概率论复习题答案
一、单项选择题
1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4
2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B )
A. 0
B. 2
C. D 1
3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A )
A. 0
B. 2
C. 1 D 4
4 已知P(A)= ,则)(A A P ?
的值为( D )
(A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ
6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A.
A B =A ?B B. A ?B =AB
C. A ?BC=(A ?B)(A ?C)
D. (A ?B)(A ?
B )=AB
7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4)
8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1)
9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 2
x B. C. 2
x D. x
10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 2
x B. 1 C. 2
x D. 0
11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=!
n e n
λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从
( B )
A. 参数为λ的指数分布
B. 参数为λ的泊松分布
C. 参数为λ的二项式分布
D. 其它分布
12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。
(A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) 0≤ f (x )； (C ）f (x ) ≤1； (D) 没有限制
13. 若两个随机事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论中正确的是( C ) (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 14. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则（ D ）。 (A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) P (a < X
→x f x ； (D)
1)(=?
+∞
∞
-dx x f
15. 在下列结论中, 错误的是( B ).
(A) 若~(,),().X B n p E X np =则 (B) 若()~1,1X U -，则()0D X =.
(C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2
~(,),X N μσ 则
~(0,1)X N μ
σ
-.
16. 设随机事件A ，B 满足关系
A B ?, 则下列表述正确的是( D ).
(A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.
(C) 若B 发生, 则A 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.
17. 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( B ). (A) 若()
()P AB P A =, 则A , B 互斥. (B) 若()1P B A =, 则()0P AB =.
(C) 若()()
1P AB P AB +=,则A ,B 为对立事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.
18. 设(X , Y )服从二维正态分布, 下列结论中错误的是( D ).
(A) ?(X , Y )的边缘分布仍然是正态分布. (B) ?X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关. (C) ?(X , Y )是二维连续型随机变量. (D)? 由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布
19. 设(X , Y )服从二维正态分布, 下列结论中正确的是( B ).
(A) ?(X , Y )的边缘分布是标准正态分布. (B) ?X 与Y 不相关等价于X 与Y 相互独立. (C) ?(X , Y )是二维离散型随机变量. (D)? X 与Y 相互独立则其相关系数为1 20. 设)(),(21x F x F 分别为随机变量X 1和X 2的分布函数，为使
)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，则a ,b 应取(?? A ??).
(A)52,53-==b a ； (B)32,32==b a ；
(C)2
3
,21=-=b a ； (D)32,21-==b a .
21. 设X 与Y 均服从标准正态分布，则（ A ）.
(A) E (X +Y ）=0; (B) D (X +Y )=2; (C) X +Y ～N (0,1); (D) X 与Y 相互独立
22. 设事件A 与 B 相互独立, 且0
(A) A 与B 一定互斥. (B) ()()()P AB P A P B =.
(C) (|)()P A B P A =. (D) ()()()()()P A B P A P B P A P B =+-U .
23. 设X 与Y 相互独立，且都服从2
(,)N μσ, 则下列各式中正确的是( D ). (A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.
(C) ()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2
()2D X Y σ-=.
24. 在下列结论中, 错误的是(C ).
(A) 若随机变量X 服从参数为n , p 的二项分布，则D(X)=np(1-p) (B) 若随机变量X 服从区间(-3,3)上的均匀分布，则D(X)=3 (C) 若X 服从指数分布, 则()()D X E X =. (D) 若2
~(,),X N μσ 则
~(0,1)X N μ
σ
-.
25. 设F(x)为随机变量X 的分布函数 ，若 b>a,则F(b)-F(a)与下列（ C ）等价。 A. P{a < X < b} D. P{a ≤ X < b} C. P{a < X ≤ b} B. P{a ≤ X ≤ b} 26. 设F(x)为随机变量X 的分布函数 ，若 b>0,则F(b)与下列（ D ）不等价。 A. P{ X ≤ b} D. P{-∞ < X ≤ b} C. F(b)-F(-∞) B. F(∞)-F(b) 27. 设X ～N(0,4) ，Y ～N(0,4),以下( C )的概率有可能不为0
A ．P{X = 2}
B 。P{X=2 | Y>1} C. P{X>1 | Y=2 } D. P{X=2 , Y>2 } 28. P{X>2,Y>3} 与以下(
C )的式子等价
A ．P{X>2}P{Y>3}
B 。P{X>2} + P{Y>3} C. P{X>2 ?Y>3} D. P{X>2 ?Y>3} 29．在下列结论中, ( D )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件 (A) E(XY)=E(X)E(Y). (B) D(X+Y)=D(X)+D(Y). (C) Cov(X,Y)=0. (D) X 与 Y 相互独立.
.
