泊松过程
第二讲 泊松过程
1．随机过程和有限维分布族
现实世界中的随机过程例子：
液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格； 到某个时刻的电话呼叫次数；
到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。
特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。
定义（随机过程） 设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族
}),({T t t X ∈为随机过程。
注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →?Ωω:),(。固定ω，即考虑某个事件相
应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。映射的值域空间E 称为状态空间。
例 随机游动(离散时间，离散状态)
质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。
如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。 两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立； 两个过程的关系：01
n
n k
k S S X
==+
∑
习题 计算n ES 和n DS （设00S =）。 提示 利用∑==
n
k k
n X
S 1
，其中k X 是时刻k 的移动方式。
习题 设从原点出发，则()/2()/2()/2
,2()0,
21n k n k n k n n C q p n k i
P S k n k i +-+?+===?+=-?。
例 服务器到达的数据流(连续时间，离散状态)
在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程，
其指标集}{+
∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。
例 布朗运动（连续时间，连续状态）直线上质点的位移是连续的。在时刻t 的位置为t X 。
满足条件： 1）00X =；
2）独立增量过程：t s τ?>>，t s X X -与s X X τ-独立; 3）2~(0,())t s X X N t s σ--
（密度函数：22
()2(x f x μσ--
）
如果1σ=，就称为标准布朗运动，记为t B 。
过程的数字特征：任意给定时刻，可计算
1) 均值函数)()(t EX t m =； 2) 方差函数)()(t DX t D =；
3) 协方差函数))]()())(()([(),(t m t X s m s X E t s C --=，T t s ∈,。
过程和分布：知道各个时刻随机变量的分布，不能确定整个过程：即不能确定涉及所有时刻
状态的事件的概率。
在多维随机变量时，即边际分布不能确定联合分布。对于随机过程，由于所涉及的随机变量是无限的，所以问题更复杂。
当然可以把联合分布从有限个随机变量推广到无限来考虑，但在不太强的限制条件下，
定理（Kolmogorov 定理）随机过程由其有限维联合分布族确定。
定义（有限维联合分布族）称},,{),,(11,,11n t t n t t x X x X P x x F n n ≤≤= 为有限维联合分布族，其中，n ，n t t << 1，n x x ,,1 是任意的。 定理 有限维分布族满足下列性质，
（1）对称性 有限维分布与时间排列方式无关；
（2）相容性 对n m >，=),,(1,,1n t t x x F n ),,,,,(1,,,1∞∞ n t t t x x F m n 。
因此，以后在确定了有限维联合分布族后，就认为确定了该过程。
2．随机过程的分类
根据过程的概率特性，可以把过程分成不同的类型。 (1) 独立过程
任意给定时刻n t t t <<< 21，)(,),(1n t X t X 都是独立的，即
)()(),,(11,,11n t t n t t x F x F x x F n n =
这类过程比较简单，不同时刻的随机变量之间没有任何联系，状态概率分布能确定联合分布。 (2) 平稳过程和宽平稳过程
随机过程}),({T t t X ∈称为是平稳过程，如果对任意的n t t t <<< 21，0>t ，
),,(1n t t X X 与),,(1t t t t n X X ++ 具有相同的联合分布。
如果m t EX =)(，)(),cov(s R X X s t t =+，那么，称其为宽平稳过程。 (3) 独立增量过程和独立平稳增量过程
随机过程}),({T t t X ∈称为是独立增量过程，如果对任意的n t t t t <<<<≤ 2100，
1010,,,---n n t t t t t X X X X X 相互独立；
如果h t h t h t h t n n X X X X ++++---101,, 的分布与h 无关，就称该随机过程是平稳增量过程。
其它一些重要的过程，如更新过程，马氏过程等，以后再详细讨论。
3 泊松过程
例 考虑某电话交换台在],0[t 内到达的呼叫数，记为)(t N ，这个过程可近似认为具有如下
性质：
(1) )(t N 取非负整数值，且0)0(=N ； (2) }0),({≥t t N 是平稳独立增量过程；
(3) )()1)()((t o t t N t t N P ??λ?+==-+，)()2)()((t o t N t t N P ??=≥-+，0>λ。
定义 称具有上述性质的随机过程}0),({≥t t N 为时齐泊松过程。
泊松过程记录了在某个时段内发生的总数，是一个计数过程。
泊松过程等价描述
1）由事件发生的时间间隔过程}1,{≥n X n 描述；
2）由事件发生时刻过程}1,{≥n S n 所确定，即n S 是第n 次事件发生的时刻。 两者之间的关系：1--=n n n S S X 。
1）由)(t N 可确定}{n S ：00=S ，})(,:inf{1n t N t S t S n n =>=-，1≥n 2）由}{n S 也可确定)(t N ：}:sup{)(t S n t N n ≤= 有如下事件的等价关系： 1） })({}{n t N t S n ≥=≤；
2） }{}{}{})({11t S t S S t S n t N n n n n ≤-≤=<≤==++。 当然对n S 和n X 必须附加条件，相应的计数过程才是泊松过程。
泊松过程中一些相应随机变量的分布
定理 t
k e k t k t N P λλ-==!
