浅谈数学教学中的反证法
浅谈数学教学中的反证法
摘要】在中学数学教学中，引导学生正确运用反证法是数学教师课堂教学实践
的重要任务，本文着重探讨反证法的应用方法，以期对我们的数学教学实践有所
帮助。
关键词：反证法，思维流程，教学实践
一、反证法是一种重要的数学证明方法
所谓证明，就是用已知的数学事实或其真实性显而易见的数学公理去解释、说明、断定
要证命题的真实性1。因此，引导学生学会利用反证法证明数学命题是一项重要的教学内容。
二、反证法在数学中的应用
（一）反证法的特点及应用
反证法对数学命题的证明方法着重于采取逆向思维，由题设通过推理最终否定结论。我
们假设原命題为a→b ，是推导而出的结果，c通常为条件、公理以及定理等，也可以使临时
假设的条件，我们可表示为→（c∧）a→b，逻辑依据：“矛盾律”和“排中律”是反证法的最核心最根本的逻辑依据。反证法的逻辑思维流程是：假若“结论不能够得以成立”，那么结论已
不成立就会出现人所共知的问题，这个问题主要是通过与已知的设定条件相悖，或者与公理
等相悖，或与我们做出的临时设定条件相悖，或与自身矛盾等方式显示出来。种类：我们使
用反证法的核心点在于归谬，一般在运用中有简单归谬法和穷举归谬法两种形式。模式：设
定需要证明的命题为“若X则Y”，X是题设，Y是我们得出的结论，X，Y亦均为数学判断，如此，反证法证明命题通常分三步。反设：首先设定与求证结果相悖的内容。反设—假设待证
结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去2。归谬：我们将反设作为条件，基于此采取系统的无任何错误的推理，暴露矛盾，这是反证法的关键
环节。结论：推导出反设不能够成立，从而说明原命题正确。
（二）反证法在中学数学中的应用领域
反证法是从证明反论题虚假来证明原命题真实的一种证题方法,是一种重要的间接证法3。反证法普遍应用于平面几何、代数、三角、立体和解析几何等数学的许多部分内容之中。反
证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律—矛盾律和排中律4。 1.命题是否定性的通常
是结论以“没有……”，“不是……”等方式表现出的命题，通常情况下我们难以直接证明，但是采用反证法则有较大的成功概率。例求证：在同一个三角形中不存在超过两个钝角的情况。已知条件是∠B，∠M，∠F是△BMF的三个内角，求证：在△BMF中，∠B，∠M，∠F只能有一个钝角。证明：假若∠B，∠M，∠F中有两个钝角，我们可以设∠B＞90o，∠M＞90o，
那么则会出现∠B+∠M+∠F＞180o，该结论与“三角形的内角之和为180o”的定理相悖，所以∠B和∠M都大于90o是不正确的。因此，在同一个三角形中只存在一个唯一的一个钝角。2.命题属限定式的也就是在结论中存有“至少、最多”等设定语的命题。例：已知方程
x2+4mx-4m+3=0, x2+(m-1)x+m2=0，x2+2mx-2m=0中有一个方程有实数根，求实数m的取值
范围。证明：假定这三个方程均无实数根，那么（4m）2-4(-4m+3) ＜0 (m-1)2-4m2＜0
4m2+8m＜0 3.命题属无穷性的也就是有关存在“无限”结论的的命題。例：求证素数的数量是没有极限的多个。证明：假定素数存在的数量是m个：F1、F2……，我们取整
M=F1·F2……FM+1，可以看出所列的数中不存在能够整除M的情况。所以，或者M为素数
（明显的可以观察到M不在F1、F2……FM中），或者说M存在除这m个素数范畴之外的素
数 s，如此一来，这些均与素数存在m个的设定相悖，所以素数是有无穷多的、无限的。 4.
