椭圆中心连线与x轴正半轴的夹角。 3. 椭圆上任意一条弦都不超过椭圆的长轴长度2a。 4. 椭圆的离心率e满足e=c/a，其中c为两个焦点之间的距离。 4. 椭圆的离心率大小决定了椭圆的胖瘦。当离心率越小，椭圆越圆；当离心率越大，椭圆越瘦长。 五、应用 椭圆在数学、物理、工程中都有广泛应用。比如说，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹就是一个椭圆；在航空、航天中，椭圆形状的轨道是探测器、卫星等航天器的常用轨道；在通讯中，椭圆抛物线天线是一种常用的天线，特点是既可以做发射天线，也可以做接收天线。 结语：椭圆是一种非常有趣的几何图形，它具有很多独特的性质和应 椭圆的性质 1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆． 2．椭圆的标准方程： ①22 221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222=+a b c ． ②22 221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222=+a b c ． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22 221(0)x y a b a b +=>>）： ⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤； ⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； ⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ， ，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ． ⑸椭圆的离心率：c e a = ，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆． 4．若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只 有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、 y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤， b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0 椭圆标准方程和性质 椭圆是平面上一个动点到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。椭圆在几 何学中有着重要的应用，而椭圆的标准方程和性质是我们学习和理解椭圆的基础。本文将介绍椭圆的标准方程和性质，希望能够帮助读者更深入地理解椭圆的几何特性。 椭圆的标准方程可以表示为： \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。 其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。在椭圆的标准方程中，a和b的大小决定了椭圆的形状，当a=b时，椭圆变成一个圆。 椭圆的性质包括： 1. 焦点和直径。 椭圆有两个焦点，它们的距离等于2a。椭圆的直径是通过两个焦点的直线，且长度等于2a。 2. 长轴和短轴。 椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，长度为2a。短轴是长轴的垂直轴，长度为 2b。 3. 离心率。 椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c是焦距，a是长半轴的长度。离心率描述了 椭圆形状的“扁平程度”，当e=0时，椭圆变成一个圆，当0 5. 切线。 椭圆上任意一点的切线与椭圆的两条轴的夹角之和等于90度。 6. 对称性。 椭圆具有关于两条坐标轴的对称性，以及关于两个焦点的对称性。 椭圆的标准方程和性质是椭圆几何特性的重要组成部分，对于理解和应用椭圆具有重要意义。在工程、物理、天文等领域，椭圆的性质被广泛应用，因此掌握椭圆的标准方程和性质对于相关领域的学习和研究具有重要意义。 总之，椭圆是几何学中一个重要的曲线，其标准方程和性质是我们理解椭圆特性的基础。通过学习和掌握椭圆的标准方程和性质，我们可以更深入地理解椭圆的几何特性，为相关领域的学习和研究打下坚实的基础。希望本文能够帮助读者更好地理解和应用椭圆的标准方程和性质。 椭圆公式定理大全 椭圆是一种二维图形，其形状类似于拉伸的圆形。在椭圆中，存在一些重要的定理和公式，可以帮助我们理解和处理椭圆的性质和特征。下面将介绍一些椭圆的重要定理和公式。 1.椭圆的定义： 椭圆可以通过以下定义来描述：在平面上选取两个定点F1和F2，并选取一个距离为2a的两个定点间的连线作为主轴，则椭圆是平面上到这两个定点的距离之和等于常数2a的所有点的轨迹。 2.椭圆的标准方程： 椭圆的标准方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆中心的坐标，a和b是椭圆的半长轴和半短轴的长度。 3.椭圆的焦点： 椭圆的焦点是定义中提到的两个定点F1和F2，它们与椭圆的几何性质密切相关。 4.椭圆的半长轴和半短轴： 椭圆的半长轴是主轴的长度的一半，表示为a；半短轴是次轴的长度的一半，表示为b。半长轴和半短轴的关系可以表示为b²=a²-c²，其中c 是焦点距离中的一半。 5.椭圆的离心率： 椭圆的离心率e定义为焦点与椭圆中心之间的距离与半长轴的比值，即e=c/a。离心率可以用来衡量椭圆的扁平程度，当e=0时，椭圆变为圆形。 6.椭圆的直径和焦距： 椭圆的直径是椭圆上任意两个点之间的最长距离，它恰好等于2a；焦距是椭圆中心到焦点的距离，等于2c。 7.椭圆的周长和面积： 椭圆的周长可以用以下公式表示：C = 4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二椭圆积分，是一个无法用常规数学表达式表示的函数。椭圆的面积可以用以下公式表示：S = πab。 8.椭圆的焦截式方程： 椭圆的焦截式方程可以表示为x²/a²+y²/b²=1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。 9.椭圆的参数方程： 椭圆的参数方程可以表示为x = h + a cosθ，y = k + b sinθ，其中θ是参数。 10.椭圆的极坐标方程： 椭圆的极坐标方程可以表示为r = (a(1-e²))/(1-e cosθ)，其中r 和θ分别是极坐标系中的半径和角度，a和e是椭圆的参数。 椭圆的标准方程和性质 椭圆是平面上一个动点F到两定点A、B的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。椭圆是一个非常重要的几何图形，在数学和物理学中都有着广泛的应用。本文将介绍椭圆的标准方程和一些基本性质。 首先，我们来看椭圆的标准方程。设椭圆的两个焦点为F1和F2，椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。