特殊三角形知识点及例题
特殊三角形
一、知识结构
本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：
等腰Rt
两直角三角形全等的判定
直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形
等腰三角形特殊三角形
二、重点回顾
1．等腰三角形的性质：
等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。
2．等腰三角形的判定：
有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。
3．等边三角形的性质：
等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。
4．等边三角形的判定：
有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。
5．直角三角形的性质：
直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。
30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定：
有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。
一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。
7．直角三角形全等的判定：
斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。
8．角平分线的性质：
在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。
三、重点解读
1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；
2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”；
3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；
4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5；
5．“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样有效。
本章解题时用到的主要数学思想方法：
⑴分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中）
⑵方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长
⑶等面积法
四、典型例题
（一）、角平分线+平行线
1、在△ABC 中，三内角互不相等，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB 。过O 点作EF, BC 。（1）图中有几个等腰三角形？（2）猜测线段BE 、CF 、EF
2、在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACB,过O 点作EF ， 使EF ∥BC ，且∠EBO=30°。若BE=5，△ABC 的周长为_________。
（二）、角平分线+垂线
3、如图：AB=AC ，∠1=∠2，AE ⊥CD 于F 交BC 于点E ，求证：AB=CE
4、如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2CE
(三)、直角三角形的一个锐角平分线+斜边上的高线
5、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，CD ⊥AB 于D ，它们交于点F ，△CFE 是等腰三角形吗？试说明理由.
（四）、等边三角形的几个基本图形：
6、等边三角形ABC 中，BD=CE ，连接AD 、BE 交于点F 。∠AFE=_________。
7、如图点A 、C 、E 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，M 、N 分别是AD 、BE 的中点。说明： △CMN 是等边三角形。
A B C
D E
M N 图1 A B C D
E M N
图2 A B
C D M N 图3
8、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC•的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，可得结论h 1+h 2+h 3=h ，请你探索以下问题：当点P 在△ABC 内（图2）和点P 在△ABC 外（图3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3与h•之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由．
B
A D C
E
B A D
C
E
P B
A
D
C
F E
（五）、等腰直角三角形的几个基本应用
9、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥M 于E 。 (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，说明△ADC ≌△CEB 的理由； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，说明DE=AD －BE 的理由；
(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问DE 、 AD 、BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由.
10、如图，在直角△ABC 中，∠C=90，AC=BC ，D ，E 分别在BC 和AC 上，且BD=CE ，M 是AB 的中点。求证：△MDE 是等腰直角三角形。
（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理与方程
11、观察下面表格中所给出的三个数a ，b ，c ，其中a ，b ，c 为正整数，且a 12、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ， 连结 CQ 。 （1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由． 14、矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。 （七）、需要分类讨论的（主要是由语言的模糊造成要讨论） 有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形。 有一个直角三角形的两条直角边为3，4，则第三条边长为__________ 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。 （八）作图题 如图，求作一点P，使PC=PD,并且使点P到∠AOB两边的距离相等，并说 明你的理由． 