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二项分布及其应用教案(绝对经典)

§12.5二项分布及其应用

会这样考 1.考查条件概率和两个事件相互独立的概念；2.考查n次独立重复试验及二项分布的概念；3.考查利用二项分布解决一些简单的实际问题．

1．条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫作条件概率，用符号

P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB)

P(A)

(P(A)>0)．

在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB) n(A)

(2)条件概率具有的性质：

①0≤P(B|A)≤1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

2．相互独立事件

(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，

P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．

(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．

3．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一

次试验只有__两__种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)(p为事件A发生的

概率)，若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．期望：EX=n p 方差：DX=n p（1-p）

[难点正本疑点清源]

1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系

(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系．

(2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件

的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

(3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥．

2．计算条件概率有两种方法

(1)利用定义P(B|A)＝P(AB) P(A)

；

(2)若n (C )表示试验中事件C 包含的基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )

n (A )

且是相互独立

1.如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是1

2，

的，则灯泡甲亮的概率为________．

事件B ，“c 闭合”

答案

解析理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为为事件C ，则灯亮应为事件AC B ，且A ，C ，B 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝1

所以P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝1

2．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．

答案 0.128解析依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P ＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.

3．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于

( )

A.12

B.14

C.16

D.18

答案 A 解析 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1

412

＝1

题型一条件概率

例1 （1）在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则

在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．

答案

499

解析方法一设A ＝{第一次取到不合格品}，B ＝{第二次取到不合格品}，则P (AB )＝C 25

C 2100

，

所以P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝5×4

100×995100

＝4

99.

方法二第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为

499

. 探究提高条件概率的求法：

(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝

P (AB )

P (A )

.这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包

含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )

n (A )

（2）一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘

记了密码的最后一位数字，求：

⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率； ⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；

⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率

解析：设事件(12)i A i =，

表示第i 次按对密码 ⑴211()9

P A A =

⑵事件12A A 表示恰好按两次按对密码，则12121911()()()10910

P A

A P A P A A ==?= ⑶设事件

B 表示最后一位按偶数，事件112A A A A =+表示不超过2次按对密码，因为事件1A 与事件

12A A 为互斥事件，由概率的加法公式得：

1121412

()()()5545

P A B P A B P A A B ?=+=+=?

说明：条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A 发生的条件下事件B 发生的概率可以看成在样本空间为事件A 中事件B 发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法

如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，

用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝

________.

答案 2π 1

解析 (1)由题意可得，事件A 发生的概率 P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2

π.

(2)事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，

则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×1

2π×12＝12π. 故P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝12π2π＝1

4. 题型二相互独立事件的概率

例2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1

与p ，且乙投球2次均未命中的

概率为1

(1)求乙投球的命中率p ；

(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；

(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．

解 (1)方法一设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B .

由题意得(1－P (B ))2＝(1－p )2＝116，解得p ＝34或p ＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为3

方法二设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B . 由题意得：P (B )P (B )＝1

，

于是P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)．故p ＝1－P (B )＝34.所以乙投球的命中率为3

(2)方法一由题设知，P (A )＝12，P (A )＝1

故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P (A ·A )＝3

方法二由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为C 12

P (A )P (A )＋P (A )P (A )＝3

4. (3)由题设和(1)知，P (A )＝12，P (A )＝12， P (B )＝34，P (B )＝1

甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．

概率分别为C 12P (A )P (A )C 1

2P (B )P (B )＝316， P (A )P (A )P (B )P (B )＝164， P (A )P (A )P (B )P (B )＝964.

所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为316＋164＋964＝11

探究提高 (1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互互斥事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；

(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单．

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一

盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率；

(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．

解 (1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A ，乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，

由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5， P (F )＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为

P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )

＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.

又由(1)知D E F ，D E F ，D E F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，

P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5 ＝0.35，

P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.

由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4. 所以ξ的分布列为

因此Eξ＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6. 题型三独立重复试验与二项分布

例3 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)

(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；

(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．

解令X 表示5次预报中预报准确的次数，则X ～B (5，45)，故其分布列为P (X ＝k )＝C k 5(45)k (1－45)5－k

(k ＝0,1,2,3,4,5)．

(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P (X ＝2)＝C 25×(45)2×(1－45)3＝10×1625×1125

≈0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－C 05

×(45)0×(1－45

－C 1

5×45×(1－45

)4＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99.

