Poisson过程教学目的了解计数过程的概念掌握泊松
第三章Poisson过程
教学目的：（1）了解计数过程的概念；
（2）掌握泊松过程两种定义的等价性；
（3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；
（4）了解泊松过程的三种推广。
教学重点：（1）泊松过程两种定义的等价性；
（2）泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；
（3）泊松过程的三种推广。
教学难点：（1）泊松过程两种定义的等价性的证明；
（2）泊松过程来到时刻的条件分布；
（3）泊松过程的推广。
3.1 Poisson过程
教学目的：掌握Poisson过程的定义及等价定义；会进行Poisson过程相关的概率的计算。
教学重点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明；Poisson过程相关的概率的计算。
教学难点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明。
Poisson过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义
定义3.1：{(),0}
表示从到时刻
N t t
N t t≥
随机过程称为计数过程，如果()0特定事件发生的次数，它具备以下两个特点：
某一A
N t取值为整数；
(1)()
内事件发生的次数。
(2)()()()-()(,]
时，且表示时间A
s t N s N t N t N s s t
<≤
计数过程有着广泛的应用，如：某商店一段时间内购物的顾客数；某段时
间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。
如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称该计数过程
有独立增量。即当123,t t t <<2132()-()()-()X t X t X t X t 有与是独立的。
若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于,时间区间的长度则计数 过程有平稳增量。即对一切12120(,]t t s t s t s <>++及，在中事件个数
21()()N t s N t s +-+12(,]t t 与区间中事件的个数21()()N t N t -有相同的分布。
Poission 过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission 引入。
.独立增量和平稳增量是某些级数过程的主要性质Poisson 过程是具有独立
增量.和平稳增量的计数过程
定义3.2：{(),0}(0)N t t λλ≥>计数过程称为参数为Poisson 过程，如果 (1)(0)0N =；
(2)过程具有独立增量；
(3),0,s t ≥对任意的
(()-())P N t s N s n +=!
n
t
t e n λλ-=（）
例3.1：3/h 设顾客到达商店依次人的平均速度到达，Poisson 且服从分布，
9:00,已知商店上午开门试求
(1)9:0010:005从到这一小时内最多有名顾客的概率？
(2)9:3011:30到时仅到一位顾客，而到时总计已达到5位顾客的概率？
(解：见板书。)
注：（1）Poisson 过程具有平稳增量。
（2）随机变量()N t 服从参数为t λ的Poisson 分布，故[()]E N t t λ=（显然，可以认为λ是单位时间内事件发生的平均次数，称λ是Poisson 过程的强度或速率或发生率。）
（3）0
lim (()-()0)t P N t s N s +→+=0
lim 1()t
t e t o t λλ+
-→==-+ 0
lim (()-()1)t P N t s N s +→+=0
lim ()t t te t o t λλλ+
-→==+ 0lim (()-()2)()t P N t s N s o t +
→+≥=
（让同学们通过讨论来解释这几个极限结果的实际意义，适当引导学生结合实际并应用二项分布与Poisson 分布之间的关系来解释这3个极限。）
,根据稀有事件原理在概率论中我们已经学到：
,Bernoulli 试验中，每次试验成功的概率很小而,实验的次数很多时二项
.Poisson 分布会逼近分布.这一现象也体现在随机过程中(0,]t 首先，将划分为 n 个相等的时间小区间，则由(4)'n →∞条件可知，当时，在每个小区间内事件 220.→发生次或次以上的概率事件发生一次的概(),,t
p h p n
λλ≈?=率显然很小
1这恰好是次.Bernoulli 试验1,,其中发生次为成功不发生的为失败再由(2)'给出
,()N t n 的平稳增量就相当于次独立Bernoulli 试验中试验成功的总次数。由
()Poisson N t 分布的二项逼近可知，将服从t Poisson λ参数为的分布。
（让学生讨论如何判断一个计数过程是不是Poisson 过程，则必须验证是否满足（1）——（3），条件（1）说明计数过程从0开始，条件（2）通常可以从我么对过程的实际情况去直接验证，然而条件（3）一般完全不清楚，如何去判断？是否可以从我们所得到的Poisson 过程的这三条性质来判断定义中的条件（3）是否成立？接下来就证明计数过程满足Poisson 过程定义中的条件（1）和（2）及这里的性质的时候，该计数过程是一个Poisson 过程。于是得到Poisson 过程的等价定义）
定义3.2’: 一计数过程{(),0}N t t ≥λ称为参数为Poisson 的过程，若满足：
(1)'(0)0N =；
(2)'是独立增量及平稳增量过程，即任取120,n t t t n N <<<<∈,
1211()(0),()(),,()()n n N t N N t N t N t N t ----相互独立；
,0,0,{()()}{()}s t n P N s t N t n P N t n ?>≥+-===且 (3)'0,0,t h >>对任意和充分小的有
{()()1}()P N t h N t h h λο+-==+
(4)'0,0,t h >>对任意和充分小的有
{()()2}()P N t h N t h ο+-≥=
定理3.1: 3.2 3.2'定义与定义是等价的。
证明： 3.2' 3.2?定义定义
由增量平稳性，记：(){()}{()()}n P t P N t n P N s t N s n ===+-= （I ）0n =情形：因为
{()0}{()0,()()0},0N t h N t N t h N t h +===+-=>
我们有：
0(){()0,()()0}P t h P N t N t h N t +==+-=00={()0}{()()0}()()P N t P N t h N t P t P h =+-==
另一方面
0(){()()0}1(())P h P N t h N t h h λο=+-==-+
代入上式，我们有：
000()()()()P t h P t h P t h h ολ+-?
