概率论复习题
第1章 随机事件及其概率
一、填空题
1、已知,5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,2.0)(=B A P 则=)(AB P _______________.
2、已知,25.0)()()(===C P B P A P ,15.0)()(==BC P AB P ,0)(=AC P 则A 、B 、C 至少有一个发生的概率为_______________.
3、把9本书随意放在书架上，指定的3本放在一起的概率为_____________.
4、包括甲、乙在内的n 个人排队，他们之间恰有r 个人的概率为____________.
5、设A 、B 、C 为三个事件，则“至少有一个事件不发生”可表示为______________.
6、设A 、B 、C 为三个事件，则“至多只有一个事件发生”可表示为______________.
7、设31)(=
A P ，41)(=
B P ，6
1
)(=AB P ,则=)(B A P ______________. 8、若3.0)(=A P ， 2.0)(=B P ，?=AB ，则)(B A P ?=_________________. 9、设31)(=
A P ，41)(=
B P ，2
1
)(=?B A P ,则=?)(B A P ______________. 10、若5.0)(=A P ， 4.0)(=B P ，3.0)(=B A P ，则)(B A P ?=_________________. 11、两封信随机的投入到四个邮筒中，则前两个邮筒内没有信的概率为________________.
12、两封信随机的投入到四个邮筒中，则前两个邮筒内都有信的概率为________________. 13、袋中有5个白球，3个黑球，从中一次任取两球，则取到的两球中有黑球的概率为
______________.
14、袋中有5个白球，3个黑球，从中一次任取两球，则取到的两球都是黑球的概率为
______________.
15、袋中有4黑6白大小相同的10个小球，现在从中不放回地任取两球，两个全是黑球的
概率________________.
16、甲、乙两人独立的射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，则在一次射
击中目标被击中的概率为______________.
17、某城市发行A,B 两种报纸，在这两种报纸的订户中，订阅A 报的有45%，订阅B 报的
有30%，同时订阅两种报纸的有15%，则只订一种报纸的概率为___________________. 18、从一批产品中抽取3件，以i A 表示第i 次抽到废品，则事件“第一次和第二次至少抽到一件废品”可表示为_______________.
19、设n 个人围成圆圈，甲、乙是其中两人。考虑从甲至乙的顺时针方向，甲、乙之间恰有
r(r 二、计算题 1、设有3个罐子，1号罐有2红1黑共3个球，2号罐有3红1黑共4个球，3号罐有2红2黑共4个球。 （1）、现任取一球，问取到红球的概率为多少？ （2）、若任取一球，结果是红球，问该红球取自1号罐的概率？ 2、设有8支枪，其中5支经过试射校正，3支没有校正. 一射手用校正过的枪射击时命中率 为0.8；用未校正的枪射击时命中率为0.3. (1）、现任取一支进行射击，问命中目标的概率为多少？ （2）、任取一支进行射击，结果命中目标，问这支枪是校正过的概率是多少？ 3、两批相同的产品各有12件和10件，每批产品中有一件废品。现任意从第一批中抽出一 件混入第二批中，然后再从第二批中抽出一件。求： （1）、从第二批中抽出的是废品的概率； （2）、已知从第二批中抽出的是废品，则从第一批中抽出的也是废品的概率。 4、有两个盒子，第一个装有2个红球1个黑球，第二个装有2个红球2个黑球。现在从两个盒子中各取一球，再在这两球中任取一个。 （1）求最后取出的是红球的概率； （2）上述过程重复10次，记X 表示最后取到的红球个数，求)(2 X E . 5、设有三个盒子，第一个装有4个红球1个黑球，第二个装有3个红球2个黑球，第三个装有2个红球3个黑球。现任选一个盒子，从中任取3球。 （1）、求取出的3个球中有2个红球的概率； （2）、记X 表示取到的红球个数，求)(2 X E 。 6、在一个盒子中有10个乒乓球，其中8个新球。在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样任取三个球。求： （1）第二次取出的三个球均为新球的概率； （2）已知第二次取出的均为新球，则第一次取到两个新球的概率。 第2章 随机变量及其分布 一、填空题 1、某人向一目标独立重复射击，每次射击命中的概率为)10(< 2、某人向同一目标独立射击4次，至少命中一次的概率为 81 80 ，那么这人的命中率为_____________. 3、设),2(~p b X ，),3(~p b Y , 若95 }1{= ≥X P , 则=≥}1{Y P _______________. 4、设),2(~p b X ，),3(~p b Y , 若16 9 }1{= 5、设X 是[0,1]上的连续型随机变量，且75.0}29.0{=≤X P ，若Y=1+X 且 75.0}{=≤y Y P ，则y=_____________. 6、设X 是[0,1]上的连续型随机变量，且75.0}29.0{=≤X P ， 若Y=1-X 且 25.0}{=≤y Y P ，则y=_____________. 7、设离散型随机变量X 所有可能取值为0，1，2, 3, 相应的概率为0.4, 0.3, 0.2, 0.1， 则=≠≥}2|1{X X P ______________. 