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中南大学网络教育(高起专)高等数学习题答案

《高等数学》课程复习资料

一、填空题： 1.函数1

42-+

x x y 的定义域是______。 2.若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ______。 3.sin lim

x x x

→∞-=______。

4.已知22

lim 2

22=--++→x x b

ax x x ，则=a ______，=b ______。 5.已知∞=---→)

1)((lim 0x a x b

e x x ，则=a ______，=b ______。

6.函数?????≥+<=0

01sin

)(x x x x

x x f 的间断点是x =______。

7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则()

=+1n y

______。

8.2)(x x f =，则(()1)______f f x '+=。

9.函数)

1ln(4222

y x y x z ---=的定义域为______。

10.已知2

2),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f ______。

11.设2

2),(y x x xy y x f ++

=，则=')1,0(x f ______，=')1,0(y f ______。 12.设2

sin ,cos ,z x y x t y t =+==,则

d d ＝______。 13.

=??

dx x f d d dx d

)(______。 14.设)(x f 是连续函数，且x dt t f x =?

-1

3)(，则=)7(f ______。

15.若

d e 0

∞+-x kx ，则______k =。 16.设函数f(x,y)连续，且满足??

+=D

y d y x f x

y x f 2),(),(σ，

其中,:2

22a y x D ≤+则f(x,y)=______。

17.求曲线2

,42

2ay

x ax y =

=所围成图形的面积为______。（a>0） 18.设?-+=2

2 42cos 1sin π

πxdx x x M ，?-+=2 2 43)cos (sin π

πdx x x N ，?-

-=2 2

432)cos sin (π

πdx x x x P ，则有______。

A.M P N <<

B.N P M <<

C.P M N <<

D.N M P << 19.()02

='-''y y 的满足初始条件()()4

1,1211='=

y y 的特解为______。 20.微分方程03='-''y y 的通解为______。 21.微分方程0136=+'+''y y y 的通解为______。 22.设n 阶方阵A 满足|A|=3，则=|1-*7-2A A |=______。

23.1

x ---是关于x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是______。

24.f (x )=312514x

是______次多项式，其一次项的系数是______。 25.A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为______。 26.事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B = ______。 27.A ，B 二个事件互不相容，()()0.8,0.1,P A P B ==则()P A B -=______。

28.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为______。

29.已知事件 A 、B 的概率分别为P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.6，且P （AB ）＝0.4，则P （A B ）＝______；P （A B －）＝______。

30.若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为______。

二、单项选择题：

1.函数)1,0(1

)(≠>+-=a a a a x x f x

x [ ] A.是奇函数 B.是偶函数 C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 2.若函数221

)1(x

x x x f +=+

，则=)(x f [ ] A.2

x B. 22

-x C.2

)1(-x D. 12

-x

3.设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f = [ ] A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3

4.已知0)1

(

lim 2

=--+∞→b ax x x x ，其中a ，b 是常数，则 [ ] A.1,1==b a B.1,1=-=b a C.1,1-==b a D.1,1-=-=b a 5.下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。 [ ] A. e 1

x ,

()→∞ B.

sin ,()x

x x →∞

C. ln(),()11+→x x

D. x x x +-→11

0,()

6.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是 [ ] A.)(1

sin

∞→=x x x y B.())(1∞→=-n n y n C.)0(ln +→=x x y D.)0(1cos 1→=x x

x y 7.设?????

≤>=0

,1sin )(x x x x

x x f ，则)(x f 在0=x 处 [ ] A.连续且可导 B.连续但不可导 C.不连续但可导 D.既不连续又不可导 8.曲线x x y -=3

在点（1，0）处的切线是 [ ] A. 22-=x y B. 22+-=x y C. 22+=x y D. 22--=x y 9.已知4

1x y =

，则y ''= [ ] A. 3

x B. 2

3x C. x 6 D. 6

10.若x x

f =)1(，则=')(x f [ ]

A.x 1

B.21x

C.x 1-

D.2

x - 11.2

2ln y x z -=的定义域为 [ ]

A. 122≥-y x

B. 022≥-y x

C. 122>-y x

022>-y x 12.下列极限存在的是 [ ]

A. y x x y x +→→00lim

B. y x y x +→→1lim 0

0 C. y x x y x +→→200lim D. y x x y x +→→1sin lim 00 13.若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在),0(,0)(,0)()0,(+∞<''>'-∞则在内x f x f 内 [ ]

A. 0)(,0)(<''>'x f x f

B.0)(,0)(>''>'x f x f

C.0)(,0)(<''<'x f x f

D.0)(,0)(>''<'x f x f

14.设)(x f 为奇函数，且0>x 时0)(>'x f ，则)(x f 在]1,10[--上的最大值为 [ ] A. )10(-f B. )1(-f C. )10(f D. )1(f

15.函数22)(4),,(y x y x z y x f ---= [ ] A.有极大值8 B.有极小值8 C.无极值 D.有无极值不确定 16.设的值则为周期的连续函数是以?

a a

dx x f I T x f )(,)( [ ]

A.依赖于T a ,

B.依赖于x T a 和,

C.依赖于x T ,，不依赖于a

D.依赖于T ，不依赖于a

17.曲线)0( sin 2

π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 [ ] A.