椭圆的标准方程为： \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\] 其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。焦距c和半焦距ae之间的关系为c^2 = a^2 b^2。 接下来，我们来看一些椭圆的基本性质。椭圆有许多独特的性质，下面我们将介绍其中的一些重要性质。 首先是椭圆的离心率。椭圆的离心率定义为e=c/a，表示焦点到几何中心的距离与长轴的比值。离心率是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。当离心率接近于0时，椭圆的形状接近于圆；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋向于长条形。 其次是椭圆的焦点性质。椭圆的焦点是椭圆的一个重要特征，它决定了椭圆的形状和大小。焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，这个性质决定了椭圆的轨迹。椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质是椭圆的定义之一。 最后是椭圆的对称性。椭圆具有许多对称性，包括关于x轴、y轴和原点的对称性。椭圆关于x轴对称，当y取相反数时，方程左边不变；关于y轴对称，当x 取相反数时，方程左边不变；关于原点对称，当x和y都取相反数时，方程左边不变。这些对称性质使得椭圆在几何和物理问题中有着广泛的应用。 总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多独特的性质和特征。通过 椭圆的标准方程和性质，我们可以更好地理解和应用椭圆在数学和物理学中的知识。希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！ 椭圆的标准方程及几何性质 椭圆是平面上的一种几何图形，它具有许多独特的性质和特点。在本文中，我 们将探讨椭圆的标准方程及其几何性质。 首先，我们来看椭圆的标准方程。椭圆的标准方程可以表示为： \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\] 其中，a和b分别代表椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。如果椭圆的长轴与x 轴平行，那么a代表长轴的长度，b代表短轴的长度；如果椭圆的长轴与y轴平行，则相反。通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的形状和大小。 接下来，让我们来探讨一下椭圆的几何性质。椭圆具有许多有趣的性质，其中 一些包括焦点、直径、离心率等。 首先是椭圆的焦点。椭圆有两个焦点，它们分别位于椭圆的长轴两端。焦点的 位置与椭圆的半轴长度有关，可以通过椭圆的标准方程轻松计算得出。 其次是椭圆的直径。椭圆有两条相互垂直的直径，分别为长直径和短直径。长 直径的长度为2a，短直径的长度为2b。这些直径是椭圆上许多重要几何元素的基础，如焦点、顶点等。 最后是椭圆的离心率。椭圆的离心率代表了椭圆的独特形状。它的计算公式为：\[e = \sqrt{1 \frac{b^2}{a^2}}\] 离心率越接近于0，椭圆的形状就越接近于圆；离心率越接近于1，椭圆的形 状就越狭长。离心率是描述椭圆形状的重要参数之一。 除了上述几何性质外，椭圆还具有许多其他有趣的特点，如切线、法线、曲率等。这些性质使得椭圆成为数学和几何中的重要研究对象，也在实际生活中有许多应用，如天文学中行星轨道的描述、工程学中的椭圆形零件设计等。 总之，椭圆的标准方程及其几何性质是数学和几何中的重要内容，通过本文的介绍，希望读者能对椭圆有更深入的了解，并能在学习和工作中灵活运用。 椭圆的标准方程与几何性质 ★ 知识梳理★ 知识点一:椭圆的定义 平面内与两定点F 1,F 2距离的和等于常数() 212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1｜+｜PF 2｜=2a,2a ＞｜F 1F 2|=2c ｝； 这里两个定点F 1,F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 (212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。 知识点二：椭圆的方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -= 椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程:12222=+b x a y )0(>>b a ,其中2 22b a c -=; 椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 3。 椭圆的一般方程： . 4. 焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222 a b c =+）⇔{ cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程,其中ϕ为参数） 知识点三:椭圆 122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并 且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 (2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的 坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆 12 2 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶 椭圆的标准方程与性质 教学目标： 1 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点： 在高考中所占分数：13分 考查出题方式：解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有：求曲线方程，弦长，面积，对称关系，范围问题，存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： 有以下3种情况 (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( ) A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知,CD是线段MF的垂直平分线. , (定值),又显然,根据椭圆的定义可推 断出点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆.所以A 选项是正确的 练习１：已知F 1，F 2是椭圆C ：22 221x y a b +=(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且 PF → 1⊥2PF ，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． 【解析】由题意的面积 ∴ 故答案为： 【答案】3 练习2：已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 2 9＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴 ，则 周长为16，故第三 边长为6.所以正确答案为A. 【答案】A 类型二 求椭圆的标准方程 例2：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2 2.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么 椭圆C 的方程为________． 【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)， 由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝1 2 . 由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4. 椭圆的标准方程及性质 1． 椭圆的两种定义： (1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ， 212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距. (2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e d PF =，0＜e ＜1的常数 }. 2． 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -= （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -= 3.椭圆一般方程 两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c 相同。与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为122 2 2=+++m b y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。 5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。与椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设 为 ， 6：椭圆12222=+b y a x 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的区别和联系 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 离心率 )10(<<= e a c e 准线方程 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 焦半径 01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -= x y O F F P A A B 1112 1 2 2 2M M K K 知识梳理 椭圆定义 椭圆的定义 椭圆 焦点，焦距 中点在原点，焦点在 x 轴 椭圆的标准方程 中点在原点，焦点在 y 轴 椭圆的性质 对称性 顶点 范围 第十四讲 椭圆的标准方程及性质 热身练习 1. 已知点 P (1，2)和圆 C ： x 2 + y 2 + kx + 2 y + k 2 = 0 ，过 P 作 C 的切线有两条，则 k 的取值范围 是 ． 2. 若实数 x 、y 满足等式 (x - 2)2 + y 2 = 3 ，那么 y 的最大值为 ． x 3. 过点 M (-3,- 3 ) 且被圆 x 2 + y 2 = 25 截得弦长为 8 的直线的方程为 ． 2 4. 圆心在直线 x -y -4=0 上，且经过两圆 x 2 + y 2 - 4x - 3 = 0 和 x 2 + y 2 - 4 y - 3 = 0 的交点的圆的 方程是 ． 5. 已知点 A (0，2)和圆 C ： (x - 6)2 + ( y - 4)2 = 36 ，一条光线从 A 点出发射到 x 轴上后沿圆的切 5 线方向反射，则这条光线从 A 点到切点所经过的路程为 ． 一、椭圆的定义及应用 (1) 文字形式 在平面内到两定点 F 1、F 2 的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫 椭圆 ．这两 例题解析 x 2 + y 2 - 4x + 4 x 2 + y 2 + 4x + 4 x 2 + y 2 - 4x + 4 x 2 + y 2 + 4x + 4 x 2 + y 2 - 4x + 4 x 2 + y 2 + 4x + 4 x 2 + y 2 - 4x + 4 x 2 + y 2 + 4x + 4 定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做 焦距 ． (2) 代数式形式 集 合 P ＝{M | |MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c . (3)坐标形式 (x －c )2＋y 2＋ (x ＋c )2＋y 2＝2a ①若 a > c ，则集合 P 为椭圆； ②若 a = c ，则集合 P 为线段； ③若 a < c ，则集合 P 为空集． 【例 1】已知两个定点 F 1 (-4, 0) , F 2 (4, 0) , (1) 若 MF 1 + MF 2 (2) 若 MF 1 + MF 2 (3) 若 MF 1 + MF 2 =10,则点 M 的轨迹方程是 . =8, 则点 M 的轨迹方程是 . =6, 则点 M 的轨迹方程是 . 【例 2】已知圆 C 的方程为（x ﹣1）2+y 2=9，点 p 为圆上一动点，定点 A （﹣1，0），线段 AP 的垂 直平分线与直线 CP 交于点 M ，则为点 M 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 【例 3】一动圆与已知圆 O 1：（x+3）2+y 2=1 外切，与圆 O 2：（x ﹣3）2+y 2=81 内切，试求动圆圆心 M 的轨迹方程． 【巩固训练】 1. 下列方程表示椭圆的是（） （A ） + = 4 （B ） + = 2 （C ） + = 6 （D ） + = 2 2. 已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为 2．从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP ′，求线段PP ′中点 M 的轨迹．椭圆的标准方程及性质
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