_____________),()(),()(),,(F ),,(Y X .30D y F x F y f x f y x y x f Y X Y X 式子是则不成立的、边缘分布函数分别为、边缘密度函数分别为联合分布函数为密度函数为相互独立，他们的联合、设随机变量A ． P{X>2,Y>2}=P{X>2} P{Y>2} B. )()(),(Y F x F y x F Y X = C. )()(),(Y f x f y x f Y X = D. D(XY)=D(X)D(Y)
二、填空题 1 已知P(A )= , P(B )=, P(AB)=, 则P(A ?B)
2. 已知随机变量X 的分布律如下。设12-=X Y
,则P{Y=0}的概率为( )
X | -1 0 1 P |
3. 已知随机变量X 的分布律为如下，则E(X)为 , D(X)为。
X | 1 3 4 P |
4设随机变量X 的概率密度函数为1
(1),02,
()40
,x x f x ?+<
5、设C B A ,,是三个随机事件, 试以事件运算关系来表示C B A ,,未同时发生（ ABC ）。
6、已知8.0)(=B A P Y ，7.0)(=B P ，则)(B A P =（ ）。
7、 8件产品中含有两件次品，从中任取三件，则恰有一件次品的概率为（ 15/28 ）。 8、设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，且其数学期望和方差分别为
6.3)(,6)(==X D X E , 则=n （ 15 ），=p （ ）。
9、设),(Y X 为二维随机变量，已知Y X ,的方差分别为16)(,25)(==Y D X D ，相关系数为4.0=xy ρ。则 =-)23(Y X D （ 193 ）。
10. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件：A 不发生, B , C 中至少有一个发生表示为 ()A B C U 12. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同. 已知至少成功一次的概率为
1927
, 则每次试验成功的概率为 1/3 .
13. 设随机变量X ,与Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 2
2
()()2E X E Y ==, 则
2[()]E X Y += 6 .
14. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，则 P (B )= 1-p 。
15. 设连续型随机变量X 的分布函数为???
??>-=-其它,
00,1)(2x e x F x ，则E (3X +5)=
11 。
16. 设D (X )=D (Y )=2, Cov(X ,Y )=1，则D (2X -Y )= 6 。 17 . 已知P(A)=,()
0.3P B =,()0.4P A B =U , 则()P AB = 。
18. 设随机变量X 服从参数为? 的泊松分布，且E [(X -1)(X -2)]=1，则参数?= 1 。
19. 设随机变量X 的概率密度为??
???>=-其它
,00,e 3
1)(3x x f x
，则E (2X +5)= 11 。
20. 设D (X )=4, D (Y )=9, 5.0=XY ρ, 则D (3X -2Y )= 66 。
21. 设随机变量X ～N (-1, 5)，Y ～N (1, 2)，且X 与Y 相互独立，则X -2Y 服从 N (-3,13) 分布
22.设随机变量 X ~ N(0,10),则P{ |X| < 12 }的概率大约为_____1______ 23 .设随机变量 X ~ N(5,10),则P{ X-5<0 }的概率为
24. 已知随机变量X 、Y 的分布律为如下，
X | 1 3 4 Y | 0 3 P | P |
且相互独立，则其联合分布律为(画出二维表格)
25 . 设随机变量X 、Y 的概率密度函数分别为f (x )=???≤≤其他,
01
0,32x x ，
g (y)=???≤≤,,0,
10,43其他y y ，且相互独立，则其联合概率密度函数为
( ???≤≤≤≤=,,
01
0,10,12),(32其他x y y x y x f )
26. 某甲乙丙三个向某目标独立同时射击一次，其击中目标概率分别为，，，则三个全击中目标的概率为
27. 设二维随机变量（X,Y ）联合概率密度???≤≤≤≤=,,
01
0,10,),(32其他x y y kx y x f
则常数k 的值为____12________。
28 .设随机变量X~B(4,的二项式分布(k
n k k n p p C k X P --==)1(}{)，则P{X=3}的值为
( )
29. 设随机变量X~P(2)的泊松分布(!
}{k e k X P k λλ-==)，则P{X=1}的值为( 2
2-e )
30. ,,A B C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是( D )
A.
AA A =Φ? B. AA A A =? C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. B A AB ?=
三、计算题
1．甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击，他们击中目标概率分别为、、，如果三个射手独立地同时发射，问
(1) 甲击中，乙、丙没击中飞机的概率 (2) 至少一人击中飞机的概率 (3) 至少一人没击中飞机的概率 (4) 恰好一人击中飞机的概率
解 设A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙三人击中飞机事件。
则P(A)=,P(B)=,P(C)=
1.0)(,
2.0)(,
3.0)(===C P B P A P
(1) 014.07.01.02.0)()()()(=??==A P C P B P A C B P
(2) P(A U B U C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=
P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(A)P(C)+2P(A)P(B)P(C)= * + * +*+**= 或
994
.01.0*2.0*3.01)()()(1)(1)C B A P(C) U B P(A U =-=-=-==C P B P A P C B A P
092
.01.0*8.0*3.01.0*2.0*7.09.0*2.0*3.0))C )P(B)P(A P()C )P(B P(A)P()P(C)B )P(A P()C B A P()C B P(A C)B A P()C B A C B A C B A P()4(504
.07.0*8.0*9.01)()()(1)(1)ABC P()C B A P( (3)=++=++++=??=-=-=-==??C P B P A P ABC P
2．设A,B 是两个事件，且P(A)= 1/5, P(B)= 1/2 1). 如果A 、B 独立,则计算P(AB) 、P(A ?B) 2). 如果A 、B 互不相容,则计算P(AB) 、P(A ?B) 3). 如果B ?A,则计算P(AB) 、P(A ?B)
答 1). P(AB)= P(A)P(B)=1/2 * 1/5=1/10
P(A ?B)=P(A) + P(B) –P(AB)=1/2+ 1/5 – 1/10=3/5 2) . P(AB)= 0
P(A ?B)=P(A) + P(B) –P(AB)=1/2+ 1/5 – 0=7/10 3). P(AB)= P(A)= 1/5
P(A ?B)=P(A) + P(B) –P(AB)=P （B)=1/2
3．设离散型随机变量X 的分布率如下：
1). 求a 的值。 2). 求X 的分布函数 3). 求随机变量Y=12+X 的概率分布 4). 求P{X<2}, P{
X | -1 1 3 4 P | a
答 1). a=1 - – – = 2). 当 x<01 F(x)=0;
当 -1≤x<1 F(x)=P{X=-1}= ;
当 1≤x<3 F(x)=P{X=-1}+P{X=1}=+= ;
当 3≤x<4 F(x)= P{X=-1}+P{X=1}+P{X=3}=+ + = ; 当x ≥4 F(x)=P{X=-1}+P{X=1}+P{X=3}+P{X=4}=+++=1
?????