34 B.π34 C.23

2π D.π32 18.设?-+=2

2 42

cos 1sin ππxdx x x M ，?-+=2 2 43)cos (sin ππdx x x N ，?--=2 2

432)cos sin (π

πdx x x x P ，[ ] A.M P N << B.N P M << C.P M N << D.N M P <<

19.下列不定积分中，常用分部积分法的是 [ ]

A ．x

x d sin 2

B ．

x x x d )12sin(?+ C ．x x

x d ln ? D ．x x

d 1?

+ 20.设dxdy y x

I y x 3

124

)1(22--=

??≤+，则必有 [ ]

A. I>0

B. I<0

C. I=0

D. I ≠0的符号位不能确定 21.设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（dxdy y x f t t y x t )(1

lim 2

22223

≤+→++

π） [ ]

A.等于0

B.等于)

0('32

f C.等于+∞ D.不存在且非∞

22.设函数项级数

∑∞

)(n n

x u

，下列结论中正确的是 [ ]

A.若函数列

{})(x u n 定义在区间I 上，则区间I 为此级数的收敛区间

B.若)(x S 为此级数的和函数，则余项)()()(x S x S x r n n -=，0)(lim =∞→x r n n

C.若I x ∈0使∑∞

(n n x u 收敛，则

||||0x x <所有x 都使∑∞

=1)

(n n x u 收敛

D.若)(x S 为此级数的和函数，则

∑∞

=10)(n n

x u

必收敛于)(0x S

23.设0>a 为常数，则级数

)cos 1()1(1

n a n n

--∑∞

= [ ] A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性与a 有关

24.若级数∑∞

=--1

)()1(n n

n a x 在0>x 时发散，在0=x 处收敛，则常数=a [ ]

A.1

B.-1

C.2

D.2

25.x e y y y x 2cos 52-=+'+''的特解可设为 [ ]

A. *

cos 2x

y e A x -= B.

;2cos *x A xe y x

-= C. ()*cos2sin 2x

y xe

A x

B x -=+ D. ().2sin 2cos *x B x A e y x +=-

26.微分方程的阶数是指 [ ]

A.方程中未知函数的最高阶数

B.方程中未知函数导数或微分的最高阶数

C.方程中未知函数的最高次数

D.方程中函数的次数

27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解。 [ ]

A. ;22c y x =+

B. 2123

y c x c x c =++ C. ;cos sin 2221x c x c y += D. ()().cos ln ln 21x c x c y +=

28.A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则A 、B 的伴随矩阵*)(AB = [ ] A. **B A B. 1-1-B A AB || C. 1-1-A B D. **A B

29.设A 、B 均为n 阶方阵，则必有 [ ]

A. |A+B|=|A|+|B|

B. AB=BA

C. |AB |=|BA |

D. (A +B )–1=A –1+B –1

30.A,B 都是n 阶矩阵,则下列各式成立的是 [ ]

()T T T

B A AB = B. ()T T T

B A B A +=+

C. ()

111

---=B A AB D. ()111

---+=+B A B A

31.在随机事件A ，B ，C 中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为 [ ] A. AC BC B. ABC C. ABC AB C ABC D.A B C 32.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 [ ]

A. 38

B. 53188?? ???

C. 3

4831C 88

?? ??? D.485C 33.已知()0P 1,B ＜＜()10P 1,A ＜＜()20P A 1＜＜，且()()

12P A |A B ()1A |P B =()2|

P A B +,则下

列选项成立的是 [ ] A. ()()()(

)1212P A |A ||A B P B P A B

B. ()()()()

1212P A |A A B P P A =+

()()()()()

121122P A A |A |B A B P P B P A P B A =+

D. ()()()()()1122P A |A |B P P B P A P B A =+

三、解答题： 1.设函数

???

???>=<+=0

sin 001sin )(x x x x a

x b x x x f 问：（1）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续？

2.已知82

lim

232=-++→x b

ax x x ，试确定a 和b 的值。 3.设?????≤<-+>=-0

1),1ln(0 ,)(1

x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型

4.求方程中y 是x 的隐函数的导数。（1）1e e =+-y

xy ，求y '。

（2）设)sin(y x y +=，求dx dy ，2

2dx

d 。 5.设),(y x z z =由方程y

z x z -=+e

所确定，求x

y z

???2。

6.设函数)(x f 在[0,1]上可导，且1)(0<

7.求函数12)1(-+=x x y 的单调区间和极值。

8.在过点)6,3,1(P 的所有平面中，求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。 9.求下列积分（1）

x x

d 11

+∞

（2）

≤+--2

22222a y x d y x a σ

（3）

??D

yd σ，D 由110x y x y x +=-==，，的围成。

10.判别级数

∑∞

=--1

)cos 1()1(n n

n a （常数0>a ）的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? 11.判别级数

n n

ln 1

)1(2

∑∞

=-的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? 12.求幂级数∑∞

=+1)

1(n n

n n x 在收敛区间上的和函数)(x S 。

13.求解微分方程。

（1）0122

=+-ydy dx y x 的所有解。（2

）xy y '-=

（3）1

cos sin 22

y y x x '+=

四、求解题：

1.计算下列行列式：

（1）（2）

987654321

003100004300

2.设矩阵A ，B 满足矩阵方程AX ＝B ，其中????