(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C 14×45×(1－45)3×45≈0.02.

探究提高独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗

人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．

解 (1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且P (A )＝0.6，P (B )＝0.75.

所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P (A B )＝P (A )·P (B )＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1. ∴该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.

(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X 服从二项分布X ～B (3,0.9)，

P (X ＝k )＝C k 30.9k ×0.1

3－

，k ＝0,1,2,3， ∴X 的分布列是

典例：(12分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到

红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1

(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．规范解答

解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为1

，且每次试验结果是相互独立的，

故X ～B ???

?6，1

3.[2分] 所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 6????13k ·????236－k ，k ＝0,1,2,3,4,5,6.[5分] (2)由于Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y 是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y ＝k }(k ＝0,1,2,3,4,5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．[7分]

P (Y ＝k )＝(23)k ·13(k ＝0,1,2,3,4,5)，而{Y ＝6}表示一路没有遇上红灯．故其概率为P (Y ＝6)＝(2

3)6，[9分]

因此Y

[12分]

温馨提醒 (1)二项分布是高中概率部分最重要的概率分布模型，是近几年高考非常注重的一个考点．二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生．

(2)独立重复试验中的概率公式P n (k )＝C k n p k (1－p )

n －

k 表示的是n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率，p 与(1－p )的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A 有k 次不发生的概率了.

A 组专项基础训练

一、选择题

1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于 ( ) A.18 B.14 C.25 D.12

答案 B 解析 P (A )＝C 23＋C 22C 2

5＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1

4. 2．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、

A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为

( )

A ．0.960

B ．0.864

C ．0.720

D ．0.576

答案 B

解析方法一由题意知K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0.9，P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.8， ∵K ，A 1，A 2相互独立，

∴A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96. ∴系统正常工作的概率为P (K )[P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.

方法二 A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为1－P (A 1 A 2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为P (K )[1－P (A 1 A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.

3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )

A.12

B.35

C.23

D.34

答案 D 解析甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为1

，也可以乙队先胜一局，甲队

再胜一局，概率为12×12＝14，故甲队获得冠军的概率为14＋12＝3

4．甲、乙两人射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

答案：.A

5．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，1

)，则P (X ＝2)等于

( )

A.1316

B.4243

C.13243

D.80243

答案 D 解析 P (X ＝2)＝C 26(13)2(1－13)4＝80243.

二、填空题

1、先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________．

答案：

2．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．

答案 0.98 解析 1－0.20×0.10＝1－0.02＝0.98.

3．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16

25，则该队员每次

罚球的命中率为________．

答案

35 解析设该队员每次罚球的命中率为p (其中0

. 又0

4．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________．

答案 0.665解析记A ＝“甲厂产品”，B ＝“合格产品”，

则P (A )＝0.7，P (B |A )＝0.95. ∴P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝0.7×0.95＝0.665. 三、解答题

1．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

解记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种

D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋B ， P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8.

(2)D ＝C ，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，

P (E )＝C 13×0.2×0.82＝0.384.

2．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场

的事件是独立的，并且胜场的概率是1

(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；

(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率．

解 (1)P ＝????1－132×13＝427. 所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为427

； (2)6场胜3场的情况有C 36种，

∴P ＝C 36????133????1－133＝20×127×827＝160729. 所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160729

. 14．张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1

；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为

34，35

．（Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．

遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上

述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．解：（Ⅰ）设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则

031

2331111()=()()2222

P A C C ?+??=． ………………4分

所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为1

．

（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2． ……5分

331

(=0)=(1)(1)4510P X -?-=，

33339

(=1)=(1)(1)454520P X ?-+-?=

， 339

(=2)=4520

P X ?=

． ……8分

01210202020

EX =?+?+?=

． ……10分（Ⅲ）设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，1

(3,)2

Y B ，

所以13

322

EY =?=． ……12分

因为EX EY <，所以选择L 2路线上班最好． ……14分

5、在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：

（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列. 解：（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ服从参数为10,2,3超几何分布：

P （ξ=0）=

310

8C C =157，P （ξ=1）=3102812C C C =157，P （ξ=2）=310

18C C C =151，

（2）放回抽样时，抽到次品数ηB （3,0.2）：

P （η=k ）=C k 8·0.83－

k ·0.2k （k =0，1，2，3），所以η的分布列为

B 组专项能力提升

一、选择题

1．某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为

( ) A ．0.3

B ．0.5

C ．0.6

D ．1

答案 B 解析设事件A 为“该元件的使用寿命超过1年”，B 为“该元件的使用寿命超过2年”，则

P (A )＝0.6，P (B )＝0.3. 因为B ?A ，所以P (AB )＝P (B )＝0.3，于是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.3

0.6＝0.5.