【考点精练】 一、基础训练 1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°． （1）（2）（3） 2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，•若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______． 3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．4．如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________． （4）（5） 5．如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）． 6．等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P•运动的时间应为________． 7．如图7 ，在△ABC 中， AB=AC ，∠BAD=20•°，且AE=•AD ，则∠CDE=________． （7） （8） （9） 8．如图8，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于（ ） A ．44° B ．68° C ．46° D ．22° 9．如图9，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，•使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1=5.2m ，L 2=6.2m ，L 3=7.8m ，L 4=10m 的四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ） A ．L 1 B ．L 2 C ．L 3 D ．L 4 10．如图10，在△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上一点，且BD=BC=AD ．•则∠A 等于（ ） A ．30° B ．36 ° C ．45° D ．72° （10） （11） 11．同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，•是一跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，OA=OB ．当跷跷板的一头A 着地时，∠OAC=25°，•则当跷跷板的另一头B 着地时，∠AOA ′等于（ ） A ．25° B ．50° C ．60° D ．130° 12、直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h 2 B. a 2+b 2=2h 2 C. a 1+ b 1=h 1 D. 21a +21b =21h 如图所示，在△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于点D ，M 为AD 上任一点，则MC 2 -MB 2 等于 二、能力提升 13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm 和15cm 两部分，求它的底边长． 14．（计算型说理题）已知如图△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 到E 使CE=CD ．•试判断DB 与DE 之间的大小关系，并说明理由。 15．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，•给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD． （1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形． 三、应用与探究 16．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、•CA上的点． （1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论． （2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论． 【2020中考数学专项复习】：特殊三角形 【考纲要求】 【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】 1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定． 2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题． 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、等腰三角形 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2．性质： (1)具有三角形的一切性质； (2)两底角相等(等边对等角)； (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)； (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°． 要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条. 3．判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形． 考点二、直角三角形 1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．性质： (1)直角三角形中两锐角互余； (2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半； (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°； (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形； (6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释： （1）直角三角形中，S Rt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高； （2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形． 3．判定： (1)两内角互余的三角形是直角三角形； (2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形； (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】 类型一、等腰三角形 1．六边形ABCDEF的每个内角都为120°,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF的周长． 【思路点拨】考虑到每个内角为120°,则每个外角均为60°,可通过构造等边三角形来求边长及面积． 特殊三角形二十个考点归纳总结 考点1轴对称图形的识别 解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折丧，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形. 