高考函数综合题重点题型归纳
函数综合题重点题型归纳
1、已知函数x x x f -=3
)(.
（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点M （)(,t f t ）处的切线方程；
（Ⅱ）设a >0. 如果过点（a , b ）时作曲线y =f （x ）的三条切线，证明： ).(a f b a <<-
2、设函数()e e x x
f x -=-．
（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．
3、已知函数32
()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调区间；
（2）设函数()f x 在区间213
3??--
???
，内是减函数，求a 的取值范围．
4、设函数x
x
x f cos 2sin )(+=
.
(Ⅰ)求)(x f 的单调期间； (Ⅱ)如果对任何0≥x ，都有ax x f ≤)(，求a 的取值范围.
5、设函数()()2
1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x < （I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()2122
4
In f x ->
6、已知x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1()()2
f x
g x >+
； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
7、已知函数()32
f x x x ax b =-++(a,b ∈R)的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为
,αβ()αβ<, 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的.
(1) 求a 的值和b 的取值范围; (2) 若[]12,,x x αβ∈, 证明:()()121f x f x -≤
8、设函数()32
33f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且12[1
0],[1,2].x x ∈-∈， （I ）求b c 、满足的约束条件，并在直角坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域； (II)证明：()21102
f x -≤≤-
9、A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数()x ?组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x ?∈；②存在常数(01)L L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212|(2)(2)|||x x L x x ??-≤-.
(I)设(2)[2,4]x x ?=∈ ，证明：()x A ?∈
(II)设()x A ?∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x ?=，那么这样的0x 是唯一的；
(III) 设()x A ?∈，任取1(1,2)x ∈，令1(2)n n
x x ?-=，1,2,n =，证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，
成立不等式1
21||||1k k p k L x x x x L
-+-≤--。
函数综合题重点题型归纳【答案】
1、解：（Ⅰ）求函数)(x f 的导数：13)(2
-='x x f
曲线))(,()(t f t M x f y 在点=处的切线方程为：))(()(t x t f t f y -'==即 .2)13(3
2
t x t y --= （Ⅱ）如果有一条切线过点（a ，b ），则存在t ，使3
2
2)13(t a t b --=
于是，若过点（a ，b ）可作曲线)(x f y =的三条切线，则方程03223=++-b a at t 有三个相异的实数根，记 ,32)(2
3
b a at t t g ++-=则 at t t g 66)(2
-=')(6a t t -=
当t 变化时，)()(t g t g '，变化情况如下表：
由(t g 当0=+b a 时，解方程2
300)(a
t t t g =
=
=，得，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根； 当0)(=-a f b 时，解方程a t a t t g =-==，得2
0)(，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根 综上，如果过),(b a 可作曲线)(x f y =三条曲线，即0)(=t g 有三个相异的实数根，则
??
?<->+0
)(0
a f
b b a 即 ).(a f b a <<- 2、解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，
故()2
f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()
g x f x ax =-，则()()e e x
x
g x f x a a -''=-=+-，
（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e
20x
x
g x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，
0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1x =， 此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<
，故()g x 在该区间为减函数．
所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <
=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-
∞，．
3、
解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2
()321f x x ax '
=++
当2
3a ≤时，0?≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当2
3
a >，()0
f x '=求得两根为3
a x -=即()f x 在3a ?--∞ ???，递增，33a a ?-- ???，递减，3a ??-+∞
? ???
递增 （2）2
331
33
a a ?---
???
-+?-
??
≤，且2
3a
>解得：7
4
a ≥
4、解：（Ⅰ）22
(2cos )cos sin (sin )2cos 1
()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'=
=++
当2π2π2π2π33k x k -<<+
（k ∈Z ）时，1
cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+
（k ∈Z ）时，1
cos 2
x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ?
?-+ ???，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ?
?++ ???
，（k ∈Z ）是减函数． ···························· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+2
232cos (2cos )a x x =-+++2
1
1132cos 33a x ??=-+- ?+??
