高考函数题型及方法总结材料
高考函数题型及方法总
结材料
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2014高考函数题型方法总结 作者：姬爱霞老师---丝路教育
第一部分：必考内容与要求
函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）
第二部分：题型方法总结
题型一：函数求值问题
★（1）分段函数求值→“分段归类”
例1．（2010湖北）已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >?=?≤?，则1
(())9f f =( )
A.4
B.
1
4
C.-4 D-
14
例2．若2tan ,0(2)log (),0x x f x x x ≥?+=?-
+?-=（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．2-
例3．(2009年山东)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=???>---≤-0),2()1(0),
4(log 2x x f x f x x ，则
f （2009）的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2
★（2）已知某区间上的解析式求值问题→“利用周期性、奇偶性、对称性向已知区间上进行转化” 例4．（2009年江西）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=） 且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），(2008)(2009)f f -+的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
例5．（2009辽宁卷文）已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1
()2
x ；当x ＜4时
()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（ ） （A ）124 （B ）112 （C ）18 （D ）3
8
例6．（2010山东理）（5）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++ （b 为常数），则(1)f -=（ ） （A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3 ★（3）抽象函数求值问题→“反复赋值法”
例7．（2009四川卷文）已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（ ） A. 0 B. 21 C. 1 D. 2
5
例8．（2010重庆理）若函数()f x 满足：()1
14f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈
则()2010f =_____________.
题型二：函数定义域与解析式
（1）函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.
（2）求定义域问题本质转化为结不等式，故需掌握常见不等式解法。
（3）掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用． 例1．（2009
江西卷理）函数y =
的定义域为（ ）
A ．(4,1)--
B ．(4,1)-
C ．(1,1)-
D ．(1,1]- 例2．（2010
湖北文）函数y =的定义域为（ ）
A.(
34
,1) B(3
4
,∞) C （1，+∞）
D. (
3
4
,1)∪（1，+∞） 例3．（2008
安徽卷）函数2()f x =的定义域为 ．
例4．求满足下列条件的()f x 的解析式：
（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2
(1)lg f x x
+=，求()f x ；
（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；
（4）已知()f x 满足1
2()()3f x f x x
+=，求()f x ．
例5.（2009安徽卷理）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点
(1,(1))f 处的切线方程是（ ） （A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+
题型四：函数值域与最值
关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，常用的方法有：1.利用基本函数求值域（观察法）2.配方法；3.反函数法；4.判别式法；5.换元法；6.函数有界性（中间变量法）7.单调性法；8.不等式法；9.数形结合法；10.导数法等。
例1.（2010重庆）（4
）函数y =( ) （A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4)
例2.（2010山东）(3)函数()()2log 31x f x =+的值域为( ) A. ()0,+∞ B. )0,+∞?? C. ()1,+∞ D. )1,+∞?? 例3.（2010天津）（10）设函数2
()2()g x x x R =-∈，
()4,(),
(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是( )
（A ）9,0(1,)4??-?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4??
-?+∞????
例4.（2010重庆）(12)已知0t >，则函数241
t t y t
-+=的最小值为____________ .
