浅谈“反证法”在高中数学的应用

浅谈“反证法”在高中数学的应用

反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。

反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。

根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；

说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。

下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：

例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。

证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都

大于60度。根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此

三角形ABC的内角和大于180度。但是，这与三角形内角和定理相矛

盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。

通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。

虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。

在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。那么，什么是反证法？它在中学数学中又有哪些应用呢？

反证法是一种证明定理或命题的间接方法，它通过否定或质疑命题的正确性，然后从这个否定的前提中推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。这种方法在数学中非常常见，也是我们在解决一些复杂问题时常用的手段。

假设原命题不成立，即假设原命题的逆命题成立。

根据这个逆命题，推导出与原命题相矛盾的结论。

根据矛盾的结论，我们可以推断出原命题的正确性。

证明一个数不能是正整数：假设这个数是正整数，推出矛盾的结论——这个数既是正整数又是负整数，这与我们的假设矛盾。因此，这个数不能是正整数。

证明三角形内角和为180度：假设三角形内角和不等于180度，推出矛盾的结论——三角形内角和大于或小于180度，这与我们的假设矛盾。因此，三角形内角和为180度。

证明一个四边形是矩形：假设这个四边形不是矩形，推出矛盾的结论——这个四边形的对角线长度不相等，这与我们的假设矛盾。因此，这个四边形是矩形。

通过以上例子可以看出，反证法是一种非常有效的证明方法，尤其适用于那些直接证明比较困难的问题。它可以帮助我们拓宽思路，发现问题的本质，从而更轻松地解决问题。

反证法是一种非常重要的数学思维方法，它在中学数学中的应用广泛且重要。通过学习和掌握反证法，我们可以更好地理解数学中的各种定理和性质，提高我们的逻辑推理能力。反证法也是一种解决数学问题的有效工具，它可以帮助我们解决一些看似复杂的问题，提高我们的解题效率。因此，我们应该在学习过程中积极运用反证法的思维方式，培养我们的数学素养。

在数学领域，反证法是一种非常重要的推理方法，它通过否定或质疑某个命题的结论来推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。这种方法在数学证明中具有广泛的应用，下面我们将探讨反证法在数学中的应用及其重要性。

反证法是一种间接证明方法，它通过假设原命题的结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题的结论必定成立。这种方法的关键在于找到一个与原命题结论矛盾的假设，并从这个假设出发推导出矛盾。反证法可以用于证明一个命题的逆否命题成立。例如，要证明一个三角形是等腰三角形，可以假设这个三角形不是等腰三角形，然后推导

出矛盾，从而证明这个三角形必定是等腰三角形。

反证法也可以用于证明一个命题的否定不成立。例如，要证明一个数不能同时是奇数和偶数，可以假设这个数同时是奇数和偶数，然后推导出矛盾，从而证明这个数不能同时是奇数和偶数。

反证法还可以用于证明一个命题在无限集合中成立。例如，要证明在自然数集合中，存在两个不同的数具有相同的质因数分解形式，可以假设不存在这样的两个数，然后推导出矛盾，从而证明存在两个不同的数具有相同的质因数分解形式。

反证法只适用于能够找到矛盾的情况。如果假设不导致矛盾，则无法使用反证法来证明原命题。

反证法的假设必须是与原命题结论矛盾的，否则无法推导出矛盾。在使用反证法时，需要注意逻辑严谨性和推理正确性，避免出现漏洞或错误。

反证法是一种非常重要的数学推理方法，它在数学证明中具有广泛的应用。通过掌握反证法的原理和方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高数学素养和推理能力。

在数学的浩瀚海洋中，反证法是一种被广泛应用的证明方法。它不仅在高等数学中占据着重要的地位，而且在中学数学的学习过程中，反证法的思想也贯穿始终。本文将探讨反证法的原理及其在中学数学中的应用。

反证法，顾名思义，是通过证明反面命题的错误性来证实正面命题的真实性。这是由古希腊哲学家亚里士多德提出的，他称其为"归谬法"，意在通过消除错误的可能性来得出真理。

提出假设：首先假设所要证明的命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的。

推导矛盾：根据这个假设，进行逻辑推理，尝试推导出与已知事实或定理相矛盾的结论。

矛盾分析：如果推导出的矛盾与已知事实或定理相冲突，那么就说明假设是错误的。

得出通过以上分析，证明了结论的反面是不正确的，从而证明了原命题的正确性。

在中学数学的学习过程中，反证法的应用十分广泛。下面我们通过几个具体的例子来探讨反证法在中学数学中的应用。

例1：证明自然数集中的1既不是质数也不是合数。

证明：假设1是质数或者是合数，那么存在整数a和b（a,b≠1），使得1=a*b或1=a+b-1。但是，这明显与1的特性相矛盾（任何数乘1都得这个数，任何数加1都得这个数+1）。因此，假设是错误的，1既不是质数也不是合数。

证明：假设存在最大的质数p。那么2p+1, 2p+3, 2p+..都是质数（根据质数的定义）。这与我们的假设矛盾，因为这意味着存在比p更大的质数。因此，最大的质数是不存在的。

例3：证明在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于90度。

证明：假设三个内角都大于90度。那么三个内角的和必定大于3×90度=270度。这与三角形内角和定理（三角形内角和为180度）相矛盾。因此，假设是错误的，至少有一个内角小于或等于90度。

通过以上例子，我们可以看到反证法在中学数学中的应用是十分广泛的。它不仅可以帮助我们证明数学命题，还可以帮助我们理解数学概念和定理。更重要的是，它培养了我们的逻辑推理能力，使我们在面对问题时更加严谨和全面。

总结来说，反证法是一种重要的数学证明方法，它的应用贯穿了整个

中学数学的学习过程。通过学习和理解反证法的原理和应用，我们可以更好地理解和掌握数学知识，提高我们的数学素养和逻辑思维能力。在中学数学中，反证法是一种非常重要的证明方法，它通过假设命题的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。本文将介绍反证法在中学数学中的应用，包括概念、应用举例、技巧总结和结论。