2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且

向上、向右移动的概率都是1

.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 ( )

A.????125 B ．C 25????12 5 C ．C 35????123 D ．C 25C 35???

?125 答案 B

3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，

则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

( )

A.12

B.512

C.14

D.16

答案 B 解析设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，

则P (A )＝23，P (B )＝3

，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为

P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝23×(1－34)＋(1－23)×34＝5

4、电路从A 到B 上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡短路的概率是1

，则从A 到B 联通的概率是( )

10 B.

729

448

243

100

40 答案 B

二、填空题

5 . 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍

物时，向左、右两边下落的概率都是1

，则小球落入A 袋中的概率为________．

答案 3

4 解析记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事

件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，

故P (B )＝????123＋????123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝3

. 6．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的

编号)．

①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝5

11；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )

的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．答案 ②④

解析 P (B )＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝5×510×11＋2×410×11＋3×410×11＝9

，故①⑤错误；

②P (B |A 1)＝5×5

10×1112＝5

11，正确；③事件B 与A 1的发生有关系，故错误；

④A 1，A 2，A 3不可能同时发生，是互斥事件，正确．三、解答题

7．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、

“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为1

3，

他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．

(1)求该公司决定对该项目投资的概率；

(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．解 (1)该公司决定对该项目投资的概率为

P ＝C 23????132????23＋C 33????133＝727.

(2)P (A )＝C 33????133＝127， P (B )＝C 13???133＝19， P (C )＝C 13C 12????133＝29， P (D )＝C 13????133＝19. ∵A 、B 、C 、D 互斥，

∴P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝13

27.

二项分布及其应用教案定稿

2.2.3 独立重复试验与二项分布一、教学目标知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。二、重难点教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算三、教学过程复习引入： 1. 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 2.随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记

作()P A 。 3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率。 4．概率的性质：必然事件的概率为1 ，不可能事件的概率为0 ，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形。 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。讲授新课： 1 独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。 2 独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(。它是 [](1)n P P -+展开式的第1k +项。 3离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0，1，2，…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

二项分布知识在日常生活中的应用分析

二项分布知识在日常生活中的应用分析二项分布是在n 次独立重复试验中引入的一个概念，它是一种常见的、重要的离散型随机变量的概率分布，引入他们实际上是对独立重复试验从概率分布角度的进一步研究。然而我们在利用二项分布原理解决实际问题时只注意到两点，即解释为什么可以看成二项分布模型，其次是考虑到它的计算，却往往忽视对计算结果进行解释，造成初学者无法摆脱知识上的种种困惑。鉴于此，我们选取几个典型案例进行剖析，供参考。例1. 将一枚均匀硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能的结果（出现正面，不出现正面），出现正面的概率为1/2。分析：如果令X 为硬币正面出现的次数，则X 服从2 1,100==p n 的二项分布，那么100100100100)2 1(C )211()21(C )(k k k k k X =-==-P 。由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面”的概率为 080)2 1(C )50(10050100?≈==X P 。在学习概率时我们会有一种误解，认为既然出现正面的概率为1/2，那么掷100次硬币出现50次正面是必然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8%左右。它说的是，许多人都投100次均匀硬币，其中大约有8%的人恰投出50次正面。另外有些人投出的正面次数可能是47次、48次、51次、52次等。总起来看，正面出现的次数约占二分之一，这和均匀硬币出现正面的概率是二分之一是一致的。例2. 设某保险公司有10000人参加人身意外保险。该公司规定:每人每年付公司120元，若逢意外死亡，公司将赔偿10000元。若每人每年死亡率为0.006，试讨论该公司是否会赔本，其利润状况如何。分析：在这个问题中，公司的收入是完全确定的，10000个投保人每人付给公司120元，公司的年收入为120万元。公司的支出取决于投保人中意外死亡的人数（这里略去有关公司日常性开支的讨论，如公司职工工资，行政开支等等），而这是完全随机的，公司无法在事前知道其确切人数。但公司可以知道死亡人数的分布。设X 表示这10000人中意外死亡的人数，由于每个人的死亡率为0.006，则X 服从n=10000，p=0.006的二项分布: k k k C k X P --==1000010000)006.01(006.0)( 死亡X 人时，公司要赔偿X 万元，此时公司的利润为（120-X ）万元。尽管我们无法