8、设离散型随机变量X 所有可能取值为0，1，2, 3, 相应的概率为0.4, 0.3, 0.2, 0.1， 则=≠≤}1|2{X X P ______________. 9、设)2,0(~U X ，则}51{≤ N X ，则}3{≤X P =_________________. 二、计算题 1、已知随机变量X 的概率密度为??? ?? <<--=其它，, 011,11)(2x x C x f 求： （1）、常数C; （2）、X 的分布函数； （3）、X 的数学期望和方差。 2、已知随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Ce x f x ,)(| |， 求： （1）、常数C; （2）、X 的分布函数； （3）、X 的数学期望和方差。 3、已知X 的概率密度为） （其它0, 0,)(>???>=-λα λλx e c x f x ，其中λ和α均为已知。 求： （1）常数c ； （2）数学期望)(X E ； （3）}11{+≤<-ααX P ； （4）1+=X Y 的概率密度. 4、已知X 的概率密度为??? ??>=-其它, 00,)(2x e x f x α. 求： （1）常数α； （2）数学期望)(X E ； （3）}32{≤ 5、设随机变量)3,0(~U X , 求2 X Y =的概率密度)(y f Y 。 6、设随机变量)2,0(~U X , 求X Y ln =的概率密度)(y f Y 。 7、设???>=-其它, 00,)(~x e x f X x ，求X e =Y 的密度函数。 8、设),(~b a U X ，求X e =Y 的密度函数。 第3章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、在区间（0,1）中任取两数，两数之和大于 54 的概率为___________. 2、在区间（0,1）中任取两数，两数之和大于4 3 的概率为___________. 3、若),,,,(~),(2121ρσσμμY X , 那么X 服从_______________. 4、若),,,,(~),(2121ρσσμμY X , 那么Y 服从_______________. 5、设),(Y X 的概率密度为? ??>>=+-其它,00 ,0,),()(y x xe y x f y x ，则X 的边缘概率密度 )(x f X =_________________. 6、设),(Y X 的概率密度为? ??>>=+-其它,00 ,0,),()(y x xe y x f y x ，则Y 的边缘概率密度 )(y f Y =_________________. 7、设),(Y X 的概率密度为?????≤≤≤≤+=其它, 02 0,10,3 ),(2y x xy x y x f ，则X 的边缘概率密度)(x f X =_________________. 8、、设),(Y X 的概率密度为?????≤≤≤≤+=其它, 02 0,10,3 ),(2y x xy x y x f ，则Y 的边缘概率密度)(y f Y =_________________. 9、设),(Y X 只取下列值（-1,1），(0,0)，（1,0），（1,2），且相应的概率为 c 1，c 1，c 21，c 25 ，则c=_______________. 10、设),(Y X 只取下列值（-1,1），(0,0)，（1,0），（1,2），且相应的概率为 c 21，c 1，c 41， c 45 ，则c=_______________. 二、计算题 求： （1）、在表中空白处填上X 和Y 的边缘概率分布; （2）、|}||{|Y X P >; （3）、讨论X 和Y 的相关性，独立性。 求： （1）、在表中空白处填上X 和Y 的边缘概率分布; （2）、}1|{|=+Y X P ; （3）、讨论X 和Y 的相关性，独立性。 (1) 求X ，Y 的边缘分布律； (2) 讨论X 与Y 的独立性； (3) 求)(X D ，)(Y D ，),cov(Y X . (4) 求X ，Y 的边缘分布率； (5) 讨论X 与Y 的独立性； (6) 求)(X D ，)(Y D ，),cov(Y X . 并计算)(X D ，)(Y D . (1) 求X ，Y 的边缘分布律； (2) 讨论X 与Y 的独立性； (3) 求)(X D ，)(Y D ，XY . 7、已知二维随机变量（X,Y ）的概率密度为? ? ?≤≤≤≤=其它,01 0,10,),(y x cxy y x f ，求： （1）、常数c ；（2）}{Y X P ≥：（3）X 和Y 的协方差. 8、已知二维随机变量（X,Y ）的概率密度为?? ?≤≤≤=其它, 010, ),(y x Axy y x f ，求： （1）、常数A ；（2）}1{≥+Y X P ：（3）X 和Y 的协方差. 第4章 随机变量的数字特征 一、填空题 1、,1)(=X E ,4)(=X D 由切比雪夫不等式知≥<<-}53{X P _________________. 2、由切比雪夫不等式知≥<-})(2|)({|X D X E X P _________________. 3、已知)(X E ，0)(>X D 都存在，令) ()(X D X E X Y -= ，则=)(Y D ________________. 4、已知μ=)(X E ，2 )(σ=X D ，则?? ? ??-μσ2X D =__________________. 5、设)2,1(~N X ，)4,2(~N Y ，且Y X ,相互独立，则Y X -服从的分布是 ________________. 6、设)2,1(~N X ，)4,2(~N Y ，且Y X ,相互独立，则Y X -2服从的分布是 ________________. 