反证法是一种证明方法，通过假设命题的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。在中学数学中，反证法通常用于证明一些难以直接证明的命题，其基本思想是将问题转化为对立面的问题，从而简化证明过程。例如，在证明一个数不是质数时，可以通过反证法假设这个数是质数，然后推导出矛盾的结论，从而证明这个数不是质数。

反证法在中学数学中的应用非常广泛，下面举几个例子加以说明。

运用反证法，假设这个自然数是质数，则它只能被1和它本身整除。但这个自然数大于1，因此它至少还有一个其他的因数，这与假设相矛盾。因此，这个自然数不是质数。

假设命题为：三角形三个内角之和大于180度。

运用反证法，假设三角形三个内角之和大于180度，则三角形的三个内角中至少有一个角大于90度。但根据三角形内角和定理，三角形三个内角之和等于180度，这与假设相矛盾。因此，三角形三个内角之和等于180度。

运用反证法，假设两个平面不平行，则它们相交于一条直线l。选取直线m与l相交于一点A，则在m上任意取一点B，在l上任意取一点C，连接AB、BC、CA，则三角形ABC是直角三角形。但根据三角形内角和定理，三角形内角和等于180度，这与假设相矛盾。因此，两个平面平行。

举出矛盾的例子：要找到与假设相矛盾的例子，从而推翻假设。

确定论证范围：要明确命题的结论和前提条件，确保论证过程中不会超出命题的范围。

选择合适的方法：要根据命题的特点选择合适的证明方法，比如分析法、综合法等。

掌握基本概念和定理：要熟练掌握相关的基本概念和定理，以确保证明过程中的正确性和严谨性。

学会转化问题：要将复杂的问题转化为更容易解决的问题，以简化证

明过程。

反证法是一种非常重要的证明方法，在中学数学中有着广泛的应用。通过运用反证法，可以证明一些难以直接证明的命题，同时也可以提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。因此，反证法在中学数学中具有重要的地位和作用，对于提高学生的数学成绩和数学素养都有着积极的影响。

在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到各种各样的证明题。这些题目需要我们运用各种逻辑推理方法来证明结论的正确性。其中，反证法是一种非常重要的证明方法，它在很多情况下都能帮助我们轻松地证明出问题的答案。本文将探讨反证法在中学数学证明中的应用。反证法是一种通过否定假设来证明结论的证明方法。它的基本思想是，如果假设的结论不成立，那么可以推导出一些矛盾的结论，从而证明假设的结论是正确的。反证法在数学证明中具有非常广泛的应用，特别是在中学数学中，它可以帮助我们解决很多比较抽象和复杂的证明题。

不等式证明是中学数学中的重要内容之一。有时候，我们可以通过反证法来证明不等式的成立。例如，要证明

a<=b，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明

反证法也可以用于证明数列的求和公式。例如，要证明等差数列的前n项和公式

+n(n−1)/2d，我们可以假设存在一个数列

+n(n−1)/2d，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明等差数列的前n 项和公式是正确的。

反证法在平面几何中也有很多应用。例如，要证明一个三角形是等腰三角形，我们可以假设这个三角形不是等腰三角形，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明这个三角形是等腰三角形。

必须注意反证法的适用范围，不是所有的问题都适合使用反证法。

反证法是一种非常重要的证明方法，它在中学数学中有着广泛的应用。通过否定假设来证明结论的正确性，可以帮助我们解决很多比较抽象和复杂的证明题。在使用反证法时，需要注意明确假设的结论是什么、通过逻辑推理来推导出矛盾的结论、注意反证法的适用范围等问题。掌握好反证法的技巧，可以帮助我们在数学学习中取得更好的成绩。在逻辑推理和法律案件的解决中，反证法是一种经常被用到的证明方

法。这种方法是通过假设某一命题不成立，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。本文将探讨反证法的原理及其在各种情况下的应用。

反证法的原理基于否定引理，即如果一个命题的否定是真命题，那么这个命题就是正确的。反证法的步骤包括：

由于这些结论与原命题的否定矛盾，所以原命题必须是正确的。

在数学中，反证法被广泛应用于证明各种定理和公式。例如，在证明一个数不能被分解为两个大于1的整数之积时，可以通过反证法来证明。假设该数可以被分解为两个大于1的整数之积，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原命题是正确的。

在法律中，反证法也具有广泛的应用。例如，在刑事案件中，检察官可以通过反证法来证明被告人的罪行。假设被告人无罪，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明被告人有罪。反证法也可以用于证明某些法律原则的正确性。

虽然反证法是一种非常有用的证明方法，但它也有一些局限性。反证法只能用于证明否定命题，而不能用于证明肯定命题。反证法假设原命题的否定是错误的，这可能会导致一些错误的结论。因此，在使用

反证法时，必须小心谨慎，确保假设和推导过程是正确的。

反证法是一种非常重要的证明方法，它在逻辑推理和法律案件的解决中都有广泛的应用。然而，在使用反证法时，我们必须小心谨慎，确保我们的假设和推导过程是正确的。只有这样，我们才能得到正确的结论。

反证法是一种重要的数学证明方法，它在数学领域中有着广泛的应用。在中学数学中，反证法也是一种重要的教学方法，对于提高学生的数学能力和逻辑思维能力有着重要的作用。本文将探讨反证法在中学数学中的应用及教学研究。

反证法是一种通过假设命题的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立的证明方法。在中学数学中，反证法常常用于证明否定性的命题，或者直接证明某个命题成立有困难时。下面通过一个具体的例题来说明反证法在中学数学中的应用。

