Poisson过程
第三章Poisson过程
教学目的：（1）了解计数过程的概念；
（2）掌握泊松过程两种定义的等价性；
（3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；
（4）了解泊松过程的三种推广。
教学重点：（1）泊松过程两种定义的等价性；
（2）泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；
（3）泊松过程的三种推广。
教学难点：（1）泊松过程两种定义的等价性的证明；
（2）泊松过程来到时刻的条件分布；
（3）泊松过程的推广。
3.1 Poisson过程
教学目的：掌握Poisson过程的定义及等价定义；会进行Poisson过程相关的概率的计算。
教学重点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明；Poisson过程相关的概率的计算。
教学难点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明。
Poisson过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义
定义3.1：{(),0}
表示从到时刻
N t t
N t t≥
随机过程称为计数过程，如果()0特定事件发生的次数，它具备以下两个特点：
某一A
N t取值为整数；
(1)()
内事件发生的次数。
(2)()()()-()(,]
时，且表示时间A
s t N s N t N t N s s t
<≤
计数过程有着广泛的应用，如：某商店一段时间内购物的顾客数；某段时
间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。
如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称该计数过程
有独立增量。即当123,t t t <<2132()-()()-()X t X t X t X t 有与是独立的。
若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于,时间区间的长度则计数 过程有平稳增量。即对一切12120(,]t t s t s t s <>++及，在中事件个数
21()()N t s N t s +-+12(,]t t 与区间中事件的个数21()()N t N t -有相同的分布。
Poission 过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission 引入。
.独立增量和平稳增量是某些级数过程的主要性质Poisson 过程是具有独立
增量.和平稳增量的计数过程
定义3.2：{(),0}(0)N t t λλ≥>计数过程称为参数为Poisson 过程，如果 (1)(0)0N =；
(2)过程具有独立增量；
(3),0,s t ≥对任意的
(()-())P N t s N s n +=!
n
t
t e n λλ-=（）
例3.1：3/h 设顾客到达商店依次人的平均速度到达，Poisson 且服从分布，
9:00,已知商店上午开门试求
(1)9:0010:005从到这一小时内最多有名顾客的概率？
(2)9:3011:30到时仅到一位顾客，而到时总计已达到5位顾客的概率？
(解：见板书。)
注：（1）Poisson 过程具有平稳增量。
（2）随机变量()N t 服从参数为t λ的Poisson 分布，故[()]E N t t λ=（显然，可以认为λ是单位时间内事件发生的平均次数，称λ是Poisson 过程的强度或速率或发生率。）
（3）0
lim (()-()0)t P N t s N s +→+=0
lim 1()t
t e t o t λλ+
-→==-+ 0
lim (()-()1)t P N t s N s +→+=0
lim ()t t te t o t λλλ+
-→==+ 0lim (()-()2)()t P N t s N s o t +
→+≥=
（让同学们通过讨论来解释这几个极限结果的实际意义，适当引导学生结合实际并应用二项分布与Poisson 分布之间的关系来解释这3个极限。）
,根据稀有事件原理在概率论中我们已经学到：
,Bernoulli 试验中，每次试验成功的概率很小而,实验的次数很多时二项
.Poisson 分布会逼近分布.这一现象也体现在随机过程中(0,]t 首先，将划分为 n 个相等的时间小区间，则由(4)'n →∞条件可知，当时，在每个小区间内事件 220.→发生次或次以上的概率事件发生一次的概(),,t
p h p n
λλ≈?=率显然很小
1这恰好是次.Bernoulli 试验1,,其中发生次为成功不发生的为失败再由(2)'给出
,()N t n 的平稳增量就相当于次独立Bernoulli 试验中试验成功的总次数。由
()Poisson N t 分布的二项逼近可知，将服从t Poisson λ参数为的分布。
（让学生讨论如何判断一个计数过程是不是Poisson 过程，则必须验证是否满足（1）——（3），条件（1）说明计数过程从0开始，条件（2）通常可以从我么对过程的实际情况去直接验证，然而条件（3）一般完全不清楚，如何去判断？是否可以从我们所得到的Poisson 过程的这三条性质来判断定义中的条件（3）是否成立？接下来就证明计数过程满足Poisson 过程定义中的条件（1）和（2）及这里的性质的时候，该计数过程是一个Poisson 过程。于是得到Poisson 过程的等价定义）
定义3.2’: 一计数过程{(),0}N t t ≥λ称为参数为Poisson 的过程，若满足：
(1)'(0)0N =；
(2)'是独立增量及平稳增量过程，即任取120,n t t t n N <<<<∈ ,
1211()(0),()(),,()()n n N t N N t N t N t N t ---- 相互独立；
,0,0,{()()}{()}s t n P N s t N t n P N t n ?>≥+-===且 (3)'0,0,t h >>对任意和充分小的有
{()()1}()P N t h N t h h λο+-==+
(4)'0,0,t h >>对任意和充分小的有
{()()2}()P N t h N t h ο+-≥=
定理3.1: 3.2 3.2'定义与定义是等价的。
证明： 3.2' 3.2?定义定义
由增量平稳性，记：(){()}{()()}n P t P N t n P N s t N s n ===+-= （I ）0n =情形：因为
{()0}{()0,()()0},0N t h N t N t h N t h +===+-=>
我们有：
0(){()0,()()0}P t h P N t N t h N t +==+-=00={()0}{()()0}()()P N t P N t h N t P t P h =+-==
另一方面
0(){()()0}1(())P h P N t h N t h h λο=+-==-+
代入上式，我们有：
000()()()()P t h P t h P t h h ολ+-?
?=-+ ???
令0h →我们有：
0000()()
()(0){(0)0}1
t P t P t P t e P P N λλ-'=-??=?
===? （II ）0n >情形：因为：
{()}{(),()()0}
N t h n N t n N t h N t +===+-={()1,()()1}N t n N t h N t =-+-= 2{(),()()}n l N t n l N t h N t l =??
=-+-=????
故有：
1()()(1())()(())()n n n P t h P t h h P t h h h λολοο-+=--+++
化简并令0h →得：1()()()n n n P t P t P t λλ-'=-+两边同乘以t
e λ，移项后有：
1()()(0){(0)}0t t
n n n
d e P t e P t dt P P N n λλλ-???=????
