金融数学引论答案 .docx
第一章习题答案
1.设总量函数为A(t) = t2 + 2/ + 3 o试计算累积函数a(t)和第n个吋段的利息【仇°解：把t =()代入得4(()) = 3于是：
4(t) t? + 2t + 3
啲=丽=3
In = 4(北)一A(n一1)
=(n2 + 2n + 3) — ((n — I)2 + 2(n — 1) + 3))
= 2n+l
2.对以下两种情况计算从t时刻到冗(￡ < n)时刻的利息：(1)厶(0 < r < n);(2)/r =
2r(0 解： (1) I = A(n) - A(t) —In + in-1+ ? ? ? + A+l n(n + 1) t(t + 1) =2 2 I = A(n) - A(t) n n =乞h = 土h k=t+l A：=t+1 3.已知累积函数的形式为：Q(t) = at2 +几若0时刻投入的100元累积到3吋刻为172元,试计算：5时刻投入的10()元在10时刻的终值。 解：由题意得 。(0) = 1, ?(3) = = L72 => a = 0.0& 6=1 4(5) = 100 >1(10) = 4(0) ? ?(10) = 4⑸? W = 100 x 3 = 300. a(5) 4.分别对以下两种总量函数计算订和讪: (1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1尸? 解： (1) _ 4(5) - 4(4) 5 _ 4(4) 5 二面-.17% . 4(10)-4(9) 210 =—4(9)— 5 =—^ 3.45% 145 ⑵ _ 4(5) - 4(4) 5 - 4⑷ _ 100(1 + 0.1)5 - 100(1 + 0.1)4 = 100(1+ 0.1)4 =10% . 4(10) —4(9) 皿= _ 100(1+ O.1)10-100(1+ 0.1)9 = 100(1 + 0.1)9 =10% 5?设4(4) = 1000, i n = O.Oln.试计算4(7)。 解： 虫⑺=人(4)(1 + %5)(1 + %)(1 + V) =1000 X 1.05 X 1.06 X 1.07 =1190.91 6.试计算500元经过两年半的累积达到615元的对应年单利率？另外，500元以单利率 7.8%累积多少时间可以达到630元？ 解：设年单利率为i 500(1 + 2.5/) = 615 解得i = 9.2% 设5()()元需要累积￡年 500(1 + tx 7.8%) = 630 解得i=3年4个月 7.已知单利率为4%,问：经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5%? 解：设经过t年后,年利率达到2.5% 1 + 4% —= (1 + 2.5%)’ t a 36.367 8.已知：(1 + z)5= X,(1 + 沪=Y.求(1 + z)11. 解： (1+"11=(1+?：)5+2X3= X0 9.已知600元投资两年将产牛利息264 7G (复利方式)，问：2000元以同样的实利率投资3年的终值。 解：设实利率为i 6()()[(1+沪—1]=264 解得i = 20% ??.4(3) = 2000(1 + z)3 = 3456 元 10.已知：第兀年底的一个货币单位与第2年底的一个货币单位的现值之和为一个货币单位。计算(l + z)2n- 解：设实利率为2 —-—+ ——-——=1 (1 + i)n(1 + ty2n 解得(1十2)一"=乌巳 所以(1+￡严=(与丄)-2 _ 3 + ^5 =2 11?□.知：500元经过30年的投资将增为4000元，计算：分别在第20、40和60年底投资10,00070的现值之和。 解: 由500x(1 + z)30 = 4000 => (1 + z)30 = 8 10000 10000 10000 于是PV = (1+沪()+ (1+2)40 + (1 + 沪() =1000 x (8一寻+8~5 +8~2) =3281.25 12?以同样的实利率，1元经过"年增为2元，2元经过b年增为3元，3元经过c年増为15元。若已知6元经过n年增为10元。试用a：b和c表示n。 解： (1 +沪=2 (1) (1+沪=空(2) (1+^ = 5 (3) (1+0)" = | ⑷ (4) => n ? In (1 + /) = In 5 — In 3 (3) =^ln5 = cxln(l+z) (1) x (2) => ln3 = (a + b) ? In (1 + i) 故n = c - (a, + b) 13.已知资本A在一年内产牛的利息量为336,产生的贴现量为300。计算A。 解： 'A-i = 336 < A-d = 300 A = 2800 \^i — d = i ? d 14.分别在单利率10%和单贴现率1()%的条件下，计算如 解：⑴ a(5) - a(4) _ 10% =1 + 5 x 10% =6.67% 15?试用押）表示於）,用d （⑵表示小叽 解: ”(3) 〃⑷ 由(1 + -y)3 = (1-生)1 ?(3) => d ⑷=4 ? [1 — (1 — )一了 2⑹ 〃(⑵/ 、 由(1 +”4(1—备尸2 ) 〃(12) 亠⑹=6?[(1 — %厂2 —1] 16. 在以下两种情况下计算100元在两年底的终值：季结算名利率6%；每四年结 算一次的名贴现率为6%。 解：(1)终值为 100 x (1 + 畔)4X2 = 112.65元 (2)终值为 1()() x [(1 — 4d (")列-2 = 114.71 元 17. 已知“伽)=0.1844144和少)=0.1802608。计算m 。 解：利川爲' —為=舟今m = 8 18. 慕金A 以单利率1（）%累积，棊金B 以单贴现率5%累积。计算两个棊金的利息 力相等的时刻。 => a(t)= 今(】5 = 1 1 一0.1￡ a(5) — a(4) a(5) J ______ 1_ (L5 =16.67% 由必⑴=张⑴得 19. 一年期投资的累积函数为二次多项式，前半年的半年名利率为5%,全年的实 利率为7%,计算尬。 解：依题意，累积函数为a(t) = al 2 + bt + 1 °(0.5) = 0.25a + 0.5b + 1 = 1.025 a ⑴=a + b + 1 = 1.07 于是 =0.068 20. 已知：帐户A 的累积函数为:1 +代帐户B 的累积函数为：1 + 2/ + "。计算帐 户A 的利息力超过帐户13的利息力的吋刻。 解：依题意,必⑴=焉?,丹⑴=缶 由心⑴ > 島⑴ 2t 2 > -------- r > --------- 1 + t 2 1+t 今t > 1 21. 已知季结算名贴现率为8%,分别对以下两种情况计算25个月底的50()()元在当 前的现值：全部采川复贴现；在最后的不足年份内采川单贴现。 "(4)=8%,设复利下刀实贴现率为〃，单利下实利率为“0。 全部采用复利: 解: 认)=1 + 0山*(皆牆= 0.1 l + 0.1t = 1 — 0.05Z => ⑴=_ 阳⑴)' 坊七) 0.05 1 - 0.05i a = 0.04 b = 0.03 §0.5 = M(0.5) a(0.5) 解: PV = 5000(1 — rf)25 = 4225.25 前两年用复利: 1—1 一字 PV = 5000(1 — d 严(1 — do) = 4225.46 22.为了在第4年底收益200()元、1()年底收益5000%,当前选择这样的投资：前两年毎年初投入2000元、第3年初再投入一部分。已知季结算名利率6%,计算第3年初投入的金额。(原来的答案有误) 解：妙=6%，则￡ = (1 + 警)4 一1 = 6.14%设第3年初投入X：以第3年初为比较日，列价值方程 2000(1 + i)2 + 2000(1 + 2) + X = 2000护 + 5000泸 解得X = 504.67兀 23.在一定的利率下，下面两种付款方式等价：D第5年底支付200元，第10年底支付500元；2)第5年底一次性支付400.94元。另外，以同样的利率现在投资100元再加上第5年底投资120元，这些投资在第10年底的终值为P。试计算卩。解：对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程: 200 + 500护=400.94 解得泸=0.40188 所以 P = 100(1 + Z)10 + 120(1 + Z)5 = 917.762 24.经过多少吋间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍? 解： 1000(1 + 6%y = 2 x 1000(1 + 4%)t 解得：i = 36年 25?