例题1 2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情.一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员 驰援武汉.下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（ ） 功盘 ⑥曲 A.协和医院 B.湘雅医院 C.齐鲁医院 D.华西医院 【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可. 【解析】工、不是轴对称图形，故此选项不合题意： 不是轴对称图形，故此选项不符合题意： C 、是轴对称图形，故此选项符合题意； 。、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C. 变式1 下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（ ） 【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合解答. 【解析】第一、二、四个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，故选：C. 【小结】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合. 变式2 下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ） A A ® A 当心辐射 I I 当心感染I I 必须戴防护手套］I 小心腐蚀 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可. 【解析】第一个图案和第二个图案是轴对称图形，第三个图案和第四个图案不是轴对称图形， 则不是轴对称图形的有2个，故选：B. 【小结】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念. 变式3 下列图形中，是轴对称图形的有（）个. ①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形 A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案. 【解析】①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形中只有平行四边形不是轴对称图形.故轴对称图形有6个.故选：C. 【小结】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键. 考点2轴对称的性质与运用 轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等. 例题2 如图，尸为内一点，分别画出点尸关于。4, 08的对称点尸1，尸2,连接尸1尸2.交0,于点交。3于点M若尸1尸2 = 5加，则△PMN的周长为 【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得△尸亚V的周长. 【解析】如图所示: 证明（二）之特殊三角形 【知识要点】 常考特殊三角形性质： ①等腰三角形：两个底角相等；顶角的平分线、底边上的中线和高是同一条线段。 ②等边三角形：每个内角都等于60°；角的平分线、中线和高是同一条线段。 ③直角三角形：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。 【经典例题】 3 ，CD⊥AB，求BC边的长。【例1】已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=1 【例2】已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点． 求证：CD⊥AB。 【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC． 【例4】△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 中点，DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5。 ①△DEF 的形状是？并请说明理由；②求EF 的长。 【例5】如图，已知Rt △ABC ，∠C=90°，DE ⊥BC 于E ，使得△BED ≌△ACB （点B 、E 、D 分别与点A 、C 、B 对应），连结AD 交BC 于点F ， ①问：△ABD 是等腰直角三角形吗？请说明理由。 ②若AC=2cm ，EC=3cm ，求AD 的长。 【课堂练习】 1．如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，则∠AEB 的度数为（ ） A ．10° B ．12.5° C ．15° D ．20° 2．如图，△ABC 中，AB=BD=AC ，AD=CD ，则∠ADB 的度数是（ ） A ．36° B ．45° C ．60° D ．72° 3．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则AM 的长是（ ） A ．1.5 B ．2 C ．2.25 D ．2.5 题3 题2 题1 八年级上册第二章特别三角形一、将军饮马A D P 例 1 如图，在正方形 ABCD中， AB=9，点 E 在 CD边上，且 DE=2CE，点 P 是对角E 线 AC上的一个动点，则 PE+PD的最小值是（）B C A、3B、10C、9D、9 【变式训练】 1、如图，在矩形 ABCD中， AD=4，∠ DAC=30°，点 P、 E分别在 AC、 AD上，则 PE+PD的最小值是 （） A、 2 B 、 2C、4D、 A A C N P C O D B O DB M 第 2 题 第 1 题 第 3 题 2、如图，∠ AOB=30°， P 是∠ AOB内必然点， PO=10， C，D 分别是OA，OB上的动点，则△PCD周长的最小 值为 3、如图，∠ AOB=30°，C，D 分别在 OA，OB上，且 OC=2，OD=6，点 C，D 分别是 AO，BO上的动点，则 CM+MN+DN 最小值为 4、如图， C 为线段 BD上一动点，分别过点B， D作 AB⊥ BD， DE⊥ BD，连接 AC， CE． （1）已知 AB=3， DE=2， BD=12，设 CD=x．用含 x 的代数式表示 AC+CE的长；A E B C D （2）请问点（3）依照（C 满足什么条件时，AC+CE的值最小并求出它的最小值； 2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值 二、等腰三角形中的分类谈论 例 2（ 1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和 10cm，则它的周长为 （ 2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和 10cm，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为 28cm和 8cm，则它的底边为 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和 7cm，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的 4 倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为 6、在三角形ABC中， AB=AC，AB边上的垂直均分线与 AC所在的直线订交所得的锐角为40°，则底角∠ B 的度数为 7、如图， A、 B 是 4× 5 的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位 B A 特殊三角形 ◆考点链接 1．