属于存在性命题例设x,y∈(0,1)，求证：对于m，n∈R，必存在能够满足这个条件的x,y，使∣xy-mx-ny∣≥成立。证明:假定对于所有的x,y∈(0,1),使∣xy-mx-ny∣≥永远成立，令x=0,y=1,
则∣n∣＜，令x=1,y=0，得出∣m∣＜，令x=y=1，得∣1-m-n∣＜,但∣1-m-n∣≥1-∣m∣-
∣n∣＞1--=是相矛盾的，因此证明结论是正确的。
（三）反证法的使用需要关注的事项
1.必须要正确地否定结论是用反证法最重要的第一个需要注意的问题就是必须能够正确
地否定结论。例如“三角形的直角内角必定是唯一的”。“唯一一个”的含义是：只有一个，或
者一个也没有；这个命题的反命题是“存在两个直角”、“内角全部是直角”，也就是“直角最少
也有两个”。 2.反证法的推理特点必须要明确反证法的核心就是通过导出矛盾从而对结论进
行否定，在推导的过程中我们无法判定矛盾出现的时间和矛盾的种类，并且也没有对反证法
划定一个标准，有时会出现难以判定的情况，通常情况下我们需要在命题的所涉及到的范畴
内进行思考（例如平面几何问题一般均涉及到有关公理等方面），这是反证法自身存在的典
型特征。 3.洞悉导出矛盾的种类利用反证法推理导出的矛盾种类繁多，通过推理，我们导出
的推理结论有可能与题设或题设中的一部分相悖，也有可能与已知的真命题，即定义、公理
相悖，有时候与已知的定理性质相矛盾，还有一种情况就是与临时假设相矛盾，或者我们使
用反证法推导出两个相互矛盾的结果等等。
三、结语
在数学教学中，引导学生学会使用反证法能够培养学生的逻辑性思维能力，并激发学生
的创造性思维能力，对于提升学生的数学解题能力大有裨益，有利于学生的发展。
参考文献
[1]赵雄辉.证明的方法[M].湖南:湖南人民出版社.2001:9.
[2]高珑珑.反证法例说[J].中学数学月刊.1997(4):33-35.
[3]龙朝阳.反证法的理论基础与适用范围[J].安顺师专学报.1999.
[4]颜长安.反证法初探.[J].数学通讯.2001(13):22-24.
居莉琴（1968-），女，甘肃成县，学历，本科，成县教育局干部，职称，中学一级教师。
浅谈反证法
浅谈反证法 聂震 1310300235 摘要：反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。本文主要从什么是反证法、反证法的依据、为什么使用反证法、反证法解题步骤、适用题型及举例、如何做出正确反设六个方面浅谈反证法。 关键词：反证法归谬法矛盾假设 引言：有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。 反证法是一种应用广泛的数学证明方法，它的应用与发展历史悠久，早在古希腊，数学家就应用它证明了许多重要的数学命题，欧几里德的《几何原本》已经开始运用反证法。牛顿曾说过，反证法是“数学家最精当的武器之一”，它在许多方面都有着不可替代的作用。在现代数学中，反证法已经成为最常用最有效的解决问题的方法之一。 一．定义： 反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。 二．反证法的依据： 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。 在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是
浅谈数学教学中的反证法
浅谈数学教学中的反证法 摘要】在中学数学教学中，引导学生正确运用反证法是数学教师课堂教学实践 的重要任务，本文着重探讨反证法的应用方法，以期对我们的数学教学实践有所 帮助。 关键词：反证法，思维流程，教学实践 一、反证法是一种重要的数学证明方法 所谓证明，就是用已知的数学事实或其真实性显而易见的数学公理去解释、说明、断定 要证命题的真实性1。因此，引导学生学会利用反证法证明数学命题是一项重要的教学内容。 二、反证法在数学中的应用 （一）反证法的特点及应用 反证法对数学命题的证明方法着重于采取逆向思维，由题设通过推理最终否定结论。我 们假设原命題为a→b ，是推导而出的结果，c通常为条件、公理以及定理等，也可以使临时 假设的条件，我们可表示为→（c∧）a→b，逻辑依据：“矛盾律”和“排中律”是反证法的最核心最根本的逻辑依据。反证法的逻辑思维流程是：假若“结论不能够得以成立”，那么结论已 不成立就会出现人所共知的问题，这个问题主要是通过与已知的设定条件相悖，或者与公理 等相悖，或与我们做出的临时设定条件相悖，或与自身矛盾等方式显示出来。种类：我们使 用反证法的核心点在于归谬，一般在运用中有简单归谬法和穷举归谬法两种形式。模式：设 定需要证明的命题为“若X则Y”，X是题设，Y是我们得出的结论，X，Y亦均为数学判断，如此，反证法证明命题通常分三步。反设：首先设定与求证结果相悖的内容。反设—假设待证 结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去2。归谬：我们将反设作为条件，基于此采取系统的无任何错误的推理，暴露矛盾，这是反证法的关键 环节。结论：推导出反设不能够成立，从而说明原命题正确。 （二）反证法在中学数学中的应用领域 反证法是从证明反论题虚假来证明原命题真实的一种证题方法,是一种重要的间接证法3。反证法普遍应用于平面几何、代数、三角、立体和解析几何等数学的许多部分内容之中。