?=-+ ???
令0h →我们有：
0000()()
()(0){(0)0}1
t P t P t P t e P P N λλ-'=-??=?
===? （II ）0n >情形：因为：
{()}{(),()()0}N t h n N t n N t h N t +===+-={()1,()()1}
N t n N t h N t =-+-=2{(),()()}n l N t n l N t h N t l =??=-+-=????
故有：
1()()(1())()(())()n n n P t h P t h h P t h h h λολοο-+=--+++
化简并令0h →得：1()()()n n n P t P t P t λλ-'=-+两边同乘以t
e λ，移项后有：
1()()(0){(0)}0t t
n n n
d e P t e P t dt P P N n λλλ-???=????
?===? 当1n =时，有：
111(),(0)0()()t t
d e P t P P t t e dt
λλλλ-??==?=?? 由归纳法可得：
0()(),!
n t
n t P t e n N n λλ-=∈
注意：{()}
{()}E N t E N t t t
λλ=?=,因此λ代表单位时间内事件A 出现的平均次数。
3.2 3.2'?定义定义
{()()1}P N t h N t +-={()(0)1}P N h N =-=1
()1!
h
h e
λλ-= 0
()!n
n h h n λλ∞
=-=∑(1())h h o h λλ=-+()h o h λ=+--------(3)'——成立。 {()()2}P N t h N t +-≥{()(0)2}P N h N =-≥2
()!
n
h
n h e
n λλ∞
-==∑ 2()!n h
n h e
n λλ∞
-==∑0
()[1]!n h
n h e h n λλλ∞
-==--∑[1]h h e e h λλλ-=-- 1h h e he λλλ--=--()h ο=---------------------------(4)'——成立。
例3.2：{()0},N t t Poisson λ≥设，服从强度为的过程求
(1{(5)4};P N =）
(2{(5)4,(7.5)6,(12)9};P N N N ===）
(3{(2)9|(5)4}.P N N ==）
例3.3：A Poisson λ事件的发生形成强度为的过程{(),0},N t t ≥如果每次事件
P 发生时以概率能够被记()M t t 录下来，并以表示时刻记录下来的事件总数，则
{(),0}M t t P Poisson λ≥是一个强度为的过程。
例3.4：,某商场为调查顾客到来的客源情况考察了男女.顾客来商场的人数
假设男女顾客到达商场的人数分12Poisson 别是独立服从每分钟人与每分钟人的
过程。
(1)到达商场顾客的总人数应该服从什么分布？
(2)50,30t 已知时刻已有人到达的条件下问其中有位是女性顾客的概率有多大？
平均有多少女性顾客？
作业1：Poisson 设通过某十字路口的车流可以看做过程，1如果分钟内没有车 0.2.辆通过的概率为
121（）求分钟内有多于辆车通过的概率。
(2)5在分钟内平均通过的车辆数。
35（）在分钟内平均通过的车辆数方差。 45（）在分钟内至少有一辆车通过的概率。
3.2 Poisson 过程相联系的若干分布
教学目的：掌握n X 和n T 的分布；理解事件发生时刻的条件分布。 教学重点：n X ，n T 的分布；事件发生时刻的条件分布。
教学难点：事件发生时刻的条件分布。
{(),0}Poisson N t t ≥过程的一条样本路径一般是1跳跃度为的阶梯型函数。
:1,2,n T n n =是次事件发生的时刻，也称为第n 次事件的等待时间，
规 00.T =定：
:1,2,
1n X n n n =-是次与次事件发生的时间{,1}n X n ≥间隔，序列也称
.为时间间隔序列
显然n T 1n
i i X ==∑，n X 1n n T T -=-。
接下来讨论:1,2,n X n =及:1,2,n T n =分布，先讨论1X 的分布，让学生根
据Poisson 过程的两个等价定义中的条件来分析猜想1X 的分布，引导学生用Poisson 过程的平稳独立增量性和无记忆性之间的联系。
复习：1.指数分布
()00
x x e f x x λλ-≥?=?
()()F x P X x =≤()x
f t dt -∞
=?
100x x e x λ-≥?-=?