?===? 当1n =时，有：
111(),(0)0()()t t
d e P t P P t t e dt
λλλλ-??==?=?? 由归纳法可得：
0()(),!
n t
n t P t e n N n λλ-=∈
注意：{()}
{()}E N t E N t t t
λλ=?=,因此λ代表单位时间内事件A 出现的平均次数。
3.2 3.2'?定义定义
{()()1}P N t h N t +-={()(0)1}P N h N =-=1
()1!
h
h e
λλ-= 0
()!n
n h h n λλ∞
=-=∑(1())h h o h λλ=-+()h o h λ=+--------(3)'——成立。 {()()2}P N t h N t +-≥{()(0)2}P N h N =-≥2
()!
n
h
n h e
n λλ∞
-==∑ 2()!n h
n h e
n λλ∞
-==∑0
()[1]!n h
n h e h n λλλ∞
-==--∑[1]h h e e h λλλ-=-- 1h h e he λλλ--=--()h ο=---------------------------(4)'——成立。
例3.2：{()0},N t t Poisson λ≥设，服从强度为的过程求
(1{(5)4};P N =）
(2{(5)4,(7.5)6,(12)9};P N N N ===）
(3{(2)9|(5)4}.P N N ==）
例3.3：A Poisson λ事件的发生形成强度为的过程{(),0},N t t ≥如果每次事件
P 发生时以概率能够被记()M t t 录下来，并以表示时刻记录下来的事件总数，则
{(),0}M t t P Poisson λ≥是一个强度为的过程。
例3.4：,某商场为调查顾客到来的客源情况考察了男女.顾客来商场的人数
假设男女顾客到达商场的人数分12Poisson 别是独立服从每分钟人与每分钟人的
过程。
(1)到达商场顾客的总人数应该服从什么分布？
(2)50,30t 已知时刻已有人到达的条件下问其中有位是女性顾客的概率有多大？
平均有多少女性顾客？
作业1：Poisson 设通过某十字路口的车流可以看做过程，1如果分钟内没有车 0.2.辆通过的概率为
121（）求分钟内有多于辆车通过的概率。
(2)5在分钟内平均通过的车辆数。
35（）在分钟内平均通过的车辆数方差。 45（）在分钟内至少有一辆车通过的概率。
3.2 Poisson 过程相联系的若干分布
教学目的：掌握n X 和n T 的分布；理解事件发生时刻的条件分布。 教学重点：n X ，n T 的分布；事件发生时刻的条件分布。
教学难点：事件发生时刻的条件分布。
{(),0}Poisson N t t ≥过程的一条样本路径一般是1跳跃度为的阶梯型函数。
:1,2,n T n n = 是次事件发生的时刻，也称为第n 次事件的等待时间，
规 00.T =定：
:1,2,1n X n n n =- 是次与次事件发生的时间{,1}n X n ≥间隔，序列也称
.为时间间隔序列
显然n T 1n
i i X ==∑，n X 1n n T T -=-。
接下来讨论:1,2,n X n = 及:1,2,n T n = 分布，先讨论1X 的分布，让学生根据Poisson 过程的两个等价定义中的条件来分析猜想1X 的分布，引导学生用Poisson 过程的平稳独立增量性和无记忆性之间的联系。
复习：1.指数分布
()00
x x e f x x λλ-≥?=?
()()F x P X x =≤()x
f t dt -∞
=?
100x x e x λ-≥?-=?
2.无记忆性
若随机变量满足(|){}P X s t X t P X s >+>=>X 则称随机变量是无记忆 性的。.（指数分布无记忆性）,X X 如果将看做某仪器的寿命则的无记忆性表示为：
,t s t +在仪器已工作了小时的条件下它至少工作小时的概率与它原来至少工作
s 小时的概率是相同的。
结论：~(),X E λ若0,0,s t >>则对任意的恒有：
(|)P X s t X t >+>{}P X s =>
n n X T 一、和的分布
定理3.2：,1,2,,.n X n λ= 服从参数为的指数分布且相互独立
3.2,Poisson 注：定理的结果应该是在预料之中的因,过程有平稳独立增量因此
"过程在任何时刻都重新",开始即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切
(),(由独立增量且有与过程完全一样的分布由平稳).,"增量换言之过程无记忆",性"与指数分布的无记".忆性相对应
3.2Poisson 定理给出了过程的又一种定义方法：
定义3.3：12,,X X 如果每次事件发生的时间间隔相互独立且服从同一参
λ数的指数分布，这该计{(),0}.N t t Poisson λ≥数过程是一个强度为的过程
注：如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立，且服从同一
参数λ为的指数分布，则质.Poisson λ点流构成强度为的过程
3.2,Poisson 定理告诉我们要确定一个计数过程是不是,过程只要用统计方法 ,检验点间间距是否独立且服从同一指数分布。
例3.5: 800,设从早上：开始有无穷多个人排队等候服务只,有一名服务员
且每个人接受服务的时间是独立的20min 并服从均值为的指数分布，则到中午12:009为止平均有多少人已经离去，已有个人接受服务的概率是多少？
例3.6: ,甲、乙两路公共汽车都通过某一站两路汽车的达到10分别服从分
钟1()15()Poisson 辆甲，分钟一辆乙的分.布假定车总不会满员，试问可乘坐甲或 乙两路公共汽车的乘客在此车站所需要等待时间的概率分布及其期望。
定理3.3：,1,2,.n T n n λ=Γ 服从参数为和的的分布 证明：见板书。
二、事件发生时刻的条件分布
12(),,,n N t n T T T = 讨论在给定的条件下，的条件分布相关性质及其应用。
引理：{(),0},N t t Poisson ≥假设是过程0,s t ?<≤则有
1(|()1)P T s N t ≤=s
t
=
[0,],t A A 即在已知内只发生一次的前提下发生的时刻[0,].t 在上是均匀分布因为
Poisson 过程具有平稳独立,[0,1]增量事件在的任何相等长度的子区间内发生的
,概率是等可能的[0,].t 即它的条件分布是上的均匀分布
自然我们要问：
(1(),1N t n n =≥）这个性质能否推广到的情况？
2Poisson （）这个性质是否是过程特有的？本定理的逆命题是否成立？
首先讨论顺序统计量的性质：12(),,,n k Y Y Y n Y 设是个随机变量，如果是
12,,,0,1,,n Y Y Y k k n = 中第个最小值，，则称(12,,,n Y Y Y ）（）（）是对应于 12,,,n Y Y Y 的顺序统计
12,,,n Y Y Y 量。若是独立同分布的连续型随机
变量且
(),i f y 具有概率密度则顺序统计量(12,,,:n Y Y Y ）（）（）
的联合密度为 12(,,,)n f y y y 1!()n
i i n f y ==∏ 12(,)n y y y <<<
原因：(1)(2)()12,,,(,,,)n n Y Y Y y y y （1）（）将等于，而12(,,,)n Y Y Y 等于 12(,,,)n y y y !n 的个排列中的任一个；
12122)(,,,)(,,,)n i i i n y y y y y y （当是的一个排列1212(,,,)(,,,)n n i i i Y Y Y y y y 时，等于
的概率密度
12(,,,)n i i i f y y y = 12()()()n i i i f y f y f y 1
()n
i i f y ==∏
注：,1,2,(0,)i Y i n t = 若都在上独立同均匀分布，
1
(())i f y t
=即则其顺序统计
量(1)(2)()(,,,)n Y Y Y 的联合密度函数是
12(,,,)n f y y y !
n n t
=
12(0,)n y y y t <<<<< 定理3.4：{(),0},()N t t Poisson N t n ≥=设为过程则在已知的条件下，事件发 12,,,n n T T T 生的个时刻的联合分布密度是：
12(,,,)n f t t t !