例题：证明存在一个自然数n，使得n^2+n+2是质数。

证明：假设所有自然数n都不是满足题目条件的质数，即对于所有的n，n^2+n+2都不是质数。由于n^2+n+2=(n+2)(n+1)-1，因此我们可

以得到： (n+2)(n+1)-1=p，其中p是质数。

由于p是质数，(n+2)和(n+1)中至少有一个是p的因数。假设(n+2)是p的因数，则n+2=p或n+2=p/2，但是这两种情况都不符合假设条件。因此(n+1)是p的因数，同理可证(n+2)不是p的因数。因此有(n+1)=p和(n+2)=p/2，但是这两种情况都不符合假设条件。

因此，假设所有自然数n都不是满足题目条件的质数是不成立的。所以存在一个自然数n，使得n^2+n+2是质数。

反证法是一种比较高级的证明方法，对于中学生来说可能会有一定的难度。因此，教师在教学过程中应该注重引导和启发学生，帮助学生掌握反证法的思想和方法。

教师可以在教学过程中适当地引入反证法的概念和思想。例如，在讲解否定性命题时，可以引导学生使用反证法进行证明。教师可以先给出一些否定性命题的例子，让学生尝试使用反证法进行证明，然后总结出反证法的步骤和要点。

教师可以帮助学生掌握反证法在解题中的应用。例如，在解决一些几何问题时，反证法可以用来证明某两个三角形全等或者某个点在一条直线上。教师可以引导学生如何使用反证法进行解题，并且让学生自己尝试解决一些问题。

教师可以讲解一些典型的例题，让学生更好地掌握反证法的应用。例如，可以讲解一些关于质数、三角形全等、直线性质等方面的例题，让学生通过实际例子更好地理解反证法的应用。

反证法在中学数学中有着广泛的应用，对于提高学生的数学能力和逻辑思维能力有着重要的作用。在教学过程中，教师应该注重引导学生掌握反证法的思想和方法，帮助学生更好地应用反证法解决问题。教师也应该注意根据学生的实际情况进行教学，让学生更好地理解和掌握反证法。未来，希望更多的教师和学者能够反证法在中学数学中的应用及教学研究，为提高中学数学教学质量和学生的数学素养做出更多的贡献。

向量法，这一强大且富有创新性的数学工具，已经成为了高中数学中的重要组成部分。尤其是在立体几何中，向量法不仅简化了复杂的几何问题，也为我们提供了新的视角和解决问题的方法。

向量法的基本概念和原理是理解和应用的关键。向量是一种具有大小和方向的量，可以用来表示物体的位置、速度、加速度等物理量。向量的基本运算包括加法、减法、数乘、点积等，这些运算构成了向量法的基础。

在立体几何中，向量法的主要应用体现在以下几个方面：

描述立体几何中的位置关系：通过向量的运算，我们可以准确地描述和表达出点与点之间的位置关系。例如，两个向量的和可以表示一个物体的位置，而两个向量的差可以表示两个物体之间的相对位置。解决角度和长度问题：利用向量的点积和叉积，我们可以方便地计算出两条直线之间的角度，或者一个平面与另一个平面之间的角度。同时，通过向量的模长，我们可以计算出线段的长度或者点到原点的距离。

证明定理和推导公式：向量法不仅可以解决具体的问题，还可以用来证明定理和推导公式。例如，通过向量法，我们可以证明勾股定理和余弦定理，也可以推导出向量的平行和垂直等公式。

然而，要充分掌握向量法在高中数学立体几何中的应用，需要注意以下几点：

熟悉并掌握向量的基本运算规则和性质，这是应用向量法的基石。理解并掌握向量的几何意义和物理意义，这将有助于理解向量的性质和应用。

培养对问题的分析和解决能力，通过大量的练习来提高自己的解题技巧和思维水平。

与其他数学知识和方法进行交叉学习和应用，如函数、三角函数、解析几何等，这将有助于更全面地理解和应用向量法。

培养自己的创新思维和实践能力，通过解决实际问题和参与项目实践来提高自己的数学素养和应用能力。

向量法作为高中数学立体几何中的一种重要工具，为我们提供了新的视角和解决问题的方法。通过学习和应用向量法，我们可以更好地理解和掌握立体几何的基本概念和原理，提高自己的数学素养和应用能力。

随着新课程改革的推进，导数及其应用作为高中数学的重要内容，其教学价值逐渐受到重视。本文旨在探讨高中数学“导数及其应用”的教学现状及存在的问题，并提出相应的解决方案，以期为高中数学教学的优化提供参考。

高中数学“导数及其应用”教学的研究背景和意义

导数及其应用是高中数学的新增内容，它为解决实际问题提供了新的思路和方法。然而，在实际教学中，导数的教学效果并不理想，部分学生难以理解和掌握导数的本质和应用。因此，对高中数学“导数及其应用”教学进行研究，具有重要意义。

文献综述：高中数学“导数及其应用”教学的研究现状和存在的问题近年来，越来越多的学者开始高中数学“导数及其应用”教学的研究。通过对相关文献的梳理，我们发现当前研究主要集中在导数的定义、计算方法以及应用等方面。尽管取得了一定的成果，但实际教学中仍存在以下问题：

教师对导数的本质理解不够深入，导致教学理念和方法单一；

学生对导数的实际应用能力较弱，难以将导数与实际问题进行；

教学内容与生活实际脱节，无法激发学生的学习兴趣。

研究方法：本研究采用定性和定量相结合的研究方法

样本选择：选取两所高中学校的学生和教师作为研究对象，确保样本的代表性。

数据收集：通过问卷调查、课堂观察和教师访谈等方式收集数据。

分析方法：运用SPSS软件进行数据分析和处理，以客观地反映教学实际情况。

结果与讨论：高中数学“导数及其应用”教学中的问题和特点

教师方面的问题：部分教师对导数的本质理解不够深入，导致教学方法单一，缺乏趣味性；同时，部分教师缺乏对实际问题的敏感性，无法有效地将导数与实际问题进行。

学生方面的问题：学生对导数的理解大多停留在理论和计算层面，实际应用能力较弱；同时，学生对导数的认知存在偏差，认为导数学习对实际生活无用。

教学内容和方法的问题：教学内容与生活实际脱节，导致学生难以理解；同时，教学方法单一，缺乏多样性，无法激发学生的学习兴趣。加强教师培训，提高其对导数的本质理解，以便更好地引导学生将导数与实际问题进行；