等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理． 2．直角三角形的判定与性质． 3．勾股定理的应用． ◆典例精析 【例题1】判断题：（正确的画“∨”，错误的画“×”） （1）若三角形中最大的内角是60°，那么这个三角形是等边三角形；（） （2）等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形；（） （3）等腰三角形两腰上的高相等；（） （4）等边三角形的三条高相等；（） （5）等腰三角形的角平分线垂直且平分对边；（） （6）顶角相等的两个等腰三角形全等．（） 评析：本题主要考查等腰三角形的性质与判定．（1）三角形有一角为60°时，另两角和是120°，若其中之一小于60°，必有另一个大于60°，与最大角为60°相矛盾．（2）等腰三角形一腰上的中线不一定等于腰长的一半．（3）（4）应用等腰（等边）三角形的性质，通过三角形面积的不同表示方法可证明．（5）当等腰三角形腰和底不相等时，底角的平分线不垂直平分对边．（6）•和等腰三角形底边平行的直线截得的等腰三角形与原三角形顶角相等，但不全等． 答案：（1）∨ （2）× （3）∨ （4）∨ （5）× （6）× 评析：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的“三线合一”在等边三角形中就都成立，这是因为在等边三角形中，每个顶点都可以视作等腰三角形的顶点． 【例题2】（1）已知：a、b、c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+50=60a+8b+10c，试判断 △ABC的形状． （2）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂中为D点，且CD2=AD·BD，求证：△ABC 为直角三角 形． 解题思路：由三角形的三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，或用于构造直角三角形证明两直线垂直，一般与勾股定理和代数式、方程相结合，综合运用．特别是由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由 A=0，B=0，C=0，求得三角形三边的长，再用于计算或判断．（1）解： ∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， ∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0， ∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0， ∴a-3=0，b-4=0，c-5=0， ∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=c2， ∴△ABC为直角三角形． （2）证明：∵CD⊥AB， ∴AD2+DC2=AC2，DB2+DC2=BC2． ∴AC2+BC2=AD2+DB2+2DC2，∵DC2=AD·DB， ∴AC2+BC2=AD2+DB2+2AD·DB=（AD+DB）2=AB2． ∴△ABC为直角三角形． 特殊三角形 、 ___________ _______2、____________ 、 、 、 _______ 2、 、 、 2 、 、在直角△中，两个锐角 。2、直角△斜边上的中线等于斜边的 。 3、勾股定理： 直角△ 平方和等于 的平方。关系 式： 。 4、在直角△中，30°角所对的直角边等于斜边的 。 、在直角△中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么直角边所对的角等于 度。 、有一个角是 的三角形是直角△。 2、有两个角 的三角形是直角△。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形中较短两边的 等于最长边的 ， 那么这个三角形是 三角形。 4、如果一个三角形中，较长边的 等于这条边的 ，则这个三角形为Rt △，其中 2、角的内部，到角两边距离相等的点，在__ ___上。 中垂线性质： 1、线段中垂线上的点到线段两端点的距离 。 2、到线段两端点距离相等的点，在_________上。 图2 练习 例1 （1）若等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为。 （2）等腰三角形△ABC中，∠A=50°，则∠B的度数为____________. （3）等腰三角形△ABC中，∠A的一个外角为110°，则∠B的度数为____________。 （4）有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形。 （5）已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，则它的周长为。 （6）如果等腰三角形有一边长是4，另一边长是9，那么它的周长是。 如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是。 （7）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为2cm，则腰长为______________。 （8）等腰直角三角形三边之比为___________ （9）含30°角的直角三角形三边之比为__________ （10）边长为a的等边三角形的高为，面积为_____________ （11）直角三角形斜边上的高是（a、b是直角边，c是斜边）_____________ 例2 如右图，在△ABC中，E,D分别是AB,AC上的点，AB=AC，BD=BC,AD=BE=DE， 则∠A= 度。 例3 如图，公路边A、B两站（视为线上两点）相距25千米，C、D为公路同 旁的两个村庄（视为线上两点），AD⊥AB于A点，CB ⊥ AB于B点，AD=15km， CB=10km。现在要在公路的AB路段上建一个土特产收购站E，使C、D两村庄 到收购站E的距离相等，问收购站E应建在离A站多远处？ 例4 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，MN分别是AC、BD的中点。说明MN⊥BD 例5 已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是AB边的中点， CH⊥AB于H，CD平分∠ACB (1) 求证：∠A=∠BCH (2) 求证：∠1=∠2 特殊三角形（复习一讲义） 课前预习 1.对几何图形，我们一般从边、角、特殊的线、周长及面积、对称性等来研究，以等腰 三角形为例： （1）边和角：等边对________、等角对________． （2）特殊的线：（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高）____________________．（3）面积： h h1 h2 C A h1+h2_____h（填“>”、“<”或“=”）． （4）对称性：等腰三角形的对称轴是__________________． 