浅谈反证法的逻辑依据及其运用

浅谈反证法的逻辑依据及其运用

王纪兵

摘要：反证法是数学中常见的一种证明方法，它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。若命题的结论的反面只有一种情况，只要推翻这一种情况就能肯定结论，这种反证法叫归谬法；若命题的结论的反面不只一种情况，则需要将反面情况一一推翻才能肯定结论，这种反证法叫穷举法，那么反证法的理论根据是什么？反证法是否就是证明原命题的逆否命题？怎样应用反证法？怎样的命题适合用反证法证明？本文拟就这些问题作点初步探讨。

关键词：反证法；逆否命题；逻辑依据

1引言

关于反证法，牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一。”这就充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。反证法的核心是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了反证法的关键所在。出现矛盾的方式通常有：与公理定义矛盾；与已知条件或临时假设矛盾；与显然的事实矛盾；与显然的事实矛盾；自相矛盾等等；

法国数学家J·阿达玛曾说过：“这种方法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这段话可以理解为：假设命题的结论不正确，并运用此判断，在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾，从而知该相反判断的错误性，进而知道判断本身的正确性。

由此可知，反证法的理论依据可概括成形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的。而所谓“排中律”则是说：任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。也就是说结论“p真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。

由此可见，证明原命题的逆否命题只是反证法的一种具体形式。

2 反证法与证逆否命题是不同的

从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。

如上所述，用反证法证明命题“若p则q”，是把“p且非q”作为假设，利用正确的推理推出矛盾，得出“p且非q”为假，从而得出“若p则q”为真；而证明命题“若p则q”的逆否命题“若非q则非p ”，是将非q作为条件，用正确的推理推出非p成立，根据“若p则q”和“若非q则非p ”的等价性得出“若p则q”成立。比较可知，不论从思路方面还是从方法方面来讲，反证法与证逆否命题是有着本质的不同的。因而“反证法就是证逆否命题”这一说法的不妥之处便是非常清楚的了。

3 运用反证法证题时常见的矛盾形式

用反证法证明命题“若p则q”时，可能出现以下三种情况：

⑴导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；

⑵导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；

⑶导出一个恒假命题。

例⒈如果a是大于1的整数，而所有不大于1

a-的素数都不能整除a，则a是素数。证明：假设a是合数，记(,,,1)

=∈>，由于a不能被大于1且不大于1

a bc

b

c z b c

a-的素数整除，所以b＞a,c＞a,从而bc a

=矛盾，故a是素数。

>,这与假设a bc

4 运用反证法应注意的问题

4.1 运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面

成立。在这一步骤中，必须注意正确的“否定结论”，这是正确运用反证法的前提，否则，如果错误地“否定结论”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。

在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么，当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。

例如：1）结论：至少有一个S是P。

错误假设：至少有两个或两个以上S是P,

正确假设：没有一个S是P。

例如： 2）结论：最多有一个S是P。

错误假设：最少有一个S是P。

正确假设：至少有两个S是P。

例如： 3）结论：全部S都是P。

错误假设：全部的S都不是P。

正确假设：存在一个S不是P。

现将一些常用词的否定形式列表如下：

4.2 运用反证法证明命题的第二步是：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾。在

这一步骤中，整个推理过程必须准确无误，这样导致的矛盾才是有效的。对于一个用反证法证明的命题，能够推出什么样的矛盾结果，事先一般很难估计到，也没有一个机械的标准，有时甚至是捉摸不定的。一般总是在命题的相关领域里考虑。例如，立体几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等。

4.3 对于“若p则q”型的数学命题，一般都能用反证法证明，但难易程度会有所不同。因此，尽管反证法是一种重要的证明命题的方法，也不能把所有的命题都用反证法来证明。在证明命题时，要首先使用直接证法，若有困难时再使用反证法。

5 适于应用反证法证明的命题

5.1基本命题

即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如平面几何、立体几何等，在按照公理化方法来建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜于用反证法来证明。

例2：直线PO与平面α相交于O，过点O在平面α内引直线OA、OB、OC，∠

=

∠。

POA∠

=

POC

POB

求证：α

PO。

⊥

证明：假设PO不垂直平面α。

作α

PH并与平面α相交于H，此时H、O不重合，连结OH。

⊥

由P作OA

PF⊥于F，

PE⊥于E，OB

根据三垂线定理可知，OA

HF⊥。

HE⊥，OB

因为POB

POA∠

∠，PO是公共边，

=

所以POF

≅

∆

POE

Rt∆

Rt

所以OF

OE=

又OH OH =

所以OEH Rt OFH Rt ∆≅∆

所以EOH FOH ∠=∠

因此，OH 是AOB ∠的平分线。

同理可证，OH 是AOC ∠的平分线。

但是，OB 和OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同时是AOB ∠和AOC ∠的平分线，产生矛盾。

例3： 证明：素数有无穷多个。

证明：假设命题不真，则只有有限多个素数，由此可设所有的素数是

122.......n a a a =<<<

此时123......1n N a a a a =**+，,那么所有的()1,2,......i a i n =显然都不是N 的因

子，那么有两个可能：或者N 有另外的素数真因子，或者N 本身就是一个素数，但是显然有 (1,2,......)i N a i n >=，无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾

就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！

2．1 否定式命题

即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。

例4.证明：函数()sin cos f x x x =+不是周期函数。

证明：假设f(x)是周期函数，周期为(0)T T ≠，则，()()()f T x f x x z +=∈ 即sin()cos()sin cos ()T x T x x x x z +++=+∈

令0x =时，得sin cos 1T T += ① 再令x T =-时，得sin cos 1T T -+= ② a O P A B

C E F H

①＋②得，1

c o s 2T =， 112()3T k k z ππ=+∈ ③

①－②得，sin 0T = ，22()T k k z π=∈ ④

将④代入③中得， 2

1123k k =+ 故 2()k z ∈ 因为 123k ππ+是无理数，而 2k 是有理数相矛盾。

所以假设不成立，故园命题成立

5.3 限定式命题

即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。

例5．已知函数f(x)是单调函数，则方程f(x)=0 最多只有一个实数根。 证明：假设方程至少有两个根()1,212x x x x <，则有

()()1212()f x f x x x =<

这与函数单调的定义显然矛盾，故命题成立。

5.4 唯一性命题

即结果指定唯一的命题。

例6.求证：方程sin x x =的解是唯一的。

证明：显然，x=0是方程的一个解。以下用反证法证明方程的解是唯一的。 由已知结论，sin ,,x x x R ≤∈当且仅当x=0时等式成立。（1）

αβα≠β假设，为方程的两个根，且，则有

sin sin ,α=αβ=β，

两式相减得： sin sin 2cos sin 22α+β

α-β

α-β=

=α-β

co s sin 222α+β

α-β

α-β

=则

cos sin sin 2

222α+β

α-βα-βα-β≤≤而 102α-β

=由（）知： ，α=βα≠β 则有 ，这与假设相矛盾。

sin x x =所以方程 的解是唯一的，

6 结束语

反证法证明问题均是两面性的问题，即一个问题只有正反两个方面的结论，若否定了其中一个方面，就能肯定另一个方面。证明的方法不是直接地证明，而是首先假设问题的反面，然后根据假设进行推理、论证，从而得到与事实或条件不相符合的结论，从而证明原命题的正确性 ！本文在形成过程中，得到了任爱红老师的细心指导，在此表示衷心感谢！

参考文献:

[1] 全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）《数学》．

[2] 蔡上鹤：《高中数学新教材第一章教学问答（二）》，《中学数学教学参考》2000年第8期．

[3] 严镇军 陈吉范：《从反面考虑问题》，中国科学技术大学出版社．

[4] 邓传斌：《反证法漫谈》，《中学数学杂志》1996年第2期．

On the basis of reduction to absurdity of the logic and its use

Wang Ji Bing

Abstract: Mathematics is a reductio ad absurdum of a common method to prove it with the general methods of proof; reductio ad absurdum can be divided into the absurd reductio ad absurdum of two exhaustive and reduction to absurdity. If the proposition to

the conclusion that only a negative, as long as the overthrow of this kind of situation will certainly be able to conclusions, which called reductio ad absurdum Reduction to Absurdity; if the conclusions of the proposition is not a negative situation, you need to be the opposite case one by one in order to overthrow the Certainly the conclusion that this exhaustive method called reductio ad absurdum, reduction to absurdity of the theory is based on what? To prove whether the reduction to absurdity of the original proposition is not against the proposition? Application of how reduction to absurdity? What kind of reductio ad absurdum proposition suitable to prove? This article intended to address these problems on points discussed.

Key words:reduction to absurdity; against any proposition; based on the logic

浅谈反证法

浅谈反证法 聂震 1310300235 摘要：反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。本文主要从什么是反证法、反证法的依据、为什么使用反证法、反证法解题步骤、适用题型及举例、如何做出正确反设六个方面浅谈反证法。 关键词：反证法归谬法矛盾假设 引言：有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。 反证法是一种应用广泛的数学证明方法，它的应用与发展历史悠久，早在古希腊，数学家就应用它证明了许多重要的数学命题，欧几里德的《几何原本》已经开始运用反证法。牛顿曾说过，反证法是“数学家最精当的武器之一”，它在许多方面都有着不可替代的作用。在现代数学中，反证法已经成为最常用最有效的解决问题的方法之一。 一．定义： 反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。 二．反证法的依据： 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。 在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是