反 证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律—矛盾律和排中律4。 1.命题是否定性的通常 是结论以“没有……”，“不是……”等方式表现出的命题，通常情况下我们难以直接证明，但是采用反证法则有较大的成功概率。例求证：在同一个三角形中不存在超过两个钝角的情况。已知条件是∠B，∠M，∠F是△BMF的三个内角，求证：在△BMF中，∠B，∠M，∠F只能有一个钝角。证明：假若∠B，∠M，∠F中有两个钝角，我们可以设∠B＞90o，∠M＞90o， 那么则会出现∠B+∠M+∠F＞180o，该结论与“三角形的内角之和为180o”的定理相悖，所以∠B和∠M都大于90o是不正确的。因此，在同一个三角形中只存在一个唯一的一个钝角。2.命题属限定式的也就是在结论中存有“至少、最多”等设定语的命题。例：已知方程 x2+4mx-4m+3=0, x2+(m-1)x+m2=0，x2+2mx-2m=0中有一个方程有实数根，求实数m的取值 范围。证明：假定这三个方程均无实数根，那么（4m）2-4(-4m+3) ＜0 (m-1)2-4m2＜0 4m2+8m＜0 3.命题属无穷性的也就是有关存在“无限”结论的的命題。例：求证素数的数量是没有极限的多个。证明：假定素数存在的数量是m个：F1、F2……，我们取整 M=F1·F2……FM+1，可以看出所列的数中不存在能够整除M的情况。所以，或者M为素数 （明显的可以观察到M不在F1、F2……FM中），或者说M存在除这m个素数范畴之外的素 数 s，如此一来，这些均与素数存在m个的设定相悖，所以素数是有无穷多的、无限的。 4. 属于存在性命题例设x,y∈(0,1)，求证：对于m，n∈R，必存在能够满足这个条件的x,y，使∣xy-mx-ny∣≥成立。证明:假定对于所有的x,y∈(0,1),使∣xy-mx-ny∣≥永远成立，令x=0,y=1,
浅谈反证法的教学
一、反证法的概念： 反证法作为一种论证方式，是数学上的一种常用方法。反证法是先对命题进行假设，在原来的命题题目的条件下，根据题目的要求，假设命题结论不成立。然后对于推理出的结果，进行分析是否存在矛盾。存在矛盾则能得出结论的假设不成立，最终可以证明原命题. 二、反证法的思维过程： “否定→推理→否定”，是对反证法的简单概括。对于结论先开始否定，接着经过精确的推理得出逻辑矛盾，最终形成一个新的否定。像法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质做过概括那样：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”. 否定结论→推导出矛盾→结论成立，是其中的三个主要步骤. 在审视好条件与结论后实施的三步走的策略： 第一步，反设：做出与求证结论相反的假设; 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾; 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立. 只有用“反设”进行推理，从而证明问题时，才能称为反证法。在反证法的证题过程中。只要驳倒一种情况就能证明命题的方法，属于反证法的一种，叫作“归谬法”.如果存在多种情况，需要一一驳倒，最终才能证明结论的方法，属于反证法的另一种，称为“穷举法”. 反证法是一种常用的证明方法.在证明解决中很多数学题问题的过程中，它给我们的解题指明了一个方向，让一些解题思路遇阻或遇到比较麻烦的问题时，另辟蹊径，寻求一个简单的解决方法.排中律和矛盾律属于反证法的逻辑依据.在数学教学中，反证法的使用，有助于培养学生思维严密性。并且能够培养学生的反向思维，发散思维. 三、反证法的逻辑原理证明用符号如下 五、反证法在教学中的作用 （一）培养学生逻辑思维的严密性 在学生平时解题过程中，往往对于题目的信息了解得不够全面。经常有以偏概全，顧此失彼，解题思路不清晰的问题时常出现。可能前面刚记住的数据下一秒就记错了，就像做证明题，对于题目的条件关系弄不清楚，不能将条件有条理的记录出来。对于题中的知识点不清楚，记得错乱。这主要表现出学生思维不缜密，老师可以用反证法来培养提高学
高中数学反证法
反证法解题 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 Ⅰ、再现性题组： 1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。 A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根 2. 已知a<0,－1
反证法
反证法 —《数学文化》的读书报告 李扬 电气11-2班，2011302460 摘要：本文主要介绍了反证法的概念，一般步骤和应用。并且简单介绍了在运用反证法时应该注意的问题及本人在简单研究反证法后对其的一些感想等等。 反证法：反证法矛盾假设证明 引言 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!” 实际上，王戎正是巧妙的运用的反证法，从而轻而易举的得出了正确的结果。这就是反证法的威力了，可以不通过实际尝试就能得出正确的结果。 一. 对反证法的了解和总结 反证法属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、原理或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 实际上，在中国古代其实早就有人使用反证法了，如（1）墨子的“归谬法”[1] 。例如:“学之益也,说在诽者。”通过证明“学习无益”是假,而得到“学习有益”的命题是真。这是一个非常有意思的反证法的特例。（2）刘徽的“证伪法”[2]。刘徽他并没有使用过反证法,他仅仅只是在使用归谬法,只是在推翻一些假命题,即在证伪。刘徽证明《九章算术》里面的某些公