二项分布应用举例说课讲解

二项分布应用举例

(2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为．自我检测 1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D.12 解析：条件概率P (B |A )＝P AB P A P (A )＝C 23＋1C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝110，∴P (B |A )＝11025＝1 4. 2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( ) A ．C 1012? ????3810? ????582 B ． C 911? ????389? ????58238 C ．C 911? ????589? ????382 D ．C 911? ????389? ?? ??582 解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911? ????389·? ?? ??582·38. 3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.12 B.35 C.23 D.34 解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，∴每场比赛甲、乙赢的概率均为12. 记甲获冠军为事件A ，则P (A )＝12＋12×12＝34 4．(2010·福建高考，13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率

二项分布应用举例

二项分布及其应用知识归纳 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做，用符号来表示，其公式为P (B |A )＝ . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝ . (2)条件概率具有性质： ① ； ②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ＋C |A )＝． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝． (3)若A 与B 相互独立，则，，也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为．自我检测 1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D.12 解析：条件概率P (B |A )＝ PAB PA P (A )＝C 23＋1 C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝110，∴P (B |A )＝1 1025 ＝14 . 2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10 次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( ) A ．C 1012????3810????582 B ． C 911????389????58238 C ．C 911 ????589????382 D ．C 911????389??? ?582 解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911????389·????582·38 . 3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )

第8讲二项分布及其应用教案理新人教版

第8讲二项分布及其应用【20XX 年高考会这样考】 1．考查条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．考查n 次独立重复试验的模型及二项分布． 3．能解决一些简单的实际问题．【复习指导】复习时要把事件的独立性、事件的互斥性结合起来，会对随机事件进行分析，即把一个随机事件分拆成若干个互斥事件之和，再把其中的每个事件分拆成若干个相互独立事件之积，同时掌握好二项分布的实际意义及其概率分布和数学期望的计算方法．基础梳理 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝ P AB P A . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n AB n A . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1； ② 如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝P (A )·P (B )． (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，

高考数学二项分布及其应用

高考数学二项分布及其应用 1.已知盒中装有3着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( ) A.310 B.29 C.78 D.79 解析：设事件A 为“第1次抽到是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝2190＝7 30.在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝7 30310＝7 9 . 答案：D 2．设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为3 10，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为1 2，则事件A 发生的概率为________________．解析：由题意知，P (AB )＝310，P (B |A )＝1 2， ∴P (A )＝P (AB )P (B |A )＝3 1012＝3 5 . 答案：35 3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为： P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.

答案：0.72 题组二相互独立事件 4.(2010·抚顺模拟)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1 3，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，1 5 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，1 5.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝3 5. 答案：B 5．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是1 2 ，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 ( ) A.18 B.14 C.12 D.116 解析：理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件ACB －，且A ，C ，B 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C ) ＝12，所以P (AB － C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝18 . 答案：A 6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则 P (A )＝413428310C C C C +213 646 310C C C C +＝23. P (B )＝213 828310 C C C C +＝14 15. (2)因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为

人教版高中数学选修2-3 第二章二项分布及其应用同步教案

学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版选修2-3 第二章二项分布及其应用同步教案教学目标知识目标：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。能力目标：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。情感态度价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。教学重点与难点理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。教学过程知识梳理离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是错误!未找到引用源。，（k＝0,1,2,…，n，错误!未找到引用源。）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ0 1 …k …n P 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 … 错误!未找到引用源。 … 错误!未找到引用源。由于错误!未找到引用源。恰好是二项展开式错误!未找到引用源。中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记错误!未找到引用源。＝b(k；n，p)．

例题精讲【例1】某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求这名射手在 10 次射击中,(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．) 【方法技巧】设ξ为击中目标的次数，则ξ～B (10, 0.8 ) . 如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 k n k k n n q p C k P- = =) (ξ 错误!未找到引用源。，（k＝0,1,2,…， n，错误!未找到引用源。）．【例2】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．【方法技巧】由题意，随机变量ξ～B(2，5%)．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 k n k k n n q p C k P- = =) (ξ 错误!未找到引用源。，（k＝0,1,2,…，n，错误! 未找到引用源。）．【例3】重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．