7、设1)(=X E ，1)(=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ，25.0-=XY ρ，试根据切比雪夫不 等式估计≤≥-}6|{|Y X P _________________. 8、设2)(=X E ，2)(-=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ，5.0-=XY ρ，试根据切比雪夫不 等式估计≤≥+}6|{|Y X P _________________. 二、计算题 1、某厂生产的一批产品分为一级品、二级品和不合格品，其中不合格品率为20%，一级品 和二级品各占一半。若生产一件不合格品要亏损2元，一级品获利10元，二级品获利6元，求一件产品的平均利润。 2、某车间生产的圆盘，其直径服从（a ，b ）内的均匀分布。试求圆盘的平均直径。 3、检验员逐个检查某种产品，每次花10秒检查一个，但也可能有的产品需要重复检查一次再用去10秒。假定每个产品需要重复检查的概率为0.5，求在8小时内检查的产品多于1936件的概率。（441936, 8621.0)09.1(==Φ） 4、一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，且服从同一分布。设每箱平均重50公斤，标准差为5公斤，若用最大载重为5吨的汽车承运，则每辆车最多装多少箱才能保证不超载的概率大于0.9772.（20040004,9772.0)2(≈=Φ） 5、某城市的市民在一年内遭受交通事故的概率为10001，为此保险公司决定开设交通事故险。每个投保人每年缴费18元保险费，一旦发生事故将得到10000元的赔偿。经调查，预计有10万人购买这种保险，假设其它成本为40万元，请用中心极限定理计算保险公司一年内从此项业务获得的利润在20万元到60万元之间的概率。（8413.0)1(=Φ， 9772.0)2(=Φ，9987.0)3(=Φ） 注：计算过程中0.999以1来近似代替。 6、一个供电网内共有10000盏功率相同的电灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是0.5. 假设各盏灯的开、关是彼此独立的，试求夜晚同时开着的灯数在4900到5100之间的概率。（8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ，9987.0)3(=Φ） 7、某工厂生产的电器元件平均寿命为100小时，方差为100小时。现从一批产品中随机地取16件作为样本，试用中心极限定理计算样本的寿命之和大于1680小时的概率。（5.0)0(=Φ，8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ，9987.0)3(=Φ） 8、食品店出售三种蛋糕，价格分别为1元，1.2元和1.5元。经统计得知，过往购买这三种蛋糕的客户比例分别为30%、20%、50%。某天售出了300只蛋糕。求这天售出价格为1.2元的蛋糕多于60只得概率。（5.0)0(=Φ，8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ， 9987.0)3(=Φ） 第5章 数理统计的基础知识 一、填空题 1、设1X ，2X ，K ，n X 是取自总体)1,0(~N X 的样本，X 为样本均值，则() ∑=-n i i X X 1 2 服从的分布是_____________. 2、设1X ，2X ，K ，n X 是取自总体)2,1(~2 N X 的样本，X 为样本均值， 则()∑=-n i i X 1 2241 服从的分布是_____________. 3、设1X ，2X ，K ，n X 是取自总体)(~λP X 的样本，∑==n i i X n X 1 1为样本均值，则 =)(X E _____________. 4、设1X ，2X ，K ，n X 是取自总体),(~2 σμN X 的样本，∑==n i i X n X 1 1为样本均值， 则=)(X E _____________. 5、设1X ，2X ，3X 是取自总体)1,0(~N X 的样本，2 S 为样本方差，则2 2S 服从的分布是_____________. 6、设1X ，2X ，3X 是取自总体)1,0(~N X 的样本，X 和2 S 分别为样本均值和样本方差，则 3 S X 服从的分布是_____________. 7、设)(~n t T ，0)(>n t α，则)}(|{|n t T P α>=___________________. 8、设),(~m n F F ，则)},({m n F F P α≤=_________________. 9、设),(~m n F X ，则 ~1 X ________________. 10、设),(~2 σμN X ，1X ，2X ，K ，9X 是来自X 的样本，∑==9 1 91i i X X ， 一 、选择题(选择正确答案,并将其代号写在题干后面的括号里.每小题 3 分，共 15 分) 1．设随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，令Y aX U +=， bY X V +=，且U 与V 也不相关，则有【. C 】 ()A .0==b a ； ()B .0≠=b a ； ()C .0=+b a ； ()D .0=ab 2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故 障的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E 【A 】 ()A .21p p +； ()B .()()122111p p p p -+-； ()C .