浅谈数学教学中的反证法

浅谈数学教学中的反证法 摘要】在中学数学教学中，引导学生正确运用反证法是数学教师课堂教学实践 的重要任务，本文着重探讨反证法的应用方法，以期对我们的数学教学实践有所 帮助。 关键词：反证法，思维流程，教学实践 一、反证法是一种重要的数学证明方法 所谓证明，就是用已知的数学事实或其真实性显而易见的数学公理去解释、说明、断定 要证命题的真实性1。因此，引导学生学会利用反证法证明数学命题是一项重要的教学内容。 二、反证法在数学中的应用 （一）反证法的特点及应用 反证法对数学命题的证明方法着重于采取逆向思维，由题设通过推理最终否定结论。我 们假设原命題为a→b ，是推导而出的结果，c通常为条件、公理以及定理等，也可以使临时 假设的条件，我们可表示为→（c∧）a→b，逻辑依据：“矛盾律”和“排中律”是反证法的最核心最根本的逻辑依据。反证法的逻辑思维流程是：假若“结论不能够得以成立”，那么结论已 不成立就会出现人所共知的问题，这个问题主要是通过与已知的设定条件相悖，或者与公理 等相悖，或与我们做出的临时设定条件相悖，或与自身矛盾等方式显示出来。种类：我们使 用反证法的核心点在于归谬，一般在运用中有简单归谬法和穷举归谬法两种形式。模式：设 定需要证明的命题为“若X则Y”，X是题设，Y是我们得出的结论，X，Y亦均为数学判断，如此，反证法证明命题通常分三步。反设：首先设定与求证结果相悖的内容。反设—假设待证 结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去2。归谬：我们将反设作为条件，基于此采取系统的无任何错误的推理，暴露矛盾，这是反证法的关键 环节。结论：推导出反设不能够成立，从而说明原命题正确。 （二）反证法在中学数学中的应用领域 反证法是从证明反论题虚假来证明原命题真实的一种证题方法,是一种重要的间接证法3。反证法普遍应用于平面几何、代数、三角、立体和解析几何等数学的许多部分内容之中。反 证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律—矛盾律和排中律4。 1.命题是否定性的通常 是结论以“没有……”，“不是……”等方式表现出的命题，通常情况下我们难以直接证明，但是采用反证法则有较大的成功概率。例求证：在同一个三角形中不存在超过两个钝角的情况。已知条件是∠B，∠M，∠F是△BMF的三个内角，求证：在△BMF中，∠B，∠M，∠F只能有一个钝角。证明：假若∠B，∠M，∠F中有两个钝角，我们可以设∠B＞90o，∠M＞90o， 那么则会出现∠B+∠M+∠F＞180o，该结论与“三角形的内角之和为180o”的定理相悖，所以∠B和∠M都大于90o是不正确的。因此，在同一个三角形中只存在一个唯一的一个钝角。2.命题属限定式的也就是在结论中存有“至少、最多”等设定语的命题。例：已知方程 x2+4mx-4m+3=0, x2+(m-1)x+m2=0，x2+2mx-2m=0中有一个方程有实数根，求实数m的取值 范围。证明：假定这三个方程均无实数根，那么（4m）2-4(-4m+3) ＜0 (m-1)2-4m2＜0 4m2+8m＜0 3.命题属无穷性的也就是有关存在“无限”结论的的命題。例：求证素数的数量是没有极限的多个。证明：假定素数存在的数量是m个：F1、F2……，我们取整 M=F1·F2……FM+1，可以看出所列的数中不存在能够整除M的情况。所以，或者M为素数 （明显的可以观察到M不在F1、F2……FM中），或者说M存在除这m个素数范畴之外的素 数 s，如此一来，这些均与素数存在m个的设定相悖，所以素数是有无穷多的、无限的。 4. 属于存在性命题例设x,y∈(0,1)，求证：对于m，n∈R，必存在能够满足这个条件的x,y，使∣xy-mx-ny∣≥成立。证明:假定对于所有的x,y∈(0,1),使∣xy-mx-ny∣≥永远成立，令x=0,y=1,

反证法的应用

反证法在数学解题中的应用 我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维克服思维定势的消极面，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。 一、反证法的逻辑基础 证明命题“ A B ”时如果用这种方法：假设 A∧B 为真，在 A且B 的条件下，合乎逻辑地推出一个矛盾的结果(不论是与A矛盾还是与其他已知正确的结论矛盾或自相矛盾)，从而B成立(即 A B 成立)，这种方法就是反证法。 二、反证法的解题步骤 第一步审题，弄清命题的前提和结论； 第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础； 第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾； 第四步肯定原命题的正确性。 三、什么情况下考虑应用反证法 1 待证命题的结论是唯一存在性命题 例1设方程 x=p sin x+a有实根(0＜p＜1，a是实数) ，求证实根唯一。 证明：假设方程存在两个不同实根x 1， x 2，则有 x 1=p sin x 1+a，x 2=p sin x 2+a x 1－x 2=p sin x 1－ sin x 2=2p cos x 1+x 22 sin x 1－x 22 由于 cos x 1+x 22│≤1 ，从而有│x 1－x 2│≤2p│ sin x 1－x 22│ 又 sin x 1－x 22 ≤ x 1－x 22 ，故 x 1－x 2 ≤p x 1－x 2 ，但 x 1≠x 2 ，于是p≥1，与0＜p＜1矛盾。所以方程若有实根，则根唯一。 2 采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。 例2已知A、B、C、D是空间的四点，ABGN CD是导向直线，求证AC和BD、AD和BC也都是异面直线。 分析：证AC和BD是异面直线，即证明AC和BD不在同一平面内，考虑反证法。 证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内，因此A、 B、C、D不是异面直线，这与已知条件矛盾。所以AC和BD是异面直线。 3 待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的，“至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。 例3设 p 1p 2=2(q 1+q 2) 求证方程x2+p1x+q1=ox2+p2x+q2=0 中至少有一个方程有实根。 证明：假设两方程都无实根，则 p 1 2－4q 1＜0，p22－4q2＜0，两式相加，有p21+p22＜