)())((。 证 记))(()(n t N P t p n ==，那么由条件(1)~(3)，
)0)()(()0)(()0)((=-+===+t N t t N P t N P t t N P ??，
或)()1)(()()()(0000t o t t p t p t p t t p ??λ??+-==+。由此，
)()(00t p t p dt
d
λ-=，故
t e t p λ-=)(0，(这里利用初始条件1)0(0=p )。
对一般的1≥n ，)()()1)(()(1t o t t p t t p t t p n n n ??λ?λ?++-=+- 得方程
)()()(1t p t p t p dt
d
n n n -=+λλ (1)
处理微分差分方程的方法之一：母函数方法
令∑∞
==
)(),(n n n
z t p
z t S （()N t Ez ）
。由(1)式， ),(),(),(z t zS z t S z t S t
λλ=+??
(2)
注意到(,0)()S t t δ=，所以，t
n n n t
z e z n t e
z t S λλλ-∞
=--∑==0
)1(!)(),(，故t n n e n t t p λλ-=!)()(。 一般理论的作用：(2)的直接推导：
()()()()()
()[|()]
[|()][Pr{()()1}Pr{()()0}()]
[(1)()]
N t t N t N t t N t N t N t E z N t z E z N t z
z N t t N t N t t N t o t z z t t o t ?????λ?λ??++-==+-=++-=+=+-+
两端关于()N t 取数学期望：
()()()()()()
()()[|()][|()][(1)()]
(1)()
N t t N t t N t N t t N t N t N t N t Ez EE z N t z E z N t Ez
z t t o t z Ez t Ez o t ???λ?λ??λ??+++-===+-+=-++
所以立刻得到(2)：
(,)(1)(,)S t z z S t z t
λ?
=-?。 注意到过程是平稳独立增量过程，因此该定理给出了在任意时间段],(t s s +内事件发生次数的概率分布。
推论2 n S 的密度函数t
n n e n t t f λλλ---=)!
1()()(1，即为Erlang 分布。
证 由∑-=--=≥=≤1
!)(1))(()(n k t
k n e k t n t N P t S P λλ，微分后得到相应的密度函数
t
n n e n t t f λλλ---=)!
1()()(1，0≥t
特别t
e
t X P λ--=≤1)(1，是负指数分布。由此参数λ具有明显的概率意义，是单位时间
内时间发生的次数，或1
-λ是事件发生的平均间隔时间。
虽然，得到了n S 的分布，但并未得到}{n X 的独立性，为此证明下面的定理。
定理 记数过程}0),({≥t t N 是泊松过程的充要条件是}1,{≥n X n 是具有负指数分布的i.i.d.
随机过程。 证（附录）
定理 在n t N =)(的条件下，},,{1n S S 是],0[t 上的均匀分布的顺序统计量分布。 证
顺序统计量定义：如果有n 个独立随机变量},,{1n Y Y ，按其大小顺序排列后得到一组随机变量},,{)()(1n n n Y Y ，称其为顺序统计量。其密度函数计算如下。任取n y y y <<< 21和充分小的0>h ，}{)()2(221)1(11h y Y Y y h y Y y P n n n +<<<<<+<<
},,,{!)(222111h y Y y h y Y y h y Y y P n n n n n +<<+<<+<<= )()(!1n n i n
i h o h y f n +=∏=
因此∏==n
i i
n y f n y y y f 1
21)(!