n n t
=
12(0,)n t t t t <<<<< :[0,]t n 注上式恰好是区间上服从均匀分布的个相互独立的随机变量12,,,n Y Y Y
的顺序统计量(12,,,n Y Y Y ）（）（）
的联合分布。 直观上理解：[0,]t n 在已知内发生了次事件的前提下，各次事件发生的时刻
12,,,()n T T T 不排序可看做相互独立的[0,]t 随机变量，且服从上的均匀分布。
例3.7: (见书)
,Poisson λ乘客按照强度为的过程来到某火车站火车t 在时刻启程，计算 (0,]t 在内达到的乘客等待时间的
()
1
[()],
N t i i E t T =-∑总和的期望值，即要求i
T 其中i 是第个乘客来到的时刻。
例3.8: (见书例3.6)
3.3考虑例中每次事件发生时被记录到的概率随时间发生变化的情况，设 A s 事件在时刻发生被记录到的()()P s M t t 概率，若以表示时刻被记录的事件数，那()Poisson M t 么它还是过程吗？试给出的分布。
3.3 Poisson 过程的推广
教学目的：掌握非齐次Poisson 过程的定义；了解非齐次Poisson 过程与Poisson 过程之间的联系；理解复合Poisson 过程的定义；掌握复合Poisson 过程的性质；了解条件Poisson 过程的定义；掌握条件Poisson 过程的性质。
教学重点：非齐次Poisson 过程与Poisson 过程之间的联系；复合Poisson 过程的性质；条件Poisson 过程的性质。
教学难点：非齐次Poisson 过程与Poisson 过程之间的联系。
一、非齐次Poisson 过程
,Poisson t λ当过程的强度不再是常数而与时间,Poisson 有关系时过程被推广
Poisson 为非齐次过程。
,Poisson 一般来说非齐次过程是不具备平稳增量的( 3.6).例如书例在实际中,
Poisson 非齐次过程也是比.,较常用的例如在考虑设备的故障率时由于设备使
,;用年限的变化出故障的可能性会随之变化放射性,物质的衰变速度会因各种外
部条件的变化而随之;变化昆虫产卵的平均数量随着年龄和季节而变化.等在这
,Poisson 样的情况下再用齐次过程来描述就,Poisson 不合适了于是改用非齐次过
程来处理。
定义3.4: {(),0}(),0N t t t t λ≥≥计数过程称为参数为Poisson 的非齐次过程，
若满足： (1)(0)0N =；
(2)过程有独立增量；
(3)0,0,t h >>对任意和充分小的有
{()()1}()()P N t h N t t h h λο+-==+
(4)0,0,t h >>对任意和充分小的有
{()()2}()P N t h N t h ο+-≥=
poisson 在非齐次过程中，
均值0(().t
m t s ds λ=?） Poisson 非齐次过程有如下等价定义：
定义3.5：{(),0}(),0N t t t t λ≥≥计数过程称为参数为Poisson 的非齐次过程，
若满足： (1)(0)0N =；
(2)过程具有独立增量；
(30,0,()()t s N t s N t ≥≥+-）对任意实数具有参数为
()()()t s
t
m t s m t u du
λ++-=?
Poisson 的分布。
可证：(()-())P N t s N t n +=[()()]exp{(()())}!
n m t s m t m t s m t n +-=-+-
注1:我们称m(t)为非齐次poisson 过程的均值或强度。 注2:定义3.4与定义3.5是等价的。
定理3.5：{(),0}(),N t t t λ≥设是一个强度为0t ≥Poisson 的非齐次过程，对任 意0,t ≥实数令*1()(()),N t N m t -=*{()}1N t 则是一个强度为的齐次Poisson 过程。
注3:用此定理可以简化非齐次Poisson 过程的问题 到齐次Poisson 过程中进行讨论。另一方面也可以 进行反方向的操作，即从一个参数为 的Poisson 构造一个强度函数为 的非齐次Poisson 过程。
定理3.5’： {(),0}, 1.M u u Poisson λ≥=设是齐次过程且若强度函数
(),0,s s λ≥0
()(),t
m t s ds λ=?令()(()),N t M m t ={()}()N t s λ则是具有强度为的
Poisson 非齐次过程。（一般了解）
例3.9: (见书) 设某设备的使用期限为10年，
5在前年内它平均2.5年需 要维修52一次，后年平均年需要维修一次。试求它在使用期内维修过一次的概率。
二、复合Poisson 过程
定义3.6: {(),0},X t t Poisson ≥称为复合过程如果对于0,()t X t ≥可以表示
为：()
1()N t i i X t Y ==∑，{(),0},1,2i N t t Poisson Y i ≥= 其中是一个过程，是一族独立同
分,{(),0}N t t ≥布的随机变量并且与也是独立的。
Poisson 容易看出：复合过程不一定是计数过程，,1,2,i Y c i c ≡= 但当为常 Poisson 数时，可化为过程。
物理意义: 如{(),0}N t t ≥表示粒子流， ()N t 表 [0,]t 示 内到达的粒 i Y 子数 i 表示第个粒子的能量，
()X t 则表示[0,]t 内到达的粒子的总能量。 例3.10: (见书例3.8) Poisson 保险公司接到的索赔次数服从一个过程
{()}N t ，,i Y 每次要求赔付的金额都相互独立且有同
F 分布，每次的
索赔
数额与它发生的时刻无关，则[0,]{()}t X t 时间内保险公司需要赔付的总金额就是一个复合Poisson 过程，其中
()
1
()N t i i X t Y ==∑
例 3.11: (见书例 3.9 顾客成批到达的排队系统)
设顾客到达某系统的时间12,,S S 形成一强度,Poisson λ为的过程在每个时刻
,1,2n S n = 可以同时有多.,n n Y S 名顾客到达表示在时刻到达的顾客数假定,1,2,n Y n = 相互独立{}n S 并且与,也独立则在[0,]t 时间内到达服务系统的顾
客总人数也可用以复Poisson 合过程来描述。
定理3.6：()
1
{(),0}N t i i X t Y t Poisson ==≥∑设是一复合,过程Poisson 过程
{(),N t 0}t ≥,λ的强度为则
(1)()X t 有独立增量；
2(2(),i E Y <+∞）若则
1[()](),E X t tE Y λ=21[()]().Var X t tE Y λ=
例3.12:（见书例3.10）,在保险中的索赔模型中设保险公司接到的索赔要
求是2Poisson 强度为每月次的过程，每次赔付服从均值为10000元的正态分布， 则一年中保险公司平均的赔付额是多少？
作业1: {(),0}()t N t t t e λ≥=设是一强度函数为的非齐次,Poisson 过程若
*{(),0}N t t ≥1是一强度为的齐次*,().Poisson N t 过程求
作业2: 一份杂志通过零售来销售。其销售量为每天平均为6份的Poisson
过程。1零售商每售出一份，可得元的手续费，求零售商一年内所得总手续费的期望值。
Poisson过程的模拟和检验
Poisson过程的模拟和检验 实验目的：理解掌握Poisson过程的理论，了解随机过程的模拟实现技术，学习并掌握在 实际中如何检验给定的随机过程是否为 Poisson过程。 实验内容：利用C语言、MATLAB等工具，结合Poisson过程等相关结论，模拟Poisson 过程（还可选：非齐次Poisson过程等）； 查找资料、学习关于Poisson过程假设 检验的相关知识，检验上述模拟实现的 到达过程是否满足Poisson过程的定义 （编程或利用统计软件，如SPSS、SAS 等作为辅助工具）。 作业要求：提交实验报告电子版，说明模拟实现的过程，检验原理、步骤等以及实现过程； 提交程序源代码。