浅谈反证法及其逻辑原理

浅谈反证法及其逻辑原理 反证法是一种常用的逻辑推理方式，通常用于解决论点争辩中出现的冲突或推断中的内容矛盾，是问题求解、思维分析和决策制定的重要工具。它采用对比性的推理，通过对命题的反面或它的前提进行质疑，来证明主题的正确性。反证法的正确使用，有助于科学地分析矛盾，作出合理的推论。它在文艺理论、社会科学、伦理学、建筑设计、政治策略和决策制定等领域都具有重要的指导意义。 反证法的逻辑原理与演绎逻辑和归纳逻辑不同，它是一种双边推理，一边支持某一论点，另一边反驳这种论点，最终由此得出推理结论。它有三种基本形式：归结形式，定理形式和抵触形式。 归结形式又称“双论点”，它将主题断言拆分成先决条件的前提和本身的结论，然后通过驳斥前提或结论来证明另一方。例如，主题断言“如果有人吃了砒霜，会中毒”，可分为两部分：“有人吃了砒霜”和“会中毒”，反证法明确表明，如果有人没有吃砒霜，也就不会中毒，从而得出结论。 定理形式为“双断言”，它根据主题断言和其相反论断，在本质上应该发生相反的结果，但却产生了相同的结果，从而证明主题断言正确，或者改变主题断言的表述。例如，“今天的天气晴朗，明天就会变冷”，可将晴朗和变冷分别看作论点，因此明天如果没有变冷，则今天的天气可能不是晴朗，这样，原来的主题断言就会发生变化。 抵触形式是“双矛盾”，通过反证法揭示出主题断言中存在的内在矛盾，以便把它纠正过来，这样就能达到反证法最终的目的，即驳

斥主题断言。例如，有人认为“猫会学会说话”，而另一方认为“猫不会说话”，这两个断言产生了矛盾，此时，可以采用反证法来解决，用“猫既不会说话又会学会说话”这句话来反驳两个论点，最终解决论点矛盾。 反证法的逻辑原理是多方面的，并且它的具体过程也有不同的惯例，这就要求我们在使用反证法时能够充分考虑到各种情况。首先，在使用反证法之前，必须明确主题断言，确定反证法的形式，采取恰当的方法；其次，在实施反证法时，必须根据论点本身的内容特点，准确分析出论点之间的矛盾，结合论点之间的关系，采取科学合理的反证步骤；最后，在运用反证法得出结论时，必须注重对反证结论的客观评价，切勿违背事实，产生极端的结果。 反证法具有良好的应用价值，可以帮助人们更有效地分析问题，并作出正确的决策。同时，也需要人们在实施反证法时，坚持推理逻辑，立足于事实，避免滥用心理学，轻率揣测，以此来防止产生极端结果，也能更好地发挥反证法的指导意义。 总的来说，反证法是一种有效的逻辑推理方式，具有广泛的应用价值，可以帮助人们更加科学准确地分析和解决问题，并作出正确的决策，是文艺理论、社会科学、伦理学、建筑设计、政治策略和决策制定等领域的重要指导手段。

反证法在初中数学中的应用

反证法在中学数学中的应用反证法是一种非常重要的证明方法，它不仅在初等数学中是必要的，而且在高等数学中也是常用的。它的“正难则反”与“非此即彼”的原理，不但在数学中应用广泛，而且在现实生活中也有非常重要的应用价值。 引言 反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况时可以考虑用反证法。反证法是数学中一种重要的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式 定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。 逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。 种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。 模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤： （1）反设：作出与求证结论相反的假设； （2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； （3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 反证法的适用范围 反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一

般用反证法来证比较方便。 3.1否定性命题 即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证 法一般不易入手，而反证法有希望成功。 例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A ，∠B ，∠C 是三角形ABC 的三个内角。求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个钝角。 证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则 ∠A+∠B+∠C ＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A ， ∠B 均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。 3.2限定式命题 即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。 例 已知方程4430x ax a +-+=2，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中 至少有一个方程有实数值，求实数a 的取值范围。 分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方 程都无实数根，然后求满足条件a 的集合的补集即可。 证明：假设三个方程都无实根，则有： 222(4)(43)(1)48a a a a a ?--+?--??+? 2＜0＜04a ＜0 解得 32-＜a ＜-1 ∴所求a 的范围为a ≤-3/2或a ≥-1. 3.3无穷性命题 即涉及各种“无限”结论的命题。 例 求证：2是无理数。[1] 分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步 都非 常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2 表示为一个分数。

反证法在初中数学解题中的运用分析

反证法在初中数学解题中的运用分析 1. 引言 1.1 反证法在初中数学解题中的重要性 反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。 在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。 反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。 1.2 反证法的基本原理

反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待 证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。这种方法在数学证明中 被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。 反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。假设我们要证 明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。 反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存 在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。在数学解题中，反证 法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。了 解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。 2. 正文 2.1 反证法在代数方程解题中的运用 在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。通过假 设所给方程的解不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明假设是错 误的，进而推出所给方程的解。下面我们通过一个具体例子来说明反 证法在代数方程解题中的运用。 假设我们要解如下代数方程：

