求函数值域方法及习题
求函数值域的方法
（1）直接法：从自变量x 的围出发，推出y=f(x)的取值围；
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=
k x
k
y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为
{a
b a
c y y 4)4(|2
-≥}；
当a<0时，值域为{a
b a
c y y 4)4(|2
-≤}
（2）配方法：如果y=f(x)是二次函数或是可以化为二次函数的函数，则可以用配方法求值域.
【例1】求下列函数的值域：
（1）y=x 2-4x+5； （2）y=x 2-4x+5，x ∈[1,4]； (3) y=x 2+2x+4, x ∈[0,+∞)
（4）y=-x 4+2x 2+3； （5）y=221224
x x x x
+
---； (6) y=4x +2x+1
（7）y=2229(log )log 4x x -+； （8）y=sin 2x-sinx+9
4
（3）基本不等式法：利用平均不等式求值域转化成型如：)0(>+=k x
k
x y ，用公式来求值域；
【例2】求下列函数的值域： （1）y=1x x +,（x>0）； （2）y=41x x +,（x ≠0）； （3）y=9
x x
+,（0＜x ≤2)；
（4）y=x(6-x)； （5）y=2
12(4)4
x
x x ≥+,
（4）不等式性质法
【例3】求下列函数的值域：
（1）y=26
2
x +； （2）y=22241022x x x x ++++； （3）
y=62sin 1
x -
（4） （2）y=13()4(1)2
x x -+≤-； （3）y=2211log ()()42
x x +>
（5）逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值围，通过解不等式，得出y 的取值围；常用来解，型如：),(,n m x d
cx b
ax y ∈++=或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域. 【例4】求下列函数的值域：
（1）y=11x x e e -+； （2）y=2sin 3sin x
x
+； （3）y=222x x +；
（法一）反函数法：
（法二）分离变量法：
（6）函数单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域. 【例5】求下列函数的值域：
（1）y=x 3+arcsinx ； （2）y=1
x x
a a -(正常数a ≠1,x ≥1)；
（3）y=412
log (1)x +； （4）y=2
41()3
x
x
-
（7）换元法（代数换元法）：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
【例6】（1）y x =+2）y x =
【解】（1）设0t =，则21x t =-，
∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．
说明：总结y ax b =++2y ax b =+
2y ax b =++（2）三角换元法：∵21011x x -≥?-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，
则cos sin )4
y π
ααα=+=+
∵[0,]απ∈，∴5[,]444
π
ππα+
∈，
∴sin()[4
π
α+
∈)[4
π
α+∈-，∴原函数的值域为[-． （8）几何法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域；
图像法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域 【例7】（1）已知224x y +=，求函数u=3x+4y 的值域； （2）
（3）对于圆x 2+(y-1)2=1上任一点P （x ，y ），不等式x+y+m ≥0恒成立，数m 的取值
围；
（4）求函数|1||4|y x x =-++的值域. 解：（2）设
，则y
x
k y kx ==.问题转化为直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1有公共点时，斜率的取值围问题。现在只要求出k 的最大和最小值即可。
k k 大
小，==-333
3∴∈-?????
?k 3333， （3）[]x y P x y 2211102+-===+??
?∈()cos sin 上任一点可写成，θ
θ
θπ
代入得x y m ++≥010+++≥sin cos θθm ，
m m ≥---≥-+
-sin cos sin()θθθπ
1
24
1
-?+
--24
121sin ()θπ
的最大值为。∴≥-++≥m x y m 210时，不等式恒成立。
（4）数形结合法：23(4)|1||4|5
(41)23(1)x x y x x x x x --≤-??
=-++=-<
，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．
（9）最值法：
【例7】求下列函数的值域： 拓展
【例1】求函数f(x)=2
,(0,1]1
ax
x ax ∈+的值域：
【例2】求函数f(x)=2
1
ax b
x ++的值域是[-1，9]，数a 、b 值.