2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证： 1 2 BC AB ． 30° C B A ③判定：_________________的等腰三角形是等边三角形． _________________的三角形是等边三角形． 2.直角三角形 性质：30°角所对的直角边___________________________．直角三角形斜边的中线等于_____________________． 3.等腰直角三角形 ①定义：有一个角是_____的等腰三角形是等腰直角三角形． ②性质： 边：等腰直角三角形_____________． 角：等腰直角三角形_____________． 线：等腰直角三角形____________，____________________ __________________________． ③判定：_______________的三角形是等腰直角三角形． 30° A D C B C E D C A 【参考答案】 课前预习 1.（1）等角、等边 （2）三线合一 （3）= （4）顶角的角平分线（底边上的中线或底边上的高）所在直线2. 提示：见到线段的和差倍分，考虑截长补短． 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD．∴BC=1 2 BD ∵∠ACB=90°，BC=CD，∴AB=AD。∵∠ACB=90°，∠BAC=30°， ∴∠B=60°，∴∠D=60°，∴∠BAD=60°，∴BA=BD，∴BC=1 2 AB 知识点睛 1.三边都相等 ②三边都相等，三个内角都是60°，三线合一 ③有一个角是60°；有两个角是60° 2.30°角所对的直角边是斜边的一半 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 3.①直角 ②两直角边相等，两底角都是45°，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 ③有两个角是45° 精讲精练 1.15° 2.120° 3.8 cm 4. B 5.证明略（提示，连接BE，由DE垂直平分AB得AE=BE，转移角可得∠EBC=30°，利 用直角三角形性质可得AE=2CE） 6.10，5 7.证明略（提示：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=MB，由三线合 一可得MN⊥BD） 8. C 9.证明略（提示：连接AD，证明△ADF≌△BDE，转移边转移角证明△DEF为等腰直角 三角形） 10.△EMC为等腰直角三角形 证明略（提示：连接AM，证明△MDE≌△MAC，转移边转移角证明△EMC为等腰直角三角形） 特殊三角形 知识定位 特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。 知识梳理 三角形类型定义性质判定 等腰三角形有两条边相等的三角形 是等腰三角形，其中相等 的两条边分别叫做腰，另 一条边叫做底边，两腰的 夹角叫顶角，腰和底边的 夹角为底角 1.等腰三角形是对称图形，顶角平分 线所在直线为它的对称轴 2.等腰三角形两底角相等，即在同一 个等腰三角形中，等边对等角 3.等腰三角形的顶角平分线，底边上 的中线和高线互相重合，简称等腰三 角形的三线合一 1.（定义法）有两条边 相等的三角形是等腰 三角形 2.如果一个三角形有 两个角相等，那么这个 三角形是等腰三角形， 即，在同一个三角形 中，等角对等边 等边三角形 三条边都相等的三角形 是等边三角形，它是特殊 的等腰三角形，也叫正三 角形 1.等边三角形的内角都相等，且为 60° 2.等边三角形是轴对称图形，且有三 条对称轴 3.等边三角形每条边上的中线，高线 和所对角的角平分线三线合一，他们 所在的直线都是等边三角形的对称 轴 1.三条边都相等的三 角形是等边三角形 2.三个内角都等于 60°的三角形是等边 三角形 3.有一个角是60°的 等腰三角形是等边三 角形 直角三角形 有一个角是直角的三角 形是直角三角形，即“R t △” 1.直角三角形的两锐角互余 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 3.直角三角形中30°角所对的直角 边等于斜边的一半 4.直角三角形中两条直角边的平方 和等于斜边的平方（勾股定理） 1.有一个角是直角的 三角形是直角三角形 2.有两个角互余的三 角形是直角三角形 3.如果一个三角形中 两条边的平方和等于 第三条边的平方，那么 这个三角形是直角三 角形（勾股定理逆定 理） 【概念梳理】 ▲特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形 一、等腰三角形 1．等腰三角形的性质： ①等腰三角形两腰_____ ；等腰三角形两底角（即在同一个三角形中，等边对 _________ ）； ② 等腰三角形三线合一，这三线是指__ 、 ___________ ______________ ，也就是说这三线为同一条线段； ③等腰三角形是______ 图形，它的对称轴有条。 2．等腰三角形的判定： ①有__ 边相等的三角形是等腰三角形； ②有__ 相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_ ）。 二、等边三角形 1 ．等边三角形的性质： ①等边三角形各条边___ ，各内角____ ，且都等于； ②等边三角形是____ 图形，它有条对称轴。 2．等边三角形的判定： ①有__ 边相等的三角形是等边三角形； ②有三个角都是____ 的三角形是等边三角形； ③有两个角都是____ 的三角形是等边三角形； ④有一个角是____ ______ 的三角形是等边三角形。 三、直角三角形 1．直角三角形的性质： ①直角三角形两锐角_____ ； ②直角三角形斜边上的中线等于____ ； ③直角三角形两直角边的平方和等于_____ （即勾股定理）。 ④ 30°角所对的直角边等于斜边的___ 2．直角三角形的判定： ①有一个角是____ 的三角形是直角三角形； ②有两个角______ 的三角形是直角三角形； ③两边的平方和等于_____ 的三角形是直角三角形。 四、常用方法（数学思维） 1.分类讨论思想（特别是在语言模糊的等 腰三角形中）； 2.方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有 就是在等 腰三角形中求角度，求边长； 3.等面积法。 【例题精讲】 一、等腰三角形的性质及判定 例1 ：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分 18cm 和 21cm 两部分，则它的三边长为为 考向4.4 特殊三角形常考知识点专题 例1、（2021·福建·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．线段EF 是由线段AB 平移得到的，点F 在边BC 上，EFD △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，且点D 恰好在AC 的延长线上． （1）求证：ADE DFC ∠=∠； （2）求证：CD BF =． 证明：（1）在等腰直角三角形EDF 中，90EDF ∠=︒， ∴90ADE ADF ∠+∠=︒． ∵90ACB ∠=︒， ∴90DFC ADF ACB ∠+∠=∠=︒， ∴ADE DFC ∠=∠． （2）连接AE ． 