已知年利率为8%,且第九年底和加年底投入100元的现值之和为100元，计算冗。 解：列价值方程为 100 泸 + 100 庐=100 解得n = 6.25 26?基金4以月换算名利率12%累积；棊金B以利息力3t = l累积，初始时刻两棊金本金相同，计算两基金累积额相同的下一个时刻。 解：认=#，得基金3的积累函数为 欲使a A(t) = a B(t)财(￡) = exp{/ 6s ds)=呢卩(気) 则 解得 1 十 2 (1 +迈円)严=e讽込) t = 1.4 27.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。 解：1000(1 +z)15 = 3000 则护)=((1 + ?：)i 一1) x 2 = 7.46% 28?已知现金流：当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在第2年底的终值为70()元。计算实利率。 解：列价值方程为 300(1 + z)2 + 200(1 +z) + 100 = 700 解得2= 11.96% 29.已知货币的价值以利息力6t = kt积累，在十年内增长了一倍，计算虑(原来的答案有课) 解：= kt则积累函数为 =exp(-t ) 由a(10) = 2 得e50k = 2 解得k = 0.0139 30?已知一个货币单位的本金以实利率2累积到第三年底的终值再加上第3年底的一个货币单位的资本以实贴现率2贴现的的现值之和为2.0096,计算九 解： (l + z)3 + (l-z)3 = 2.0096 解得I = 0.04 31.现有实利率为的投资项口。证明：一?个货币单位的本金在第二个计息期的利息收入与第一个计息期的利息收入之差为。试给出这个结论的实际背景解释。 解：一个货币单位在第一个计息期内的利息收入第二个计息期内的利息收入7 + J2 :故差为产,即第一期利息产生的利息o 32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式： A)现在付款15元，6个刀后付款13.65元 B)现在一次性付款28元。 如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率。(将原题屮的16元改成13.65元，这样结果更加符合实际) 解：设半年实利率为Q则有： 15(1 + 0 + 13.65 = 28(1 + /) 解得：/ = 0.05 故：z = (l + /)2-l = 0.1025 33.甲在1997年元旦借给乙1000元，要求乙按下而方式偿还：分别于1998年和1999年元旦偿还100元，于2000年元旦偿还1000元。在1998年元旦(正常还款后)甲因急需资金，将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。如果甲乙合约的年利率为，甲丙合约的年利率为，比较和的大小。 解：价值方程： 正常：1000 = 100(1 + j)-1 + 100(1 + j)-2 + 1000(1 + j)~3 转让：960 = 100(1 + A：)-1 + 1000(1 + fc)~2 解得：j = 6.98%, k = 7.4% 从而:j < k 34.如果常数利息力増加一?倍，计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数。 解：和6等价的年利^i = e6 - 1,年利率变化: e6— 1 和6等价的年贴现率1 -厂〃 =(L年贴现率变化: 36.某厂家对零售商提供两种折扌II：付现款可低于零售价格30%； 6个月后付款, 可低于零售价格25%。如果两种方式等价，计算对应的年利率。 解：设货款为S,半年实利率为讥则有：0.7S(l + /) = 0.75S 解得:1 + / = 1.0714 故2 = (1 + i f y - 1 = 14.80% 37.令()< t < 1,用以下三种方法计算时刻1的1元在时刻的价值： 1)在仏1)内单利计算； 2)复利计算； 3)单利方式：先计算它在0时刻的价值然后累积到时刻人 在相同的利率水平下试对以丄三个结果比较大小。 解：1)单利方式：Xi(l + (1 - t)i) = 1 2)复利方式：x2(i + iy-t = i 3)单利方式：X3 = ^ 由Taylor展开易证：(1 + 旷 > 1 + (1 _ Qi (1 + ^ < 1 + it 故Xi < X‘2 < %3 38.棊金A以年利率6%累积；棊金E以年利率8%累积。第1()年底两个棊金的终值之和为2000元，第10年底基金A为基金B的一半。计算第5年底两个基金的资本之和。(原来的答案有误) 解：设基金A,B的本金为AJ3: 35.证明: 证： 6-cl i-61 =2 lim - d―0 “ 一hm d2—o ,6 _ (1d-1 + e~6 1 一 e~6 e~6 11111 —Z—=lim =lim=lim ------ —o d26->0一26一()2 i-S应—5 — 1e6-\e6 lim ——=lim=lim=lim —= 7 d26->0 6 ->028—o 2 1 2 1 2 J 4(1 + 0.06)10 + B(1 + 0.08)10 = 1000 〔4(1 + O.O610) = 0.05B(l + O.O8)10 解得： (71(1 +0.06尸= 498.17 [3(1+ 0.08尸= 907.44 从而5年底的累积值和=1405.61 39.已知第一年的实利率右与第二年的实贴现率数值相同，第一年初的1000元 在第二年底的终值为1200元。计算?：1。 解：设第二年的实利率由题意：2i = d‘2 =卡； 1000(1 + 21)(1 + z2) = 1000(1^)(1 + z2) = 1200 1+22 解得：？：2 — o.i,进ntUi = Y,- 40.甲以名利率2⑵=10购得1000份100九面额的26周国债。 1)计算价格戸 2)近似推导名利率沪)的波动对价格卩的影响(黑y); 3)当名利率波动一?个百分点时，近似计算价格厂的波动范围。(待查) 解：1)P = 1000 x 100 x (1 + 弓)-】=95238.095 o\ P _ 105( d,P \ —2X105 丿 _ 匚西I 耐丿_ 一(2+从2))2 3)(1 骼|)|：)=io% = 4.5351 x 104即波动范围：95238.095 土453.51 41.对j > 0,证明： 1)J(m) = (1 +吕严是m的递增函数； 2)g(m) = m[(l + j)舟—1]是m的递减函数。 解：1) /(m)=扭 1 + ^)m Zn(l + j > 0,m > 0, /(m) > 0 2)令9 = ln(l + j)/m,贝I」原式化为: =~^ln(l+j) (j > 0) 由Taylor展开可见上式关于讪曾:由复合函数性质得证。 42.面额100元的26周国债名收益率11.07%。证明：售价在94.767到94.771之间 时, 均可保持这个收益率。(题意不理解，暂无修改意见) 第二章习题答案 1. 某家庭从子女出牛时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前I ?年每年底存 款1000兀，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X o 解： S = 100052-(717% +XSHJ17% X = 5000()一 10()°S257% =651.72 ^1017% 2. 价值10：000元的新车。购买者计划分期付款方式：每刀底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解：设首次付款为X ,则有 10000 = X + 250a 网 1.5% 解得 X = 1489.36 3. 设有冗年期期末年金，其屮年金金额为冗，实利率2 = ｝试计算该年金的现值。 解： PV = na 刊a l-v n n 1 n (n + l)n n 2 — n n+2 (n + l)n 4. 已知：临 =X , a-2Hi = Y 。试丿IJX 和Y 表示d 。 解：。2議=陆+ Q 刃(1 — d.y i 贝ij 5. 己知：叼= 5.5823&如7)=7.88687：如鸟=10.82760。计算几 怖=呦+ am v 7 i = 6.0% Y-X X 解： 解得 6.证明: 1 _ se +a&h 1-v 10 _ —— 证明： ° I rr (1+沪°一1 , 1 1 S101 + 仏丈1 _ -- - -----7 _ 丄 —— -(1甘仕 1 _ i 7. 己知：半年结算名利率6%,计算下而10年期末年金的现值：开始4年每半 年200 元，然后减为每次100元。 