),,,( ，n y y y
<<< 21
；其它情形下为0。
对泊松过程：})(|{22111n t N h y S S y h y S y P n n =+<<<<<+<<
}
0)()(,1)()(,,1)()(,0)({))((1
111=+-=-+=-+===
h y N t N y N h y N y N h y N y N P n t N P n n n !
n n n h t
=，得到结论。
泊松过程的应用 例 //1M M 排队模型
假设有一个由单个服务台构成的服务系统，服务满足条件：泊松过程。顾客到达过程：泊松过程。服务采用先到达先服务规则（FCFS ）。计算队长()L t 的概率分布()n p t ，且考虑
lim ()n t p t →∞
的存在性问题。
习题：建立()Pr(())n p t L t n ==满足的方程。
提示 到达：参数为λ的泊松过程；服务：参数为μ的泊松过程。
Pr{()()0|()0}(1)(1)()L t t L t L t t t o t ?λ?μ??+-=>=--+1()()t o t λμ??=-++， Pr{()()0|()0}1()L t t L t L t t o t ?λ??+-===-+；
Pr{()()1|()0}(1)()L t t L t L t t t o t ?λ?μ??+-=>=-+()t o t λ??=+， Pr{()()1|()0}()L t t L t L t t o t ?λ??+-===+；
Pr{()()1|()0}(1)()L t t L t L t t t o t ?μ?λ??+-=->=-+()t o t μ??=+， Pr{()()1|()0}0L t t L t L t ?+-=-==；
例 设火车站顾客流是泊松过程，参数为λ。火车在时刻t 离开，问在],0[t 到达火车站的顾
客等待时间总和的期望值。
解 设第i 个顾客的到达时刻记为i S ，那么总的等待时间∑=-=
)
(1
)()(t N i i
S t t S 。这是个随机变
量。注意，这时不能直接用Wald 等式。
条件概率的一般的公式（连续情形）的证明：设),(Y X 的联合密度为),(y x f ，条件概率密度为),(|y x f y Y X =，边际密度函数)(y f Y 。有关系)
()
,(),(|y f y x f y x f Y y Y X =
=。
??????=====dy y f dx y x xf dxdy y f y x xf dxdy y x xf EX Y y Y X Y y Y X )()),(()(),(),(|| ]|[)(]|[Y X EE dy y f y Y X E Y ===?
因此)](|)([)(t N t S EE t ES =∑∞
====
))((])(|)([n n t N P n t N t S E
])(|)([!)(0
0n t N S t E n t n
k k n n
=-=∑∑=∞
=λ
注意到∑=-=
n
k k S
t t S 1
)
()()(，因此
()
11()[()|()](())n
k n k ES t E t S N t n P N t n ∞
===-==∑∑1()2
!n t n nt t e n λλ∞
-==∑22
t λ=
例 设仪表在],0[t 内接收的脉冲数}0),({≥t t N 是参数为λ的泊松过程。第i 次脉冲电压为
i D ，}1,{≥i D i 为独立同分布且与}0),({≥t t N 也独立。且电压随时间按负指数衰减，即
0=t 时的电压为D ，则在t 时刻为t
De
α-。因此在t 时刻的损失之和为∑=--=
)
(1
)
()(t N i S t i i e D t αξ 求)(t E ξ。
解 ∑∑∞==--===
1
)
())(())(|()(n n
i S t i
n t N P n t N e D E t E i α
ξ
∑∑∞
==--===01)())(())(|(n n
i S t i n t N P n t N e E ED i α
()()
111
()(|())!
i n n
t S t
n i t ED E e
N t n e n αλλ∞
---====∑∑
()110
()1
!t
n t t s n t ne ED e ds n t λαλ∞
---==∑?)1(11t e t tED ααλ--=)1(1t e ED ααλ--=
例 设事件发生次数是参数为λ的泊松过程，且s 时刻发生的事件以概率()P s 为第一类事件，而1()P s -为第二类事件。以1()N t 表示[0,]t 内第一类事件发生的次数，2()N t 表示
[0,]t 内第二类事件发生的次数。证明1()N t 和2()N t 是独立的，且服从泊松分布，参数分别
为pt λ和(1)t p λ-，其中0
1
()t
p P s ds t =?。
证 计算1()N t 和2()N t 的联合分布：
12((),())P N t m N t n ==1((),())P N t m N t n m ===+ 1(()|())(())P N t m N t n m P N t n m ===+=+
1111
01
(())(()|(),,())t
t
n m n m n m n m
P N t n m P N t m S t s S t s ds ds t
++++==+===?
? 111
()1
()
()(1())
(1())()!t
t n m t m n m m m m n m n m n m
t e C P s P s P s P s ds ds n m t
λλ+-+++++=--+??