??-=0121A ，?

???=2003B ，求X 。 3.设矩阵 ??

?????-=????

?????--=451001413101B A 试计算A -1B ．

4.设()()11

P A P B ==，，（1）若AB =Φ，求()

P B

A ；（2）若

B A ?，求()

P B

A ；（3）若()1

P AB =

，求()

P BA 。

5.假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件。现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率。

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参考答案

一、填空题：

1.解：),2[]2,(∞+--∞

2.解：62

-x 3.解：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim

=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x

x x x x x x x x x

4.解：由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ,

又由：234

12lim 2lim 22

22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x 知8,2-==b a 5.解：∞=---→)1)((lim 0x a x b

e x x ，即01)1)((lim 0=-=---→b a b

e x a x x x ，1,0≠=∴b a 6.解：由)(x

f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。

因为 1)0(1)1(lim 01

sin lim 00

==+=+

→→f x x

x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.解：(1)!n +

8.解：2

)12(+x 或1442

++x x

9.解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。

???

????<+<≤????????≠+<+≤????????≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ?

的定义域为：{

10|),(22<+

u v u v

x y +-=

()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4

222),(22v u u u v u v u v u f -=-+=

22(,)()4x

f x y x y =-

11.解：∵ (0,1)000f =+=

(,1)(0,1)

1(0,1)lim

lim 2x x x x

x f x f x f x

?→?→??+

-?-?+'===??

0(0,1)(0,1)00

(0,1)lim

lim 0y y y f y f f y

y ?→?→?+--'===?? 12.解：

22sin 3cos dz

x t t y dt

=-+ 13.解：由导数与积分互为逆运算得：

)()(x f dx x f d d dx d

=??

14.解：两边对x 求导得1)1(332=-x f x ，令713

=-x ，得2=x ，所以12

131)7(2

=x x f 15.解：∵

)d(e 1lim d e 2100kx k x b kx b kx --==??-+∞→∞+-k

k k k

kb b b kx

b 1

e 1lim 1e 1lim 0

=-=

-=-+∞→-+∞→ ∴2=k 16.解：.4

x a y π+ 记??

D d y x f A σ),(，则2),(y Ax y x f +=，两端在D 上积分有：????+=D

d y Axd A σσ2，

其中??=D

xd A

0σ（由对称性）

，????=

a d d d y 0

320

sin πρ?ρ?σπ

即 4

a A π=

，所以，.4

),(4

x a y y x f π+

17.解：22

18.解：令2

x y =，则原幂级数成为不缺项的幂级数

∑∞

=--1

212n n n

y n ，记其各项系数为n b ，因为2121

2lim 2122212lim lim 11=+-=+?-==∞→+∞→+∞→n n n n b b R n n n n n n n ，则20222<≤?<<-x y ，故

22<<-x .

当2±=x 时，幂级数成为数项级数∑∞

=-1

)12(21n n ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为

)2,2(-.

19.解：3

21121??

? ??-=x y 20.解：x e c c y 321+= 21.解：()x c x c e y x

2sin 2cos 213+=-

22.解：()

- 23.解：2 24.解：由对角线法则知，f (x )为二次多项式，一次项系数为4。 25.解：AB+BC+AC

26.解：∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A )P (B ) ∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.6 27.解： A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.8 28.解：设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可

表示为C B A C B A C B A ++，即有

P (C B A C B A C B A ++)=P (A ))()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P ++=0.36

29.解：P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.9 P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.7–0.4=0.3 30.解：P (A +B )=1–P p B A P B A -=-=+1)(1)(

二、单项选择题：

1.解：利用奇偶函数的定义进行验证。

)(1

)1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x x

x x x x x =+-=+--=+--=----- 所以B 正确。 2.解：因为2)1(212122

222

-+=-++=+

x x x

x x x ，所以2)1()1(2-+=+x x x x f 则2)(2-=x x f ，故选项B 正确。

3.解：由于1)(+=x x f ，得)1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f

将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D

4.解：()()01

1lim )1(

lim 22=+-+--=--+∞→∞→x b

x b a x a b ax x x x x 1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案：C

5.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 0sin lim

=∞→x

而A 、C 、D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。

6.解：111

sin

lim 1sin lim ==∞→∞→x

x x x x ，故不选A ；取12+=k m ，则()0121lim lim 1=+=∞→-∞→k n k n n

，故

不选B ；取2

1π

π+

n x n ，则01

cos 1lim

=∞

→n

n n x x ，故不选D 。答案：C 7.解：0lim )(lim 0

==--→→x x f x x ，01

sin lim )(lim 0

0==+

+→→x

x x f x x ，0)0(=f ，因此)(x f 在0=x 处连续。

x x x x f x f f x x x 1sin lim 00

sin

lim 0

)

