(A) 120 (B) 105 (C) 90 (D) 75
4. 已知等差数列｛a n｝满足a2 +a4 =4 , a3 +a5 =10，则它的前10项的和S10 =( )
A. 138
B. 135
C. 95
D. 23
5. 设等差数列《a n｝的前n项和为S n.若S9 =72,则a? + a4 + a g =.
6?设等差数列｛a」的前n项和为S n,若a5=5a3则金= .
S5
7. 已知各项均为正数的等比数列｛a」中，a1a2a3 =5, a7a8a9 =10,则
a4a5a6 =
(A) 5 也(B) 7 (C) 6 (D) 442
8. 设S n为等差数列妇」的前n项和，若& =1 ,公差d =2,Sd2—S k = 24，贝U k=
(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5
9. 设等差数列｛a n｝的前n项和为S,若Sv 1 = —2, S m= 0, $+1= 3,贝U m ( ).
A. 3 B . 4 C . 5 D . 6
题型二等差、比数列的判定和求基本量的考察
1
1.已知｛a 」是各项均为正数的等差数列，
lga i 、lg a ?、lg &成等差数列.乂 a =旦
a 2
n
1 n =1,2,3, ???. (I)证明幻，为等比数列；(皿)如果无穷等比数列｛b j 各项的和S=-,
3
求数列｛a 」的首项&和公差d .(注：无穷数列各项的和即当n —叫时数列前项和的极限)
2 .等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n,已知S 1
,
2S 2, 3S 3成等差数列，贝U (a n ｝的公比为。
3.设数列(a n ｝
的前n 项和为S n ,已知a =1, S n 中=4a n +2
(I)设b n =a n 书-2a n,证明数列(b n ｝是等比数列
(II )求数列(a n ｝的通项公式。
4设S 为等差数列｛有｝的前n 项和，若6=1,公差d =2, S 幸—& =24，贝U k=
(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5
5. 设数列｛a n ｝满足 a 1 = 0, —-— — —-— =1
1
1
1 —a n
(i)
求〈a 」的通项公式； (n)设
a =1_^^，记& =￡
b k ，证明：& <1。
n
k m
6. 设(a n ｝是集合(2「+2s |0
即a 1 =3,a 2 =5,a 3 =6,a 4 =9, a 5 =10,a 6 =12,…. 将数列(a n ｝各项按照上小下大，左小右大的 原则写成如下的三角形数表：
3 5 6
9
10
12
(II )当aq3时，证明对所的n >1,有 (i)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数; (i i )求 a 100.
题型三已知递推数列求通项和数列求和问题及数学归纳法的证明 1?设数列(a n ｝满足：a n* =an 2 -na n +1 ， n =1,2,3,
(I)当a 〔=2时，求a 2,a 3,a 4并由此猜测
a n 的一个通项公式;
1
(i ) a n 小+2
(ii )
1 + ——:—+ 1 a 1 1 a
2 1 a 1
_ ..工n
3
1 a n
2
1
2. 已知数列｛a n｝, 7两足a i=1, a n=a+2a2+3a3+???+(n— 1)a n i( n>2),贝U｛a n｝的通项a n=《
3.已知数列｛a n｝中a1 =1,且a2k=a2k—1+( — 1)K, a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,
(I)求a3, a5 ；(II )求｛a n｝的通项公式
4.设等比数列SJ的公比为q ,前n项和R S = …).(I )求田的取值范围；(皿) b =a
设a 购2 g，记低)的前n项和为匕，试比较%与Z的大小.
C 4 1 “1 2
5.设数列｛a n｝的前n项的和& =^a n 一了2*/ = 123…
3 3 3
(I)求首项a1与通项a n；( n )设T n = ——, n = 1,2,3,…，证明：￡气＜° .
S n J 2
6.已知数列｛a n｝中，a〔=2 , a^ = (^2 —1)(a n +2), n =1,2,3,|||
(I)求｛a n｝的通项公式;
(H)若数列｛b n｝中，b1 =2, b n 书=3bn*4, n=1,2,3，川，证明：V2 < b n《&n^ n = 1,2,3，川
2b n 3
7.设函数f (x) =x —xln x .数列｛a n｝满足0 (I)证明：函数f (x)在区间(0,1)是增函数；(□)证明：a n＜a n噂＜1;
8.在数列｛a n｝中，.a〔=1,an+1= ' 1+ - |a，+ ■^1
.n 2n
a
(［段b n=工，求数列｛b n ｝的通项公式；(II)求数列｛a n ｝的前n项和S n.
n
9.已知数列｛a n｝中，31=1,3“+ =。—」-.(I)设c = °, b n =—-—，求数列《b n｝的通项公式;
a n 2 a n - 2
c 2 1
S n = 一a n
10.若数列｛an｝的前n项和3 3，则｛an｝的通项公式是an=.
11.数列｛a n｝满足为++(—1)n a n =2n—1,则｛a n｝的前60项和为
12.等差数列｛an｝的前n项和为S,已知So= 0, S5= 25,则nS的最小值为 .
13.设数列如」的前n项和为&,数列｛&｝的前n项和为T n,满足七=2&—n2, n亡N *.
