复数的代数形式

复数的加、减、乘除运算按以下法:

则进行设1=+bi , z2=C+di(a, b, C, d∈R )

(1)加减法: (a+bi)+(+d)=(a+C)+(b+d )

(2)乘法法则: (a+ bi)(+li)(ac-bd)(ad+ bc)

代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程(组)的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想:研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么,以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字,而是各种抽象化的结构。

高考复数知识点精华总结

复 数 1．复数的概念： （1）虚数单位i ； （2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集 整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环 小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩ 3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。 应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。 4．复数的四则运算 若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1〃z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ； （4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+； （5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 （6）特殊复数的运算： ① n i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ； ③ 若ω=-21+23 i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0. 5．共轭复数与复数的模 （1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0). （2）复数z=a+bi 的模|Z|=22a b +, 且2||z z z ⋅==a 2+b 2. 6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为 a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0 ⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 4．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。

复数的运算公式

复数的运算公式 复数的四则运算公式： 加减法运算：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i 乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i 除法运算：(c+di)(x+yi)=(a+bi) 了解复数的运算公式之前，应该先明白复数的定义，在定义的基础上理解、运用复数的运算公式。 一、复数的定义 复数是形如a＋bi的数。式中a，b为实数，i是一个满足i＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为

虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。复数常用形式z＝a＋bi 叫做代数式。 二、复数的四则运算公式 加减法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和： (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。 乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则： (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 除法运算复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。 运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。

复数的概念及复数的四则运算

第一节复数一、复数 例1：求 X2 + 1 = 0的根

例2：求 X 2 + 9 = 0的根 例3：求 X 2 - 2X + 5 = 0的根 结论结论：j =1-称为虚数的单位，j b 称为虚数。 由实数和虚数的代数和组成的数称为复数A = a + j b 二、复数的表示形式 1．代数形式 A = a + j b 2．极坐标形式 A = r ∠ α 式中，r －复数A 的模；α－复数A 的辐角。 3．指数形式 A = r e j α 4．三角形式 A = r cos α + j r sin α 三、各种表示形式之间的相互转换 1．代数形式→其它形式 r =22b a +；α = arctan a b 2．其它形式→代数形式 a = r cos α ； b = r sin α 例：例3、例4 四、共轭复数和复数的相等 1．若A = a + j b = r ∠ α，则它的共轭复数A * = a - j b = r ∠ -α。 2．若两复数实部与实部相等，虚部与虚部相等（在代数表示式中）或两复数的模和辐角分别都相等（在极坐标或指数表示式中）则两个复数就相等。 第二节 复数的四则运算 一、加减法 1． 原则：一定要用代数形式进行加减，其它形式不能进行加减运算。 2． 方法：先将复数化成代数表示式，然后实部和实部相加或相减，虚部和虚部相加或 相减。 例：例1 二、乘除法 1．原则：一定要在同一表示形式中才能进行运算，用极坐标形式进 行运算比较简单。 2．方法： 乘法：将两复数的模相乘作为乘积的模，两辐角相加作为乘积的辐角； 除法：将两复数的模相除作为商的模，两辐角相减作为商的辐角。 三、举例 例：例2、例3、例4、例5、例6 练习：（1）将下列复数分别化成另一种形式 3 + j 3；3 - j 3；-3 + j 3；- 3 - j 3；6∠30?；6∠120?； 6∠- 120? 小结：1、虚数、复数的概念。 2、复数的几种表示方法。

关于复数的知识点总结

复数的知识点总结 关于复数的知识点总结 在日常过程学习中，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点也可以通俗的理解为重要的内容。还在苦恼没有知识点总结吗？下面是小编收集整理的关于复数的知识点总结，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。 复数的知识点总结篇1 复数的概念： 形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： (1)复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的模： 复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i：

(1)它的平方等于-1，即i2=-1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 复数模的性质： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0 a=0，b=0. 复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 复数相等特别提醒： 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 解复数相等问题的方法步骤： (1)把给的复数化成复数的标准形式; (2)根据复数相等的充要条件解之。 学好初中数学的方法 1、重视课本的'内容 书本知识是初中生学习数学最根本的一部分了，初中生一定要重视书本上的知识点，不管是概念还是公式以及书本上的练习题，初中生一定要熟练掌握。初中生要想更熟练的掌握书本的知识点，可以将

高二数学复数知识点总结

高二数学复数知识点总结 导读：本文高二数学复数知识点总结，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 【一】 复数的概念： 形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： (1)复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即

几何表示方法。 复数的模： 复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i： (1)它的平方等于-1，即i2=-1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 复数模的性质： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 【二】 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0 a=0，b=0.