()211p p -+； ()D .21p p ． 3．若Y X ,ρ表示二维随机变量()Y X , 的相关系数，则“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{ }1=+=bX a Y P ”的【C 】 ()A .必要条件，但非充分条件； ()B .充分条件，但非必要条件； ()C .充分必要条件； ()D .既非充分条件，也非必要条件． 4．设总体X 与Y 相互独立，且都服从正态分布()10，N ．()91X X ，，Λ是从总体X 中抽取的一个样本，()91Y Y ，，Λ是从总体Y 中抽取的一个样本，则统计量 ~29 2191Y Y X X U ΛΛ+++= 【C 】 ()A ()92 χ； ()B ()82χ； ()C ()9t ； ()D ()8t 5．设总体X 服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，现从该总体中随机选出容量为20一个样本，则该样本的样本均值的方差为【B 】 ()A . 1； ()B . 5.0； ()C . 5； ()D . 50． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 福州大学概率统计(54学时)试卷（080116） 一、 单项选择(共21分,每小题3分) 1. 设A 、B 是任意两个事件，则P (A - B )= （ ） A. ()()P A P AB - B. ()()()P A P B P AB -+ C. ()()()P A P B P A B +-U D. ()()()P A P B P AB +- 2. 对于随机变量X ,Y ，若E (XY )=E (X )E (Y )，则 （ ） A. DY DX XY D ?=)( B.DY DX Y X D +=+)( C. X 与Y 独立 D. X 与Y 不独立 3．任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ?一定满足( )。 A 、1)(0≤≤x ? B 、在定义域内单调不减 C 、 1)(=? +∞ ∞ -dx x ? D 、1)(>x ? 4． n X X X ,,,21Λ为总体X 的简单随机样本，是指（ ）。 A 、n X X X ,,,21Λ相互独立； B 、n X X X ,,,21Λ中任一i X 与X 分布相同； C 、n X X X ,,,21Λ相互独立且n X X X ,,,21Λ中任一i X 与X 分布相同； D 、n X X X ,,,21Λ相互独立或n X X X ,,,2 1Λ中任一i X 与X 分布相同。 5．设21,X X 为取自总体)1,(~μN X 的简单随机样本，其中μ为未知参数，下面四个关于μ的估计量中为无偏估计的是（ ）。 A 、 213432X X + B 、214241X X + C 、214143X X - D 、215 3 52X X + 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 《概率论与数理统计》期末试题 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.9 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(的概率密 度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤=- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数 ) (,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则 ___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 3141===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数 ___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则 ____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒， 求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服 从均匀分布，Y 的概率密度为?? ???≤>=-000 212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的 二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体),(~220N X 的简单随机样本，求系数 a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2 χ分布，并求其自由度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态 分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值 μ的置信区间 (9610502.,./==ααz ) 三、（14分）设X,Y 相互独立，其概率密度函数分别为 ???≤≤=其他 ,,)(0101x x f X ，?? ???≤>=-000 y y e y f y Y ,,)( 求X+Y 的概率密度 四、（14 分）设 ?? ???