高考求函数值域及最值得方法及例题,训练题
函数专题之值域与最值问题
一．观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，
故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .
点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）
二．反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）
三．配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
四．判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）
当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3
当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。
五．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值
f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又
x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）
A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）
（答案：D）。
六．图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为－2x+1 (x≤1)
y= 3 (-1 2x-1(x>2) 它的图象如图所示。 显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。 点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象 求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 七．单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。 点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x －√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为 ｛y|y≤4/3｝。 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 八．换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设t=√2x+1 （t≥0）,则 x=1/2(t2-1)。 于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。 点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位 正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共 线时取等号。 ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。 点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝） 十．比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。 例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。 点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。 函数的值域为｛z|z≥1｝. 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。 练习：已知x,y ∈R ，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y 的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。 ∴函数y 的值域为y≠3的一切实数。 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2） 十二．不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。 解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x≠0 解得，0＜x<1。 ∴函数的值域（0，1）。 点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。 以下供练习选用：求下列函数的值域 1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝） 2． Y=2x/(2x －1)。 （y>1或y<0） 训练例题 例1．求下列函数的值域 （1）2 22y x =+（2）31(1)2 x y x x += ≤-（3）2y x =+4） 4y x =++ 例2．已知,0,26x y x y ≥+=，求22 4363Z x xy y x y =++--的最值。 例3．求下列函数的值域 （1）2 2142 5 x x y +=--+（2）2 2 1 x x y x x -= -+（3）sin 2cos x y x = - 例4.如何求函数2 3(1)1 x y x x +=>-+的最值？2 1(1)3 x y x x += >-+呢？ 例5．