(实验)标准欧式看涨期权定价的蒙特卡洛模拟实验报告

陕西科技大学实验报告

课 程： 数理金融 实验日期： 2015 年 6 月 11 日 班 级： 数学122

交报告日期： 2015 年 6 月 12 日

姓 名： 报告退发： （订正、重做） 学 号： 201212010119

教 师： 刘利明

实验名称：

标准欧式看涨期权定价的蒙特卡洛模拟

一、实验预习：

1.标准欧式看涨期权的定价模型。

2.标的资产到期日价格的运动轨迹或分布.

3.蒙特卡洛模拟的过程 二、实验的目的和要求：

通过对标准的欧式期权进行定价模拟，掌握标的资产到期日价格的分布，会熟练运用蒙特卡洛模拟进行期权的定价模拟，并学会分析模拟次数、模拟精度之间的关系，最后和标准的欧式期权的解析解比较给出相对误差。 三、实验过程：（实验步骤、原理和实验数据记录等）

参数：起初（或0时刻）S 取学号后3位除以10取整，然后加上学号最后一位（例如：201212010119，S=[119/10]+9=20）；X 取S 加3；r 取0.03；T 取0.25； σ取0.5。(模拟100次取最后结果平均值) 注意：实验为标准的欧式看涨期权。 实验步骤、原理

蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成股票价格的随机过程。模型假定在期权到期的T 时刻。

标的股票价格的随机方程为： 其中，随机变量ε服从标准正态分布，即服从N(0,1)，随机变量YT 服从正态分布，其均值为()T u u T 25.0σ-=，方差为T T σσ=，u 为股票的收益率，σ为股票的波动率。期权的收益依赖于ST 在风险中性世界里的期望值，因此对于风险中性定价，股票的收益率u 可以用无风险利率r 减去连续红利收益率q 代替，也就是（r-q ）。

风险中性定价的随机方程为：()[]

T T q r S S T εσσ+--=25.0ex p 其中ε服从标准正态分布。

成绩

()()

T T T T u S Y S S εσ+==ex p ex p

陕西科技大学理学院实验报告实验数据记录

表2

表3 期权价格

表4 蒙特卡洛模拟表

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由上表格可以求得模拟100次取最后结果平均值为19.312534，期权收益为0 四、实验总结：（实验数据处理和实验结果讨论等）

此次试验是通过对标准的欧式期权进行定价模拟，采用蒙特卡洛模拟标的资产到期日价格的分布，对期权的定价进行模拟，此次共模拟了100数、期权收益为0。通过此次试验我学会了使用蒙特卡洛模拟对标准的欧式期权进行定价模拟预测。

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蒙特卡洛期权定价程序

欧式期权蒙特卡洛模拟程序 function [eucall,varprice,ci]=blsmc(S0,K,r,T,sigma,N) % 输入参数 %S0 初使资产价格T 到期时间 % K敲定价格 % r无风险利率 % sigma 波动率 % N 模拟次数 %%%%%%%% %输出参数 %eucall 欧式期权价格 %varprice 方差 % ci 95%置信区间 randn('seed',0); randT=randn(N,1); nuT=(r-sigma^2/2)*T; siT=sigma*sqrt(T); dispayoff=exp(-r*T)*max(0,S0*exp(nuT+siT*randT)-K); [eucall,varprice,ci]=normfit(dispayoff); 蒙特卡洛模拟亚式期权 %Asianmc.m function [p,aux,ci]=Asianmc(S0,K,r,T,sigma,NRteps,NRepl) % 蒙特卡洛模拟亚式期权 % 输入参数 %S0 初使资产价格 % T 到期时间 % K敲定价格 % r无风险利率 % sigma 波动率 % NSteps 时间离散数目 % NRepl 模拟次数 %%%%%%%% %输出参数 %p 权价格 %varprice 方差 % ci 95%置信区间 dt=T/NRteps; nudt=(r-.5*sigma^2)*dt; sidt=sigma*sqrt(dt); randn('seed',0);

randt=randn(NRepl,NRteps); rand1=nudt+sidt*randt; rand2=cumsum(rand1,2);%按列求和 path=S0*exp(rand2); payoff=zeros(NRepl,1); for i=1:NRepl payoff(i)=exp(-r*T)*max(0,mean(path(i,:))-K); end [p,aux,ci]=normfit(payoff);

(定价策略)期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

（定价策略）期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。 蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。 §1. 预备知识 ◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。 大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律： 设为独立同分布的随机变量序列，若 则有 显然，若是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值当n很大时以概率1收敛于总体均值。

中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。 设为独立同分布的随机变量序列，若 则有 其等价形式为。 ◆Black-Scholes期权定价模型 模型的假设条件： 1、标的证券的价格遵循几何布朗运动 其中，标的资产的价格是时间的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，是维纳过程。 2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。 4、在衍生证券的存续期内不支付红利。 5、市场上不存在无风险的套利机会。 6、无风险利率为一个固定的常数。 下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。 伊藤Ito公式：设，是二元可微函数，若随机过程满足如下的随机微分方程