改进教学方法和手段，引入多样化的教学方式，如案例分析、小组讨论等，以激发学生的学习兴趣；

调整教学内容，将导数与实际生活相结合，让学生更好地理解导数的实际应用价值。

本研究通过对高中数学“导数及其应用”教学的研究，指出了存在的问题和特点，并提出了相应的解决方案。然而，本研究仍存在一定的限制，如样本选择的范围较窄等，未来研究可以进一步拓展研究范围

和深度。为了更好地促进高中数学“导数及其应用”教学的发展，建议教育部门加强教师培训、完善教材内容并改进教学方法。

数学在经济学中的应用经济学是一个研究人类经济活动规律的学科，而数学则是一种强有力的工具，广泛应用于各个领域。在经济学中，数学的应用已经成为了研究和实践的重要支撑。本文将探讨数学在经济学中的应用，以期更好地理解经济学的本质和规律。

数学在经济学中的应用可以追溯到很久以前。早在16世纪，数学就开始被用于研究经济问题。随着科学技术的不断进步，数学在经济学中的应用也越来越广泛。数学能够提供一种精确的语言来描述经济现象，并且通过建立数学模型来分析和解释这些现象。

在经济学中，数学的应用场景非常丰富。计量经济学是数学在经济学中应用的一个重要领域。计量经济学使用数学方法来对经济数据进行建模和分析，从而解释和预测经济现象。数学在资产定价中也有广泛应用。通过建立数学模型，可以对股票、债券等金融资产进行定价，为投资者提供参考。

数学在经济学中的应用可以通过具体案例来展示。例如，在贸易战的情况下，数学可以提供精确的分析。通过建立贸易战的数学模型，可以模拟不同情况下的贸易战对各国经济的影响，从而为政策制定者提

高中数学论文 反证法在高中数学解题中的应用

反证法在高中数学中的应用 牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。”它是指从与命题的结论相反的假设出发，经过正确的推理，推出与已知证明的定理，公理，定义或题设相矛盾的结果，这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立。一般来说，反证法常用来正面证明或求解有困难，情况多或复杂，而逆否命题是比较浅显的题目，问题可能解决的十分干脆。利用反证法求解时必须结合其它的知识和方法综合考查，由于它应用的广泛性和它在中学数学与高考的突出作用，它已成为一种重要的解题思想，倍受命题者青睐，本文就反证法思想在解题中的应用加以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法. 1在简易逻辑中的应用 例1设,,x y R ∈ :8,:2p x y q x +≠≠或 6,y ≠则p 是q 的（ ） A ． 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D . 既不充分也不必要条件 分析直接判断总感觉模凌两可，若从反证法的思想考虑逆否命题，简洁清晰。 解析因为 “:2q x ?=且6y =”是“:8p x y ?+=”的充分不必要条件，所以p 是q 充分不必要条件。 点评在简易逻辑中，当原问题是否定形式的命题，且直接证明或求解较为困难时，考虑逆否命题可化难为易，简洁清晰。

2在平面向量中的应用 例2（2011上海理17）设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点， 则使123450MA MA MA MA MA ++++= 成立的点M 的个数为（ ）. A ．0 B.1 C.5 D.10 分析先用向量加法意义说明这样的点是存在的，再用反证法证明这样的点是唯一的。 解 析由123450MA MA MA MA MA ++++= 得，()12345 1,5O M O A O A O A O A =++++ 由向量加法法则知存在这样的点;M 下面用反证法证明点M 的个数是唯一的，假设满足条件的点除M 外还 有点,N 那么123450MA MA MA MA MA ++++= ①，123450 NA NA NA NA NA ++++= ②，①-②得50,MN = 则N 点与M 点重合，与假设矛盾.所以满足条件的 点M 只有一个. 点评涉及唯一性问题的证明时，利用反证法可以有效的突破解题困境，使问题处理的简洁流畅。 3在数列中的应用 例3（2008湖北理21）已知数列{}n a 和{}n b 满足： ()()112,4,1321,3 n n n n n a a a n b a n λ+==+-=--+其中λ为实数，n 为正整数。（1）对任意实数,λ证明数列{}n a 不是等比数列；（2）略。 分析先假设结论反面成立，再由前三项是等比数列推出矛盾。 证明假设{}n a 是等比数列，则2213,a a a =又题知， 2 232224243,24,34,90,33939a a a λλλλλ????=-=-=-∴-=-∴= ? ?????矛盾，故假设不成立，即{}n a 不是等比数列。

反证法在数学中的应用

论文编码：O1-0 摘要 反证法是数学证明方法中很重要的一部分，本文主要介绍了反证法再出等数学中的应用。首先阐述反证法的概念、逻辑根据和一般步骤。然后讨论了反正法的适用范围，这也是本文的重点内容，任何一种方法都要以应用为首要任务，我们学习它、了解它、掌握它，学会用反证法解决更多的实际问题才是我们的目的。其次研究了反证法的教学，反证法的这种数学思想在课堂教学中的渗透是很有必要的。最后讨论了应用反证法应注意的问题，真正用好反证法并非一件易事，所以我们的研究学习是很有必要的。 关键词：反证法逻辑基础教学方法适用范围；

Abstract Apagoge is an important part of math demonstration.This article introduces the application of Apagoge in elementary math.First,expounds the Apagoge's concept,logic ground and the general steps.Next,discusses the range of application,which is highlighted.Whatever methods we use,we should base on application.So we must study the method and use it to help us solve many practical problem.Then,studies how to teach the Apagoge's thinking into people's minds in the https://www.docsj.com/doc/6f19015749.html,st,talks about the problem which should pay attention to in Apagoge's application.It is difficult to make a good use of the Apagoge,so we are supposed to study continuously. Keywords：Apagoge ;Logical basis;Teaching methods; Scope;