0()(lim )0(000

→→→+=--=--='，此极限不存在，从而)0(+'f 不存在，故)0(f '不存在答案：B

8.解：由导数的定义和它的几何意义可知：1

)()1(='

-='x x x y 2)

13(1

2=-==x x ，是曲线x x y -=3在

点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是)1(20-=-x y ，即22-=x y 答案：A 9.解：直接利用导数的公式计算：34

x x y ='=', 233)(x x y ='='' 答案：B 10.解：先求出)(x f ，再求其导数。答案：D 11.解：z 的定义域为{

0),(22>-y x y x }个。答案：D

12.解：A.当P 沿0=x 时，0),0(lim 0

=→y f y ，当P 沿直线0=y 时，1)0,(lim 0

=→x f x ，故0

0lim

→→y x y

x x

+不存在； B.∞=+→→y x y x 1 lim 0

0，不存在； C.如判断题中1 题可知y

x x y x +→→2

0 lim 不存在； D.因为0lim 1

sin

lim 0

=≤+→→→→x y x x y x y x ，所以01sin

lim 0

0=+→→y x x y x 。答案：D 13.解：()()()f x f x f x C '''因为偶函数，则为奇函数，为偶函数，故应选。

14.解：因为)(x f 是奇函数，故)()(x f x f -=-，两边求导)()(x f x f '-=-'-，从而)()(x f x f -'='，

设0-x ，从而0)()(>-'='x f x f ，所以)(x f 在[-10，-1]上单调增加，故最大值为)1(-f 答案：B

15.解：42x f x =-，42y f y =--，0

202x y f x f y =?=????→?

?==-???

2002H -??

= ?-??

0 20H >-<，(2,2)8f -=为极大值答案：A

16.解：根据周期函数定积分的性质有 0

()()l T

f x dx f x dx D +=?

? 故应选。

17.解：所求旋转体的体积为

200

cos 4

sin (1cos )cos [cos ]33

x V y dx xdx x d x x π

ππππππ===--=--=???

答案：B

18.解：利用定积分的奇偶性质知0=M ，0cos 2

>=?

xdx N ，0cos 22

4<-=?π

xdx P ，所以

N M P << 答案：D

19.解：答案：B

20.解：D ：0202

r θπ≤≤??≤≤? 2

222233

000

3d (1)d (1)

04I r r r r πθπ=-=-?->??

21.解：由极坐标，原极限203

0000

02()1

2()

lim ()lim lim 3t

t t t rf r dr

f t d rf r dr t

t ππ?ππ+

→→→===

=+∞??? 22.解：答案：B

23.解：因为22222sin 2)cos 1()1(n a n a n a n

≤=--，而∑∞

=1222n n

a 收敛，因此原级数绝对收敛。故答案：A 24.解：由于∑∞

=--1)()1(n n n

n a 收敛，由此知1≤a 。当11≤<-a 时，由于∑∞

=--1

)()1(n n n n a x 的收敛半径为

1，因此该幂级数在区间)1,1(+-a a 内收敛，特别地，在)1,0(+a 内收敛，此与幂级数在0>x 时

发散矛盾，因此1-=a 。答案：B

25.解：答案：C 26.解：答案：B 27.解：答案：C 28.解：答案：D 29.解：答案：C 30.解：答案：B 31.解：答案：A

32.解：基本事件总数为48C ，设A 表示“恰有3个白球”的事件，A 所包含的基本事件数为1

5C =5，

故P (A )=

C 。答案：

D 33.解：由题可知A 1、A 2互斥，又0

所以 P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B )–P (A 1A 2B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2) 答案：C

三、解答题：

1.解：（1）要)(x f 在0=x 处有极限存在，即要)(lim )(lim 0

x f x f x x +-→→=成立，00

sin lim ()lim 1x x x

f x x

→→==。因为b b x

x x f x x =+=-

-→→)1

sin (lim )(lim 0

，所以当1=b 时，有)(lim )(lim 00x f x f x x +

-→→=成立，即1=b 时，函数在0=x 处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无

关，所以此时a 可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是)()(lim )(lim 00

x f x f x f x x x x ==+

-→→

于是有a f b ===)0(1，即1==b a 时函数在0=x 处连续。

2.解：82

lim

232=-++→x b

ax x x ()048lim 232=++=++∴→b a b ax x x ，即a b 48--= ()[]

8124422lim 2

4lim 2lim 22232232=+=++++=---+=-++∴→→→a a x a x x a ax x x b ax x x x x 1a ∴=- 故4-=b

3.解：)(x f 在()()()1,00,11,-+∞，，内连续，∞=-→+1

lim x x e

，0lim 1

=-→-

x x e ，()00=f ，因此1=x 是)

(x f 的第二类无穷间断点；()1

lim lim x x x f x e e ++

--→→==，()()01ln lim lim 0

=+=--→→x x f x x ，因此0=x 是

)(x f 的第一类跳跃间断点。

4.解：（1）方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，即 1)e ()e ()('='+'-'y x xy