????≥<≤<≤<≤-<=4
,143 85.03x 1 55.011- 25.01
,0)(x x x x x F ，，，
3).
Y | 2 10 17 P |
4) P{X<2}= P{X=-1}+P{X=1}=+= P{ P{Y>5}=P{Y=9}+P{Y=17}=+= 5) 14 11 15.03.025.03.025.0} 4{}3{}1{} 3{}1{1}X {1}X 3.5P{X 1}X |3.5P{X = +++= =+=+-==+-==≠≠?<= ≠ 4．已知产品的正品率为，现有这样一批产品100件 （1）用二项分布分别求这批产品中恰好有2件正品与恰好有2件次品的概率。 （列出式子就可以）。 （2）用泊松分布求这批产品中恰好有2件次品的概率。 答 根据题意，设随机变量X 表示恰好两件正品，则n=100,p=,k=2, 若随机变量Y 表示恰好两件次品，则n=100,p=,k=2。 185 .099.001.0)1(}2{01.099.0)1(}2{)1(98 22100 98 22 100=??=-==??=-==--C P p C Y P C p p C X P k n k k n k n k k n （2）设随机变量Y 表示恰好两件次品 λ=np=100*=1，k=2 184.021!21!}2{12==?== =--e e k e Y P k λ λ 5. 设随机变量X~N(4,9) ，Y~N(2,1) (1) 计算P{X<7}、P{X>3}、P{0 ) 333.1(1)333.0()3 4 0()345(}50{)333.0()333.0(1}3 4 334{1}3{1)3{)1(}3 4 734{ )7{).1(Φ+-Φ=-Φ--Φ=≤<Φ=-Φ-=-<--=≤-=>Φ=-<-= (2) 设Z=X+4Y,则随机变量Z 也是服从正态分布. 则E(Z)=E(X+4Y)=E(X)+4E(Y)=4+8=12 D(Z)=D(X+4Y)=D(X)+16D(Y)=9+16=25 ,则 Z~N(12,25) )2.0(1)2.05 12 {}51213512{ }13{)134{.Φ-=>-=->-=>=>+Z P Z P Z P Y X P 6．某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为5:3:2，各车间产品的合格率依次为90％，80%, 70% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：1). 取到不合格产品的概率；2). 若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。3). 若取到的是合格品，求它是由甲车间生产的概率。 答：设事件A,B,C 分别表示甲、乙、丙三个车间生产，事件H 表示产品合格率 依题意 P(A)=, P(B)=,P(C)=0..2 ; P(H|A)=, P(H|B)=,P(H|C)= 则 P(H |A)=1- P(H|A)= 1 – = 1) P(H)=P(A)* P(H|A) + P(B)* P(H|B) + P(C)* P(H|C) = * + * + * = P(H )=1-P(H)== 2) P(A|H ) = P(H |A)P(A) / P(H )=* / =5/17 = 3)P(A|H) = P(H|A)P(A) / P(H) = * = 45/83 = 7. 设连续型随机变量X 的分布函数为?? ? ??>≤≤<=1,110,0,0)(2x x x x x F ， 求: (1) X 的概率密度)(x f ； (2)P{X< U X>}；（3）数学期望[ ] )(2 X E X E + 解： (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=, 可得 2,01, ()0, 其它.x x f x < ? (2) P{X< U X>}=1- P{ =1- [] 6 7322d 2d 2)()()(1 031 041 02 10322=+= +=+=+??x x x x x x X E X E X E X E 8 设二维随机变量（X,Y ）联合概率密度f (x ,y )=?????≤≤≤≤+,, 0, 10,20,3其他y x y x (1)计算X 和Y 的边缘概率密度 (),()X Y f x f y (2) 问随机变量X 与Y 是否相互独立为什么 (3) 求概率 P{ X<1}, P{X>1,Y<} (4)求条件概率P{ Y<|X>1}，P{ Y=0| X<2} (5)求条件概率密度)|(|x y f X Y (6) 求E(X)， E(Y) ，D(X)，D(Y) (7)求E(XY) (8)求协方差Cov(X,Y),相关系数xy ρ 1. 答案： (1)当0 6 1 2|32/3),()(1021 +=+=+==? ?∞∞ -x y xy dy y x dy y x f x f X ?? ? ??≤≤+=其它,020,6 1 2)(x x x f X 3 22|32/3),()(2022 y xy x dx y x dx y x f y f Y +=+=+==? ?∞∞ - ?? ? ??≤≤+=其它,010,3 22)(Y y y y f (2) 随机变量X 与Y 不是相互独立，因f (x ,y )不等于两个边缘概率密度相乘。 )()(),(y f x f y x f Y X ?≠ (3) 3 1 0166121}X P{21 0=+=+= 24 71224224 1405.0)32/(dydx 3y x 0.5}y 1,X P{2 21212 2 1 0.5 = += +=+=+=<>???? x x dx x dx y xy (4) 16 73/1124/7}1{1}5.0,1{}1{}5.0,1{1}X | 0.5Y P{=-=<-<>=><>= > P{ Y=0| X<2}=0?; (5) 1 2226/)12(3/)()(),()|(1 020|++=++== ≤≤≤≤x y x x y x x f y x f x y f y x X X Y 时，当 ??? ??≤≤++=≤≤其它 ，时 即，当,0101 222)|(20|y x y x x y f x X Y (6) ??∞∞-=+=+==187013232322)()(4 310 222y y dy y y dy y f y Y E Y ?=+=+=203 422916026 32 612)(x x dx x x X E EX=??=+=+? =∞∞-202 3911026232612)(x x dx x x dx x xf X EY=94013 323223 2 10=+=+?y y dy y y 8123 )911(916)()(222=-= -=EX X E DX 16231 )94(187)()(222=-=-=EY Y E DY (7) 3 2 021818 2301)33/2/(dydx 3y x )(2 3 2022032220 1 0= +=+=+=+=??? ?x x dx x x dx xy y x xy XY E (8) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= 81 109491132=?