(完整版)复数的基本概念和几何意义

一、考点、热点回顾 1•复数的有关概念 (1) 复数 ① 定义：形如a + bi (a , b € R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2=- 1. ② 表示方法：复数通常用字母 z 表示，即z = a + bi (a , b € R ),这一表示形式叫做复数的代数形式 .a 叫做复 数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部. 注意：复数 m + ni 的实部、虚部不一定是 m 、n ,只有当m € R , n € R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部. (2) 复数集 ① 定义：全体复数所成的集合叫做复数集 ② 表示：通常用大写字母 C 表示. 2. 复数的分类 实数(b = 0) (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3. 复数相等的充要条件 设 a 、b 、c 、d 都是实数，则 a + bi = c + di? a = c 且 b = d , a + bi = 0? a = b = 0. 注意：(1)应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 z = a + bi (a , b € R )的形式，即分离实部和虚 部. (2)只有当a = c 且b = d 的时候才有 a + bi = c + di , a = c 和b = d 有一个不成立时，就有 a + bi 丰c + di. 3)由 a + bi = 0, a , b € R ，可得 a = 0 且 b = 0. 4. 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平 x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 . 6.复数的模 复数z = a + bi (a , b € R )对应的向量为OZ ,则OZ 的模叫做复数z 的模，记作|z|,且|z|=寸壬亘^ 注意：复数 a + bi (a , b € R )的模|a + bi|= _ a 2+ b 2,两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以 比较大小. 考点一、复数的概念 例1、下列命题： ① 若a € R ，则(a + 1) i 是纯虚数； ② 若 a , b € R ，且 a>b ，贝U a + i>b + i ; ③ 若(x 2- 4) + ( x 2 + 3x + 2) i 是纯虚数，则实数 x = ±; ④ 实数集是复数集的真子集. 复数 (1)复数 z = a + bi (a , b € R ) 虚数(b ^0 纯虚数a = 0 非 纯虚数a ^0 5.复数的两种几何意义 (1) 复数 z = a + bi (a , b € R ) —■—对应 < ------ 复平面内的点 Z (a , b ) 一一对应 < ------ ■>平面向量O )Z. 典型例题

复数极坐标形式化成代数形式

复数极坐标形式化成代数形式 复数有两种表示方式，一种是代数形式，另一种是极坐标形式。极坐标形式常常用于描述电学中交流电处理的过程，而代数形式更多地用在实际的计算中。因此，掌握复数极坐标形式化成代数形式的方法对于数学、物理等领域的学习都有着非常重要的意义。下面，我们将详细阐述复数极坐标形式化成代数形式的方法。 第一步，了解极坐标形式的定义。 复数的极坐标形式是指以复平面上的距离r和与x轴的夹角θ为参数表示复数的形式，表示为z = r(cosθ + i sinθ)。其中，r 为复数的模（绝对值），θ为复数的幅角（辐角）。 第二步，化简极坐标形式中真实部分和虚部分。 假如知道一个复数的极坐标形式z = r(cosθ + i sinθ)，可以化简出其代数形式。整理真实部分和虚部分，分别提取出cosθ和 sinθ，因为cosθ是复数的真实部分，sinθ是虚部分。则代数形式为：z = rcosθ + irsinθ，其中i表示虚数单位。 第三步，如果给出模与辐角，直接代入公式求解。 如果给出一个复数的模r和辐角θ，可以直接代入上式求解。首先，求出复数的真实部分，即r cosθ；然后，求出虚部分，即r sinθ；最后，把两个部分结合在一起，即得到复数的代数形式。 第四步，解题时需要画出所对应的复数图像。 在学习复数的极坐标表示时，需要熟练地把用极坐标表示的复数在复平面图上画出来，以便更好地理解其代数形式。复数的极坐标形式里有两个参数，即模和辐角，可以看作是复数的大小和方向，而这些信息在极坐标图中可以很好地反映出来。因此，画出所对应的复数图像非常重要。 以上是复数极坐标形式化成代数形式的方法，无论是在学习数学，物理等领域，都有着广泛的应用。希望大家掌握好该方法，用于解决实际问题。