二项分布知识在日常生活中的应用分析

二项分布知识在日常生活中的应用分析山东黄丽生二项分布是在n次独立重复试验中引入的一个概念，它是一种常见的、重要的离散型随机变量的概率分布，引入他们实际上是对独立重复试验从概率分布角度的进一步研究。然而我们在利用二项分布原理解决实际问题时只注意到两点，即解释为什么可以看成二项分布模型，其次是考虑到它的计算，却往往忽视对计算结果进行解释，造成初学者无法摆脱知识上的种种困惑。鉴于此，我们选取几个典型案例进行剖析，供参考。例1.将一枚均匀硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能的结果 (出现正面，不出现正面)，出现正面的概率为1/2。 1 分析：如果令X为硬币正面出现的次数，则X服从n 100 p -的二项分布，那么 2 P(X k) C k00(^k(1 1)100k Cw0(l)100。由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面”的概率为 1 P(X 50) C；00(3)1000 08。在学习概率时我们会有一种误解，认为既然出现正面的概率为1/2，那么掷100次硬币出现50次正面是必然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8% 左右。它说的是，许多人都投100次均匀硬币，其中大约有8%的人恰投出50次正面。另外有些人投出的正面次数可能是47次、48次、51次、52次等。总起来看，正面出现的次数约占二分之一，这和均匀硬币出现正面的概率是二分之一是一致的。例2.设某保险公司有10000人参加人身意外保险。该公司规定：每人每年付公司120元，若逢意外死亡，公司将赔偿10000元。若每人每年死亡率为0.006，试讨论该公司是否会赔本，其利润状况如何。分析：在这个问题中，公司的收入是完全确定的，10000个投保人每人付给公司120元，公司的年收入为120万元。公司的支出取决于投保人中意外死亡的人数(这里略去有关公司日常性开支的讨论，如公司职工工资，行政开支等等) ，而这是完全随机的，公司无法在事前知道其确切人数。但公司可以知道死亡人数的分布。设X表示这10000人中意外死亡的人数，由于每个人的死亡率为0.006，贝U X服从n=10000，p=0.006的二项分布：

二项分布及其应用-优质学案

n次独立重复试验与二项分布及其应用班级：【高考要求】 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布. 3.能解决一些简单的实际问题. 【知识梳理】 1.条件概率在已知B发生的条件下，事件 A发生的概率叫作B发生时A 发生的条件概率，用符号____________ 来表示，其公式为 P(A|B) =韻P(B)>0). 2.相互独立事件 (1)一般地，对两个事件 A, B,如果有称A、B相互独立. (2)如果A、B相互独立，则 A与~B、A与B、A与B也相互独立. ⑶如果A1, A2，…，A n相互独立，则有：P (A1A2…A n)= P(A1)P(A2)…P(A n). 3.二项分布进行n次试验，如果满足以下条件： (1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功” 和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为 —P； (3)各次试验是___________的. 用X表示这n次试验中成功的次数，则 P(X= k) = __________________ (k= 0,1,2,…，n) 若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n, P 的二项分布，简记为X?B(n, p). 【回顾检测】 1.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为() A 3 厂2 肿 f 3 A- B- C- D 2.(2014课标全国n)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6, 已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A . 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 3.如图，用K, A , A2三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K, A1, A2正常工作的概率依次为090.8, 常工作的概率为() D. 0.576 且在两次罚OR则该队员每次罚球的命中率小组: 姓名: 评价: ，则 P, “失败”的概率均为1 0.8,贝y系统正 ~0= -0-二—— A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 4.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 球中至多命中一次的概率为16

二项分布及其应用

教学过程一、复习预习 1、预习条件概率 2、预习事件相互独立的概念 3、预习独立重复试验和二项分布

相互独立事件 (1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．考点3 二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．三、例题精析【例题1】【题干】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任

2.2 二项分布及其应用(2)