浅谈“反证法”在高中数学的应用

浅谈“反证法”在高中数学的应用 反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。 反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。 根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论； 说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。 下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用： 例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。 证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都 大于60度。根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此 三角形ABC的内角和大于180度。但是，这与三角形内角和定理相矛

盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。 通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。 虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。 在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。那么，什么是反证法？它在中学数学中又有哪些应用呢？

浅谈反证法在中学数学中的应用

浅谈反证法在中学数学中的应用 反证法是一种间接法，证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这 个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，也叫归 谬法. 反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即A→B）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B”为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法. 1.2 反证法的来源 1.2.1 古希腊的反证法 反证法,无论是逻辑上的还是数学上的，它的概念都是一致的.即是反证法是证明的一种方法. 西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下，认为万物皆数.但随着这个表征数学史第一次危机“根 号2”的问题的出现，使得希腊人重新审视了自己的数学，这最终导致希腊人放弃了以数为基 础的几何. 1.2.2 中国古代数学的反证法 在我们中国的传统数学中，本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学的不 完备，尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律，并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风，但是他们大多使用的都是类似于反驳，在他为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法.但是应该指出，明确的反证法的用法却是凤毛麟角，在这一点上与西 方存在着差别极大，而在中国数学中，即便是刘徽这位我国古代在理论与逻辑方面都很擅长 的数学大师，也只是用到了反驳(如：举反例). 1.2.3 反证法的其他来源 ① 墨子的“归谬法” 例如：“学之益也,说在诽者.”通过证明“学习无益”是假，而得到“学习有益”的命题是真.这是一个非常有意思的反证法的特例.而将其归为归谬论证欠妥切，归谬是反驳的一种方法，显然在 这里是证明一个命题为真. ② 刘徽的“证伪法”在我们的数学中，我们都只将证明与反驳对应为直接证明、归谬法(如反 例法)与间接证明(如反证法).从这意义来说,刘徽他并没有使用过反证法，他仅仅只是在使用归谬法，只是在推翻一些假命题，即在证伪. 1.3 反证法的一般步骤 学习反证法应把握它的一般步骤: 反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立； 归谬：将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾. 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定 了结论成立. 具体方法： 命题r=在C下，若A则B 反证：若A则￢B，证明￢B与A的矛盾

高中数学解题常用方法：反证法

反证法 一、填空题 1. 用反证法证明命题"三角形的内角中至少有一个钝角"时反设是． 2. 用反证法证明“如果，那么”，假设的内容是． 3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于”时，与命题结论相矛盾的假设 为． 4. 用反证法证明命题“如果，，那么”，证明的第一个步骤 是． 5. 用反证法证明命题时，其结论为“直线在平面内”，那么假设的内容是． 6. 用反证法证明命题“若正整数，，满足，则，，中至少有一个是偶数”时，反设应为． 7. 用反证法证明命题："若整数系数一元二次方程：有有理根，那 么中至少有一个是偶数"时，第一步应假设． 8. 用反证法证明"一个三角形至少有两个锐角"，则反设是． 9. 否定＂自然数，，中恰有一个偶数＂时，正确的反设是． 10. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，则 不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设，，中的两个角是直角，不妨设． 正确顺序的序号排列为．

11. 用反证法证明"若，则 "时，第一步反设应为． 12. 命题“关于的方程的解是唯一的”的结论的否定是． 13. 用反证法证明命题：“如果，，可被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设的内容应为． 14. 用反证法证明命题"若实数满足，则中至少有一个是非负数"时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是． 15. 用反证法证明“若，则或”时’应假设． 16. “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是． 17. 用反证法证明命题："如果，是奇数，那么方程没有整数根"时，应该提出的假设是． 18. 用反证法证明命题“若，是实数，且，则”时，应作的假设是． 19. 和两条异面直线，都相交的两条直线，的位置关系是． 20. 已知函数，，．对任意都有，且是增函数，则． 二、解答题 21. 已知，，．求证：，中至少有一个不小于． 22. 设函数中，均为整数，且均为奇数． 求证：无整数根．

反证法在高考数列考题中的应用(全文)

反证法在高考数列考题中的应用 (全文) 在数学问题中，有相当数量的问题直接证明难以入手，因此，常采用间接法证明，其中，反证法是间接证明的一种基本方法.反证法的基本思想是：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”， 而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的.使用反证法时要注意：当遇到“否定性”、“惟一性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时，常用反证法.注意反证法的基本思路及一般步骤：①反证法的理论依据；②什么样的命题可采用反证法；③反证法的“反设”；④反证法中的“归谬”.在反证法中探求的矛盾常见的有：（1）与已知条件矛盾；（2）与定理、公理矛盾；（3）与已知具有的或成立的性质矛盾. 例1（2013年高考陕西卷（理）17）设{an}是公比为q的等比数列. （1）推导{an}的前n项和公式； （2）设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列. 解题思路：（1）用首项和公比表示前n项和，利用错位相减法进行求解，对公比分类得到两个公式；（2）假设{an+1}是等比数列，取连续三项，利用等比中项构建方程，推出含公比的方程无解或公比为1. 解析：（1）分两种情况讨论. 所以当q≠1时，数列{an+1}不是等比数列.