0e e ='+-'+y y x y y

y y x x

-='+e )e ( 整理得 y

x x y

y e e +-=

' （2）cos()

cos()(1)1cos()

x y y x y y x y +''=+?+=

y y x y y x y ''?++'+?+-='')cos()1()sin(2

y ''33

sin()[1cos()][1cos()]

x y y

x y x y +-=-

=-+-+ 5.解:设 x z z y x F y

z --=-e

),,( 1-=x F y z y F --=e 1e -=-y z z F

1e 1-=??-y z x z z y y z y z y z ----=-=??e

111e e 3

)

(222)

e 1(e )e 1(e )e 11(z y z y z y z y z y x z x x y z ------=???--=-??=???∴

6.解：

12121212 ()(), [0 ,1] () () [0 1] ()()0[,] [0 ,1] (,) ()0 ()10()1 (0 ,F x f x x F x F x c c F c F c c c Rolle c c F f f ζζζζ=-==?'''∈=-=?= 设在上用零点定理，得至少有一个零点。反设在，上存在两个零点，，即，，由定理可得至少有，使即，与题设矛盾，故在1) ()x f x x =内有且只有一个，使。

7.解：函数12)1(-+=x x y 的定义域是(1)(1)-∞--+∞ ，

， 2

)1)(1()1(2--+-++='x x x x y 2

)1()1(2x x x x +-+=

2)1()2(x x x ++= 令 0)

1()

2(2

=++=

'x x x y ，得驻点21-=x 02=x

故函数的单调增加区间是(2)-∞-，

和(0)+∞，，单调减少区间是(21)--，及(10)-，，当=x -2时，极大值4)2(-=-f ；当=x 0时，极小值0)0(=f 。

8.解:设平面方程为1=++Cz By Ax ，其中A B C 、、均为正，则它与三坐标平面围成四面体的体积为

ABC

V 1

61=

，且163=++C B A ，令()(361)F A B C ABC A B C λλ=+++-，，，，则由

?????

??????=++=+=??=+=??=+=??16306030C B A AB A F AC A

F BC A F

λλλ，求得??

????===181913

1C B A ，由于问题存在最小值，因此所求平面方程为 11893=++z y x ，且8118936

min =???=V 。 9.解（1）：

)1(2

lim 13

lim d 1

lim

d 132

311

-=+-==+∞→+∞→+∞→∞

b x x x

x x

b b b b

b 极限不存在，则积分发散。（2）：(,)f x y D 上的半球面，由D

I σ=的几何意义知 I =V 半球=32

3a π。

（3）：关于x 轴对称，且(,)f x y y =是关于y 的奇函数，由I 几何意义知， d 0D

y σ?=??。

10.解：由n

n a n cos

1)cos 1()1(-=--，而02

1)2(2lim 12sin 2lim 1cos

1lim

2222≠===-∞→∞→∞→a n n a

n n a n n a n n n ，

由正项级数的比较判别法知，∑∞

=-1)cos 1(n n a 与∑∞=121n n 同时敛散。而∑∞=121n n 收敛，故∑∞=-1

)cos 1(n n a

收敛，从而原级数绝对收敛。

11.解：记)

1ln(1

)

1(1

+-=-n u n n ，则n n v n u ?=+≥11。显见∑∞

=11

n n

去掉首项后所得级数∑∞=1n n v 仍是发散的，由比较法知∑∞=1n n u 发散，从而∑∞

=2n n u 发散。

又显见

)1ln(1)

1(1

+-∑∞

=-n n n 是Leibniz 型级数，它收敛。即n n n ln 1)1(2

∑∞

=-收敛，从而原级数条件

收敛。

12.解：1)2)(1()

1(lim lim

1=+++==∞→+∞→n n n n a a n n

n n ρ，所以1=R 。

又当1±=x 时，级数成为∑∞

=+±1)1()1(n n

n n ，都收敛，故级数的收敛域为]1,1[-。

设级数的和函数为)(x S ，即∑∞

=+=1)

1()(n n

n n x x S 。

再令∑∞

=++==11

)

1()()(n n n n x x xS x f ，

逐项微分得 ∑∞

=='1)(n n n

x x f ，x x x f n n -=

=''∑∞

=-11)(11

)1ln(11

)( 0 0

x dx x

dx x f x

--=-=''?

()(0)()ln(1) (0)0f x f f x x f ''''-==--=

----=--='x

dx x

x x dx x dx x f 0 0 0

1)1ln()1ln()( x x x x x x x +--=-++--=)1ln()1()1ln()1ln(

故 )1ln(

)1()(x x x x f --+=，又显然有1)1(=S ，

故 11ln(1) 01()0 01 1x

x x x S x x x -?+-≠??

==??=??

，

13.解：（1）原方程可化为

xdx y ydy 212

-=-，

（当12≠y ），两边积分得c x y +-=--2

21，即c y x =--221为通解。当12=y 时，即1±=y ，显然满足原方程，所以原方程的全部解

为c y x =--2

21及1±=y 。

（2）当0>x 时，原方程可化为2

1??

??-=-'x y x y y ，令u x y =，得xu y =，原方程化为

21u u x -='，解之得c x u +=ln arcsin ；

当0

1??