作业：一．选择题 1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是1p ，乙能解决这个问题的概率是2p ，那么其中至少有1人能解决这个问题的概率是（ D ） A ．21p p +； B ．21p p ?； C ．211p p ?-； D ．121(1)(1)p p ---. 2．在一个盒子中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两人无放回地各取一个球，则在第一个人摸出红球的条件下，第二个人也摸出红球的概率是（ A ） A ．13； B ．23； C ．49； D ．59 . 【解析】设“第一个人摸出红球”为事件A ，“第二个人摸出红球”为事件B ，则()11692105490 C C P A A ?==，()11652103090C C P AB A ?==，则()()()5|9 P AB P B A P A ==。 3．两个独立事件1A 和2A 发生的概率分别为1p 和2p ，则有且只有一个发生的概率为 .()()122111p p p p -+- 4． (04年重庆) 甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5，计算： ⑴三人各向目标射击一次，求恰有两人命中目标及至少有一人命中目标的概率； ⑵若甲连续射击三次，求他恰好一次命中的概率. 解：⑴设i A (3,2,1=i )表示事件“第i 人命中目标”，显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)(1=A P ，6.0)(2=A P ，5.0)(3=A P . 三人中恰有两人命中目标的概率为 44.0)(321321321=??+??+??A A A A A A A A A P . 三人中恰有至少有一人命中目标的概率为 94.0)(1321=??-A A A P . ⑵设k A 表示“甲在第k 次命中目标”，3,2,1=k .显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)()()(321===A P A P A P . 甲连续射击三次，恰好一次命中的概率为 203.0)(321321321=??+??+??A A A A A A A A A P .

二项分布及其应用题型总结

二项分布专题训练一。选择题 1.甲、乙两人独立地解同一问题,甲能解决这个问题得概率就是,乙能解决这个问题得概率就是,那么其中至少有1人能解决这个问题得概率就是( D ) A.; Ｂ.; C.;D、. 2.在一个盒子中有大小相同得10个球,其中６个红球,４个白球,两人无放回地各取一个球,则在第一个人摸出红球得条件下,第二个人也摸出红球得概率就是( A) A.; Ｂ.; C.; D。。【解析】设“第一个人摸出红球”为事件A,“第二个人摸出红球"为事件Ｂ,则,,则。 3.两个独立事件与发生得概率分别为与,则有且只有一个发生得概率为。 4.(０4年重庆) 甲、乙、丙三人每次射击命中目标得概率分别为０、7、0.6与０.5,计算: ⑴三人各向目标射击一次,求恰有两人命中目标及至少有一人命中目标得概率; ⑵若甲连续射击三次,求她恰好一次命中得概率、解:⑴设()表示事件“第人命中目标”,显然、、相互独立,且,,。三人中恰有两人命中目标得概率为。三人中恰有至少有一人命中目标得概率为 . ⑵设表示“甲在第次命中目标",、显然、、相互独立,且. 甲连续射击三次,恰好一次命中得概率为 . 5、已知在10只晶体管中有２只次品,从中连续抽取两件,且取出得产品不再放回,求下列事件得概率。 ⑴两只都就是正品; ⑵两只都就是次品、解:设事件()表示第次取到正品,则表示第次取到次品、依题意,,,,. ⑴表示第１次,第２次都取到正品,即表示两只都就是正品,根据乘法公式、 ⑵。另解:本题也可利用古典概型来解决。

点评:本题中由于就是两个都就是正(次)品,由于就是连续抽取且抽后不放回,故与条件概率有关。６、(04年福建·理)甲、乙两人参加一次英语口试,已知在备选得10道题中,甲能答对其中得6道,乙能答对其中得８道,规定每次考试都从备选题中随机地抽出3道,至少答对2道才算合格。 ⑴求甲答对试题数得概率分布分布; ⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格得概率。解:⑴依题意,甲答对题数得概率分布如下: ⑵方法1:甲、乙两人至少有一人考试合格得概率为、方法2:∵甲、乙两人考试均不合格得概率为, ∴甲、乙两人至少有一人考试合格得概率为、 7。(0７年天津·文科)已知甲盒内有大小相同得3个红球与4个黑球,乙盒内有大小相同得5个红球与４个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球。 (Ⅰ)求取出得4个球均为红球得概率; (Ⅱ)求取出得４个球中恰有1个红球得概率; 解:(Ⅰ)设“从甲盒内取出得2个球均为红球”为事件,“从乙盒内取出得２个球均为红球”为事件.由于事件相互独立,且 ,, 故取出得4个球均为红球得概率就是。 (Ⅱ)设“从甲盒内取出得2个球中,1个就是红球,1个就是黑球;从乙盒内取出得２个红球为黑球"为事件,“从甲盒内取出得2个球均为黑球;从乙盒内取出得2个球中,1个就是红球,1个就是黑球”为事件、由于事件互斥,且 ,。故取出得4个红球中恰有4个红球得概率为。 8.(01年天津)如图,用、、三个不同得元件联结成两个电子系统(Ⅰ)、(Ⅱ)。当元件、、都正常工作时,系统(Ⅰ)正常工作;当元件正常工作且、至少有一个正常工作时,系统(Ⅱ)正常工作。已知元件、、正常工件得概率依次为、、,分别求系统(Ⅰ)、(Ⅱ)正常工作概率、,并说明哪个系统得稳定性好.