例5.（2008重庆)已知函数
M ,最小值为m ,则m
M
的值为( ) (A)
14
(B)
1
2
例6.（2008江西）若函数()y f x =的值域是1
[,3]2
，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是( )
A ．1[
,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10
[3,]3
题型五：函数单调性
（一）考纲对照
（二）归纳总结 1、函数单调性的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I ：
如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2 都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。
如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。
2、定义的等价命题: 设[]b a x x ,,21∈
（1）◆如果
0)
()(2
121>--x x x f x f （21x x ≠），则函数在[],a b 是增函数
◆()()()12120x x f x f x -->????则函数在[],a b 是增函数
◆对于任意的m ，都有)()1(m f m f >+，则函数在[],a b 为增函数。
（2）◆如果
0)
()(2
121<--x x x f x f （21x x ≠），则函数在[],a b 是减函数
◆()()()12120x x f x f x --
3、定义引申的三种题型： D x x ∈?21,
（1）判断函数的单调性 21x x <且)()(21x f x f <，则)(x f 是增函数
（2）比较自变量的大小 )(x f 是增函数且),()(21x f x f <则21x x < （3）比较函数值的大小
)(x f 是增函数且21x x <，则)()(21x f x f <
4、有关单调性的几个结论：
（1）y ＝f （x ）与
y ＝kf （x ） 当k>0时，单调性相同；当k<0时，单调性相反
（2）如果函数f (x )为增函数g (x )也为增函数，则有：f (x)+ g (x )也为增函数，-g (x )为减函数，
)
(1
x f 为减函数。
（3）如果函数
f (x )为增函数
g (x )为减函数，则有：f (x ) -g (x )也为增函数
（4）若f(x)(其中f(x)>0)()n f x
（5）复合函数
f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定.(同则增异则减)
▲【典型例题】
例1. (2009陕西卷理)定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有
2121()(()())0x x f x f x -->.则当*n N ∈时,有
(A)()(1)(1)f n f n f n -<-<+ (B) (1)()(1)f n f n f n -<-<+ (C) (1)()(1)f n f n f n +<-<- (D) (1)(1)()f n f n f n +<-<-
例2.下列函数()f x 中,满足“对任意1x ,2x ∈(0,+∞),当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x 的是 A.()f x =
1
x
B.()f x =2(1)x - C .()f x =x e D.()ln(1)f x x =+ 例3. （2010北京）给定函数①12
y x =，②12
log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，
1）上单调递减的函数序号是 （A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④
例4.（2009高考(福建文)）定义在R 上的偶函数()f x 的部分图像如右图所示,则在()2,0-上,下列函数中与()f x 的单调性不同的是 A.21y x =+ B. ||1y x =+
C. 321,01,0x x y x x +≥?=?+
D.,,0
x x e x o
y e x -?≥?=?
例5.（2009高考(辽宁理)）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,
则满足(21)f x -<1
()3
f 的x 取值范围是
(A)(13,23) (B) [13,23) (C)(12,23) (D) [12,2
3
)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例6.（2009高考(海南宁夏理)）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值设 f(x)=min{2x , x+2,10-x} (x ≥0),则f(x)的最大值为 A.4 B.5 C .6 D.7
例7．（2009天津）设函数???<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）
A ．),3()1,3(+∞?-
B ．),2()1,3(+∞?-
C ．),3()1,1(+∞?-
D ．)3,1()3,(?--∞ 例8．（2008全国）设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()
0f x f x x
--<的解集
为（ ）
A ．(10)(1)-+∞，
， B ．(1)(01)-∞-，， C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，，
例9．定义域为R 的函数()f x 满足条件:①12121212[()()]()0,(,,)f x f x x x x x R x x +-->∈≠; ②()()0f x f x +-= ()x R ∈; ③(3)0f -=.则不等式()0x f x ?<的解集是( ) A.{}|303x x x -<<>或 B.{}|303x x x <-≤<或 C.{}|33x x x <->或 D.{}|3003x x x -<<<<或
例10．已知函数???≥+-<=)0(,4)3()0(,)(x a x a x a x f x .满足对任意的21x x ≠都有0)
()(2121<--x x x f x f
成立,则a 的取值范围是( ) A. ]41,0( B. )1,0( C. )1,41
[ D. )3,0(
题型六：函数奇偶性与周期性
【考点解读】
一、函数奇偶性的定义 （1）定义的解读与理解
【注】：（1）定义域关于原点对称；
（2）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
()()0f x f x ±-=，
()
1()
f x f x =±- （3）判断函数奇偶性的方法：一求二看三化简四比较五得结论 （建议学生画出判断函数奇偶性的算法框图） （2）、定义的引申：函数的对称性
◆偶函数关于y （即x =0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- ◆奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 引申1：函数的线对称
◆函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+
)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 引申2：函数的点对称
◆函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++
b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 2、奇偶函数的性质：
（1）偶函数的图象关于
y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
（2）奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反； （3）
()f x 为偶函数()(||)f x f x ?=；
（4）若奇函数
()f x 的定义域包含0，则(0)0f =。