2.无记忆性
若随机变量满足(|){}P X s t X t P X s >+>=>X 则称随机变量是无记忆 性的。.（指数分布无记忆性）,X X 如果将看做某仪器的寿命则的无记忆性表示为：
,t s t +在仪器已工作了小时的条件下它至少工作小时的概率与它原来至少工作
s 小时的概率是相同的。
结论：~(),X E λ若0,0,s t >>则对任意的恒有：
(|)P X s t X t >+>{}P X s =>
n n X T 一、和的分布
定理3.2：,1,2,
,.n X n λ=服从参数为的指数分布且相互独立
3.2,Poisson 注：定理的结果应该是在预料之中的因,过程有平稳独立增量因此
"过程在任何时刻都重新",开始即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切
(),(由独立增量且有与过程完全一样的分布由平稳).,"增量换言之过程无记忆",性"与指数分布的无记".忆性相对应
3.2Poisson 定理给出了过程的又一种定义方法：
定义3.3：12,,
X X 如果每次事件发生的时间间隔相互独立且服从同一参
λ数的指数分布，这该计{(),0}.N t t Poisson λ≥数过程是一个强度为的过程
注：如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立，且服从同一
参数λ为的指数分布，则质.Poisson λ点流构成强度为的过程
3.2,Poisson 定理告诉我们要确定一个计数过程是不是,过程只要用统计方法 ,检验点间间距是否独立且服从同一指数分布。
例3.5: 800,设从早上：开始有无穷多个人排队等候服务只,有一名服务员
且每个人接受服务的时间是独立的20min 并服从均值为的指数分布，则到中午12:009为止平均有多少人已经离去，已有个人接受服务的概率是多少？
例3.6: ,甲、乙两路公共汽车都通过某一站两路汽车的达到10分别服从分
钟1()15()Poisson 辆甲，分钟一辆乙的分.布假定车总不会满员，试问可乘坐甲或 乙两路公共汽车的乘客在此车站所需要等待时间的概率分布及其期望。
定理3.3：,1,2,.n T n n λ=Γ服从参数为和的的分布
证明：见板书。
二、事件发生时刻的条件分布
12(),,,n N t n T T T =讨论在给定的条件下，的条件分布相关性质及其应用。
引理：{(),0},N t t Poisson ≥假设是过程0,s t ?<≤则有
1(|()1)P T s N t ≤=s
t
=
[0,],t A A 即在已知内只发生一次的前提下发生的时刻[0,].t 在上是均匀分布因为
Poisson 过程具有平稳独立,[0,1]增量事件在的任何相等长度的子区间内发生的
,概率是等可能的[0,].t 即它的条件分布是上的均匀分布
自然我们要问：
(1(),1N t n n =≥）这个性质能否推广到的情况？
2Poisson （）这个性质是否是过程特有的？本定理的逆命题是否成立？
首先讨论顺序统计量的性质：12(),,,n k Y Y Y n Y 设是个随机变量，如果是
12,,,0,1,,n Y Y Y k k n =中第个最小值，，则称(12,,,n Y Y Y ）（）
（）是对应于
12,,
,n Y Y Y 的顺序统计
12,,,n Y Y Y 量。若是独立同分布的连续型随机
变量且
(),i f y 具有概率密度则顺序统计量(12,,,:n Y Y Y ）（）
（）
的联合密度为 12(,,
,)n f y y y 1
!()n
i i n f y ==∏ 12(,)n y y y <<
<
原因：(1)(2)()12,,
,(,,,)n n Y Y Y y y y （1）（）将等于，而12(,,
,)n Y Y Y 等于
12(,,,)n y y y !n 的个排列中的任一个；
12122)(,,
,)(,,
,)n i i i n y y y y y y （当是的一个排列1212(,,
,)(,,,)n n i i i Y Y Y y y y 时，等于
的概率密度
12(,,
,)n i i i f y y y =12()()
()n i i i f y f y f y 1
()n
i i f y ==∏
注：,1,2,
(0,)i Y i n t =若都在上独立同均匀分布，
1
(())i f y t
=即则其顺序统计
量(1)(2)()(,,,)n Y Y Y 的联合密度函数是
12(,,
,)n f y y y !
n n t
=
12(0,)n y y y t <<<<<
定理3.4：{(),0},()N t t Poisson N t n ≥=设为过程则在已知的条件下，事件发
12,,,n n T T T 生的个时刻的联合分布密度是：
12(,,,)n f t t t !