??--=-'x y x y y ，类似地可解得c x u +-=ln arcsin 。

综合上述，有 ln 0

arcsin

ln 0

x c x y x c x x +>?=?

1--+-=?

????+??=?

四、求解题： 1.解：（1）

606303

21987654321=----=

（2）

160)16(10153

1.43214-=-?=-=

2.解：

解法一：先求矩阵A 的逆矩阵。

因为 []??????-=10010121I A ??????→11200121???

?????-→21211010

所以 ????????-=-212

1A 且B A X 1

-=???????????????-=20032121

10???

????-=1 2320 解法二：因为 []??????-=20010321B A ???

???→23200321???

?????-→123102001 所以 ???

????-=12320X

3.解：因为

??????????--=100010001001413101][I A ??

?????

???--→101100013110001

01→--???

???

??100

1010411001

101 所以 ??????????--=-1011141001A 且 ????

?????--=??????????-???????????--=-51344511011141001

B A

4.解：（1）P (B A )=P (B )–P (AB ) 因为A ，B 互斥，故P (AB )=0，而由已知P (B )=

21，∴ P (B A )=P (B )=2

（2）∵ P (A )=

31，由A ?B 知：P (AB )=P (A )=31，∴ P (B A )=P (B )–P (AB )=21–31=61

（3） P (AB )=

81 ∴P (B A )=P (B )–P (AB )=21–81=8

3 5.解：设B 1、B 2、B 3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A 1、A 2分别表示第一、二

次选出的为一等品，依题意，有

P (A 1)=P (B 1)P (1A |B 1)+P (B 2)P (A 1|B 2)+P (B 3)P (A 1|B 3)=15

402431301231502031=?+?+?

=0.467 P (21A A )=

3923

40243129113012314919502031)|()(3

21??+??+??=∑=i i

i B A A P B P =0.220

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

中南大学2015高等数学下期末题及答案

1 ---○---○--- ---○---○--- ………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线………… 一、填空题（每小题3分，总计15分） 1、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为（） 2、曲面42222-+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为（） 3、设Ω是由曲面22z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则 (),,d d d f x y z x y z Ω ??? 化为顺序为z y x →→的三次积分为（） 4、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑ ??可化为二重积分为（） 5、微分方程2 1 2y x y '=-满足初始条件()10y =的解为（）

2 3分，总计15分） =1绕z 轴旋转而成的曲面为（） 152=z ；（B ）15 42 22=+-z y x ； 152=z ；（D ）()15 42 2=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,, f f f f x y x y y x ??????????，则（） 2f y x ???；（B ）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； (D) 以上都不对其中D 由2 y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = xydy ；（B ）??-+21 2 2y y xydx dy ； ?? -+41 2 x x xydy dx xydy （D ）??-+21 2 2y y xydy dx 2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则 =? ( ) （B ）; （C ; （D ）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则（）. （B ）12y y -也是方程的解（D ）122y y -也是方程的解

大学高等数学下考试题库(附答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,2 2<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中2 2224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

中南大学网络教育(高起专)高等数学习题答案

《高等数学》课程复习资料一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是______。 2.若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ______。 3.sin lim x x x x →∞-=______。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a ______，=b ______。 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a ______，=b ______。 6.函数?????≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x =______。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y ______。 8.2)(x x f =，则(()1)______f f x '+=。 9.函数) 1ln(4222 y x y x z ---=的定义域为______。 10.已知2 2),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f ______。 11.设2 2),(y x x xy y x f ++ =，则=')1,0(x f ______，=')1,0(y f ______。 12.设2 3 sin ,cos ,z x y x t y t =+==,则 t z d d ＝______。 13. =?? dx x f d d dx d )(______。 14.设)(x f 是连续函数，且x dt t f x =? -1 3)(，则=)7(f ______。 15.若 2 1 d e 0 = ? ∞+-x kx ，则______k =。 16.设函数f(x,y)连续，且满足?? +=D y d y x f x y x f 2),(),(σ，其中,:2 22a y x D ≤+则f(x,y)=______。

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

中南大学高等数学下期末题及答案

-- ○○ ○○ ………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封线………… 一、填空题（每小题分，总计分）、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为（）、曲面4222 2 -+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为（）、设Ω是由曲面2 2 z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则 (),,d d d f x y z x y z Ω ??? 化为顺序为z y x →→的三次积分为（）、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑ ??可化为二重积分为（）、微分方程2 1 2y x y '=-满足初始条件()10y =的解为（）

-- =1绕z 轴旋转而成的曲面为（） 152=z ；（）15 42 22=+-z y x ； 152=z ；（）()15 42 2=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,, f f f f x y x y y x ??????????，则（） 2f y x ???；（）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； () 以上都不对 D 由2y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = ；（）??-+21 2 2y y xydx dy ； ?? -+41 2 x x xydy dx （）??-+21 2 2y y xydy dx 2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则 =? ( ) （）; ; （）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则（）. （）12y y -也是方程的解（）122y y -也是方程的解