解： PV = 100 阿 3% + 100。263% = 2189.716 8. 某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然 后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%, 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。 解：设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日 100052^18% = X&调 7% 解得 X = 8101.65 9. 已知贴现率为10%,计算亦o 1 _泸 血=(1 + z)——:——=5.6953 i 10.求证： ⑴覘=a ，刃+ 1 - v n ； ⑵如=用—1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。 证明：(1)如=甲=些=￥ + 1—泸 l+i 所以 焉1 = a 刃+ 1 — V 11 (2)丸=(i+?7 =(悝-=(I +?"T +(l+i)n -l 1+t 所以 覘=呵—1 + (1+2)" O% T —I - d 解 1-9 12. 从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%,计算：1)该年金在1979年9月7日的现值；2)该年金在1992年6月7日的终 值。 解： PV = 100?4911.5% 一 100呵 1.5% = 3256.88 = 100＜沏1.5% 一 100＜辺11.5% = 6959.37 13. 现有价值相等的两种期末年金A 和B 。年金A 在第1 — 10年和第21-30年屮毎 年1元，在第11-20年屮每年2元；年金B 在第1一1()年和第21-30年屮每年付款金 额为匕在第11-20年中没有。已知：严=苏计算Y 。 解：因两种年金价值相等，则有 + °i 巩 ^10 = Y —Y^10 3_严一21?0 _ 1 Q ~ l + u 10-2u 30 —丄 14. 己知年金满足：2元的2冗期期末年金与3元的九期期末年金的现值Z 和为36；另 外，递延冗年的2元冗期期末年金的现值为6。计算几 解：由题意知, 16. 化简如31 (1+严+护0)。 解： ?151 (1 + ^15 + ^3°) = ?451 所以 解得 15.已知旦"+此 Q1TI + Szi 解：由题意得 解得 2您帚+ 3怖=36 2 a 気 v n = 6 i = 8.33% 求X, Y 和Z 。 1 一 / _ (l+?)x 一沪 1 — ^11 (1 + i )z — v Y X = 4.Y = 7.Z = 4 17. 计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4刀1日，然后每半年一 次200()元，半年结算名利率9%。 解：年金在4月1日的价值为卩=节謬x 2000 = 46444.44 ,则 P PV = ---------- —7 = 41300.657 (1 + 2)2+3 某递延永久年金的买价为实利率2,写出递延时间的表达式。 19. 从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一 定的金额X,直至永远。计算X 。 解：设年实利率为?；，由两年金的现值相等，有 V 1000&2■皿=—V 29 1 解得 X = 1000((1 + 2)30 - (1 + 2)10) 20. 某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前允年，A 、B 和C 三人 平分每年的年金，〃年后所有年金由D —人继承。如果四人的遗产份额的现值相 同。计算(1 + 。 解：设遗产为1，则永久年金每年的年金为2,那么A,B,C 得到的遗产的现值 为沁，而 D 得到遗产的现值为泸。由题意得 所以 (l + z)n = 4 21. 永久期末年金有A 、B 、C 、和D 四人分摊，A 接受第一个〃年，E 接受第二 个兀年，C 接受第三个〃年，D 接受所有剩余的。已知：C 与A 的份额之比为().49, 求B 与D 的份额之比。 解：设递延吋间为有 解得 1 P = -V 1 1 ln(l+z) 22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于1()()元。计算最后一次还款的数量和时间。 皿 I 100a 刃丄5%泸＜ 1000 解：＜ [100a n+T4.5% V 4 ＞ 1000 列价值方程 1（）（）Q 闯 4.5% +Xv 2l = 1000 X = 146.07 23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果 以同样的年利率计算货币的价值在冗年内将增加一?倍，计算冗。 解:两年金现值相等,则4 x =5 x 18,可知 严=0.25 由题意，(1 +汀"=2解得n = 9 24. 某借款人可以选择以下两种还贷方式：每刀底还100元，5年还清；k 个月后一 次还6000元。已知月结算名利率为12%,计算虑 解：由题意可得方程 100(X661% = 6000(1 + i)~k 解得 A; = 29 25. 己知a 刘=1.75,求2。 解：由题意得 1-v 2 = 1.7 可 解得 i = 9.38% 26. 某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年 的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解: 解：由题意知 那么 = 0.49 PV D _ am v n = 0.61 解得n=17 解得 27. 某人在银行屮存入一万元10年定期存款，年利率4%,如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。己知：在第4、5、6和7年底分别取出K 元, 且第十年底的余额为一万元，计算K o 解：由题意可得价值方程 10000 = 105X^4% 沪 + K 闯4% + 10000。1° 10()00—100()0 严 105ob l4% 沖+^必％ 庐 28. 贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半, 前四年半的年利率为几后而的利率为九计算首次付款金额X 的表达式。 解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程 P(1 + = X + (1 + i) 4 P(l + i)l 1 + 2阿％ + 2畸，(1 + z)-4 29. 已知半年名利率为7%,计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。 解: 30. 计算下而I ?年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。己知 年利率为12%。(缺命令) 解： PV = 4 x 400 + 4 x 600?;5 = 11466.14 31. 已知半年结算的名贴现率为9%,计算每半年付款60()元的十年期初年金的现 值表达式。 解： 32. 给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。 解： _ 1 3 (1 + ^)24 — 1 仙一呵 ° = 7l~I~-I~I~Yi 7T = 呵2 (1 + 2尸[(1 + 2)— 1] S3 + 罚 =979.94 所以 33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以川每次7?元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%,求7?的表达式。 解：设年实利率为2,则(1 + 2%)2 = 1+2。有题意得 750 750 门 —H --------- r =血3巩 解得R= 1114.77 34.己知每三年付款一?元的永久期末年金的现值为125/91,计算年利率。 解：由题意知 1 _ 125 91 解得i = 20% 35.己知：1元永久期初年金的现值为20,它等价于每两年付款7?兀的永久期初年 金，计算7?。 解：由题意得 2() = 2 (I z 解得7? = 1.95 36.己知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。 