3、函数奇偶性的有关结论：
（1）设
()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇
（2）定义域关于原点对称的任意一个函数
()f x 都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．
即 ()f x =1
2
[F (x )+G (x )] 其中F (x ) =()f x +()f x -, G (x ) =()f x －()f x -
二、函数的周期性
1、定义：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
)()(x f T x f =+成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果
所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、定义的变形和引申
（1）函数
)(x f y =满足如下关系式，则T x f 2)(的周期为
A 、)()(x f T x f -=+
B 、)
()()()(x f k
T x f x f k T x f -
=+=+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+
或)
(1)
(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） D 、其他情形
（2）函数
)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则可推出
)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以得到)(x f y =的周期为
2(b-a )，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）◆如果奇函数满足
)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为
kT T
x 22
+=
)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，
)(z k ∈（以上0≠T ）
◆如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为
)0,22
(
kT T
+)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）
（4） ◆如果奇函数
)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函
数。
◆如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。 ☆两个函数的图象对称性
)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b )对称。
【换种说法】)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b ) 对称。)(x a f y -=与()y f x b =-关于直线2
b
a x +=
对称。 【典型例题】
例1．（2009高考(重庆理)）若1
()21
x
f x a =
+-是奇函数,则a =____________. 例2．（2008福建文科高考试题）函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a -=，则()f a 的值为
A ．3
B ．0
C ．-1
D ．-2
例3．（2010江苏卷）设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =__________
例4．（2009高考(江西文)）已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的偶函数，若对于0≥x ，都有）x f x f ()2(=+，且当)2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2009()2008(f f +-值为（ ） A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
例5．（安徽省合肥八中2008-2009学年高三第二次月考）设定义在R 上的函数()f x 满足
()(2)13f x f x ?+=,若(1)2f =,则(99)f =（ ）A.13 B.2 C.132 D.2
13
例6．（2010广东理数）3．若函数f （x ）=3x +3-x 与g （x ）=3x -3-x 的定义域均为R ，则（ ） A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数
例7．（江苏省海门市2009届高三第一次诊断性）已知函数()y f x =的图象与函数22()log (2)g x x x =++的图象关于直线2x =对称，则(3)f =__________.
例8．（江苏省扬州中学2008-2009学年高一第一学期10月份月考）已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()22.f x f x +=-,若方程()0=x f 有且仅有三个根，且x =0为其一个根，则其它两根为___________。
例9．（安徽省宣城中学2008-2009学年第一学期高三理科期中）对于定义在R 上的函数()f x ，有下述四个命题：
①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点A （1，0）对称；
②若对x ∈R ，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称； ③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数； ④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称。 其中正确命题的序号为__________（把你认为正确命题的序号都填上） 例10．（2009全国卷Ⅱ文）函数y=2
2log 2x
y x
-=+的图像( ) （A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称
例11．定义在R 上的偶函数()f x 满足[](1)(),()0f x f x f x +=-且在－１，上是增函数，下列五个关于()f x 的命题中
①()f x 是周期函数；
②()f x 的图象关于1x =对称；
③()f x 在［0，1］上是增函数 ④()f x 在［1，2］上是减函数；⑤(2)(0)f f =
正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
例12．（2010北京文数）⑷若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+?- 是（ ）
（A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数 （C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数
例13．（2009全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( ) (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数 例14．（2008安徽）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=， 则有（ ）A ．(2)(3)(0)f f g <<
B ．(0)(3)(2)g f f <<
C ．(2)(0)(3)f g f <<
D ．(0)(2)(3)g f f << 题型七：函数图像 ☆具体要求：
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．
4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．
例1. (2009山东卷理)函数x x
x x e e y e e
--+=-的图像大致为( ).