由平移的性质得//,AE BF AE BF =． ∴90EAD ACB ∠=∠=︒， ∴18090DCF ACB ∠=︒-∠=︒， ∴EAD DCF ∠=∠． ∵EDF 是等腰直角三角形， ∴DE DF =． 由（1）得ADE DFC ∠=∠， ∴AED CDF ≌， ∴AE CD =，∴CD BF =． 1、等腰三角形的最重要的性质“三线合一”，这是中考题中常考点； 2、中考几何综合题的基本特征就是常考知识点三个以上的在一个题中出现，因此解综合题的前题是学生对知识点能全面并熟悉掌握。 3、本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质． 中考真题）已知AOB 和△2OM OA ⎫<<⎪⎪⎝⎭ ，90AOB MON ∠=∠=︒． （1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =； （2）将MON △绕点O 顺时针旋转． ①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=； ②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长． 解：(1)∵AOB 和MON △都是等腰直角三角形， ∴90OA OB ON OM AOB NOM ，，， 又=+=90+AOM NOM AON AON ， =+=90+BON AOB AON AON , ∴=BON AOM ， ∴()AMO BNO SAS ≌， ∴AM BN =； (2)①连接BN ，如下图所示： ∴==90 AOM AOB BOM BOM ， ==90 BON MON BOM BOM ， 且OA OB OM ON ，==， ∴()AMO BNO SAS ≌， ∴45A OBN ，AM BN =， 特殊三角形-练习题(含答案)特殊三角形-练习题(含答案) 一、选择题 1. 在直角三角形中，若一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，那么斜边的长度是： A. 5 B. 7 C. 9 D. 12 2. 一个等腰三角形的两条等边分别为5，那么等腰三角形的底边长为： A. 2.5 B. 4 C. 5 D. 10 3. 在等边三角形中，每个角的度数为： A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 4. 若一个三角形有一条边长为2，另外两条边长为3和4，那么这个三角形是： A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 5. 在等腰直角三角形中，两条直角边的长度分别为3和4，那么斜边的长度为： A. 5 B. 7 C. 9 D. 12 二、填空题 1. 正三角形的每个角度数为__________。 2. 整数边长的直角三角形有__________组。 3. 锐角三角形的内角和为__________度。 4. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为__________。 5. 一个等腰三角形的两条等边分别为6，那么等腰三角形的底边长为__________。 三、解答题 1. 证明等腰直角三角形的两条直角边相等。 解答思路：通过证明直角三角形两个角相等，并且直角三角形的两边长相等，可以得出等腰直角三角形的两条直角边相等。 2. 在等边三角形ABC中，边长为6。连接点A和边BC的垂线段AD，求垂足D与点C之间的距离。 解答思路：利用等边三角形的性质，可以得出垂足D与点C之间的距离等于等边三角形的边长的一半。 四、答案 选择题答案： 1. A 2. B 3. B 4. D 5. A 填空题答案： 1. 60° 特殊三角形知识点及习题 三角形是几何学中一个重要的概念，具有广泛的应用。在三角形中，特殊三角形是一类具有特殊性质的三角形。本文将介绍关于特殊三角 形的知识点，并提供相关习题。 一、等边三角形 等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。特点是三个角度都相等，每个角度为60度。等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分 线都重合于同一条线段，且等边三角形的内切圆和外接圆半径相等。 求等边三角形的面积可使用海伦公式。 习题1：若等边三角形的边长为a，则该等边三角形的高、中线、 角平分线的长度分别为多少？ 习题2：已知等边三角形的周长为18 cm，求其面积。 二、等腰三角形 等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。特点是两个底角（底 边两侧的角）相等，顶角（顶边两侧的角）与底角不相等。等腰三角 形的高线、中线、角平分线都重合于同一条线段，且等腰三角形的内 切圆与底边相切于一点。 习题3：已知等腰三角形的底边长度为a，腰边长度为b，求该等腰 三角形的顶角和面积。 习题4：已知等腰三角形的面积为16 cm²，底边长度为4 cm，求腰边的长度。 三、直角三角形 直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。直角三角形的边分为三个部分：斜边、邻边和对边。直角三角形中，邻边与对边满足勾股定理的关系，即邻边的平方加上对边的平方等于斜边的平方。 习题5：已知直角三角形的邻边长度为3 cm，对边长度为4 cm，求斜边的长度。 习题6：已知直角三角形的斜边长度为5 cm，对边长度为4 cm，求邻边的长度。 四、30-60-90三角形 30-60-90三角形是指其中一个角为30度，另一个角为60度的三角形。30-60-90三角形中，长边（斜边）的长度是中边（底边）长度的2倍，短边（高边）的长度是中边长度的根号3倍。 习题7：已知30-60-90三角形的中边长度为a，求其高边和斜边的长度。 习题8：已知30-60-90三角形的高边长度为3 cm，求斜边和中边的长度。 特殊三角形（习题） ➢例题示范 例1：已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，点E 在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF=60°． 求证：△AEF是等边三角形． 【思路分析】 ①读题标注： 60° 60°60° F E D C B A ②梳理思路： 要证△AEF是等边三角形，已知∠EAF=60°，只需证△AEF是等腰三角形即可，考虑证AE=AF，可以把这两条线段放在两个三角形中证全等． 观察图形，连接AC，可以把线段AE和AF分别放在△ABE和 △ACF中．结合题中条件∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，可知△ABC和△ACD 均为等边三角形，所以∠B=∠ACF=60°， ∠BAC=∠EAF=60°，因此∠BAE=∠CAF，进而得证△ABE≌△ACF，证明成立．【过程书写】 证明：如图，连接AC． ∵∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD ∴△ABC和△DAC是等边三角形 ∴AB=AC，∠BAC=60°，∠ACF=60° ∴∠1+∠3=60°，∠B=∠ACF ∵∠EAF=60° ∴∠2+∠3=60° ∴∠1=∠2 ∴△ABE≌△ACF（ASA） ∴AE=AF ∴△AEF是等边三角形 ➢巩固练习 1.如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三角形ABE，连接DE， 则∠BED的度数为________．