2⑵ 1 设贴现率为〃，贝叽+ —= --- r 2(1 - 设递延时间为t,由题意得 10000 = 2 x 500〒諾 解得 In 20 + ln(l — (1 — d)訂/ ln(l —d) 37.计算:3谓解：=2a蛊=45舞)，计算i o ??■ 2 2 2 3 x .(、a帚=2 x a^i = 45 x 解: 解得:v n = 1 ? 1 =2,Z = 30° 金融数学附答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。 （2）假设以公平市场价格+美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少 答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 40 6005--=--=?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元 则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元 所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元 2、假定 S 0 = 100，u=，d=，执行价格X=105，利率r=，p=，期权到期时间t=3， 请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N （=；N （）= 】 {提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系} 解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（），N（d2）=N （）。给出最后结果为 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（N（）=，N）= *= 解：F=715，T-t=,σ=,X=740,r= F/X=715/740=，σ(T-t)=*= d1=ln/+2= d2== G=**740) =美元 5、根据看涨期权bs定价公式证明德尔塔等于N（d1）（答案见课本122页） 版权所有，翻版必究 第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。 解： S=1000s20?p7%+Xs10?p7% X= 50000?1000s20?p 7% s10?p7% =651.72 4年。 6.证明：1 1?v10=10?p+a∞?p 。 s 10 ?p 北京大学数学科学学院金融数学系 第1页 版权所有，翻版必究 证明： s 10 ?p +a ∞?p (1+i)10 ?1+1 1 s 10?p = i (1+i)10 ?1 i i = 1?v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解： PV =100a?8p3% +100a 20?p 3% =2189.716 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然 后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， ¨?n p =s??n p 1+(1+i) n 12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。 解： PV =100a49?p1.5% ?100a?2p1.5% =3256.88 AV =100s49?p1.5% ?100s?2p1.5% =6959.37 13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每 年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金 36；另 数学与应用数学专业（金融数学）本科学分制培养方案 专业名称：数学与应用数学（金融数学）专业代码： 070101 一、培养目标 本专业培养德、智、体、美全面发展，掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力,能在金融证券、投资、保险等经济部门、科研部门和政府部门从事经济分析、金融产品设计的涉外复合型应用人才。 二、培养规格 本专业学生主要学习数学和应用数学的基本理论、基本方法，受到数学建模、计算 机和数学软件方面的基本训练，在数学理论和它的应用两方面都受到良好的教育,具有较 高的科学素养和较强的创新意识，具备科学研究、教学、解决实际问题及软件开发等方面的基本能力和较强的更新知识的能力。 毕业生应达到以下要求: （一）知识要求 具有比较扎实的数学基础,受到严格的科学思维训练,初步掌握数学科学的思想方法；具有应用数学知识建立数学模型以解决实际问题的初步能力和进行数学教学的能力；了解数学科学发展的历史概况以及当代数学的某些新发展和应用前景；了解金融数学学科的若干最新进展及相近学科的一般原理与知识；能熟练使用计算机(包括常用语言、工具及数学软件),具有编写简单程序的能力；有较强的语言表达能力,掌握资料查询、文献检索以及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法，具有一定的科学研究能力；掌握金融数学、经济学和金融学的基本理论和方法，具备运用所学的数学与金融分析方法进行经济、金融信息分析与数学处理的能力；熟练掌握一门外语，具有较强的听、说、读、写、译能力。 （二）素质要求 本专业毕业的学生应具有良好的思想道德品质、较强的法制观念和诚信意识；较高的人文、科学和艺术修养；较强的现代意识和人际交往意识；科学的思维方法、创新精神、专业分析的素养；健康的体魄和健全的心里素质。 （三）能力要求 具有宽广的国际视野，较强跨文化沟通能力；较强的自主学习能力；利用计算机网络获取、利用、管理信息的能力；了解金融数学学科的若干最新进展及相近学科的一般原理与知识，能够运用相关软件进行金融数值计算，具有金融风险管理及证券投资的模拟试验能力。 三、学制 金融数学第一章练习题详解 第 1 章 利息度量 1.1 现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在 3 年后的累积值。 65.2847%)5.121(2000% 5.1215026003=+=?=?i i 1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和，等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。年实际利率为 5% 。求 T 。 58 .1411205.1ln /562352.0ln 562352.0ln 05.1ln 12 562352.01004/)05.127105.1314(05.105.1%)51()1(271314100412/1812/112/12 /1812/112/=?-==-=?+?==+=+=+=------T T i v v v v T t t t t T 两边取对数，其中 1.3 在零时刻，投资者 A 在其账户存入 X ，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入 2X ，按利率 i （单利）来计息。 假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求 i 。 094588 .02)12(2)2 1(2 )21()21()21())2 1()21((2 12:))21()21((:215/11515151615161516=?-==+?+=+-+==+-+=??+-+i i i i i i i Xi i i X Xi i X B i i X A i A 两边取对数 ，的半年实际利率为 1.4 一项投资以 δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年，累积值将成为 7.04。求 n 。 () 80 2)05.1ln /04.7(ln 04 .7)21025 .072.27/2ln 2 )1()(1ln 2/5.072.27=?==+=====+=+=n i e e i t a i n t t δδ δδδδ（ 一、填空（每空4分，共20分） 1．一股股票价值100元，一年以后，股票价格将变为130元或者90元。假设相应的衍生产 品的价值将为U=10元或D=0元。即期的一年期无风险利率为5%。则t=0时的衍生产品 的价格_______________________________。（利用博弈论方法) 2．