(完整版)期权定价实验报告(E101613109黄冬璇)

广东金融学院实验报告课程名称：金融工程

)t σ T-σ。 t T-

B.实验算例 算例：考虑一个不分红利5个月欧式看涨期权：股票价格为50，执行价格为50，无风险利率为10%，波动率为40。试构造二叉树模型，确定期权的价格。 C.实验过程 在Excel 中创建欧式期权表单模型步骤为（将Excel 求解过程和输出结果截图填写在下面） （1）输入. 在EXCEL 的单元格A4：A9中分别输入“标的资产”、“执行价格”、“波动率”、“到期日”、“无风险利率”和“红利”。其中将期限为5个月的欧式期权的到期日化为单位为年，即为5/12=0.416666667年 ；并且题目中的标的资产的不考虑红利的，所以红利等于0,所以根据题目给出的要求，在对应的单元格B4：B9中分别输入初始值。如下图： 图2-1 欧式看涨期权初始值赋值后的对话框1 （2）欧式看涨期权初始值赋值 假定使用10期的二叉树来计算标的资产的价值，接下来我们可以根据公式t e u ?=σ和t e d ?-=σ来 计算二叉树中的上行和下行的幅度，即u 和d 的值。同时再根据公式d u d e p t r --=?计算其风险中性概率。 利用EXCEL 软件来计算，我们可以先在单元格A14：A16分别输入u 、d 和p 。并在对应的单元格中B14：B16中分别输入公式为“=EXP(B6*SQRT(B7/B12))”，“=1/B14”和“=(EXP(B8*B7/B12)-B15)/(B14-B15)”。得到的结果为u 的值为1.085075596及d 的值为0.921594775，p 的值为0.50513928。计算过程和计算结果如下图：

基于蒙特卡洛模拟的概率型量本利分析

基于蒙特卡洛模拟的概率型量本利分析 量本利分析是管理会计中的重要方法，其中确定型量本利分析由于其简单实用受到实务工作者的偏爱，但是由于经济环境与市场因素的复杂性，为了更加客观真实地反映企业经营的财务状况，国内一些权威《管理会计》教材引入随机变量对此进行分析。对于概率型量本利分析，国内一些教材对此讲解比较简单，基本上介绍的是期望值方法，但该方法所揭示的信息量很少，从某种意义上讲反映的是总体大样本的统计规律，很少能够反映某一具体经济活动的可能面临的风险状况，这样很可能对决策者产生误导。基于上述原因，本文应用随机蒙特卡洛（MonteCarlo）模拟对该类问题进行探讨，拓展量本利方法的前提假设，以适应不确定与风险环境的经济活动分析。 二、蒙特卡洛模拟原理及步骤 （一）蒙特卡洛模拟原理经济生活中存在大量的不确定与风险问题，很多确定性问题实际上是不确定与风险型问题的特例与简化，财务管理、管理会计中同样也存在大量的不确定与风险型问题，由于该问题比较复杂，一般教材对此问题涉及较少，但利用蒙特卡洛模拟可以揭示不确定与风险型问题的统计规律，还原一个真实的经济与管理客观面貌。思想汇报/sixianghuibao/ 与常用确定性的数值计算方法不同，蒙特卡洛模拟是用来解决工程和经济中的非确定性问题，通过成千上万次的模拟，涵盖相应的可能

概率分布空间，从而获得一定概率下的不同数据和频度分布，通过对大量样本值的统计分析，得到满足一定精度的结果，因此蒙特卡洛模拟是进行不确定与风险型问题的有力武器。 1、由于蒙特卡洛模拟是以实验为基础的，因此可以成为财务人员进行风险分析的“实验库”，获得大量有关财务风险等方面的信息，弥补确定型分析手段的不足，避免对不确定与风险决策问题的误导； 2、财务管理、管理会计中存在大量的不确定与风险型问题，目前大多数教材很少涉及这类问题，通过蒙特卡洛模拟，可以对其进行有效分析，解决常用决策方法所无法解决的难题，更加全面深入地分析不确定与风险型问题。 （二）蒙特卡洛模拟步骤以概率型量本利分析为例，蒙特卡洛模拟的分析步骤如下： 1、分析评价参数的特征，如企业经营中的销售数量、销售价格、产品生产的变动成本以及固定成本等，并根据历史资料或专家意见，确定随机变量的某些统计参数； 2、按照一定的参数分布规律，在计算机上产生随机数，如利用EXCEL 提供的RAND函数，模拟量本利分析的概率分布，并利用VLOOKUP 寻找对应概率分布下的销售数量、销售价格、产品生产的变动成本以及固定成本等参数；作文/zuowen/ 3、建立管理会计的数学模型，对于概率型量本利分析有如下关系式，产品利润=产品销售数量×（产品单位销售价格-单位变动成本）-固定成本，这里需要说明的是以上分析参数不是确定型的，是依据某些概