- 162 31812381/10) ()(),(?= = Y D X D Y X Cov xy ρ 9设二维随机变量（X,Y ）联合分布律为 (1) 求常数A (2) 求X 和Y 的边缘分布律 (3) 问随机变量X 与Y 是否相互独立为什么 (4) 求概率 P{ Y>-1}, P{ 0 (7) 求协方差Cov(X,Y),相关系数xy ρ (8) 求 E(X-2Y+3) ，D(X-2Y-2) (9) 求概率 P{X-Y=1}， P{X>Y} (10)求Z=X+Y 分布律，U=Min{X,Y} 分布律 答案： (1) A=1 - - - - = X | 0 2 P | 随机变量Y 的边缘分布律 Y | -1 0 1 P | (3) 不独立， 因对任意i ，j 有 Pij 不等于Pi. * (4) P{ Y>-1}=P{Y=1}+P{Y=0}=+= P{0 13 9 65.03.015.0} 2{} 1,2{}0,2{}2{1}Y 2,P{X 2}X |1P{Y 0 35 .00 }0{}1,0{2}P{X 0}Y 2,P{X 2}X | 0P{Y (5)= +==-==+====<===<======<><= <>X P Y X P Y X P X P X P Y X P (6) EX=0*+2*= EY=(-1)* + 0*+1* = 91 .069.13.2)3.1(*)3.1()65.0*2*235.0*0*0())(()(22=-=-+=-=X E X E DX 56 .0)2.0(*)2.0(2.0*1*14.0*0*04.0*)1(*)1())(()(22=---++--=-=Y E Y E DY (7) E(XY)= 0*(-1)* + 0*0* + 0*1*0 + 2*(-1)* + 2*0* + 2*1*= Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= 56 .0*91.0383.1) ()(),(-= = Y D X D Y X Cov xy ρ? (8) 求 E(X-2Y+3)=E(X)– 2E(Y) + 3= – 2*+3 = D(X-2Y-2)=D(X)+4D(Y)-2Cov(X,Y)= +4* *= (9) P{X-Y=1}= P{X=0,Y=-1}+P{X=2,Y=1}= + =3 P{X>Y}=P{X=0,Y=-1}+P{X=2,Y=-1} + P{X=2,Y=0} + P{X=2,Y=1} =+++= (10) P{Z=-1}=P{X=0,Y=-1}= , P{Z=0}=P{X=0,Y=0}= P{Z=1}=P{X=2,Y=-1} + P{X=0,Y=1}= + 0=, P{Z=2}=P{X=2,Y=0}= , P{Z=3}=P{X=2,Y=1}= Z=X+Y | -1 0 1 2 3 P | P{U=-1}=P{X=0,Y=-1} + P{X=2,Y=-1} =+= , P{U=0}=P{X=0,Y=0} +P{X=0,Y=1}+P{X=2,Y=0} = + 0 + = P{U=1}=P{X=2,Y=1}= U=Min(X,Y) | 0 1 2 P | 10设二维随机变量（X,Y ）联合概率密度f (x ,y )=???≤≤≤≤,, 0, 10,20,75.02其他y x y x 则 (1) 关于X 和关于Y 的边缘概率密度 (),()X Y f x f y (2) 问随机变量X 与Y 是否相互独立为什么 (3) 求概率 P{ X>1}, P{X>1,Y<} (4)求条件概率P{ Y<|X>1}，P{ Y=0| X<2} (5)求条件概率密度)|(|x y f X Y (6) 求E(X)， E(Y) ，D(X)，D(Y) (7)求E(XY) (8)求协方差Cov(X,Y),相关系数xy ρ 答案： (1) 22 1022 1 02 375.08 3|)2(75.075.0)(x x y x ydy x x f X == ==? ?? ?≤≤=其它 ,02 0,375.0)(2x x x f X y x y ydx x y f Y 2|)3 (75.075.0)(2 032 02 ===? ?? ?≤≤=其它 ,01 0,2)(Y y y y f (2) 随机变量X 与Y 是相互独立，因f (x ,y )等于两个边缘概率密度相乘。 )()(),(y f x f y x f Y X ?= (3) 8 7 875.0|3375 .0375.0|)2 (75.0ydydx 0.75x 1}X P{213 2122 1 1 022 21 1 2 ======= >?? ??x dx x dx y x 32 7 21875.0|32323|)83(ydydx 0.75x 0.5}y 1,X P{213 2122 1 5 .0022 21 0.5 2 === ==== <>?? ?? x dx x dx y x (4) 25.08 /732 /7}1{}5.0,1{1}X | 0.5Y P{==><>= > P{ Y=0| X<2}=0?; (5) y x y x x f y x f x y f y x X X Y 2375.075.0)(),()|(1 0202 2|===≤≤≤≤时，当 ?? ?≤≤=≤≤其它 ， 时即，当,0102)|(20|y y x y f x X Y (6) ??∞∞-=== 212)()(10 3 22 dy y dy y f y Y E Y ?? ===?=2 2 20542 2 2 5 12 |40383375.0)(x dx x dx x x X E EX= ? ? ==?=∞ ∞ -2 2 0425.1|32 383)(x dx x x dx x xf X EY=3 2|3221031 0== ??y ydy y 203 )23(512)()(222= -= -=EX X E DX 181 )32(21)()(222=-=-=EY Y E DY (7) 因X,Y 独立 E(XY)=E(X)E(Y)=*(2/3)=1 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 0) ()(),(== Y D X D Y X Cov xy ρ 11设二维随机变量（X,Y ）联合分布律为 (1) 求常数C (2)求X 和Y 的边缘分布律 (3) 问随机变量X 与Y 是否相互独立为什么 (4)求概率 P{ X>0}, P{2 ≥ X >, Y ≤ 1} (5) 求条件概率 P{Y>1 |X<2},P{Y<1|X=2} (6) 求EX ， EY ，DX ，DY (7) 求 E(2X-3Y) ，D(2X-Y+4) (8) 求协方差Cov(X,Y),相关系数xy ρ (9) 求概率 P{X-Y=1}， P{X>Y} (10)求Z=X+Y 分布律，V=Max{X,Y} 分布律 (11) 求 P{X<2|X ≠1} 答案： (1) C=1 - - - - - = X | 0 1 2 P | 随机变量Y 的边缘分布律 Y | 0 3 P | (3) 独立， 因对任意i ，j 有 Pij=Pi. * (4) P{ X>0}=P{X=1}+P{X=2}=+= P{2 ≥ X > , Y ≤ 1}=P{X=2,Y=0}+P{X=1,Y=0}=+= 4 .05 .02 .0}2{}0,2{}2{1}Y 2,P{X 2}X |1P{Y 