股票现在的价值为50元，一年后，它的价值可能是55元或40元，一年期利率为4%， 则执行价为45元的看跌期权的价格为___________________。（利用资产组合复制方法） 3．对冲就是卖出________________， 同时买进_______________。 4．Black-Scholes 公式_________________________________________________。 5．我们准备卖出1000份某公司的股票期权，这里.1,30.0,05.0,40,500=====T r X s σ 因此为了对我们卖出的1000份股票期权进行对冲，我们必须购买___________股此公司 的股票。（参考8643.0)100.1(,8554.0)060.1(==N N ） 1．（15分）假设股票价格模型参数是：.120,8.0,7.10===S d u 一个欧式看涨期权到期时间,3=t 执行价格,115=X 利率06.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。 2．（15分）假设股票价格模型参数是：85.0.100,9.0,1.10====p S d u 一个美式看跌期权到期时间,3=t 执行价格,105=X 利率05.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。 3.（10分）利用如下图的股价二叉树，并设置向下敲出的障碍为跌破65元，50=X 元，.06.0=r 求0=t 时刻看涨期权的价格。 4.（15分）若股票指数点位是702，其波动率估计值,4.0=σ指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格结算。期货合约的价格是715美元。若执行价是740美元，短期利率为7%，问这一期权的理论价格应是多少？（参考 第一章金融市场 §1-1 基本思想——复制技术与无套利条件 §1-2 股票及其衍生产品 §1-3 债券市场 §1-4 利率期货 §1-2 股票及其衍生产品 股票衍生产品：是一个特定的合约，其在未来某一天的价值完全由股票的未来价值决定。 卖方(writer)：制定并出售该合约的个人或公司。 买方(holder)：购买该合约的个人或公司。 标的资产：股票。 远期合约：在交割日T，以执行价格X买入一单位标的资产的合约。 f t＝S t－Xe－rT 卖空条款： 1．某人(通常从经纪人)借入具体数量的股票，今天出售这些股票。 2．借的股票在哪一天归还必须还未被指定。 3．如果借出股份的买方想出售股票，卖空者必须借其他股份以归还第一次借得的股份。 期货合约定价 期货合约是购买者和出售者双方的协议，约定在未来某一具体时间完成一笔交易。 X＝S0e rT 看涨期权到期时损益：Call=(S T－X)＋ 看跌期权到期时损益：Put = (X －S T)＋ §1-3 债券市场 票面利率：以债券面值的百分比形式按年计算的定期支付。 即期利率：以当前市场价格的百分比的形式计算的每年支付。到期收益率：如果购买并持有至到期，债券支付的收益的百分比率。 若债券面值为1，到期日为T，其现值为P(t，T)。 到期收益率R为： 利率与远期利率： f（T1,T2）=（r2T2－r1T1）/（T2－T1） §1-4 利率期货 国债期货定价 F t＝(P－C) e r(T－t) C表示债券所有利息支付的现值． P为债券的现在价格。 第二章二叉树、资产组合复制和套利 §2-1 博弈法 §2-3 概率法 §2-2 资产组合复制 §2-4 多期二叉树和套利 §2-1 博弈法 假设： ●v市场无摩擦 ●v存在一种无风险证券 ●v投资者可用无风险利率r > 0不受限制地借或贷 ●v股票的价格运动服从二叉树模型 无风险组合：选择a使得这个投资组合在t =1的两种状态下取值相等，即 U－aS u＝D－aS d 无套利机会：这个投资组合的期末价值必须等于e rT(V0－aS)， e rT(V0－aS )= U－aS u＝D－aS d 要点：构造一个无风险投资组合 §2-2 资产组合复制 思想：构造资产组合复制衍生产品。 投资组合：a单位的股票＋b单位的债券（债券的面值为1美元。） ∏0＝aS0+b 复制衍生资产：选择a和b，使得组合在期末的价值与衍生资产 金融数学附答案精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】 1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 0.55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。 （2）假设以公平市场价格+0.10美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少 （3） 答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 406005--=--= ?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元 则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元 所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元 2、假定 S0 = 100，u=1.1，d=0.9，执行价格X=105，利率r=0.05，p=0.85，期权到期时间t=3，请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为0.318. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N（0.506)=0.7123；N（0.731）=0.7673 】{提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系} 解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（-0.506），N（d2）=N（-0.731）。给出最后结果为0.608 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=0.4，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（ N（-0.071922）=0.4721，N(-0.2271922）=0.3936 e-0.07*0.25=0.98265 解：F=715，T-t=0.25,σ=0.4,X=740,r=0.07 F/X=715/740=0.9622，σ(T-t)=0.4*0.5=0.2 d1=ln(0.9662)/0.2+0.2/2=-0.071922 d2=d1-0.2=-0.071922 1. 某人借款1000元，年复利率为9%，他准备利用该资金购买一张3年期，面值为1000元的国库券，每年末按息票率为8%支付利息，第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值，如果该债券发行价为900元，请问他做这项投资是否合适 2. 已知：1） 16 565111-++=+))(()()()(i i m i m 求?=m 2） 1 65 65111--- =- ))(()()()(d d m d m 求?=m 由于i n n i m m i n m +=+=+111)()() ()( 由于d n n d m m d n m -=-=- 111)()() ()( 3. 假设银行的年贷款利率12%，某人从银行借得期限为1年，金额为100元的贷款。银行对借款人的还款方式有两种方案：一、要求借款人在年末还本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末还本。试分析两种还款方式有何区别哪一种方案对借款人有利 4. 设1>m ，按从小到大的顺序排列δ,,,,)() (m m d d i i 解：由 d i d i ?=- ? d i > )()(m m d d >+1 ? )(m d d < )()(n m d i > ? )()(m m i d < )()(m m i i <+1 ? i i m <)( δδ+>=+11e i ， δ==∞ →∞ →)()(lim lim m m m m d i ? i i d d m m <<<<)()(δ 5. 两项基金X,Y 以相同的金额开始，且有：（1）基金X 以利息强度5%计息；（2） 基金Y 以每半年计息一次的名义利率j 计算；（3）第8年末，基金X 中的金额是基金Y 中的金额的倍。求j. 