蒙特卡罗模拟与欧式期权定价

蒙特卡罗模拟与欧式期权定价 蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成股票价格的随机过程。9.2节中，在期权到期的T 时刻，标的股票价格的随机方程为： )exp()exp(T T T T S Y S S εσμ+== 其中，随机变量ε服从标准正态分布，即服从N(0,1)，随机变量T Y 服从正态分布，其均值为T T )5.0(2σμμ-=，方差为T T σσ=，μ为股票的收益率，σ为股票的波动率。期权的收益依赖于T S 在风险中性世界里的期望值，因此对于风险中性定价，股票的收益率（μ）可以用无风险利率r 减去连续红利收益率q 代替，也就是（r-q ）。于是风险中性定价的T S 随机方程为： ] )5.0exp[(2T T q r S S T εσσ+--= 其中ε服从标准正态分布。上式中的股价运动过程与前面二叉树定价中的一样。 蒙特卡罗模拟随机产生一组股价终值T S 的样本值，即模拟试验。然后为每一个样本值计算期权收益并记录下来。产生足够多的样本值后，就可以得到期权收益的分布，通常需要计算分布的均值和标准差。模拟试验的代数平均值常用来估计期权收益分布的期望值，然后用无风险利率对其折现来得到看涨期权的价格。 图1中欧式期权的有效期是六个月，其标的资产是连续红利收益率为3%的股票。表中有36个期权收益的模拟试验，用它们可以估计出期权收益期望值的折现。 Using Monte Carlo Simulation to Value BS Call Option ： 利用蒙特卡罗模拟来为布莱克-舒尔斯看涨期权定价

图1 期权信息及5个（从36个模拟数据得到）期权收益模拟结果 每个模拟试验产生一个终值股价（T S 的一个样本值）和一个期权收益值。在B 列中用Excel 的RAND 函数来产生服从均匀分布的随机数，然后在C 列用标准正态分布函数NORMSINV 将其转换成随机样本。RAND 函数产生[0,1]间服从均匀分布的随机数。将其作为累积概率值（值在0到1之间），用NORMSINV 即可得到服从标准正态分布的随机变量值，其结果大部分处在-3与3之间。例如，第一次模拟试验C22中的公式为： =NORMSINV(B22) 其输入值为0.1032(大约10％)，产生的标准正态变量的值则为-1.2634。 得到随机样本值（ε），就可以用下面公式计算期权到期日的股票价格： ] )5.0exp[(2T T q r S S T εσσ+--= 为了将其转换为单元格公式的形式，有必要先计算出T 时刻的风险中性漂移项和波动率， 也就是T q r )5.0(2σ--和T εσ（分别处于B16和B17中）。因此，E22中的公式为： =$B$4*EXP($B$16+C22*$B$17) 相应的期权收益为（H22）： =MAX($E$4*(E22-$B$5),0) E4中存放的是参数iopt ，它用来区分看涨期权和看跌期权。 计算模拟出的36个期权收益的平均值，然后折现即可得到看涨期权价值的估计量（E9）。用于折现的风险中性因子（exp(-rT)）放在B18中。 图1显示，期权价格的蒙特卡罗估计值（12.85）与布莱克-舒尔斯期权价格有较大的差异。E10中，期权价值估计值的标准差（模拟期权收益的标准差除以模拟次数的平方

金融工程实验报告

金融工程实验报告（一） 布莱克-舒尔斯期权定价模型–基础1.实验目的： 上机操作，利用excel进行与布莱克-舒尔斯期权定价模型有关的分析。 2.实验内容（以看涨期权为例） （1）当前股价与期权价格： 当前股价S（元）看涨期权价格c 80 0.215068699 85 0.653561175 90 1.587638752 95 3.220751797 100 5.65833817 105 8.873031471 110 12.73302365 115 17.06301665 120 21.69844563 125 26.51358001 （2）年波动利率与期权价格： 年波动率 看涨期权价格c 0 0.679096098 0.05 1.814247076 0.1 2.733670055

0.15 3.69937439 0.2 4.676720884 0.25 5.65833817 0.3 6.64163733 0.35 7.625415737 0.4 8.608994221 0.45 9.591927384 （3）无风险利率与期权价格： 无风险利率r 看涨期权价格c 0.47% 5.039542952 5.47% 5.159953019 10.47% 5.282046195 15.47% 5.405814239 20.47% 5.405814239 25.47% 5.65833817 30.47% 5.787073798 35.47% 5.917443799 40.47% 6.04943621 45.47% 6.183038354