求下列函数的值域 （1）2 1()(2)x f x x x +=≥（2 ）2y x =-3）|1||4|y x x =-++（4）1sin 2cos x y x -= - 课后练习题 一、选择题 1. 已知函数()f x =? ??≤>) 0(3)0(log 2x x x x ，则f ［ f （41 ）］的值是 A.9 B. 9 1 C. -9 D. - 9 1 2. 若集合?? ????????∈-??? ??==R x y y S x ,121|,{}2|log (1),1T y y x x ==+>-，则T S 等于 A ．{0} B ．{|0}y y ≥ C ．S D ．T 3. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是 A.1 25 x y -= B.11()2 x y -= C.y = D. y = 4. 定义在R 上的函数()y f x =的值域为［a ，b ］,则(1)f x +的值域为 A.［a ,b ］ B.［a +1,b +1］ C.［a －1,b －1］ D.无法确定 5. 函数y = 1 2-x 的定义域是(-∞，1) [2,5]，则其值域是 A.(-∞,0) [ 2 1,2] B.(-∞,2) C.(-∞, 2 1) [2,+∞] D.(0,+∞) 6. 函数]4)3(lg[2 +++=x k x y 的值域为R ，则实数k 的取值范围是 A ．17≤≤-k B ．7-≤k 或1≥k C ．71≤≤-k D ．7- |1 )1()(2)(x f x x f x f x f 则满足=-的最小值是 A ．2 B ．22 C ．3 2 D ． 3 22 8. 函数|3||1|y x x =--+ A.最小值为0，最大值为4 B.最小值为-4，最大值为0 C.最小值为-4，最大值为4 D.没有最大值，也没有最小值 9. 已知)12(+x f 的最大值为2，)14(+x f 的最大值为a ，则a 的取值范围是 A ．2 B ．2>a C ．2=a D ．以上三种均有可能 10.已知a b a ,0,0>>、b 的等差中项是βαβα++ =+ =则且,1,1,2 1b b a a 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 11. 已知()12g x x =-,2 21[()](0)x f g x x x -= ≠,则f ( )21= A ．15 B ．1 C ．3 D ．30 12. 设函数f x x x ()()() =-> ()()() ()a b a b f a b a b ++-?-≠2的值为 A.a B. b C.a 、b 中较小的数 D.a 、b 中较大的数 13．函数19 1 ()n f x x n == -∑ 的最小值为 A ．190 B ．171 C ．90 D ．45 二、填空题： 14. 定义在R 上的函数)(x f 满足关系式:2)21 ( )2 1( =-++x f x f ,则+)81(f )8 2 (f )8 7 (f ++ 的值等于________ 15. 已知函数()f x 对一切实数a b ，,均满足()()()f a b f a f b +=?，且(1)2f =．则 (2)(3)(4)(2007) (1) (2) (3)(2006) f f f f f f f f ++ ++= 16. 设1 )(2 ++= x b ax x f （a >0）的值域为[-1，4]，则a ,b 的值为_________ 17．函数?? ? ??>+-≤<+≤+=15103 03 2x x x x x x y 的最大值是 18．已知a ,b 为常数，若22 ()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= 三、解答题： 19. 求下列函数的值域 （1）5 442 --= x x y ； （2）x x y 21-+-=； （3）x x y 12-= 20． 已知函数2 2 2()(0)1 x bx c f x b x ++=<+的值域为［1，3］ ，求实数b 、c 的值。 21．设函数4 1)(2 - +=x x x f ， （1）若定义域为[0，3]，求)(x f 的值域； （2）若定义域为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]16 1 ,21[-，求a 的值. 22. 已知函数：)(1)(a x R a x a a x x f ≠∈--+= 且 （1）证明：()2(2)0f x f a x ++-=对定义域内的所有x 都成立. （2）当()f x 的定义域为1[,1]2 a a + + 时，求证：()f x 的值域为[3,2]--； *（3）设函数2()|()()|g x x x a f x =+-, 求()g x 的最小值 . 函数的值域与最值参考答案 （三）例题讲评 例1 ．(0,1];[4,3);(,4];[1,4--∞+ 例2．620,0,03y x x x =-≥≥∴≤≤ 及 2 2 32726182()(03)2 2 Z x x x x =-+=- + ≤≤，最大值18；最小值 272 例3．[1,1)-；1[,1)3 - ；[3 3 - ； 例4．2 2 3(1)2(1)4 4(1)221 1 1 x x x y x x x x ++-++= = =++ -≥+++，当且仅当 4 1(1)1 x x x += >-+时取等号；即1x =时，y 的最小值是2。没有最大值。 另外2 2 1133 1 x y x x x += = +++方法同上，即1x =时，y 的最大值是 12 。没有最小值。 说明：本题不能用判别式法。因为x R ?。若用判别式法得116 2 y -≤≤ ，当16 y =- 时， 求得3x =-，不合。 例5．5 [,);(,2]2 +∞-∞；4 [5,);[0,]3 +∞ （以上各小题考虑了各种方法的顺序，有的方法给出2个小题，有的题目可以多种方法导数法暂不考虑。） （四）练习题 一、选择题 9.提示：令)14()2()12()(+=→+=x f x g x f x g ，实际是将原函数图象的点的横坐标缩短变为原来的二分之一，纵坐标不变。