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析 反证法是一种基本的数学证明方法，在初中数学解题中也被广泛应用。它是一种通过 假设引出矛盾来证明某个命题的方法，通常用于证明一些不能直接得到结论的命题。 一、基本思想 反证法的基本思想是：如果要证明一个命题P成立，可以假设它不成立，然后推出一 个矛盾的结果，从而证明原命题成立。这样的证明方式可以帮助我们避免直接证明带来的 困难，使证明过程更为简单。 二、实例分析 1. 证明“根号3是无理数” 假设根号3是有理数，则可以写成根号3=a/b（a、b互质），其中a、b都是整数。平方两边得3=a^2/b^2，从而得到a^2=3b^2。这说明a的平方是3的倍数，因此a也是3的 倍数，即a=3c（c∈Z）。将其代入a^2=3b^2中得到9c^2=3b^2，即3c^2=b^2，由此可知b 也是3的倍数。但是a、b是互质的，矛盾！因此假设不成立，根号3是无理数。 2. 证明“在一个无限的等差数列中，任意两个正整数的差都不能是1” 假设该等差数列中存在正整数a、b，使得a-b=1。令等差数列的第一项为c，公差为d，则有a=c+kd，b=c+(k-1)d，其中k是正整数。带入a-b=1得到d=1，因此等差数列的公差 为1。若d=1，则对于任意正整数，其后面必然至少有一个正整数与之差为1，矛盾！因此假设不成立，证明了该命题。 三、注意事项 反证法虽然在初中数学中被广泛应用，但它也存在一些需要注意的细节问题。 1. 假设的前提需要清晰明确。在运用反证法时，我们需要明确假设的前提是什么， 以免出现“抓住了一根草而错过了一个森林”的情况。 2. 矛盾的产生必须严密。在假设的基础上，我们需要通过一些推理或运算，得到一 个相互矛盾的结果，才能证明该命题。 3. 反证法不一定适用于所有问题。有些问题需要直接证明，反证法并不一定能够得 出正确的结果。 4. 其他证明方法的选择需要根据问题的实际情况来决定。在做题时需要灵活运用不 同的证明方法，如归纳法、直接证明等。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析 1. 引言 1.1 反证法在初中数学解题中的重要性 反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。 在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。 反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。 1.2 反证法的基本原理
反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待 证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。这种方法在数学证明中 被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。 反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。假设我们要证 明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。 反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存 在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。在数学解题中，反证 法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。了 解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。 2. 正文 2.1 反证法在代数方程解题中的运用 在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。通过假 设所给方程的解不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明假设是错 误的，进而推出所给方程的解。下面我们通过一个具体例子来说明反 证法在代数方程解题中的运用。 假设我们要解如下代数方程：
谈“反证思想”在培养初中生数学思辨能力中的应用