6 .02.03.012 .018.0} 0{}1{} 3,0{}3,1{2}P{X 1}Y 2,P{X 2}X | 1P{Y (5)=======<== =<=++= =+===+===<><=<>X P Y X P X P X P X P Y X P Y X P (6) EX=0*+1*+2*= EY=0* + 3* = 61 .069.13.2)3.1(*)3.1()5.0*2*23.0*1*12.0*0*0())(()(22=-=-++=-=X E X E DX 16.28.1*8.16.0*3*34.0*0*0))(()(22=-+=-=Y E Y E DY (7) 求 E(2X-3Y)=2E(X)– 3E(Y)= 2* – 3* = D(2X-Y+4)=4D(X)+D(Y)= 4* + = (8) 因随机变量X 、Y 独立 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0; xy ρ=0?; (9) P{X-Y=1}=P{X=1,Y=0}= P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=+= (10) P{Z=0}=P{X=0,Y=0}= , P{Z=1}=P{X=1,Y=0}= P{Z=2}=P{X=2,Y=0}=, P{Z=3}=P{X=0,Y=3}= P{Z=4}=P{X=1,Y=3}= P{Z=5}=P{X=2,Y=3}= Z=X+Y | 0 1 2 3 4 5 P | P{V=0}=P{X=0,Y=0}= , P{V=1}=P{X=1,Y=0}= P{V=2}=P{X=2,Y=0}= P{V=3}=P{X=0,Y=3}+P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=3}=++= V=Max(X,Y) | 0 1 2 3 P | （11）7 2 5.02.02.0}2{}0{}0{1}P{X 1}X 2P{X 1}X |2P{X =+==+===≠≠?<=≠ 12 设二维随机变量（X,Y ）联合概率密度f (x ,y )=???≤≤≤≤,, 0, 10,20,其他y x kxy 则 (1) 求常数k (2) 关于X 和关于Y 的边缘概率密度 (),()X Y f x f y (3)问随机变量X 与Y 是否相互独立为什么 (4) 求概率 P{ X>1}, P{>X>1,Y<} (5)求EX ， EY ，DX ，DY (6)求 E(2X-3Y) ，D(3X-Y), E(2XY) 答案： (1)???? ====== 1 02022 022 102 )4(201)2(1k kx dx kx dy y kx kxydydx k=1 (2) 当0≤x ≤2 0)(x ,2/0 1 )2y (x )(21 0====?x f x xydy x f X X 为其他值时， 当0≤y ≤1 0)(y 20 2 )2()(22 ====? y f y x y xydx y f Y Y 为其他值时，， (),()X Y f x f y 分别为 x/2与 2y ； (3) 随机变量X 与Y 相互独立，因f (x ,y )等于两个边缘概率密度相乘。 当0≤y ≤1, 当0≤x ≤2 )()(),(y f x f y x f Y X ?==xy 其他 )()(),(y f x f y x f Y X ?==0 (4) 4 /30 2 )4(201)2(xydydx 1}y 0 2,X 1 P{1}X P{2212 1 221 10 =====≤≤≤<=>?? ? ?x dx x dx y x 或 4/32 )(2}X 1 P{1}X P{2 1 2 1 ===≤<=>? ?dx x dx x f X 64/58 xydydx 0.5}Y 1,0X P{1.50.5}Y 1,X P{1.55 .11 1.51 0.50 ===<≤>>=<>>? ?? dx x (5) ??====1 041 03 2 2 2 1 01422)()(y dy y dy y f y Y E Y ?? ===2 2 3 2 2 22 )()(dx x dx x f x X E x EX= ? ? ===2 2 323 402)6(2)(x dx x dx x xf x EY= ? ?== 1 1 3/22)(yydy dy y yf Y 92 )34(2)()(222=-=-=EX X E DX 18 1 )32(21)()(222=-=-=EY Y E DY (6) E(2X-3Y)=2EX – 3EY =2*4/3 – 3*2/3= 2/3 因X,Y 相互独立 D(3X-Y)=9DX + DY = 9*2/9 + 1/18 = 37/18 E(2XY)=2E(X)E(Y)=2*(4/3)*(2/3)=16/9 13设二维随机变量（X,Y ）联合分布律为 (1) 求常数C (2)求X 和Y 的边缘分布率 (3) 问随机变量X 与Y 是否相互独立为什么 (4)求概率 P{ X>1}, P{2 ≥ X > 1, Y ≤ 1} (5) 求EX ， EY ，DX ，DY (6) 求 E(2X-3Y) ，D(4X-Y) (7) 求概率 P{X+Y=2}， P{X>Y} (8) W=X+Y 的分布律。 答案： (1) C=1-1/6 - 1/12 – 1/12 – 1/3 – 1/6 =1/6 (3) 独立， 因对任意i ，j 有 Pij=Pi. (4) P{ X>1}=P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=1/12 + 1/6 =1/4 P{2 ≥ X > 1, Y ≤ 1}= P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=1/12+1/6=1/4 (5) EX= ∑i i x .P =0*1/2+ 1*1/4+ 2* 1/4=3/4 EY= ∑j j y P.=0*1/3 + 1*2/3 =2/3 16/11)4/3()4/1*24/1*12/1*0())(()(222222=-++=-=X E X E DX 9/2)3/2(3/2*13/1*0))(()(22222=-+=-=Y E Y E DY (6) 求 E(2X-3Y)=2EX – 3EY= 2* 3/4 – 3* 2/3 = 因X,Y相互独立 D(4X-Y)=16DX+DY= 16*11/16 + 2/9= 101/9 E(2XY)=2EX *EY= 2*3/4 * 2/3 =1 (7) P{X+Y=2}=P{X=1,X=1}+P{X=2,Y=0}=1/4 P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=1/12+1/12+1/6=1/3 (8) P(W=0)=P(X=0,Y=0)=1/6?; P(W=1)=P(X=0,Y=1)+ P(X=1,Y=0)=1/3? +1/12 =5/12 P(W=2)=P(X=2,Y=0)+ P(X=1,Y=1)=1/12? +1/6 =3/12 P(W=3)=P(X=2,Y=1)=1/6 14 请分别写出(0-1)分布、二项式分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的分布律或概率密度、期望与方差(教材P255) 15 设袋中有10个球，编号从1～10 ,任取一球记录其号码。