00
()11[()][(1())]()!t
t
n m t m m n n m t e C P s ds P s ds n m t t λλ+-+=-+?? ()(1)!!n m t m n t e p p m n λλ+-=-
(1)()((1))!!
m n pt p t pt p e e m n λλλλ----=
附录
先求),,,(21n S S S 的联合分布。任取n t t t <<< 21和充分小的0>h 。 那么，注意到}{})({t S n t N n ≤=≥及}{})({t S n t N n >=<，有
}2
22222{222111h
t S h t h t S h t h t S h t n n n +<<-<<+<<-<+<<-
}
)2(,)2(,0)2()2(,
,0)2
()2(,1)2()2(,0)2({112111n h
t N n h t N h t N h t N h
t N h t N h t N h t N h t N n n n n ≥+<-=+--=---=--+=-=-
n
n n n n H h
t N h t N h t N h t N h
t N h t N h t N h t N h t N }1)2
()2(,0)2()2(,
,0)2
()2(,1)2()2(,0)2({112111=--+=+--=---=--+=-=-
而
}
2)2
()2(,0)2()2(,
,0)2
()2(,1)2()2(,0)2({112111≥--+=+--=---=--+=-=-h
t N h t N h t N h t N h
t N h t N h t N h t N h t N H n n n n n
这样就得到
})2
22222({222111h
t S h t h t S h t h t S h t P n n n +<<-<<+<<-<+<<-
)()(2
n n h t h o h e
n +=+
-λλ
因此密度函数为???<<<=-case other ,
0,),,(211n
t n n t t t e t t g n λλ。由此，利用1
--=n n n S S X 可得到),,(1n X X 的联合分布的密度函数),,(1n x x f 。
),(11n n x X x X P ≤≤ ),,(111n n n x S S x S P ≤-≤=-
??+++=1
11211~~)~~,,~~,~(x x n n n
x d x d x x x x x g
因此)
(1111),,(),,(n x x n n n e
x x x g x x f ++-=+= λλ，由此得到结论。
反之，如果知道}1,{≥n X n 是独立且满足负指数分布的随机过程。定义
n n X X S ++= 1，},inf{)(t S n t N n ≤=
利用上面求联合分布的类似过程求}),({11n n t S t S P ≤≤ 。
}),({11n n x S t S P ≤≤
}),,({1111n n t X X t X P ≤++≤=-
??
----=1
1
~11121~~)~~,,~~,~(t t t n n n n n t d t d t t t t t f
因此n
t n n n n e
t t t f t t g λλ--=-=),,(),,(111 。故
)()(1t X X P t S P n n ≤+=≤ ???----++--=1
111
)
(0
2
1
n n x x t n x x n x t t
dx e
dx dx λλ
可利用LAPLACE 变换：n
n
n s s f )
()(~
λλ+=
，t n n e n t t f λλλ---=)!1()()(1。 因此?
---=
≤t
x n n dx e n x t S P 0
1
)!
1()()(λλλ，所以
t
n n n e n t t S P t S P n t N P λλ-+=≤-≤==!
)()()(}))(({1
由此得到结论。其次证明平稳性。 如果0=n ，则
∑∞
=+<+<≤==-+0
1)()0)()((k k k S s t s S P s N s t N P
∑?∞=--++--=-+>+=10
1
1)
()!
1()()
|(k s
u k k k t s du e k u u S u s t X P e
λλλλ
∑?∞=-+-+--+=10
1
)
()
()!
1()(k s
k t s t s du k u e
e
λλλλ
t e λ-=
)0)((==t N P
如果1≥n ，
∑∞
===-+==-+0
))(,)()(())()((k k s N n s N s t N P n s N s t N P
∑∞
==+=+=0))(,)((k k s N k n s t N P
∑∞
=++++<+≤<≤=0
11),(k k n k n k k S s t S S s S P
),(11+<+≤<=n n S s t S S s P +
∑?∑∑∞=--+=+=++-=+<+≤+->+10
1
1
1
1
1)!
1()()
|,(k s
u k k n i i k n i i k k du e k u u S X u s t X u u s X P λλλ
du e u X S s t S u P S s t S S s P u
n s
t s
n n n λλ-+++=<+<≤=
<+<≤
P u n
i i s
t s
n i i λλ-=++-=+∑?∑<-+≤=)(1
11
1
1
du e S u s t S P u
n s
t s
n λλ-+-<-+≤=?)(1 du e e n u s t u
u s t s
t s
n λλλλ--+-+-?
--+=
)(1)!
1())((
)(!
)(t s n e n t +-=λλ
∑?∑∑∞=--+=+=++-=+<+≤+->10
1
1
1
1
1
)!
1()()
|,(k s
u k k n i i k n i i k k du e k u u S X u s t X u u s X
P λλλ
∑?∑∑∞=--+=+=++-+<+≤+->=101
1
1
1
1)!
1()()
,(k s
u k n i i k n i i k k du e k u X u s t X u u s X P λλλ
∑?∞=--+-+<+≤+->=10
1
11)!
1()()
,(k s
u k n n du e k u S u s t S u u s S P λλλ
∑?∞=--+-<-+≤->=101
11)!