(I )求a1的值；(n )求数列知｝的通项公式
已知（a n｝是以a为首项，q为公比的等比数列，$为它的前n项和.（I）当S、&、S成等差数
14.
列时，求q的值；（口）当困、S、S成等差数列时，求证：对任意自然数k, a m*、a"、a*也成
等差数列.
3『-1）n 」
?
14.
已知数列（a n ｝与（b n ｝满足 b n*a n +b n a n 好=（—2）n +1,b n =—
，^N ,且 0=2.
2
（I ）求a2,a3的值；（口）设c n =a 2" —a 2n 」，n w N ，证明（Cn ｝是等比数列 (m)设S n 为(a n ｝的前n 项和，证明 ％+室+[|| 十冬^ 十里 ￡ n — 1(nw N *). a 2n 1 a 2n 3
16.已知等差数列（a n ｝的前5项和为105,且a 20 =2a 5 .（ I ）求数列 d ｝的通项公式； （n ）对任意mW N
*,将数列（a n ｝中不大于72m
的项的个数记为b m .求数列（b m ｝的前m 项和S m
a i a
2
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二次函数知识点总结及中考题型总结
二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质：
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -．
高考数学导数题型归纳(_好)
导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2 ()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-? ?<--
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
中考复习：二次函数题型分类总结
【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
二次函数基础典型经典题型(全面超好)
二次函数精讲基础题型 一认识二次函数 1、y=mx m2+3m+2 是二次函数，则m 的值为（ ） A 、0，-3 B 、0，3 C 、0 D 、-3 2、关于二次函数y=ax 2 +b ，命题正确的是（ ） A 、若a>0,则y 随x 增大而增大 B 、x>0时y 随x 增大而增大。 C 、若x>0时，y 随x 增大而增大 D 、若a>0则y 有最大值。 二简单作图 1在一个坐标系内做出2 x y =，12 +=x y ，12 -=x y ，2 )1(-=x y ，2 )1(+=x y 你发现了什么结论 2同样的在同一个坐标系内做出2 x y -=，2 2x y -=，12 --=x y ， 12+-=x y 2)1(--=x y ，2)1(+-=x y 的图像，你又发现了什么结论，并且与上一题的 图像比较的话，你又有什么样新的发现 3 已知抛物线y x x =-+1235 2 2，五点法作图。 2、已知y=ax 2 +bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出函数的大致图象。 三，二次函数的三种表达形式，求解析式 1求二次函数解析式： （1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）； （3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。
2 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +=20，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。 3、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1）当x=3时，y 最小值=-1，且图象过（0，7） （2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=2 3 （3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0） （4）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3 （5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10） 三 图像与a,b,c 的符号之间的关系 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象是抛物线，其开口方向由_________来确定。 2、 已知y=ax 2 +bx+c 的图象如下，则：a _____0，b _____0，c _____0，a+b+c_______0， a-b+c__________0。2a+b________0， ac b 42 -_________0 3．已知函数c bx ax y ++=2 的图象如图 1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、 c 的不等式：①a ＜0，②b＜0，③c＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________- 4．已知抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴交点的横坐标为－1，则a ＋c=_________.
中考数学二次函数压轴题题型归纳
1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立）
2020年中考二次函数与几何图形经典题型汇编【含中考相似三角形中考线段中的动点问题】
2020 年中考二次函数与几何图形
1.中考相似三角形 2.中考线段中的动点问题 目录 中考复习战略汇集 (1) 二次函数与几何图形 (2) 模式1：平行四边 形 (2) 模式2：梯 形 (4) 模式3：直角三角 形 (6) 模式4：等腰三角 形 (8) 模式5：相似三角 形 (10) 模拟题汇编之动点折叠问题 (11)
二次函数与几何图形 模式 1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A 、B 、C 、P 四点构成平行四边形，则可分成 以下几种情况 （ （ （ 1）当边 AB 是对角线时，那么有 AP // BC 2）当边 AC 是对角线时，那么有 AB //CP 3）当边 BC 是对角线时，那么有 AC // BP 1 、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m ，△AMB 的面积为 S. 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=－x 上的动点，判断有几个位置能 使以点 P 、Q 、B 、0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标.
2 、如图，抛物线 y x 2 2x 3与 x 轴相交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D ． （ （ 1）直接写出 A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； 2）连结 BC ，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过 点 P 作 PF//DE 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ． ① 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为 平行四边形？ ② 设△BCF 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系．
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案77699
人教版九年级下册数学 二次函数知识点总结教案 主讲人：李霜霜
一、教学目标： (1)了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题． (2)通过练习及提问，复习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想． 二、教学重点、难点 教学重点：二次函数的图像，性质和应用 教学难点：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题． 三、教学过程 复习巩固 （一）二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． （二）二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： （三）二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律
三角函数题型分类总结
专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表 ............................................................................................................... 错误！未定义书签。 一 求值问题 ........................................................................................................................................................... - 1 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 1 - 二 最值问题 ........................................................................................................................................................... - 2 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 三 单调性问题 ....................................................................................................................................................... - 3 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 四.周期性问题 ........................................................................................................................................................ - 4 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 4 - 五 对称性问题 ....................................................................................................................................................... - 5 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 5 - 六.图象变换问题 .................................................................................................................................................... - 6 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 7 - 七．识图问题 ......................................................................................................................................................... - 7 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 9 - 一 求值问题 类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的范围（象限），确定符号； 例 4 s i n 5 θ=，θ是第二象限角，求cos ,tan θθ 类型2 给值求值 例1 已知2tan =θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 练习 1、sin 330?= tan 690° = o 585sin = 2、（1）α是第四象限角，12 cos 13 α=，则sin α= （2）若4 sin ,tan 05 θθ=- >，则cos θ= . （3）已知△ABC 中，12 cot 5 A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) 已知5 sin ,5 α= 则44sin cos αα-= .