（4）协议价格与期权价格： 协议价格X（元）看涨期权价格c 80 21.210864 85 16.56484355 90 12.29478924 95 8.608483995 100 5.65833817 105 3.484203788 110 2.010571467 115 1.089612271 120 0.556432696 125 0.268835874 （5）到期时间与期权价格： 到期时间T-t（年）看涨期权价格c 0.05 2.366046696

浅析蒙特卡洛方法原理及应用

浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求

实验5标准欧式看涨期权定价的蒙特卡洛模拟实验报告.doc

陕西科技大学实验报告 课 程： 数理金融 实验日期： 2015 年 6 月 11 日 班 级： 数学122 交报告日期： 2015 年 6 月 12 日 姓 名： 报告退发： （订正、重做） 学 号： 201212010119 教 师： 刘利明 实验名称： 标准欧式看涨期权定价的蒙特卡洛模拟 一、实验预习： 1.标准欧式看涨期权的定价模型。 2.标的资产到期日价格的运动轨迹或分布. 3.蒙特卡洛模拟的过程 二、实验的目的和要求： 通过对标准的欧式期权进行定价模拟，掌握标的资产到期日价格的分布，会熟练运用蒙特卡洛模拟进行期权的定价模拟，并学会分析模拟次数、模拟精度之间的关系，最后和标准的欧式期权的解析解比较给出相对误差。 三、实验过程：（实验步骤、原理和实验数据记录等） 参数：起初（或0时刻）S 取学号后3位除以10取整，然后加上学号最后一位（例如：201212010119，S=[119/10]+9=20）；X 取S 加3；r 取0.03；T 取0.25； σ取0.5。(模拟100次取最后结果平均值) 注意：实验为标准的欧式看涨期权。 实验步骤、原理 蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成股票价格的随机过程。模型假定在期权到期的T 时刻。 标的股票价格的随机方程为： 其中，随机变量ε服从标准正态分布，即服从N(0,1)，随机变量YT 服从正态分布，其均值为()T u u T 25.0σ-=，方差为T T σσ=，u 为股票的收益率，σ为股票的波动率。期权的收益依赖于ST 在风险中性世界里的期望值，因此对于风险中性定价，股票的收益率u 可以用无风险利率r 减去连续红利收益率q 代替，也就是（r-q ）。 风险中性定价的随机方程为：()[] T T q r S S T εσσ+--=25.0ex p 其中ε服从标准正态分布。 成绩 ()() T T T T u S Y S S εσ+==ex p ex p

期权定价实验报告M101613110黄清霞

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根广东金融学院实验报告 课程名称：金融工程

法拉兹·日·阿卜——学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。．阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

法拉兹·日·阿卜——学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。． 阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根 MATLA中的计算过程和结果如下（请将运算过程和结果粘贴下面1二叉树定价函数确定期权价 >> [AssetPrice,OptionValue]=binprice(50,50,0.1,5/12,1/12,0.4,1) AssetPrice = 50.0000 56.1200 62.9892 70.6991 79.3528 89.0656 0 44.5474 50.0000 56.1200 62.9892 70.6991 0 0 39.6894 44.5474 50.0000 56.1200 0 0 0 35.3611 39.6894 44.5474 0 0 0 0 31.5049 35.3611 0 0 0 0 0 28.0692 OptionValue = 6.3595 9.8734 14.8597 21.5256 29.7677 39.0656 0 2.8493 4.9066 8.2481 13.4041 20.6991 0 0 0.7794 1.5491 3.0791 6.1200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2求解公式确定期权价 p =q = d =a =u = 0.50731.00840.4927 1.12240.8909 BinTree = 50.0000 56.1200 62.9892 70.6991 79.3528 89.0656 0 44.5474 50.0000 56.1200 62.9892 70.6991 0 0 39.6894 44.5474 50.0000 56.1200 0 0 0 35.3611 39.6894 44.5474 0 0 0 0 31.5049 35.3611 0 0 0 0 0 28.0692 BinPrice = 6.3595 9.8734 14.8597 21.5256 29.7677 39.0656 0 2.8493 4.9066 8.2481 13.4041 20.6991 0 0 0.7794 1.5491 3.0791 6.1200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(定价策略)期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。 蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。 §1. 预备知识 ◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。 大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov 强大数定律： 设12,,ξξL 为独立同分布的随机变量序列，若 [],1,2,k E k ξμ=<∞=L 则有1 1(lim )1n k n k p n ξμ→∞===∑ 显然，若12,,,n ξξξL 是由同一总体中得到的抽样，那么由 此大数定律可知样本均值1 1n k k n ξ=∑当 n 很大时以概率1收敛于