设事件A取出的号码大于等于7，事件B取出的号码为偶数，事件C取出的号码为6、7或10 (1) 分别写出事件A、B、C的样本空间。 (2) 分别写出事件AB、BC、AC、ABC的样本空间 (3) 根据第(1)、(2)小题的样本空间计算P(A),P(B),P(C),P(AB), P(BC),P(AC), P(ABC)的概率 (直接写出答案) (4) 事件A、B、C是否相互独立，为什么 （5）根据第(3)小题用A，B，C 的关系运算表示下列各事件并计算其概率 1). A ,B发生，C 不发生； 2). A，B ，C中至少有一个发生； 3). A，B，C 都不发生； 4). A，B，C 恰好有两个发生； 5). A 发生，B与C 不发生； 6) A,B,C中不多于1个发生。 7) A 发生，B不发生； 答案: （1）A={7,8,9,10}, B={2,4,6,8,10}, C={6,7,10} (2) AB={8,10}, BC={6,10}, AC={7,10}, ABC={10} (3) P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(AB)=,P(BC)=,P(AC)=, P(ABC)= (4) P(ABC)=, P(A)P(B)P(C)= 因P(ABC) 不等于P(A)P(B)P(C) 所以事件A、B、C不是相互独立 (5) 2 .02.04.0)()()()76.01.03.01)(1 .0)(C B,A,3.02C B,A,4C B,A,2C B,A, C B,A,).61 .01.02.02.04.0)()()()()()()().53.03.02.02.02.0)(3)()()()()()()()()()()()()(.)43 .07.01)(1)().37.01.02.02.02.03.05.04.0)()()()()()()()().21 .01.02.0)()()().1=-=-==--=???==+--=+--=-==-++=-++=-+-+-=++=??=-=??-==+---++=+---++=??=-=-=AB P A P B A P C B A C B A C B A C B A P ABC P ABC P AC P AB P A P C B A P B A P C B A P ABC P BC P AC P AB P ABC P BC P ABC P AC P ABC P AB P BC A P C B A P C AB P BC A C B A C AB P C B A P C B A P ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P ABC P AB P C AB P 生的概率三个都发，而个发生的概率为中恰好）小题生的逆向，根据第（三个都发个发生或中恰好就是中不多于一个发生， 16 设A,B 是两个事件，且P(A)=1/2, P(B)=1/3 1. 如果A 、B 独立,则计算P(A ?B) 、P(AB) 2. 如果A 、B 互斥,则计算P(A ?B) 、P(AB) 3. 如果A ?B,则计算P(A ?B) 、P(AB) 答案: 1. P(AB)= P(A)P(B)=1/2 * 1/3=1/6 P(A ?B)=P(A) + P(B) –P(AB)=1/2+ 1/3 – 1/6=2/3 2 .P(AB)= 0 P(A ?B)=P(A) + P(B) –P(AB)=1/2+ 1/3 – 0=5/6 3. P(AB)= P(B)= 1/3 P(A ?B)=P(A) + P(B) –P(AB)=P （A)=1/2 17 设有三个事件A 、B 、C ，用关系运算表示下列各事件 1. A ,C 发生，B 不发生； 2. A ，B ，C 中至少有一个发生； 3. A ，B ，C 都不发生； 4. A ，B ，C 至少两个发生； 5. A,B,C 中恰好有一个发生。 答案: 1 B AC 2 A U B U C 3 C B A 4 AC BC AB ABC C AB C B A BC A ?????或 5C B A C B A C B A ?? 18 设离散型随机变量X 的分布率如下： X | 1 2 3 4 P | a 1. 求a 的值。 2. 求X 的分布函数 3. 求P{X<2}, P{X ≥3}, P{ 5．分别求 Y=|X-3| 与 Z=2X-3的分布律 概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤ （1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随 机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1） 该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为， 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(的概率密 度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2) (1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关 系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A 与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 B =x ≤ x ≤ A S：则 x x = x < 3 1: }, { 2: { }, ≤ = {≤< 5 0: （1）= A，（2） ?B = AB，（3）=B A， （4）B A?= ，（5）B A= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1.已知6.0 A P ?B = P A B P，则 ( ,5.0 ( ) ) ,8.0 (= ) = (1) =) (AB P, (2)() P)= , (B A (3)) P?= . (B A 2. 已知, 3.0 P A P则 =AB ( (= ) ,7.0 ) P= . A ) (B §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1 A P =B A P则 = A P B | ( | ) ,3/1 ) ) ,4/1 ( (= 模拟试题（一） 一．单项选择题（每小题2分，共16分） 1．设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立 (C) 0)(0)(==B P A P 或 (D) AB 未必是不可能事件 2．设每次试验失败的概率为p ，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ） (A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 21 3 )1(p p C - 3．