一、泊松过程的模拟 1．基本原理 根据服务系统接受服务顾客数服从泊松分布这一模型可知，{X(n),t}是一个计数过程，{，n是对应的时间间隔序列，若(n)（n=1,2,...）是独立同分布的均值为的指数分布，则{X(n),t}是具有参数为λ的泊松。 2．具休实现过程 思路：本实验从用MATLAB编程软件，从构造服从指数分布的时间间隔入手，计算每个事 件的发生时刻 W，最后得到X(t)，也就模拟了泊 n 松过程。 实现步骤如下： (1).由函数random(‘exponential’,lamda)构造服从指数分布的序列。 (2).根据服务系统模型，=+。 (3).对任意t（，），X(t)=n,由此得到
泊松过程的模拟。 3．过程模拟验证 (1)设定t=0时刻，计数为0，满足X(0)=0这一条件。 (2) 是由random(‘exponential’,lamda)生成，间相互独立。 (3)由实验结果图可以很清楚地看出，在充分小的时间间隔内，最多有一个事情发生，而不可能有两个或两个以上事件同时发生，同时可以看出X(t)是一个平稳增量过程，结合条件(2)可知，X(t)是独立平稳增量过程。
毕业论文指导记录表范文.pdf
学生姓名学号年级 院系 名称 数学与信息科 学学院 专业信息与计算科学指导 教师 姓名 职称 论文题目圆周率的计算机实现 指导记录1 向学生介绍论文写作的整体流程，针对学生个人的数学基础与兴趣,确定选题范围，然后通过图书馆、网络等渠道查阅相应备选题目的相关资料，了解这些题目目前的理论研究现状,与学生讨论毕业设计的研究方向，初步确定论文题目，并着手开始收集资料。 指导教师签名： 2014年11 月15 日 指导记录2 了解学生资料整理情况，与学生讨论所搜集的论文资料，通过学生的陈述思路，确定选题创作的可行性，开始撰写开题报告。向学生进一步讲解毕业设计过程和内容，以及时间、质量要求等，强调时间观念，要求认真已阅读任务书和指导书等资料，尽快完成开题报告等内容。 指导教师签名： 2014年12 月 1 日指导记录3 检查讨论开题报告的初稿和安排论文写作的相关工作。开题的写作思路不够清晰，要求其进一步搜集资料，确定自己论文创作的大致结构，并按照开题报告的范本格式，完成开题报告的终稿。 指导教师签名： 2014年12 月20日 指导记录4 通过电话了解学生的读书笔记、外文译文和资料的整理情况。学生对资料进行整理归纳，按照开题报告的提纲以及论文的要求撰写创作论文初稿。
指导教师签名： 2015年3月15日 指导记录5 检查学生论文初稿的撰写情况，资料过于冗长，没有抓住重点去探究此问题，显得很盲目；进一步地理清了论文的逻辑关系。公式以及一些符号没有用公式编辑器编写，句尾没有对齐，摘要部分不够简洁，要求仔细核对检查。最终确定终稿。 指导教师签名： 2015 年4月20日 指导记录6 检查学生论文全套电子文稿，符合要求，同意该生打印；讲解答辩过程和注意事项，要求学生积极准备，同组学生之间模拟演练论文答辩过程,允许答辩。 指导教师签名： 2015年5月8日
Poisson过程
第三章Poisson过程 教学目的：（1）了解计数过程的概念； （2）掌握泊松过程两种定义的等价性； （3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布； （4）了解泊松过程的三种推广。 教学重点：（1）泊松过程两种定义的等价性； （2）泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的三种推广。 教学难点：（1）泊松过程两种定义的等价性的证明； （2）泊松过程来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的推广。 3.1 Poisson过程 教学目的：掌握Poisson过程的定义及等价定义；会进行Poisson过程相关的概率的计算。 教学重点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明；Poisson过程相关的概率的计算。 教学难点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明。 Poisson过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义 定义3.1：{(),0} 表示从到时刻 N t t N t t≥ 随机过程称为计数过程，如果()0特定事件发生的次数，它具备以下两个特点： 某一A N t取值为整数； (1)() 内事件发生的次数。 (2)()()()-()(,] 时，且表示时间A s t N s N t N t N s s t <≤ 计数过程有着广泛的应用，如：某商店一段时间内购物的顾客数；某段时 间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称该计数过程
有独立增量。即当123,t t t <<2132()-()()-()X t X t X t X t 有与是独立的。 若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于,时间区间的长度则计数 过程有平稳增量。即对一切12120(,]t t s t s t s <>++及，在中事件个数 21()()N t s N t s +-+12(,]t t 与区间中事件的个数21()()N t N t -有相同的分布。 Poission 过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission 引入。 .独立增量和平稳增量是某些级数过程的主要性质Poisson 过程是具有独立 增量.和平稳增量的计数过程 定义3.2：{(),0}(0)N t t λλ≥>计数过程称为参数为Poisson 过程，如果 (1)(0)0N =； (2)过程具有独立增量； (3),0,s t ≥对任意的 (()-())P N t s N s n +=! n t t e n λλ-=（） 例3.1：3/h 设顾客到达商店依次人的平均速度到达，Poisson 且服从分布， 9:00,已知商店上午开门试求 (1)9:0010:005从到这一小时内最多有名顾客的概率？ (2)9:3011:30到时仅到一位顾客，而到时总计已达到5位顾客的概率？ (解：见板书。) 注：（1）Poisson 过程具有平稳增量。 （2）随机变量()N t 服从参数为t λ的Poisson 分布，故[()]E N t t λ=（显然，可以认为λ是单位时间内事件发生的平均次数，称λ是Poisson 过程的强度或速率或发生率。）
泊松过程及其在排队论中的应用
泊松过程及其在排队论中的应用 摘要：叙述了泊松过程的基本定义和概念，并列举了泊松过程的其他等价定义和证明并分析了泊松过程在排队论中的应用，讨论了完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布。 关键词：泊松过程；齐次泊松过程；排队论 1. 前言 泊松分布是概率论中最重要的分布之一，在历史上泊松分布是由法国数学家泊松引人的。近数十年来，泊松分布日益显现了其重要性而将泊松随机变量的概念加以推广就得到了泊松过程的概念。泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程，他在点过程的理论和应用中占有重要的地位。泊松过程在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型，它在物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输和管理科学等领域都有成功运用的例子。 2. 泊松过程的概念 定义3.2 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0t >λ的泊松分布，即对任意是s, t ≥ 0，有 ! )(})()({n t e n s X s t X P n t λλ-==-+， ,1,0=n 则称计数过程{ X(t)，t ≥ 0}为具有参数0>λ的泊松过程。 注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([，由于， t t X E )]([= λ表示单位时间内事件A 发生的平均个数，故称λ为此过程的速率或强度。 从定义3.2中，我们看到，为了判断一个计数过程是泊松过程，必须证明它满足条件(1)、(2)及(3)。条件(1)只是说明事件A 的计数是从t = 0时开始的。条件(2)通常可从我们对过程了解的情况去验证。然而条件(3)的检验是非常困难的。为此，我们给出泊松过程的另一个定义。 定义3.3 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式： o(h). 2} X(t)-h)P{X(t o(h),h 1} X(t)-h)P{X(t =≥++==+λ