总体均值μ。 中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。 设12,,ξξL 为独立同分布的随机变量序列，若 2 [],[],1,2,k k E D k ξμξσ=<∞=<∞=L (0,1)n k d n N ξ μ -??→∑ 其等价形式为2 1 1lim ()exp(),2n x k k n t n P x dt x ξμσ =→∞ -∞ -≤= --∞<<∞∑?。 ◆Black-Scholes 期权定价模型 模型的假设条件： 1、标的证券的价格遵循几何布朗运动 dS dt dW S μσ=+ 其中，标的资产的价格S 是时间t 的函数，μ为标的资产 的瞬时期望收益率，σ为标的资产的波动率，dW 是维纳过程。 2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。 4、在衍生证券的存续期内不支付红利。 5、市场上不存在无风险的套利机会。 6、无风险利率r 为一个固定的常数。 下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。

金融工程-二叉树模型——期权定价方法试验报告---用于合并

期权定价（二叉树模型）实验报告1204200308 学号：1201 姓 名：郑琪瑶班级：创金 一、实验目的计算出支付连续红利率资产Excel 本实验基于二叉树模型对 期权定价。利用的期权价格，并探究输入参数（如无风险利率、波动率、期限、时间区间划分方从而巩固二叉树模型这种期权定价的数对于期权价格的影响，式、收益率等等）值方法的相关知识。 二、实验原理的红利时，在风险中性条件下，证券价格的当标的资产支付连续收益率为q应该满足以下，因此参数（股票价格上升的概率）、、增长率应该为pq?r u d式子：tq)?(r?dpe)(?pu?1?；同时在一小段时间内股票价格变化的方差 满足下式：2222?]p1?)p)dd?[pu?(?t?pu?(1?；1，将三式联列，可以解考克斯、罗斯和鲁宾斯确定参数的第三个条件是?u d）得（*(r?q)?t??edp?? u?d????t u?e????t?d?e???t?0?三、实验内容 1.假定有一支付连续红利率股票的美式看涨期权，有效期期限为5个月，目前 的股票价格和期权执行价格都为50元，无风险利率为10%，波动率为40%，连续收益率为3%，为了使得估计的期权价格比较准确，把时间区间划分成30步，即N=30，利用excel加载宏可以计算得到相应美式和欧式期权的价格 2.探究基于不同红利支付类型：支付已知收益率和支付已知红利数额，计算出相应的美式和欧式期权价格。 3.以支付已知收益率模式下分析期权价格。使资产连续复利收益率在[1%,10%]变化，保持其余变量不变，分别计算出相应美式f和欧式f期权的价格21 4.以支付已知红利数额模式下分析期权价格。探究下一期的红利支付数额为常数、递增及递减情况下，保持其余变量不变，分别计算出相应美式和欧式期权的价格。 5.根据上述每一步计算得到的当期期权价格的数据绘制折线图，观察折线图，得出结论。 四、实验过程：步骤一：输入已知参数输入参数支付连续收TRSX N 步数无风险利率波动率σ股票价格期限期权执行价格0RC益率9.00% 5 50.00

蒙特卡洛方法及其在风险评估中的应用

蒙特卡洛方法及其应用 1风险评估及蒙特卡洛方法概述 １.１蒙特卡洛方法。 蒙特卡洛方法，又称随机模拟方法或统计模拟方法，是在20世纪40年代随着电子计算机的发明而提出的。它是以统计抽样理论为基础，利用随机数，经过对随机变量已有数据的统计进行抽样实验或随机模拟，以求得统计量的某个数字特征并将其作为待解决问题的数值解。 蒙特卡洛模拟方法的基本原理是：假定随机变量X1、X2、X3……X n、Y，其中X1、X2、X3……X n 的概率分布已知，且X1、X2、X3……X n、Y有函数关系：Y=F（X1、X2、X3……X n），希望求得随机变量Y的近似分布情况及数字特征。通过抽取符合其概率分布的随机数列X1、X2、X3……X n带入其函数关系式计算获得Y的值。当模拟的次数足够多的时候，我们就可以得到与实际情况相近的函数Y的概率分布和数字特征。 蒙特卡洛法的特点是预测结果给出了预测值的最大值,最小值和最可能值，给出了预测值的区间围及分布规律。 １.２风险评估概述。 风险表现为损损益的不确定性，说明风险产生的结果可能带来损失、获利或是无损失也无获利，属于广义风险。正是因为未来的不确定性使得每一个项目都存在风险。对于一个公司而言，各种投资项目通常会具有不同程度的风险，这些风险对于一个公司的影响不可小视，小到一个项目投资资本的按时回收，大到公司的总风险、公司正常运营。因此，对于风险的测量以及控制是非常重要的一个环节。 风险评估就是量化测评某一事件或事物带来的影响的可能程度。根据“经济人”假设，收益最大化是投资者的主要追求目标，面对不可避免的风险时，降低风险，防止或减少损失，以实现预期最佳是投资的目标。 当评价风险大小时，常有两种评价方式：定性分析与定量分析法。定性分析一般是根据风险度或风险大小等指标对风险因素进行优先级排序，为进一步分析或处理风险提供参考。这种方法适用于对比不同项目的风险程度，但这种方法最大的缺陷是在于，在多个项目中风险最小者也有可能亏损。而定量分析法则是将一些风险指标量化得到一系列的量化指标。通过这些简单易懂的指标，才能使公司的经营者、投资者对于项目分风险有正确的评估与判断，