点睛高考：本题考查等比数列前n项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法.回归教材，用好教材，从教材中选取例、习题或公式、定理的证明，这是高考命题的一个特点，希望引起考生的重视. 例2（2013年高考北京（理）20）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各 项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=A（1）若{an}为2， 1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意 n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值； （2）设d是非负整数，证明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列； （3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项 只能是1或者2，且有无穷多项为1. 解题思路：本题主要考查无穷数列的有关知识，考查了考生对新定义类数列的理解与运用，对考生的逻辑思维能力要求较高. （2）证明充分性：

浅谈反证法的原理及应用

摘要 反证法是一种重要的证明方法,它不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用,而且对人的思维能力的培养和提高也有极其重要的作用.如果能恰当的使用反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的目的.反证法的逻辑思维强,数学语言准确性高,对培养学生严谨的逻辑思维能力,阅读能力,树立正确的数学观具有重要的意义. 本论文主要研究的内容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作用;反证法具有广泛应用的科学根据;并且着重介绍了反证法的应用,包括反证法在初等数学和高等数学的应用,并提出应用反证法应注意的问题;针对各种问题提出一些具体的教学建议,从而为改进反证法教学提供参考. 关键词:反证法,否定,矛盾,应用

Principle and application of the reduction to absurdity ABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great significance to establish a correct conception of mathematics. The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe application of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity. Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application

浅谈反证法

浅谈反证法 浅谈反证法 摘要：在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证，它在数学证题中确有奇效。本文阐述反证法的概念、步骤，依据及分类。反证法如何正确的作出反设及导出矛盾，及何时宜用反证法，反证法在中学中最常用的证明的题型展示，反证法的综合思路分析。关键词：反证法数学学习 正文： 一：反证法的概念 一般地，假设原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.二：反证法的证明过程 ① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立; ② 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾; ③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 三：反证法的适用范围 (1)直接证明困难的(2)否定性命题 (3)唯一性问题 (4)至多、至少型命题

四：理论依据 从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。 五：常用词语 原词语等于大于（>）小于（ 否定词语至少有两个一个也没有至少有n+1个 原词语任意的任意两个所有的能 否定词语某个某两个某些不能 反证法 第1课时反证法一、学前准备1、复习回顾两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只有条直线与已知直线垂直。2、看故事并回答：中国古代有一个叫《...... 高中数学反证法 反证法解题反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之...... 4.6反证法 新仓中学2013学年2012学年2012学年2012学年第二学期第五章第 5.7（1）节......

反证法的应用

反证法的应用 反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立， 然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。反证法 的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证 法的应用。 一、数学中的反证法 在数学中，反证法是一种常用的证明方法。例如，我们要证明一个命 题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用 反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 二、哲学中的反证法 在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。例如，我们要证明一个 命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。例如，要证明“人类存在自由意志”，可 以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论， 从而证明人类存在自由意志。

三、科学中的反证法 在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。 四、反证法的优缺点 反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。 综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。

浅谈中学数学中的反证法

浅谈中学数学中的反证法 数学作为高考的重要学科，一直以来备受学生和老师的关注。因此寻求数学中解题方法，提高数学解题能力和数学成绩，成为探讨的对象。在解题过程中如果能够找到适当的解题方法，就可以使问题简单化，更容易获取答案，而反证法正是数学解题方法的一种，它在数学领域中起着重要的作用。下面从反证法的来源，反证法的定义，解题思路，适用范围和注意事项做一些简单的论述。 一、反证法的来源 对反证法的认知，我们可以先由一个小故事引出：在古希腊时期，有三个哲学家，他们经常在一起争论一些事情。有一天他们又聚在一起，并且进行了激烈的争论，加上天气的炎热，感到非常疲劳，于是在花园里的一棵大树下躺下休息，过了一会这三个哲学家就睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，三人醒过来后，彼此相看而笑，每人都在取笑其他两个人，而没想到自己脸上也被抹黑。隔了一会其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸上也被涂黑了。那他到底是怎样觉察到的呢？ 实际上，发现自己脸上被涂黑者，并非从正面直接看到，而是据他观察另外两人的表情之后，并进行分析、思考，从反面得出自己脸也被涂黑了。小故事虽然简单，但却是数学上的重大发现，即反证的方法。当从正面不容易解决问题时，就可以考虑运用反证法。 二、反证法的定义及理解 一般的，由证明pq转向证明-qr…t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定-q为假，推出q为真的方法，叫做反证法。也即是说反证法是一种从反面思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性。 三、反证法的解题思路及步骤 设要证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般分下面三个步骤： 1.反设：作出与要证结论相反的假设； 2.归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理，导出矛盾； 3.结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 四、反证法的适用范围

高中数学中的证明方法与技巧

高中数学中的证明方法与技巧数学作为一门严谨的学科，证明是其核心内容之一。在高中阶段，学生需要掌握一些基本的证明方法与技巧，以提高数学推理与解决问题的能力。本文将介绍几种常见的证明方法与技巧，帮助高中生在数学学习中更好地理解和应用。 一、直接证明法 直接证明法是最常见也是最常用的证明方法之一。它的基本思路是通过已知条件与推理推导出结论。具体步骤如下： 1. 根据已知条件，列出一系列命题。 2. 基于已知条件和数学知识，通过推理得出需要证明的结论。 3. 将推导步骤逐一展示，并注明每一步所依赖的原命题。 4. 最后总结所得结论，完成证明。 例如，我们可以用直接证明法证明横线两侧角相等的定理： 定理：垂直角相等 证明：已知直线AB与CD互相垂直，证明∠ABC与∠CDE相等。 解：根据已知条件，我们可得如下命题： 1. 直线AB与CD互相垂直。 2. ∠ABC为直角。

根据命题1，我们知道∠ABC与∠ABD是一对补角，而∠ABD是 直角，所以∠ABC也是直角。即∠ABC=90°。 根据命题2，我们知道∠CDE为直角。 因此，根据定义1. 直角不相等，我们可以得出结论：∠ABC与 ∠CDE相等。 二、反证法 反证法是一种通过假设反命题来证明的方法。当我们无法直接证明 一个命题时，可以采用反证法。具体步骤如下： 1. 假设所要证明的命题不成立。 2. 推导出与给定条件矛盾的结论。 3. 推理过程中注明每一步所依赖的原命题。 4. 根据矛盾结论，否定假设，证明原命题成立。 例如，我们可以用反证法证明无理数的存在性： 定理：根号2为无理数。 证明：假设根号2为有理数。 由有理数的定义，我们可知根号2可以表示为两个互质整数的比值，即根号2=a/b（a、b∈N，且a、b互质）。 通过变换等式，我们得到2=a²/b²，即2b²=a²。