例2.（2009安徽卷理）设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是( ).
例4．函数|1
|||ln-
-
=x
e
y x的图象大致是（）
例5．（2009江西）如图所示，一质点(,)
P x y在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点(,0)
Q x的运动速度()
V V t
=的图象大致为
A B C D
例6．（2008山东卷3）函数y＝lncos x
(-
2
π＜x ＜)
2
π的图象是( )
题型八：函数性质的综合应用
y
O
(,)
P x y
(,0)
Q x
O
()t
t O
()
V t
O
()
V t
t
O
()
V t
t
高考对这部分内容考查的重点有：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数
与方程的综合；④函数与数列综合；⑤函数与向量的综合；⑥函数类型的应用题等．
例1. 一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是
1
（A ） （B ） （C ） （D ）
例2.已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λ
λλ++=
-≠x x a λλβ++=11
2x x ，若
|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）
（A ）0<λ （B ）0=λ （C ）10<<λ （D ）1≥λ
例3.（2009
江西卷理）设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．2- B ．4- C ．8- D ．不能确定 例4. 56.(2009湖南卷理)设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有定义。对于给定的正数K ，定义函数
(),()(),()k f x f x K
f x K f x K ≤?=?
>? 取函数()f x =12x e ---。若对任意的(,)x ∈+∞-∞，恒有()k f x =()f x ，则（ ） A ．K 的最大值为2 B. K 的最小值为2
C ．K 的最大值为1 D. K 的最小值为1
例5.在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<< 2 ) ()()2( 2121x f x f x x f +> +恒成立的函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例6.（2009福建卷理）函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b x a =- 对称。据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]2 ()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是 A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64 二．函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 例1.(2009山东卷理)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++= 例2.（2008湖北理）已知函数2()2f x x x a =++,2()962f bx x x =-+,其中x R ∈,,a b 为常数，则方程 ()0f ax b +=的解集为 . 例3.（2010天津文数）（4）函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 例4.（2010全国卷1理数）(15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . 例5.（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和215 94 y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．7 4 -或7 例6.（2009辽宁卷理）若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝（ ） （A ）52 (B)3 (C) 7 2 (D)4 三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）. 导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2 ()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-? ?<-- 高考题历年三角函数题 型总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 高考题历年三角函数题型总结 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0. 专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表 ............................................................................................................... 错误！未定义书签。 一 求值问题 ........................................................................................................................................................... - 1 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 1 - 二 最值问题 ........................................................................................................................................................... - 2 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 三 单调性问题 ....................................................................................................................................................... - 3 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 四.周期性问题 ........................................................................................................................................................ - 4 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 4 - 五 对称性问题 ....................................................................................................................................................... - 5 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 5 - 六.图象变换问题 .................................................................................................................................................... - 6 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 7 - 七．识图问题 ......................................................................................................................................................... - 7 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 9 - 一 求值问题 类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的范围（象限），确定符号； 例 4 s i n 5 θ=，θ是第二象限角，求cos ,tan θθ 类型2 给值求值 例1 已知2tan =θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 练习 1、sin 330?