n n t
=
12(0,)n t t t t <<<<<
:[0,]t n 注上式恰好是区间上服从均匀分布的个相互独立的随机变量12,,
,n Y Y Y
的顺序统计量(12,,,n Y Y Y ）（）
（）
的联合分布。 直观上理解：[0,]t n 在已知内发生了次事件的前提下，各次事件发生的时刻
12,,,()n T T T 不排序可看做相互独立的[0,]t 随机变量，且服从上的均匀分布。
例3.7: (见书)
,Poisson λ乘客按照强度为的过程来到某火车站火车t 在时刻启程，计算 (0,]t 在内达到的乘客等待时间的
()
1
[()],
N t i i E t T =-∑总和的期望值，即要求i
T 其中i 是第个乘客来到的时刻。
例3.8: (见书例3.6)
3.3考虑例中每次事件发生时被记录到的概率随时间发生变化的情况，设 A s 事件在时刻发生被记录到的()()P s M t t 概率，若以表示时刻被记录的事件数，那()Poisson M t 么它还是过程吗？试给出的分布。
3.3 Poisson 过程的推广
教学目的：掌握非齐次Poisson 过程的定义；了解非齐次Poisson 过程与Poisson 过程之间的联系；理解复合Poisson 过程的定义；掌握复合Poisson 过程的性质；了解条件Poisson 过程的定义；掌握条件Poisson 过程的性质。
教学重点：非齐次Poisson 过程与Poisson 过程之间的联系；复合Poisson 过程的性质；条件Poisson 过程的性质。
教学难点：非齐次Poisson 过程与Poisson 过程之间的联系。
一、非齐次Poisson 过程
,Poisson t λ当过程的强度不再是常数而与时间,Poisson 有关系时过程被推广
Poisson 为非齐次过程。
,Poisson 一般来说非齐次过程是不具备平稳增量的( 3.6).例如书例在实际中,
Poisson 非齐次过程也是比.,较常用的例如在考虑设备的故障率时由于设备使
,;用年限的变化出故障的可能性会随之变化放射性,物质的衰变速度会因各种外
部条件的变化而随之;变化昆虫产卵的平均数量随着年龄和季节而变化.等在这
,Poisson 样的情况下再用齐次过程来描述就,Poisson 不合适了于是改用非齐次过
程来处理。
定义3.4: {(),0}(),0N t t t t λ≥≥计数过程称为参数为Poisson 的非齐次过程，
若满足： (1)(0)0N =；
(2)过程有独立增量；
(3)0,0,t h >>对任意和充分小的有
{()()1}()()P N t h N t t h h λο+-==+
(4)0,0,t h >>对任意和充分小的有
{()()2}()P N t h N t h ο+-≥=
poisson 在非齐次过程中，
均值0(().t
m t s ds λ=?） Poisson 非齐次过程有如下等价定义：
定义3.5：{(),0}(),0N t t t t λ≥≥计数过程称为参数为Poisson 的非齐次过程，
若满足： (1)(0)0N =；
(2)过程具有独立增量；
(30,0,()()t s N t s N t ≥≥+-）对任意实数具有参数为
()()()t s
t
m t s m t u du
λ++-=?
Poisson 的分布。
可证：(()-())P N t s N t n +=[()()]exp{(()())}!
n m t s m t m t s m t n +-=-+-
注1:我们称m(t)为非齐次poisson 过程的均值或强度。 注2:定义3.4与定义3.5是等价的。
定理3.5：{(),0}(),N t t t λ≥设是一个强度为0t ≥Poisson 的非齐次过程，对任 意0,t ≥实数令*1()(()),N t N m t -=*{()}1N t 则是一个强度为的齐次Poisson 过程。
注3:用此定理可以简化非齐次Poisson 过程的问题 到齐次Poisson 过程中进行讨论。另一方面也可以 进行反方向的操作，即从一个参数为 的Poisson 构造一个强度函数为 的非齐次Poisson 过程。
定理3.5’： {(),0}, 1.M u u Poisson λ≥=设是齐次过程且若强度函数
(),0,s s λ≥0
()(),t
m t s ds λ=?令()(()),N t M m t ={()}()N t s λ则是具有强度为的
Poisson 非齐次过程。（一般了解）
例3.9: (见书) 设某设备的使用期限为10年，
5在前年内它平均2.5年需 要维修52一次，后年平均年需要维修一次。试求它在使用期内维修过一次的概率。
二、复合Poisson 过程
定义3.6: {(),0},X t t Poisson ≥称为复合过程如果对于0,()t X t ≥可以表示
为：()
1()N t i i X t Y ==∑，{(),0},1,2
i N t t Poisson Y i ≥=其中是一个过程，是一族独立同
分,{(),0}N t t ≥布的随机变量并且与也是独立的。
Poisson 容易看出：复合过程不一定是计数过程，,1,2,i Y c i c ≡=但当为常
Poisson 数时，可化为过程。
物理意义: 如{(),0}N t t ≥表示粒子流， ()N t 表 [0,]t 示 内到达的粒 i Y 子数 i 表示第个粒子的能量，
()X t 则表示[0,]t 内到达的粒子的总能量。 例3.10: (见书例3.8) Poisson 保险公司接到的索赔次数服从一个过程
{()}N t ，,i Y 每次要求赔付的金额都相互独立且有同
F 分布，每次的
索赔
数额与它发生的时刻无关，则[0,]{()}t X t 时间内保险公司需要赔付的总金额就是一个复合Poisson 过程，其中
()
1
()N t i i X t Y ==∑
例 3.11: (见书例 3.9 顾客成批到达的排队系统)
设顾客到达某系统的时间12,,
S S 形成一强度,Poisson λ为的过程在每个时刻
,1,2n S n =可以同时有多.,n n Y S 名顾客到达表示在时刻到达的顾客数假定
,1,2
,n Y n =相互独立{}n S 并且与,也独立则在[0,]t 时间内到达服务系统的顾
客总人数也可用以复Poisson 合过程来描述。
定理3.6：()
1
{(),0}N t i i X t Y t Poisson ==≥∑设是一复合,过程Poisson 过程
{(),N t 0}t ≥,λ的强度为则
(1)()X t 有独立增量；
2(2(),i E Y <+∞）若则
1[()](),E X t tE Y λ=21[()]().Var X t tE Y λ=
例3.12:（见书例3.10）,在保险中的索赔模型中设保险公司接到的索赔要
求是2Poisson 强度为每月次的过程，每次赔付服从均值为10000元的正态分布， 则一年中保险公司平均的赔付额是多少？
作业1: {(),0}()t N t t t e λ≥=设是一强度函数为的非齐次,Poisson 过程若
*{(),0}N t t ≥1是一强度为的齐次*,().Poisson N t 过程求
作业2: 一份杂志通过零售来销售。其销售量为每天平均为6份的Poisson
过程。1零售商每售出一份，可得元的手续费，求零售商一年内所得总手续费的期望值。
泊松分布
概率论大作业 --泊松分布 班级：11011001班 姓名：郭敏 学号：2010302612 2013年1月10日
摘要 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 泊松分布在现实生活中应用非常广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。在某些函数关系泊松分布起着一种重要作用，例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质以及基本相关知识, 并讨论了这些知识在实际生活中的重要作用。 关键词：泊松分布性质及其应用、二项分布、泊松过程