金融工程（Financial Engineering）/金融数学（Mathematics of Finance） 专业兴起于80年代末90年代初，是综合运用数学、统计学和计算机编程技术 来解决金融问题的崭新领域。金融工程学侧重于衍生金融产品的定价和实际运用，它最关心的是如何利用创新金融工具，来更有效地分配和再分配个体所面临的形形色色的经济风险，以优化它们的风险-收益特征。 在美国知名的高校中，Carnegie Mellon University的Master of Computational Finance开设于1994年，也一直被公认为是量化金融领域的Pioneering Program，常年在QuantNet上排名第一。自从CMU开设这个项目以后，Financial Mathematics, Quantitative Finance, Mathematics of Finance, Financial Engineering等类似的专业也都陆续出现在Columbia, Chicago, Stanford, UC Berkeley, Cornell, JHU, Wustl, Michigan, NYU, GIT等名校的Graduate Program之中了。而且像Princeton与MIT这两所名校的Master of Finance的项目，由于对数学、统计学以及计算机技能的高度重视，也使得这两个项目本身都有了金融数学、金融工程的印迹。 虽然这些项目在名称上有所不同，但实际学习的内容是相似的，主要包括数学、统计学、计算机编程、证券衍生物定价、风险分析、金融模型、金融信息分析和一些高级的金融理论等。金融工程项目课程是极具职业导向的，目标是培养具有相当强的计算机和数学素质，同时具有管理和商务技巧的专业人士，使他们可以在投资银行、商业银行、对冲基金、保险公司、公司财务部门等，从事证券金融衍生产品估价，投资组合管理，风险管理和市场预测等工作。 由于金融工程与金融数学是一个多学科交叉的项目，因而申请人的背景方面也呈现了丰富的多样性。被这些名校录取的学生中，他们所学的专业都包括了，Finance, Economics, Accounting, Mathematics, Statistics, Computer Science, Physics, Electrical Engineering, Industrial Engineering and Operation Research。甚至个别申请人的背景是Psychology and Marketing这样的专业。 近些年随着中国金融市场的迅速蓬勃发展，越来越多的中国学生将申请目标定位在这个项目上。国内的知名高校清华，北大，人大，复旦，上交，浙大，南京大学，南开大学，中央财经，上海财经以及对外经贸这些学校的学生都是申请这个方向的主力军。但是随着在国外攻读本科学位的中国学生也逐渐的加入了这个方向的申请，使得金工金数的申请形势变得更加的严峻。同时，金工金数项目中的中国学生的比例也都在逐年的提高，即使是在一些顶级的项目中，中国学生的比 1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。 （2）假设以公平市场价格+美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少 答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 40 6005--=--=?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元 则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元 所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元 2、假定 S 0 = 100，u=，d=，执行价格X=105，利率r=，p=，期权到期时间 t=3，请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N （=；N （）= 】 {提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系} 解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（），N（d2）=N（）。给出最后结果为 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（N（）=，N）= *= 解：F=715，T-t=,σ=,X=740,r= F/X=715/740=，σ(T-t)=*= d1=ln/+2= d2== G=**740) =美元 5、根据看涨期权bs定价公式证明德尔塔等于N（d1）（答案见课本122页） 金融数学附答案 Prepared on 24 November 2020 1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。 （2）假设以公平市场价格+美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少 答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 40 6005--=--=?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元 则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元 所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元 2、假定 S 0 = 100，u=，d=，执行价格X=105，利率r=，p=，期权到期时间 t=3，请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N （=；N （）= 】 {提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系} 解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（），N（d2）=N（）。给出最后结果为 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（N（）=，N）= *= 解：F=715，T-t=,σ=,X=740,r= F/X=715/740=，σ(T-t)=*= d1=ln/+2= d2== G=**740) =美元 5、根据看涨期权bs定价公式证明德尔塔等于N（d1）（答案见课本122页） 北大版金融数学引论答 案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 版权所有，翻版必究 第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解： S = 1000s 20p 7% + Xs 10p 7% X = 50000 1000s 20p 7% s 10 p7% = 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a 48% 解得 X = 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1 。试计算该年金的现值。 解： P V = na n pi 1 v n n = n 1 n = (n + 1)n n 2 n n +2 (n + 1)n 4．已知：a n p = X ，a 2n p = Y 。试用X 和Y 表示d 。 解： a 2n p = a n p + a n p (1 d)n 则 Y X d = 1 ( X ) 5．已知：a 7 p = , a 11p = , a 18p = 。计算i 。 解： a 18p = a 7 p + a 11p v 7 解得 6.证明： 1 1v = s +a 。 s i = %北京大学数学科学学院金融数学系 第 1 页 版权所有，翻版必究 证明： s 10p + a ∞p (1+i)1+1 1 s 10p = i (1+i)1 i i = 1 v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解： P V = 100a 8p3% + 100a 20p 3% = 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然 后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。 