若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则下面说法中一定成立 的是（ ） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续 4．若随机变量ξ的概率密度为)( 21)(4 )3(2 +∞<<-∞=+- x e x f x π ， 则=η（ ）)1,0(~N (A) 2 3 +ξ (B) 2 3 +ξ(C) 2 3-ξ(D) 2 3 -ξ 5．若随机变量ηξ ,不相关，则下列等式中不成立的是（ ） (A) 0),(=ηξCov (B) ηξηξD D D +=+)( (C) ηξξηD D D ?= (D) ηξξηE E E ?= 6．设样本n X X X ,,,21???取自标准正态分布总体X ，又S X ,分别为样本均值及样本标准差，则（ ） (A) )1,0(~N X (B) )1,0(~N X n (C) ) (~21 2n X n i i χ∑= (D) )1(~-n t S X 7．样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ，则下列估计量中，（ ）不是总体期望μ的无偏估计量 一、 填空题（每题2分，共20分） 1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时， 06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对a c b <<以及任意的正数0e >， 必有概率{}P c x c e <<+ ＝?+?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝ ，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。则X 的数学期望=)(X E 4.5 。 9、设随机变量(,)X Y 的分布律为 则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 . 10、设121,,X X Λ来自正态总体)1 ,0(N , 2 129285241?? ? ??+??? ??+??? ??=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数 k = 1/4 时，kY 服从2χ分布。 二、计算题（每小题10分，共70分） 1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率 （2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率 解：以A j 表示“第j 台机器需要人看管”，j =1，2，3，则: ABC ABC ABC U U 1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 解: 把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果. （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 30 2415=C C 种方法 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故 12572 625360)(= =B P 2.某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙在24小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解： 设x,y 分别为两船到达码头的时刻。 由于两船随时可以到达，故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值，如右图 方形区域，记为Ω。设A 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。 222024,024024,024,2111 ()24576,()2322506.522 () ()0.8793 () x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===?+?===Ω={(x,y)}, A={(x,y)或},有所以， 3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，求： (1) 该件商品是次品的概率。 (2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解: 厦门大学概统课程期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业 考试时间 07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案 一、 填空题（满分15分）： 1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为 10 1 。 解答：10 1 !5!321=?= p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =?==则=)(B A P q r - 。 解答：q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-?=-?=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3 )(===k a k X P k 则a = 3 2 . 解答：32233 111310 =?=-?== ∑ ∞ =a a a a k k 4.设随机变量为ξ与η，已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答： 37 4.065236252)(),cov() ,cov(2)(,,=???-+=-+=-= -+=-ηξηξρηξηξηξη ξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D 5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1 ===-k p q k P k ξ。则ξ的特征函数 =)(t f ξ 。 ()() .1)(:1 1 1 1it it k k it it k k itk it qe pe qe pe p q e e E t f -====∑∑∞ =--∞ =ξ ξ解 二、 单项选择题（满分15分）： 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++ 北方民族大学试题 课程代码：24100082 课程：概率论与数理统计（A 卷） 一、填空题：（每小题3分，共30分） 1.设8.0)(,5.0)(==A B P A P ，则=)(AB P ＿＿＿＿＿＿ 。 2.