谈“反证思想”在培养初中生数学思辨能 力中的应用 对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，“反证法”就是一种间接证法。在初中数学教学中，可以借用“反证法”培养学生的发散思维，拓宽学生思维的广度。还可将“反证法”拓展开去，用“反证思想”分析和解决问题，使之与正向思维共同作用，以提高学生的数学思辨能力。 一、“反证法”在初中教材中的解读 “反证法”在初中数学教材中，虽然并不是作为基本技能要求学生掌握，但处处有所渗透，并逐步提高要求。如苏科版七年级下册第7章“平面图形的认识（二）”中，课本编写“读一读” ――怎样证实“两直线平行，同位角相等”，运用了反证法。这里已经逐步揭示反证法的基本思路：“反设→归谬→存真”。 八年级下册第九章中，提出了一个用“反证法”解决的简单问题，并对反证法给出了明确的定义：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立。让学生了解了反证法的基本步骤、体会反证法在解决问题中的作用。
由此看来，考虑到学生的年龄特征，对于“反证法”，在初中教材中的安排是谨慎而又循序渐进的，它是对提高学生逻辑推理能力、数学思辨能力的一个补充，在思维方式上给学生以新的思路和启发。 二、“反证思想”渗透教学，培养学生数学思辨能力 数学思辨能力，即数学思考辨析问题的能力，包括分析、推理、判断、解决问题。良好的思辨能力体现在对问题的分析和结论进行层次分明、条理清晰的解释和论证，具有较强的逻辑性。而“反证思想”是“反证法”中蕴含的逆向思维方式在问题解决中的应用。借用“反证思想”还能帮助学生能够在千变万化的数学问题，突破传统单一的解题思路，创新解决新方法，进一步深化对知识本质的理解。 （一）从简单问题入手，使学生了解“反证法”的基本思路和一般步骤 初中数学知识中包含很多定理、定义等，一些定理或者初始命题难以发现直接证明的论据。从简单问题入手，使“反证法”为学生提供新的解题思路。让学生了解它的基本思路和一般步骤，从而能触类旁通、灵活地解决问题。 例1：求证：在一个三角形中最多有一个钝角。 第一步，反设――假设问题的反面成立。假设一个三角形中有两个（或三个）钝角。 第二步，归谬――从假设出发得出与已知条件、定义、
浅谈反证法的原理及应用
摘要 反证法是一种重要的证明方法,它不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用,而且对人的思维能力的培养和提高也有极其重要的作用.如果能恰当的使用反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的目的.反证法的逻辑思维强,数学语言准确性高,对培养学生严谨的逻辑思维能力,阅读能力,树立正确的数学观具有重要的意义. 本论文主要研究的内容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作用;反证法具有广泛应用的科学根据;并且着重介绍了反证法的应用,包括反证法在初等数学和高等数学的应用,并提出应用反证法应注意的问题;针对各种问题提出一些具体的教学建议,从而为改进反证法教学提供参考. 关键词:反证法,否定,矛盾,应用
Principle and application of the reduction to absurdity ABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great significance to establish a correct conception of mathematics. The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe application of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity. Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application
反证法在初中数学解题中的应用
反证法在初中数学解题中的应用 雍玉华 【摘要】在教育不断发展的背景下，以往的教学方式已难以满足现阶段中学教学的需求。中学教师需要不断提高自身的专业技能，在解题教学中引入反证法，开拓学生的思维，使学生养成良好的解题习惯，形成正确的解题思路，本文主要围绕反证法在初中数学解题中的应用展开讨论。 【【关键词】：^p 】反证法;初中数学;解题应用 数学是初中学科的重要组成部分，对学生思维能力的培养起着关键作用。在此背景下，中学教师需要转变传统的教学理念，在解题教学中引入反证法，以此创新学生的思维模式，使学生形成良好的解题思路。 1 反证法的定义及理论依据 1.1 反证法的定义 反证法即在将原命题否定后，找出 题目中问题的立足点，再反过来证实原命题。具体求证一个命题时，可以先假设两个相对的命题，如果已经有条件证明两个命题是有矛盾的，或者得出的结果矛盾，那么就可以证实假设不成立，也就是说原命题成立[1]。这种证明命题的方式就叫做反证法。 1.2 反证法的理论依据 反证法的理论依据主要由排中律和矛盾律这两大内容组成，两者在定义上有所差异。矛盾律主要指的是：证明命题时，如果有两个完全对立的结论，那么其中有一个结论是不成立的。排中律指的是：针对一个命题，其要么是真命题，要么是假命题，不会有第三种可能出现。排中律要求解题者在思维上必须是清晰和明确的，解题者要能最大限度地将排中律和矛盾律贯彻到数学应用中。此外，排中律还有一个独特的特征，解题者在命题的证明过程中，不仅要有独立的思维，还要确定自己的立场，以此更好地证实命题。