F E D C B A 32 1 60° 60°60° F E D C B A D E C B A 2. 如图，在△ABC 的外部，分别以AB ，AC 为直角边，点A 为直角顶点，作等 腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE ，CD 与BE 交于点P ，则∠BPC 的度数为________． P E D C B A 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，DE 是线段AB 的垂直平分线， 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若DE =2，则AC 的长是________． E D C B A 4. 如图，在△AB C 中，∠ACB =90°， D 在BC 上， E 为AB 的中点，AD ，CE 相 交于F ，且AD =DB ．若∠B =20°，则∠DFE 的度数为________． F E D C B A 5. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =15°，过C 作CD ⊥AB ，交BA 的 延长线于点D ．求证：AB =2CD ． D C B A 特殊三角形知识点及例题 三角形是几何学中的基本形状之一，由三条边和三个角构成。在三 角形中，存在着一些特殊的三角形，它们具有一些特殊的性质和性质。本文将介绍特殊三角形的知识点，并给出一些例题供读者练习。 一、等边三角形 等边三角形是指三条边的边长相等的三角形。等边三角形具有以下 特点： 1. 三条边相等。 2. 三个角都是60度。 3. 对称轴是三条中线，也是三条高线，也是三条角平分线。 例题： 1. 在等边三角形ABC中，AB=BC=CA=6cm，求三角形的高度。 解：由于等边三角形的高线与中线重合且相等，所以三角形的高高 线长等于边长。 二、等腰三角形 等腰三角形是指两条边的边长相等的三角形。等腰三角形具有以下 特点： 1. 两条边相等。 2. 两个底角（底边两侧的角）相等。 3. 对称轴是高线，也是角平分线。 例题： 1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4cm，BC=6cm，求三角形的高度。 解：由等腰三角形的性质可知，高线与底边垂直且平分底角，所以可以利用勾股定理求解。 三、直角三角形 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。直角三角形具有以下特点： 1. 包含一个直角（90度）。 2. 两边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。 3. 对称轴是斜边的中线和中线的垂线。 例题： 1. 在直角三角形ABC中，∠ABC=90度，AB=3cm，BC=4cm，求三角形的斜边长度。 解：利用勾股定理可以求得斜边的长度。 四、等腰直角三角形 等腰直角三角形是指两条直角边的长度相等的直角三角形。等腰直角三角形具有以下特点： 1. 包含一个直角（90度）。 2. 两条直角边相等。 3. 对称轴是斜边的中线和中线的垂线。 例题： 1. 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90度，AB=AC=5cm，求三角形的斜边长度。 解：利用勾股定理可以求得斜边的长度。 五、等腰直角三角形 等腰直角三角形是指两条直角边的长度相等的直角三角形。等腰直角三角形具有以下特点： 1. 包含一个直角（90度）。 2. 两条直角边相等。 3. 对称轴是斜边的中线和中线的垂线。 例题： 1. 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90度，AB=AC=5cm，求三角形的斜边长度。 解：利用勾股定理可以求得斜边的长度。 《特殊三角形》知识点归纳及练习 【概念梳理】 ▲特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形。 一、等腰三角形 1．等腰三角形的性质： ①等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对__________)； ②等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段； ③等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定： ①有____边相等的三角形是等腰三角形； ②有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。 二、等边三角形 1．等边三角形的性质： ①等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____； ②等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 2．等边三角形的判定： ①有____边相等的三角形是等边三角形； ②有三个角都是______的三角形是等边三角形； 等腰Rt 两直角三角形全等的判定 直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形 等腰三角形特殊三角形 ③有两个角都是______的三角形是等边三角形； ④有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 三、直角三角形 1．直角三角形的性质： ①直角三角形两锐角_______； ②直角三角形斜边上的中线等于_______； ③直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。 ④30°角所对的直角边等于斜边的________ 2．直角三角形的判定： ①有一个角是______的三角形是直角三角形； ②有两个角_______的三角形是直角三角形； ③两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。 四、常用方法（数学思维） 1. 分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中）； 2. 方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长； 3.等面积法。 【例题精讲】 一、等腰三角形的性质及判定 例1：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为18cm和21cm两部分，则它的三边长为________________ 特殊三角形综合练习 、选择题 1以下列图形中，不一定是轴对称图形的是 〔 〕 A .线段 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .圆 2•假设等腰三角形的两边长分别为 4和9,那么周长为〔 〕 A . 17 B . 22 C . 13 D . 17 或 22 3•如果三角形一边上的高平分这条边所对的角，那么此三角形一定是 〔〕 A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等边三角形 D .等腰直角三角形 4•小明将两个全等且有一个角为 60。的直角三角板拼成如下列图的图形，其中两条较长直角 边在同一直线上，那么图中等腰三角形的个数是 〔 〕 结论正确的选项是〔 〕 6. 