高三数学复数知识点

高三数学复数知识点 高三数学复数知识点 复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。也是高考数学需要掌握的知识点。下面是店铺收集整理的高三数学复数知识点，希望对你有所帮助。 高三数学复数知识点1 1.复数及其相关概念： (1)虚数单位i，它的平方等于-1，即i2=-1。 (2)复数的代数形式：z=a+bi，(其中a，bR) ①实数当b=0时的复数a+bi，即a; ②虚数当b0时的复数a+ ③纯虚数当a=0且b0时的复数a+bi，即bi。 ④复数a+bi的实部与虚部a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数) ⑤复数集C全体复数的集合，一般用字母C表示。 ⑥特别注意：a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。 2.复数的四则运算 若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i， (1)加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i; (2)减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i; (3)乘法：z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2 (4)除法 (5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。 注意：复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=-1结合到实际运算过程中去。 如(a+bi)(a-bi)=a2+b2 3.共轭复数：两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复

数 4.复数的模 根据两个复数相等的定义，设a，b，c，dR，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+dia=c且b=d，特别地a+bi=0a=b=0。 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 高三数学复数知识点2 复数的概念： 形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： (1)复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的模： 复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i： (1)它的平方等于-1，即i2=-1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运

复数的各类表达形式

复数的各类表达形式 一、代数形式 表示形式：表示一个复数 复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。 二、几何形式 点的表示形式：表示复平满的一个点 在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。 复数z=a+bi 用复平面上的点z(a，b )表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 三、三角形式 表示形式 复数z＝a+bi化为三角形式，z＝r(cosθ+sinθi)。式中r=∣z∣=√(a^2+b^2)，是复数的模(即绝对值)；θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz=θ=arctan(b/a)。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。 四、指数形式 表示形式 将复数的三角形式z＝r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为exp(iθ)，复数就表为指数形 式z＝rexp (iθ) 。

向量 在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。 向量的运算法则 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 OB+OA=OC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。

复数的三种表示形式

六、教学过程 （一）、复习引入： 欧拉简介： 欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。 欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 欧拉在1748年给出的著名公式θθθ sin cos i e i +=（欧拉公式）是数学中最卓越的公 式之一，它把不同的函数联系起来，成为沟通复数的三角形式与指数形式的“桥梁”。 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的。［欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i （1777年），e （1748年），sin 和cos （1748年），tg （1753年），△x （1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等。 （二）、讲授新课 2.3 复数的三种表示形式（二） 一、复数的指数形式 根据欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，任何一个复数()θθsin cos i r z +=都可以表示成 θi re z = 的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式。 其中r 为复数的模，底数e ＝2.71828…为无理数，幂指数中的i 为虚数单位，θ为复数的辐角，单位为弧度。例如： 5π i 6 π i 7 5π5πcos isin 66ππcos isin e 77 ⎫+=⎪⎭+ =

复数知识点

考试大纲： （1）复数的概念 ① 理解复数的基本概念． ② 理解复数相等的充要条件． ③ 了解复数的代数表示法及其几何意义． （2）复数的四则运算 ① 会进行复数代数形式的四则运算． ② 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 知识梳理： 一、复数的基本性质： 1、复数代数形式：设a 、b 都是实数，形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部． 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.（注意实数集R 是复数集C 的真子集） 2、复数的分类： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ； ④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. 3、复数是实数的充要条件： ① z=a+bi ∈R ⇔b=0（a 、b ∈R ）； ② z ∈R ⇔z=z ； ③ Z ∈R ⇔22Z Z = 复数是纯虚数的充要条件： ① z=a+bi 是纯虚数⇔a=0且b≠0（a 、b ∈R ）； ② z 是纯虚数或0⇔Z+z =0； ③ z 是纯虚数⇔ z 2＜0 4、复数相等的充要条件： 00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别，，，，（且注意：两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. ①若21,z z 为复数，则 1若021>+z z ，则21z z ->.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] 2若21z z <，则021<-z z .（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 二、复数的几何意义

复数的基本知识

一、知识要点： 1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21 i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i 3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b a bi a b R 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,) =+∈， z a bi a b R 把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈， a bi a b R 当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi 叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等， a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 12．乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 13.乘法运算律： (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3; (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 14.除法运算规则： ①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