泊松过程模拟
泊松过程模拟 Matlab程序： function I=possion(lambda,m,n) for j=1:m X=poissrnd(lambda,[1,n]); %参数为lambda的possion过程 N(1)=0; for i=2:n N(i)=N(i-1)+X(i-1); end t=1:n; plot(t,N) grid on hold on end >> possion(2,1,500) >> possion(2,10,500) >> possion(2,100,500)
随机过程的数字特征 以样本数m=100，时间断面n=500 模拟的参数为2的possion过程为例 >> m=100;n=500; >> for j=1:m X=poissrnd(lambda,[1,n]); N(1)=0; for i=2:n N(i)=N(i-1)+X(i-1); M(j,i)=N(i); %把所有样本存入矩阵M end t=1:n; plot(t,N) grid on hold on end 1.总体平均 计算时间断面上各次模拟结果的均值 >> Mean1=mean(M,1); %总体上的平均 >> figure(1) >> n=1:500; >> plot(n,Mean1) >> xlabel('time') >> ylabel('mean') 2.时间平均 >> Mean2=mean(M,2); >> figure(2) >> plot(1:m,Mean2,'*') >> xlabel('样本容量m') >> ylabel('mean') >> axis([0 100 0 1000]); 3.计算时间断面上各次模拟结果的方差 >> Std=(std(M)).^2; >> n=1000; >> plot(1:n,Std) >> xlabel('time') >> ylabel('方差')
毕业设计(论文)学生工作过程记录本
毕业设计(论文)工作过程记录本 题目：轿车后轮制动器设计 学生姓名：魏海西 学号：312008********* 专业：车辆工程 年级：2008级 学院：交通与汽车工程学院 指导教师：向阳 教务处制
毕业设计(论文)基本要求 1、参加毕业设计(论文)的学生，应取得本专业培养方案要求的最低毕业学分的90%以上(含在修读课程学分)。对参加毕业设计(论文)学生的资格审查工作应于毕业设计(论文)工作开始七周前正常工作日内完成。在毕业设计(论文)正式开始5个工作日内，对于未取得相应足够学分、已确定毕业设计(论文)题目的学生，应取消参加毕业设计(论文)资格，特殊情况需由学生写出书面申请报经学院批准后方可进行毕业设计(论文)。 2、已确定题目的学生在毕业设计(论文)工作开始两周前(不含寒假)，到指导教师处领取“西华大学毕业设计任务书”或“西华大学毕业论文任务书”和“毕业设计(论文)指导书”。 3、根据毕业设计(论文)任务书的要求，在领会题目的基础上，学生应向指导教师提交调查、研究提纲，查阅、收集、整理、归纳技术文献和科技情报资料，结合题目进行必要的外文资料阅读并翻译。在调研基础上拟定毕业设计(论文)工作计划。 4、学生应经常(定期)主动向指导教师汇报工作进度和反映遇到的疑难问题，听取指导教师的意见。在进行毕业设计（论文）过程中，学生应认真记录“毕业设计(论文)工作过程记录本”，记录内容可包括：原始数据、需要指导教师重点指导的重、难点问题、指导教师的指导要点记录等。 5、学生在毕业设计(论文)工作中应爱护公共财物和文献资料，自觉遵守和维护技术规程，爱护实验仪器设备。 6、毕业设计(论文)是对学生独立工作能力培养和训练，学生必须独立完成规定的全部工作任务，严禁抄袭他人的成果或请他人代替完成某项任务，一经发现，毕业设计(论文)成绩按作弊处理。无论是工程设计或科研实验，还是毕业论文的撰写，都要依据题目的性质和目标，按计划和基本工作量的要求完成，如图纸的规格、数量，说明书和论文的字数。 7、学生应对本人的毕业设计(论文)质量负责，必须在规定时间内完成给定的毕业设计(论文)的各项任务。毕业设计说明书或论文书写格式遵照本管理办法中的有关规定执行。 8、学生申请更换题目时间，只能在毕业设计(论文)中期工作前，进入中期工作后，不得更换毕业设计(论文)题目。 9、毕业设计(论文)答辩开始一周前，学生需交出毕业设计(论文)全部成果，文档部分按规定装订成册；申请提前答辩的学生应填写“西华大学毕业设计(论文)提前答辩申请表”,向学院领导小组提出申请。 10凡未能或未被允许进入答辩程序的学生，应在学籍管理允许年限内重修该课程，本
泊松分布及其应用研究
泊松分布及其应用研究 Prepared on 22 November 2020
湖南科技大学 信息与电气工程学院 《课程论文》 题目：泊松分布及其应用研究 专业：通信工程 班级： 13级3班 姓名：黄夏妮 学号： 目录 一、摘要 (1) 二、泊松分布的概念 (2) 三、计数过程为广义的泊松过程 (4) 四、泊松分布及泊松分布增量 (5) 五、泊松分布的特征 (5) 六、泊松分布的应用 (6) 七、基于MATLAB的泊松过程仿真 (8) 八、参考文献 (12)
摘要 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
二、泊松分布的概念： 定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且 {}0,,2,1,0,! >===-λλ k e k x k X P k 为常数。 则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。 定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。 主要结论： 定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。 证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。设X 服从泊松分布D ( X) ,即有: 则()()λλλλλλλλ λ=?=-==- ∞ =--∞ =-∑∑ e e k e k e k X E k k k k 11 0!1! 从而()() () λλλλλλλ λ +=-+-==-∞ =-∞ =--∞ =∑ ∑ ∑2122 2 2 !1!2! e k e k e k k X E k k k k k k 故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+== 定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为 {}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。 又设0>=λn np 是常数,则{}λλ-∞ →==e k k x P k n n ! lim 。 证明 由λ=n np 得: 显然,当k = 0 时,故λ-n e k} x P{→=。当k ≥1 且k → ∞时,有
泊松过程与泊松分布的基本知识