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

大学高等数学第一册考试试题+答案

一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1.设-∞=→)(lim 0 x f x x ，-∞=→)(lim 0 x g x x ，A x h x x =→)(lim 0 ，则下列命题不正确的是 ( B ) A. -∞=+→)]()([lim 0 x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0 x h x f x x ; C. -∞=+→)]()([lim 0 x h x f x x ; D. +∞=→)]()([lim 0 x g x f x x . 2. 若∞ →n lim 2)5 1(++n n =( A ) A. 5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x f x f cos 1) 0()(--=3,则在点x=0处 ( C ) A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0; B. f(x)的导数不存在; C. f(x)取极小值; D. f(x)取极大值. 4设x e 2-是f(x)的一个原函数,则 ?dx x xf )(= ( A ) A. x e 2-(x+ 2 1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c. 5. ? x a dt t f )3('= ( D ) A. 3[f(x)－f(a)] ; B. f(3x)－f(3a); C. 3[f(3x)－f(3a)] ; D. 3 1 [f(3x)－f(3a)]. 二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1. 若+∞→x lim (1 1 223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . . 2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h h a f h a f ) 3()(--+= 4)('a f . 3. 设y=5 22)ln(e x a x +++,则dy . 4. 不定积分 dx e x x ?2 = c e x x ++2 ln 12 . 5. 广义积分?-3 11dx x x = 23 10 . . 6. ?-++11 21 sin dx x x x x = 0 .

中南大学高等数学答案

中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案高等数学(专科) 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是。解：),2[]2,(∞+--∞ 。 2.若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 。解：62 -x 3.sin lim x x x x →∞-= 。答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ，又由234 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n +

大学高等数学下考试习题库(附答案)

欢迎阅读《高等数学》试卷6（下）一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b 3. （A ） 6π4.A.=?b a 5.函数z A.2 6.设z =A. 2 2 7. 级数（A 8.幂级数=1n n A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题（4分?5）

1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，则曲线积分2 (22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? ?____________. 5. .级数 n ∞ 三.1.设z =2.3.计算D ??4. . 一.二.1.2-y x 2.(xy cos 3.62-y x 4. ()n n n n ∑ ∞ =+-01 21. 5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1. ()()[]y x y x y e x z xy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin .

关于大学高等数学期末考试试题与答案

关于大学高等数学期末考试试题与答案 Last revision on 21 December 2020

（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（）。 A 、 B 、

5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内（）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限（1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分（1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ；（2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ；（3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分（1 ）；（2 ）；（3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x

中南大学高等数学下册试题全解

中南大学2002级高等数学下册一、填空题（4*6） 1、已知=-=+),(,),(2 2y x f y x x y y x f 则（）。 2、设=???=y x z x y arctg z 2,则（）。 3、设D 是圆形闭区域：)0(2222b a b y x a <<≤+≤，则=+??σd y x D 22（）。 4、设L 为圆周122=+y x 上从点），（到经01-)1,0()0,1(B E A 的曲线段，则=?dy e L y 2 （）。 5、幂级数∑∞ =-1)5(n n n x 的收敛区间为（）。 6、微分方程06'''=-+y y y 的通解为（）。二、解下列各题（7*6） 1、求)()()cos(1lim 2222220 0y x tg y x y x y x +++-→→。 2、设y x e z 23+=，而dt dz t y t x 求,,cos 2==。 3、设),(2 2 y x xy f z =，f 具有二阶连续偏导数，求dt dz 。 4、计算}10,10|),{(,||2≤≤≤≤=-??y x y x D d x y D 其中σ。 5、计算?++-L y x xdy ydx 22，L 为1||||=+y x 所围成的边界，L 的方向为逆时针方向。 6、求微分方程2''')(12y yy +=满足1)0()0('==y y 的特解。三、（10分）求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体。四、（10分）计算??∑ ++zdxdy dydz z x )2(，其中∑为曲面)10(22≤≤+=z y x z ，其法向量与z 、z 轴正向的夹角为锐角。五、（10分）

大一高等数学试题及答案

期末总复习题一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为发散。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系（ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是（ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、微分方程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为（ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为

2019年交通大学{高等数学)试题及答案

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（ C ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ A ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ D ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ B ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ A ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ A ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ C ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学复习题与答案

中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案高等数学一、填空题 1．设2 )(x x a a x f -+=，则函数的图形关于对称。 2．若???<≤+<<-=2 0102sin 2x x x x y ，则=)2(π y . 3．极限lim sin sin x x x x →=0 21 。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 5.已知0→x 时，1)1(3 12 -+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(2 2y z y z x ?=+，其中?可微，则 y z ??= 。 7.设2 e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则 =??) 1,0(x u 。 8.设??,),()(1 f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则=???y x z 2 。 9.函数y x xy xy y x f 2 2),(--=的可能极值点为和。 10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=? xdx x 2sin 2 . 12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π . 13．若 21 d e 0 = ?∞ +-x kx ，则_________=k 。 14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ??≤++≤D dxdy y x )14(2 2 15.设D 由22 ,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则 (),D f x y d σ??在直角坐标系下的