复数的代数形式及其运算

复数的代数形式及其运算 第85课时课题：复数的代数形式及其运算 一．教学目标： 掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。 三．教学过程： （一）主要知识： 1．共轭复数规律，； 2．复数的代数运算规律 （1）i=1，i=i，i=1，i=i； （3）i・i・i・i=1，i＋i＋i＋i=0； ； 3．辐角的运算规律 （1）Arg（z・z）＝Argz＋Argz （3）Arg=nArgz（n∈N） ...，n1。 或z∈R。 要条件是|z|＝|a|。 （6）z・z≠0，则

4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。 5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式 ||z||z||≤|z±z|≤|z|+|z|的运用。 即|z±z|≤|z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。 |z±z|≥|z||z|等号成立的条件是：z，z所对立的向量共线且异向。 （二）范例分析 Ⅰ.2004年高考数学题选 1.（2004高考数学试题（浙江卷，6））已知复数z1=3+4i, z2=t+i, 且是实数，则实数t=( ) A．B．C．?D．? 2.(2004年北京春季卷，2)当时，复数在复平面上对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是( C ) A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆 Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析： 1．化归思想

复数具有代数形式(共12页)

§4.5 复数(fùshù) 复数具有代数形式、三角形式、几何形式等多种表示方法，这些表示所蕴含的实际意义，以新的视角、新的途径(tújìng)沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系。由于复数与复平面上的点，与以原点为起点的平面向量之间有着一一对应的关系，复数运算有着明确的几何意义，因而有关复数的问题在解法上有着(yǒu zhe)构思巧妙、方法灵活的特点。 一、复数(fùshù)知识 1.复数的表示形式(xíngshì)与运算 代数形式，称为的实部，记；称为z的虚部，记为。 三角形式，，称为z的模，称为z的辐角，记辐角主值为。 指数形式，注意到，指数形式即三角形式。 三种表示形式之间可以互化：。 在复平面上，用点表示复数，每个复数z与向量一一对应。两个复数的和与差，对应这两个向量构成的平行四边形的两条对角线；复数的乘法与除法于对应平面向量的伸缩与旋转。 例1复平面上动点的轨迹方程为，为定点，；另一动点Z满足，求点Z的轨迹，并指明它在复平面上的形状和位置。（高中联赛，1988）

4.5.1 解：由11-=z z 知 ，所以(su ǒy ǐ) ，代入101z z z =-得 。变形 (bi àn x íng)为，表示(bi ǎosh ì)Z 是以为中心(zh ōngx īn)，为半径的圆 周(yu ánzh ōu)，但应除去原点。 例2 设复数 在复平面上对应点分别为A ，B ，且 ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为 (A) (B) (C) (D) (高中联赛，1992) 图4.5.2 解：由已知得，故。故在复平面上等式两边的复数 12z z -和1z 所对应的向量互相垂直，即 （如图4.5.2）， 故 故选（A ）38 B A y x O y x Z （x ， r θ O

I复数的四种表示形式

第八讲 复数 知识、方法、技能 I ．复数的四种表示形式 代数形式：∈+=b a bi a z ,(R ） 几何形式:复平面上的点Z （b a ,）或由原点出发的向量OZ . 三角形式：∈≥+=0,0),sin (cos r i r z θθR . 指数形式：θ i re z =。 复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系,使人们应用复数解决相关问题成为现实。 II ．复数的运算法则 加、减法:;)()()()(i d b c a di c bi a ±+±=+±+ 乘法:;)()())((i ad bc bd ac di c bi a ++-=++ )];sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r 除法： ).0(2 222≠++-+++=++di c i d c ad bc d c bd ac bi c bi a )].sin()[cos()sin (cos )sin (cos 21212 1 222111θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 乘方：∈+=+n n i n r i r n n )(sin (cos )]sin (cos [θθθθN )； 开方：复数n i r 的)sin (cos θθ+次方根是).1,,1,0)(2sin 2(cos -=+++n k n k i n k r n πθπθ III ．复数的模与共轭复数 复数的模的性质 ①|;)Im(|||,)Re(|||z z z z ≥≥ ②|;|||||||2121n n z z z z z z ⋅=⋅ ③);0(| || ||| 22121≠=z z z z z