反证法在初中数学解题的运用

反证法在初中数学解题的运用 摘要：在初中数学的教学和学习过程中，反证法是一种非常常见的解题方法，它可以有效简化数学问题，提高解题速度与解题正确率，锻炼学生的逻辑思维能力。在初中数学解题过程中，反证法的应用十分广泛。尤其是针对一些无处着手的数学问题，反证法的解题技巧可以关心学生迅速获得解题答案。基于此，本文概述了反证法的理论和分类等，重点针对反证法在初中数学解题中的应用进行了详细的分析，以供参考。 关键词：反证法；初中数学；解题；应用 反证法的应用思路是先将结论否认，然后依次为根底展开论证，并依据已知命题和推理原则得出与已知题设相矛盾的结论，进而确定论题的真实性。由此可见，反证法的应用并不需要直接证明结论，而是通过否认与结论相反的一面来证明事物的真实性。这是一种间接的、让步的证明方法。巧妙地应用反证法可以让人有一种茅塞顿开的感觉，并且解题过程简洁、明快，被誉为“数学家最精良的武器之一”。而且在初中数学解题中，巧妙应用反证法可以有效培养学生的逆向思维，提高学生的数学问题解决能力。 一、反证法的概述 反证法在初中数学解题中属于较为特别的解题方法，尤其对于一些无从下手的难题往往有较好的解题效果，但要想正确有效地运用需要准确细致地了解反证法的相关理念，下面进行具体论述。(一)反证法的根本理念。先对原命题进行否认，然后再找出必要的矛盾，就可以对原命题进行论证。也就是说，在证明一个命题的时候，可以先假如命题结论的对立面是正确的，再由已知条件得出两个相互矛盾的结论，或者与数学定理、公理、已知条件等相矛盾的结果，就可以说假如不成立。而在说明假如不成立的同时，也就代表着原命题的成立。这就是反证法。(二)反证法的理论依据。反证法的理论依据为矛盾律和排中律。矛盾律的意思是，在同一个证明过程中，假如两个相结论相互对立，那么其中一个必定是错误的。而排中律的意思是，同一个命题只有两种可能，要么为真，要么为假。排中律的特点是，解题者必须要有清楚、明确的思维，不仅要确定自己的思维逻辑，还要明确自己的立场。要想有效地运用矛盾律和

浅谈反证法的原理及在中学数学中的应用

浅谈反证法的原理及在中学数学中的应用 王业双 摘要：反证法是一种重要的证明方法，是中学生必须掌握和灵活运用的一种重要的证明方法。文章介绍了反证法的原理及一般步骤，探索反证法在中学数学中的运用。 关键词：反证法；证明；矛盾；应用 ：G633.6？摇文献标志码：A ：1674-9324（2014）02-0077-02 在中学数学中，反证法应用相当广泛。怎样正确运用反证法是一个难题。本文主要研究的是一些直接证明难以入手甚至无法入手的题目，用反证法就会使证明变得轻而易举。 一、反证法原理及解题步骤 1.反证法原理。反证法是一种论证方式。它首先假设某命题不成立，然后推出明显矛盾的结论，从而得出原假设不成立，原命题得证。总的来说反证法就是通过证明原命题的反面不成立来确定原命题正确的一种证明方法。反证法在中学数学中经常运用。有的问题不易从问题的正面去解答，但若从问题的反面着手却容易解决，它从否定结论出发，经过正确严格的推理，得到与已知假设或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而得到原命题的结论是不容否定的正确结论。 2.反证法的解题步骤。在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想。由此，我们总结出用反证法证明命题的三个步骤：①提出假设：做出与求证结论相反的假设。②推出矛盾：与题设矛盾；与假设矛盾；恒假命题。③肯定结论：说明假设不成立，从而肯定原命题成立。数学问题是多种多样的，尽管大多问题一般使用直接证明，但有些问题直接证明难度较大，而用反证法证明，却能迎刃而解。下面我们结合实例总结几种常用反证法的情况。 二、反证法在中学数学中的应用 反证法虽然是在平面几何教材中提出来的，但对数学的其他部分内容如代数、三角函数、立体几何、解析几何中都可应用反证法。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？下面就列举几种一般用反证法来证比较方便的命题。 1.基本命题。基本命题就是学科中的起始性命题，这类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。 例1 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点。证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a，b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b。 与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。

反证法在逻辑论证中的使用

反证法在逻辑论证中的使用 逻辑论证是一种通过合理的推理和论证来证明某个命题的方法。在逻辑论证中，反证法是一种重要的推理方法，它通过假设命题的否定，推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。本文将探讨反证法在逻辑论证中的使用。 一、反证法的基本原理 反证法的基本原理是通过推理，假设命题的否定，然后从这个假设中推导出矛 盾的结论，从而证明原命题的正确性。反证法的关键在于通过推理过程中的矛盾，来推翻假设的否定。 二、反证法的使用示例 为了更好地理解反证法的使用，以下举例说明： 假设有一个命题：“所有的A都是B”。我们可以通过反证法来证明这个命题的 正确性。 首先，我们假设存在一个A，它不是B。然后，我们通过推理来推导出一个矛 盾的结论。 假设A不是B，那么根据命题“所有的A都是B”，我们可以推出一个新的命题：“存在一个A，它不是B”。但是，这与我们的假设矛盾，因为我们假设了所有的A 都是B，而现在却存在一个A不是B，这是一个矛盾。 因此，我们可以得出结论：所有的A都是B，即原命题成立。 三、反证法的优点和局限性 反证法作为一种逻辑推理方法，具有一定的优点和局限性。