1()()
,(k s
u k n n du e k u S u s t S u s S P λλλ
∑?∞=---+--=101)()!1()(!)(k s
u
k u t s n du e k u e n t λλλλ
∑∞
=+-=1
)
(!)(!)(k t s k n e
k s n t λλ 因此
t
n e n t n s N t s N P λλ-==-+!
)())()((
最后证明独立性。
只证明)()(s N s t N -+与)(s N 独立，对于多个增量，证明方法类似。
),())()(,)((11++++<+≤<≤==-+=n m n m m m S s t S S s S P n s N s t N m s N P
du u f u S X u s t X X u s P m m n i i m s
n i i m m )()|,(1
1
1
1=<-+≤<-=∑?∑+=+=++
du u f S u s t S S u s P m n s
n )()(101+<-+≤≤<-=?
du e m u e n t u m s
u s t n λλλλλ---+--=?)!1()(!)(10
)(
s
m t n e m s e n t λλλλ--=!
)(!)(
))()(())((n s N s t N P m s N P =-+==
随机过程poisson过程 中科大
Poisson 过程 1.考虑电子管中的电子发射问题.设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的Poisson 分布,而每个电子携带的能量各自不相关且与N 独立,并均服从于区间[1,2]上的均匀分布.记单位时间内阳极接收的能量为S .求S 的期望和方差. 2.设{X (t ),t ≥0}为一个独立增量过程,且X (0)=0,分别记V (t ),R (t,s )为{X (t ),t ≥0}的方差函数和协方差函数,证明:R (t,s )=V (min {t,s }). 3.设N (t )是一强度为λ的Poisson 过程,s,t >0,试求: (a)P(N (s )=k |N (s +t )=n )=?k =1,...,n ; (b)E[N (s )N (s +t )]=? (c)Cov(N (s ),N (s +t ))=? (d)E[N (s +t )|N (s )]的期望和分布; (e)E[W k |N (t )=n ]=?E[W k ]=?(W k 为第k 个事件发生的时刻) 4.某路口蓝车,白车和黄车的到达分别为强度λ1,λ2和λ3的Poisson 过程,且相互独立.试求:(a)第一辆蓝车到达的平均时间和第一辆车到达的平均时间; (b)蓝车首先到达的概率; (c)蓝车先于黄车但落后于白车的概率; (d)在相继到达的两辆蓝车之间,恰有k 辆车到达的概率以及数学期望; (e)在t 0处观察到一辆黄车,在接下来恰有k 辆蓝车连续到达的概率以及数学期望. 5.设要做的试验的次数服从参数为λ的Poisson 分布,试验有n 个可能的结果,每次试验出现第j 个结果的概率为p j ,∑n j =1p j =1.若各次试验相互独立,并以X j 记第j 个结果发生的次数,试求E[X j ]、Var[X j ],j =1,...,n .又问X j 服从什么分布？且X 1,...,X n 是否相互独立？为什么？ 6.某人甲负责订阅杂志.设前来订阅杂志的人数服从强度为6的Poisson 过程,每人分别以概率1/2,1/3,1/6订阅1季,2季,3季杂志,且各人的选择相互独立.现以N i (t )表示(0,t ]时段内订阅i 季杂志的人数,i =1,2,3. 1
泊松过程与泊松分布的基本知识
泊松过程与泊松分布的基本知识泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。也就是说，每次事件的发生是相互独立的。那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。 比较：泊松分布 泊松过程的主要公式： 其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。泊松分布则是给定了时间。 泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。 泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这
么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。 复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。 更新过程： 上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理： 这个定理是可以证明的，Fn（t）是分布函数，就是说：在t时刻，更新函数值就是在这个时刻，n取遍所有值的分布之和。 那么是否可以这样理解，更新过程和泊松过程的区别就是更新间隔序列不同，那么如果已知了更新间隔序列的概率密度函数，就可以求解该过程的更新函数了，详细的推导就不写了。扔结论出来：对间隔序列概率密度函数做拉氏变换得到Lf(s),然后求 Lm(s)=Lf(s)/s(1-Lf(s)),再对Lm(s)进行逆变换，就得到了m(t),这就是更新函数。
泊松过程
第二讲 泊松过程 1．随机过程和有限维分布族 现实世界中的随机过程例子： 液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格； 到某个时刻的电话呼叫次数； 到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。 特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。 定义（随机过程） 设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族 }),({T t t X ∈为随机过程。 注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →?Ωω:),(。固定ω，即考虑某个事件相 应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。映射的值域空间E 称为状态空间。 例 随机游动(离散时间，离散状态) 质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。 如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。 两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立； 两个过程的关系：01 n n k k S S X ==+ ∑ 习题 计算n ES 和n DS （设00S =）。 提示 利用∑== n k k n X S 1 ，其中k X 是时刻k 的移动方式。 习题 设从原点出发，则()/2()/2()/2 ,2()0, 21n k n k n k n n C q p n k i P S k n k i +-+?+===?+=-?。 例 服务器到达的数据流(连续时间，离散状态) 在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程， 其指标集}{+ ∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。