设在一次试验中，事件A 发生的概率为p,现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ＿＿＿＿＿＿ 。 3.设X 的分布律为 则分布函数值=)2 5 (F ＿＿＿＿＿＿ 。 4.设随机变量X ～N(0,1),)x （Φ为其分布函数，则)()x x -Φ+Φ（=＿＿＿＿＿＿ 。 5.已知连续型随机变量X 的分布函数为 2200,1),1(31 ,31)(≥<≤ 9. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2)(,1)(==Y D X D 则=-)(Y X D ＿＿＿＿＿＿ 。 10.若4321,,,X X X X 为来自正态分布N(0,4)的样本，则∑=4 1 241i i X ～＿＿ ＿＿＿＿ 分布 。 二、设有N 件产品，其中有D 件次品，今从中任取n 件，问其中恰有k(D k ≤)件次品的概率。（10分） 三、设随机变量X 的概率密度函数为， 其他 10,0,3)(2<≤???=x x x f 求： （1）X 的分布函数；（2）? ?? ???≤<-212 1 X P .（10分） 四、设随机变量X 具有概率密度， 其他 ,0,)(>???=-x e x f x 求随机变量2X Y =的概率密度。（10分） 五、设二维离散型随机变量（X,Y ）的联合分布律为 若随机变量X 与Y 相互独立，求：常数βα，.（10分） 六、已知二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为 ， 其他，,, 10,10,0,)1(4)(<<< 《概率论与数理统计》考试题 一、填空题（每小题2分，共计60分） 1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==，则 a ）、若B A ,互斥，则=)B -A (p ; b ）若B A ,独立,则 =)B A (p ; c ）、若2.0)(=?B A p ,则=)B A (p 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只， (1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。 (2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。 (3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 . 3、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ，则{}=X E 8 . 4、设随机变量X 服从B （2，0. 8）的 二项分布,则{}==2X p , Y 服从B （8，0. 8）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P =1- ，=+)(Y X E 8 。 5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N （75，25），则该学校学生的及格率为 ，成绩超过85分的学生占比}85{≥X P 为 。 其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ. 6、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有 则=a ，X 的数学期望=)(X E ， Y X 与的相关系数=xy ρ。 体) 16,8(N 7、设161,...,X X 及81,...,Y Y 分别是总的容 量为16，8的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值，2 221,S S 分别为样本方 07级《概率论》期末考试试题B 卷及答案 一、 填空题（满分15分）： 1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷出现在旁边”的概率为 5 2 。 5 2 !5!422=?= p 2.设,)(,)(,)(r AB P q B P p A P ===则=)(B A P r p - 。性质 r p AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-=-=)()()][)()( 3.设随机变量ξ的密度函数为() 0 3，其它 ?? ?>=-x ce x x ?则c= 3 . 33 )(130 =?= ==-+∞ +∞ ∞ -? ? c c dx e c dx x x ? 4. 设ξ、η为随机变量，且D （ξ＋η）＝7，D （ξ）＝4，D （η）＝1， 则Cov(ξ,η)= 1 . 1 21 472)(),cov() ,cov(2)(=--=--+=++=+ηξηξηξηξηξηξD D D D D D 5.设随机变量ξ服从两点分布) 1 ,1(B ，其分布律为 则ξ的特征函数为= )(t f ξit e 3 132+。 二、 单项选择题（满分15分）： 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件恰好一个发生”为( ②. ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++ ③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.设随机变量ξ的分布函数为 00)(2 2 <≥?? ???+=-x x B Ae x F x 则其中常数为（① ）。 ①A=-1,B=1 ②A=1,B=-1 ③ A=1,B=1 ④ A=-1,B =-1 B A B e A x F B B e A x F x x x x x x +=+===+==-→→- +∞ →+∞ →++2 2 22lim )(lim 0lim )(lim 1 解得1,1=-=B A 3设随机变量ξ的分布列为.,2,1,2 1 )2)1(( ==-=k k P k k k ξ则ξE （ ④ ） ①等于1. ② 等于2ln ③等于2ln - ④ 不存在 445111 =?==∑ ∞ =C C C i i ∑∑+∞=+∞ =+=?-11 1 1 4545) 1(i i i i i i i ，由调和级数是发散的知，EX 不存在 4.对于任意两个随机变量ξ与η，下面（④ ）说法与0),cov(=ηξ不等价。 ①相关系数0,=Y X ρ ② )()()(ηξηξD D D +=+ ③ ηξξηE E E ?=)( ④ ξ 与η相互独立 5.设随机变量ξ服从二项分布)2 1 ,4(B ,由车贝晓夫不等式有 ( ② ). ①.31 )32(≤ ≥-ξP ②.91 )32(≤≥-ξP ③ 3 1 )32(≥<-ξP . ④ 9 1)32(≥ <-ξP 因为9 1 )32(,1,2≤≥-==ξξξP D E 三、（满分20分） （1）两人相约7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。 解：概率论与数理统计习题集及答案
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