优点之一是反证法的推理过程相对简单明确，容易理解和运用。通过假设命题 的否定，推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。 其次，反证法可以用来证明某些命题的唯一性。在一些情况下，通过反证法可 以排除其他可能性，从而得出某个命题的唯一性。 然而，反证法也有一定的局限性。首先，反证法只能证明命题的正确性，而不 能证明其错误性。其次，反证法的推理过程依赖于假设的否定，如果这个假设本身就是错误的，那么反证法就无法得出正确的结论。 四、反证法在实际生活中的应用 反证法在逻辑论证中的应用不仅限于学术领域，它在实际生活中也有广泛的应用。 例如，在数学中，反证法常常用于证明某个定理的正确性。通过假设定理的否定，然后通过推理来推导出矛盾的结论，从而证明定理的正确性。 在科学研究中，反证法也经常被用来推翻某些假设或理论。通过假设理论的否定，然后通过实验证据或逻辑推理来推导出矛盾的结论，从而证明该理论的错误性或不完备性。 此外，在日常生活中，我们也可以运用反证法来解决问题。例如，当我们面临 一个困难或矛盾的情况时，我们可以通过假设相反的情况，然后通过思考和推理来找到解决问题的方法。 总之，反证法作为一种重要的逻辑推理方法，可以在逻辑论证中发挥重要的作用。通过假设命题的否定，推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。然而，反证法也有一定的局限性，需要谨慎使用。在实际生活中，反证法也有广泛的应用，可以帮助我们解决问题和做出正确的判断。

浅谈反证法的原理和应用

浅谈反证法的原理和应用 1. 反证法的基本原理 反证法（reductio ad absurdum），也称背证法，是一种常用于证明命题的方法。它基于当我们需要证明一个命题时，我们可以假设命题的反面为真，然后通过推理和论证，最终推导出矛盾的结论。这种矛盾的产生表明了我们最初的假设是错误的，因此我们可以推断原命题是成立的。 反证法的基本原理可以总结为以下几点： - 假设命题的反面为真。 - 通过推理和论证，从这个假设出发得出一个矛盾的结论。 - 根据矛盾的产生，可以推断命题的反面是错误的，因此原命题是成立的。 2. 反证法的应用场景 反证法在数学、逻辑学以及其他科学领域都有广泛的应用。它可以用于证明某些命题的正确性，或者在推理过程中说明某些假设的错误。下面将介绍一些反证法的典型应用场景。 2.1. 证明存在性 在一些数学问题中，我们需要证明存在某个对象，这时可以使用反证法。假设不存在这个对象，然后通过推理得出矛盾，从而推断出这个对象是存在的。 例如，我们要证明存在一个无理数 x，使得 x 的平方等于 2。可以假设不存在这样的无理数，而所有的数的平方都不等于 2。然后通过数学推理，可以得出矛盾的结论，从而推断出这样的无理数存在。 2.2. 证明唯一性 反证法也可以用于证明某个对象的唯一性。假设存在两个或多个不同的对象满足某个条件，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断这些对象是不存在或者不唯一的。 例如，我们要证明平方根是唯一的。可以假设存在两个不同的平方根，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断平方根是唯一的。 2.3. 证明等式或不等式 在数学中，我们常常需要证明某个等式或不等式成立。反证法可以用于这种情况下的证明。假设等式或不等式不成立，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断等式或不等式是成立的。

反证法在高考数列考题中的应用(全文)

反证法在高考数列考题中的应用 (全文) 在数学问题中，有相当数量的问题直接证明难以入手，因此，常采用间接法证明，其中，反证法是间接证明的一种基本方法.反证法的基本思想是：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”， 而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的.使用反证法时要注意：当遇到“否定性”、“惟一性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时，常用反证法.注意反证法的基本思路及一般步骤：①反证法的理论依据；②什么样的命题可采用反证法；③反证法的“反设”；④反证法中的“归谬”.在反证法中探求的矛盾常见的有：（1）与已知条件矛盾；（2）与定理、公理矛盾；（3）与已知具有的或成立的性质矛盾. 例1（2013年高考陕西卷（理）17）设{an}是公比为q的等比数列. （1）推导{an}的前n项和公式； （2）设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列. 解题思路：（1）用首项和公比表示前n项和，利用错位相减法进行求解，对公比分类得到两个公式；（2）假设{an+1}是等比数列，取连续三项，利用等比中项构建方程，推出含公比的方程无解或公比为1. 解析：（1）分两种情况讨论. 所以当q≠1时，数列{an+1}不是等比数列.