泊松过程
泊松过程 一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。 泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。 1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。 Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松过程、 布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840） 的名字命名的。泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。我们说一个 随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件： 在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。 在区间内发生的事件的数目的概率分布为： 其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。 所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变数呈现泊松分布，其参数为。 更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得?在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。 ?在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。）
泊松过程
泊松过程 泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。也就是说，每次事件的发生是相互独立的。那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。 比较：泊松分布 泊松过程的主要公式： 其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。泊松分布则是给定了时间。 泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。
泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的 频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。 复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。 更新过程： 上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理：
泊松过程
作者：BUG生成器 来源：知乎 ·从一个生活的例子中引出泊松过程 愉快的暑假结束了，同学们陆陆续续来到学校。在开学当天的上午，学校教导主任开始站在学校门口计数到达学校的同学的个数，每分钟计数一次（单位时间），可能是开学第一天比较清闲，顺便观察一下同学们的精神面貌。 通常在一个短暂的时间段内，单位时间到达学校的人数的数学期望应该是一致的。这是很容易理解的，毕竟这是一个学生人数众多的学校，在教导主任站在门口的这几个小时内到达学校的人数，相比较学校的总人数是微不足道的，也就是说，这一分钟到达学校人数的期望和下一分钟到达学校的人数的期望是相同的。 同时，对于某一分钟（单位时间），某一个学生在这一分钟到达学校的概率也是相同的，两个同学互不相关，在满足学校到校时间要求的前提下，他们到达学校的时间是自由的。并且假设每个学生在一分钟内到达学校的概率为P。 这个时候就可以定义随机变量了，假设有n个随机变量，它表示
也就是每个学生都有一个独立的状态，可以是1或者是0，这些所有随机变量加起来就是自观察记录以来到达学校的总人数。 可以看出对于一个确定的时刻t，所有随机变量的和——假设是X，它的概率模型就是比较常见的二项分布。 为什么会是二项分布呢，可能用这种所有学生相互独立的描述方法不易直观理解，那么我们可以这样想，在这样一个确定的时刻，依次询问这个学校所有的学生（不管他有没有到校）有没有到校，那么获得“这个学生已经到校”这个信息的概率是p，“这个学生还
没有到校”的概率是1-p。拿出来一个学生询问就好比做了一次实验，这个实验的结果（这个结果是从开始到时刻t的整个过程决定的，注意理解）为1就计数+1，为0就不计数。 那么现在就可以根据二项分布的概率模型写出随机变量X的分布函数
Poisson过程教学目的了解计数过程的概念掌握泊松
第三章Poisson过程 教学目的：（1）了解计数过程的概念； （2）掌握泊松过程两种定义的等价性； （3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布； （4）了解泊松过程的三种推广。 教学重点：（1）泊松过程两种定义的等价性； （2）泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的三种推广。 教学难点：（1）泊松过程两种定义的等价性的证明； （2）泊松过程来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的推广。 3.1 Poisson过程 教学目的：掌握Poisson过程的定义及等价定义；会进行Poisson过程相关的概率的计算。 教学重点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明；Poisson过程相关的概率的计算。 教学难点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明。 Poisson过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义 定义3.1：{(),0} 表示从到时刻 N t t N t t≥ 随机过程称为计数过程，如果()0特定事件发生的次数，它具备以下两个特点： 某一A N t取值为整数； (1)() 内事件发生的次数。 (2)()()()-()(,] 时，且表示时间A s t N s N t N t N s s t <≤ 计数过程有着广泛的应用，如：某商店一段时间内购物的顾客数；某段时 间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称该计数过程