泊松过程与泊松分布的基本知识泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。也就是说，每次事件的发生是相互独立的。那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。 比较：泊松分布 泊松过程的主要公式： 其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。泊松分布则是给定了时间。 泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。 泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这
么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。 复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。 更新过程： 上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理： 这个定理是可以证明的，Fn（t）是分布函数，就是说：在t时刻，更新函数值就是在这个时刻，n取遍所有值的分布之和。 那么是否可以这样理解，更新过程和泊松过程的区别就是更新间隔序列不同，那么如果已知了更新间隔序列的概率密度函数，就可以求解该过程的更新函数了，详细的推导就不写了。扔结论出来：对间隔序列概率密度函数做拉氏变换得到Lf(s),然后求 Lm(s)=Lf(s)/s(1-Lf(s)),再对Lm(s)进行逆变换，就得到了m(t),这就是更新函数。
论文工作过程记录
南京师范大学中北学院 毕业设计（论文）工作过程记录 （2015届） 题目：电子商务环境下物流配送问题研究 系（部）：信息系 专业：信息管理与信息系统（物流管理） 姓名：任姣姣 学号： 18115405 指导教师：张桂英 南京师范大学中北学院教务办制
填表说明：（此页不要打印） 1、本过程记录为毕业论文配套材料，要求答辩前一周，一律以电子版打印，并将电子稿拷贝至班级教学信息员（学委）处，以系科为单位汇总后交至学院教务处，由院教学委员会统一审核。毕业生应按要求认真填写及时完成，纸质版打印要求：每个学生的工作记录，从封皮开始按照先后顺序装订在一起，凡材料不齐全、不合格或延迟上交者，将按学院有关规定延缓甚至取消其答辩资格。 2、记录一为《毕业设计（论文）指导记录表》，由毕业生填写，完成后交毕业设计（论文）指导教师签字确认。（填写时间：从毕业设计（论文）选题时开始填写） 3、记录二为《毕业论文周记》，由毕业生填写。周记应当准确记录自论文开题来每周论文工作进展情况，如资料查找情况、论文进展情况等内容，原则上不得少于4篇，完成后交由毕业设计（论文）指导教师签字。（填写时间：毕业设计（论文）开题后每周填写一次） 4、记录三为《中期检查表》，由毕业生填写，完成后交毕业设计（论文）指导老师签署意见和名字。（填写时间：毕业设计（论文）写一半左右时填写）
记录一： 南京师范大学中北学院毕业设计（论文）指导交流记录表
填表说明：1.本表由毕业生填写，完成后交指导老师签名确认。 2.指导记录原则上不得少于五次，可分为选题、开题、初稿、定稿等步骤填写。指导方式包括“面授”、“E-mail ”、电话等。 记录二： 毕 业 论 文 周 记
R语言泊松过程的模拟和检验
泊松过程的模拟和检验 对保险人而言，资产和负债是影响保险人稳定经营至关重要的因素。资产和负债的差额称为盈余，简记作： 其中A(t)A(t)表示时刻tt的资产，L(t)L(t)表示时刻tt的负债，t=0t=0时刻的盈余被称为初始盈余，简记为uu，即U(0)=uU(0)=u。对这个初步的理论模型进行简化并根据实际情况设置一些假定情况，会得出很多不同的盈余过程模型，最经典的有Sparre Andersen的古典盈余过程模型： 这是一个以uu为初值，以时间tt为指标集的随机过程。其中称为总理赔过程，满足： N(t)N(t)表示[0,t][0,t]内的总理赔次数，XiXi表示[0,t][0,t]内第ii次理赔的金额。
根据这个古典盈余过程模型可以引出破产模型，在这个盈余过程模型中，一方面有连续不断的保费收入并以速度c进行积累，另一方面则是不断会有理赔需要支付，因此这是一个不断跳跃变化的过程。从保险人的角度来看，当然希望ct?S(t)ct?S(t)恒大于0，否则就有可能出现U(t)<0U(t)<0的情况，这种情况可以定义为理论意义上的破产，以示与实际中的破产相区分，本文中后面出现的“破产”在没有特殊说明的情况下都是指这种理论情况。从研究保险人破产角度出发，可以把这个盈余过程模型看做是一个特殊的破产模型。 一、泊松过程的模拟 理论基础：泊松过程构造定理 具体步骤： 1、生成一定数量的满足指数分布的随机数，用()表示 2、()表示第n次事件到达的时间， 3、表示在时间t内发生的事件次数， 4、即满足泊松过程 这里用R语言来实现模拟，设置指数分布的参数= 2(在R语言中用rate表示)，产生的服从指数分布的随机序列如下图所示：
泊松过程
第二讲 泊松过程 1．随机过程和有限维分布族 现实世界中的随机过程例子： 液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格； 到某个时刻的电话呼叫次数； 到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。 特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。 定义（随机过程） 设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族 }),({T t t X ∈为随机过程。 注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →?Ωω:),(。固定ω，即考虑某个事件相 应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。映射的值域空间E 称为状态空间。 例 随机游动(离散时间，离散状态) 质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。 如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。 两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立； 两个过程的关系：01 n n k k S S X ==+ ∑ 习题 计算n ES 和n DS （设00S =）。 提示 利用∑== n k k n X S 1 ，其中k X 是时刻k 的移动方式。 习题 设从原点出发，则()/2()/2()/2 ,2()0, 21n k n k n k n n C q p n k i P S k n k i +-+?+===?+=-?。 例 服务器到达的数据流(连续时间，离散状态) 在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程， 其指标集}{+ ∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。
指导过程记录表
安徽理工大学本科毕业设计（论文）指导过程记录表题目基于JSP的新闻发布系统 学生姓名徐源廷学号2012303058 专业班级计算机12-2 指导教师刘文娟职称讲师教研室计算机科学与技术 指导内容记录(一) 根据自己所掌握的知识与导师共同确定毕业设计课题，并且确定毕业设计的基本内容和要求 时间：2016年3月3日 指导内容记录(二) 根据导师提供的相关资料和在网络上搜索的关于JSP方面的相关资料，明确网上花店的研究意义，确定基于JSP的新闻发布系统的基本需求。 时间：年月日 指导内容记录(三) 在导师的指导下完成开题报告，开始对新闻发布系统进行详细的分析。 时间：年月日 指导内容记录(四) 进入详细分析设计阶段与导师讨论新闻发布系统的整体实现框架，分析新闻发布系统中各个子模块的功能，获得一个详细的新闻发布系统设计文档。 时间：2016 年月日 指导内容记录(五) 与导师商讨各个子模块中的功能，对各个子模块进行需求分析，并且编写代码实现。 时间：2016年月日 指导内容记录(六) 在导师的指导下构思文章的整体框架，整理对新闻发布系统的观点及研究思路，并且完成初稿 时间：2016年月日 指导内容记录(七) 与导师商讨系统具体的数据库模型，使用SQL完成系统的数据库建模。 时间：2016年 4 月 1 日