近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了了解概率论中最重要的几个分布之一。 一、泊松分布的由来 在历史上泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入。 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为 {}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。又设0>=λn np 是常数, 则{}λλ-∞ →= =e k k x P k n n ! lim 。 证明 由λ=n np 得: {}()()n n k n k k n k n n n k n n k n n k k n n n k x P ?--??? ??-??????? ??? ??--????? ??-???? ? ?-?= ? ? ? ??-??? ??+--==λλλλ11121111!1!11 显然,当k = 0 时,故λ -n e k} x P{→=。当k ≥1 且k → ∞时,有 λλ-?-→? ? ? ??-→??? ??--????? ??-???? ??-?e n n k n n n n k n 1,11121111 从而{}λ λ-→ =e k k x P k n 1 ，故{}λλ-∞ →= =e k k x P k n n ! lim 。 在应用中，当p 相当小时（一般当p<=0.1）时，用下面近似公式 np k e k np p n k b -≈! )(),;( 对于不同λ值得泊松分布图：
泊松过程及其在排队论中的应用
泊松过程及其在排队论中的应用 摘要：叙述了泊松过程的基本定义和概念，并列举了泊松过程的其他等价定义和证明并分析了泊松过程在排队论中的应用，讨论了完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布。 关键词：泊松过程；齐次泊松过程；排队论 1. 前言 泊松分布是概率论中最重要的分布之一，在历史上泊松分布是由法国数学家泊松引人的。近数十年来，泊松分布日益显现了其重要性而将泊松随机变量的概念加以推广就得到了泊松过程的概念。泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程，他在点过程的理论和应用中占有重要的地位。泊松过程在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型，它在物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输和管理科学等领域都有成功运用的例子。 2. 泊松过程的概念 定义3.2 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0t >λ的泊松分布，即对任意是s, t ≥ 0，有 ! )(})()({n t e n s X s t X P n t λλ-==-+， ,1,0=n 则称计数过程{ X(t)，t ≥ 0}为具有参数0>λ的泊松过程。 注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([，由于， t t X E )]([= λ表示单位时间内事件A 发生的平均个数，故称λ为此过程的速率或强度。 从定义3.2中，我们看到，为了判断一个计数过程是泊松过程，必须证明它满足条件(1)、(2)及(3)。条件(1)只是说明事件A 的计数是从t = 0时开始的。条件(2)通常可从我们对过程了解的情况去验证。然而条件(3)的检验是非常困难的。为此，我们给出泊松过程的另一个定义。 定义3.3 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式： o(h). 2} X(t)-h)P{X(t o(h),h 1} X(t)-h)P{X(t =≥++==+λ
概率论与数理统计课程报告：泊松分布及其在实际中的应用
泊松分布及其在实际中的应用 摘要：本文从泊松分布的定义和基本性质出发，举例讨论了泊松分布在实际中的重要应用。 关键字：泊松分布；应用；运筹学；分子生物学；核衰变 泊松分布是法国数学家泊松于1837年引入的，是概率论中的几大重要分布之一。作为一种常见的离散型随机变量的分布，其在实际中有着非常广泛的应用。 1泊松分布的定义及基本知识 1.1定义： （1）若随机变量X 的分布列为 ）， ?=>= =-,2,1,0(0,! )(k k e k X P k λλλ 则称X 服从参数为λ的泊松分布，并用记号X~P(λ)表示。 （2）泊松流： 随机质点流：随机现象中源源不断出现的随机质点构成的序列。 若质点流具有平稳性、无后效性、普通性, 则称该质点流为泊松事件流(泊松流)。 例如某电话交换台收到的电话呼叫数; 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数等这些事件都可以看作泊松流。 1.2有关泊松分布的一些性质 （1）满足分布列的两个性质：P(X=k)≥0(k=0,1,2,…）， 且有 1! ! )(0 =?====-∞ =-∞=∞ =-∑∑∑ λλλ λ λλe e k e k e k X P k k k o k k . （2）若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的期望和方差分别为：E （X)=λ; D(X)=λ. （3）以n ，p 为参数的二项分布，当n →∞，p →0时，使得np=λ保持为正常数，则 λλ--→ -e k p p C k k n k k n ! ) 1(对于k=0,1,2，…一致成立。 由如上定理的条件λ=np 知，当n 很大时，p 很小时，有下面的近似公式 λλ--→ -=e k p p C k P k k n k k n n ! ) 1()( 2泊松分布的应用 对于试验成功概率很小而试验次数很多的随机过程, 都可以很自然的应用于泊松分布的理论。在泊松分布中的概率表达式只含一个参数λ，减少了对参数的确定与修改工作量, 模型构建比较简单, 具有很重要的实际意义。 以下具体举例说明泊松分布在实际中的重要应用。 （1）泊松分布在经济生活中的应用： 泊松分布是经济生活中的一种非常重要的分布形式，尤其是经常被运用在运筹学研究中的一个分布模型。如物料订单的规划，道路交通信号灯的设计，生产计划的安排，海港发
正确理解 泊松分布 通俗解释
很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事，至少我就是如此。如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在“只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改，大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。而如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意义是什么？”这样的“哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在1876 年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在1876 年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛？” 泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。比如在一段时间t（比如 1 个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数（比如一直是200 人），而应该符合某种随机规律：假如在 1 个小时内来200 个学生的概率是10%，来180 个学生的概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。 这当然只是形象化的理解什么是泊松分布，若要公式化定义，那就是：若随机变量X 只取非负整数值0,1,2,..., 且其概率分布服 从则随机变量X 的分布称为泊松分布，记作P(λ)。这个分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式时提出来的。泊松分布P (λ)中只有一个参数λ ，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。生活中，当一个随机事件，例如来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从
