泊松分布地概念及表和查表方法

泊松分布的概念及表和查表方法

目录

1命名原因

2分布特点

3关系

4应用场景

5应用示例

6推导

7形式与性质

命名原因

泊松分布实例

泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

分布特点

泊松分布的概率函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为特征函数为

关系

泊松分布与二项分布

泊松分布

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。

事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。应用场景

在实际事例中，当一个随机事件，例如某交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。

应用示例

泊松分布适合于描述单位时间（或空间）随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间到达的人数，交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区的细菌分布数等等。

观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示：

例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式：

……

是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此就意味着全部死亡的概率。

推导

泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间出现的事件个数这种场合。在一定时间某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。

为方便记，设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n，把时间段[0,1)分为等长的n段：

我们做如下两个假定：

1. 在每段，恰发生一个事故的概率，近似的与这段时间的长成正比，可

设为。当n很大时，很小时，在这么短暂的一段时间，要发生两次或者更

多次事故是不可能的。因此在这段时间不发生事故的概率为。

2.各段是否发生事故是独立的

把在[0,1)时段发生的事故数X视作在n个划分之后的小时段有事故的时段数，则按照上述两个假定，X应服从二项分布。于是，我们有

注意到当取极限时，我们有

因此

从上述推导可以看出：泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说，若,其中n很大，p很小，因而不太大时，X的分布接近于泊松分布。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。

形式与性质

阶乘特点以及泰勒公式使得一类期望的计算十分简便

泊松分布——概率分布表