点睛高考：本题考查等比数列前n项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法.回归教材，用好教材，从教材中选取例、习题或公式、定理的证明，这是高考命题的一个特点，希望引起考生的重视. 例2（2013年高考北京（理）20）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各 项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=A（1）若{an}为2， 1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意 n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值； （2）设d是非负整数，证明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列； （3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项 只能是1或者2，且有无穷多项为1. 解题思路：本题主要考查无穷数列的有关知识，考查了考生对新定义类数列的理解与运用，对考生的逻辑思维能力要求较高. （2）证明充分性：

反证法及其应用(全文)

反证法及其应用(全文) 数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.证明的基本方法有直接法和间接法，反证法是间接证明的一种基本方法. 认识反证法 王戎（晋朝人，竹林七贤之一）7岁时，与小伙伴外出游玩，看到路边的李数上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地没动.路人不解，王戎回答道：“树在道边而多子，此比苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 他的推理过程可简单的表述为：如果李子不是苦的，它就不可能长在道路旁，且上面结了那么多李子.这种推理方法叫做反证法（归谬法）. 1.反证法的定义：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得到矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（reduction to absurdity）. 2.反证法的实质：先否定结论，后导出矛盾，从而说明结论的反面是错误的，故原命题成立. 3.反证法证明命题的一般步骤： ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立.

注1.“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证； 注2.“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等； 4.一个反证法的范例 证明：素数有无穷多个。 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法： 假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1 此时，令N=a1*a2*…*an,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N＞ ai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！ 这个证明简短有力，充分体现了证明者的智慧和归谬法的特点！ 反证法的应用 类型一.用反证法证明否定性命题 例1 设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1，求证： a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1 证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1，由于ad-bc=1 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd=ad-bc

浅谈反证法

浅谈反证法 浅谈反证法 摘要：在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证，它在数学证题中确有奇效。本文阐述反证法的概念、步骤，依据及分类。反证法如何正确的作出反设及导出矛盾，及何时宜用反证法，反证法在中学中最常用的证明的题型展示，反证法的综合思路分析。关键词：反证法数学学习 正文： 一：反证法的概念 一般地，假设原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.二：反证法的证明过程 ① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立; ② 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾; ③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 三：反证法的适用范围 (1)直接证明困难的(2)否定性命题 (3)唯一性问题 (4)至多、至少型命题

四：理论依据 从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。 五：常用词语 原词语等于大于（>）小于（ 否定词语至少有两个一个也没有至少有n+1个 原词语任意的任意两个所有的能 否定词语某个某两个某些不能 反证法 第1课时反证法一、学前准备1、复习回顾两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只有条直线与已知直线垂直。2、看故事并回答：中国古代有一个叫《...... 高中数学反证法 反证法解题反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之...... 4.6反证法 新仓中学2013学年2012学年2012学年2012学年第二学期第五章第 5.7（1）节......

反证法在数学中的应用

反证法在数学中的应用 〔关键词〕反证法；命题；结论；含义；特点；逻辑依据 在数学题目的求解过程中，直接证明一个命题感到困难，甚至无法证明时，可采用反证法.反证法是一种重要的数学证明方法，它在数学证明中有着不可替代的作用.学生在运用这一方法做题时，由于对该方法的实质理解不深刻，故而常常出错.这不仅严重影响了这一重要方法的有效使用，而且也妨碍了解题效率的提高. 下面，本文就反证法的实质、特点、逻辑根据及适宜反证法证明的几种题型予以说明. 一、反证法的含义及实质 所谓反证法，就是从反面证明命题的正确性.即欲证命题“若p则q”，则从反面推导“若p┑q”不能成立，从而证明“若p则q”成立.它从否定结论出发，经过正确、严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而检验产生矛盾的原因，推出原命题的结论是不容否定的正确结论.反证法的实质是通过矛盾的转化达到解决问题的目的. 二、反证法的步骤和特点 反证法是一种间接的证明方法，具体步骤如下（欲证命题为“若p则q”，逻辑表达式为p→q）： 第一步：否定原命题的结论q（即设┑q），得到p∧q； 第二步：在此条件下，通过正确的推理导出矛盾； 第三步：由此矛盾断定：命题p→q为真. 从反证法的证题方法可以看出，它的最大特点是：否定原命题的结论q，肯定原命题的条件p，据此导出矛盾.它属于矛盾证明的范畴. 三、反证法的逻辑根据 首先，反证法是通过证明原命题p→q的反命题┑（p→q），（p∧┑q）是对同一事物的两个相互对立或矛盾的判断.根据矛盾律，在同一思维过程中，对同一事物的两个相互矛盾或对立的判断中，至少有一个是真的（不能同假），因此，（p→q）与（p∧┑q）一定有一个是真的，一个是假的.而由反证法已经证明了p ∧┑q是假的（导出矛盾），所以原命题p→q一定是真的，即证明了原命题.