泊松过程
第二讲 泊松过程 1．随机过程和有限维分布族 现实世界中的随机过程例子： 液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格； 到某个时刻的电话呼叫次数； 到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。 特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。 定义（随机过程） 设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族 }),({T t t X ∈为随机过程。 注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →?Ωω:),(。固定ω，即考虑某个事件相 应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。映射的值域空间E 称为状态空间。 例 随机游动(离散时间，离散状态) 质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。 如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。 两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立； 两个过程的关系：01 n n k k S S X ==+ ∑ 习题 计算n ES 和n DS （设00S =）。 提示 利用∑== n k k n X S 1 ，其中k X 是时刻k 的移动方式。 习题 设从原点出发，则()/2()/2()/2 ,2()0, 21n k n k n k n n C q p n k i P S k n k i +-+?+===?+=-?。 例 服务器到达的数据流(连续时间，离散状态) 在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程， 其指标集}{+ ∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。
泊松过程与泊松分布的基本知识
泊松过程与泊松分布的基本知识泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。也就是说，每次事件的发生是相互独立的。那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。 比较：泊松分布 泊松过程的主要公式： 其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。泊松分布则是给定了时间。 泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。 泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这
么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。 复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。 更新过程： 上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理： 这个定理是可以证明的，Fn（t）是分布函数，就是说：在t时刻，更新函数值就是在这个时刻，n取遍所有值的分布之和。 那么是否可以这样理解，更新过程和泊松过程的区别就是更新间隔序列不同，那么如果已知了更新间隔序列的概率密度函数，就可以求解该过程的更新函数了，详细的推导就不写了。扔结论出来：对间隔序列概率密度函数做拉氏变换得到Lf(s),然后求 Lm(s)=Lf(s)/s(1-Lf(s)),再对Lm(s)进行逆变换，就得到了m(t),这就是更新函数。
Poisson过程
第三章Poisson过程 教学目的：（1）了解计数过程的概念； （2）掌握泊松过程两种定义的等价性； （3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布； （4）了解泊松过程的三种推广。 教学重点：（1）泊松过程两种定义的等价性； （2）泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的三种推广。 教学难点：（1）泊松过程两种定义的等价性的证明； （2）泊松过程来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的推广。 3.1 Poisson过程 教学目的：掌握Poisson过程的定义及等价定义；会进行Poisson过程相关的概率的计算。 教学重点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明；Poisson过程相关的概率的计算。 教学难点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明。 Poisson过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义 定义3.1：{(),0} 表示从到时刻 N t t N t t≥ 随机过程称为计数过程，如果()0特定事件发生的次数，它具备以下两个特点： 某一A N t取值为整数； (1)() 内事件发生的次数。 (2)()()()-()(,] 时，且表示时间A s t N s N t N t N s s t <≤ 计数过程有着广泛的应用，如：某商店一段时间内购物的顾客数；某段时 间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称该计数过程
有独立增量。即当123,t t t <<2132()-()()-()X t X t X t X t 有与是独立的。 若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于,时间区间的长度则计数 过程有平稳增量。即对一切12120(,]t t s t s t s <>++及，在中事件个数 21()()N t s N t s +-+12(,]t t 与区间中事件的个数21()()N t N t -有相同的分布。 Poission 过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission 引入。 .独立增量和平稳增量是某些级数过程的主要性质Poisson 过程是具有独立 增量.和平稳增量的计数过程 定义3.2：{(),0}(0)N t t λλ≥>计数过程称为参数为Poisson 过程，如果 (1)(0)0N =； (2)过程具有独立增量； (3),0,s t ≥对任意的 (()-())P N t s N s n +=! n t t e n λλ-=（） 例3.1：3/h 设顾客到达商店依次人的平均速度到达，Poisson 且服从分布， 9:00,已知商店上午开门试求 (1)9:0010:005从到这一小时内最多有名顾客的概率？ (2)9:3011:30到时仅到一位顾客，而到时总计已达到5位顾客的概率？ (解：见板书。) 注：（1）Poisson 过程具有平稳增量。 （2）随机变量()N t 服从参数为t λ的Poisson 分布，故[()]E N t t λ=（显然，可以认为λ是单位时间内事件发生的平均次数，称λ是Poisson 过程的强度或速率或发生率。）
泊松过程