故最值不变。 10. 提示：由111144a b a b ab ab +=?=+≥?≤? ≥， 111()1145a b a b ab αβ+=++ +=+ ≥+= 二、填空题 14.7； 15.4012； 16. a =4, b=3； 17. 4； 18.2。 15.提示： ()()() f a b f a f b +=用赋值法或令()2x f x = 三、解答题 19． [解析]先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换. （1）函数的定义域为5,1≠-≠x x 且， 令09,9)2(5422≠-≥∴--=--=u u x x x u 且， 即0>u 或9 440409- ≤>? <≤-u u u 或 ， ∴函数的值域为),0(]9 4,(+∞--∞ ； （注）这里运用了不等式性质：b a ab b a 110 < ? ?? ?>>； [解法二]原函数等价于0)45(4,4)54(2 2 =+--=--y yx yx x x y 即， 当0=y 时，得－4=0，矛盾，0≠∴y ， )5,1(≠-≠∈x x R x 且 ， 0)49(0)45(4162 ≥+?≥++=?∴y y y y y ， 解得函数的值域为),0(]9 4,(+∞- -∞ . （2）函数的定义域为]2 1,(-∞.作换元，令)0(2 1212 ≥-= ?=-t t x t x ， ),0[)(,1)1(2 12 12 2 +∞∴-+= +-= ∴在t f t t t y 上为增函数， 2 1)0(- =≥∴f y ，∴函数的值域为),2 1[+∞- ； [解法二]令x x f x x f 21)(,)(21-=-=，∴原函数)()(21x f x f y +=， ∵)()(21x f x f 与在定义域内都是减函数， ∴原函数)(x f y =在定义域]2 1 ,(-∞是减函数，2 1)2 1 (- =≥∴f y ， 而当-∞→x 时，+∞→y ，∴函数的值域为),2 1[+∞-. （3）函数的定义域为2 1≥ x ， )210(1)11(21122 2 2 ≤< +--=+- =-=∴x x x x x x y ， 由二次函数性质知函数的值域为[0，1]； [解法二]令12-= x t ， )0(2 12 ≥+=∴t t x ， 10,1221 2)(2 ≤≤∴=≤ +==∴y t t t t t f y ， 即函数的值域为[0，1] 20．由y = 1 222 +++x c bx x 得 (2－y )x 2+bx +c －y =0,(*) 当y －2≠0,由x ∈R,有Δ=b 2－4(2－y )·(c －y )≥0 即4y 2 －4(2+c )y +8c －b 2 ≤0，由已知得2+c =1+3且 4 82 b c -=1×3 ∴b =±2,c =2又b <0,∴b =－2,c =2, 而y －2=0,b =－2,c =2代入（*）式得x =0 ∴b =－2,c =2为所求 21．解：2 1)21()(2 -+ =x x f ，∴对称轴为2 1- =x ， （1）2103->≥≥x ，∴)(x f 的值域为)]3(),0([f f ，即]4 47 ,41[- ； （2）∴- =,2 1)]([min x f 对称轴]1,[2 1+∈- =a a x ， 212321 121-≤≤-???? ????-≥+-≤∴a a a ， ∵区间]1,[+a a 的中点为2 10+ =a x ， ①当2 11,2 12 1- ≤≤-- ≥+ a a 即时， 16 14 1)1()1(,16 1)1()]([2 max = - +++∴= +=a a a f x f ， 4 9(4302748162 - =-=?=++∴a a a a 不合）； ②当12 3,2 12 1-<≤--<+ a a 即时，16 1 )()]([max = =a f x f ， 4 1(4 5051616,16 1 412 2 = - =?=-+∴=- +∴a a a a a a 不合）； 综上，4 54 3-=-=a a 或. 22.（1）证明：x a a a x a x a a x x a f x f +--+-+ +--+= -++21221)2(2)( 01221121=--+--+-+=-+-++--+=x a x a x a a x a x x a x a a x ∴结论成立 （2）证明：x a x a x a x f -+ -=-+--= 111 )()( 当112,2112 1112 1-≤-≤ -- ≤-≤-- -≤-≤--+≤≤+ x a x a a x a a x a 时 2113-≤-+-≤-x a 即]2,3[)(--值域为x f （3）解：)(|1|)(2a x a x x x g ≠-++= ①当a x a x x x g a x a x -+ + =-++=≠-≥4 3)2 1(1)(,12 2 时且 如果2 11- ≥-a 即2 1≥ a 时，则函数在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增 2 min )1()1()(-=-=a a g x g ， 如果a g x g a a -= - =< -<-4 3)2 1()(,2 12 11min 时即当 而当2 1- =a 时，)(x g 在2 1= =a x 处无定义，故)(x g 最小值不存在 ②当4 5)21(1)(12 2 - +- =+--=-≤a x a x x x g a x 时 如果4 5 )21()(23 2 11min -==> >-a g x g a a 时即 如果2 min )1()1()()1,()(2 32 11-=-=--∞≤ ≤-a a g x g a x g a a 上为减函数 在时即 当0 ) 2 1()4 3( )1(2 10)2 3()4 5()1(2 32 2 2 2 >- =---< >-=---> a a a a a a a a 时当时 综合得： 当2
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