Ⅲ. 小结
1．熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用； 2．求值域时要务必注意定义域的制约；
3．含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论； 4．用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。
5．对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,⑴若定义域为R 时，
①当a>0时，则当a b
x 2-
=时，其最小值a
b a
c y 4)4(2
min -=； ②当a<0时，则当a b
x 2-
=时，其最大值b ac y )4(2max -=⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x 0是否属于区间[a,b]①若
0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)
(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值②若0x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间，只需
比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值
(3)若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
(4)当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论
Ⅳ. 巩固练习夯实基础 【题组一】 1．函数y=
23
1
x x ++的值域是 ； []21
12.求函数，在，上的最大及最小值。y x x
=+
3．函数y=
6
3cos 1
x +的值域是 ；
4．函数+1的值域是 ；
5．函数y=22221(log )log 3([,4])2
x x x -+∈的值域是 ；
6．函数y=221()3
x x
+的值域是
7．已知：点P （x ，y ）是圆x 2
+y 2
=9上的动点。求x+y 的最大值。 8
．函数y =的值域是 [0,2]
9．函数221
x
x y =+的值域为(0,1)．
10若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a
=． 11．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域
（11. 解法1：将函数化为分段函数形式：
??
?
??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，
画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}
解法2：（几何法或图象法）∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞] 如图
）
12．求函数x x y -+=142的值域
解：(换元法)设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t
代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-?==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4
13．某宾馆有相同标准的床位100根据经验，当该宾馆每床的床价不超过10元时，床位可以全部租出；当床价高于10元时，每提高一元，将有3床位空闲为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是①为方便结算，床位应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租收入必须高于支出，而且高出得越多越好，若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的支出费用后的收入），
(1)把y 表示为x 的函数，并求出定义域；
(2)试确定该宾馆床价定为多少时，既符合上述条件，又能使净收入最多？
2．(1)100575(10)
[100(10)3]57510x x y x x x -≤?=?--?->?=2100575(610,)3130575(1038,x x x N x x x x N
-≤≤∈??-+-<≤∈?
(2)当x ￡10时，y ￡425;当x>10,则当x=22时，y 有最大值约833元
【题组二】
1．若函数y=x 2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值围是 [3/2,3]
3．求下列函数的值域(1)y=(1-x 2)/(1+x 2); (2)y=(1-2sinx)/(1+sinx) (1) (0,1); (2) [-1/2,+￥]
4．已知1/2￡t ￡1,则2/t –t 的最大值是 7/2(单调性求最值)
5．函数y= –x 2–2ax(0￡x ￡1)的最大值是a 2,那么实数a
1￡a ￡0(配方法求二次函数的最值)
6．在区间[1/2,2]上函数f(x)=x 2
+px+q 与g(x)=2x+1/x 2
在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在区间[1/2,2]上的最大值是 4 ，平均值不等式求最值
7．函数x y a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a = 2
8．已知函数()21x f x =-，2()1g x x =-，构造函数()F x ，定义如下：当
|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x f x =-，那么()F x （ B ）
()A 有最小值0，无最大值 ()B 有最小值1-，无最大值
()C 有最大值1，无最小值 ()D 无最小值，也无最大值
9. 函数的值域是1
31
-=
x
y ( D ) (A) (-)1,-∞ (B) (,0)(0,)-∞+∞ (C) (-1,+)∞ (D) (-,1)(0,)∞-+∞
10. 函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 （ D ）
A ．]1,(--∞ (B)),3[+∞ (C)]3,1[- (D)),3[]1,(+∞?--∞
11. 函数2
y =的值域为 。5,2??+∞????
12.223x x y +-= 的值域是______________.)
+∞
13．函数)
1(11
)(x x x f --=的最大值是
（ D ）
A ．
5
4 B ．
4
5 C ．
4
3 D ．
3
4 14．函数1
222--=x x
y 的值域为
（ B ）
A ．（,2][1,)-∞--+∞
B ．(,2)
(1,)-∞--+∞
C ．}{R y y y ∈-≠,1
D ．}{
R y y y ∈-≠,2
15．函数x x y 1-=在]2,1[上的值域是_______________[0,3]2
16. 下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是 （ D ）
A ．1
51+=-x
y B ．x
y 21-= C ．1)21(-=x y D ．x y -=1)31(
17. 已知函数322+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值围是（ D ）
A 、[ 1，+∞]
B 、[0，2]
C 、（-∞，2）
D 、[1，2]
18. （04津）若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=（A ）
A. 4
2
B.
2
2 C.
41 D. 2
1