有独立增量。即当123,t t t <<2132()-()()-()X t X t X t X t 有与是独立的。 若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于,时间区间的长度则计数 过程有平稳增量。即对一切12120(,]t t s t s t s <>++及，在中事件个数 21()()N t s N t s +-+12(,]t t 与区间中事件的个数21()()N t N t -有相同的分布。 Poission 过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission 引入。 .独立增量和平稳增量是某些级数过程的主要性质Poisson 过程是具有独立 增量.和平稳增量的计数过程 定义3.2：{(),0}(0)N t t λλ≥>计数过程称为参数为Poisson 过程，如果 (1)(0)0N =； (2)过程具有独立增量； (3),0,s t ≥对任意的 (()-())P N t s N s n +=! n t t e n λλ-=（） 例3.1：3/h 设顾客到达商店依次人的平均速度到达，Poisson 且服从分布， 9:00,已知商店上午开门试求 (1)9:0010:005从到这一小时内最多有名顾客的概率？ (2)9:3011:30到时仅到一位顾客，而到时总计已达到5位顾客的概率？ (解：见板书。) 注：（1）Poisson 过程具有平稳增量。 （2）随机变量()N t 服从参数为t λ的Poisson 分布，故[()]E N t t λ=（显然，可以认为λ是单位时间内事件发生的平均次数，称λ是Poisson 过程的强度或速率或发生率。）
泊松过程
一个基本的独立增量过程，用于累积随机事件的发生时间。例如，随着时间的推移累积电话交换机接收的呼叫数量就构成了泊松过程。 法国著名数学家泊松（1781-1840）证明了泊松过程。1943年，C。Pahlm将这一过程应用到电话服务的研究中，后来又应用于α。я。1950年代，辛勤在服务系统研究中进一步发展了它。法国数学家Poisson于1781年6月21日出生于法国卢瓦尔河，于1840年4月25日去世，死于法国苏富比镇。 1798年，他进入巴黎综合科学与工程学院深造。毕业后，他以出色的研究论文被任命为讲师。由p.-s赞赏。拉普拉斯和j.l.拉格朗日。1800年毕业后，他留校任教，1802年成为副教授，并接替了J.-B.-J.傅里叶于1806年担任教授。1808年，他是法国经度局的天文学家，1809年，他是巴黎科学研究所的力学教授。1812年，他当选为巴黎科学院院士。 泊松的科学生涯始于对微分方程的研究及其在摆运动和声学理论中的应用。他的工作特征是运用数学方法研究各种机械和物理问题，并获得数学发现。他为积分理论，行星运动理论，热物理学，弹性理论，电磁理论，势能理论和概率论做出了重要贡献。 对于泊松过程，通常认为每个样本函数都是一个左跳（或右跳）连续
阶跃函数，其跳跃为1。可以证明具有此属性的样本函数的随机连续独立增量过程必须是泊松过程，因此，泊松过程是描述随机事件累积发生时间的基本数学模型之一。凭直觉，只要随机事件在不相交的时间间隔内独立发生并且在足够小的间隔内仅发生一次，则它们的累积时间就是一个泊松过程。这些条件在许多应用中都可以满足。例如，某个系统在时间段[0，t]中的故障数和在真空管加热t秒钟后阴极发射的电子总数可以被认为是泊松过程。 描述随机事件的累积发生时间的过程通常称为计数过程（请参阅点过程）。还可以通过依次跳转的时间{Tn，n≥1}定义简单的局部计数过程{X（t），t≥0}，即T0 = 0，Tn = inf {t：X（t）≥n}，n≥1，并且当TN 泊松过程 泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。 在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为： 其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) ?N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。 更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得 在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。 在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。） 考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。此外，对于n>1，以T n记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。序列{T n,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。 T n(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。 泊松过程用数学语言说，满足下列三条件的随机过程X={X(t),t≥0}叫做泊松过程。 ①P(X(0)=0)=1。 ②不相交区间上增量相互独立，即对一切0≤t1 应用随机过程实验2 —泊松过程 一.准备知识 1.泊松过程 2.非齐次泊松过程 3. 复合泊松过程 二.作业 1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程， （1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图； （2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图； （3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。 2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)i N μσ:，1,2,3,i =L ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ， （1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差； （2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。 3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数， （1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图； （2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。 随机过程期末复习题库（2015） 一、填空题 1.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函 数只与有关, 而与和无关。 2.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函 数只与有关, 而与和无关。 3.设随机变量服从泊松分布，且，则 2 . 4.已知随机变量的二阶矩存在，且的矩母函数为，则. 5.已知随机变量的二阶矩存在，且的特征函数为，则 . 6.设是平稳序列，其协方差函数为，请给出的均值具有遍 历性的一个充分条件：． 7.设是平稳过程，其协方差函数为，请给出的均值具有遍历性 的一个充分条件：． 8.已知平稳过程的均值，协方差函数为，则该过程的自相关函数 ． 9.设为两个随机事件，，则 0.6 ． 10.设为二随机变量，，则 2 ． 11.已知随机变量的矩母函数为，则服从的分布是参数为的 泊松分布． 12.是二维正态分布，即，． 13.设随机变量的数学期望均存在，则． 14.为随机事件，随机变量的数学期望存在，则 ． 15.在强度为的泊松过程中，相继事件发生的间隔时间是相互独立的随机变量，且服从均 值为的同一指数分布. 16.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则的分布函 数为. 17.