期权定价的数值方法

期权定价的数值方法 小结 1.当不存在解析解时，可以用不同的数值方法为期权定价，其中主要包括二叉树图方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。 2.二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。 3.蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。 4.有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法、“跳格子方法”和 Crank-Nicolson方法等。 5.树图方法和有限差分方法在概念上是相当类似的，它们都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法，都适用于具有提前执行特征的期权，不太适合路径依赖型的期权。其中二叉树模型由于其简单直观和容易实现，是金融界中应用得最广泛的数值定价方法之一；有限差分方法则日益受到人们的重视。 6.蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接，能处理许多盈亏状态很复杂的情况，尤其是路径依赖期权和标的变量超过三个的期权，但是不擅长于处理美式期权，而且往往所需计算时间较长。 二叉树定价方法的基本思想：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格连续运行可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p，从而为期权定价。 蒙特卡洛模拟的基本思想：由于大部分期权的价值都可以归结为期权到期回报的期望值的贴现，因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种结果路径下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。 蒙特卡洛模拟的优点：在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡洛模拟，而无需对期权定价模型有深刻的认识；蒙特卡洛模拟的适用情形相当广泛。 蒙特卡洛模拟的缺点：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行期权的的定价情形；为了达到一定的精准度，需要大量的模拟运算。 有限差分方法的基本思想：将衍生证券所满足的偏微分方程转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近偏微分方程中的各项，之后用迭代法求解以得到期权价值。

蒙特卡洛模拟原理及步骤

二、蒙特卡洛模拟原理及步骤 （一）蒙特卡洛模拟原理：经济生活中存在大量的不确定与风险问题，很多确定性问题实际上是不确定与风险型问题的特例与简化，财务管理、管理会计中同样也存在大量的不确定与风险型问题，由于该问题比较复杂，一般教材对此问题涉及较少，但利用蒙特卡洛模拟可以揭示不确定与风险型问题的统计规律，还原一个真实的经济与管理客观面貌。 与常用确定性的数值计算方法不同，蒙特卡洛模拟是用来解决工程和经济中的非确定性问题，通过成千上万次的模拟，涵盖相应的可能概率分布空间，从而获得一定概率下的不同数据和频度分布，通过对大量样本值的统计分析，得到满足一定精度的结果，因此蒙特卡洛模拟是进行不确定与风险型问题的有力武器。 1、由于蒙特卡洛模拟是以实验为基础的，因此可以成为财务人员进行风险分析的“实验库”，获得大量有关财务风险等方面的信息，弥补确定型分析手段的不足，避免对不确定与风险决策问题的误导； 2、财务管理、管理会计中存在大量的不确定与风险型问题，目前大多数教材很少涉及这类问题，通过蒙特卡洛模拟，可以对其进行有效分析，解决常用决策方法所无法解决的难题，更加全面深入地分析不确定与风险型问题。 （二）蒙特卡洛模拟步骤以概率型量本利分析为例，蒙特卡洛模拟的分析步骤如下： 1、分析评价参数的特征，如企业经营中的销售数量、销售价格、产品生产的变动成本以及固定成本等，并根据历史资料或专家意见，确定随机变量的某些统计参数； 2、按照一定的参数分布规律，在计算机上产生随机数，如利用EXCEL提供的RAND函数，模拟量本利分析的概率分布，并利用VLOOKUP寻找对应概率分布下的销售数量、销售价格、产品生产的变动成本以及固定成本等参数； 3、建立管理会计的数学模型，对于概率型量本利分析有如下关系式，产品利润=产品销售数量×（产品单位销售价格-单位变动成本）-固定成本，这里需要说明的是以上分析参数不是确定型的，是依据某些概率分布存在的； 4、通过足够数量的计算机仿真，如文章利用RAND、VLOOKUP等函数进行30000次的模拟，得到30000组不同概率分布的各参数的排列与组合，由于模拟的数量比较大，所取得的实验数据具有一定的规律性； 5、根据计算机仿真的参数样本值，利用函数MAX、MIN、A VERAGE等，求出概率型量本利分析评价需要的指标值，通过对大量的评价指标值的样本分析，得到量本利分析中的利润点可能的概率分布，从而掌握企业经营与财务中的风险，为财务决策提供重要的参考。三、概率型量本利分析与比较 （一）期望值分析方法假设某企业为生产与销售单一产品的企业，经过全面分析与研究，预计未来年度的单位销售价格、销售数量、单位变动成本和固定成本的估计值及相应的概率如表1，其中销售数量单位为件，其余反映价值的指标单位为元，试计算该企业的生产利润。表1概率型量本利分析参数 项目概率数值 单位销售价格0.3 40 0.4 43 0.3 45 单位变动成本0.4 16 0.2 18 0.4 20 固定成本0.6 28000 0.4 30000