反证法的原理及其应用

反证法的原理及其应用 1. 反证法的原理 反证法是一种常见的数学推理方法，也是一种逻辑思维工具。其原理基于对于某个命题或者假设的否定，通过推导来得出与已知情况矛盾的结论，从而证明原命题或者假设的真实性。 反证法的基本原理可以归纳如下： •假设待证明的命题为假：首先，我们假设待证明的命题为假，即它的逆命题为真。 •通过推导得出矛盾结论：然后，我们通过推导和逻辑运算，从这个假设出发得到一系列的推论和结论。 •推导出与已知情况矛盾的结论：最后，我们寻找这些推论和结论与已知事实或前提条件相矛盾的地方，如果发现矛盾点，那么就可以推导出原命题或者假设的真实性。 反证法是一种间接的推理方法，通过寻找命题或者假设的否定情况与已知事实的矛盾，从而得出结论的方法。 2. 反证法的应用 反证法在数学、逻辑学和科学研究中被广泛应用。它能够帮助我们解决很多复杂的问题，证明许多重要的数学定理和原理，推导出许多重要的科学结论。 下面列举了一些常见的应用领域： 2.1 数学推理 在数学推理中，反证法常常被用来证明一些重要的数学定理，例如：•费马大定理：费马大定理是数学中的一条著名问题，通过反证法得到了证明。它指出：对于大于2的整数n，方程x n+y n=z n在正整数域上没有非平凡整数解。 •哥德巴赫猜想：哥德巴赫猜想通过反证法证明了：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。 2.2 逻辑推理 在逻辑学中，反证法被用来证明一些命题的真假。例如：

•证明命题的唯一性：通过假设命题不唯一，利用反证法推出矛盾的结论，从而证明命题的唯一性。这在数学和科学研究中经常出现。 2.3 科学研究 在科学研究中，反证法被广泛应用于理论和实证研究。例如： •研究某一假设的真实性：通过对假设的否定进行反证，推导出与实际观察结果矛盾的结论，从而推断假设的真实性。 •推导科学发现和规律：通过反证法可以推导出新的科学发现和规律，从而提升人类对于自然现象的认识和理解。 3. 总结 反证法是一种重要的数学推理方法和逻辑思维工具，它通过对待证明命题的否 定进行推导，从而推导出与已知事实矛盾的结论来证明原命题的真实性。 反证法在数学、逻辑学和科学研究中都有着广泛的应用。它帮助我们解决复杂 问题、证明重要的数学定理和原理，并推导出新的科学发现和规律。 通过学习和应用反证法，我们可以提高逻辑思维能力，深入探索数学和科学的 奥秘，推动知识的进步和创新。

浅谈反证法的逻辑依据及其运用

浅谈反证法的逻辑依据及其运用 王纪兵 摘要：反证法是数学中常见的一种证明方法，它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。若命题的结论的反面只有一种情况，只要推翻这一种情况就能肯定结论，这种反证法叫归谬法；若命题的结论的反面不只一种情况，则需要将反面情况一一推翻才能肯定结论，这种反证法叫穷举法，那么反证法的理论根据是什么？反证法是否就是证明原命题的逆否命题？怎样应用反证法？怎样的命题适合用反证法证明？本文拟就这些问题作点初步探讨。 关键词：反证法；逆否命题；逻辑依据 1引言 关于反证法，牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一。”这就充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。反证法的核心是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了反证法的关键所在。出现矛盾的方式通常有：与公理定义矛盾；与已知条件或临时假设矛盾；与显然的事实矛盾；与显然的事实矛盾；自相矛盾等等； 法国数学家J·阿达玛曾说过：“这种方法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这段话可以理解为：假设命题的结论不正确，并运用此判断，在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾，从而知该相反判断的错误性，进而知道判断本身的正确性。 由此可知，反证法的理论依据可概括成形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的。而所谓“排中律”则是说：任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。也就是说结论“p真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。

由此可见，证明原命题的逆否命题只是反证法的一种具体形式。 2 反证法与证逆否命题是不同的 从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。 如上所述，用反证法证明命题“若p则q”，是把“p且非q”作为假设，利用正确的推理推出矛盾，得出“p且非q”为假，从而得出“若p则q”为真；而证明命题“若p则q”的逆否命题“若非q则非p ”，是将非q作为条件，用正确的推理推出非p成立，根据“若p则q”和“若非q则非p ”的等价性得出“若p则q”成立。比较可知，不论从思路方面还是从方法方面来讲，反证法与证逆否命题是有着本质的不同的。因而“反证法就是证逆否命题”这一说法的不妥之处便是非常清楚的了。 3 运用反证法证题时常见的矛盾形式 用反证法证明命题“若p则q”时，可能出现以下三种情况： ⑴导出非p为真，即与原命题的条件矛盾； ⑵导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾； ⑶导出一个恒假命题。 例⒈如果a是大于1的整数，而所有不大于1 a-的素数都不能整除a，则a是素数。证明：假设a是合数，记(,,,1) =∈>，由于a不能被大于1且不大于1 a bc b c z b c a-的素数整除，所以b＞a,c＞a,从而bc a =矛盾，故a是素数。 >,这与假设a bc 4 运用反证法应注意的问题 4.1 运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面

浅谈反证法的原理及应用

摘要 反证法是一种重要的证明方法,它不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用,而且对人的思维能力的培养和提高也有极其重要的作用.如果能恰当的使用反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的目的.反证法的逻辑思维强,数学语言准确性高,对培养学生严谨的逻辑思维能力,阅读能力,树立正确的数学观具有重要的意义. 本论文主要研究的内容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作用;反证法具有广泛应用的科学根据;并且着重介绍了反证法的应用,包括反证法在初等数学和高等数学的应用,并提出应用反证法应注意的问题;针对各种问题提出一些具体的教学建议,从而为改进反证法教学提供参考. 关键词:反证法,否定,矛盾,应用

Principle and application of the reduction to absurdity ABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great significance to establish a correct conception of mathematics. The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe application of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity. Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application