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则． 18.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则 ． 解由定理3.2.3，在已知的条件下，事件发生的个时刻的条件联合分布函数与个在区间上相互独立同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布函数相同．故对，有 从而， 19.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发 生的时间间隔.则. 解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得． 20.设，是速率为的泊松过程. 则对于， . 21.设，是速率为的泊松过程. 对于， . 解对于，有 增量与独立 22.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发 生的时间间隔.则对，. 解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得． 23.设是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发 生的时间间隔，则. 24.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则 . 25.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则服从参 数为和的分布. 26.非齐次泊松过程，其强度函数为，则 . 解对于，有 第三章 泊松过程 3.1 泊松过程 定义3.1 计数过程：随机过程{}(),0N t t ≥称为一个计数过程，若()N t 表示从0到时 刻t 为止某一事件A 发生的总数，它是一个状态取非负整数、时间连续的随机过程。计数过程满足以下条件： （1）()0N t ≥，且取值非负整数； （2）若s t <，则()()N s N t <； （3）对于s t <，()()N t N s -表示时间区间(,]s t 内事件A 发生的次数。 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量过程。如时刻t 已发生的事件A 的次数即()N t ，必须独立于时刻t 和t s +之间所发生的事件数即 (()())N t s N t +-。 如果在任一时间区间内发生的事件A 的次数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程为平稳增量过程。即对一切12t t <及0s >，在区间12(,]t s t s ++中事件A 的发生次数即21(()())N t s N t s +-+与区间12(,]t t 中事件A 的发生次数即21(()())N t N t -具有相同的分布，则过程有平稳增量。 泊松过程是计数过程的最重要类型之一，其定义如下。 定义3.2 泊松过程：计数过程{}(),0N t t ≥称为参数为λ(0λ>)的泊松过程，如果满 足： （1）()0N t =； （2）过程有独立增量； （3）在任一长度为t 的区间中事件的个数服从均值为t λ的泊松分布。即对一切s ，0t ≥， {}()(),0,1,2,! n t t P N t s N s n e n n λλ-+-=== 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量且[()]E N t t λ=，于是可认为λ是单位时间内发生事件A 的平均次数，一般称λ是泊松过程的强度或速率。 为确定一个任意的计数过程是泊松过程，必须证明它满足上述三个条件。其中，条件 随机过程综合练习题 一、填空题（每空3分） 第一章 1．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g ，则 n X X X 21的特征函数是 。 2． )(Y X E E 。 3． X 的特征函数为)(t g ，b aX Y ，则Y 的特征函数为 。 4．条件期望)(Y X E 是 的函数， （是or 不是）随机变量。 5．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g i ，则 n X X X 21的特征函数是 。 6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。 第二章 7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。 8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A 发生的概率为)10( p p ，以)(n X 记进行到n 次试验为止A 发生的次数， 则},2,1,0),({ n n X 是 过程。 9．正交增量过程满足的条件是 。 10．正交增量过程的协方差函数 ),(t s C X 。 第三章 11． {X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为 ； 方差函数为 。 12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1 ，2 ，3 且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。 13．{X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程， n s X s t X P )()( 。 ,1,0 n 14．设{X(t), t ≥0}是具有参数0 的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n 的数学期望是 。 15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。 16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or 非齐次）泊松过程． 17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过3人的概率是 ． 第四章 18． 无限制随机游动各状态的周期是 。 19．非周期正常返状态称为 。 20．设有独立重复试验序列}1,{ n X n 。以1 n X 记第n 次试验时事件A 发生，且 p X P n }1{，以0 n X 记第n 次试验时事件A 不发生，且p X P n 1}0{，若有 1,1 n X Y n k k n ，则}1,{ n Y n 是 链。 答案 一、填空题 1．)(t g n ； 2．EX ； 3．)(at g e ibt 4．;Y 是 5． n i i t g 1 )(； 6．等价 7．时间差； 8．独立增量过程； 9． 0)()()()(3412 t X t X t X t X E 10．}),(min{2 t s X 11．t t ;； 12． 000 )(11t t e t f t 00)()()(321321t t e t f t 13．t n e n t !)( 14． n 15．240000 16．复合； 17．43 71 e泊松过程
应用随机过程实验2-泊松过程
随机过程期末复习题
随机过程第三章 泊松过程
随机过程题库1