指导内容记录(八) 根据数据库建模的结果，并根据导师的指导对数据库进行设计。使用SQL Server 2005数据库，设计出系统所需的表，并确定各个表的约束关系。 时间：2016年 4 月 5 日 指导内容记录(九) 设计前台展示及后台管理模块，根据设计使用myeclipse进行开发。并且在导师的指导下进行页面的美观和优化处理。 时间：2016年 4 月10 日 指导内容记录(十) 系统前台功能主要包括：友情链接、新闻评论、新闻分类、显示新闻详细信息。后台包括管理员登录与注销、发布及修改新闻、新闻类型及信息管理、链接管理。 时间：2016年 4 月16 日 指导内容 记录(十一) 在刘文娟导师的指导下，设计新闻发布的流程。 时间：2016年 4 月28 日 指导内容记录(十二) 对整个系统进行整合，完成系统的整体运行，根据导师的意见进行修改和完善。 时间：2016年 5 月 6 日 指导内容 记录(十三) 在导师的指导下，整理以前文档，对论文初稿进行修改。 时间：2016年 5 月18 日 指导内容 记录(十四) 根据导师提出的论文修改建议，进一步完善论文。 时间：2016年 5 月20 日 指导内容 记录(十五) 准备其他事项，填写相关的资料，为答辩做准备。 时间：2016 年5 月26 日 注：1）此表格是学生毕业设计（论文）归档材料之一，由学生填写，一周填一格，手写、打印均可； 2）表格内容不够填写可另附纸。
实验报告——泊松过程
Poisson过程的模拟和检验 一、实验目的 1、理解掌握Poisson过程的理论，了解随机过程的模拟实现技 术； 2、学习并掌握在实际中如何检验给定的随机过程是否为Poisson过程。 二、实验内容 1、利用C语言、MATLAB等工具，结合Poisson过程等相关结论，模拟Poisson过程； 2、查找资料、学习关于Poisson过程假设检验的相关知识，检验上述模拟实现的到达过程是否满足Poisson过程的定义。 三、作业要求 提交实验报告电子版，说明模拟实现的过程，检验原理、步骤等以及实现过程；提交程序源代码。 四、实验原理 1、泊松过程 （1）计数过程 [0，t]内随机事件发生的总数，则随机过程 称为一个计数过程。 且满足： 1
2 3 4 （2）泊松过程 设随机过程 是一个计数过程，满足 1 2 3）对任一长度为t 的区间中事件的个数， Poisson(泊松)过程。 （3 设 t 为止已发生的事 n 表示第n 次与第n-1次事件发生的时间间隔。显然， 定理3.2 设 是参数为 （
则根据上述泊松分布模型可知， n=1,2,...）是独立同分 2、泊松过程检验方法 Kolmogorov-Smirnov检验（柯尔莫哥洛夫-斯摩洛夫），亦称拟合优度检验法，用来检验模拟所得的数据的分布是不是符合一个理论的已知分布。 五、实验过程 1、泊松过程的模拟 （1）实验思路 本实验采用MATLABR2010a编程软件，从构造服从指数分布的时 拟了泊松过程。 （2）实验步骤 a）由函数random(‘exponential’,lamda)构造服从指数分布 b c由此得到泊松过程的模拟。 2、泊松过程的检验 （1）条件设定 H1:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布服从泊松分布。
毕业设计过程工作记录
毕业设计过程工作记录 篇一：毕业设计工作过程记录 XX年3月14日 毕业设计开始的第一周，以班级为单位发放毕业设计要求的图纸，用了一周的时间熟悉图纸，对工程的概况进行大体的了解，知道什么结构，了解建筑周围环境，仔细阅读了设计总说明，把需要的规范、图集收集完整以便在算量的过程中可以找到依据。看到厚重的图纸，感到任务重，时间短，但是相信在指导老师耐心有序地指导下，我们的毕业设计肯定能按时保质保量的完成。 XX年3月19日 做完毕业设计的准备工作后，开始着手进行算量，从建筑面积开始：地下室、首层、二层、屋面，都是计算结构外围尺寸。虽然没有建筑面积清单项，在此计算建筑面积方便后面计算工程量可以直接输入。接着计算平整场地面积，等于建筑物首层面积，特别注意这里的建筑物首层面积与首层建筑面积的区别。然后进入挖土方工程量的的计算，先大开挖，然后再挖承台、基础梁、承台梁，特别注意挖土方的清单量与定额量的区别：清单量以基础垫层底面积乘以挖土深度计算，桩间挖土方不扣除桩所占的体积；定额量则要考虑放坡增加的土方量。 XX年3月21日
达到指导老师要求计算到基础底板混凝土量。混凝土工程量以体积计算，先计算桩承台基础混凝土工程量，计算高度从承台底部算到顶部（—5.7m），对于不规则形状的承台采用数学方法取值计算；再计算基础梁、承台梁的混凝土量，也计算到梁顶—5.7m；接着计算基础底板（抗水板），计算时扣除桩承台基础、基础梁、承台梁混凝土与抗水板重合部分混凝土量；最后计算所有混凝土基础的垫层。 XX年3月26日 仍然在计算混凝土量，后浇带钢筋和基础底板一起绑扎，只是混凝土留着最 后浇筑，在这里计算它的工程量，后浇带的混凝土标号与基础底板的标号一样都是C30；接着计算挡土墙混凝土量，计算高度到地下室顶板面；然后开始计算框架柱地下室部分的工程量，计算高度算到地下室顶板板底；计算地下室梁，主梁在计算长度时只扣除与框架柱重合部分长度，其他重合部分一律不扣除，拉通算，次梁在计算长度时需扣除与主梁重叠部分的长度，梁高计算到地下室顶板板面。 XX年3月28日 计算完地下室梁后，接着计算地下室剪力墙，计算高度同样是到地下室顶板底部；地下室最后计算顶板，计算顶板时，扣除所有梁和挡土墙所占的混凝土体积，由于在计算框架柱和剪力墙时计算高度是在顶板底，所以计算顶板时无需
泊松过程的应用
应用随机过程课程论文 题目:浅谈泊松过程及其应用 姓名: 学院:理学院 学号: 2013年7月1 日
浅谈泊松过程及其应用 摘要： 本文论述了泊松过程的有关定义，并对其进行相应的推广，阐述了时齐泊松过程、非时齐泊松过程、复合泊松过程以及条件泊松过程，从中很容易看出它们之间的联系。同时，本文也在排队论、数控机床可靠性、保险、航空备件需求上简单描述了泊松过程的应用。另外，泊松过程在物理学、地质学、生物学、金融和可靠性理论等领域中也有着广泛的应用。 关键词：泊松过程；复合泊松过程；排队论 一、泊松过程 1．时齐泊松过程 定义：一随机过程{}(),0N t t ≥，若满足如下条件： （1） 它是一个计数过程，且(0)0N =; （2） 它是独立增量过程; （3） 0,0,,()()s t k N s t N s ?≥∈+-是参数为t λ的泊松分布，即 {}()()().! k t t P N t s N t k e k λλ-+-== 则称此随机过程为时齐泊松过程。 2．非时齐泊松过程 定义：一随机过程{}(),0N t t ≥，若满足如下条件： （1） 它是一个计数过程，且(0)0N =; （2） 它是独立增量过程; （3） 0,0,,s t k ?≥∈满足{}()()[()()]()().! k m s m s t m s t m s P N t s N t k e k -++-+-==其中 0()()t m t s ds λ=?，则称此随机过程为具有强度函数为{}(t)>0λ的非时齐泊松过程。 3．复合泊松过程 定义：设{},1i Y i ≥是独立同分布的随机变量序列，{}(),0N t t ≥为泊松过程， 且{}(),0N t t ≥与{},1i Y i ≥独立，记() 1()N t i i X t Y ==∑，则称{}(),0X t t ≥为复合泊松过程。 4．条件泊松过程 定义：设Λ为一正的随机变量，分布函数为(),0G x x ≥，当给定λΛ=的条件下，{}(),0N t t ≥是一个为泊松过程，即0,0,,0s t k λ?≥∈≥， 有{}()()().! k t t P N t s N t k e k λλλ-+-=Λ== 则称{}(),0N t t ≥是条件泊松过程。 注：这里{}(),0N t t ≥不再是增量独立的过程，由全概率公式，可得 {}0()()()().! k t t P N t s N t k e dG k λλλ∞ -+-==?