泊松过程 一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。 泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。 1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。 Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松过程、 布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840） 的名字命名的。泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。我们说一个 随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件： 在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。 在区间内发生的事件的数目的概率分布为： 其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。 所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变数呈现泊松分布，其参数为。 更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得?在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。 ?在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。）
泊松过程
泊松过程 泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。也就是说，每次事件的发生是相互独立的。那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。 比较：泊松分布 泊松过程的主要公式： 其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。泊松分布则是给定了时间。 泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。
泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的 频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。 复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。 更新过程： 上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理：
泊松分布的应用
泊松分布的应用
泊松分布的应用 摘要 泊松分布是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。它是高等数学里的一个概念,属于概率论的范畴,是法国数学家泊松在推广伯努利形式下的大数定律时,研究得出的一种概率分布,因而命名为泊松分布。 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍，研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。 关键词：泊松过程；泊松分布；定义；定理；应用；
一、 计数过程为广义的泊松过程 1．计数过程 设)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为一随机过程, 如果 t )( N 是取非负整数值的随机变量,且满足s < t 时, t)( s) ( N ≤,则称)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为计数过程。 将增量 t t 0 , t), t ( N ) t ( N - t)( N 000<≤?=,它表示时间间隔 t), t [ 0内出现的质点数。“在 t), t [ 0内出现k 个质点”,即k} t), t ( {N 0=是一随机事件,其概率记为 2 0,1, k , k} t), t ( P{N t), t ( P 00K ===总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。 2．泊松过程 计数过程0} t , t)( {N ∈称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性; (2)0 (0) N =; (3)对于充分小的, t)( O t 1} t) t t,( P{N t) t t,( P 1?+?==?+=?+λ其中常数 0>λ,称为过程)(t N 的强度。 (4)对于充分小的Δt (){}()t j t t t N P t t t P j j j ?==?+=?+∑∑∞ =∞=ο2 2 ,),( 亦即对于充分小的t ?,在()t t t ?+,或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相对可以忽略不计。了解泊松过程,就很容易去了解泊松分布的相关性质,其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔内出现质点数目的计数。 二、 泊松分布的概念： 泊松分布常用于描述单位时间、单位平面或单位空间中罕见“质点”总数的随机分布规律。 定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且 {}0,,2,1,0,! >===-λλ k e k x k X P k 为常数。
泊松过程
一个基本的独立增量过程，用于累积随机事件的发生时间。例如，随着时间的推移累积电话交换机接收的呼叫数量就构成了泊松过程。 法国著名数学家泊松（1781-1840）证明了泊松过程。1943年，C。Pahlm将这一过程应用到电话服务的研究中，后来又应用于α。я。1950年代，辛勤在服务系统研究中进一步发展了它。法国数学家Poisson于1781年6月21日出生于法国卢瓦尔河，于1840年4月25日去世，死于法国苏富比镇。 1798年，他进入巴黎综合科学与工程学院深造。毕业后，他以出色的研究论文被任命为讲师。由p.-s赞赏。拉普拉斯和j.l.拉格朗日。1800年毕业后，他留校任教，1802年成为副教授，并接替了J.-B.-J.傅里叶于1806年担任教授。1808年，他是法国经度局的天文学家，1809年，他是巴黎科学研究所的力学教授。1812年，他当选为巴黎科学院院士。 泊松的科学生涯始于对微分方程的研究及其在摆运动和声学理论中的应用。他的工作特征是运用数学方法研究各种机械和物理问题，并获得数学发现。他为积分理论，行星运动理论，热物理学，弹性理论，电磁理论，势能理论和概率论做出了重要贡献。 对于泊松过程，通常认为每个样本函数都是一个左跳（或右跳）连续