有四个三角形，分别满足以下条件： 〔1〕 一个角等于另外两个内角之和； ⑵三个内角之比 为3: 4: 5;⑶三边之比为 5: 12: 13 ;⑷三边长分别为 5, 24, 25 .其中直角三角形 有 〔〕 A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 7. 如图，EA 丄AB , BC 丄AB , AB=AE=2BC , D 为AB 的中点，有以下判断：① DE=AC ; ②DE 丄AC ;③/ CAB=30 ;④/ EAF= / ADE .其中正确结论的个数是 〔 〕 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 &如图，以点A 和点B 为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形， 一共可以作出 〔 〕 A . 2个 B . 4个 C . 6个 D . 8个 9.如下列图，△ ABC 中，AB=6 , AC=9 , AD 丄BC 于D , M 为AD 上任一点，那么MC 2=MB 2 等于 〔〕 A . 9 B . 35 C . 45 D .无法计算 10 .假设△ ABC 是直角三角形，两条直角边分别为 5和12,在三角形内有一 点D , D 到厶ABC 各边的距离都相等，那么这个距离等于 〔〕 A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 二、填空题 11 .等腰三角形中顶角的度数是底角的 3倍，那么底角的度数是 __________ 12 .等腰△ ABC 的底边BC=8cm ，且|AC-BC|=2cm ，那么腰 AC 的长为 _______________ . 13 .如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走 捷径'’，在花圃内走出了 一条小路，他们仅仅少走了 ________步路，〔假设2步为1m 〕，却踩伤了花革. 14.如图，在△ ABC 中，AB=5cm , BC=12cm , AC=13cm ，那么 AC 边上的中线 BD 的长 为 _______ cm . 5.如图，在△ ABC 中, ] t BD 丄AC , DE 丄BC , D , E 为垂足，以下 A . AC=2A B B . AC=8E C 1 C . CE= =B D D . BC=2BD 2 A . 4 B . 3 8．角平分线的性质： 三、重点解读 1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质； 2．等腰三角形的腰是在一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形〞； 3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便； 4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“〞就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5； 5．“HL〞是仅适用于判定直角三角形全等的，只有在两个三角形均是直角三角形的前提下“SSS〞、“SAS〞、“ASA〞、“AAS〞 ⑴分类讨论思想〔特别是在语言模糊的等腰三角形中〕 ⑵方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长 ⑶等面积法 四、典型例题 〔一〕、角平分线+平行线 1、在△ABC中，三内角互不相等，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。过O点作EF, 使EF∥BC。〔1〕图中有几个等腰三角形？〔2〕猜测线段BE、CF、EF有什么数量关系，并说明理由。 2、在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB,过O点作EF， 使EF∥BC，且∠EBO=30°。假设BE=5，△ABC的周长为_________。 〔二〕、角平分线+垂线 3、如图：AB=AC，∠1=∠2，AE⊥CD于F交BC于点E，求证：AB=CE。 第7讲:特殊三角形4 （综合运用与本章小结） 一、新知建构 二、经典例题 例1．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图) ．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、 2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S 3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于 （） A． 4 B． 5 C． 6 D．14 例2．现在给出两个三角形（如图），请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．（画出示意图）l 3 2 1S4 S3 S2 S1 例3．如图，AD ∥BC ，∠A =90°，E 是AB 上一点，∠1=∠2，AE =BC ，请说明∠DEC =90°． 例4.．一圆柱体的底面周长为16cm ，高AB 为6cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程． 例5.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠B =90度，E 是AB 上一点，且AE =BC ，∠1=∠2 （1）Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？请说明理由； （2）AB ＝AD ＋BC （3）△CDE 是不是直角三角形？请说明理由。 2 1E D C B A 例6.如图1，D 是边长为4㎝的等边△ABC 的边AB 上的一点，DQ ⊥AB 交边BC 于点Q ，RQ ⊥BC 交边AC 于点R ，RP ⊥AC 交边AB 于点E ，交QD 的延长线于点P . （1）请说明△PQR 是等边三角形的理由； （2）若BD =1.3㎝，则AE = ㎝ （3）如图2，当点E 恰好与点D 重合时，求出BD 的长度。 三、 基础演练 1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A ． 等边三角形 B ． 角 C ． 等腰三角形 D ． 直角三角形 2．下列判断正确的是（ ） A ． 顶角对应相等的两个等腰三角形全等 B ． 腰对应相等的两个等腰三角形全等 C ． 有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等 D ． 顶角和底边分别对应相等的两个等腰三角形全等 3．已知一个三角形的周长为15cm ，且其中两条边长都是第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为（ ） A ．1cm B ．2cm C ．3cm D ．4cm 4．如图，△ABC 中，AB =AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE =140°，则∠DEF =（ ） A ．55° B ．60° C ．65° D ．70° C【北师大版2020中考数学专项复习】：特殊三角形
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