矛盾律和排中律既有联系又存在一定差异。联系：解题者在证明命题时，一定不能出现逻辑上的矛盾，如果与排中律背道而驰的话，那么矛盾律也无法应用在解题中。差异：矛盾律表示，若两个结论处于对立状态，那么其中一个不成立;排中律表示，若两个结论处于对立状态，那么其中有一个结论是成立的。 2 反证法的解题步骤 将反证法引入命题解题，主要由反设、归谬以及结论三部分组成，它们在解题过程中是一个整体，且互相联系、缺一不可。首先，反设。采用反证法进行解题时，反设是最基础的内容，也是最关键的一个环节。反设的正确性直接影响解题过程和结果。在此过程中，解题者一定要充分了解 题目给出的已知条件，借用所有条件对问题进行假设，最后再设出与求证内容相反的假设，以此进行下一步的求证。其次，归谬。归谬是运用反证法解题最关键的内容及重点所在。归谬主要指引入反设中的问题，使反设内容有一个明确的推理方向。最后，结论。结论主要是将反证法引入，通过这种方式得到最终结果。将反谬推理出的结果与反设假设的内容对比，若其产生矛盾，那么假设内容就会被推翻，这样来证明原来命题的结论，此时在得出结论后，整个命题已完成求证[2]。 在命题证实的过程中，矛盾是推动整个试题发展的重要因素之一。通常情况下，矛盾可以分为自相矛盾、公理矛盾等。在解答试题的过程中，利用反证法能够跳过多种障碍，将正确答案证实出来，这是反证法的优势所在。 3 利用反证法解题时需要注意的问题 3.1 正确否定结论 正确否定结论主要以反证法为根本出发点。如“一个三角形的3个内角中，最多有1个钝角。”“最多有1个”表示“可能1个都没有”或者“只有1个”。在此背景下，反设可以设成“2个内角为钝角”“3个内角都为钝角”。 基于以上提出的例子，解题者在证题时需要抓住题型结构，巧妙地将反证法引入，通过否定假设内容来证实原有命题成立，有了对立命题也就能更好地得出结论，高效解题。反证法可以锻炼学生的思维能力，丰富其数学知识，提高教师的教学质量。 3.2 明确推理特点
反证法的应用
反证法的应用 反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立， 然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。反证法 的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证 法的应用。 一、数学中的反证法 在数学中，反证法是一种常用的证明方法。例如，我们要证明一个命 题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用 反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 二、哲学中的反证法 在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。例如，我们要证明一个 命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。例如，要证明“人类存在自由意志”，可 以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论， 从而证明人类存在自由意志。
三、科学中的反证法 在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。 四、反证法的优缺点 反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。 综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
小学数学：反证法
反证法 1.反证法的概念。 反证法是间接证明的一种基本方法，当我们需要证明一个判断为真时，先假设这个判断为假，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原判断应为真，这样的证明方法叫做反证法。反证法是演绎推理的一种，依据的是排中律，就是说两个互相矛盾的判断不可能同假，其中必有一真。 2.反证法的重要意义。 如前所述，课程标准提出了培养学生推理能力和逻辑思维能力的要求。反证法是从另一个角度利用推理进行证明的思想方法，无疑也是培养学生推理能力的重要的思想方法。因此，它的重要性也是不言而喻的。另外，反证法虽然有一定难度，但是它对于培养学生思维的灵活性和解决问题的能力也有益处。 3.反证法的具体应用。 反证法作为一种思想方法，不仅在数学中有很多应用，在日常生活和其他学科中也有应用。数学史上有比较经典的利用反证法证明的问题，如证明是无理数，证明素数有无限多个等。在小学数学中，反证法的应用不多，在抽屉原理等问题中有一些应用。 4.反证法的教学。 反证法在小学数学教学中应用较少，教师在教学时应注意以下几点。 第一，掌握它的基本原理和步骤是必要的。反证法采用的论证方式是演绎推理中的假言推理形式，依据的是排中律。它的证明步骤大致如下：(1)假设待证的结论为假、反论题为真；(2)从反论题出发，经过正确的逻辑推理，得出与已知条件或者定义、定理、公理、事实等矛盾；(3)根据排中律得出原结论成立。 第二，对反证法涉及的一些概念和词语应正确理解。在描述一对概念间的关系时，应注意怎样描述才是矛盾的。如是与不是、等于与不等于、大于与不大于、至少有一个与一个也没有等是相互矛盾的关系。有时候要注意容易出现错误的地方，如大于5与小于5、正数与负数等不是相互矛盾的关系，是一种对立关系。也就是说，两个矛盾的种概念外延之和等于属概念的外延，两个对立的概念的外延之和小于属概念的外延。大于与小于中间有等于、正数和负数中间有0。大于5与不大于（小于等于）5、正数与非正数（0和负数）是矛盾关系。 第三，对于学生来说，只需初步了解其方法。作为教师而言，要掌握反证法的基本原理、步骤和推理方法，以便在教学中把握反证法的科学性。学生通过简单的案例和运用反证法通俗易懂的推理过程，能够了解反证法的基本思想和数学方法的丰富性，培养思维的灵活性。 案例1: 把43人分成7个小组，总有一个小组至少有7人。请说明理由。