= tan 690° = o 585sin = 2、（1）α是第四象限角，12 cos 13 α=，则sin α= （2）若4 sin ,tan 05 θθ=- >，则cos θ= . （3）已知△ABC 中，12 cot 5 A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) 已知5 sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ -上的值域。 2.已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=+f 的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，23 π]上的取值范围. 3.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n =g (Ⅰ)求tan A 的值； (Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域. 4.．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，，x ∈R 的最 大值是1，其图像经过点π1 32M ?? ???，． （1）求()f x 的解析式； （2）已知π02αβ??∈ ??? ，，，且3()5f α=，12()13f β= ，求()f αβ-的值． 5. 已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω???π++>>∈的形式，并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[, ]12 f x ππ在上的最大值和最小值 6.．已知函数x x x x f sin 2 sin 2cos )(22+-=. （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）当)4,0(0π ∈x 且524)(0=x f 时，求)6 (0π+x f 的值。 7．已知1tan 3 α=-，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值． 8.已知函数())cos()f x x x ω?ω?=+-+（0π?<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2 ． （Ⅰ）求π8f ?? ???的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π 6 个单位后，得到函数()y g x =的图象， 函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ． 题型总结 1.已知角范围和其中一个角的三角函数值求任意角三角函数值 方法：画直角三角形 利用勾股定理先算大小后看正负 例题：1.已知α∠为第二象限角，13 5 sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值 2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值 2.一个式子如果满足关于αsin 和αcos 的分式 齐次式 可以实现αtan 之间的转化 例题：1.已知 sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα -=-+那么的值为_____________. 2.已知2tan =α，则1.α αα αcos sin cos sin -+=_____________. 2.α αα α22cos sin cos sin -=_____________. 3.1cos sin +αα=_____________.（“1”的代换） 3.已知三角函数αsin 和αcos 的和或差的形式求αsin .αcos 方法：等式两边完全平方（注意三角函数中判断正负利用角的范围进行取舍） 例题：已知πα<∠<0，αsin +αcos =2 1 ，求αsin .αcos αcos -αsin 4.利用“加减πk 2”大角化小角，负角化正角，求三角函数值 例题：求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 13 3 π= ; 练习题 1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)43 (D)4 3 - 2.已知sin αcos α= 8 1,且4π<α< 2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） (A) 2 3 (B)4 3 (C)3 (D)± 2 3 二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2 +4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2 +nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2 +2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数y=(m －2)x m －2 +5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数y=(m －1)x m2 +1 +5x －3是二次函数，求m 的值。 二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2 +k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2 +bx+c 则最值为4ac-b 2 4a 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2 ＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2 －6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线y ＝x 2 ＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2 +2x －3的对称轴是 。 8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。 函数y=ax 2 +bx+c 的图象和性质 1．抛物线y=x 2 +4x+9的对称轴是 。 2．抛物线y=2x 2 －12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。 4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2 +8x －2； （3）y=－14 x 2+x －4 5．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2 －3x+5，试求b 、c 的值。 指数与对数函数题型总结 题型1 指数幂、指数、对数的相关计算 【例1】计算：3 5 3 log 1+－2 3 2 log 4+＋10 3lg3 ＋????1252log . 【例2】计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋2 3lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 变式： 1.计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋3 5 lg 27－lg 3 lg 81－lg 27. 2.计算下列各式的值： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4 ； (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 3)2＋lg 16＋lg 0.06. 3.计算下列各式 (1)化简 a 4 3－8a 3 1b 4b 3 2 ＋23 ab ＋a 3 2÷? ?? ??1－2 3b a ×3ab ； (2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－253 5log . (3)求lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log 54·log 25 ＋525log ＋1643 的值．(4)已知x ＞1，且x ＋x － 1＝6，求x 21－x 21 -. 题型2指数与对数函数的概念 【例1】若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，则实数a 的取值范围为________． 【例2】指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． 