解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 1000¨25p8%= X¨15p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨8 p 。 X = 解： d = 10%，则 i =1 10.求证： (1) ¨n p = a n p + 1 v n ； 1d 1 =1 9 ¨8 p = (1 + i) 1 v 8 i = (2) ¨n p = s n p 1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。 证明： (1)¨n p =1 d v =1 v =1 v i + 1 v n 所以 (2)¨n p =(1+ i)1 ¨n p = a n p + 1 v n (1+i )1=(1+i)1 n 1 d = i + (1 + i) 所以 ¨n p = s n p 1 + (1 + i) n 金融数学专业本科人才培养方案 一、专业名称、代码、学制及所在学院 专业名称：金融数学专业代码：020305T 标准学制：4年所在学院：数学与信息科学学院 二、培养目标 本专业以培养复合型、应用型金融本科人才为目标，以现代化的教育思想和教育理念，全面整合金融学和应用数学本科专业人才培养计划，经过四年的学习，使毕业生具备良好的数学素养,掌握扎实的金融数学、金融工程和金融管理知识，能够运用金融工具和数量分析方法解决金融实务问题。学生毕业后可以在银行、保险、证券、信托等金融部门从事财务、理财、风险管理、数据分析等工作，也可以在教育、科研部门从事教学、科研工作或继续攻读研究生学位。 三、基本要求 本专业要求学生系统掌握数学基础知识，掌握银行、证券、投资、保险等方面的基本理论知识，接受相关金融业务的基本训练，熟悉国家的金融方针、政策和法规，了解国内外金融业发展的现状和趋势，掌握在金融领域从事实际工作的基本技能。 毕业生应获得以下几方面的知识和能力： 1、掌握数学、经济学和金融学的基本理论和基础知识，熟悉中外金融理论与实务，注重理论联系实际，把握国内外金融业发展动态； 2、熟悉国家有关银行、证券业的政策和法规； 3、熟练掌握金融业务的基本操作流程，能够综合运用各种金融工具和数量分析方法解决金融实务问题； 4、掌握计算机基础知识，具有较高的计算机应用能力。 5、具有健康的体魄和良好的心理素质。 四、主要课程及实践教学安排 1、主干学科：金融学、数学。 2、主要课程：数学分析、高等代数与解析几何、概率论、数理统计、常微分方程、偏微分方程、数值分析、数学建模与数学实验、数据库与数据结构、运筹 金融数学第一章练习题详解 第1章利息度量 1.1 现在投资$600，以单利计息，2年后可以获得$150的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在3年后的累积值。 1.2 在第1月末支付314元的现值与第18月末支付271元的现值之和，等于在第T月末支付1004元的现值。年实际利率为5%。求T。 1.3 在零时刻，投资者A在其账户存入X，按每半年复利一次的年名义利率i计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入2X，按利率i （单利）来计息。假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求i。 1.4 一项投资以δ的利息力累积，27.72年后将翻番。金额为1的投资以每两年复利一次的名义利率δ累积n年，累积值将成为7.04。求n。 1.5 如果年名义贴现率为6%，每四年贴现一次，试确定$100在两年末的累积值。 1.6 如果)(m i=0.1844144，)(m d=0.1802608，试确定m。 1.7 基金A以每月复利一次的名义利率12%累积。基金B以 =t/6 t 的利息力累积。在零时刻，分别存入1到两个基金中。请问何时两个基金的金额将相等。 1.8 基金A 以t δ=a+bt 的利息力累积。基金B 以t δ=g+ht 的利息力 累积。基金A 与基金B 在零时刻和n 时刻相等。已知a>g>0，h>b>0。求n 。 1.9 在零时刻将100存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率?支付利息。从t=2开始，利息按照t t +=11δ的利息力支付。在t=5时，存款的累积值为260。求δ。 1.10在基金A 中，资金1的累积函数为t+1，t>0；在基金B 中，资金1的累积函数为1+t 2。请问在何时，两笔资金的利息力相等。 1.11已知利息力为t t +=12δ。第三年末支付300元的现值与在第六年末支付600元的现值之和，等于第二年末支付200元的现值与在第五年末支付X 元的现值。求X 。 82 .315))51/(())21(200-)61(600)31(300() 5()2(200)6(600)3(300)1()()1()(22-2211112 12)1ln(212 0=++?+?++?=??+?=?+?+=?+==?=---------++X a X a a a t t a t e e t a t dt t t 1.12已知利息力为1003t t =δ。请求)3(1-a 。 1.13资金A 以10%的单利累积，资金B 以5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。 1.14某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资1年，在上半年的名义利率为5%（每半年复利一次），全年的实际利率为7%，试确定5.0δ。 2019-2020上海财经大学金融数学与金融工程（810金融学基础）考研详情介绍与经验指导 学院简介 历史悠久 上海财经大学金融学院的前身为建立于1921 年的国立东南大学银行系，是我国高等院校中最早创设的金融学科之一，学科创始人杨荫薄、朱斯煌等教授为近代中国金融学的奠基人。建国后，彭信威、刘絜敖、朱元、吴国隽、王宏儒、龚浩成、谢树森、王学青、俞文青等资深教授均对新中国金融高等教育的发展有重要贡献。1998 年，为了适应我国金融事业发展的需要，进一步促进金融学科发展，上海财经大学成立了金融学院，这也是我国大陆高校中设立的第一个金融学院。 体系完整 金融学院设有银行系、保险系、国际金融系、证券期货系以及公司金融系共5 个系，现有本科四个专业、四个学术型硕士点、两个专业学位硕士点和四个博士点。凭借学院优良的基础设施、资深的师资团队以及现代化的管理方式和国际化视野，成就了一批批活跃于金融界的学术和实践人才。 师资雄厚 学院拥有一流的师资队伍，现有专职教师74 人，其中教授26 人，副教授25 人。获得博士学位的教师人数超过全体教师比例的89%，其中30 位教师获得海外博士学位。近年来学院注重从国外引进高层次科研与教学人才，现有常任轨教师24 人，均具有海外博士学位。学院还聘请多名海外著名高校的知名学者担任特聘教授，聘请海内外大型金融企业负责人担任兼职教授。近三年来，学院共有十多名教师参加"国家留基委"项目、学校双语师资培训项目以及美国富布莱特基金资助项目，均提高了教师的研究和教学能力。 金融学院致力于构建一支具有国际视野和较高科研水平的一流师资队伍，以培养具备批判思维能力、创造力和前瞻力的国际化高素质金融专业人才，致力于在中短期内，使学院成为亚洲一流、有一定国际影响力的金融教学、科研基地。现任院长为美国哥伦比亚大学金融系主任王能教授。 招生人数 浙江外国语学院 2013～2014学年第一学期期末考试 （参考答案及评分标准） 课程名称 金融数学 课程编号3040702003试卷类型A 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C B D A A 二．填空题（本大题共10小题，每小题 3分，共30分.） 1. 已知总量函数为2 ()33A t t t =++，则利息4I = 10 。 2. 已知1000元存入银行，在两年后可以得到1100元，银行按季进行结算，则 季挂牌名利率为 4.79% 。 3. 设有2年期2000元的贷款，月换算名利率为6%，如果按等额摊还方式在每 月底还款，则每次的还款金额为 88.64 元。 4. 已知标准永久期初年金的现值是26，则利率i = 4% 。 5. 某投资者第1年初投资3000元，第2年初投资2000元，而第2年至第4年 末均回收4000元。则利率为9%时的现金流现值为 4454.29 元。 6. 如果现在投资300元，第二年末投资100元，则在第四年末将积累到500元， 则实际利率为 6.54% . 7. 设有1000元贷款，每季度还款100元，已知季挂牌名利率为16%，则第4 次还款中本金有 67.49 元。 8. 