高中数学数学推理与证明方法的应用

高中数学数学推理与证明方法的应用高中数学是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要科目之一。在 数学学习过程中，数学推理与证明方法是数学思维的核心，也是提高 数学应用能力的重要手段。本文将探讨高中数学数学推理与证明方法 的应用，帮助学生更好地理解和运用这些方法。 一、数学推理的基本思想 数学推理是指通过逻辑推理来得出一个结论的过程。在数学中，常 用的推理方法包括直接证明法、间接证明法、反证法和数学归纳法等。这些方法不仅能帮助我们解决数学问题，还可以培养我们的逻辑思维 和分析问题的能力。 在使用数学推理方法时，我们需要先建立一个假设，然后根据已知 的数学定理和推论进行演绎推理，最终得到结论。数学推理过程应该 符合逻辑规律，层层推进，每一步都严谨和具体。 二、直接证明法的应用 直接证明法是一种通过逻辑推理直接推导出结论的证明方法。它适 用于那些已知条件足够简单和明确的数学问题。具体步骤如下：首先，我们需要明确题目中的已知条件和需要证明的结论。其次， 根据已知条件应用数学定理和推论，层层推导，最终得到所需要证明 的结论。在推导的过程中要做到严谨和具体，每一步都要有理有据。

例如，我们可以利用直接证明法证明三角形内角和定理：“三角形 内角和等于180度”。首先，我们假设三角形的三个内角分别为A、B、C，根据三角形内角和定义，我们知道A＋B＋C＝180度。然后，我们 根据三角形内角性质和三角形的定义，层层推导，最终得出了A＋B＋ C＝180度的结论。 三、间接证明法的应用 间接证明法是一种通过假设反证出矛盾，再通过矛盾推导出结论的 证明方法。它适用于那些已知条件相对复杂或者需要通过反证来得到 结论的数学问题。具体步骤如下： 首先，我们需要明确题目中的已知条件和需要证明的结论。其次， 我们先假设所需要证明的结论不成立，即假设反面。然后，我们通过 反证法层层推导，如果推导出了矛盾，那么我们的假设就不成立，即 所需要证明的结论成立。 例如，我们可以利用间接证明法证明无理数根号2是无限不循环小数。首先，我们假设根号2是一个有周期的循环小数，即可以表示为 一个有限的分数。然后，通过推导我们可以发现，这与根号2的定义 相矛盾，因此我们的假设不成立，即无理数根号2是无限不循环小数。 四、反证法的应用 反证法是一种通过假设反面得到结论的证明方法。它适用于那些需 要通过反证来得到结论的数学问题。具体步骤如下：

例谈反证法在高中数学解题中的妙用

例谈反证法在高中数学解题中的妙用 摘要：在高中数学教学中，反证法作为一种解题方法，一直备受广大教师及学生的青睐。纵观数学这门学科的诸多定理及结论，其中也有不少是用反证法来证明的。可见，反证法在高中数学中占据着十分重要的位置。反证法作为一种间接证法，不仅能丰富学生的解题技巧，还能锻炼学生的逆向思维，提高综合素养。本文主要以实例来说明反证法在高中数学解题中的妙用。 关键词：高中数学反证法解题 一、反证法解空间几何题中的妙用 在苏科版高中数学教材中，立体几何占据着十分重要的地位。在历年的高考试题中，立体几何题型也一直是重点考查的题型之一。在一些求证空间关系的空间几何题当中，用正面求解的方法往往耗时费力，而且难度极大，在有限的考试时间中，这样的做法是相当不经济的。“正难则反”，让学生掌握反证法，不仅可以丰富学生的“武器库”，提高学生解题的效率，还能开发学生的思维能力，从而提高学生的综合数学能力。 例，如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一 点。求证：AC与平面SOB不垂直。 要求解此题，首先要找到这道题的题眼。此题的关键 点便是“不垂直”。根据题目给出的信息，若直接求证直 线AC与平面SOB不垂直，显然无从入手。面对这种情况， 引用“正难则反”的思维，这道题完全可以用反证法来求 解，假设直线AC与平面SOB垂直，再导出矛盾，从而间 接推出直线AC与平面SOB不垂直。 解题过程如下： 假设AC⊥平面SOB ∵直线SO在平面SOB内 ∴AC⊥SO ∵SO⊥底面圆O ∴SO⊥AB ∴SO⊥平面SAB ∴平面SAB∥底面圆O 这显然矛盾，因此假设不成立 即AC与平面SOB不垂直 从以上例子可以看出，运用反证法解此题，不仅大大降低了解题的难度，而且步骤简单，思路清晰，解题效率明显提高。 二、反证法在解方程组题中的妙用 在苏科版高中数学教材中，函数相关的内容占据了很大的一个板块。方程组可谓是贯穿了整个高中数学教学过程。而在历年高考中，无论是选择题、填空题还是大题，都会牵涉到方程组及函数的内容。因此，学会使用反证法求解方程组，对学生来说无疑是大有益处的。 例，若下列方程：①x2+4ax-4a+3=0,②x2+(a-1)+a2=0,③x2+2ax-2a=0,至少有

【高中】高中数学方法解之反证法

【关键字】高中 反证法 从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以一定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：一定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论→ 推导出矛盾→ 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而一定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

毕业论文：浅谈中学数学中的反证法-审核通过

毕业论文 学生姓名XXX 学号1610010XXX 学院数学科学学院 专业数学与应用数学 题目浅谈中学数学中的反证法 XXX 副教授/博士 指导教师 2014 年 5 月