≤<-=其它,),()(~0063θ θθx x x x f X ,且n X X ,, 1是总体 X 的简单随机样本，求 (1)θ的矩估计量θ ，(2) )(θ D 五、(12分)据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。(7881080.).(=Φ) 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 解: 把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果. （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 30 2415=C C 种方法 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故 12572 625360)(= =B P 2.某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙在24小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解： 设x,y 分别为两船到达码头的时刻。 由于两船随时可以到达，故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值，如右图 方形区域，记为Ω。设A 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。 222024,024024,024,2111 ()24576,()2322506.522 () ()0.8793 () x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===?+?===Ω={(x,y)}, A={(x,y)或},有所以， 3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，求： (1) 该件商品是次品的概率。 (2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解: 厦门大学概统课程期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业 考试时间 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,01 0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2 +ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 《概率论》期末考试试题（B卷答案） 考试时间：120分钟（2005年07月） 班级姓名成绩 1.设甲、乙两人在同样条件下各生产100天，在一天中出现废品的概率分布分别如下： 求甲、乙两人生产废品的数学期望，比较甲、乙两人谁的技术高？（） A甲好B乙好C一样好D无法确定 2.某厂产品的合格率为96%,合格品中一级品率为75％。从产品中任取一件为一级品的概率是多少？（） A 0.72 B 0.24 C 0.03 D 0.01 3. 任一随机事件A的概率P(A)的取值在（） A （0，1） B [0,1] C [-1,0] D (0,∞) 4.已知P（A）＝1，P（B）＝0，则（） A. A为必然事件，B为不可能事件 B. A为必然事件，B不是不可能事件 C. A不必为必然事件，B为不可能事件 D. A不一定是必然事件，B不一定是不可能事件 5. 设A、B两个任意随机事件，则= A P （） (B ) A. P（A）+ P（B） B. P（A）－P（B）+ P（AB） C. P（A）+ P（B）－P（AB） D. P（AB）－P（A）－P（B） 6.若已知φ A ，且已知P（A）＝0，则（） B = A.A与B独立 B. A与B不独立 C.不一定 D.只有当φ=A ，φ=B 时，A 、B 才独立 7.已知X ～B （n ，p ），则D （X ）＝（ ） A.np B.p （1－p ） C.n （1－p ） D.np （1－p ） 8.设),(~2σμN X ，将X 转化为标准正态分布，转化公式Z ＝（ ） A. 2 σ μ -x B. σ μ -x C. σ μ +x D. μ σ -x 9. 设),(~2 σμN X ，P (a ≤x ≤b )=( ) A.()()a b φφ- B.?? ? ??--??? ??-σμφσμφa b C.??? ??-+??? ??-σμφσμφa b D.?? ? ??--??? ??-σμφσμφb a 10. )1,0(~N X ,P (X ≤2）＝（ ） A.0.6826 B.0.9545 C.0.9973 D.0.5 二、 多项选择题（3*8=24分） 1. 设A 、B 是两个独立随机事件，则（ ） A.)()()(B P A P B A P ?= B. )()|(A P B A P = C. )()|(B P A B P = D. )()()(B P A P B A P += E. )()|()(B P B A P B A P ?= 2. 离散型随机变量的概率分布具有性质（ ） 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 一、单项选择题 1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4 2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B ) A. 0 B. 2 C. D 1 3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A ) A. 0 B. 2 C. 1 D 4 4 已知P(A)= ,则)(A A P ? 