应用随机过程实验2-泊松过程
应用随机过程实验2 —泊松过程 一.准备知识 1.泊松过程 2.非齐次泊松过程 3. 复合泊松过程 二.作业 1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程， （1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图； （2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图； （3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。 2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)i N μσ:，1,2,3,i =L ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ， （1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差； （2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。
3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数， （1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图； （2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。
毕业论文进展情况记录表范本
毕业论文进展情况记录表范本
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华南师范大学增城学院本科毕业论文（设计）进展情况记录表 第 周进展情况及下阶段安排第 1 周进展与老师联系确定课题和写作的方向，充分利用学校图情况记录：书馆、相关方面的专业书籍及互联网等资源进行相关文献资料的查询，并把相关书籍上与论文相关的资料进行收集，及撰写文献综述初稿。 指导教师签名： 年月日 第 周进展情况及下阶段安排第 2 周进展把上周收集的资料进行整理并给其归类，根据潘老师的指导对已经查询到的文献资料进行整理分类。方便以后查阅同时开始对文献资料的初次阅读与分析。根据所选文献的实用程度对资料进行有目的，有重点的阅读安排。然后根据所选文献的实用程度对资料进行有目的，有重点的阅读安排修改文献综述初稿并完成开题报告初稿。 指导教师签名： 年月日
第 周进展情况及下阶段安排第3 周进展通过前2 周的准备阶段，在阅读了一定相关文献资料情况记录：的基础上，大致整理出论文的写作思路及突破口。本周在导师的指导下，通过前一段时间的研究分析，并结合每日更新的资料库，初拟毕业论文提纲。 指导教师签名： 年月日
第 周进展情况及下阶段安排第4 周进展1.根据查询的资料，对开题报告及写作思路，计划安排进情况记录：行相应的修改和整理。在查询分析相关文献资料后，重新理清写作思路，正式开展论文初稿的写作。2.加大资料搜索的范围。全面深入的概括了学术界所研究的问题，明确提出了学术界现有的概括性的观点。3.调整大纲的结构，使大纲主要内容和次要内容层次清晰。4.修改过的大纲和文献综述交给老师审阅并与老师面对面交流。 指导教师签名： 年月日
关于泊松分布及其应用
关于泊松分布及其应用 论文提要： 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。 摘要泊松分布做为概率论中的一种重要分布,在管理科学、运筹学及自然科学的某些实际问题中都有着广泛的应用。本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍,分析了泊松分布在生物学研究中的应用。 关键词泊松过程泊松分布应用 摘要：泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数
学模型, 它具有很多性质。研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。 关键词：泊松分布; 定义；定理；应用；例题；指数失效律; 数学期 望; 方差 一、 泊松分布的概念： 定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且 {}0,,2,1,0,! >===-λλ k e k x k X P k 为常数。 则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。 定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。 主要结论： 定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。 证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。设X 服从泊松分布D ( X) ,即有: 0 , , ,2 ,1 0 k ,! k} X P{>===-λλλ e k k 则()()λλλλλλλλ λ =?=-==- ∞ =--∞ =-∑∑ e e k e k e k X E k k k k 11 0!1! 从而()()() λλλλλλλ λ +=-+-==-∞ =-∞ =--∞ =∑ ∑ ∑212 2 2 2 !1!2! e k e k e k k X E k k k k k k 故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==
实验报告——泊松过程
Poisson 过程的模拟和检验 一、 实验目的 1、理解掌握Poisson 过程的理论，了解随机过程的模拟实现技术； 2、学习并掌握在实际中如何检验给定的随机过程是否为Poisson 过程。 二、 实验内容 1、利用C 语言、MATLAB 等工具，结合Poisson 过程等相关结论，模拟Poisson 过程； 2、查找资料、学习关于Poisson 过程假设检验的相关知识，检验上述模拟实现的到达过程是否满足Poisson 过程的定义。 三、 作业要求 提交实验报告电子版，说明模拟实现的过程，检验原理、步骤等以及实现过程；提交程序源代码。 四、 实验原理 1、泊松过程 （1）计数过程 如果用)(t X 表示[0，t ]内随机事件发生的总数，则随机过程{)(t X ，0≥t }称为一个计数过程。 且满足： 1）0)(≥t X ；
2）)(t X 是整数值； 3）对任意两个时刻210t t <≤，有12()()X t X t ≤； 4）对任意两个时刻210t t <≤。 )()(12t X t X -等于在区间],(21t t 中发生的事件的个数。 （2）泊松过程 设随机过程{()N t ，0≥t }是一个计数过程，满足 1）(0)0N =； 2）()N t 是独立增量过程； 3）对任一长度为t 的区间中事件的个数，服从均值为t λ（0>λ）的泊松分布，即对一切0,≥t s ，有 (){()()},0,1,2,! k t t P N t s N s k e k k λλ-+-===L 则称()N t 为具有参数λ的Poisson(泊松)过程。 （3）到达时间间隔n T 的分布 设{()X t ，0≥t }为泊松过程，()X t 表示到时刻t 为止已发生的事件的总数；,(1,2,3,)n W n =L 表示第n 次事件发生的时刻；,(1,2,3,)n T n =L 表示第n 次与第n-1次事件发生的时间间隔。显然， 121n n n i i W T T T T ==+++=∑L 定理 设{()X t ，0≥t }是参数为λ（0>λ）的泊松过程，则到达时间 间隔序列12T T L ，， 是相互独立的随机变量序列，且都有相同的均值为λ/1的指数分布。 则根据上述泊松分布模型可知， {(),0}X t t ≥是一个计数过程，