摘要：反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用。 关键词：反证法,适用范围，假设

Abstract：Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view。In this article，we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it。Furthermore，we applied it in Mathematics in middle school. Key word: Proof by contradiction，scope of application ，hypothesis

目录 1引言 (4) 2反证法的概述 (4) 3 反证法的适用范围 (5) 4运用反证法应该注意的问题 (10) 总结 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)

1 引言 1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证: 假设假设亚里士多德的断言是正确的。设物体a 比物体b 的重量重很多，则a 应比b 先 落地。现在把物体a 和b 绑在一起成为物体c ，则c =a +b 。一方面，由于c 比a 要重,它应该比a 先落地.另一方面，由于a 比b 落得快,a 、b 一起的时候，b 应该是“拉了a 的后腿” 迫使a 的下落速度减慢，所以,物体c 应该比a 后落地.这样一来， c 应比a 先落地又应比a 后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的。因此亚里士多德的断言是错误的. 伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略的这种方法就是我们现在将要介绍 的反证法.反证法在初中高中数学学习中有很多的运用，乃至大学或者更高的学习中都会用到反证法.它不仅是一种解题方法，更是一种锻炼学生逆向思维的手段。本文重点总结了反证法的概念,反证法的一般步骤，以及反证法的种类和适用范围等方面，同时指出了使用反证法时应该注意的问题。 2 反证法的概述 2。1 反证法的概念 反证法就是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立,然后从这个假设出发。根据命题的条件和已知的真命题，经过推理论证得出与已知事实（条件，公理，定义，定理，法则，公式等)相矛盾的结果。这样就证明了结论的否定是不成立的，从而间接的肯定了原命题的结论成立。”这种证明方法叫做反证法。 还有人将反证法总结为证明逆否命题的方法。他们认为证明原命题的真假，就是证明原命题的逆否命题是否成立。若一个命题为“若A 则B "，当A B ⇒为真，则B A ⌝⇒⌝（其中B ⌝表示命题B 的否定）为真,当A B ⇒为假，则B A ⌝⇒⌝为假。 2。2 运用反证法的步骤 运用反证法证题一般分为三个步骤： 1)假设原命题不成立； 2）从这个结论出发，经过推理论证得出矛盾； 3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确。 即先提出假设，然后推出矛盾,最后肯定结论。

高中生对反证法的理解

高中生对反证法的理解 反证法，对于许多高中生来说，可能是一个全新的概念，需要一些时间去理解和适应。然而，这个概念在学习数学的过程中是非常重要的，因为它是一种证明或推翻一个命题的方法，通过反向思考和反向证明。在这篇文章中，我们将探讨反证法的基本概念，以及如何在高中数学中应用反证法。 让我们理解一下什么是反证法。简单来说，反证法是一种通过假设一个命题是错误的，然后推导出矛盾的结论，从而证明这个命题是正确的方法。这种方法在数学中非常常见，因为许多问题不容易直接证明，但可以通过反证法来证明其逆否命题。 例如，假设我们有一个命题：“所有的偶数都是质数。”使用反证法，我们可以假设这个命题是错误的，即存在一个偶数不是质数。但是，根据定义，所有的偶数都可以表示为两个整数相乘，而只有质数才能做到这一点。因此，我们的假设是错误的，原命题是正确的。 那么，如何在高中数学中应用反证法呢？要熟悉并理解反证法的步骤。一般来说，反证法的步骤包括： 得出原始假设是错误的，因此原命题是正确的。

在具体应用中，我们需要根据题目的具体条件和结论来设计反证法的步骤。例如，在解决几何问题时，我们可能需要假设一个角度或长度是不变的，然后推导出一些矛盾的结论。 反证法是一种强大的数学工具，可以帮助我们解决许多看似无法解决的问题。通过理解和掌握反证法，我们可以更好地理解数学的基础概念，提高我们的逻辑推理能力，从而在解决数学问题时更加得心应手。虽然反证法可能一开始会让我们感到困惑和不解，但只要我们多加练习和理解，就能逐渐掌握这个强大的工具。 圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线等。这些曲线有着不同的定义和性质，但是在高中数学中，它们是需要学生深入理解和掌握的重要知识点。本文将探讨高中生对圆锥曲线的理解，帮助他们更好地掌握这一部分知识。 圆锥曲线是指平面上与一个定点(F)和一条定直线(L)的距离之比为 常数(e)的点的轨迹。当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线；当0

2018年高考数学 专题52 反证法在证明题中的应用黄金解题模板

专题52 反证法在证明题中的应用 【高考地位】 反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等. 【方法点评】 类型一证明“至多”或“至少”问题 使用情景：证明“至多”或“至少”问题． 解题模板：第一步首先假设命题不成立； 第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾； 第三步最后得出结论. 例1.若{正整数}，且。求证：或中至少有一个成立。【答案】详见解析. 【变式演练1】(1)已知中至少有一个小于2。 （2）已知，求证：.

类型二证明“不可能”问题 使用情景：证明“不可能”问题． 解题模板：第一步首先假设命题不成立； 第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾； 第三步最后得出结论. 例2.给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴． 【答案】详见解析. 【解析】 试题分析：要证明经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴，可以考虑假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．然后得出矛盾。 证明：假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．设 且．由，得 ，解得．与已知矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.

【点评】在证明不可能问题上，必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反证法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与已知相矛盾。 【变式演练2】（Ⅰ）求证：当时，； （Ⅱ）证明：不可能是同一个等差数列中的三项. 类型三证明“存在性”或“唯一性”问题 使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题． 解题模板：第一步首先假设命题不成立； 第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾； 第三步最后得出结论. 例3.求证：方程的解是唯一的． 【答案】详见解析. 【解析】 试题分析：可以假设方程的解有两个，然后得出矛盾。 证明：由对数的定义易得，是这个方程的一个解．假设这个方程的解不是唯一的， 它还有解，则．，则，即．①由假设，得