二项分布及其应用教案(绝对经典)

§12.5二项分布及其应用会这样考 1.考查条件概率和两个事件相互独立的概念；2.考查n次独立重复试验及二项分布的概念；3.考查利用二项分布解决一些简单的实际问题． 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫作条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB) P(A) (P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB) n(A) . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．相互独立事件 (1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)(p为事件A发生的概率)，若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．期望：EX=n p 方差：DX=n p（1-p） [难点正本疑点清源] 1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系 (1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系． (2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． (3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥． 2．计算条件概率有两种方法 (1)利用定义P(B|A)＝P(AB) P(A) ；

二项分布及其应用(答案)

二项分布及其应用【知识要点】一、条件概率及其性质 1、条件概率一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称) ()()(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。 2、性质（1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P . （2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 2 1 。【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ） A 、0.8 B 、0.75 C 、0.6 D 、0.45 【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ） A 、172 B 、152 C 、51 D 、10 3 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）

A 、21 B 、4 1 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是 9 4 。二、相互独立事件及n 次独立重复事件 1、相互独立事件同时发生的概率 (1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。一般地，事件A 与B 相互独立，那么事件A 与B ,A 与B ，A 与B 也都是相互独立的。 (2) 相互独立事件同时发生的概率：对于事件A 和事件B ，用A ·B 表示事件A 与B 同时发生的事件。如果事件A 与B 相互独立，那么事件A ·B 发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P(A ·B) =P(A) ·P(B)。一般地，如果事件n A A A ,,,21???相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ???=???. 2、独立重复试验与二项分布（1）独立重复试验的意义：做n 次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验。 (2)一般地，在n 次独立重复实验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为n k p p C k X P k n k k n ,,2,1, 0,)1()(???=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布，记作：X ～B(n ，p)，并称p 为成功概率。【例题2—1】甲，乙两人射击的命中率分别是0.8和0.7，两人同时射击互不影响，结果都命中的概率为( A ) A 、0.56 B 、0.06 C 、0.14 D 、0.24

二项分布及其应用

二项分布及其应用 ◇条件概率◇ 一、条件概率的定义与性质如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。 1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率． 2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝二、典型例题 1、利用定义求条件概率例1：抛掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。（1）求P(A),P(B),P(AB); (2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。 2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求（1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。（2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。

例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么（1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。 3、条件概率的性质及应用例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A={赵家得到6张梅花}，B={孙家得到3张梅花} （1）求P(B|A)(2)求P(AB) 三、课堂练习 1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？ 2、一个盒子中装有6件合格产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。若已知第一件是合格品的情况下，求第二件也是合格品的概率。

36748_《二项分布及其应用-事件的相互独立性》教案3(人教A版选修2-3)

2．2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=?=- 12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++ 探究: (1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？

人教版选修2-3 第二章二项分布及其应用同步教案

二项分布及其应用辅导教案学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版选修2-3 第二章二项分布及其应用同步教案教学目标知识目标：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。能力目标：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。情感态度价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。教学重点与难点理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。教学过程知识梳理离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是错误!未找到引用源。，（k＝0,1,2,…，n，错误!未找到引用源。）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ0 1 …k …n P 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 … 错误!未找到引用源。 … 错误!未找到引用源。由于错误!未找到引用源。恰好是二项展开式错误!未找到引用源。中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记错误!未找到引用源。＝b(k；n，p)．

二项分布及其应用教案(绝对经典)

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