故当1
3a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤．
当1
03
a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-．故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>
因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，
时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax > 于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3
x x
f x ax x =
>>+．
当0a ≤时，有π1π0222f a ??=> ???≥．因此，a 的取值范围是13??+∞????
，． ············ 12分
5、解: （I ）()2222(1)11a x x a f x x x x x
++'=+=>-++ 令2
()22g x x x a =++，其对称轴为12
x =-。由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相
等的实根，其充要条件为480(1)0
a g a ?=->??-=>?，得1
02a <<
⑴当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数； ⑶当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数；
（II ）由（I ）21(0)0,02
g a x =>∴-<<，2
22(2)a x x =-+2
()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2
设()()221(22)1()2
h x x x x ln x x =-++>-，则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++
⑴当1(,0)2
x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在1
[,0)2-
单调递增； ⑵当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减。
()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-=当时故()22122
()4
In f x h x -=>．
6、解：（1） x x x f ln )(-=，x
x x x f 1
11)(-=
-
=' ……1分 ∴当10< ()0f x <，此时()f x 单调递减 当e x <<1时，/ ()0f x >，此时()f x 单调递增 …………3分 ∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分 （2） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，∴ 0)(>x f ，min ()1f x = 令2 1 ln 21)()(+=+ =x x x g x h ，2 1ln ()x h x x -￠=， …………6分 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ………7分 ∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1 ()()2 f x g x >+ （3）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1 -= ① 当0≤a 时，(0,]x e ?，所以()0f x ￠< ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减， 31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4 =（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. …10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1 (e a 上单调递增 3ln 1)1 ()(min =+==a a f x f ，2e a =，满足条件. ……11分 ③ 当e a ≥1 时，(0,]x e ?， 所以()0f x ￠<，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4 =（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.……14分 7、 (本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:∵()3 2 f x x x ax b =-++, ∴()' 232f x x x a =-+. ∵()3 2 f x x x ax b =-++的一个极值点为1x =, ∴()' 2 131210f a =?-?+=. ∴ 1a =-. ∴()()()' 2321311f x x x x x =--=+-, 当13 x <-时, ()' 0f x >;当1 13 x - <<时, ()'0f x <;当1x >时, ()'0f x >; ∴函数()f x 在1,3??-∞- ???上单调递增, 在1,13?? -???? 上单调递减,在[)1,+∞上单调递增. ∵方程20ax x b ++=的两个实根为,αβ, 即2 0x x b --=的两根为,αβ()αβ<, ∴αβ= =. ∴1,b αβαβ+==-,αβ-= ∵ 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的, ∴区间[],αβ只能是区间1,3??-∞- ?? ?,1,13 ??-? ??? ,[)1,+∞之一的子区间. 由于1,αβ+=αβ<,故[]1,,13αβ?? ?-???? . 若0α<,则1αβ+<,与1αβ+=矛盾.∴[][],0,1αβ?. ∴方程2 0x x b --=的两根,αβ都在区间[]0,1上. …6分 令()2g x x x b =--, ()g x 的对称轴为[]1 0,12 x = ∈, 则()()00,10,140.g b g b b =-≥??=-≥???=+>? 解得104b -<≤. ∴实数b 的取值范围为1,04??- ???. 说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法. ∵11,22αβ= ≤=≥且函数()f x 在区间[],αβ上是单调的,∴ []1,,13αβ?? ?-???? 由1,31,140.b αβ?≥-??≤???=+>?? 即1,31,140.b ≥-≤? +>?? ?? 解得104b -<≤. ∴实数b 的取值范围为1,04??- ??? (2)证明:由(1)可知函数()f x 在区间[],αβ上单调递减, ∴函数()f x 在区间[],αβ上的最大值为()f α, 最小值为()f β. ∵[]12,,x x αβ∈, ∴()()()()12f x f x f f αβ-≤-()()3232b b αααβββ=--+---+ ()()()3322αβαβαβ=-----()()()2 1αβαβαβαβ??=-+--+-?? ()1b = -()1 b =-. …10分 令t =则()2114b t =- ()1b -()3 154 t t =-. 设()()3154h t t t =-, 则()()'2 1534h t t =-. ∵104b -<≤, ∴01t <≤. ∴()()'21534h t t =-0>. ∴函数()()3 154 h t t t =-在(]0,1上单调递增. ∴()()11h t h ≤=. ∴()()121f x f x -≤. 8、分析（I ）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。 ()2363f x x bx c '=++由题意知方程()0f x '=有两 个根12x x 、 1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈ 则有()10f '-≥，()00f '≤， ()()1020f f ''≤≥，故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点(),b c 的区域。 (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标()32222233f x x bx cx =++中的b ，（如果消 c 会较繁琐）再利用2x 的范围，并借助（I ）中的约束条件得[2,0]c ∈-进而求解，有较强的技巧性。 解： 由题意有()22223630f x x bx c '=++=①又()32222233f x x bx cx =++② 消去b 可得()32221322 c f x x x =-+．又2[1,2]x ∈，且[2,0]c ∈- 2110()2f x ∴-≤≤- 9、解：对任意]2,1[∈x ,]2,1[,21)2(3∈+=x x x ?, ≤3 3)2(x ?35≤,253133<<<, 所以)2,1()2(∈x ? 对任意的]2,1[,21∈x x ， ()()()() 2323213 2121211121212 |||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-??， < 3()()()()323213 2 1112121x x x x ++++++，所以 0< ()()()() 2 32 32 1 3 2 11121212x x x x ++++++32 <, 令 () ()()() 2 3 23 213 2 11121212 x x x x ++++++=L ，10< |||)2()2(|2121x x L x x -≤-??， 所以A x ∈)(? 反证法:设存在两个000 0),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ?=,)2(00x x '='?则 由|||)2()2(|/ 00/ 00x x L x x -≤-??，得||||/ 00/00x x L x x -≤-， 所以1≥L ，矛盾，故结论成立。 1 21223)2()2(x x L x x x x -≤-=-??， 所以 1 211x x L x x n n n -≤--+ ()()()||1||121 1211x x L L x x x x x x x x k k k p k p k p k p k k p k --≤-+-+-=--+-+-+-+++ k k p k p k p k p k x x x x x x -+-+-≤+-+-+-++1211 ≤ 1 23 122 x x L x x L p k p k -+--+-++ (121) x x L k --121 1x x L L K --≤- 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -． 导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2 ()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-? ?<-- 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 二次函数精讲基础题型 一认识二次函数 1、y=mx m2+3m+2 是二次函数，则m 的值为（ ） A 、0，-3 B 、0，3 C 、0 D 、-3 2、关于二次函数y=ax 2 +b ，命题正确的是（ ） A 、若a>0,则y 随x 增大而增大 B 、x>0时y 随x 增大而增大。 C 、若x>0时，y 随x 增大而增大 D 、若a>0则y 有最大值。 二简单作图 1在一个坐标系内做出2 x y =，12 +=x y ，12 -=x y ，2 )1(-=x y ，2 )1(+=x y 你发现了什么结论 2同样的在同一个坐标系内做出2 x y -=，2 2x y -=，12 --=x y ， 12+-=x y 2)1(--=x y ，2)1(+-=x y 的图像，你又发现了什么结论，并且与上一题的 图像比较的话，你又有什么样新的发现 3 已知抛物线y x x =-+1235 2 2，五点法作图。 2、已知y=ax 2 +bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出函数的大致图象。 三，二次函数的三种表达形式，求解析式 1求二次函数解析式： （1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）； （3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。 2 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +=20，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。 3、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1）当x=3时，y 最小值=-1，且图象过（0，7） （2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=2 3 （3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0） （4）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3 （5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10） 三 图像与a,b,c 的符号之间的关系 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象是抛物线，其开口方向由_________来确定。 2、 已知y=ax 2 +bx+c 的图象如下，则：a _____0，b _____0，c _____0，a+b+c_______0， a-b+c__________0。2a+b________0， ac b 42 -_________0 3．已知函数c bx ax y ++=2 的图象如图 1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、 c 的不等式：①a ＜0，②b＜0，③c＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________- 4．已知抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴交点的横坐标为－1，则a ＋c=_________. 1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 2020 年中考二次函数与几何图形 1.中考相似三角形 2.中考线段中的动点问题 目录 中考复习战略汇集 (1) 二次函数与几何图形 (2) 模式1：平行四边 形 (2) 模式2：梯 形 (4) 模式3：直角三角 形 (6) 模式4：等腰三角 形 (8) 模式5：相似三角 形 (10) 模拟题汇编之动点折叠问题 (11) 二次函数与几何图形 模式 1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A 、B 、C 、P 四点构成平行四边形，则可分成 以下几种情况 （ （ （ 1）当边 AB 是对角线时，那么有 AP // BC 2）当边 AC 是对角线时，那么有 AB //CP 3）当边 BC 是对角线时，那么有 AC // BP 1 、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m ，△AMB 的面积为 S. 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=－x 上的动点，判断有几个位置能 使以点 P 、Q 、B 、0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标. 2 、如图，抛物线 y x 2 2x 3与 x 轴相交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D ． （ （ 1）直接写出 A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； 2）连结 BC ，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过 点 P 作 PF//DE 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ． ① 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为 平行四边形？ ② 设△BCF 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系． 人教版九年级下册数学 二次函数知识点总结教案 主讲人：李霜霜 一、教学目标： (1)了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题． (2)通过练习及提问，复习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想． 二、教学重点、难点 教学重点：二次函数的图像，性质和应用 教学难点：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题． 三、教学过程 复习巩固 （一）二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． （二）二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： （三）二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表 ............................................................................................................... 错误！未定义书签。 一 求值问题 ........................................................................................................................................................... - 1 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 1 - 二 最值问题 ........................................................................................................................................................... - 2 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 三 单调性问题 ....................................................................................................................................................... - 3 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 四.周期性问题 ........................................................................................................................................................ - 4 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 4 - 五 对称性问题 ....................................................................................................................................................... - 5 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 5 - 六.图象变换问题 .................................................................................................................................................... - 6 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 7 - 七．识图问题 ......................................................................................................................................................... - 7 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 9 - 一 求值问题 类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的范围（象限），确定符号； 例 4 s i n 5 θ=，θ是第二象限角，求cos ,tan θθ 类型2 给值求值 例1 已知2tan =θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 练习 1、sin 330?= tan 690° = o 585sin = 2、（1）α是第四象限角，12 cos 13 α=，则sin α= （2）若4 sin ,tan 05 θθ=- >，则cos θ= . （3）已知△ABC 中，12 cot 5 A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) 已知5 sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ -上的值域。 2.已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=+f 的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，23 π]上的取值范围. 3.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n =g (Ⅰ)求tan A 的值； (Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域. 4.．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，，x ∈R 的最 大值是1，其图像经过点π1 32M ?? ???，． （1）求()f x 的解析式； （2）已知π02αβ??∈ ??? ，，，且3()5f α=，12()13f β= ，求()f αβ-的值． 5. 已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω???π++>>∈的形式，并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[, ]12 f x ππ在上的最大值和最小值 6.．已知函数x x x x f sin 2 sin 2cos )(22+-=. （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）当)4,0(0π ∈x 且524)(0=x f 时，求)6 (0π+x f 的值。 7．已知1tan 3 α=-，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值． 8.已知函数())cos()f x x x ω?ω?=+-+（0π?<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2 ． （Ⅰ）求π8f ?? ???的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π 6 个单位后，得到函数()y g x =的图象，二次函数知识点总结及中考题型总结
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