5蒙特卡洛方法模拟期权定价

材料五：蒙特卡洛方法模拟期权定价 1．蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价 利用风险中性的方法计算期权定价： ?()rt T f e E f -= 其中，f 是期权价格，T f 是到期日T 的现金流，?E 是风险中性测度 如果标的资产服从几何布朗运动： dS Sdt sdW μσ=+ 则在风险中性测度下，标的资产运动方程为： 2 0exp[()]2T S S r T σ=-+ 对于欧式看涨期权，到期日欧式看涨期权现金流如下： 2 (/2)max{0,(0)}r T S e K σ-+- 其中，K 是执行价，r 是无风险利率，σ是标准差， ε是正态分布的随机变量。 对到期日的现金流用无风险利率贴现，就可知道期权价格。 例1 假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格为50，欧式期权执行价格为52，无风险利率为0.1，股票波动标准差为0.4，期权的到期日为5个月，试用蒙特卡洛模拟方法计算该期权价格。 下面用MA TLAB 编写一个子程序进行计算： function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu) %蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的价格 %输入参数 %s0 股票价格 %K 执行价 %r 无风险利率 %T 期权的到期日 %sigma 股票波动标准差 %Nu 模拟的次数 %输出参数 %eucall 欧式看涨期权价格 %varprice 模拟期权价格的方差 %ci 95%概率保证的期权价格区间

randn('seed',0); %定义随机数发生器种子是0, %这样保证每次模拟的结果相同 nuT=(r-0.5*sigma^2)*T sit=sigma*sqrt(T) discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1))-K) %期权到期时的现金流 [eucall,varprice,ci]=normfit(discpayoff) %在命令窗口输入：blsmc(50,52,0.1,12/5,0.4,1000) 2． 蒙特卡洛方法模拟障碍期权定价 障碍期权，就是确定一个障碍值b S ，在期权的存续期内有可能超过该价格，也可能低于该价格，对于敲出期权而言，如果在期权的存续期内标的资产价格触及障碍值时，期权合同可以提前终止执行；相反，对于敲入价格，如果标的资产价格触及障碍值时，期权合同开始生效。 当障碍值b S 高于现在资产价格0S ，称上涨期权，反之称下跌期权。 对于下跌敲出看跌期权，该期权首先是看跌期权，股票价格是0S ，执行价格是K ，买入看跌期权就首先保证以执行价K 卖掉股票，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前终止执行的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权就提前终止执行。因为该期权对于卖方有利，所以其价格应低于看跌期权的价格。 对于下跌敲出看跌期权，该期权首先是看跌期权，股票价格是0S ，执行价格是K ，买入看跌期权就首先保证以执行价K 卖掉股票，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前终止执行的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权就提前终止执行。因为该期权对于卖方有利，所以其价格应低于看跌期权的价格。 对于下跌敲入看跌期权，该期权首先是看跌期权，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前何时生效的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权开始生效。 当障碍值b S 确定时，障碍期权存在解： 4275{()()[()()]}rT P Ke N d N d a N d N d -=--- 03186{()()[()()]}S N d N d b N d N d ---- 其中 212/0()r b S a S σ-+=， 212/0()r b S b S σ+=， 2 1d =

(实验5)标准欧式看涨期权定价的蒙特卡洛模拟实验报告

课程：数理金融实验日期：2013 年 5 月21 日班级：数学102 交报告日期：2013 年 5 月23 日姓名：张瑞琪报告退发：（订正、重做）学号：201012010213 教师：刘利明 实验名称：标准欧式看涨期权定价的蒙特卡洛模拟 一、实验预习： 1.标准欧式看涨期权的定价模型。 2.标的资产到期日价格的运动轨迹或分布. 3.蒙特卡洛模拟的过程 二、实验的目的和要求： 通过对标准的欧式期权进行定价模拟，掌握标的资产到期日价格的分布，会熟练运用蒙特卡洛模拟进行期权的定价模拟，并学会分析模拟次数、模拟精度之间的关系，最后和标准的欧式期权的解析解比较给出相对误差。 三、实验过程：（实验步骤、原理和实验数据记录等） 参数：起初（或0时刻）S取学号后3位除以10取整，然后加上学号最后一位（例如：200912010119，S=[119/10]+9=20）；X取S加3；r取0.03；T取0.25；σ取0.5。 注意：实验为标准的欧式看涨期权。 实验原理 1.标准欧式看涨期权的定价模型。 (1)看涨期权价格的上限。在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖出期权来获取无风险利润。 c S c代表欧式看涨期权价格，S代表标的资产价格 （2）)看涨期权价格的下限。 2.标的资产到期日价格的运动轨迹或分布. 3.蒙特卡洛模拟的过程 蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）：计算机仿真 蒙特卡洛模拟也是一种非参数方法，其计算原理与历史模拟法相同，都是通过模 拟资产回报的得到各种可能结果，并由此计算VaR。