设有1000元贷款，月换算挂牌利率为12%，期限一年，按偿债基金方式还款， 累积月实利率0.5%，则第4次还款中利息有 10 元。 9. 现有2年期面值为100元的债券，每半年付息一次，名息率8%，如果以名收 益率10%认购，则认购价格为 96.45 元。 10. 现有3年期面值为1000元的无息票债券，如果认购价格为850元，则收益率 为 5.57% 。 三．计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.） 1. 现有某商品两种等价的付款方式：(1)按低于零售价10%的价格付现款;(2)在 半年和一年后按零售价的48%分别付款两次，求隐含的年利率。 第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解：20|7%10|7% 50000100020|7%10|7% 1000 651.72s s s S s X X -=+== 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有 48|1.5%1000250X a =+ 解得X = 1489.36 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i = 1 。试计算该年金的现值。 解： 22 |1( 1)1( 1)n n n n i n v n n n PV na n n n +-+-===+ 4．解： ]]]2(1)n n n n a a a d =+-则1 1()n Y X d X -=- 5．已知：]]]71118 5.58238, 7.88687, 10.82760a a a ===。计算i 。 解： ]]]718711a a a v =+解得i = 6.0% 6.证明：]]] 10101 110s a v s ∞+=- 证明： ]]]10101010 10(1)111(1)11i s a i i i s v i ∞+-++==+-- 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解： 8p]3%20]3%100100 2189.716a a PV =+=8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然 后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 金融数学与金融工程人才培养基地教学计划 (Base of Financial Mathematics and Financial Engineering Education) 一、专业简介 “金融数学与金融工程人才培养基地”是山东大学整合数学与系统科学学院和经济学院的学科优势、师资队伍力量、教学资源和条件而成立的校级本科人才培养基地。基地按照“目标明确、改革领先、成果突出、师资优化、设备先进、教学优秀、质量一流”的要求进行建设，全面整合金融学和应用数学等相关本科专业的教育资源，打破原有学科、专业界限，培养跨学科交叉型金融人才，是一个集理论性、应用性和技术性为一体的综合性金融人才培养基地。 二、培养目标和要求 基地以培养“政治思想素质高、身心健康、学科基础扎实、富有创新精神、知识面宽、能力强、综合素质高”的优秀复合型、应用型金融专业人才为目标。具体地，基地培养的学生要求达到：1．具有坚定的政治信念，具有高度的爱国主义热情，具有崇高的理想，具有强烈的社会责任心，过硬的社会竞争力乃至国际竞争力，个性与人格得到充分、健康地发展。 2．具备扎实的数学、经济学理论基础，掌握扎实的基本金融理论、金融数学、金融工程和金融管理理论与实务知识，能够开发、设计、操作新型的金融工具和手段。 3．具备扎实的数理分析基础和运用数学模型的技能，能够综合运用经济金融分析方法和手段进行社会调查、分析以及解决金融实务问题。 4．学生毕业后能够胜任在银行、保险、证券、信托等金融部门从事金融业务性、技术性以及管理性工作；胜任在企业从事财务、理财、风险管理工作；胜任在教育、科研部门从事教学、科研工作。 5．部分具有学术培养潜力的优秀毕业生能够达到直接升入硕士研究生阶段学习的要求。 三、修业年限 四年。 四、专业类别及授予学位 按计划要求完成学业者授予经济学或理学学士学位。 五、本专业主干(核心)课程 政治经济学、宏微观经济学、货币银行学、国际金融、计量经济学、金融投资学、金融工程学、公司理财、金融经济学、国际经济学、商业银行经营管理、金融市场学、西方货币金融理论、数学分析、高等代数、概率论、数理统计、常微分方程、运筹学。 六、专业主要方向及特色 基地按照复合型、应用型金融专业人才培养目标，培养学生扎实的数学、经济学理论功底，扎实的金融理论、金融数学、金融工程和金融管理知识，初步具备开发、设计、操作新型金融工具的能力，以及综合运用各种金融分析工具解决金融实务问题的能力。 基地建立一套独立、完整的教学计划，单独编班；对部分优秀、有培养潜质的学生实行本硕打通培养。 金融学院《金融数学》课程期末考试试卷（A）卷 学院、专业、班级学号姓名 一、填空题（每小题4分，共20分） 1.如果现在投资2，第二年末投资1，则在第四年末将积累5，则实际利率等于； 2.某年金每年初付款1000元，共8年，各付款利率为8%，各付款所得利息的再投资利率为6%。则第8年末的年金积累值为元； 3.甲在银行存入2万元，计划分4年支取完，每半年末支取一次，每半年计息一次的年名义利率为7%，则每次支取的额度为元； 4.有一期末变化年金，其付款额从10开始，每年增加5，直到50，若利率为6%，求该变化年金的现值为； 5.某人的活期账户年初余额为1000元，其在4月底存入500元，又在6月底和8月底分别提取200元和100元，到年底账户余额为1236元．用资本加权法近似计算该账户的年利率为． 二、选择题（每小题5分，共30分） 1. 某人于2002年1月1日向某企业投资20万元，希望从2007年至2011年中每年1月1日以相等的金额收回资金。若年复利率为8%，则其每年应收回的资金为（）元。 A.63100.59 B.68148.64 C.73600.53 D.79488.57 2.某人在第1年、第2年初各投资1000元到某基金，第1年末积累额为1200元，第2年末积累额为2200元。根据时间加权法计算年收益率为（） A.10.5% B.9.5% C.8.5% D.7.5% 3.某单位计划用10年时间每年初存入银行一笔固定金额建立基金，用于从第10年末开始每年2000元的永久资励支出。假设存款年利率为12%，则每年需要存入的金额为（）元。 A.847.98 B.851.98 C.855.98 D.861.98 4.现有1000元贷款通过每季度还款100元偿还，且已知季换算挂牌利率为16%．计算第4次还款中的本金量为（）元。 A. 62.49 B.57.49 C.52.49 D.67.49 5.设每季度计算一次的年名义贴现率为12%，则5年后积累值为20000元的投资在开始时的本金为（）元。 A.10774.9 B.10875.9 C.10976.9 D.11077.9 6. 某人将收到一项年金支付，该年金一共有5次支付，每次支付100元，每3年支付一次，第一次支付发生在第7年末，假设年实际利率为5%，则该年金的现值为（）元。A．234 B.256 C. 268 D. 298 三、解答题（每小题10分，共50分） 1.李某每年年初存入银行1000元，前4年的年利率为6%，后6年由于通货膨胀率的提高，年利率升到10%。求第10年末时的存款积累值。 2. 某人继承了一笔遗产：从现在开始每年得到10000元．该继承人以年利率10%将每年的遗产收入存入银行．第5年底，在领取第6次遗产收入之前，他将剩余的遗产领取权益转卖给他人，然后，将所得的转卖收入与前5年的储蓄收入合并，全部用于年收益率为12%的某种投资．若每年底的投资回报是相同的，且总计30年，试计算每年底的回报金额。 3.年初建立一项投资基金，1月1日初始存款为10万元；5月1日基金账户价值为11.2万，再增加3万元的投资；11月1日账户价值为12.5万元，取出 4.2万；第二年1月1日投资基金价值变为10万元。分别用资本加权法和时间加权法计算基金投资收益率。 4. 某贷款的还贷方式为：前5年每半年还2000元，后5年每半年还1000元．如果半年换算的挂牌利率为10%，分别用预期法和追溯法计算第6次还贷后的贷款余额． 5. 某保险受益人以年金形式从保险公司分期领取10万元死亡保险金，每年末领取一次，共领取25年，年利率为3%，在领取10年后，考虑未来通货膨胀，保险公司决定通过调整利率至5%来增加后面15年的受益人的年领取额，求后15年里受益人每年可领取的金额。金融数学附答案
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