高等数学(专科)复习题及答案

中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案《高等数学》（专科）一、填空题 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ．解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由 23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x

关于大学高等数学上考试题库附答案

2 x 1 7 《高数》试卷1 (上) 一?选择题(将答案代号填入括号内，每题 3分，共30分). 1 ?下列各组函数中, 是相同的函数的是( ). (A ) f x ln x 2 和 g x 2ln x (B ) f x |x| 和 g x x 2 (C ) f x x 和 g x “/x (D ) f x |x| x 和 g x 1 sin x 4 2 v 0 在x 0处: 2 ?函数f x A In 1 x 连续, 则 a ( ) a x (A ) 0 (B ) 1 - (C ) 1 ( D ) 4 2 3 ?曲线y xln x 的平行于直线 x y 1 0的切线方程为( ) (A ) y x 1 (B ) y (x 1) (C ) y ln x 1 x 1 (D ) y x 4 ?设函数f x | |x|, 则函数在点x :0处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5 ?点x 0是函数 y x 4的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6 ?曲线y —的渐近线情况是( ) |x| 只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线既无水平渐近线又无垂直渐近线 1 1 —-dx 的结果是 x x dx - x 的结果是 e e 9.下列定积分为零的是( (B ) 4 xarcsinx dx (C ) dx ( D ) x sin x dx (A ) (D ) (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (A ) (B ) (C ) (A ) arcta n e x C (B ) arcta n e (C ) (D ) ln(e

中南大学现代远程教育平台—高等数学在线作业一答案

单选题 1. 函数在点处（）． (A) 有定义且有极限 (B) 无定义但有极限 (C) 有定义但无极限 (D) 无定义且无极限参考答案： (B) 2. 下列无穷积分中收敛的是()。 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 3. 若 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C)

4. 设 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 5. 设函数处（） (A) 极限不存在； (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导； (D) 可导参考答案：(C) 6. 设函数 (A) (B) (C) (D) ｘ参考答案：(C)

7. 已知 (A) 1 (B) 任意实数(C) 0.6 (D) -0.6 参考答案： (D) 8. 当 (A) 不取极值 (B) 取极大值 (C) 取极小值 (D) 取极大值参考答案： (B) 9. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C)

10. 处的值为（） (A) (B) (C) (D) 1 参考答案： (C) 11. 设其中的大小关系时（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (A) 12. 设则 (A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2

参考答案： (A) 13. 若函数 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (B) 14. 下列极限存在的是（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (D) 15. 函数 (A) 是奇函数 (B) 是偶函数 (C) 既奇函数又是偶函数 (D) 是非奇非偶函数参考答案：

高等数学(专科)复习题及答案

大学高数试卷及标准答案

. 农林大学 2016 - 2017 学年第一学期期中考试课程名称：高等数学Ｉ课程类别：必修考试式：闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ 等价的无穷小量是： ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) 学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题

A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=? 在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x =的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线程为 . 三、求下列极限（每小题6分, 共18分） 1. 求极限 1 1sin 1lim 2 --+→x x e x x

中南大学专升本《高等数学》在线作业一参考答案

(一) 单选题 1. 已知 (A) 1 (B) 任意实数 (C) 0.6 (D) -0.6 难度：中分值：4.0 参考答案：D 学生答案：D 得分： 4.0 2. 下列说法正确的是（） (A) 若可导 (B) 若不连续 (C) 若极限不存在 (D) 若不可导难度：中分值：4.0 参考答案：D 学生答案：D 得分： 4.0 3. 设 (A) 1 (B) 2

(C) (D) 难度：易分值：4.0参考答案：C学生答案：C得分： 4.0 4. 函数在点处（）． (A) 有定义且有极限 (B) 无定义但有极限 (C) 有定义但无极限 (D) 无定义且无极限难度：易分值：4.0参考答案：B学生答案：B得分： 4.0 5. 下列函数中，（）不是基本初等函数． (A) (B) (C) (D) 难度：易分值：4.0参考答案：B学生答案：D得分： 0.0

6. 若在为（）. (A) 上升的凸弧 (B) 下降的凸弧 (C) 上升的凹弧 (D) 下降的凹弧难度：易分值：4.0 参考答案：D 学生答案：D 得分： 4.0 7. 设函数 (A) 单调减函数 (B) 有界函数 (C) 偶函数 (D) 周期函数难度：易分值：4.0 参考答案：C 学生答案：C 得分： 4.0 8. 设记，则有（）. (A) (B) (C)

(D) 难度：中分值：4.0参考答案：B学生答案：B得分： 4.0 9. 函数 (A) 是奇函数 (B) 是偶函数 (C) 既奇函数又是偶函数 (D) 是非奇非偶函数难度：中分值：4.0参考答案：B学生答案：B得分： 4.0 10. 函数处（） (A) 不取极值 (B) 取极小值 (C) 取极大值 (D) 是否取极值与a 有关难度：易分值：4.0参考答案：A学生答案：A得分： 4.0

中南大学网络教育(高起专)高等数学习题答案

大学高等数学上考试题库(附答案)

中南大学2015高等数学下期末题及答案

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