高考三角函数重要题型总结
1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ -上的值域。 2.已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=+f 的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，23 π]上的取值范围. 3.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n =g (Ⅰ)求tan A 的值； (Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域. 4.．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，，x ∈R 的最 大值是1，其图像经过点π1 32M ?? ???，． （1）求()f x 的解析式； （2）已知π02αβ??∈ ??? ，，，且3()5f α=，12()13f β= ，求()f αβ-的值． 5. 已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω???π++>>∈的形式，并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[, ]12 f x ππ在上的最大值和最小值 6.．已知函数x x x x f sin 2 sin 2cos )(22+-=. （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）当)4,0(0π ∈x 且524)(0=x f 时，求)6 (0π+x f 的值。 7．已知1tan 3 α=-，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值． 8.已知函数())cos()f x x x ω?ω?=+-+（0π?<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2 ． （Ⅰ）求π8f ?? ???的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π 6 个单位后，得到函数()y g x =的图象，
二次函数知识点总结及典型题目
二次函数知识点总结及典型题目 一.定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0二次函数知识点总结和题型总结
二次函数知识点总结和题型总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函 数，叫做二次函数。 这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 2. 二次函数 2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 例题： 例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。 练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式 y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b 2 4a ） 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
三角函数知识点及题型归纳
三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ=. 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos =)25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ???（Ｂ）,3ππ?? ???（Ｃ）4,33ππ?? ???（Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是。 2.若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为最大值为。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ???? 上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B C D ．2 8.函数2 ()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 32
2020高考数学函数与导数综合题型分类总结
函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．
二次函数经典题型含答案.doc
二次函数经典题型（启东教育） 1.看图，解答下列问题． （1）求经过A、B、C三点的抛物线解 析式； （2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和 对称轴； （3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图 象． 2.已知函数y=x2+bx-1 的图象经过点（3， 2） （1）求这个函数的解析式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当 x>0 时，求使 y≥2的 x 的取值范围． 3.已知抛物线y＝－ x2＋ mx－ m＋ 2． （1）若抛物线与x 轴的两个交点A、 B 分别在原点的两侧，并且AB＝ 5 ，试求m 的值； （2）设 C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、 N，并且△MNC的面积等于27，试求 m 的值． 4.如图，已知点 A（ tan α， 0）， B（ tan β， 0）在 x 轴正半轴上，点 A 在点 B 的左边，α、β是以线段AB 为斜边、顶点 C 在 x 轴上方的Rt△ ABC的两个锐角． 5 kx＋（ 2＋ 2k－k2）的图象经过A、 B 两点，求它的解析式； （1）若二次函数y＝－ x2－ 2 （2）点 C 在（ 1）中求出的二次函数的图象上吗请说明理由．
5.已知抛物线y x2 kx b 经过点 P(2， 3)， Q ( 1，0) ．y （1）求抛物线的解析式． （2）设抛物线顶点为 Q O N ，与y轴交点为A．求 sin∠ AON 的值．x M A （3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M，求四边形OANM的面积．N 6.已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A， B， C 三点，当x≥0时，其图象如图所示． (1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y=ax2+bx+c 当 x<0 时的图象； (3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出 x 为何值时， y>0． (第 6 题) 7.已知抛物线y ax2 bx c 与y 轴的交点为 C，顶点为 M，直线 CM 的解析式 y=-x+2 y 并且线段 CM 的长为2 2 （1）求抛物线的解析式。 O x （2）设抛物线与 x 轴有两个交点 A（ X1， 0）、 B（ X2， 0），且 点 A 在 B 的左侧，求线段 AB 的长。 （3）若以 AB 为直径作⊙ N，请你判断直线CM 与⊙ N 的位置关系，并说明理由。
二次函数题型分类总结(学生版)
二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2 +4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2 +nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2 +2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数y=(m －2)x m －2 +5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数y=(m －1)x m2 +1 +5x －3是二次函数，求m 的值。 二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2 +k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2 +bx+c 则最值为4ac-b 2 4a 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2 ＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2 －6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线y ＝x 2 ＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2 +2x －3的对称轴是 。 8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。 函数y=ax 2 +bx+c 的图象和性质 1．抛物线y=x 2 +4x+9的对称轴是 。 2．抛物线y=2x 2 －12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。 4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2 +8x －2； （3）y=－14 x 2+x －4 5．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2 －3x+5，试求b 、c 的值。