陕西科技大学理学院实验报告 与历史模拟不同的是：蒙特卡洛模拟法对资产价格分布的估计不是来自历史的观测值，而是通过产生大量的随机数得到的。 蒙特卡洛模拟法的本质：把所有的可能列出（枚举法）。 基本步骤 1情景产生：通过产生服从某种分布的随机数，构造可能情景（比如东南亚金融危机）。 2资产估值：在每个情景下计算资产的价格。 3估计VaR ：根据资产价格分布，计算某个置信水平下的VaR 。 S=[213/10]+3=24 ,X=S+3=27 ,r=0.03 ,T=0.25 , σ=0.5 四、实验总结：（实验数据处理和实验结果讨论等） 实验数据处理 1.标准的欧式期权定价（风险中性定价）： 当t ?很小时：T t =? d u d e p t r --=? （8.4） t e u ?=σ （8.5） t e d ?-=σ （8.6） ) 0,*max()0,*max(X s d f X s u f d u -=-= 从而 ()1r t u d f e pf p f -?=+-???? 带入 25.0=?t ，S=24，X=27，r=0.03,T=0.25,σ=0.5 得期权价格为：f =1.7150 程序代码： b=0.5,r=0.03,T=0.25,s=24,x=27; u=exp(b*sqrt(T)); d=exp(-(b*sqrt(T))); p=(exp(r*T)-d)/(u-d); f1=max(u*s-x,0); f2=max(d*s-x,0); f=exp(-(r*T))*(p*f1+(1-p)*f2) 2.蒙特卡洛模拟的过程(1000次模拟): Price =1.7570 程序代码：

第八章--蒙特卡洛期权定价方法

第八章蒙特卡洛期权定价方法 在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具：可以用来评估投资组合管理规则、为期权定价、模拟套期保值交易策略、估计风险价值。蒙特卡洛方法主要的优势在于对大多数情况都适用、易于使用、灵活。它把随机波动性和奇异期权的很多复杂特性都考虑进去了，更倾向于使用处理高维问题，而网格和PDF分析框架却不适用。蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大。多次的重复需要完善我们所关注的置信区间的估计。利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决这个问题。本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用，包括一些路径依赖型期权。这章是第四章的延伸，在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分。需要强调的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具，即使我们适用更多的“模拟”或“抽样”。在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记。 如果可能，我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较。很明显我们这样做的目标是一个纯粹的教学。如果你要计算一个矩形房间的面积，你只需要用房间的长度乘以房间的宽度即可，而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹配。尽管如此，你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法，在这些简单的例子中我们可以检验答案的一致性；更进一步，我们也要看为达到方差减小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量。 蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径，这个生成的样本路径给予一个描述价格（或利率）动态的随机微分方程。在8.1节我们解释几何布朗运动的路径生成；

在一个具体例子中模拟两个对冲策略，我们也会讨论布朗桥，它是适时推进模拟样本的一个替代方案。在8.2节将讨论交换期权，它被用作为一个如何将这种方法推广到多维过程的一个简单实例。在8.3节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子，这是个下跌敲出看跌期权；我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重要性。在8.4节将讨论到强路径依赖型期权，同时我们证明了运用控制变量和低差异序列为算术平均亚式期权定价。我们以概述由蒙特卡洛抽样产生的估计期权敏感性的基本问题来结束本章；在8.5节我们考虑一个普通的看涨期权A的简单案例。在第10.4节将讨论到随机模拟期权定价的另一个应用，它应用于美式期权；而一个简单的模拟方法在早期的应用中不可实行，并且这个问题在随机动态优化的框架里被强制转换。 8.1 路径生成 蒙特卡洛期权定价方法的应用的出发点是对样本基本因素路径的产生。对于一般的期权就像在第四章里面一样不需要产生路径：只需要关注标的资产到期日的价格。但是如果路径依赖型期权，我们就需要整条路径或者至少需要在给定时刻的一系列价值。如果服从几何布朗运动，情况的处理就非常简单。事实上，必须认识到在路径生成中有两个误差源：样本误差、离散误差。 样本错误时因为蒙特卡洛方法的随机性，这个问题可以通过减小方差的办法得到缓解。为了理解什么是离散错误，我们考虑一个典型的离散连续时间模型，例如：伊藤随机微分方程：