数学反证法
数学反证法 本文从数学的发展史来阐述培养学生逆向思维的重要性;同时就如何培养学生逆向思维的能力,着重从三个方面来阐述。 [关键词] 逆向思维能力 我们知道，欧氏平面几何是建立在五条公设基础上的，而它的定理是从这五条公理推出来的。自欧几里德的《几何原本》问世以来，许多数学家认为第五公设（平行公理--通过不在已知直线上的一点，只可引一条直线与此直线平行）是多余的，想从前面四条公设出发来证明第五条公设，在两千多年的时间里，数学家们费尽心血，但都一无所获。直到十八世纪，天才的俄罗斯数学家罗巴切夫斯基从前辈数学家和他自己的失败中，看到了把欧氏第五公设作为定理来证明也许是不可能的。这样，就促使他从欧氏第五公设的反面去思考，他大胆地引进了与欧氏第五公设完全相反的命题：过直线外一点至少可以作两条直线与原直线平行，试图通过证明此命题不成立，来达到间接地证明欧氏第五公设的目的，但是，他从欧氏的其它公设出发进行推理始终没有发现矛盾。罗巴切夫斯基敏感地觉察到了他已经发现了新的几何理论，他沿着这条?quot;传统"的思维方式截然相反的路子走了下去，终于创建了崭新的非欧几何学--罗氏几何。 非欧几何的诞生是逆向思维的结果，大量的事实说明从反面来思考问题对推动数学的发展起到的重要作用。当代美国数学家和教育学家波利亚在《怎样解题》中指出?quot;归谬法和间接证法都是发明创造的有效工具。"因此在数学教学中注意培养学生的逆向思维能力，有意识地渗透从反面出发思考问题，对发展学生的智力，培养学生的能力起到重要的作用。 一、加强反证法的教学 我们知道，毕达哥拉斯学派自以为整数与整数之比已穷尽世界之数，但希腊数学家海帕斯关于无理数的发现，就是反证法为数学所建树的不可磨灭的功勋，使人们对数的认识从有理数域扩大到了实数域。 反证法的特点是先提出与待证的结论相反的假设，然后推导与公理、定义、已证的定理或题设相矛盾的结果，这样，就证明了与待证的结论相反的假设不成立，从而肯定了原来求证的结论成立。因此它是逆向思维的重要方法。 许多教师在教学中除在立体几何及不等式中谈及反证法之外，在其它章节的教学中很少涉及反证法，导致学生思考问题时很少想到应用反证法解题。因此在教学中，教师应有意识地编制一些应用反证法思想的问题，把它渗透到各个章节中去，对培养学生的逆向思维很有必要。 二、注重分析法的应用 用综合法证题，其基本思路是由题设出发，根据已知的定理与事实进行逻辑推理，最后推导出要证的结论。但是综合法从题设条件出发，可用的定理较多，推出的结论也往往较多，要从众多的结论中找到我们所需的结论，有时确实很有较大的困难，这就启发人们，能否从综合法的反面来考虑，从要证的结论出发，往回追溯题论条件。由于在一般条件下，每个结论所需的前题总是为数不多的几个，比较容易逐步回溯找到通向题设条件的途径，再反过来依此途径便可以提供一个由条件到结论的相应证明。这就是通过逆向思维原则产生?quot;分析法"的精神实质。"分析法"在解决一些比较复杂的综合问题以及在证明中都有发挥过重大的作用。最重要的事实是，古希腊数学之精华，欧氏几何的基础--《几何原本》就是古希腊数学家欧几里德在宏观范畴内拓广了的分析法而产生的。他把庞杂的在欧几里德以前已有了的一些定理和命题作了系统的整理，使它们按照逻辑关系的先后顺序统一建立在为数不多的几个公理之上。而这项工作，在某种意义上也是"逆向思维"的产物，这是由于欧
反证法的定义 数学
反证法的定义数学 反证法是一种由数学家威廉爱德华卡尔的卡尔定理发展而来的 推理方法，它用于证明某种定理的真实性。反证法是一种充满智慧和创造力的推理方式，它旨在通过辩论，比较和证明某一观点的正确性，以便于证明目标定理的真实性。 反证法的定义是：反证法是用来证明某一特定观点的正确性的一种推理方式，它通过对该观点的另一种情况进行论证，从而得出结论。反证是一种负面证明，它经常通过假设要证明的事实是错误的，以及假设与已经证实的事实相抵触，从而证明该事实是正确的。 反证法在数学中有着广泛的应用，主要用于证明某一主张是正确的，而不是推测一个假设来证明它是正确的。例如，假设x是一个正整数，我们可以利用反证法来证明x的立方数是奇数。首先，我们假设x的立方数不是奇数，即x的立方数是偶数。因此，结论就是x必须是奇数。 反证法也可以用于解决一些平面几何问题，以证明某些图形是否满足某一条件。例如，假设有一个几何图形，我们可以利用反证法来证明它是否满足直角三角形的条件。我们首先假设该几何图形不满足直角三角形的条件，即它的三角形的三个角不全为直角，而是有些角是钝角。如果一个三角形有两个钝角，则这个三角形的三条边的长度都不相等，由此可以得出结论，即原来假设的几何图形不满足直角三角形的条件是错误的，因此原来假设的几何图形确实满足直角三角形的条件。