【例3】函数y ＝a x － 5＋1(a ≠0)的图象必经过点________． 变式： 1.指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ； (3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1. 题型3 指数与对数函数的图象 【例1】如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( ） A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．b ＜a ＜1＜d ＜c C ．1＜a ＜b ＜c ＜d D ．a ＜b ＜1＜d ＜c 【例2】函数y ＝|2x －2|的图象是( ) 二次函数考点分类复习 知识点一：二次函数的定义 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式。 备注：当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数． 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2 －4x+1； ②y=2x 2 ； ③y=2x 2 +4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2 +nx+p ； ⑦y =； ⑧y=－5x 。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2 +2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 课后练习： （1）下列函数中，二次函数的是（ ） A ．y=ax 2+bx+c B 。2 )1()2)(2(---+=x x x y C 。x x y 1 2+= D 。y=x(x —1) （2）如果函数1)3(2 32 ++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 知识点二：二次函数的对称轴、顶点、最值 1、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；当0 高考题历年三角函数题型总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 三角函数知识点总结 1、任意角： 正角： ；负角： ；零角： ； 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份， 再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象 限对应的标号即为n α 终边所落在的区域． 5、 叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 7、弧度制与角度制的换算公式： 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S= 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距 离是() 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：． 12、同角三角函数的基本关系：(1) ; (2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． 2018高考一轮复习函数知识点及题型归纳 一、函数的及其表示 题型一：函数的概念 映射的概念：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ． 函数的概念：如果A 、B 都是非空的数集．．．．．，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作()y f x = ,其中x ∈A ,y ∈B ，原象的集合A 叫做定义域，象的集合C 叫做函数()y f x =的值域． 映射的基本条件： 1. 可以多个x 对应一个y ，但不可一个x 对应多个y 。 2. 每个x 必定有y 与之对应，但反过来，有的y 没有x 与之对应。 函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。 例1：已知集合P={40≤≤x x }，Q={20≤≤y y } ，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ） A. f ∶x →y=21 x B. f ∶x →y=x 31 C. f ∶x →y=x 32 D. f ∶x →y=x 例2：设M ＝｛x ｜－2≤x ≤2｝，N ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ， 则f （x ）的图象可以是（ ） 例3：下列各组函数中，函数)(x f 与)(x g 表示同一函数的是 （1）)(x f ＝x ，)(x g ＝x x 2 ； （2）)(x f ＝3x －1，)(t g ＝3t －1； （3）)(x f ＝0x ，)(x g ＝1； （4）)(x f ＝2 x ，)(x g ＝2)(x ； 题型二：函数的表达式 1. 解析式法 例4：已知函数()32,0, 4tan ,0, 2 x x f x f f x x ππ? 函数综合题重点题型归纳 1、已知函数x x x f -=3 )(. （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点M （)(,t f t ）处的切线方程； （Ⅱ）设a >0. 如果过点（a , b ）时作曲线y =f （x ）的三条切线，证明： ).(a f b a <<- 2、设函数()e e x x f x -=-． （Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 3、已知函数32 ()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调区间； （2）设函数()f x 在区间213 3??-- ??? ，内是减函数，求a 的取值范围． 4、设函数x x x f cos 2sin )(+= . (Ⅰ)求)(x f 的单调期间； (Ⅱ)如果对任何0≥x ，都有ax x f ≤)(，求a 的取值范围. 5、设函数()()2 1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x < （I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()2122 4 In f x -> 6、已知x x x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(= ∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1()()2 f x g x >+ ； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 7、已知函数()32 f x x x ax b =-++(a,b ∈R)的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为 ,αβ()αβ<, 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的. (1) 求a 的值和b 的取值范围; (2) 若[]12,,x x αβ∈, 证明:()()121f x f x -≤ 8、设函数()32 33f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且12[1 0],[1,2].x x ∈-∈， （I ）求b c 、满足的约束条件，并在直角坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域； (II)证明：()21102 f x -≤≤- 9、A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数()x ?组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x ?∈；②存在常数(01)L L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212|(2)(2)|||x x L x x ??-≤-. (I)设(2)[2,4]x x ?=∈ ，证明：()x A ?∈ (II)设()x A ?∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x ?=，那么这样的0x 是唯一的； (III) 设()x A ?∈，任取1(1,2)x ∈，令1(2)n n x x ?-=，1,2,n =，证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ， 成立不等式1 21||||1k k p k L x x x x L -+-≤--。三角函数知识点及题型归纳
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