的值为( D ) (A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ 6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A. A B =A ?B B. A ?B =AB C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. (A ?B)(A ? B )=AB 7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4) 8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1) 9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 2x B. C. 2x D. x 10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 2x B. 1 C. 2x D. 0 11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=! n e n λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B ) A. 参数为λ的指数分布 B. 参数为λ的泊松分布 C. 参数为λ的二项式分布 D. 其它分布 12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。 (A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) 0≤ f (x )； (C ）f (x ) ≤1； (D) 没有限制 概率论与数理统计 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2) (1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 07级《概率论》期末考试试题B 卷及答案 一、 填空题（满分15分）： 1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷出现在旁边”的概率为 5 2 。 5 2 !5!422=?= p 2.设,)(,)(,)(r AB P q B P p A P ===则=)(B A P r p - 。性质 r p AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-=-=)()()][)()( 3.设随机变量ξ的密度函数为() 0 3，其它 ?? ?>=-x ce x x ?则c= 3 . 33 )(130 =?= ==-+∞ +∞ ∞ -? ? c c dx e c dx x x ? 4. 设ξ、η为随机变量，且D （ξ＋η）＝7，D （ξ）＝4，D （η）＝1， 则Cov(ξ,η)= 1 . 1 21 472)(),cov() ,cov(2)(=--=--+=++=+ηξηξηξηξηξηξD D D D D D 5.设随机变量ξ服从两点分布) 1 ,1(B ，其分布律为 则ξ的特征函数为= )(t f ξit e 3 132+。 二、 单项选择题（满分15分）： 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件恰好一个发生”为( ②. ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++ ③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.设随机变量ξ的分布函数为 00)(2 2 <≥?? ???+=-x x B Ae x F x 则其中常数为（① ）。 ①A=-1,B=1 ②A=1,B=-1 ③ A=1,B=1 ④ A=-1,B =-1 B A B e A x F B B e A x F x x x x x x +=+===+==-→→- +∞ →+∞ →++2 2 22lim )(lim 0lim )(lim 1 解得1,1=-=B A 3设随机变量ξ的分布列为.,2,1,2 1 )2)1(( ==-=k k P k k k ξ则ξE （ ④ ） ①等于1. ② 等于2ln ③等于2ln - ④ 不存在 445111 =?==∑ ∞ =C C C i i ∑∑+∞=+∞ =+=?-11 1 1 4545) 1(i i i i i i i ，由调和级数是发散的知，EX 不存在 4.对于任意两个随机变量ξ与η，下面（④ ）说法与0),cov(=ηξ不等价。 ①相关系数0,=Y X ρ ② )()()(ηξηξD D D +=+ ③ ηξξηE E E ?=)( ④ ξ 与η相互独立 5.设随机变量ξ服从二项分布)2 1 ,4(B ,由车贝晓夫不等式有 ( ② ). ①.31 )32(≤ ≥-ξP ②.91 )32(≤≥-ξP ③ 3 1 )32(≥<-ξP . ④ 9 1)32(≥ <-ξP 因为9 1 )32(,1,2≤≥-==ξξξP D E 三、（满分20分） （1）两人相约7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。 解： <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，概率论试题
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