除了上述应用，反证法也被广泛应用在其他领域，如政治经济学、法律学和数理统计学等，以及一些哲学论文中，用来证明论文或定理的正确性。由于反证法在数学中具有重要的意义，因此，在数学教学和学习过程中，需要重视反证法的理解和运用。 首先，数学教师应注意在教授定理的同时，详细介绍反证法的基本概念，培养学生对反证法的正确认识。其次，教师应提供大量的实际例子，以说明反证法的运用，让学生更加熟练的掌握反证法的用法，同时提高学生对反证法的敏感性。最后，在数学课堂上，教师应提供反证法的几何实验，一方面可以让学生进行反证法的证明，另一方面可以使学生在熟悉实际情况的基础上，熟悉抽象的概念，将概念转化为证明定理的能力培养灵活起来。 总之，反证法是一种充满智慧和创造力的推理方式，可以有效的帮助证明某一特定观点的正确性，是一种在数学中重要的推理方法。数学教师通过多种方式培养学生对反证法的理解，实际操作能力更加娴熟，从而增强学生对定理的证明能力。
高三数学反证法说课稿
高三数学反证法说课稿 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 高三数学反证法说课稿 反证法说课稿本人说课的内容是《反证法》，现在我就教材、教法与学法、采用教具以及教学程序四个方面进行解析。恳请各位老师指正。 一、说教材 1、教材的内容、地位及编排依据 本节主要研究反证法的概念以及反证法证明问题的一般步骤。在上一节中，我们已经学习了直接证明，但是对于有的题目，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；或者如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。所以，教材在直接证明之后安排反证法的内容是很有必要的。
2、教学目标 （1）知识目标：理解反证法的概念，掌握反证法的证题步骤； （2）能力目标：培养学生类比推理的能力以及自主探究数学问题的能力； （3）德育目标：培养他们勇于探索和创新精神以及优化他们的个性品质； （4）情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流。 3、教学的重点、难点、关键 [重点]从生活实例抽象出反证法的概念、步骤； [难点]证明方法的选择； [关键]在反证法中如何在正确的推理下得出矛盾。 二、说教法与学法 1、教法 在教学过程中采用设问、引导、启发、发现等教学方法，灵活运用多媒体手段，以学生为主体，创设和谐、愉悦互动的环境。让学生在轻松愉悦的环境中学到数学知识。
2、学法 学生通过两个生活中的例子得到启发：证明问题还可以从结论的反面出发，得出矛盾后，就说明原结论的正确性。并且内比其中的一个例子，得到反证法证明问题的一般步骤。然后通过老师例题的讲解，进一步体会到反证法的关键以及怎样得到矛盾。最后通过练习两个题目，更进一步体会到反证法的作用。 三、采用教具 多媒体 四、说教学程序 1、创设情景，引入概念 故事一：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。” [设计意图]爱因斯坦说：“兴趣是最
初中数学《反证法》教学设计
初中数学《反证法》教学设计 “反证法”是九年级上册第二十四章圆和圆的位置关系中的一部分内容。它是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要。 本节课主要目标是了解反证法的基本原 理，掌握反证法的一般步骤，会用反证法证明数学中的一些简单命题。 一、首先从课程分析和学情分析着手。 综合法和分析法， 是直接证明中最基本的两种证明方法，是解决数学问题时常用的思维方式。 反证法是间接证明的一种基本方法，但反证法的应用需要逆向思维，是学习和掌握中的一个难点，所以本节课的重点是使学生在动脑思考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法的感觉。反证法的本质就是通过证明逆否命题的真来肯定原命题。 二、让学生自己去发现问题，解决问题。 先巧用趣味故事引入， 并以视频的形式呈现，激发了学生的学习兴趣，并从故事中体会反证法的内涵。学生共同探讨总结出反证法的含义： 反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，后从这个假 设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法，叫做反证法。 附：(南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。”是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。这
浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法 摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。反证法亦称“逆证”。其不仅是一种论证方法，对提升学生创新性思维能力与概念思维能力具有积极作用，从某种角度可以说，反证法还是一种思维方式，其还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍逆证在中学数学中的实际运用并论述了逆证应用的具体需要注意的一些问题。 关键词：反证法；中学数学；应用； On the Proof by Contradiction in Middle School Mathematics Abstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction. Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;