阶跃函数，其跳跃为1。可以证明具有此属性的样本函数的随机连续独立增量过程必须是泊松过程，因此，泊松过程是描述随机事件累积发生时间的基本数学模型之一。凭直觉，只要随机事件在不相交的时间间隔内独立发生并且在足够小的间隔内仅发生一次，则它们的累积时间就是一个泊松过程。这些条件在许多应用中都可以满足。例如，某个系统在时间段[0，t]中的故障数和在真空管加热t秒钟后阴极发射的电子总数可以被认为是泊松过程。 描述随机事件的累积发生时间的过程通常称为计数过程（请参阅点过程）。还可以通过依次跳转的时间{Tn，n≥1}定义简单的局部计数过程{X（t），t≥0}，即T0 = 0，Tn = inf {t：X（t）≥n}，n≥1，并且当TN 正确理解-泊松分布-通俗解释 年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成”（泊松分布在1876年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是泊松分布能拿来干嘛？” 泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。时间t （比如1个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一比如在一段个常数（比 如一直是200人），而应该符合某种随机规律: 学生的概率是10%，来180个学生的概率是假如在1个小时内来200个20%'般认为，这种随机规 若要公式化定义，那就是：若 当一个随 很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事，至少我就是如此。如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在 只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现请发表一下你对泊松公式的看法”这 样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改，大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。而如果我们学习的目的是为了理解一 样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如为什么要有泊松分布？” 泊松分布的物理意义是什么？”这样的哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：电话是 一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”而不会说：电话在1876 律服从的就是泊松分布。 这当然只是形象化的理解什么是泊松分布， 随机变量X只取非负整数值0,1,2,…，且其概率分布服 从"k!则随机变量X的分布称为泊松分布，记作P（入。）这个分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式时提出来的。泊松分布P （/中只有一个参数入，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。生活中，当 机事件，例如来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜 F某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率入或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地 2.2.19 泊松分布的图形及最值 泊松分布同二项分布一样，首先是单调增加，然后再单调递减．所以，泊松分布P(λ)的最值情况如下： (1)若λ是整数，则泊松分布在X=λ-1和X=λ处概率值最大； (2)若λ不为整数，则存在整数m有λ-1< span="">，此时泊松分布在X=m 处的概率最大． 注，这些最值的推导分析如同二项分布的分析，即通过比值P{X=k}/P{X=k-1}来推导． 2.2.20 服从泊松分布的例子 泊松分布是重要的离散型分布，它在实际中有着广泛的应用．泊松分布的应用重要集中在三个领域． 1.社会生活对某服务的需求．如 (1)电话交换台在一段时间内的呼叫次数； (2)公共汽车站在一段时间内的乘客数； (3)某餐厅在一段时间内等待就餐的顾客数； (4)某售票窗口接待的顾客数； (5)某医院每天前来就诊的病人数； (6)某地区某癌症的发病人数；?? 2.物理学和生物学领域．如 (1)放射性物质的放射粒子落在某区域的质点数； (2)显微镜下某区域中的血球数目； (3)显微镜下某区域中的细菌数目； (4)数字通讯中传输数字时发生误码的个数； (5)一段时间内某放射性物质发射出的粒子数； (6)一段时间内某容器内部的细菌数；?? 3.大量试验中稀有事件出现的次数． (1)一页中印刷错误出现的次数； (2)大量螺钉中不合格品出现的个数； (3)三胞胎出生的次数； (4)某路口在一段时间内发生事故的次数； (5)某机器在一段时间内出现故障的次数； (6)某城市在一段时间内出现火灾（或地震）的次数； (7)一纺锭在一段时间内发生断头的次数； (8)特大洪水发生的年数；?? 注稀有事件是指在试验中出现的概率很小的事件，也称小概率事件．如，火山爆发、地震、彩票中大奖等等． 2.2.24 泊松分布(3)－例7 例2.2-7 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数λ=0.8的泊松分布，求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率． 解由概率的性质及泊松分布的定义，得 P{X≥3}=1-P{X<3}=1-P{X=0}-P{X=1}-P{X=2} =1-e-0.8(0.800!+0.811!+0.822!) ≈0.0474．■ 2.2.25 泊松分布(4)－例8 例2.2-8 某公司生产一种产品300件，根据历史生产记录知废品率为0.01，问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少? 解把每件产品的检验看作一次伯努利试验，它有两个结果：A={正品}，Aˉ={废品}，检验300件产品就是作300次独立的伯努利试验．用X表示检验出的废品数，则 X～b(300,0.01)， 从而问题变为计算P{X>5}． 由于n>100，np=3<10，故泊松分布可以很好地近似计算二项分布．记λ=np=3，于是得 P{X>5}=∑k=6300b(k;300,0.01)=1-∑k=05b(k;300,0.01)≈1-∑k=053\spacekk 关于泊松分布及其应用 论文提要： 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。 摘要泊松分布做为概率论中的一种重要分布,在管理科学、运筹学及自然科学的某些实际问题中都有着广泛的应用。本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍,分析了泊松分布在生物学研究中的应用。 关键词泊松过程泊松分布应用 摘要：泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数 学模型, 它具有很多性质。研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。 关键词：泊松分布; 定义；定理；应用；例题；指数失效律; 数学期 望; 方差 一、 泊松分布的概念： 定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且 {}0,,2,1,0,! >===-λλ k e k x k X P k 为常数。 则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。 定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。 主要结论： 定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。 证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。设X 服从泊松分布D ( X) ,即有: 0 , , ,2 ,1 0 k ,! k} X P{>===-λλλ e k k 则()()λλλλλλλλ λ =?=-==- ∞ =--∞ =-∑∑ e e k e k e k X E k k k k 11 0!1! 从而()()() λλλλλλλ λ +=-+-==-∞ =-∞ =--∞ =∑ ∑ ∑212 2 2 2 !1!2! e k e k e k k X E k k k k k k 故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==正确理解-泊松分布-通俗解释
泊松分布
关于泊松分布及其应用